（基础数学专业论文）幂等quantale、对合quantale及girard+quantale中若干问题的研究.pdf

幂等q u a n t a l e 、对合q u a n t a l e 及 g i r a r dq u a n t a l e 中若干问题的研究 李静 摘要1 9 8 6 年，c j m u l v e y 在研究非交换的驴一代数的谱时首先引入了 q u a n t a l e 的概念从此，q u a n t a l e 理论受到了数学家和逻辑学家的关注，1 9 9 2 年c j m u l v e y 和j w p e l l e t i e r 在q u a n t a l e 和伊一代数理论的基础上提出了 对合q u a n t a l e 的概念，1 9 9 3 年s a b r a m s k y 和s v i c k e r s 提出了q u a n t a l e 模 的概念等等q u a n t a l e 自身具有丰富的序结构、代数结构和拓扑结构，与此相 关的结构也有非常丰富的内容本文研究了q u a n a l e 相关结构的性质，对g i r a r d q u a n t a l e 范畴的极限和逆极限作了较为细致而深入地研究主要内容如下： 第一章预备知识本章给出了本文将要用到的q u a n t a l e 理论、范畴理论 的基本概念和结论 第二章q u a n t a l e 相关结构的性质本章首先研究了在幂等q u a n t a l e 的条件 下，代数q u a n t a l e 与空间式q u a n t a l e 的关系，得到了q u a n t a l e 及其子q u a n t a l e 是空间式的充分条件，并给出了子q u a n t a l e 、商q u a n t a l e 的若干例子接着对 q u a n t a l e 矩阵进行了研究，讨论了幂等右侧q u a n t a l e 上的幂零矩阵的若干性质， 给出了幂等右侧q u a n t a l e 上的矩阵为幂零矩阵的充要条件，得到了幂零矩阵的 幂零指数的刻画定理最后给出了q u a n t a l e 模的余核映射的定义，得到了其与子 q u a n t a l e 模的对应关系；同时给出了q u a n t a l e 上对偶双重模的定义，并研究了它 的性质 第三章对合q u a n t a l e 及其范畴中的定向极限本章首先引入了关系对合 q u a n t a l e 的定义，得到了对合q u a n t a l e 的表示定理，其次在范畴意义下，讨论了 对合q u a n t a l e 范畴与其满子范畴等价最后，给出了对合q u a n t a l e 范畴中定向 极限的结构 第四章 g i r a r dq u a n t a l e 范畴本章研究了g i r a r dq u a n t a l e 范畴中的始对 象、终对象等特殊对象，证明了此范畴不是点化范畴给出了g i r a r dq u a n t a l e 范 畴等化子的结构，证明了g i r a r dq u a n t a l e 范畴有乘积。并构造出了此范畴中的极 限结构最后给出了g i r a r dq u a n t a l e 范畴中逆系统的定义，得到了逆系统的逆极 限结构 关键词：q u a n t a r e对合q u a n t a l e g i r a r dq u a n t a l e q u a n t a l e 模 范畴 i s o m er e s e a r c h e so i li d e m p o t e n t ，i n v o l u t i v e a n dg i r a r dq u a n t a l e l ij i n g a b s t r a c ti n1 9 8 6 ，c j m u l v e yf i r s t l yi n t r o d u c e dt h ec o n c e p to faq u a n t a l e w i t ht h ep u r p o s eo fs t u d y i n gt h es p e c t r u mo ft h en o n c o m m u t a t i v ec + - a l g e b r a f r o mt h e no n ，m a n ym a t h e m a t i c i a n sa n dl o g i c i s t sp a i dc l o s ea t t e n t i o nt ot h et h e o r y o fq u a n t a l e s i n1 9 9 2 c ，j m u l v e ya n dj w p e l l e t i e rp u tf o r w a r dan e wc o n c e p t 一一i n v o l u t i v eq u a n t a i e b a s i n go nt h et h e o r yo ft h eq u