第十讲 盈亏问题.doc

学科：奥数教学内容：第十讲盈亏问题在日常生活中常有这样的问题：“幼儿园老师拿来一筐桔子分给小朋友吃，每人分2个则多3个，每人分3个则差4个，问小朋友有几人？”也就是把一定数量的物品分给一定数量的人，每人多一些，物品就不够；每人少一些，物品就有余。像这样一类的问题，我们称为盈亏问题。盈就是多余，亏就是不足。盈亏问题就是在已知亏盈的情况下来确定物品总数和参加分配的人数。这是一类典型问题，有很好的对应方法。那么盈亏问题怎么解呢？我们就从下面的例子谈起。在我国古代的算书中，九章算术是内容最丰富多彩的一本。在它的第七章，讲了盈亏问题，其中第一题，用现代的语言来叙述，就是下面的问题。“有一些人共同买一些东西，每人出8元，就多了3元；每人出7元，就少了4元。那么有多少人？物价是多少？”分析：“多3元”与“少4元”两者相差347（元）每个人要多出8-71（元）因此就知道，共有717（人），物价是87-353（元）答：共有7个人一起买，物价是53元。说明：上面的34可以说是两个总数的相差数。而8-7是每份的相差数。计算公式是总数相差数每份相差数=份数这样的问题在内容上有很多变化，形成了这一类问题，请再看一些例子。例1妈妈买回一筐苹果，按计划吃的天数算了一下，如果每天吃4个，要多出48个苹果；如果每天吃6个，则又少8个苹果。那么妈妈买回的苹果有多少个？计划吃多少天？分析：题中告诉我们每天吃4个，多出48个苹果；每天吃6个，少8个苹果。观察每天吃的个数与苹果剩余个数的变化就能看出，由每天吃4个变为每天吃6个，也就是每天多吃2个时，苹果从多出48个到少8个，也就是所需的苹果总数要相差48856（个）。从这个对应的变化中可以看出，只要求56里面含有多少个2，就是所求的计划吃的天数；有了计划吃的天数，就不难求出共有多少个苹果了。解答：（48+8）（6-4）=562=28（天）628-8=160（个）或 42848=160（个）答：妈妈买回苹果160个，计划吃28天。如果条件“每天吃4个，多出48个”不变，另一条件改为“每天吃6个，则还多出8个”，问苹果应该有多少个，计划吃多少天？分析：改题后每天吃的苹果个数没有变，也就是说每天多吃2个条件没变，苹果总数由原来多出48个变为多出8个。那么所需苹果总数要相差：48-8=40（个）解答：（48-8）（6-4）=402=20（天）42048=128（个）或6208=128（个）答：有苹果128个，计划吃20天。例2把一袋糖分给小朋友们，每人分10粒，正好分完；如果每人分16粒，就有3个小朋友分不到糖，这袋糖有多少粒？分析与解答一：3位小朋友本来每人可以分到10粒，他们共有的 10330（粒），分给其余小朋友，每人就可以增加16-10=6（粒），因此其余小朋友有103（16-10）5（人）再加上这3位小朋友，共有小朋友538（人）。这袋糖有10（53）80（粒）分析与解答二：如果我们再增加163粒糖，每人都可以增加（16-10）粒，因此共有小朋友163（16-10）=8（人）这袋糖有80粒。答：这袋糖有80粒。说明：这里，163是总差，（16-10）是每份差，8是份数。例3王老师给小朋友分苹果和桔子，苹果数是桔子数的2倍。桔子每人分3个，多4个；苹果每人分7个，少5个。问有多少个小朋友？多少个苹果和桔子？分析：和上例一样，把苹果换为桔子，就容易思考多了。解答：因为桔子每人分3个多4个，而苹果是桔子的2倍，因此苹果每人分6个就多8个。又已知苹果每人分7个少5个，所以应有（8+5）（6-5）=13（人）。苹果个数为137-5=86（个）桔子数为133+4=43（个）答：有13个小朋友，86个苹果和43个桔子。再看三个稍复杂的例子。有些问题初看似乎不像盈亏问题，但将题目条件适当转化，就露出了盈亏问题的“真相”。例4用一根长绳测量井的深度，如果绳子两折时，多5米；如果绳子3折时，差4米。求绳子长度和井深。分析：这还是一个盈亏问题，为了帮助思考，我们画一个示意图，见下图。从图中看出，当绳子长一定，井深度一定，绳子折2折比井深多5米，实际意思是绳子长度是井深的2倍多10米即52=10（米）。绳子折3折，差4米，就是说绳子的长是井深的3倍差12米即43=12（米），由此我们就很容易计算出绳子长和井深了。解答：井的深度为：（52+43）（3-2）=221=22（米）绳子长度为：（22+5）2=272=54（米）或者（22-4）3=183=54（米）答：井深22米，绳长54米。