（通信与信息系统专业论文）关于adifdtd方法的研究.pdf

中阔民用航窀学院碗i 论义 摘要 本文主要针对基予交变隐式差分方向方法的时域有限差分法( a 】t e r n a t i n g d i r e c t i o ni m p i c i tf i n i t ed i f f e r e n c et i m ed o m a i nm e t h o d ，麓端a d i f d t d 方法) 做了一定的研究工作。 论文首先分绥了二维a d i f d t 0 方法，裁其数壤稳定蛙霜数夔爨教特性避行了磷究； 推导了a d i f d t d 的m u r 和p m l 。吸收边界条件：通过实际算例验证了a d i f d t d 运算的高 效链；提基了一静菠避酶a d i f d t d 方法，g # a - a d i f d t d 方法，透过藤灭各囊雾赣分蒺 能够到达有效修正相速误差的目的。然后引入了三维a d ，f d t d 算法，并分析了它的数 值稳定性和数值色散特性。最后，对新近提出的u s f d 阳( u n c o n d i t i o n a l l ys t a b l e f d t d ) 方法在数德稳定性和数值毡敬特性方面做了一。定的研究，得出了捆关的结论。 本文的研究工作对于扩大有限时域筹分法( f i n i t ed i f f e r e n c et i m ed o m a i n m e t h o d ) 熬应耀苑潮具有十分重要躲意义。 关键谲：基予交交戆式差分方向方法羽时壤袁袋差分法畜疆聪域差分法数 妻稳定 数1 盥色散吸收边界条件 本文锝到了中国博士聪科学基令( 2 0 0 3 0 3 3 0 2 8 ) 的资助 中隅民用航窀学院坝i j 论蔓 a b s t r a o t t h et h e s i sm a i n l yf o c u s e so nt h er e s e a r c h e so ft h ea l t e r n a t i n gd i r e c t i o ni m p l i c i tf i n i t e d i f f e r e n c et t i m ed o m a i n ( a d l 一f d t d ) m e t h o d f i r s t ，t h et w od i m e n s i o n a la d i - f d t dm e t h o dj si n t r o d u c e d ，t h er e s e a r c ho nt h e n u m e r i c a ls t a b i l i t ya n dd i s p e r s i o no ft h e2 - da d i f d 7 ”dm e t h o da r ec a r r i e do n t h em u r a n d p m la b s o r b i n gb o u n d a r y c o n d i t i o no ft h e2 - da d i - f d t dm e m o da r ed e r i v e da n ds o m e s i m u l a t i o n e x a m p l e sv a l i d a t e t h e e f f i c i e n c y o ft h i sm e t h o d 。a ni n n o v a t i v em e t h o d ( a a d i f d t d ) o nl _ e d u c t i o no ft h e2 - da d i - f d t dm e t h o d sn u m e r i c a ld i s p e r s i o ni s p r o p o s e d b ya d d i n ga n i s o t r o p i cp a r a m e t e r si na d i f d t df o r m u l a ，w ec a nc o n t r o lt h ee r r o r a t t e n u a t i o no fn u m e r i c a lp h a s ev e l o c i t y ，t h e nw ep r e s e n tt h et h r e ed i m e n s i o n a la d i f d t d m e t h o da n da n a l y z et h en u m e r i c a ls t a b l i t ya n dd i s p e r s i o np r o p e r t i e so ft h i sm e t h o d l a s t ，w e i n v e s t i g a t e t h eu n c o n d i t i o n a ls t a b l ef i n i t ed i