（岩土工程专业论文）水下盾构隧道饱和砂层地震响应的平面解析分析.pdf

摘要 地下工程技术的日臻完善使得水下盾构隧道在跨越江河海湾的方式中凸显其 优越性，而我国境内强震分布非常广泛且沿海地区常有地震发生，所以对水下隧道 的抗震研究具有一定的理论意义和工程意义。 本文对水下饱和砂层中含有圆形盾构隧道的复杂场地的平面地震散射的解析 解问题进行了求解，根据解析解进行了水下隧道地层隧道结构水体体系的地震响 应研究，重点研究了水体对河床、海床及隧道围岩的地震响应影响，给出了上述 场地模型的算例进行了数值计算并进行了分析，得出了以下研究成果： l 、以b i o t 两相饱和多孔介质动力学方程为基础，利用b e s s e l 函数展开方法， 给出了水下饱和砂层中含有圆形盾构隧道的复杂场地对平面地震波s v 波散射的 解析解； 2 、在解析解的基础上，结合算例，分析了水深、埋深、频率对隧道围岩及水 土交界面上土层的应力及位移放大系数的影响。 以上研究成果对水下砂层中含有圆形盾构隧道复杂场地地震反应分析与隧道 设计具有参考价值。 关键词：地震波；水下盾构隧道地层；解析解 分类号： a bs t r a c t s e i s m i cr e s p o n s es t u d yo fu n d e r w a t e rs t r a t u mi si m p o r t a n tt ou n d e r w a t e rt u n n e l d e s i g n i nt h i sp a p e r , t h ep r o b l e mo fp l a n es c a t t e r i n go ft h ec o m p l i c a t e dg r o u n do f u n d e r w a t e rs a t u r a t e ds a n d ys u b s o i lw i t hc i r c u l a rs h i e l dt u n n e li ss o l v e db ya n a l y t i c a l m e t h o d u n d e r w a t e rs t r a t u m t u n n e ls t r u c t u r e - w a t e rs y s t e ms e i s m i cr e s p o n s ei ss t u d i e d o nt h eb a s i so ft h ea n a l y t i c a ls o l u t i o n e m p h a s i si sp u to nt h ea f f e c to fw a t e ro nt h ef i v e r b e d ，c o a s tb e da n ds u r r o u n d i n gr o c k f u r t h e r m o r e , e x a m p l eo ft h em o d e li sg i v e na n d a n a l y z e d as e r i e so f r e s u l t sa r eo b t a i n e d f i r s t l y , b a s e do nb l o td y n a m i ct h e o r yf o rs a t u r a t e dp o r o u sm e d i u m ，a n a l 如c a l s o l u t i o n sf o rs c a t t e r i n go fp l a n es vw a v e sb yt h ec o m p l i c a t e dg r o u n do fu n d e r w a t e r s a t u r a t e ds a n d ys u b s o i lw i t hc i r c u l a rs h i e l dt u n n e li sg i v e nu s i n gf o u r i e r b e s s e ls e r i e s e x p a n s i o nt e c h n i q u e ； s e c o n d l y , n u m e r i c a l r e s u l t sa r eg i v e nb a s e do nt h ea n a l y t