（基础数学专业论文）einstein流形上一类特殊αβ度量的曲率性质和推广douglasweyl空间.pdf

西南大学硕士学位论文摘要 e i n s t e i n 流形上一类特殊( q ，p ) 一度量的曲率性质 和推广的d o u g l a s w e y l 空间 基础数学专业硕士研究生秦艳 指导老师王佳教授 摘要 在f i n s l e r 几何中，我们大量研究了一类丰富可计算的f i n s l e r 度量即( a ，p ) 度量 r e n d e r s 度量作为最简单的( q ，p ) 度量，对它曲率性质的研究及分类已相对完善如 果r e n d e r s 度量f = q + p 是e i n s t e i n 度量，h p r i c = 一1 ) c ( x ) f 2 ，勇v a c ( x ) 是一个 常数首先，本文在以上结果的基础上研究了具有该性质的更一般的( a ，卢) 一度量， 证明了：如果f = 笔是e i n s t e i n t j t i l ：，p 是闭的1 一形式，则f 是r i c c i 平坦的其次，我 们研究了推广的d o u g l a s - w e y l 度量与r - 齐次的f i n s l e r 度量之间的关系，并且进一步 举例说明了r - 齐次的f i n s l e r 空间是推广的d o u g l a s - w e y l 空间的子空间 关键词：f i n s l e r 度量；( q ，p ) 一度量； e i n s t e i n 度l r i c c i 平坦；r - 齐次； 推广的d o u g l a s - w e y l 度量 西南大学硕士学位论文a b s 豫a c t t h ec u r v a t u r ep r o p e r t i e so fas p e c i a l ( o l ，p ) 一m e t r i co nt h ee i n s t e i nm a n i f o l d a n dg e n e r a l i z e dd o u g l a s - w e y ls p a c e m a j o r ：d i f f e r n t i a lg e o m e r y n a m e ：q i ny a n s u p e r v i s o r ：p r o f e s s o rw a n gj i a a b s t r a c t ( 口，卢) 一m e t r i ci sar i c hc l a s si nf i n s l e rm e t r i c r a n d e r sm e t r i ci st h es i m p l e s t ( q ，p ) 一m e t r i cw h i c ht h ec u r v a t u r ep r o p e r t i e sa n dc l a s s i f i c a t i o nh a ss t u d i e dc o m - p l e t e l y w ek n o wt h a tr a n d e r sm e t r i co n a nnd i m e n s i o nm a n i f o l dm ( n 3 ) ，i f i ti sa ne i n s t e i nm e t r i c ，i er i c c i = ( n 一1 ) c ( x ) f 2 ，w h e r ec ( x ) i sas c a l a rf u n c t i o n o nm ，t h e nc ( x ) i sac o n s t a n t s o ，i nt h i sp a p e r ，f i r s t l y , t h ea u t h o rs t u d i e dag e n - e r a l ( q ，p ) 一m e t r i co nt h eb a s eo ft h ef o r m e rc o n s e q u e n c e w eo b t a i ni ff = 南i s e i n s t e i nm e t r i cw i t h8i sc l o s e d1 - f o r m ，t h e nfi sr i c c if l a t s e c o n d l y , w es t u d i e dr e l a t i o n s h i pb e t w e e nr - q u a d r a t i cf i n s l e rm e t r i ca n dg e n e r a l i z e dd o u g l a s w e y l m e t r i c w et a k eae x a m p l et ov a r i f i e dt h a tr - q u a d r a t i cf i n s l e rs p a c ei ss u b s p a c eo f g e n e r a l i z e dd o u g l a s - w e y ls p a c e k e y w o r d s ：f i n s l e rm e t r i c ；( q ，p ) 一m e t r i c ；e i n s t e i nm e t r i c ；r i c c if i a t ；r - q u a r a t i c ；g e n e r a l i z e dd o u g l a s - w e y lm e t r i c 独创性声明 学位论文题目：垦i 垒墨! 曼i 垒速理上二娄挂磕( q 2 二度量鲍酋奎 性厦狸推亡鲍旦q 坚g ! 垒墨二堕曼y ! 空闽 本人提交的学位论文是在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。论文中引用他人已经发表或出版过的研究成果，文中已加 了特别标注。对本研究及学位论文撰写曾做出贡献的老师、朋友、同 仁在文中作了明确说明并表示衷心感谢。 