a n t a l ea n dc + - a l g e b r a a n di n1 9 9 3 ，s a b r a m s k ya n ds v i c k e r sp r o p o s e dt h ec o n c e p to faq u a n t a l e m o d u l e t h e r ea r ea b u n d a n tc o n t e n t si nt h es t r u c t u r eo fq u a n t a l e s ，a n ds oi st h e r e l a t i v es t r u c t u r e t h ea i mo ft h i sp a p e ri st os t u d ys o m ep r o p e r t i e so ft h er e l a t i v e s t r u c t u r eo fq u a n t a l e a tt h e8 a m et i m e w ea l s os t u d yc a r e f u l l ya n dd e e p l yt h e l i m i ta n dt h ei n v e r s el i m i to ft h ec a t e g o r yo fg i r a r dq u a n t a l e s t h ef o l l o w i n g s 锄t h em a i nc o n t e n t so ft h i sp a p e r ： c h a p t e ro n ep r e l i m i n a r yk n o w l e d g e i nt h i sc h a p t e r ，w e 百v et h eb a s i c c o n c e p t sa n dr e s u l t so ft h et h e o r yo fq u a n t a i e sa n dt h ec a t e g o r yw h i c ha r eu s e di n t h ew h o l ep a p e r 。 c h a p t e rt w ot h ep r o p e r t i e so ft h er e l a t i v es t r u c t u r eo fq u a n t a l e s f i r s to f a l l ，t h er e l a t i o n s h i pb e t w e e na l g e b r a i cq u a n t a l e sa n ds p a t i a lq u a n t a l e si ss t u d i e d ， u n d e rt h ec i r c u m s t a n c eo fi d e m p o t e n tq u a n t a l e s a n dt h es u f f i c i e n tc o n d i t i o nt h a t q u a n t a l e sa n dt h e ks u b q u a n t a i e sa l es p a t i a li so b t a i n e d m e a n w h i l e ，s o m ee x - a m p l e so fs u b q u a n t a l e sa n dq u a n t i cq u o t i e n t sa r eg i v e n n e x t ，q u a n t a l em a t r i c e s a r ec o n s i d e r e d w em a i n l yd i s c u s ss o m ep r o p e r t i e so fn f l p o t e n tm a t r i c e so ni d e m p o t e n ta n dr i g h t - s i d e dq u a n t a l e s a tt h es a m et i m e ，w eo b t a i ns o m ei m p o r t a n t c o n c l u s i o nt b a t h es u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o no fn i l p o t e n tm a t r i c e so nt h i s q u a n t a l e sa n dt h ec h a r a c t e r i s t i ct h e o r e mo fn i l r o t e n ti n d e xo fn i l p o t e n tm a t r i c e s f i n a l l y , i nt h ev i e wo ft h ed e f i n i t i o no ft h ec o n u c l e io fq u a n t a i em o d u l