i c a ls o l u t i o n 1 1 1 e i n f l u e n c eo fw a t e rd e p t h ，b u r i e dd e p t ha n de a r t h q u a k ef r e q u e n c yo nt h es t r e s sa n d d i s p l a c e m e n tm a g n i f yf a c t o ro ft u n n e ls u r r o u n d i n gr o c ka n ds t r a t u mo fw a t e r - s o i l i n t e r f a c ea r es t u d i e d t h er e s u l t sa l ev a l u a b l et ot h es e i s m i cr e s p o n s ea n a l y s i so ft h ec o m p l i c a t e dg r o u n d w i mac i r c u l a rs h i e l dt u n n e li nu n d e r w a t e rs a t u r a t e ds a n d ys o i la n dt h et u n n e ld e s i g n k e yw o r d s ：s e i s m i cw a v e s ；u n d e r w a t e rs t r a t u mw i t hs h i e l dt u n n e l ；a n a l y t i c a l s o l u t i o n c i 。a s s n o ： 独创性声明 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的研 究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表或 撰写过的研究成果，也不包含为获得北京交通大学或其他教育机构的学位或证书 而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作 了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名： 签字日期： 年月 日 7 5 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解北京交通大学有关保留、使用学位论文的规定。特 授权北京交通大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索， 并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校向国 家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名： 新签名：你灾秽 签字日期：年月日 签字日期：矽导年1 1 月7 日 致谢 本文是在导师陈文化教授的悉心指导下完成的，两年多来，陈老师无论是在 学习上还是在生活上都给了我极大的关心、帮助和支持。在本文的选题、写作以 及最后的修改、定稿过程中，导师均倾注了大量的精力和心血，在此向陈教授表 示诚挚的谢意和深深的敬意。 衷心感谢马宏伟等同学和师兄弟们，感谢他们在论文写作过程中从收集资料、 编写程序等多方面给予的帮助。 感谢父母的养育之恩，他们为了支持我的学业任劳任怨，给予了我他们所拥 有的一切，也感谢我的亲人们对我的支持! 衷心感谢在百忙中拨冗审阅、评议硕士论文和出席硕士论文答辩会的各位专 家、教授。 作者水平有限，文中缺点与不足之处在所难免，恳请批评指正。 1 绪论 1 1 研究背景 随着国民经济的发展和综合国力的增强，地下空间得到了广泛的开发利用： 从各种生命线工程到地下隧道都开始在人们的生活中起到了非常重要的作用。对 于迅猛发展的城市现代化交通而言，当要穿越江河海湾时，通常是在桥梁与水下 隧道方案之间做出选择，从工程造价、耐久性、安全、生态环境和社会效益等角 度通过对水下隧道与桥梁渡越方案的分析、对比和论证，得出采用水下隧道穿越 江河海湾相对桥梁具有较大综合优势的结论。并且，随着隧道设计施工技术的发 展，水下隧道也开始逐渐在跨越江河海湾的方式中凸显其重要性。 