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解西南大学有关保留、使用学位论文的规 定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允 许论文被查阅和借阅。本人授权西南大学研究生院( 筹) 可以将学位 论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩 印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书，本论文：口不保密， 口保密期限至年月止) 。 学位论文作者签名： 导师签名：王位 签字日期：小l b 年6 月土日 西南大学硕士学位论文第1 章研究评述 第1 章研究评述 1 1芬斯勒几何发展历史的简单回顾 芬斯勒几何作为现代微分几何的一个重要分支，近年来得到了快速而长足的 发展随着几何学科的发展以及几何理论知识在实际问题中的应用，芬斯勒几何越 来越受到几何学家的关注芬斯勒几何的名称来源于1 9 1 8 年f i n s l e r 的博士论文 1 】 更确切地说，黎曼在1 8 5 4 年就已经提出了相关的思想，因此称其为黎曼一芬斯勒几何 也许才更加恰当而对f i n s l e r 几何有着卓越贡献的数学家l b e r w a r d 将联络引入到 了f i n s l e r 几何并将r i e m a n n 曲率推广至l j f i n s l e r 几何中，为后来f i n s l e r 几何的研究指 引了方向，从而也是使得f i n s l e r 几何的发展有了良好开端的决定性条件四十年代， 作为f i n s l e r 几何中的一个里程碑，几何大师陈省身先生在b e r w a r d 联络和c a r t a n 联 络的基础上引入了即满足无挠条件又满足与度量几乎相容的c h e r n 联络，自此以 后国内外大批几何学家投入至l j f i n s l e r 几何的研究中，并取得了丰硕的理论成果，加 速了f i n s l e r 几何研究与发展f i n s l e r 几何虽然作为一块年轻的研究领域但从八十 年代起它已在相对论、物理学、生物学以及心理学等领域得到广泛的应用，突显 出f i n s l e r 几何的独特魅力陋6 】在较长时间内许多几何学家曾认为f i n s l e r 几何仅 仅是r i e m a n n 几何的推广，所以很大程度上的研究成果只是将r i e m a n n 几何中的结 果推广至u f i n s l e r 几何中，从而使得人们对f i n s l e r 空间的结构及其”色彩”等问题的 研究不够深入在陈省身先生，美籍华裔数学家沈忠民等几何学家的带领下，克 服了f i n s l e r 几何以张量作为研究工具的局限，引入分析的方法并注重结合几何背 景，同时运用计算机做大量的符号运算，从而将f i n s l e r 几何带入了繁荣时期开辟 了f i n s l e r 几何的新时代 1 2 研究背景 在生物学、物理学等广大领域中有着重要背景的( a ，p ) 一度量一直以来 是f i n s l e r 几何学家研究的热点在大规模运用计算机进行符号运算以前以日 本人t y a m a d a 等为代表的几何学家主要采用张量分析的方法研究( q ，卢) 度量，由 于张量计算的复杂性，主要得到一些关于r a n d e r s 度量、m a t s u m o t o 等比较简单度 量的一些性质，然而几何的本质却被大量的计算所掩盖，所以几何学家对这方面 的研究进展相对缓慢 7 - 1 0 1 九十年代后，电子科学技术的快速发展为f i n s l e r 几何 的研究带来了福音，特别是在沈忠民带领下将新的运算模式和计算机软件m a p l e 程 序应用于纷繁复杂的f i n s l e r 度量的有关计算中，为( q ，p ) 一度量的研究注入了新 的活力【1 1 1 4 】多年来几何学家也对相对复杂的( q ，p ) 度量及一般的( q ，p ) 度量 1 西南大学硕士学位论文 1 2 研究背景 的曲率性质等方面进行研究 1 5 - 1 8 r i c c i 曲率作为对研究几何空间结构的重要 几何量之一，r i e m a n n 几何中将其在截面曲率的基础上加以定义并且当r i c c i 曲 率与r i e m a n n 度量之间在数量上满足一定关系时，r i e m a n n 流形将会成为一种特 殊的结构一e i n s t e i n 流形根据f i n s l e r 几何的发展历程以及与r i e m a n n 几何的相互 关系，使得f i n s l e r 几何中的旗曲率可以看作r i e m a n n 几何中截面曲率的推广，然 而r i c c i 曲率作为在旗曲率基础上定义的黎曼几何量之一，所以e i n s t e i n 流形的定义 在f i n s l e r 几何中也应运而生在r i e m a n n 几何中，毋庸置疑，如果一个r i e m a n n 流 形m 是e i n s t e i n 流形当且仅当m 的r i c c i 曲率是常数为了研究在f i n s l e r 流形上 当r i c c i 曲率以特殊形式出现时，其空间结构的特殊性，由此我们将其结论推广 至l j f i n s l e r 流形上在2 0 0 3 年c r o b l e s 证明了r a n d e r s 度量f = q + p 是e i n s t e i n 度量， 即r i c = ( n 一1 ) c ( x ) f 2 ，其中c ( x ) 是流形上的标量函数，那么c ( x ) 是一个常数由 此我们想讨论除最简单的( a ，卢) 一度量一r a n d e r s 度量外，相对其比较复杂的一类特 殊( 口，p ) 度量是e i n s t e i n 度量那么它的r i c c i 曲率具有什么样的形式 d o u g l a s 曲率恒为零的芬斯勒度量称为d o u g l a s 度量近几年，关于d o u g l a s 度 量的研究，人们已经取得了一些重要成果如，1 9 9 7 年，s b a c s o 和m m a t s