e s ，w ef i n d t h ec o r r e s p o n d e n c eb e t w e e nt h ec o n u c l e io fq u a n t a l em o d u l e sa n ds u b m o d u l e so v e r q u a n t a l e s t h e n ，t h ed e f i n i t i o na n dp r o p e r t i e so fd u a lb i m o d u l eo fq u a n t a l ea r e g i v e n c h a p t e rt h r e e i n v o l u t i v eq u a n t a l ea n dt h ed i r e c tl i m i to ft h ec a t e g o r yo f i n v o l u t i v eq u a n t a l e s f i r s t l y ，w ei n t r o d u c et h ed e f i n i t i o no ft h er e l a t i o n a li n v o l u t i v e i i q u a n t a l e sa n da r g u ea b o u tt h er e p r e s e n t a t i o nt h e o r e mf o ri n v o l u t i v eq u a n t a l e s s e c o n d l y , w ed i s c u s st h ec a t e g o r i c a le q u i v a l e n c eb e t w e e nt h ec a t e g o r yo fi n v o l u t i v e q u a n t a l e sa n d i t sf u l ls u b c a t e g o r y a tl a s t ，w eg i v et h es t r u c t u r eo ft h ed i r e c tl i m i t i nt h ec a t e g o r yo fi n v o l u t i v eq u a n t a l e s c h a p t e rf o u rt h ec a t e g o r yo fg i r a r dq u a n t a l e s i n t h ef i n a lc h a p t e r ，w es t u d y m a i n l ys o m es p e c i a lo b j e c t si nt h ec a t e g o r yo fg i r a r dq u a n t a l e s f o re x a m p l e ， i n i t i a lo b j e c ta n dt e r m i n a lo b j e c t ，e t c a c c o r d i n gt ot h e s e ，w ek n o wt h a tt h e c a t e g o r yo fg k a r dq u a n t a l e si sn o tap o i n t e dc a t e g o r y t h e n t h es t r u c t u r eo f e q u a l i z e ri sg i v e n t h e r e f o r e w ec a np r o v et h a tt h i sc a t e g o r yh a st h ep r o d u c t a f t e rt h a t ，w ec o n s t r u c tt h el i m i ta n dt h ei n v e r s el i m i to ft h ei n v e r s es y s t e mi n t h i sc a t e g o r y k e y w o r d s ：q u a n t a l e i n v o l u t i v eq u a n t a l eg i r a r dq u a n t a l e m o d u l e s o v e raq u a n t a l e c a t e g o r y i i i 学位论文独创性声明 y 9 0 0 1 3 5 本人声明所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，论文中不包含其他个人已经 发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得陕西师范大学或其它教育机构的学位 或证书而使用过的材料。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中 作了明确说明并表示谢意。 作者签名：日期：2 型：生 学位论文使用授权声明 本人同意研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属陕西师范大 学。