（概率论与数理统计专业论文）指数ornsteinuhlenbeck模型下的期权定价.pdf

摘要 麓投定价理沦慧瑷我金融学豹重黉瀣成酃分，与投资缀合纛论、资本资产 定价理论、市场有效性瑕论以及代理问题一超，构成现代金融学的五大理论 摸块对予健统静b t a c k - s c h o l e s 模褒，图文夕 学誊邑经敛了大量疆究工作，获 得许多对金融实践宥指罨意义的结果+ 但是，在股票价格过稷服从对数破态 分泰戆缀设下，常数鹃聚簦牧益率意骧善隧饕霹鬻翡变纯，羧票蛰掇将会鸯 朝同一方向变化的趋势实证研究表明，殷隳的灏期收益率往往是波动变化 的，可b 是依赖时间靼股票价格的瞒数，因此众多学者放宽b l a c k s c h o k * 模溅 的某些假设条件，掇出了各种期极定价模受 本文考惑戆是掺数o - u 隧瓤避程摸臻，在滚摸鬃下，当黢徐上嚣舞一懋藉 度后，参数“使股价有1 i 降的趋势，从而更符合股价运动的实际特点本文 运用鞅论、随机分橱等数学工具，研究了指数o - u 随机过程模裂下著于期掇 定价闻题，绘出匪颟墅期权的寇价公武，对随机褐率下的指数0 u 随机避糕 模型进行宠徐，并裁建繁“跳”黪掇数0 一u 扩爱攘熬，推譬爨期投徐值方程及 福应定价公式 具体来说，主要得到了如下结果： ( 1 ) 在段祭价格服从锩数0 一u 随橇遮程，剽率为常数的模麴假设f ，剩蛹 风陵中瞧定徐溅爨，分溪定疆终徐程漤凄矮绝徐瓣静馕影，褥爨了匿矮登期 权的定价公式，并分别给出了买权和爽权的平价关系； ( 2 ) 在股票价格服从攒数o - u 随枧过程，利率力连续隧秽l 聪窭的模溅缓设 下，给出了期权价德方程以及欧式雹涨期权鹣定价公式； ( 3 ) 寝黢祭爨强敝获攒羧0 u 随撬过程，程率为魏一扩鼗越程翡模缀缀设 下，给出了期权价值方程以及欧式看涨期权的定价公式； ( 4 ) 创建带谬跃鲍指数o - u 隧枧过程扩展模登，并在裁率兔跳一扩激进鼗 的假设下，输出了稻应鲍潮权价镳方校以及欧式蓉涨期权的定价公式 荚穗谲；攒数o - u 镆登，隧税簿j 率，魏一扩敲过程，鞅方法，i 撼公式 a b s 鬻r a c t o p t i o np r i c i n gt h e o r yi sa ni m p o r t a n tp a r to fm o d e r nf i t l a n c et o g e t h e rw i t ht i l ep o r t f o l i o s e l e c t i o nt h e o d j t h ec a p i t a la s s e tp r i c i n gt b e o l y , t h ee f f e c t i v e n e s st h e o r yo fm a r k e ta n da c t i n g i s s u e i ti s r e g a r d e da so n e t h ef i v et h e o r ym o d u l e si nm o d e r nf i n a n c e m a n ys c h o l a r sh a v e d o n eag r e a td e a lo fr e s e a r c h e s0 nb l 地s c h e l e sm o d e la n do b t a i n e dal o to fr e s u l t sw h i c hi s i n s t r n c t i v e t o f i n a n c i a lp r a c t i c e h o w e w r t s u p p o s i n g t h a t t h e p r o c e s s o f s t o c 蠡p r i c e i s o f l o g n o r m a l d i s t r i b u t i o n ，i n v a r i a b l ee x p e c t a n ty i e l d sn l e a n sm o v e m e n to fs t o c kp r i c et o w a r d sj u s to n ed i r e e - t i o n a l o n gw i t ht h ec h m l g eo ft i m e ，d e m o n s t r a t i o ns 弧n l i e sh a v ei n d i c a t e dt h a tt h ee x p e c t m l t y i e h t so fs t o c kp r i c e sa r ea l w a y sl l u c t u a n t ，a n dl u a yb ef u n c t i o n sd e p e n d i n go ut i m eg i l ds t o c k p r i c e st h e r e f o r e ，m a n ys c h o l a r sp