f f e r e n c et i m e d o m a i n ( u s f d t d ) m e t h o d p r o p o s e e dr e c e n t l ya n dd r a wc o r r e l a t i v ec o n c l u s i o n so ni t sn u m e r i c a ls t a b l i t ya n dd i s p e r s i o n c h a r a c t e r o u rr e s e a r c hw o r ki sv e r yn e c e s s a r yt oe n l a r g et h ef i n i t ed i f f e r e n c et i m ed o m a i n ( f d t d ) m e t h o d sa p p l i c a t i o na r e a s k e y w o r d s ：a d i f d t dm e t h o d ，f d t dm e t h o d ，n u m e r i c a ls t a b l i t y , n u m e r i c a td i s p e r s i o n ， a b s o r b i n gb o u n d a r yc o n d i t i o n i 中国民用航空学院学位论文独创性声明 奉夫声翳掰墨交戆学穆论文是我令大在导爨糖导f 逆行的研究 + 搏及玻蜉豹研究成果。器我翳 知，除了文中特别加姒标注 i l 致谢的地方外，论文中不包信其他人已经发表妓搓写过的研究成果一 也不包窘为获缮中国醚鲻靛空学院或其它教育辊翔豹学傍域证罄弼整蠲过瓣携辩。与筏一嗣王俸麓 屁，芯对本研究所做的 壬何贡献均已在论文中作了明确的说明升表示了谢意。 疆魁魏益0 翟麓： p o 长3 t 冬 审国民用航空学院学位论文使用授权声明 中国民用航空学院、中国科学技术信息研究所、国家幽协馆有权保留本人所送交学位论文的复 印引：霸l 电子文稻，w 以采璀影印、缩印戚其德羹澍手段保存论文。奉a 电子文档的自容羽l 纸鹱论文 的内容相一致。赊在保密期内的保密论文外，允许论文被惫阅和l 僻阅，可以公布( 包括刊登) 论文 的全部或部分内容。论文的公布( 包括刊登) 授权中国k 埘航空学院研究生部办理a 研究生签名：埤导师签名：塞垂塞笠一日州：出， 中困民用航窄学院硕i ，论业 1 。1 引言 第一章绪论 标准时域有礞差分( f in i t ed i f f e r e n c et i m ed o m a in ，篱称f d t d ) 方法楚与计髯祝 技术结合来解决复杂的电磁问题的一种非常实用的方法。f d t d 方法国y e e ( 1 9 6 6 年) 提 窭蔽来发震_ i 熬遽“1 ，获褥广泛应蠲。靛电磁敬袈、电缀兼容、波导与谐振蕴系统、天线 辐射特性的研究，到电磁波生物效应、微波及毫米波集成电路分析、超高速集成电路互 连嚣装电磁特性分撬，醴及复杂攥囊串静电磁传援、递款嚣与遥感，几乎黎有时域蠢疆 差分法应用的例子。f d t d 方法以y e e 元胞为空问电磁场离散单元，将麦克斯韦旋度方程 转纯为差分方程，表述藏弱，容易璎解；它邋过霹划皴上逐步撞进溅求解，具有很好遗 稳定性和收敛性，因而在工程电磁学各个领域倍受重视。 1 。2 本文研究的背景及意义 标准的f d t d 方滚属于鼹式差分法，因而舆有显示差分的共同特性，解舔过程必须满 足稳定性条件对于f d t d 法来说，就是必须满足c o u r a n t 条件。这就使得f d t d 的应用 范圈受到限制。眈如，当要禳拟的问题其有徽缓结构，为了箍确士也模拟其电磁特性，空闯 步长必须足够小。为了保证解的稳定性，这时，时间步长也需相应地取得很小，这就使计 算静时闻猛臻，有时候甚至不司+ 实甏。穰如，在一些麓高速集成电路中，互连线的最小死 何尺寸为l # m ，数字脉冲信号| ! 内上升时削小于l o o p s 。陔信号的频谱蕊端已接近1 0 g h z ， 即最小波长为3 c m ( 自由空间) 从信号波跃方面考虑，为保证定的计算精度，空白j 网格 步长鬻取为l m m 量级( 每波长1 0 2 0 个点) 。然葱，从域数擞结构的几何特征方霾考虑，空 间网格步长需墩1 ，聊熊级或熨小，远远小于最小波长的1 1 0 或1 2 0 。因此，为满足稳定性 条件，甜闯步长的上限约为2 砖。以次步长穰叛上升时间为l o o p s 的数字信号需要5 0 0 0 0 步时潮。 与显式惹分方法相反，隐式差分格式总是稳定的，其时间步长仅鬣数值误差的限制。 因此，对于上述例子，可以保持空闽网掊多长为l t t r n 爨缴或更小，班精确遮模数微结搀载 几何特征。同时，可取a t = l p s ，以该步长足以精确地取样1 0 g h z 的信号。这样束，模拟 上升时间为l o o p s 的数字信号只需要1 0 0 步时间但怒，隐式麓分的缺点是需骥通过矩阵 中翻民用航空学院硕一l 论文 求逆或迭代求解大型线性方程组，计算复杂髓量大。 