众所周知，我国境内强震分布非常广泛且沿海地区常有地震发生，所以，对水 下隧道的抗震研究具有很重要的工程意义。然而，相对于大量的针对地面结构的 抗震研究和较为成熟的地面结构抗震规范，对地下结构的抗震研究则较少，至今 还没有地下结构的抗震设计规范，对于水下隧道来说，抗震研究更是少之又少。 对地下结构抗震研究较少的主要原因在于：长期以来，人们普遍认为地下结构的 数量较少，地下结构的抗震性能又优于地面结构，然而，地震的不断发生、地下 结构的兴建和近年来地下结构震害的不断出现使得地下结构的抗震逐渐引起了人 们的关注。围岩失稳和地震惯性力作用是隧道震害的两种主要原因，而第一种原 因往往起控制作用，这也就说明了研究隧道周围土体地震动力响应对地下隧道抗 震具有很大意义。 近年来，国内外学者对海底地震动问题做了初步研究，其中包括考虑海水为 理想流体和粘性流体的对比研究、考虑地震为水平输入和竖向输入的研究、海水、 海底淤泥和海底持力层构成的复杂介质体系的水平成层模型研究。对于地震动的 研究，除了采用数值模拟的方法，国内外学者也对采用解析解解决这一问题展开 了研究，包括单相介质、饱和土中具有孔洞的研究、分别在s h 波、s v 波、p 波 入射下土层的地震响应分析，而对地下结构抗震而言，最具意义的是对平面波入 射下饱和土中具有孔洞的散射场及场地反应的研究，因为这种模型相当于地震波 在传播过程中遇到了隧道等地下结构物的实际情况。对于水下隧道而言，利用解 析解的手段来研究水下土层的地震响应问题尚不多见。 1 2 研究现状 水下隧道地层地震响应分析由于其模型与普通地下结构分析模型主要区别在 于土层以上的水对地震波的影响方面，所以很多研究集中在如何考虑水对地震波 的影响方面。朱镜清( 1 9 9 0 ) 首先考虑水体为粘性流体，通过与将水体考虑为理 想流体的结果对比发现海水的粘性对海底土层的地震动影响较小，接着假定水体 为理想流体，在水平方向上不考虑水体的影响，在竖直方向上把海水的面分布质 量加到海底土层上。 对于普通地下结构地层地震响应分析进行了大量研究，不论采用实验方法或 是理论分析方法均有大量案例，采用解析解的方法：从刚开始以单相介质为研究 目标到更具现实意义的以饱和多孔介质为研究对象。这些研究工作极大的推动了 地震动的研究，并为地下结构的抗震提供了一定的理论基础。虽然针对水下土体 地震响应分析没有过多涉及，但利用波函数展开法也是近年来解决土层地震响应 分析的一种主要方法。 地震反应的解析解开始于t r i f u n a c ( 1 9 7 1 ) 得到的弹性半空间下二维半圆形河谷 地形s h 波入射下的解，该解是采用波函数展开方法得到的精确解析解。其后， t r i f u n a c 研究了各种典型局部场地在s h 波入射下的解。对于浅圆形山谷或河谷地 形，c a o 和l e e ( 1 9 8 9 ) 首先利用一个物理上的近似得到了浅圆形山谷的近似解，这个 物理上的近似就是用一个半径相比凹陷地形半径非常大的一个上凸圆弧来近似代替 山谷附近的水平地表。这样，河谷地形和原先水平地表之间来回反射的驻波就可以 用大圆弧的内聚波来代替了，物理概念非常明确。利用这种假定，s c h e i d l 和 z i e 哲e r ( 1 9 7 8 ) 研究了半空间圆形刚性内含物在r a y l e i g h 面波作用下的反应； t o d o r o v s k a 和l e e ( 1 9 9 1 ) 得到了浅圆沉积河谷在s h 波入射下的解；梁建文、张郁山 ( 2 0 0 0 ) 得到了圆弧形层状山谷和层状沉积河谷在平面s h 波下的解；袁晓铭、廖振鹏 得到了浅圆山谷( 1 9 9 2 ) ，浅圆河谷( 1 9 9 5 ) 的精确解析解，并采用将求解区域分块和设 辅助函数并对其做f o u d e r 展开的方法得到了半圆形凸起地形( 1 9 9 2 ) 和浅圆形凸起地 形( 1 9 9 6 ) 在s h 波入射下的解析解，袁晓铭等还利用虚拟源法得到了地表下圆形加塞 区对平面s h 波的散射。n a y i e r 和t o d o r o v s k a 等( 2 0 0 1 ) 分析了平面s h 波入射下二维 扇形凸起堤坝形结构与弹性半空间的相互作用影响的问题。