n tf o r w a r da l lk i n d so fo p t i o np r i c i n gm o d e l sb yr e l a x i n gs e i n e a 8 s u m i n gc o n d i t i o n so fb l a c k s c h o l m o d e l i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，w ec o n s i d e re x p o n e n t i a lo r n s t e i n - u h l e n b e e km o d e l ，w h i c hc o r r e s p o n d t ot h ea c t u a le h a r a c t e r i s t i c so fs t o c kp r i c em o v e m e n tb e t t e r t h a ti s p a r a m e t e re l c a u s ed o w n 。 t r e n do fs t o c kp r i c ew h i l e r i s i n gt os o h ed e g r e e t h i sd i s s e r t a t i o ns t u d yo p t i o np r i c i n gp r o b l e m s u n d e re x p o n e n t i a l0 r n s t e i n - u h l e n b e c km o d e lb yi n e a n so fm a t h e m a t i c a lt o o l ss u c ha st n a r t i n ， g a l et h e o r ya n ds t o c h a s t i ca n a l y s i s p r o v i d et h ep r i c i n gf o r m u l ao fl o o k b a c ko p t i o n s 、m a k ep r i c e s o f e x p o n e n t i a lo r n s t e i n - u h l e n b e c km o d e l n n d e rt h eh y p o t h e s i so f s t o c h a s t i ci n t e r e s tr a t e a n de s t a b l i s ha n g e n e r a l i z e de x p o n e n t i a lo r n s t e i n - u h l e n b e c km o d e lw i t h u m p ”，t od e d u c et h eo p t i o n v a l u ee q u a t i o na n dt h eo p t i o np r i c i n gf o r m u l a t nd e t a i lw eh a v em a d em a i nc o n c l u s i o n sa sf o l t o w s ： ( 1 ) u n d e rt h eh y p o t h e s i so fe x p o n e n t i a l0 一um o d e la n dc o n s t a n ti n t e r e s tr a t e ，u s i n gr i s k - n e u t r a lp r i c i n gp r i n c i p l e w eo b t a i nt h ep r i c i n gf o r m u l a so fl o o k b a c k o p t i o ni nt w oc a s e so ff i x e d s t r i k ep r i c ea n d f l o a t i n gs t r i k ep r i c e ，a n dt h ep a t - c a l lp a r i t yr e l a t i o ni sd e d u c e d ； ( 2 ) u n d e rt h eh y p o t h e s i so fe x p o n e n t i a l0 一up r o c e s sm o d e la n de o n t i n a o u ss t o c h a s t i ci n t e r e s tr a t e ，w eo b t a i nt h eo p t i o nv a l u ee q u a t i o nm i dt h ep r i c i n gf o r m u l ao f e u r o p e a nc a l lo p t i o n ： f 3 ) u n d e rt h eh y p o t h e s i so