期望的算法是黢具有豫式差分撂式的秃条传稳定往又具冬显式差分掺式诗算糍对 简单的优点。1 9 5 6 年，p e a c e m a n 和r a c h f o r d 提出了著名的交变隐式差分方法 ( a i t e r n a t i n g 1 ) i r e c t i o ni m p l i c i tm e t h o d ，籁稼a d i 方法) 。其基本思想是，对于空测 变量为多维的偏微分方程，例如两个空问变量( x ，y ) ，首先选取任变量方向按隐式差 分格式娃璎磷余下瓣变量方国按显式差分稳式疑理。然后，交换豫式器显式差分捂式处 理的变量方向。对于每一步来况，解仍然是条件稳定的。但是，两步复合的结果使得解 是无条释稳定汝，其善了麓望豹特性。 a d i 方法最早是应用于抛物型微分方程( 如热传导问题) 的求解，后来其应用范围 逐激扩震。1 9 9 9 年，t n a m i k i 首先跨荬簸璞应趸予f i ) t d 法，提基了基予交变戆式差分 方向方法的时域有限差分法( a 1 t e r n a t i n gd i r e c t i o ni m p l i c i tf i n i t ed i f f e r e n c et i m e d o m a i nm e t h o d ，麓舔a d i f d t d 方法) ，著穆葵应弱予二维t 波运题懿模拟。“，惹来又姆 其推广至三维问题。随后，关于a d i f d t d 方法的数值色散特性”“”“驯”，n 及收边界条 牛“帅”以及对其数 蠢色教姆性故改进后骢a d i f d t d 方法“4 “”“城为研究数热点。 a d i f d t d 方法的提出，使得时间步长的选取摆脱了c o u r a n t 条件的限制，这对于提高运 算速度，缩短运算时间，扩大时域有限差分法的应用范围具有十分重要的意义。 1 3 本文磷究的国内矫现状 表格卜l 给出了自从a d i f d t ) 在1 9 9 9 年被提出到近期，国内外的学者对其所做的 工作和研究成粟。概括起来大致可隧分成鞠个方蔼，一是给警a d i f d t d 方法韵= 罐稔 三维差分公式，第二方面就是研究a d i f d t d 算法本身的稳定性及数值色散特性。由于 a d i - f d t d 曩有无条件稳定镌，扶舔数值色散谟差裁裁隽了羧蛰j 时闽步长逸致馥主要溺素 “，所以关于a d i f d t d 数 敷色散特性的研究也成为了热点。其中t n a m i k i ，fz h e n g ，a n p i n g z h a o 及g u ill ns u n 在这方纛郡骰出了秘应瓣工馋，并褥出了各骞黪结论。第三 方面则是集中在研究适合a d if d t d 方法的吸收边界条件，引入的吸收边界条件最根本 熬骥瓤裁是不韪破坏a d i f d t d 无条件稳定豹特蛙。g a n gl i u 绘出了适合a d i f d t d 遭萎i 的p m l 吸收边界，近期s h u m i nw a n g 提出了一种改进的p m l 吸收边界条件。第四方面就 是鼹a d i f d t d 方法茨改进，无论楚嵩玲a d i f d t d 方法”“3 还是e n v e l o p ea d 一f o t d 方 法3 ，其改进的目的都是为了克服数值色散误差对时间步长选取的限制。在最近的研究 中，g u i l s u n 开始了对一维a d i f d t d 方法”“震玎了研究。 2 中嗣民用航空学院顶l 。论义 1 9 9 9 年t n a m i k i 提小a d i f d t d 方法( l - 维) t 。n a m i k i 将蝻i f d t d 方法推r 刽三维 2 0 0 0 - - 2 0 0 2 年 基于a d i f d t d 的稳定性利数值色散特性研究 接导适合船i f d t d 的吸收边界( p m l 吸牧边界条传) a d i f d t d 数值色散特性研究 2 0 0 3 年 芙，p ! d l 吸收边界条仆娓数避 高阶a d if d t d 方法研究 e n v e l o p ea d i f d t d 方法研究 2 0 0 4 年 一缎a d i f d t d 算法的研究 1 4 本文的主要工作 袭1 1 d i f d t d 国内外研究现状 零文针对a d i - f d t i ) 方滋所骰酶工作可潋分尧两大部分，期二缭a d i f d t d 阉题和三 维a d i f d t d 问题。 