对于p 波和s v 波入射 情况，l e e ( 1 9 8 4 ) 采用把球波函数展开为幂级数并同时满足所有边界条件的方法，得 到了三维半球形沉积山谷或河谷在s h 、p 、s v 波入射下的解；运用大圆弧假定， c a o 和l e e ( 1 9 8 9 、1 9 9 0 ) 得到了p 波和s v 波入射下浅圆形山谷场地下的解；梁建文、 2 严林隽等( 2 0 0 1 ) 得到了浅圆沉积河谷、浅圆层状沉积河谷在p 波下及凹陷表面覆盖 层在s 矿波下的解析解情况。运用其它方法取得的解析解主要包括：许贻燕、刘殿 魁等利用复变函数的方法和房营光利用波函数展开法得到的主要针对圆弧形凹陷地 形的关于s h 波的几个结果。 以上主要是单相土层地震响应分析的进展，但是从理论分析和实际观测的结果 对比可以看出，在饱水区用单相土建立起来的模型和实际的土层反应结果有较大差 异。b i o t 于二十世纪五、六十年代( 1 9 5 6 ，1 9 6 2 ) 建立了流体饱和多孔介质传播理论， 并成为以后有关饱和多孔介质波动理论各项研究的传播理论。国内外众多学者也从 不同角度对该问题做过研究：i s h i h a r a ( 1 9 7 0 ) 、门福录( 1 9 8 1 、1 9 8 4 ) 和陈龙珠( 1 9 8 7 ) 曾 做过简化近似分析，并试图给出饱和土中弹性波速度的实用公式。以饱和土为研究 对象，赵成刚、李伟华( 2 0 0 4 ) 对饱和土半空间中圆柱形孔洞对平面尸波的散射问 题做了研究；梁建文( 2 0 0 6 ) 研究了平面p 波和s y 波入射下圆形盾构隧道动应力集中 问题。 1 3 本论文的研究内容及方法 本文以b l o t 动力方程为基础，利用b e s s e l 函数展开法，给出水下两相饱和多 孔介质场地中含有圆形盾构隧道的复杂地形对波的散射问题的解析解，并在解析 解的基础上，引入相关算例得出水一土交界面、洞口围岩集中应力、位移放大系数， 分析并讨论了水深、埋深、入射波频率等因素对水土交界面、洞口围岩集中应力、 位移放大系数的影响。 1 4 课题的创新之处 本文以饱和土为研究对象，考虑上覆水层对地震波的散射影响，根据b i o t 饱和 多孔介质动力学理论，利用b e s s e l 函数展开法，给出了水下饱和砂土中圆形盾构隧 道在平面s 啵入射下的散射问题的解析解，并在此基础上研究了水下饱和砂土中 圆形盾构隧道地震波的传播问题，得到了一些初步的研究成果，这些研究工作对 水下隧道抗震分析具有积极的意义，也为以后进一步深入研究工作的展开打下一 定的基础。 3 2 水下盾构隧道饱和砂层弹性动力方程及求解 饱和土中波的传播的研究始于本世纪5 0 年代，b i o t ( 1 9 5 6 ) 建立了流体饱和多孔 介质的动力方程，为以后有关流体饱和多孔介质的波动理论的研究奠定了基础。 b i o t 理论的实质是将连续介质力学应用于流体饱和多孔介质，并分别考虑了流体 和固体骨架的应力应变关系及其运动。b i o t 理论用4 个弹性常数来描述饱和多孔 介质的应力应变关系，比均匀各向同性固体理论多了两个弹性常数，这两个弹性 常数分别对应于流体的弹性与流体和固体骨架间的弹性相互作用。b i o t 理论用两 个相互耦合的矢量方程分别描述流体和固体骨架的运动，并且在这两个方程中均 考虑了固体骨架和流体间的惯性和粘性相互作用项，构成了两个方程的相互耦合。 根据b i o t 理论，流体饱和多孔介质在动荷载扰动下，会产生三种波：两种压缩波 ( 第一压缩波尸，波和第二压缩波尸口波) 和一种剪切波，每一种波都涉及到固相和 液相的耦合运动。 继b i o t 之后，国内外许多学者从不同角度对该问题进行过研究。i s h i h a r a ( 1 9 7 0 ) 、 门福录( 1 9 8 1 ，1 9 8 4 ) 和陈龙珠( 1 9 8 7 ) 曾做过近似分析，并试图给出饱和土中弹性波波 速的实用公式；s t 0 1 1 ( 1 9 7 0 ，1 9 7 7 ，1 9 7 9 ) 对海底沉积土中的波及其衰减做了比较系统 的理论和实验分析；r i c e 和c l e a r y ( 1 9 7 6 ) 以及k o w a l s k i ( 1 9 8 3 ) 试图给出具有更确切 含义的参数，以弥补b i o t 理论中参数物理意义不明确的缺陷。实际上所有的这些 研究都在一定程度上证实了b i o t 理论的正确性，并促进了它的应用。目前b i o t 理 论已被广泛的应用于分析流体饱和多孔介质中波的传播、透射与反射以及动力分 析等问题，本文亦是以此为基础展开研究的。 