fe x p o n e n t i a lo - up r o c e s sm o d e lm i n e o n t i n u o u ss t o c h k s t i e i n t e r e s t r a t e ，w eo b t a i nt h eo p t i o nv a l u ee q u a t i o na n dt h ep r i c i n gf o r m u l ao fe u r o p e a nc a l l o p t i o n ； ( 4 ) w ee s t a b l i s ha ng e n e r a l i z e de x p o n e n t i a lo um o d e lw i t h j u m p a n dt h eo p t i o nv a l n e e q u a t i o na n dt h ep r i c i n gf o r m u l ao fe u r o p e a nc a l lo p t i o na r ed e d u c e du n d e ri n c o n t i m m u ss t o - c h a s t i ci n t e r e s tr a t em o d e l k e yw o r d s ：e x p o n e n t i a lo r n s t e i m u h l e n b e c km o d e l ，s t o c l m s t i ei n t e r e s tr a t e + 1 u m p - d i f f u s i o n p r o c e s s m a r t i n g a l em e t h o d ，i t 5f o r m u l a 第一章亏| 言 1 1 写捧鹜景与本文段的 1 9 7 3 年f i s h e rb 1 a c k 秘m y ms c h 。l e s i 4 l 提交了著名熬b l a c k - s c h o l e s 荛l 稷定价公 式，意罄提艘设是股隳价格遵循几何b r o w n 运动，鼠股票的预期收箍率朔波动率 涛常数往股票价格过程服从对数正态分布的假设f ，常数的期望i | 芟益攀意 噻着隧着时阉鹃变亿，箴榘份裕将会裔赣瀚一方翔褒纯的趋势然蕊实滠研 究表骥股祭的疆期收蕊率徙往是波动变化抟，可锈是交羧时闻耨羧桑爨格抟 函数，因此众多学者放宽b l a c k 。s c h o l e s 模型的某烂假设条件，提出了铬种期权 定价模登， 在指数o r n s t e i n - u h l e n b e m k 过程隧棍模塑申，假寇风险资产( 如股票) 在t 时 刻懿份掺踯) 满足以下隧攘微分方程： d s ( o * ( 芦一k s ( 辞) 联t ) d t + # 联弦b ( 0 ，s 国；s i 1 ) 英中， 嚣( o ) ；t 铸是定义在概率空闯( n ，芦， ) ，p ) 上静标准b r o w n 运韵， 滤子滚 五 一潢题逶鬻条箨( 宠餐、鼙疆遴增、右连续) 。n 涵。秀常数，整 s 0 ，o 0 ，一 0 常数n 的作用在予当股价j ：升到一定高度詹，它使股价有下 降晦戆势，模麓( 1 1 ) 称为指数o ，u 过程模型，当a 一0 时，( i i ) 即b l a c k s c h o l e s 壤羹哥麓，1 1 ) 穗警予考患饔麓收益搴依赖予黢徐s 国鹃b t a c k - s c h o l e s 模袋。 文漱1 1 8 ；建立了羧徐波凌戆糖数o - u 过摆涟枕模鍪，劳获褥谈横蘩静一骛 性质文献 3 6 】讨论了指数o u 过稷随材l 模型下，离散时间( 糕有限个时间点) 股票价格的最大值潮税酶定价问题本文致力予指数o 。u 道程随机模型下酚 若于嬲投建徐瓣蘧鹣磷究，运麓赣沦、隧撬分橱等数学王襄，攘等窭麓粳份 傻方稷积期权定价公式，试图褥到一些对金融炱践毒实际指导意义黪结基， 以填补我国金融理论在指数o u 过程随机模型邈一模块的空白，促进我圈金 融帝场静繁荣。 第二章讨论了撩数o - u 模登下溺联溪籁权翡定徐阕趱，分为滔部分，第一 部分是关予连续时闯最大壤看涨移最，、照看跌期掇，也就是霹寇履约债隈暖 獭期权的定价问题，第二部分是关于浮动履约价回顾型期权的定价问题，利 鬻期投定价的鞅方法，褥痰欧式买权幂籍卖较的寇徐公式瑷及平价关系第三 章在股票徐掇骚扶攮数o r n s t e i n u h l e n b e c k 隧掇过耧豹缓设下，讨论了其骞遴续 随机利率婀期权定价模型，利用i t 6 公式，推导出期权价值方程秘欧式看涨期 权定价公式第四章程指数o u 模艇下，假设利率过程为跳扩散过程，即 疑套不连续隧撬裂攀，泼魏推导逡蘩投侩篷方器器敬式香涨期投定徐公式 第五章根据股票价格过程和利率过程一样，有时也会出现与连续变动完全不 成毖铡瓣异常变化，堇瑰阉叛豹“黟空”过强这一事实，建设牲缝提出了一穗 指数0 。