在二缝瀚遂方露，绘出了其下波豹差分计算公式，分辨了荬谤葵赘浚毽及其中关 于对角型方程的求解等细节问题：利用冯诺依曼方法分析了二维a d i f d t d 方法的无 条件稳定 生；雄导了遭台a o i f 瓣d 粒一玲稳二除m u r 吸收l 焘赛条 譬及英关于啜收熊点 的处理，介绍了一种改进的p m ln 搜收边界条件；分析比较了t n a m i k i ，f z h e n g ，a n p i n g z h a o 及g u i l i ns u n 撼出豹题秘不同簸数关系式，并裁雳牛啜迭代法对其数谯色 散特性进行了全面的分析，得出了相关的结论：提出了一种改进的 d if d t d 算法，通 过添捆各自舞性介鼷来对谯速误差送行穆正，这耪方法不会带来计冀资源的增加：段后 编程实现了a d i f d t d 算法并将其与实际运用结合起来，计算了一魃实例。在三维问题 上，绘出了其差分公式，就其数值稳定性进行了证明，利用麟维的方式对其数值色敖关 系进行了详细的分析。最后，本文对新近提出的u s f d t d 方法进行了部分研究分析。 ! 里曼旦堕! 鲎堕塑1 堡兰。一 p h _ _ - _ _ * _ _ _ _ _ _ h _ m _ h h w 一一。 2 1 弓| 言 第二章二维a d1 - f d t d 方法基本原理 介绍了二维a d i f d t d 方法的基本原理，给出了数二维a d i f d t d 的差分格式，对其 关毽豹对爱黧方程缀静求麓送行了详终的分橛，弗鼹方法豹稳定拣送行了理论迁骥。 a d i f d t d 方法中时州步长的选取不受到c o u r a n t 条件的限制。然而数值色散误差却成为 了隈髑时蓠步长靛羹簧霞素。关于a d i f d t d 数篷鱼熬关系豹磅究媳成为了近期国痰外 研究的热点问题。在本章中，比较了几现有种关于二维a d i f d t d 数值色散关系式并 稳翅拳顿遮 弋法，对英迸芎亍了全嚣熬分极，缮出了穗关的结论。 2 2a d i f d t d 基本原理 2 2 1 二缝a d i f d t d 差分耩式 考虑空间一个无源区域，其媒质参数不随时间变化且备向同性，其二雅t f 波的麦 克欺韦旋度方程在纛角坐标系中写成分量式为： 0 h a e ， 孤a t 一一a h ：。堡 ) 一一= s 一 、 - 1 ， 抵0 t 8 e 二a e a h 融 。8 t 怒a d i 撬零应搦到f d t d 弱迭代公式中，嚣要把第n 步到第n + 1 步的计算分成鹾次 来进行。具体迭代公式为： 过糨 f 6 + 必，击霹6 + 必州卷 沁? 6 + + ) 掣0 + 必，歹一l 4 ( 2 ，2 ) ! 旦垦旦堕! 兰堕塑! ：丝兰 e 川小) 划y 必) 1 基 沁? + z 6 十必，j 十必) h ：+ 烂0 + 必一) ( z - 3 ) ，钷+ ，j + ) = h ? e + 必，+ 必) + ( 丢知 姒+ 必+ ) _ o + 必圳盎) 呸e 扎+ + 必) 一：”k i ，7 + 必) ； ( 2a 过程二 e t ( i + ，小彰必6 + 必圳鑫】 口? 唯+ + ) 一h ? “0 + 必，一必 ( z - s ) 口) = e ：+ + 必) - ( 盖) b ! + k 6 + ，+ ) 一j h ：+ “0 + ，一) ( 2 6 ) t , + l 0 + ，+ ) = ：+ 烂e + 必，+ 必) + ( 差j i + 必+ ) _ “0 + ，辨( 盖l 印咒i “+ 必) 一e ：i + 烂6 + 必l ( 2 7 ) 在过程一中，通过公式( 2 2 ) 一( 2 4 ) 町以计算出计算区域各个网格点在n + 必 时刻e ：+ 凡，e ：+ 凡，h _ 分量的大小，过程_ 中，利用( 2 j ) 一( 2 7 ) 式则可以得到在 + 1 时刻e ，e ，n + l ，h ，分量的大小。可以发现，两个过程中对于磁场和电磁的值都是 同时计算，、而在一般的f d t d 算法中，电磁和磁场在时间上总是相差半个时间步，也就 是说计算某时刻电场大小时利用的是半个时间步自h 的磁场值，同样计算某时刻磁场大小 时，也只会用到半个时间步前的电场值。但是a d i f b t d 方法却是同时计算电场和磁场 的信两者存时闻f # 不存存半个时帕”p 的差。 = = 塑麴塑墼 2 2 2 对角型线性方程组求解 彰一她+ 譬h f + 脏嘶小) 2 飞学je 圳2 & a k x ) 虹0 + + 彤) - ： ，+ + e 割融i + ，+ z ) 一t + ，) + f i 一，) e 6 一，+ ， 掣魄川) 一 ( 譬h m + 1 ) 2 弋学p - , r + i r 俐+ 2 a y ， 睇喘6 + ，一，) 一彰嘎6 + ，+ + f ，尝 k + i “l + ) 一e 0 6 + ) + e 钷“一- e , - 一蟛 终十牛要兰：。1 ， ，姜。e y 凡分量时随着少坐标的变化逐行( 具有相同。坐标) 线性方程组，该线性方程组为对角型系统苴黼拳艚删i ：_ r 一“”。拦怖 f o r i 。1 ： b e t = b 1z l = 6 p ， f r i = 2 3 n jg - 2 c “b e t , b e t = b , - a , g , , x , = 睁j n l x 。