例5小明从家去学校，如果每分钟走80米，能在上课前6分钟到校，如果每分钟走50米，就要迟到3分钟，那么小明的家到学校的路程有多远？分析与解答一：以小明从家出发到上课这一段时间来算，两种不同速度所走的距离，与小明家到学校的距离进行比较：如果每分钟走80米，就可以多走 806（米）；如果每分钟走 50米，就要少走 503（米）。请看如下示意图：因此我们可以求出，小明从家出发到上课这段时间是（806+503）（80-50）21（分钟）家至学校距离是80（21-6）1200（米）或50（21+3）1200（米）答：小明家到学校的路程是1200米。分析与解答二：以每分钟80米走完家到学校这段路程所需时间，作为思考的出发点。用每分钟50米速度，就要多用63= 9（分）。这9分钟所走的509（米），恰好补上前面少走的。因此每分钟80米所需时间是50（63）（80- 50）15（分钟）。所以家至学校的距离是80151200（米）答：小明家到学校的路程是1200米。例6有一些苹果和梨。如果按每1个苹果2个梨分堆，梨分完时还剩5个苹果，如果按每3个苹果5个梨分堆，苹果分完了还剩5个梨。问苹果和梨各多少？分析与解答一：我们设想再有10个梨，与剩下5个苹果一起，按“1个苹果、2个梨”前一种分堆，都分完。以后一种“3个苹果、5个梨”分堆来看，苹果总数能被3整除。因此可以把前一种分堆，每3堆并成一大堆，每堆有3个苹果，236（个）梨。与后一种分堆比较：每堆苹果都是3个，而梨多1个（6-51）。梨的总数相差设想增加10个+剩下5个=15个。（10+5）（6-5）15就知有15个大堆，苹果总数是15345（个）梨的总数是（455）280（个）答：有苹果45个、梨80个。分析与解答二：用图解法。前一种分堆，在图上用梨2份，苹果1份多5个来表示。后一种分堆，只要添上3个苹果，就可与剩的5个梨又组成一堆。梨算作5份，苹果恰好是3份。将上、下两图对照比较，就可看出，5+38（个）是下图中“半份”，即1份是16。梨是5份，共有16580（个）。苹果有162，5+545（个）。阅读材料报效祖国宏愿华罗庚的故事同学们都知道，华罗庚是一位靠自学成才的世界一流的数学家。他仅有初中文凭，因一篇论文在科学杂志上发表，得到数学家熊庆来的赏识，从此华罗庚北上清华园，开始了他的数学生涯。1936年，经熊庆来教授推荐，华罗庚前往英国，留学剑桥。20世纪声名显赫的数学家哈代，早就听说华罗庚很有才气，他说：“你可以在两年之内获得博士学位。”可是华罗庚却说：“我不想获得博士学位，我只要求做一个访问者。”“我来剑桥是求学问的，不是为了学位。”两年中，他集中精力研究堆垒素数论，并就华林问题、他利问题、奇数哥德巴赫问题发表18篇论文，得出了著名的“华氏定理”，向全世界显示了中国数学家出众的智慧与能力。1946年，华罗庚应邀去美国讲学，并被伊利诺大学高薪聘为终身教授，他的家属也随同到美国定居，有洋房和汽车，生活十分优裕。当时，不少人认为华罗庚是不会回来了。1949年新中国的诞生，牵动着热爱祖国的华罗庚的心。1950年，他毅然放弃在美国的优裕生活，回到了祖国，他说：“为了国家民族，我们应当回去”虽然数学没有国界，但数学家却有自己的祖国。”华罗庚从海外归来，受到党和人民的热烈欢迎，他回到清华园，被委任为数学系主任，不久又被任命为中国科学院数学研究所所长。从此，开始了他数学研究真正的黄金时期。他不但连续做出了令世界瞩目的突出成绩，同时满腔热情地关心、培养了一大批数学人才。为摘取数学王冠上的明珠，为应用数学研究、试验和推广，他倾注了大量心血。据不完全统计，数十年间，华罗庚共发表了152篇重要的数学论文，出版了9部数学著作、11本数学科普著作。他还被选为科学院的国外院士和第三世界科学家的院士。从初中毕业到人民数学家，华罗庚走过了一条曲折而辉煌的人生道路，为祖国争得了极大的荣誉。练习题1有一队小朋友到山上去种一批树，如果每人都种16株，还有24株树没有种；如果每人都种19株，还有6株树没有种。每人需种多少株树正好把树都种完？分析：树的总数与种树的小朋友人数是确定的。第一阶段与第二阶段未种的树的总数相差246=18(株)。两个阶段每人种树数相差19-16=3(株)。由此确定种树的人数就很容易了。人数算出后，可按第一阶段或第二阶段的情况计算出树的总数。然后求每人的平均种树数。解答：种树人数（246）（1916）=183=6（人）树的总数16624=9624=120（株）平均每人种树1206=20（株）答：每人需种20株树正好把树都种完。