本章将对b i o t 流体饱和多孔介质的动力理论以及波函数展开方法做简要的介 绍。 2 1 饱和多孑l 介质中弹性波的基本方程及求解 2 1 1 饱和多孔介质的应力应变关系 在b i o t 所取的单位土体单元中，以u 和u 分别表示流体部分和固体骨架部分 的位移；以盯和西分别表示流体部分和固体骨架部分承担的应力，则固体骨架部 分的应力应变关系为 西= 2 白+ # u ( a e + q e ) ( 2 1 ) 5 流体部分的应力应变关系为 盯= q e + r s ( 2 2 ) 两者满足以下关系 = 西+ 岛盯 ( 2 3 ) 式中气为土体单元总应力；勺为土骨架应变，白= ( u ，+ ，) 2 ；p 、s 为 土骨架和流体的体积应变，e = d i v1 4 ，占= d i vu ；n 、a 、r 、q 为弹性常数， 其中、彳类似一般弹性理论中的l a m e 常数，r 、q 反映了流体的弹性及流体 和固体骨架间的弹性相互作用。值得注意的是，蠢和仃并不是统称土力学中所指 的有效应力和孔压，实际上，1 7 = 一n p ，船为饱和土孔隙率。 2 1 2 波动方程 b i o t 于1 9 5 6 年首先建立了流体饱和多孔介质中的波传播理论，该理论的基本 假设为： ( 1 ) 土骨架是理想弹性多孔连续介质，土颗粒可压缩； ( 2 ) 孔隙水可压缩，在土中流动服从广义d a r c y ( 达西) 定律； ( 3 ) 土体具有统计各向同性且均匀，其孔隙相互连通； ( 4 ) 孔隙尺寸远小于波长； ( 5 ) 不计温度等因素影响。 根据上述假定及应力应变关系，流体饱和多孔介质的动力平衡方程可以表示为： 胛2 “+ v ( 彳+ ) p + q s = 嘉( 刖慨u ) + 喏( “二u ) ( 2 - 4 a ) v 【缈+ 尺g 】- 等( 舢+ 岛：u ) 一喏( 甜一u ) ( 2 m ) 式中p l l ，p 1 2 和p 2 2 为动力质量系数 岛l = ( 1 一玎) 织+ 见 ( 2 5 a ) p 2 2 = n p f + 岛 ( 2 5 b ) 9 1 2 = 一p 口 ( 2 5 c ) 其中 n = ( 1 - n ) p , ( 2 6 a ) 岛= n p ： ( 2 6 b ) b ：旦刀2( 2 6 c ) k p 式中，色、p ，为土颗粒和流体的密度，b 为描述质量耦合的附加质量密 6 度；b 为反映粘性耦合的参数；刁为流体的粘滞系数；为渗透系数。 2 1 3 波动方程的解 由于介质具有统计各向同性，而压缩波和剪切波是不耦合的，他们遵循独立 的传播方程，根据斯托克斯( s t o k e s ) 一亥姆霍兹( h e l m h o l t z ) 矢量分解定理：任 何一个足够平滑的矢量场均可以分解为无旋场和无散场两部分，可知固体骨架和 孔隙流体的位移矢量可以分解为 u = g r a d + 出，少 u = g r a dc d + d i v 甲 式中和缈分别为固体骨架部分的标量势函数和矢量势函数； 流体部分的标量势函数和矢量势函数。 将式( 2 7 ) 代入式( 2 4 ) ，整理得到 l 聊缈2 确窘慨窘+ 6 昙( ) 【刚+ r v 2 c 1 ) = p 1 2 础矿+ 如拿一6 昙( 舢) l 胛2 矽砥睾慨警+ 6 昙c y 邶 【。讯睾+ 如警一6 昙c 吵棚 ( 2 - 7 a ) ( 2 - 7 b ) 和甲分别为 ( 2 - 8 a ) ( 2 - 8 b ) 以无耗散情况为例，即r = 0 ，则b = o ，式( 2 - 8 a ) 和式( 2 - 8 b ) 中最后一项 可以消去。假设波的势函数具有简谐时间变量，各势函数可以表示为 = 矽( 少，z ) e x p ( - i c a t ) ，d o = a p ( x , y ，z ) e x p ( 一r o t ) ( 2 9 a ) 矿= 沙( y ，z ) e x p ( - r o t ) ，甲= w ( x , y ，z ) e x p ( - i c o t ) ( 2 9 b ) 将式( 2 - 9 a ) 代入到式( 2 - 8 a ) 中，略去时间因子，消去，可以得到尸波的 波动方程 。 