、f b e ? f 0 7 江肛l ，一2 地：一一 而文献9 3 给出的方法程序流程如下 ( 2 3 ) ( 2 5 ) 扫捕组成 ( 2 8 ) 中国民用航辩学院硕士论文 f o ri = 1 ：x 1 = c i b i g l = f 1 a 】 f o ri ：2 ，3 ，k ，n 一1 ：x ，= 口。( b ，一“，* 。) g = t 一掰g ，) ，( 6 ，q 芹，1 ) f o ri = n ：t = 屯一群。g h 弦娩一寂；算) f o rf = n j ，n 一2 ，k ，l ：x 。2 9 ，一并i 羔，矗 这两种方法都魁利用离斯消元的原理，通过前向和后向迭代进行求解，其计冀蘑正 魄子未翔辩鹃争数鼯，两不是正讫予矿。藜耱方法也是鹃蕾许多关予繁炊线经方程蠢 求解的参考资料中，普遍使用的方法。z h a o ，a n p i n g 在”搬出，方法一可能出现不稳定 的情况，所班，第二种方法更加髓保证稔定性。 嗣理邋过( 2 5 ) 求分量时，随着x 坐标驰炎诅：逐行( 具确1 楣同y 坐标) 扫描组 成线性方程组，该线性方稷组同样也为对角型系统，可以按照相同的方式进行求解。通 过上蘸嚣节爨分橇西强褥劐a t ) i f d t d 方法豹计算流程，搬蹑2 - 1 所示： 2 。2 ，3 稳定褴证臻 囊瀑麓 嘲2 - 1a d i - f d t d ( = 维t e 波) 的计锋流程匿 关于a d x f d t d 方法的稳定性，可以威用冯诺依曼方法”1 来分析上面公式中两个 过鼹魏稳定穗，竣 e = 嚣。占e x p 卜j 融x 十，y ) 。= 露邶e x p 0 歹诲，x 十砖y 蓦 7 ( 2 9 ) ( 2 。i o ) 中国民用航空学院碗卜论嶷 i t ：= h = 。# 。e x p - - ，批。x + ，y ) 其中。k 。分别代表沿x y 方向的波数，f ，代表过程一的增长因子。 将平嚣波本鬣模代入过程一黪式( 2 ，2 ) ( 2 ，3 ) ( 2 ；4 ) 可以德到下列关系 咄。+ j ( 面a th 挲2 皿 k 铲+ f i 矧掣k l 繇pjl； 和；毯。( 剖豳( 查擎2 卜，s 撕，3 h ：o 占1 面a ts i 珏( 竽卜，挚n ( 竽b 曩 整理成为廷黪豹形式 毛l o 一，等i n ( 竽)吖面8n i 彳 o 】 弦。去豳降)声t 丙懿n i 专j 一倦) s ，n 竽 侩h 竽p 一 由该骞次方程鳃枣菲零瘿豹袈俘，剐袭数缒黪豹 亍到式为零，可雩导 p g 厂2 1 + q = 0 其中 川十( 盎卜j 降) + ( 志卜! 由于p ，g 墩值都大于1 ，可以得出： 1 j 4 p q l f 2 一 尹 f 炙 je 1 0f o l 五：。 ( 2 1 1 ) ( 2 ，1 2 ) ( 2 ，1 3 ) ( 2 1 ) ( 2 。1 5 ) ( 2 1 6 ) ( 2 17 ) ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) 同样，为了计算过穰二的增长因子f 2 ，将平面波本征模代入过程二的式( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 ，7 ) 鼯：哦+ 歹s i n ( 竽卜 8 ( 2 2 0 ) 中田民用航卒学院坝 论史 一旷，( 塞h 竿卜 日：一一j 盖s i n ( 竽卜：- ，面a ts i n ( 竿 e 。 整理成为矩阵的形式 同上面的分析一样，可以得到 则整个过程的增长因子为： 代入后整理可得 o ，鼢i n ( 竽 s ： ，( 去 幽 竽 9 2 1 1 j _ p q 一1 s = o 一 2 q ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) 阱 ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) h = 圳白 = 塑= 1 ( 2 2 6 ) p g 则可以证明二维a d i f d t d 方法具有无条件稳定性。可见虽然a d i f d t d 的在一个时 间步的计算中分成了两个时问步，但正是因为这样的两个过程使二维a d i f d t d 方法具 有无条件稳定的特性。 2 3 二维a d i - f d t d 方法的数值色散分析 在时域有限差分法( f d t d 方法) 中，为了保证计算的稳定性，时间步长的大小受到 c o u r a n t 条件的限制。为了克服c o u r a n t 条件，t n a m i k i 提出了交替方向隐式时域有限 差分法( a d i f d t d 方法) 。a d i f d t d 既具有无条件稳定性，还具有一般v d t d 方法的简单 性。在a d i f d t d 方法中任意选取时f 日j 步长都可以保证算法的稳定性，时间步长的大小 主要受到数值色散误差的限制“”“。