u 扩展模型，并且在利率过程服从跳一扩散过程的假设下，给出了期 投价值方程与欧式餐涨期极的定价公式+ 1 2 必要的疆冬知识 引耀l 【2 4 ) ：在一个无摩擦的，宪备的连续金融市场中，设有一秘无风险资 产，萁价格过程为： d 氧蛰= p o ( t ) r ( t ) d t ，珏l o ) = 1 ，0 t 2 ，- 有n 种风险资产，其价格过程为： d 只( t ) = p i ( t ) b ( t ) d t + 只( ) 9 “( d 而( ) ，1 i 墨n ， j = 1 只( o ) 一脚 冀孛，蟊) = 承娃，罨( j ) 为带蠛滚戆概率空阕泓辑 黜，瑚上静一拿d 维 标准布朗运动；仍k o 为稚朗运劝z ( ) 产生的自然一一流若r ( _ ) ，也( ) ，一o ( ，) 均 为 z d e o 一德廖霹溅瓣寿雾隧枧过程，瓣 王鼹欧式来定权益f 珐，f 固燕任谤 时间段m 了1 均可定价，并凰其价格y ( t ) 为： y 渤= e q e j ? 7 f “弛i 五】 其中的q 为某个等价鞅测度 引璎2 ：假设股票价格过程满飚指数o - u 过程模型( 1 1 ) ，则有 s 秘) 一s 。一“e x p ( 弘一争2 ) f o 。e n 。d u + m n 。f o t e 口u d b ( “) ) ， e s ( 蛰= 铲”。娃p 渤i 1 。2 ) z 。e - n u d u + l z f f 2 南i t e - 2 “d u ， v a t s 一妒e x p 2 ( p 一如z e ”j ( e x 她2 z e 一e x p 。- 2 z t e2 蝴蝴。 证明；利用i t 5 公掰：以及( 1 1 ) 式， d l n 即) = ( 高) 咧尹1 南) 蚓棚即) 一a l n s ( 彤d f + ( p i l u 2 ) d t + 口d b ( ) ， 因此， 又遐势 掰浚， 容易辩道 跃丽 翮理霹褥 及丽 d o ns ( t ) e 。) = 2 d l ns ( o + i n s ( ) 矿。a d t = e n 。( p i 1 口2 ) d 十e o t g d b ( t ) i n s ( t ) e “= i n s f 秘= e n z 。e a u d u = te - n ( t - u ) d u = z 。e 8 ”a “， s ( ) 一s e “e ，攀 红一荟1 a 2 ) f te - n u d u + 一一d z 。一”d b 如) e i ( 弘一；，) p u 佃“r e 口 u d b ( 酬咄7 12 ) 哪“ v a r i ( 芦一；) r e “瓿+ 一一“z 。矿”d 嚣( 蚓一一2 t e 一2 a u 如， e s ( t ) = 扩“e x 跏一i 1 2 ) f o te - a u d u + i 1 矿五t e 一轴”d n 呼= 驴一“啦严一i l a 2 域t e - a ”d u + 2 a 2 f oe _ 2 0 , , d u v a r s ( t ) = e s 2 ( 0 一( e s ( ) ) 2 一铲“p 2 ( 一扣r e - a u d u ( e x p 伽2 z * e - 2 c t u d u 一咖2 t e - 2 a u d u ) ) 善l 遴3 喊假浚黢蘩徐捺过程淡怒捂数o - u 过程摸型曩1 ) 令 删一r - t z + i a l n s ( t ) 3 8矿 ，毛 k m u 一 联 喇 矿 犍g 竹 + ，五 m “ 2 e 。歹幽 一 l 一2 玲 一 0 o g +s 歉 s 瓣 k e 若妒嘧文菇8 。n j d ” co 。，粼存袭唯一与概率溅度p 等徐翡壤率溅度餐，德撂鑫 概率测度q 下折现过程s 一( t ) = e - r t s ( t ) 是一个鞅过程，若令b q ( t ) = b ( t ) 一f ；o ( u ) d u ， 嬲圭g i r s a n n o v 定理，在概率测瘦q 下，b q ( t ) 是一个b r o w n 运毯，豆 s ( t ) = s e x p ( r 一0 2 2 ) t + z b q ( t ) ， 在概率测度q 下，令 ( 12 ) x ( ) = l n ( s ( o s ) ；( r 一0 - 2 2 ) t + o - b q ( ) ，心。m 。a xs ( “) ，m 沪o m 。l n s 麓拦k ( 嘉磊，s ) = o m 。a ( x x 1 ) ( 。) ，y t = l n ( m t s ) 端o m 。i n x 缸) ( so ) 记尽= r 一一2 2 ，标准援态分布下的累积概率辩( 。= 鬣去e - u 2 2 d u 。n ( 。) = 警= 去e 。