b v 4 + 国2 c v 2 妒+ d v 西国4 = 0 ( 2 1 0 ) 式中：b = p r q 2 ，c = 硒l r + p 2 2 p 一2 p t 2 q ，d = p l l p 2 2 一以 由式( 2 - 1 0 ) 得 ( v 2 + 磋j ) 办= o ( ，= 1 ，2 ) 7 ( 2 - 1 1 ) 系 姚广号沪1 ，2 膨蝴h ，= 焉 2 b 删撼 固体骨架部分的尸波势函数可以写为 矽= 魂+ 唬 ( 2 1 2 ) 为确定流体部分尸波的势函数，把( 2 9 a ) 代入到式( 2 7 ) ，还可以得到如下关 = e 1 ) l + 2 = 石办+ 正唬 ( 2 1 3 ) 其中 乃= 鼍等泸1 ，2 ) ( 2 - 1 4 ) 把式( 2 9 b ) 代入式( 2 8 ) 中，并消去甲，可以得到固体骨架中的s 波方程 ( v 2 + 七当) 杪= o ( 2 1 5 ) 式中2 昙( j = 1 ，2 ) 为s 波波数，2 等为s 波波速。 同理，把式( 2 - 9 b ) 代入式( 2 8 b ) 中可以得到流体部分s 波的势函数： 甲= 六| 【f ， ( 2 一1 6 ) 其中 五= 一盟 ( 2 1 7 ) 2 2 水下盾构隧道饱和砂层动力方程的基本参数确定 从式( 2 - 5 ) 中可以看出，b i o t 动力理论中流体饱和多孔介质的材料参数有两 组：弹性模量和动力质量系数。 2 2 1弹性模量 b i o t 和w i l l i s ( 1 9 5 7 ) 绐出 万栏甲捍任模重的物理葸义以及测量和计算昀万 法。对于各向同性系统，丘肛月和p 这四个弹性模量可以由固体骨架的体积模量 和剪切模量，固体颗粒和孔隙流体的体积模量确定如下 n = ( 2 1 8 ) 么= ( 心刊+ 轰h 。9 ) r = 鲁 1 , 2 - 2 0 一) k d k b 8 脚( 1 _ 惫一刁轰 2 。) 尺。= 疋 - + n ( 每一- 。2 2 2 ， 式( 2 1 8 ) ( 2 3 5 ) 中，为固体骨架的剪切模量；k ，为固体骨架的体积 模量；k ，为固体颗粒的体积模量；k 。为孔隙流体的体积模量。 2 2 2 材料常数的极限情况以及方程的简化 如果介质是纯流体，l l t l 对n = 1 ，a = = q = o ，r = 髟，岛。= 岛：= o ，仍2 = 乃， 方程( 2 - 5 ) 简化为小位移假定下的流体动力方程 舾耐 a v u 】= 乃导u ( 2 _ 2 3 ) 如果介质是纯固体，此时刀= 0 ，q = r = o ，岛。= 只，岛：= 岛：= o ，方程( 2 5 ) 简化为单相弹性固体的波动方程 ( a + n ) g r a d a i v “卜朋= 只爰“ 在利用b l o t 动力理论进行土动力学研究时， 即k s 专，此时 n = 彳= ( 一计华巧 r = n k s q = ( 1 一，z ) 巧 ( 2 - 2 4 ) 通常假定土颗粒是不可压缩的， 2 3 极坐标系下饱和两相介质波函数的求解 ( 2 - 2 5 ) ( 2 - 2 6 ) ( 2 2 7 ) ( 2 - 2 8 ) 本文讨论的均是在极坐标系下的平面应变问题，由此式( 2 9 ) 转化为 痧= 矽( ，o ) e x p ( 一i 颤o t ) ，= o ( r ，9 ) e x p ( - i c o t ) ( 2 2 9 a ) = 5 f ，( ，9 ) e x p ( - i c a t ) ，甲= 甲( ，o ) e x p ( - i 缈, ) ( 2 2 9 b ) 下面以名波的波动方程( v 2 + 磋。) 砺= o 为例，对极坐标系下波函数的展开作简 要的介绍。 把式( 2 2 9 a ) 代入月波的波动方程中，得到 蚓，警膀券峨仰 3 0 ， 9 取办( ，p ) = r ( ，) o ( 矽) ，用分离变量法将式( 2 3 0 ) 分离为 ，2 r 。+ 旭+ ( 磋。，2 一l ，2 ) r = o o 。+ y 2 0 = 0 ( 2 - 3 1 ) ( 2 - 3 2 ) 式中y 为分离常数。因为办是单值函数，因此o ( 口) 应是以2 万为周期的周期函 数，这样y 只可能为整数，即y = 刀。此时方程( 2 3 1 ) 的通解可分别表示为第一 类b e s s e l 函数( 以( k o , l ，) ) 与第二类b e s s e l 函数( y ( k o ，。，) ) 的组合或者第一类 h a n k e l 函数( 磁( k o ，。，) ) 与第二类h a n k e l 函数( 磁2 ( 吒，) ) 的组合，即 r ( ，) = 以以( 屯，。