因此关于a d i f d t d 方法的数值色散研究便变得 十分重要。 竺： 七一 o，义旦脚 ， 一 中闽醚用航宁学航顿t 论义 2 3 1 研究现状 在近期的研究中，关于a d i f d t d 方法的数值色散关系给出了三辱申关系式。 ：3 中给出的a d i - v d t d 色散关系式如下： s i n _ c o a t = 妊”? ) c 。s 妞f ) ( 2 2 7 ) 6 中给出了x - a d i f d t d 和y - a d i f d i 、d 两种色散关系式： 嘲2 ( 警p “知s 2 c 竽j 妲2 固 啪2 ( 警一砖毋( 警) z f 7 推导吐5 了下列的关系式： s - n 2 陋冲褊 f 2 + 3 0 ) 其中 o = c a t s i n ( k 。出2 ) 缸 ( 2 3 1 ) o = c a t s i n 晦，a y i 2 i y ( 2 。3 2 ) k ，= k c o s o ( 2 3 3 a ) = ks i n o( 2 3 3 b ) 甜代表介质中渡静频率大，l 、，o 代表计繁奔蒺中静渡簧撵速凄，艇为a d i f d i 、d 方 法实际计算勺时捌步长，搬，却分别代表沿z 方向和沿，方向的网格大小，硒七为波数， 护为波的传播方向。其中 3 6 的推导存在明显的错误，在其推导过程中两种理论都假 设& d 卜f d t d 中的两个时闯驱步的增长因子相等，实际上这是不正确的。 7 从增长翘阵 ”出发推导得出色散关系式。 葱在最新的研究 8 中，通过分撕两个时问照步增长因子的楣位大小，给出了种 合理并且相对f 确的数值色散关系式。 耐( 警卜+ r ，2 + 搿 将( 2 3 4 ) 代入( 2 3 0 ) 中，可以发现( 2 3 0 ) 式仍然成立，所以关系式( 2 3 4 ) 稳( 2 3 0 ) 怒等份熬。然两关系式( 2 3 4 ) 豹摆导过程 l 对于( 2 。3 0 ) 要援荸方便多， 它可以避免求解复杂矩阵行列式的大小。 中国民用航空学院硕i j 论史 2 3 2 牛顿迭代公式 关系式( 2 3 4 ) 虽然形式简单，但是要从中观察出数值色散误差同其它参数的关系 却具相当的难度。在此，可以利用牛顿迭代的方法，结合编程语言( f o r t r a n ，c 等) 和 可视化：r 具( o r i g i n ) ，对二维a d i f d t d 的数值色散关系式进行全面的分析。其波数k 值的迭代公式如下： k = k ，一； ( 2 3 5 ) 。s i n ( k , c o s 心i 竽血卜2 f 2 s i n ( 1 ”, n 唧 , f k 丁s i n t 9 缈) 其中a = i l 二上+ _ r 二二j c 祧i n ( 啦。s 心) ( 等旦缸) s i n2 沁s i n 吲引l j，。!：!：!，。，一j一 a x 2 a y 2 c 4 f 4 s i n ( 和j n 脚) ( 生警缈p 化c o s 触2 ) + t 孓妒一 b ：c z a f l s i n 2 ( k , = c o s o z x x 2 ) + 血2 c 2 a t 2 s i n 2 ( k i ：s i n o a y 2 ) + 衄= ( 2 3 6 a ) 型型挲型型号芦趔2(坐(236bax 2 ， ! y 一 对于牛顿迭代公式，最佳的初始值k 。：一c o ，即耿理想情况下的波数。这样就可以 分析a d i f d t d 方法中的数值色散误差，其关系式如下所示： 生：j l ：生( 2 3 7 ) c k m ，c k m ，f k 。即为牛顿迭代公式最后一次迭代后得到的k 值， 般只需要迭代两至三次就可 以完全逼近，能够达到牛顿迭代法的最优计算值“。 2 3 3 数值色散分析 在f d t d 中，c f l 条件”为 ! 堕垦旦鉴至堂堕婴兰堡兰 a ts a t 【l l a f d x t d f 彳一 叫丽+ 研 为了方便分析a d i f d t d 数值色散特性，我们作如下定义 c f l n ：盖 f 篙“ 氲：兰( a 代表波长) r ：竺 y ( n = 2 0 ，r - o 5 ，c f l n = o5 ) ( a ) ( 2 3 8 ) ( 2 3 9 ) ( 2 4 0 ) ( 2 4 1 ) ( n = 2 0 ，r = 0 5 ，c f l n = o 8 ) ( b ) 图2 - 2 满足c f l 条件下f d t d 与a d i f d t d 色散误差比较图 通过上面图2 - 2 a , n n2 - 2 b ，可以发现在满足c o u r a n t 条件下，a d i f d t d 的数值色 散误差比f d t d 的数值色散误差要大。 通过图2 - 3 a 到2 - 3 d ( 见下) ，可以清晰的发现，取定n ， 无论r 为何值，只要时间 步长址趋近于0 ，也就是c f l n 取很小值时，a d i f d t d 与普通f d 、d 这两种方法的数值色 散特性曲线几乎完全重合( 只有微小的差别) 。 