本人保证毕业离校后，发表本论文或使用本论文成果时署名单位仍为陕西师 范大学。学校有权保留学位论文并向国家主管部门或其它指定机构送交论文的电 子版和纸质版；有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校 图书馆、院系资料室被查阅；有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索； 有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。 作者签名：垒盐 前言 q u a n t a l e 概念是由c j m u l v e y 于1 9 8 6 年在研究非交换的g 一代数的谱时 首先引入的，其背景是给量子力学提供新的数学模型q u a n t a l e 是一个带有满 足结合律的二元运算“”的完备格，且口& 。和n 均保持任意并，因此q u a n t a l e 又可以看作是l o c a l e 的一般化，即非交换的l o c a l e p t j o h n s t o n e 关于f r a m e 和l o c a l e 的研究著作 a 较为深远地影响了q u a n t a l e 理论的研 究，q u a n t a l e 中的很多结构和概念是在f r a m e 理论的启发下引入的，是在更广泛 集合结构上的一般化“q u a n t a l e ”一词是由“q u a n t u ml o g i c 和“l o c a l e ”复合起 来的合成词，对这种带有偏序代数结构的研究可以追述到3 0 年代m w a r d 和r p d i l w o r t h 对剩余格的研究工作【4 5 一由于q u a n t a l e 理论中丰富的序结构、代数 结构及拓扑结构，使得它在环的理想理论l 、非交换c + 一代数 9 , 1 0 , 1 1 】、线性逻 辑 1 2 , z s 和理论计算机科学研究中的应用得到了迅速发展在这二十年的发展研究 中，有关q u a n t a l e 理论的新观点、新应用相继被揭示 1 4 - 1 s 随着k i r o s e n t h a l 的专著【1 9 1 的出版，q u a n t a l e 理论作为一门独立的研究分支已经根深叶茂 结合j r o s i c k y 对于拓扑正规性结构的研究【2 0 】，1 9 9 2 年，c j m u l v e y 和 j w p e l l e t i e r 在q u a n t a l e 和c + 一代数理论的基础上引入了对合q u a n t a l e 的定 义【2 1 】在目前有关q u a n t a l e 理论的研究中，对合q u a n t a l e 作为一种数学结构已 经在一些文献中被多次提及 2 2 - 2 5 1 模是代数学中的重要的研究对象，而a j o y a l 和m t i e r n e y 将模的理论在格理论的框架下进行了研究1 2 6 】，尽管他们研究的是可 换的情形，但是他们的一些结果在非交换的情形下仍然适用因此，s a b r a m s k y 和s v i c k e r s 在1 9 9 3 年提出了q u a n t a l e 模的想法【2 7 1 ，从此q u a n t a l e 模作为一 种新的数学结构引起了许多学者的兴趣 2 a - 3 0 由于q u a n t a l e 及相关结构在研究 e + 一代数、环的理想以及环的谱论、线性逻辑和理论计算机科学中的应用，使得 q u a n t a l e 及相关结构的理论和其在应用方面的研究得到了迅速的发展，它们已经 成为诸多学者关注的热点 本文结合格论、范畴论和代数学的研究方法 3 1 - 3 6 1 ，讨论了有关幂等q u a n t a l e 的子结构、对合q u a n t a l e 的表示及其范畴中的定向极限以及q u a n t a l e 模的余核 映射等性质受文 3 m 0 关于格矩阵的启发，研究了幂等右侧q u a n t a l e 上的幂 零矩阵范畴论作为数学中的一种工具，对格、代数、拓扑等结构的深入研究有着 重要的意义它不仅对于一种结构相应范畴的研究从宏观上给予指导，而且还可 以将一种结构相应范畴的研究方法移植到另一种相近结构相应范畴的研究中在 本文的最后部分，借助于文【4 l 一4 4 】中的一些思想方法，构造出了g i r a r dq u a n t a l e 1 范畴中的乘积、极限及其逆极限的结构 总之，对合q u a n t m e ，g i r a r dq u a n t a l e 及q u a n t m e 模作为q u a a t a l e 的相关 结构，对它们的研究必将推进q u a n t m e 与其他学科的交叉和渗透，从而进一步丰 富q u a n t a l e 理论的研究内容 2 第一章预备知识 本章简要介绍本文所需要的相关基础知识，包括格论、q