，) + 统匕( 乞，。，) ( 2 3 3 a ) 或 r ( ，) = 互日1 1 ( 屯。厂) + 展硝( k o 。r ) ( 2 3 3 b ) 式中4 l ，b ，五和展为任意恒量。一般情况下，应根据问题的物理性质来 决定选择哪一组解，或者说选择哪一种类型的b e s s e l 函数进行问题的求解。 方程( 2 3 2 ) 的通解为 o ( o ) = ee o s n o + 见s i n n o ( 2 3 4 ) 式中c 和q 为任意恒量。因此势函数破可以表示为如下函数的叠加 。( ，9 ) = l4 以( 艺，。，) + 吃k ( 屯，。厂) l ( cc o s n 口+ 见s i nn o ) ( 2 3 5 a ) n = o 或 矽。( ，- ，臼) = l 五磁o ( 屯，l 厂) + 鼠一”( k o 1 ，) i ( gc o s ，z 0 + 见s i n 舱口) ( 2 3 5 b ) n = 0 在上面的推导过程中略去了时间因子e x p ( 一f 研) ，在本文以后的论述中均略去 此项。 综上可见，稳态波势函数解答可以由分离变量法得到的b e s s e l 函数以( 屯，。，) 与 匕( 乞。，) 或者h a n k e l 函数磁1 k o , r ) 与日：引( k o 。，) 以及c o s ，z 臼与s i n 棚的组合构成， 这种方法形成了波函数展歼法的基础。 2 4 两类转换公式 本文推导过程中坐标变换时用到的两类公式如下： 2 4 1 指数函数e x p ( i k r c o s o ) 的f o u r i e r b e s s e l 级数展开式 指数函数e x p ( i k r c o s o ) 是周期为2 z 的关于0 的周期函数，用复数形式的 f o u r i e r 级数展开为 l o 扩硼= q ( r ) e 脚 其中乞( ，) = 去r 。矿训矿触班去r 7 矿c o s a c o s y l o d o 根据b e s s e l 函数的积分定义 2 万，以( z - - 2 x e l b e o = 0c o sn o d o 可得 q ( ，) = f ”以( k r ) 从而我们得到： 纱瞄口= 广以( ，) p 硼- e 巳，以( b ) c o s 丹p 其中6 0 = 1 ，毛= 2 ( 以= 1 ，2 ) 。 2 4 2g r a f 加法公式 ( 2 - 3 6 ) ( 2 - 3 7 ) ( 2 - 3 8 ) ( 2 - 3 9 ) ( 2 - 4 0 ) 本节将简要介绍本文中多次用到的g r a f 公式的基本形式，具体的推导过程可 参阅相关文献。 一一 、 影夕i彭1 图2 1 中各量的关系为 z z c o s = 历c o s v z s i n 妒= = 颤面s i n v 图2 - 1g r a f 加法公式关系图 ( 2 - 4 1 ) ( 2 - 4 2 ) 当z 专0 时缈一0 ，从而有 嘶) l l e 。sn y j l = 薹( 玑( z ) f 【s l c o n s 朋m 尸f l ( 2 - 4 3 ) 式( 2 4 3 ) 即为g r a f 加法公式( w a t s o n ，1 9 6 2 ) 。当g ( x ) 取以( x ) 时该式恒 成立；当e ( 石) 取磁1 ( 石) 时则在z 以在这种情况下， s i n a , ，。= ( 3 ) s i n f l ( 喁f 1 ) s i n 以，= l ，因此式( 3 - 6 ) 中的吃。没有实数解，巴。是 一个复角。这时存在一个实数m 。，满足以下关系： 1 吒l ( 3 一l l a ) 乃= 一吃lc o s o 。l = 一呶l 1 - s i n 2 吃l = 砭ls i n 2 吃i 一磋l = 后2 一程l o ( 3 - 1 1 b ) 则式( 3 - 7 a ) 可表达为如下形式： 群( x ，y ) = 4e x p ( 一7 , y + i k , x ) ( 3 1 2 a ) 由上式可以看出，这时反射的露波是沿y = o 表面传播的纵向波动，而且在半 空间中其幅值随y 轴纵坐标的增加呈指数级降低而趋向于0 。