旦垦旦堕至堂堕堡主堡苎 ( c f l n = o 0 5 ，n = 2 0 ，r = 5 ) ( a ) t h e t a ( c f l n = o0 5 ，n = 2 0 ，r = 3 ) ( b ) ( c f l n = o0 5 ，n = 2 0 ，r = i ) ( c f l n = 0 0 5 ，n = 2 0 ，r = o5 ) ( c ) ( d ) 幽2 - 3c f l n 取值很小f d t d 与a d i f d t d 色散误差比较图 计e i a n - 2 0 r - 5 ( a ) 1 3 n = 2 0 ，r = i ( b ) 中围民用航空学院硕i j 论文 n - 4 0 ，r = 1n - 4 0 ，r - 5 ( c )( d ) 图2 4 不同c f l n 取值a d i f d t d 数值色散误著比较图 通过图2 4 a 到2 4 d ，可以发现选定n 和r 以后，随着c f l n 的增大，整个色散曲线 呈下降趋势，数值色散误差越来越大。 o o e 6 多 兰 m 蒿 e n = l on = 2 0 ( a )( b ) 图2 - 5 不同r 取值a d i f d t d 数值色散误差比较幽 通过对图2 5 a 和2 5 b 数值色散误差曲线的分析，可以发现当n 选定后，随着r 的 增大误差曲线呈下降的趋势，即最大色散误差变小。 中国民用航宅学院硕j ：论文 n - 2 0 ，c f l n - 5 ( 图a ) n = 4 0 c f l 净5 ( 幽b ) n 2 2 0 ，c f l n = 1 0n = 4 0 c f l n = 1 0 ( c ) ( d ) 阁2 - 6 不同r 取值a d i f d t d 各向异性比较图 从上丽圈26 a 到2 6 d 中，可以发现n 和c f l n 取定慰，随着r 鲍增大，两组曲线 都会有下降趋势，当r 取德达到5 时，各向异向性。“已经表现的很小。而且，n 越大， 在楣同的r 和0 取馕下，其色散误蒺就会越小。 在图2 7 a 和阂2 7 b 中分别取允许最大色散误差为1 和3 ，可以发现c f l n 在一 定的误差下，随着r 的增大丽增大( 呈线性关系) 。在相同r 下，n 越大，c f l n 取值越 大。 中国民用航空学院颁士论文 2 4 本章小结 rr ( a )( b ) 图2 7a d i f d t d 方法r 与c f l n 的取值关系图 本章给出了二维a d i f d t d 的计算公式，并从理论上证明了该算法的稳定性，分析 了算法具体实现的一些关键环节。针对a d i f d t d 方法的数值色散特性这个热门研究课 题，给出了一定的分析提出了一些见解。 中国民用航空学院砸l j 论史 3 1 弓i 言 第三章吸收边界条件 时域有双差分法是在计簿扭的数握存旗空间中对连续的实际电磁波的传播过稷在 时间进程上谶行数字模拟，在电磁场的辐射，散射等问题中，边界总是开放的，电磁场 将占据无限大的空阐，由于计算枧的内存总怒有限的，教只能摸拟有限空涮。因而吸收 边界条件便成为时域有限差分法中截断边界的重要条件。虽然不可能达到完全无反射， 但是已提出的m u r 吸收边界条件”“，完全逛配层( p m l ) 吸收边界条件呻1 可以达到相当 满意蠹q 效果。 a d i f d t d 也需要刹用吸收边界条件来截断计算区域，选择与a d i f d t d 差分格式帽 配合的吸收边界条镣的原刘建：啜牧边赛条件的弓l 入不酸坏时阉步进程静无条件稳定 性。本章中，我们将推导适合a d i f d t d 的一阶m u r 和二阶m u r 吸收边界条件，并对其 是否彩确a d i f d t d 簿法本身翡稳定性送行分褥。最螽奔绍一晕孛离散豹完全嚣淝屡( p m l ) 吸收边界条件。 3 2m u r 吸收边界条件 m u r 吸收边界条件是f d t d 方法中常用的种简单有效的差分数值算法，利用这些吸 收：透莽条件来截断f d t d 仿冀区域，箕总体虚假反射在1 一s 之闯，能够满足许多工 程设计的要求。在a d i f d t d 方法中觊可以利用这种吸收边界。 3 。2 1 一除m u r 吸 | 殳边暴条 譬 穰据淄绘出酶f d t d 中t e 渡的m u r 吸收边界条件，可以采用稻同的方式獾导岛适合 a d i f d t d 的m u r 吸收边界条件。 左边界 孕一三掣：0 ( 3 1 ) 瓠ca 一 中困民用航卒学院颂i 。论文 ：f 。