u a n t a l e 理论和范畴 论等方面的一些基本概念和结论 1 1q u a n t a l e 的基本概念和结论 定义1 1 1 设p 是集合，是p 上的二元关系若满足下列三个条件： ( 1 ) 自反性：v a p ，a o ； ( 2 ) 反对称性：va ，b p ，若a b ，b a ，则a = 坎 ( 3 ) 传递性：v a ，b ，c p ，若a b ，b c ，则a c ， 则称为p 上的偏序，并称( p ) 为偏序集，简称p 为偏序集 定义1 1 2 设p 是偏序集，s p ( 1 ) 若s 是非空集，并且s 中的任意两个元在s 中都有上界，即v a ，b s ， 有c s ，使得o sc 加se ，则称s 是定向的或为p 的定向子集 ( 2 ) 若s 是非空集，并且s 中的任意两个元在s 中都有下界，即v a ，b s 有c s ，使得c sa ，c b ，则称s 是下定向的或为p 的下定向子集 定义1 1 3 设p 是偏序集，若va ，b p 有avb ，aab 都存在，则称尸是 格；若v s 只v s h s 都存在，则称p 是完备格( 或v 一格) 定义1 1 4 设p 为完备格，若va ，b p ， 饥悼j ) 尸1 有aa ( vb i ) = v ( a a 玩) ，则称p 是f r a m e ( 或l o c a l e ) 设p 为f r a m e ，a p 若任意的定向子集s p ) 当a v s 时，了s s 使 得a ss ，则称a 为p 的紧元 设p 为f r a m e ，vo p 若a = v c p i e a 且c 是紧元) ，则称p 是代数 f r a m e 设p 为代数f r a m e ，若p 中紧元的有限交仍是p 中紧元，则称p 是凝聚 f r a m e 设p 为f r a m e ，l p p 若v a ，b 尸i 当a ab 茎p 时，有口兰p 或bsp ， 则称p 为p 中的素元 设p 为f r a m e 若p 中任一元a 均可表示为p 中索元的交，即a = p p fa s p 且p 是素元) ，则称尸是空间式f r a m e 3 定义1 1 5 设q 为完备格，“& ”为q 上满足结合律的二元运算若v o q 6 ii ，) q ，满足： o ( v ) = v ( o 魄) ，( v 魄) & 。= v ( 玩) ，ft j j 则称( q ，& ) 为q u a n t a l e ，简称q 为q u a n t a l e 若va ，b q ，有a & b = b & a ，则称q 是交换q u a n t a l e 若je q ，v 口q ，有e & a = 口，则称e 为q 的左单位元；对偶地，若 v a q ，有a & e = a ，则称e 为q 的右单位元；若e 既是q 的左单位元又是q 的 右单位元，则称e 是q 的单位元 定义1 1 6 设q 1 ，q 2 为q u a n t a l e ，：q l q 口为映射若 ( 1 ) v 血，b q 有f ( a & b ) = ，( 口) & ，( 6 ) ； ( 2 ) v 啦ii ，q ，有，( va 1 ) = v ，( 血 ) 则称，为q u a n t a l e 同态 由q u a n t a l e 的定义知，8 一和d 可以看作是q 上的自同态，因此它们有 右伴随，分别用a 一，一和a - - - 4 1 一表示，并且va ，b q ，有a 一，b = v 和qi a & x 6 ) ，口b = v x q lx & a 茎6 ) o ( 上) 和1 ( t ) 分别表示q 的最小元和最大元 定义1 1 7 设q 为q u a n t a l e ，s q 若含入映射i ：s _ q 为q u a n t a l e 同 态，即s 对任意并和“”运算封闭，则称s 为q 的子q u a n t a l e 定义1 1 8 设q 为q u a n t a l e ，血q 若a & l o ，则称a 是q 的右侧元；若 l & a a ，则称。是q 的左侧元；若n 既是q 的右侧元又是q 的左侧元，则称a 是q 的双侧元；若a & a = a ，则称a 是q 的幂等元 若q 中的任意元是左侧元( 右侧元，双侧元) ，则称q 是左侧( 右侧，双侧) q u a n - t a l e ；若0 中的任意元是幂等元，则称q 是幂等q u a n t a l e ；若q 中的任意元既是 幂等元又是右侧元( 左侧元) ，则称q 是幂等右侧( 左侧) q u a n t a l e 设1 p q ，若v n ，b q 当。6 p 时，有a p 或b p ，则称p 是q 中的素元 若q 中任一元。均可表示为q 中素元的交，即a = a p qj 。