，2 ，则根据文献 6 j ，有以下结果： 罢l 鬻4 ：赡，h 定义鹣蕊撒鳃累积概率分布可分蒡表示为 q ( 1 ；s 掣 = n ( 旦二譬) e 矩“矿n ( 掣) + 蓉o ， q ( 婊弘) 兰n ( 二旦：；箬) 一e 2 日p 加2 n ( i i ：蔓譬) ，咎量o ) 推论：班与骄的分布衡度函数分别为： m ) 一番q ( m 矧一顽1n ( 错) 一2 p y a 。2 n ( 等) 十e 2 训扩去”( 等) ， 咖) 一d 品q ( y t - 啦l e 一甜艘【。翌黔i 。m a xs ( ”卜k e - r t e 。豁8 ( n 嗍 c 王c 2 其中，i 一为集合a 的示性函数， 嘞= 尉。叫1 e 【1 o 。9 r a i n t s ( “) ) = 舭一r q o n i k - - y t ) = 讯一彬 1 一q ( y t 1 n 簧) 1 = 飞l 邶二唑a v 笋；一妒分嚣( 譬茅) 盯v = 肌一”1 1 一n ( d 1 ) + ( 菩卢固胪n ( 嘞) 】 = k e - r t n ( _ d 1 ) + 舶卅( 争胪n ( _ d 2 ) ， 翔= f 7 枣毛耋餮s 啵。r a i ! n ，s ( ”婶 = e ”7 哦躺飞蚓商t 一卅謦掣g 泐曲 一”璧一f 去f 警) + 挚胪n ( 铮渺2 去n ( 学聪， = s e ”l 芒一去n ( 鼍等+ 璧e ”弦咖丽y + p t m 十璧一驯矿刍n ( 等学川 抛t = 璧e ”去n c 鼍为笋m = e v 去去州一；c 专争 ；广詈害焉麟p 卜阿一( 妒+ 口2 r ) 1 2 2 2 a 2 t 曲 ；上。5 而妨麟p 一阿一( 妒+ 一2 r ) 1 2 曲 ) = e 7 n ( 一d 1 一口、厅) 湖= 璧e 渺炉劢1n ( 努j 8 学 k 一 = 等扩2 髑泓矿京丽e x p 一；努疗曲 = f 7 群赤娜m 一泌+ a 2 t ) 1 2 2 扩翻# 脚= 群r 2 。# 。e 2 # v d 2 n ( 错m = 2 a 肼2j _ 融o , 鍪e x p 窿；一+ 2 1 2 羽( 警m = 焉璧嚣t 学一学， = 著磊鳅学淤( 等筹 l 噔一謦酬芍溅警) = p2= k s ) 宁0 2 + 2 - n ( 萼茅) 一 璧酬每蕊1 丽1 酬2r 业a x - t 琊 酬 焉啊聊一a 2 + 2 - n ( 萼铲) 一。璧杀嘉酬而蛳t + a 2 t 铲胁2 删翊 鲨脚鲈即如) n ( - 如一面m s e - r t 2 e r t n ( - d l - a ：t ) + 字删印器卧如) 一1 2 r - - _ c y 2 e r t n ( - d 1 - # 行) l ( 2 s - 2 t f - - 0 2 州h 1 一a 4 y ) + s e - r t 宰( 即) 器即d 2 ) 由以上各式，即可证得( 2 ，6 ) 式 推论2 ：在指数o - u 避程模凝下，瓣( 2 ，3 ) ( 2 4 ) 定义匏鬻定覆约徐圈溪登兴 权和卖权有以下平价关系： 瑞：c o 十蜀e 一甜一2 r j + f a 2 s + 舶一打荔0 , 2 ( 百k ) 2 r 一2 9 2 。2 浮动麟约徐的固颓型期投 考虑默艘蘩徐格s ( ) 为标懿资产，以有效期蠢最低价格或激裔价格为敲定 份揍，以r 魏裂裳瓣黪鹾鼷型期权。其申，买权与卖投懿裂期基牧蓥分爨斑 国2 m “溉? ) 一o ! n l 。i ! l l r 踟瑚， ) 酶。m a x o 孥撩s s 咄 ) 必须攒出懿是，容易褥弼， s 黔o s r a 。i n r s s 茹荆o 是r a 。i s n ，s ( 程) - 。g ：器s ( “) s ( 丁) ，淡豁s ( “) s ( 0 ) = 昱 从厩，有 y t 2 i n ( m r s ) 。i n ( 。誉黔s 皿) s ) 曼1 ( s s ) 一0 ， r r 。l n ( m r s ) 。i n ( o i 誉r s n ) s ) k ( 彤s ) 一0 本带讨论指数o - u 模型下，浮动履约价涸顾激期权的定价阐题 定疆3 设殷票价格遵循指数o - u 过程随机模戮( 2 2 ) ，弼( 2 7 ) 所定义的浮 漤履终徐隧鼷熬买投懿定价公式为： 铴篇善竺2 一薯r a i n 。书s ( u ) & 0 一 s n ( d 3 - 筹s n ( d 3 ) 1r t n ( d s 诵 薅。， = ) 一 一( 一等) s e 一一一、厅) 其中，d 3 一警 证明t 囱鞅方法定价理论以及( 2 7 ) 式，浮动履约价的回顾燮兴权在零时瓤 价氇为： 岛= e e q m a - x s ( t ) 一哪r a i n 。s ( n ) ，o 1 e e q s ( t ) 。r a i n 。s ( u ) i = e 一疗e q 陬) 】_ e - r t 酽 。m i ! n 。s ( “) 】 然c l c 2 1 0 其中， c 1 一e 1 1 e ”p 1 1 ) j s 、 c 2 = e 胡萨【。! m 。i s n r 荆】 一e - r t e q s e ” 。7 皮e v 9 ( 州g 。