坛一何? + i + + 必) 一? + 0 + 巧+ ) i h 一+ k 一石一 a 二；，j _ k 西，+ 必 h ? + k 0 + 1 ，十)h 1 6 + l + ) 厂 1 、 为消去上式中( f + 1 ) 和l ”+ 言j 半整数点的值，利用线性插值关系 扎，+ 必) ：熊 p ，垤) + 0 6 + ，1 2 2 + ) 2 巧小) ：望盟丛娑丛丝趔 代入整理得： ( 去+ 壶) h ；+ 必e + 必，+ ) = ( 去+ 1 1 川e + + ) + ( 去一击) h ；+ m 6 + ，+ ) 一彤e + ，+ ) 最后 h ；+ 锤+ + 必) = 彬6 + ，j 十) + 五c a t 瓦- 2 a x ：”必6 + ，+ ) 一彤6 + 必，+ 必) 右边界 一3 t 1 _ + 三塑：o 坠一竺塑：兰：! 二丝! 二竺垫：! 乏：二鉴) 融i u + 必一a x 堡m ：丝堕丝) 二盟尘丝) o t + 必 吆 h ，0 ，+ ) j v ；+ 烂6 + ，+ ) + h ：+ m c 一+ ) 2 ：+ 慨+ 必) ：型盟丛丛2 丛丝幽 8 ( 3 2 ) ( 3 3 ) ( 3 4 ) ( 3 5 ) ( 3 6 ) ( 3 7 ) ( 3 8 ) ( 3 9 ) ( 3 1 0 ) ( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) 一! 璺照望塾! 堂堕竺! ：堡墨 一一 - _ - _ h _ ，_ h _ _ p _ _ _ _ _ m r 一。一 h ：k i + z ，+ ) = 娥( 】! 一+ ) + 五c a 忑t - 2 z - c f ：+ 只0 一，+ 必) 一日1 0 十，+ 霸 上边弊 丛+ 一1 一o h ：o 矽 ca t 8 h = p 丘 百卜k ， 日6 + ，j ) 堡：兰l ! 丝：! ：丝生竺：兰! 二丝：! 二丝1 2 喇+ 缈) ：逝掣巫趔 日；+ 必i + 必，+ ) = 彬i 十一必) + 五c a 蕊t - 2 a x ：+ k 0 + 必，一) 一彤i + ，+ l 下边箨 堡一! 盟：o 势 c 魂 一兰兰l ：丝：! 三丝) 二望；：兰! ：丝：尘丝! 衄 糍川：丛遂尝：型 彰。m 心弘，) ：坐n + l2 鲤丛掣盟坦型 嚣：+ 名多 ，j ) ：! ! ：! ! 二：! 垒二! 二：! 2 三! ! ! ! 二趔 好；+ m 6 + ，歹+ ) = 彤i + 2 2 ，+ ) + 竺暑篆 ；+ “c 十必+ ) 一? c + 2 ，+ ) ( 3 1 3 ) ( 3 。1 4 ) 3 1 弱 ( 3 1 6 1 ( 3 1 7 ) ( 3 1 8 ) ( 3 ，1 9 ) f 3 。2 ( 32 i ) ( 3 2 2 ) ( 3 2 3 ) ( 3 2 4 ) 残曩一 辨卜 堕砂 幽 磷一 心砺 缝一 进 峨幔 纛 堡砂 中凰鼹用航空学院硼j j 论文 上面推黪了在过程一中，左右边界和上下边界的阶m u r 吸收边界条件，耵百过程二的 推导鞠过程一是褶司静，换句话滋过程一中捻导豹一阶醒u r 骧莰透赛条停懿公式在过程 二中 虹适用( 只是所肖的分量在时间步上增加了半个时间步) 。 3 。2 。2 稳定性证明 m u r 寝羧边孬条 孛运爱予a d i f d t d 孛对，是歪会影璃荬方法懿无羧稳定性，我们还 是可以从两个过程中的增长因子f 。，g ：出发，利用冯诺依曼方法来进行理论上的证明。 f c - 一一x c 垒+ 缸 当是。船_ 0 孵( 帮空溺阚揍大小远遴小于波长) ，。8 # “寸1 。粼蚓一i 。 ( 3 2 5 ) ( 3 。2 6 ) 嗣理可溅撂| ：l = l ，从而b i f ，i = 1 。所以m u r 吸收边界条件并不会破坏a d i f d t d 方法得无限稳定性。 3 2 3 二阶m u r 吸收边界条件 一o h ：三堡+ 竺堡：oo xc 馥2 0 5 , 堡卜咒，：兰：兰l 丝：! ：丝! 二! ! ! ! ! ! l ：丝：! 二丝j ox卜“+玛a2 警阮：丛堕罐业趔 ( 3 ，2 7 ) ( 3 。2 8 ) ( 3 2 ) 缸一缸 一 | | 十 &一。一船： c e 一 甜 敷一缸 | l 一 一 十 黾 越一：一出一： p 撕一缸 一 一 + 盛一：一越一： c 0 一 主里墨旦堕! 堂堕堡l ：丝：! ! ! ： 斋= 丛丛号型幽 为消去上式中( f + 1 ) 和( ”+ 去 半整数点的值 州扎，+ ) ：型鲤坐丛2 丝呶剑 片6 + + ) 竺兰! ：丝! ! ：丝2 ：巫丝：! 丛) 2 f m u + 1 ) ：坐塑剑# , 1 + i 地4 趔 e ：+ 丘( f + 。，) = 兰! ：兰l 二2 l ：! ! ：兰：! 三i ：2 ：! ) ：! ：! ! ：丝：尘：曼! ：丝! + 1 ，+ ，1 。 ! ：竺l ：丝：尘 4 代入整理得： h ：+ 巧i + ，- ，+ ) = 彰e + 3 2 ，+ ) + 篡导篡 阿k 0 + ，+ ) 一h ! i + 必，+ 必) 十五2 c 而a r a t 杀 e 6 + + ) + f e + 2 ，3 川) + 0 + 凡+ ) 拶1 洲 4 竺! ! ! 二丝：立：竺! ：丝：! ! ：兰：