p 且p 是 索元l ，则称q 是空间式q u a n t a l e 定义l - 1 9 设q 为q u a n t a l e ，j ：q q 为保序映射若v a ，6 q ，映射j 满足： ( 1 ) a j ( ) ； 4 ( 2 ) j 0 ( 口) ) = ，( o ) ； ( 3 ) j ( o ) 劬( b ) j ( 血& 6 ) ， 则称j 是q 的核映射 对偶地，g ：q + q 为保序映射，若v 口，b q ，映射g 满足： ( 1 ) g ( a ) n ； ( 2 ) 9 ( g ( 8 ) ) = g ( n ) ； ( 3 ) 9 ( o ) & 夕( 6 ) 9 ( & 6 ) ， 则称g 是q 的余核映射 若j 是q 的核映射，则称j 的象集锄= o ( n ) ln q ) 为q 的商，即q 是q 的商q u a n t a l e 用n ( q ) 表示q 上全体核映射的集合，c n ( q ) 表示q 上 全体余核映射的集合 定义1 1 1 0 设q 为q u a n t a l e ，g 为q 的余核映射，称g 为q 的l o c a l e 余核 映射，相对应的子q u a n t a l eq 口称为l o c a l e 子q u a n t a l e ，若g 满足以下等价条件 中的任何一个： ( 1 ) q 9 为f r a m e ； ( 2 ) v a ，b q ，9 0 ) & g ( 6 ) = g ( a a ； ( 3 ) va q ，( g ( o ) ) 2 = g ( 口) ，g ( n ) g ( 1 ) g ( o ) ，g ( 1 ) & 9 ( o ) 墨9 ( o ) ； ( 4 ) 锄的任何一个元为幂等的，双侧的 定理1 1 1 1 设q 为q u a n t a l e ，g ：q q 为q 的余核映射，则= o q g ( 口) = a 是q 的子q u a n t a l e 若s q 为q 的任何一个子q u a n t a l e ，则存在 q 上的某个余核映射9 ，使得s = q 。 定理1 1 1 2 设0 为q u a n t a l e ，s q 则s 为q 的商q u a n t a l e 当且仅当s 对任意交封闭且v a q ，8 s 有口_ ，s 只a _ zs 最 定义1 1 1 3 设q 为q u a n t a l e ( 1 ) 设a q ，若对任意的定向子集s q ，当a v s 时，了s s 使得 a s ，则称a 是q 的紧元 ( 2 ) 若v 口q ，o = v c qc a 且c 是紧元) ，则称q 是代数q u a a t a l e 定理1 1 1 4 设q 为q u a n t a l e ，a ，b ，c q ，则 ( 1 ) o & ( o 6 ) 6 ； ( 2 ) ( a f 6 ) o 6 ； ：3 ) b 一，( a 一，c ) = ( a & b ) 一，c ； ( 4 ) b _ f 0 _ fc ) = ( b & a ) _ fc ； ( 5 ) o 一，( b - - tc ) = b - - 1 ( 血一，c ) 5 定义1 1 1 5 设q 是q u a n t a l e ，“ ”是q 上的一元运算若v o ，b 口， 啦f i j q ，满足； ( 1 ) a “= o ； ( 2 ) ( o & 6 ) + = 6 & 矿； ( 3 ) ( v 啦) = va i ， 则称口是对合q m m t a l e ，“+ ”是q 上的对合运算 定义1 1 1 6 设q 1 ，q 2 为对合q u a n t a l e ，f ：q 1 + q 2 为映射若v 口，b q ， n li j ) 互q ，满足： ( 1 ) f ( a & b ) = ，( o ) & ，( 6 ) ； ( 2 ) ，( va i ) = v ，) ； ( 3 ) f ( a + ) = ( ，( 口) ) + ， 则称，为对合q u a n t a l e 同态 定义1 1 1 7 设q 为q u a n t a l e ，s q ，若v 血q ，有o _ js = a _ ，8 ，则称 s 为q 的循环元 设q 为q u a n t a l e ，d q 若v o q ，有( o ld ) ，d = 口= ( o 一，d ) 一ld ， 则称d 为q 的对偶元 若d 既为q 的循环元又为q 的对偶元，则称d 为q 的循环对偶元 定义1 1 1 8 设口为q u a n t a l e ，若口含有循环对偶元d ，则称句为g i r a r d q u a n t a l e 1 2范畴的基本概念和结论 定义1 2 1 一个范畴是个五元组c = ( 0 ，州，d o m ，c o d ，。) ，其中 ( 1 ) o 是一个对象类，其成员称为c - 对象； ( 2 ) m 是一个态射类，其成员称为c _ 态射； ( 3 ) d o m 和c o d 是由m 到0 的映射，其中，d o m ( f ) 称为，的域，c o d ( f ) 称为，的上域； ( 4 ) o 为一由 d = ( ，1 9 ) if ，g m ，d o m ( f ) = c o d ( g ) 到m 的映射，称为c 的结合律，使得下列条件成立： ( i ) 匹配条件：若f o g 有定义，则d o m ( f 。