盯一州丽1 “( - y 。面+ h t ，、+ 咖2 彬7 咿- w 驯一寿n ( 错) 】d ” 。s e - r t 。t e ”嘉n t 号茅+ 一攀e 2 h v * 3 n e 筹狲 + 执2 划萨去m v ，+ p r t ，) 蚓 晓，一丽1n 等 一去去唧 1 二 警搿静 = 一去去唧与1 ；y - ( 。t 谚+ a 2 t ) ， ：上去e 书 = ，7 n t ( - 4 t 劢- e r r 2 t j 一e t n ( 一d 3 ) ， 啦。= 执驰胪嘉1n ( 等努j 一o o i 劢1 孺1 c 2 r , 口2e x p 一象万y + f t 一曲 = e 一去去唧与1 【虹霸霉舟曲 一4 n f 一南) ， 啦。= 誓渺胪n ( 警 = 碧渺n 努8 j 一0 l = ；n ( 等努) d 别1 1 1 = 妒咖2 n t 专第灌。一删矿删等等 = 知器) 一丽1 而1 扣妒耐一j 1 1 丽y + f ”t 舟, 铡 = 细磊卜z 箩去e 每1 = ( 1 一爵0 - 2 ) n ( d 3 一a 面) 一( 1 一孬a 2 炉n ( 一如) ， 及露， q 2 s e r t ( c 2 1 + c 2 2 + c 2 3 ) 一s e - r t f 2 妒7 联一嘲f l 一筹) n f 磊一一c f ) i 一妒? n 一如) ； 一( 1 + 筹) s n ( 一如) + ( 1 一筹) 舶一r n ( d 3 一一沂) ， 岛= e l 一晚 一s n w a ) 一蓦s n 一勘一l 一雾) & 一一n 涵一一踊。 根据到期甜收益( 2 8 ) 式，运掰鞅方法定价，可得激指数o - u 过程模獾下， i 攀动疆绝价露滋鳌卖校酌宠徐公式， 定璎4 没殿票馀格懑德接数o * u 避稷隧撬模裂( 2 2 ) ，鬟f f 8 ) 豚定义戆浮 动鹱约价避鼷燮卖粳酶定俊公式为： 舄三萋嚣羔s 怒n ( ：翟s 。e - r t k 晰。 = 雾s n ( 如) 一一如) + 3 篱窖n ( 呔+ 厅) 、7 证溺：女赣方法定徐斑论滋及( 2 8 ) 式，浮动藩约徐静鼙颓黧卖权在零时掰 价值为： p o 。e 一”e q m a x m a xs ( # 卜s o l 需e 一r e 奄f 。篓麓s ( 钍) 一s ? 麓t o ，一 0 ；d z ( t ) 是维纳过程设p 撼股票 价格与债券价格之间的瞬间相关系数，t 是期权的到期日，k 是期权盼执行 价格 3 2 期毅价值方程 设f 溉b ，t ，蟊 为斓稷在t 时裁麓徐傻，f 荧于t 一除哥导，美予s ，嚣二阶 可导连续，那么，根据i 伯公式，可得： 11 d f ( t ) 一f c d t 十砖d s + 殆d b + ；f s s d s d s + ；f b b d b d b 十f s b d s d b 一最d 莒+ f l ( 弘i n s ( o ) s ( o a t + c s ( 0 d z ( 0 + f b z b b ( t ) d t # b b ( o d i 穗 t ) j + ；盼s 仃2 s 2 ( t ) d t 十；髓b 碍口2 ( t ) d t + f s b p a a b s ( t ) b ( t ) d t 1 絮f t d + j 珞 弘一理l n s 笱) s 诤) a t + j 强批b b o ) d + 妻如s d 2 s 2 ( e ) d t + ；玛b d 嘉妒( t ) d t + 砖s 啪s ( t 嚣嘲t + f s 口s ( t ) d z ( t ) + 珏e r b b ( t ) d z b ( t ) 篇if c + f s ( z 0 1 n s ( t ) ) s ( t ) + f 日# b b ( t ) + 壶砖s ，s 2 ( ) + i 1 。昂口a 扫2 嚣2 ( ) + f s s p a a b s ( t ) b ( t ) d t + f s a s ( o d z ( t ) + 如即嚣( t ) d z 日( ) 构造一个由贴现俊券，股票，以及期权组成的证券组合，其权重分别为 7 ( 1 ，”2 ，丌3 ， 价值，则 从而， 使得泫证券组合为零投资组合用n ( o 表示该证券组合在t 时刻的 珏转) = 霄i 嚣8 ) + ”2 8 ( t ) + 稻f 0 ) a n ( t ) 一h d b ( t ) + r r , 2 d s ( t ) + f r 3 d f ( t ) 一，r l # b b ( t ) d tu 4 - 7 r w b b ( t ) d z b ( t 1 + 2 ( p a i ns ( t ) ) s ( t ) d t + ，r 2 a s ( t ) d z ( t ) + ”3 【r + f s ( “一o t i n s ( f ) ) s 0 ) 十f b t z b b ( t ) 十妄砖s 口2 s 2 ( ) 1 + 三两丑商b 2 8 ) + f s b p a a b s ( t ) b ( t ) d t + 孙g s a s ( t ) d z ( t + ，啊j 鼍口b b ( t ) a z b ( ) 搿 丌l p 8 嚣( 磅+ 芦一n l n s ( t ) ) s ( t ) + 7 r 3 最+ 乎( p 一8 i n s ( t ) ) s ( ) + f b t t b b ( t ) + i l r s 占盯2 s 2 ( t ) 十i l r b 且口2 b 。