2一堆桃子分给一群猴子，如果每只猴子分10个桃子，则有两只猴子没有分到，如果每只猴子分8个桃子，则刚好分完。求有多少只猴子，多少个桃子？分析：按第一种分法，每只猴子分10个桃子，有两只猴子没有分到，就是桃子不足，差20个（因为这两只猴子应该各分10个桃子）；按第二种分法，每只猴子8个桃子，刚好分完，也就是不多不少，或者说盈数为零。每只猴子分8个刚好分完，每只猴子多分2个（每只猴子10个桃子）就差20个，说明猴子数目应为：202=10（只）。桃子数当然就是80个了。也就是（不足的桃子数+多余的桃子数）2=猴子的只数。解答：每只猴子分8个桃子刚好分完，每只猴子分10个桃子，就差20个。所以猴子数为：20（10-8）=10（只）桃子数目为：810=80（个）答：猴子有10只，桃子有80个。3一群兔子在一块地里拔萝卜，其中2只兔各拔4个，其余的兔各拔5个，此时地里还剩下12个。如果每兔都拔6个，正好拔完。有多少兔？有多少萝卜？分析：前一种情况可改为所有的兔每兔都拔5个，那么2只兔共多拔2个，此时地里还剩下10个。与每兔拔6个相比，总数相差就是10个。解答：总数之差12（54）210（个）兔子数10（65）=10（只）萝卜数610=60（个）答：有10只兔，地里有60个萝卜。4少先队员去植树，如果每人种5棵，还有3棵没人种；如果其中2人各种4棵，其余的人各种6棵，这些树苗正好种完。问有多少少先队员参加植树，一共种多少树苗？分析：这是一道较难的盈亏问题，主要难在对第二个已知条件的理解上：如果其中2人各种4棵，其余的人各种6棵，就恰好种完。这组条件中包含着两种种树的情况2人各种4棵，其余的人各种6棵。如果我们把它统一成一种情况，让每人都种6棵，那么，就可以多种树（6-4）24（棵）。因此，原问题就转化为：如果每人各种5棵树苗，还有3棵没人种；如果每人种6棵树苗，还缺4棵。问有多少少先队员，一共种多少树苗？解答：3+（6-4）2（6-5）7（人）57+338（棵）或67-438（棵）答：有7个少先队员，一共种38棵树。5某班学生去划船，如果增加一条船，那么每条船正好坐6人；如果减少一条船，那么每条船就要坐9人。问：学生有多少人？分析：本题也是盈亏问题，为清楚起见，我们将题中条件加以转化。假设船数固定不变，题目的条件“如果增加一条船”表示“如果每船坐6人，那么有6人无船可坐”；“如果减少一条船”表示“如果每船坐9人，那么就空出一条船”。这样，用盈亏问题来做，盈亏总额为69=15（人），两次分配的差为963（人）。解答：（69）（96）5（条）656=36（人）答：有36名学生。6在桥上用绳子测桥离水面的高度。若把绳子对折垂到水面，则余8米；若把绳子三折垂到水面，则余2米。问：桥有多高？绳子有多长？分析与解答：因为把绳子对折余8米，所以是余了82=16（米）；同样，把绳子三折余2米，就是余了326（米）。两种方案都是“盈”，故盈亏总额为166=10（米），两次分配数之差为3-21（折），所以桥高（82-23）（3-2）10（米）绳子的长度为2108236（米）7学校规定上午8时到校，小明去上学，如果每分种走60米，可提早10分钟到校；如果每分钟走50米，可提早8分钟到校，求小明几时几分离家刚好8时到校？由家到学校的路程是多少？分析：小明每分钟走60米，可提早10分钟到校，即到校后还可多走6010=600（米）；如果每分钟走50米，可提早8分钟到校，即到校后还可多走508=400（米），第一种情况比第二种情况每分钟多走60-5010（米），就可以多走600-400=200（米），从而可以求出小明由家到校所需时间。解答：10分种走多少米？6010600（米）8分种走多少米？508400（米）需要多长时间？（600-400）（60-50）=20（分）由家到校的路程：60（20-10）=600（米）或：50（20-8）=600（米）答：小明7点40分离家去上学刚好8时到校；小明的家离校有600米。8乐乐离家去学校上学，每分钟走50米，走了2分钟后，发觉按这样的速度走下去，到学校就会迟到8分钟。于是乐乐开始加快速度，每分钟比原来多走10米，结果到达学校时离上课还有5分钟。问：乐乐家离学校有多远？分析与解答：乐乐从改变速度的那一点到学校，若每分钟走50米，则要迟到8分钟，也就是到上课时间时，他离学校还有508400（米）；若每分钟多走10米，即每分钟走60米，则到达学校时离上课还有5分钟，如果一直走到上课时间，那么他将多