9 ) = d o m ( 9 ) 且c o d ( f o g ) = c o d ( f ) 6 ( i i ) 结合条件：若，o g 和ho ，有定义，则h0 ( ，o g ) = ( ho ，) 。g ； ( i i i ) 单位元存在条件：对任意的c 一对象a ，存在c _ 态射e 使得d o m ( e ) = a = d ( e ) ，且 ( a ) 若，0e 有定义，则，。e 一， ( b ) 若e o g 有定义，则eo g = g ； ( i v ) 态射类小性条件：对任意c - 对象对( a ，b ) h o m c ( a ，b ) = ，朋ld o m ( f ) = a ，c o d ( f ) = b ) 是一个集合 设c 是范畴，用p 6 ) 表示c _ 对象类，用m o r ( c ) 表示c 一态射类如果c 是一个范畴，且v a ，b o h ( c ) ，h o m c ( a ，b ) 0 ，则称c 是连通范畴 定义1 2 2c - 态射，：a b 称为c 中的常值态射。若vc o b ( c ) 以及vr ，s h o m c ( c ，a ) 均有，or = ，os 对偶地，若vc o b ( e ) 以及 vr ，s h a r n c ( b ，g ) 均有r os = s o ，则称，是范畴c 的余常值态射 若范畴c 中的态射，既是常值态射又是余常值态射，则称，为零态射 定义1 2 3 设c 是范畴，若va ，b o b ( c ) ，h o m c ( a ，b ) 满足下列等价条件： ( 1 ) h o m c ( a ，b ) 恰包含一个零态射； ( 2 ) h o m c ( a ，b ) 恰包含个常值态射； ( 3 ) h a m c ( a ，b ) 恰包含个余常值态射； ( 4 ) h o m c ( a ，b ) 包含至少一个常值态射和至少一个余常值态射， 则称范畴c 为点化范畴 定义1 2 4 设c = ( o ，m ，d o r a ，c o d ，。) 是一个范畴，则c o p = ( 0 ，3 4 ，c o d ，d o m ，十) 也是范畴，称为c 的对偶范畴，其中，v ，g m 卯( c ) ，有，+ g = 9 0 ， 定义1 2 5 设c 是范畴，x o h ( c ) 如果v b o s ( c ) ，i h o m c ( x ，b ) i = 1 ， 则称x 是范畴c 的始对象对偶地，如果vb o h ( c ) ，l h o m c ( b ，x ) l = 1 ，则称 x 是范畴c 的终对象 若范畴c 的对象x 既是始对象又是终对象，则称x 为范畴c 的零对象 定义1 2 6 设c 和口是范畴，一个由c 到口的函子为一个三元组( c ，f t 口) ， 其中f 为一由a a o r ( c ) 到m 卵( 口) 的函数且满足： ( 1 ) f 保单位元； l 2 ) f 保复合运算 函子也经常表示为f ：c + d ，此时常说“f 有定义域c ，值域口” 7 定义1 2 7 设，9 ：a ，b 是c 一态射二元组( e ，e ) 称为，g 在c 中的一 个等化子，若e o b ( c ) 且 ( 1 ) e ：e a 是c 一态射； ( 2 ) ，oe = g 。q ( 3 ) ve o b ( c ) ，ve ，：e a m o t ( c ) 使得，oe ，一90e ，则存在唯一 的c 一态射：e 7 _ + e 使得e = eo 目，即下图可换； e 上a = i b 百，一口 对偶地，可定义余等子的概念 定义1 2 8 设c 是范畴，e ：e a 是c 一态射，如果存在，i g m d r ( c ) ，使 得( e ，e ) 是( ，g ) 的等化子。则称e 是范畴c 的正则单态射对偶地，设e ：b + e 是一个c 一态射，如果存在，9 m w ( c ) ，使得( e ，e ) 是( ，9 ) 的余等子，则称e 是范畴c 的正则满态射 定义1 2 9 一族c 一对象 a ) 叫的乘积是个二元组( i ia ， m ) 州) ，并且满 足下列条件： ( 1 ) n a 为c 一对象； ( 2 ) v i i ，仉：a i a 是c _ 态射( 称为由l - ia 到a 的投射) ； ( 3 ) 对任意的二元组( g ) 州) ，其中c o h ( c ) ，v i j ，五：c 一a 是c 一 态射，存在唯一的c _ 态射h ：g a ，使下图可换： 对偶地，可定义任意多个对象的余乘积 毫义1 2 。1 0 设j 和c 是范畴，d ：j + c 是函子，c 中的二元组 ( l ， f ) i e 饼( 市，如果满足 ( 1 ) v i o h ( i ) ，k ：l d ( i ) 是c 一态射； 8 ( 2 ) v m ：i ，j 朋0 r ( j ) ，下图可换： 皿 d ( 价) 则称( l ，他) e o h ( i ) ) 是函子d 的自然源泉 对偶地，可定义自然渗漏 定义1 2 1 1 设d ：i 。c 是函子，d 的自然源泉( l ，讯) 记o b ( 0 ) 称为d 的个极限，如果对于d 的任意的自然源泉( 三，f f d , 。