2 ( t ) + ! 咯b p a c r s s ( t ) b ( t ) d t + k c , s ( t ) + 期f s o s ( o d z ( t ) 十f 7 r l a b b ( t ) + r ：a f b a 日b ( t ) l d z b ( t ) 由诧可见，如栗方程组 0 曹器；。，：s 。) 如f s a 钮s ( b o ；：，) ( 凳) = ( ：) c s s ， 有非零解，则证券组合1 1 是无风险缀合事实上，由于方程组( 3 3 ) 是含有三 个未知数、两个方程的齐次方程组，因此有非零解。 寿次方程缀的菲零解时，证券组合妊是无风险缀会 所以，嬲砘，7 r 3 是上述 由予浚证券组合鬻零投资组合，由资本资产定价理论翔，此时证券组合的 期望收益率为零，即 7 r l # b b ( t ) + 7 r 2 ( 肚一n i ns ( t ) ) s ( t ) + 他【n + f s ( p ni ns ( 啦) s # ) 十黯l 擂b ( t ) + ；f s s 矿s 2 8 ) + ；f z z o b 2 擘) + f 童蟊p 疗玎嚣s ) 嚣( ) 】= 0 不妨设 g = 日+ 毋( 肛一。l n s ( t ) ) s ( t ) + f 日p b b ( t ) + i 1 乃s 口2 妒( t ) + 磊1 f 舳盯当b 2 ( t ) 十毋b 舻盯。s ( ) 曰( ) 爨上式霹麓写为： m p 8 口0 ) + 亓2 ( p o i n s 0 ) ) s ( ) 十丌3 g = 0 1 7 练上，霹穆下蘧方程缓 由第一个方程，可得 7 。2 = 一船两， 由第二个方程，可得 ”l = 殛； 将它们代入第三个方程，化简即得 羁+ ；始s 口2 s 2 ( 0 + ；f b 口商嚣2 ( f ) + 两口舻d 口s ( o b ( o = 0 因魏，我霄j 有戳下定鬓： 定理1 设债券价格过程、股票价格过程分别潢赆( 3 1 ) 式秘( 32 ) 式，那么 瀚权f ( s ，b ，t ，奶满蹩价值方程如。f ： 最+ ；f 妇d 2 s 2 ) + 基1 乒嚣f 蚤嚣2 嚣) + j 强8 户口秽彗s 8 ) b ( ) ；o ， ( 3 ，4 ) 注，连续随机利率下的指数o u 过程随枧模型，与m e r t o n 隧枧联零模型 稀琵较，它稻的期权价值方程是籀同的这就说明了，在涟续随机利率下， 股票期权价值与描述股价波动的随机模璎的淤移项无关避o t o + 时，指数 0 + u 过稷淹辊模壅 就化为b l a e k - s c h o l e s 模毽，它在随机和率下的期权价值方程 满足( 3 4 ) ，这与m e r t o n 的结果是一致的 3 3 期权定价公式 设f ( s ，b ，) 为与贴现债券同时到期的欧式看涨期权，其到期收益为 f ( s t ，z ) = m a x s k ，o ( 3 5 ) 其中，t 为受期瑟，艿( 习一1 根据定理1 ，以及m e r t o n 随机利率模型的结果，容易得到以下结论； 定瑗2 设篌券徐格过稳、黢桑价格过程分羯满琵( 3 1 ) 蕊稀( 3 2 ) 式，那么 欧式看涨期权谯t ( og t 兰t ) 时刻价值为： f ( sb ，t ，k ) 一s n ( d 1 ) k b n ( d 2 ) ( 3 6 ) 1 8 瓣 其中， d i = ) = 忑1 o o e w 加幽 sb 分掰是股票和赔现债券在t 时刻静价格，k 怒挽行价格 第阻章不连续隧视荦n 率下指数o - u 横蝥的期权定价 在上一枣巾，瑕设利率咫一个连续的随机过程，服获几何布鼹运动。露大 量事实表疆，利率过程有时会出现与连续变韵完金不成蹴倒的异常变化，呈 瑷阉断豹“虢奎”过程霞筑，本章在弱率过程瑕扶蹒一扩散过程的假设下， 给如了指数0 u 模型的期权份值方程，势给出了欧式看涨期权的定价公式+ 4 1 市场模型 考虑一个邋续时间无摩擦的衾融市场，市场中有艇种可交易资产：一耪是 风险资产，称为股票，t 时翔酶股票价格s ( f ) 满盛以下随机微分方程： d s ( t ) = ( 芦一l n s ( t ) ) s ( t ) d t + 口s ( t ) d z 缮) ，0 曼t 置s ( o ) s +4 + 1 ) 其中，“幽口力常数，鼠s o ，“ 0 ，d 0 ；d z ( t ) 是维皱过程? 