将式( 3 1 2 a ) 转化 为极坐标系( r z , q ) 下的形式： 吖( 五，y 1 ) = 4e x p ( 一y i h ) e x p ( 一九乃+ 嵋五) ( 3 1 2 b ) 吖( r l , q ) = 4e x p ( 一y i h ) e x p ( 一九，ic o s o , + 盹吒s i n 0 1 ) ( 3 1 2 c ) 群( r l , q ) = 4e x p ( 一r , h ) e x p ( i k 口l 吒c o s ( o , 一吃l ” ( 3 - 1 2 d ) 群对o 、盯、u r 、u 0 的贡献分别为： 丑_ ( ，i ，q ) = 一( ( 彳+ 石q ) + 2 n c o s 2 ( b 一吃。) ) ，群 ( 3 - 1 3 a ) 丑，。( ，b ) = n s i n 2 ( 8 i 一吃1 ) 七：。群 ( 3 - 1 3 b ) 毋口( 吒，q ) = 一( q + 石尺) 后：。群 ( 3 - 1 3 c ) 兄( 吒，岛) = i c o s ( o i 一吃。) 吒l 群 ( 3 1 3 d ) 气( r l , q ) = i s i n ( o ! 一吃1 ) 丸l 群 ( 3 - 1 3 e ) 在入射角大于临界角的情况下，丑，( ，q ) 、最，一( 吒，幺) 、# 。( 吒，q ) 、兄，( ，j ，q ) 、 兄。( 吒，q ) 也可展开成f o u r i e r - b e s s e l 级数形式。通用公式： 假设厂( ，一，p ) = 艺i n ( ，) e i r 一, z ( 厂) = 去r 石( ，秒) 一啪d o ( 3 1 4 ) 若，- - - ) o oi 对f ( r , o ) - o ，则积分f l y ( r , p ) f 石：矗收敛，那么每个系数( ，) 可 用一个修正过的f o u r i e r 级数表示 下面以露，( r l , q ) 为例，将其展开： 此时，势函数弓。( ，；，q ) 不能再和( 3 7 b ) 式一样在整个空间( o q 2 万) 内展 开成f o u r i e r - b e s s e l 级数，因为当y 0 的半空间中时片l ( ，q ) 的幅值随y 轴坐标 值的增加呈指数级降低而趋向于o ，但若将只l ( ，i ，岛) 扩展到( o 只2 万) 中， 月，( ，i ，q ) 的幅值也会随y 轴负向呈指数级的增加，是无界函数，为此构造辅助函 数： 足：j 丑。( ，q ) = 一( ( 彳+ z q ) + 2 c 。s 2 ( q 一吃- ) ) 七。2 。群y - 一 ( 3 1 5 ) ”【0 y l 0 时，对于给定的，i ，吒、吃可由以下积分计算得出： 口。( ，i ) = ：i 。f ”只乏( ，q ) c 。s ，z o , d o , ( 3 2 2 a ) 吃( ，i ) = 去r 8 砭( ，q ) s i n 刀o , d o 。 ( 3 2 2 b ) 由于不得不将无限的f o u r i e r 级数截取成有限项进行计算，函数日，。( ，q ) 在整 个圆周上是连续的，不会象凹陷地形一样存在不连续点。不会象凹陷地形一样随 着远离不连续处，这种振荡减弱的很缓慢的g i b b s 现象，也即不存在由于不连续产 生的震荡。我们仍改用有限项的f o u r i e r 级数，其中采用一种理论，该理论是基于 在o q 2 z 区间一组在等距分散点0 、州n 、2 z n ( 2 n - 1 ) z n 处相互正交 的函数，对0 七，m n ，有以下正交关系： 篙1 s 协( 熹肼) s i n ( 号朋，) 2 冬三：三爱 3 2 3 a ， ( 吾肼) c o s ( 剁= 。( 3 - 2 3 b ) 1 9 2 缶j v - lc o 义( 丙r 肼) c o s ( 专朋，) = f 2 0 k m k = m 0 , n ( 3 - 2 3 e ) k = m = o , n 砭( 吒，q ) ：掣+ n - i ( ) s 咒q + 吃( ) s i n 以q + 掣c 。s 嗍 其中，对于给定的 吼( ) = 万12 白n - i - 。* 叭( ，罟) c 。s 万x l 疗( n = 0 - n ) 吃( ) = 万12 刍n - i 异( ，罟) s i n 万a , l 刀( 刀= 。) 再由式( 3 2 1 a ) 、( 3 - 2 1 b ) 、( 3 - 2 1 c ) ，可以得到系数4 阶、蜀l o 。，