a ( 旬，存在唯一的c - 态射 h ：一三，使得v i o h ( i ) ，下图可换： l _ d ( ) p t 对偶地，可定义余极限 定义1 2 1 2 设，c 是范畴，如果任意函子d ：i 一c 有极限，则称范畴c 是完备的如果对任意的小范畴，c 是l 完备的，则称范畴c 是完备的 定义1 2 1 3 设j 是个下定向集，若f ：i ，c 是个函子，则称f 为范 畴c 的一个逆系统函子f 的极限称为逆系统f ：i 一c 的逆极限 定义1 2 1 4 设，是一个定向集，若g ：j 一c 是一个函子，则称g 为范畴 c 的一个定向系统函子g 的极限称为定向系统g ：，- + c 的定向极限 定义1 2 1 5 设c 是一个范畴，c 中的交换方形； 哥1 d 厂铲o 9 司1 d 2 _ 矿呻d o 1 0 碇 第二章q u a n t a l e 相关结构的性质 本章研究了几类q u a n t a l e 结构的性质，给出了幂等q u a n t a l e 的子q u a n t a l e 的若干例子讨论了幂等右侧q u a n t a l e 上的幂零矩阵的若干性质及其幂零指数的 刻画定理然后给出了q u a n t a l e 模的余核映射及q u a n t a l e 上对偶双重模的概念， 并研究了它们的一些性质 2 1 幂等q u a n t a l e 的子q u a n t a l e 空间式q u a n t a l e 是一类比较重要的q u a n t a l e 文( 1 6 ，4 5 】在不同的q u a n t a l e 中讨论了空间式q u a n t a l e 本节研究了q u a n t a l e 在幂等的条件下，代数q u a a t a l e 与空间式q u a n t a l e 的关系，得到了q u a n t a l e 及其子q u a n t a l e 是空间式的充分条 件，并且给出了幂等q u a a t a l e 的子q u a a t a l e 、商q u a n t a l e 的若干例子 引理2 1 1 【1 9 1 设q 为q u a n t a l e ，v a ，b ，c q ，则a 一，( b 一，c ) = ( b & a ) _ ，c ； 若q 为右侧q u a n t a l e ，则a _ ，a = 1 ； 若q 为幂等q u a n t a l e ，则a ab 墨血6 ； 若q 为幂等右 砑q u a n t a l e ，则： ( 1 ) a & l = n ； ( 2 ) a & b & c = o o & 6 ； ( 3 ) a & b = a ab ，其中b 为大于等于b 的最小双侧元 引理2 1 2 设p ，q 为q u a n t a l e ，：p q 与g ：q p 是保序映射，并 且，- i g 若，为q u a a t a l e 满同态，则g 保素元 证明由，为q u a n t a l e 满同态知，保最大元设z q 为素元，若g ( z ) = 1 p ， 则z = ，9 ( z ) = ，( 1 p ) = 1 q 这与z 为素元矛盾，所以甙1 p 若a ，b 只哦6 g ( z ) ，则由，为q u a n t a l e 同态知，( o ) & ，( 6 ) = f ( a a b ) ，g ( z ) = z ，因为z 是素 元，所以，( o ) 兰。或( b ) z ，又由伴随对的知识得a 夕，( 口) s9 ( o ) 或 b g y ( b ) 9 ( o ) ，所以9 ( z ) 是素元 定理2 1 3 设q 为幂等的代数q u a a t a l e ，且q 为分配格，g ：q 一q 为余 核映射，则q 。为空间式子q u a n t a l e 。王明由定理1 1 1 1 知为子q u a n t a l e 要证q 口为空间式的，只须证 v o = 9 ( a ) q g ，。= 6 q 9 p 为素元，a 砧而o 兀 6 lb 为 素元，。吣显然成立，所以只须证o ( p 骗ib 为素元，o 味因为 1 1 q 为代数的，q 中的任一元都可以表示为紧元的并，所以只须证：对任意紧元 c 芷a = g ( a ) 号存在素元g q g ，a q ，且c q 成立令c = z ql 口g ( z ) 且c 名z ，a c 0 任取链 孔) 诞j c ，则有v i ，a g ( z i ) 且c 基由c 为紧元可知c g 吕8 ，且v i ，a g ) t 吕9 ) 夕( 兰) 所以 吕以c 从而由z o r n 引理知c 有极大元p ，下证p 为素元任取z ，y q ，x & y s p ，假设 。盛p ，y 盛p ，则由p 在c 中的极大性可知p v z ，p v 口不在c 中若a g v z ) ， 因为p pv 蜀所以9 ( p ) 口( p v 。) ，从而n 茗9 扫) ；这与p c 矛盾，同理若 。茎9 ( p vy ) 也得出矛盾，所以一定有c p v z 且c p v y 从而