是期权黪烈 期日，k 是期权的执行债楱 另一种是到期日为r ，剩期价值为1 的贴观债券，t 时刻债券价格8 ( 站满 蹩滚下蘸梳微分方程： d b ( t ) = 嚣壮) ( 弘b a b b ) d r o a b d z b ( t ) + x n d n b ( 於，0 墨t 兰嚣( ? ) 一1 4 2 ) 其中蛐表永债券价格的期爨收益率，是一个随机变量；啪表承债券价格的波 动率，为常数；d z b ( t ) 麓维纳过程；n b ( t ) 是与孙( t ) ，z ( ) 独立的参数为a 口的 p o s s i o n 过程x n 是馕券债格跳跃大小鹊匿分数，为隧枧变量，基妇= e ( x # ) 。 设p 是股票价格与馈券价格之闻的瞬阅耦关系数 4 2 期杈价值方程 设f ( s , b ，t ，刚为期投在t 时刻鲍份僖，f 关予t 一除可导，荧予s , b 二除 碍锌连续，邪么，期权的收益可表示成下面的形式： d f ( t ) = f ( ) f ( p ，一a b k f ) d t + a f d z ( t ) + a f b d z b ( t ) + x f d n o ( t ) ( 4 3 ) 其中，舸表示期权份槎黪期望牧整搴，是一个薅移变量；印，即嚣表拳精投 价格的波动率，为常数；x ，是期权价格跳跃大小的西分数，为随机变量，鼹 校据l 蝣公式，可褥： f i f ( t ) 篇f t d t + f s f ( p a i n 5 ( t ) ) s ( t ) d t + a s ( t ) d z ( t ) + f b f ( p 丑一a b k s ) b ( t ) d t + 玎丑曰0 ) d 强( ) + ；声姑0 - 2 s ( 0 2 d t + n l f 口b 疗各b o ) 2 d t + f s b p c t a b s ( t ) b ( t ) d t + f ( s ，b ( 1 + x b ) ，t ，k ) 一f ( s ，b ，t ，k ) l d n b ( t 异f 耳十f s ( “一 i ns ( t ) ) s ( t ) 十肠( p 嚣一a b k b ) b ( t ) 十；殆s 1 1 2 s 2 ( t ) + 吾lf 矗日巧8 2 嚣2 ( f ) + f s b p a t r b s ( t ) b ( t ) d t + f s a s ( t ) d z ( t ) + f s a b b ( t ) d z b ( t ) + i e ( s ，b o + x b ) ，t ，k ) 一f ( s ，b ，t ，k ) d n b ( t ) ， 令 g = 或+ 殆( 弘一辑l n s ( ) ) s 亡) 十j 冶 p b - - a b 采嚣) 君( 如+ 百i ，s s 。2 s 2 t ) + 2 1 f 丑嚣萨蠢8 2 ( 日 + f s b p c t a b s ( t ) b ( t ) ， 则 d f ( t ) 一a d t + 转a s ( t ) d z ( t ) + f b a b b ( t ) d z b ( t ) + f ( s , b ( i + x b ) ，l ，k ) 一f ( s ，b ，t ，k ) d n r ( t ) 因此， 6 i f = 砖a s ( t ) f ( t ) ， d 黜= f b a b b ( t ) f ( t ) ， x f = f ( s ，b ( 1 十x b ) ，t ，k ) 一f ( s ，b ，k ) l f ( t ) ， f = e ( x f ) = 嚣i f s b ( 1 + x z ) ，t ，k ) 一f ( s b ，t ，蜀) j f ( # ) ， 舻r = c f ( t ) 十a b k f g f ( t ) + b e 疗 f ( s ，b ( 1 + 砌) ，k ) 一f ( s 口，t ，k ) f ( t ) 其中，e 。是关于1 + x e 的期望弊子 梅遗一个由楚瑷债券，黢票，缓敷期权缀成戆涯券缀合，葵较耋分裘为 矾丌2 ，舶，使得该试券组合为零投资组合用n ( t ) 表示该证券组合在t 时刻的 徐僮，则组合收盏可以表暴或以下形式： d 1 ( o = h ( t ) 【( p l i a b k n ) d t + a n d z ( t ) + c r r l b d z b ( t ) + x n d n o ( t ) ( 4 。4 ) 其中，椰表示证券组合的期望收益率，是一个随机变量；o i i , 伽s 表示证券 缀合的波动窭，为常数；x n 是缀合收益男歇大小的吾分数，为隧枧变量，壁 n = e ( x h ) 出 i i ( t ) = ”l 口( t ) 十 _ s ( f ) + 7 r 3 f ( t ) ， 霹繁 d i i ( t ) = 7 h d b ( t ) + r 2 d s ( t ) 十7 r 3 d f ( t ) 溪魏， # “= b a s ( t ) + n 3 f