u m o t o 证 明t r a n d e r s 度量是d o u g l a s 度量当且仅当p 是闭的，这里q 为一黎曼度量，p 为1 一形 式1 9 1 1 9 9 8 年，m a t s u m o t o 得到了一类特殊的( q ，p ) 一度量为d o u g l a s 度量的充要 条件2 0 1 2 0 0 5 年，程新跃教授和沈忠民教授证明了：在流形维数大于等于3 的 情况下，芬斯勒度量f 是具有迷向平均b e r w a l d 曲率的d o u g l a s 度量当且仅当f 具 有迷向b e r w a l d 曲率进一步，他们证明 d o u g l a s 度量具有迷向平均b e r w a l d 曲率 与具有相对迷向 l a n d s b e r g 曲率是等价的【2 1 】，极大地推广了r a n d e r s 度量的相关 结果之后，李本伶博士和沈忠民教授得到了( q ，p ) 度量为d o u g l a s ，度量的充分 必要条件由于对具有d o u g l a s 空间研究相对完善，在此基础上，文献【2 2 】中，b n a j a f 、沈忠民和a t a y e b i 定义了- 7 类涵盖范围更为广泛的度量一推广的d o u g l a s - w e y l 度量推广的d o u g l a s - w e y l 度量不仅包括了射影平坦芬斯勒度量，而且还包 含- j b e r w a r d 度量和d o u g l a s 度量令人惊奇的是，1 9 8 2 年s a k a g u c h i 证明t w e y l 度 量也是推广的d o u g l a s - w e y l 度量【2 3 】2 0 0 5 年，沈忠民教授和g c y i l d i r i m 给出 了r a n d e r s 度量f = a + p 为w e y l 度量的充要条件，并且进一步给出了f = q + p 一度 量为推广的d o u g l a s - w e y l 度量的条件这也说g j j s a k a g u c h i 的定理对r a n d e r s 度量是 成立的关于推广的d o u g l a s - w e y l 度量，人们虽然已经得到了若干富有意义的成 果，但目前对于推广的d o u g l a s - w 蚵l 空间具体所包含的度量的认识还不足，人们 在讨论的时候也时常忽视它与r i e m a n n 几何量之间的关系，从而使得我们对于该 空间结构等方面的研究不够深入早在2 0 0 1 年，几何学家们就开始研究一类具 有特殊r i e m a n n 曲率性质的空间一r 齐次的f i n s l e r 空间到目前为止对该空间的 2 西南大学硕士学位论文1 3 本文的主要研究成果 结构以及它所包含的度量我们已有了一定的了解，我们知道在紧致的f i n s l e r 流 形上r - 齐次的f i n s l e r 度量是l a n s b e r g 度量，再b e r w a r d 度量与l a n s b e r g s 度量以及 推广的d o u g l a s - w e y l 度量之间的关系，结合r - 齐次这一曲率性质作为切入点讨论 了r _ 齐次的f i n s l e r 度量与推广的d o u g l a s w e y l 度量之间的关系 1 3本文的主要研究成果 本文是关- = e i n s t e i n 流形上一类特殊( q ，p ) 一度量的瞰c c i 曲率的研究在2 0 0 3 年， c r o b l e s i 正明了在维数大于等于3 维的f i n s l e r 流形上，r a n d e r s 度量f = o + p 是 e i n s t e i n 度量，& p r i c = ( n 一1 ) c ( x ) f 2 ，其中c ( x ) 是流形上的标量函数，则c ( x ) 是常数 在此结果的基础上本文研究了相对r a n d e r s 度量较为复杂的( q ，p ) 一度量f = 为， 如果f 是e i n s t e i n 度量，则它的r i c c i 率是否具有特殊的形式 1 3 1 e i n s t e i n 流形上一类特殊( 口，p ) 度量的曲率性质 定理1 2 1 令( m ，f ) 是n 3 ) 维f i n s l e r 流形，如果( a ，p ) 一度量f = 南 是e i n s t e i n 度量，且p r i c = 一1 ) c ( x ) f 2 ，其中c ( x ) 是流形m 上的标量函数且p 是 闭的1 一形式，那么f 是r i c c i 平坦的 推论1 2 2 令( m ，f ) 是n ( n 3 ) 维f i n s l e r 流形，如果( 口，p ) 一度量f = 南 是e i n s t e i n 度量，最p r i c = ( n 一1 ) c ( x ) f 2 ，其中c ( x ) 是一个常数且p 是闭的1 一形式， 那么f 是r i c c i 平坦的 1 3 2 推广的d o u g l a s - w e y l 空间 推广的d o u g l a s - w e y l 度量作为比d o u g l a s 度量和b e r w a r d 度量更广义的度量，它 不仅与非黎曼几何量之间有密切的关系，而且我佃知道具有标量旗曲率的f i n s l e r 度 量是推广的d o u g l a s - w e y l 度量本文将推广的d o u g l a s w e y l 度量与黎曼几何量相联 系，我们有 定理1 2 3 令( m ，f ) 是一个n 维的f i n s l e r 流形，f 是r 齐次的f i n s l e r 度量，那 么f 是一个推广的d o u g l a s - w e y l 度量 r - 平坦的f i n s l e r 度量一定是r - 齐次的f i n s l e r 度量 推论1 2 4 令( m ，f ) 是一个n 维的f i n s l e r 流形，f 是r 平坦的f i n s l e r 度量，那 么f 是一个推广的d o u g l a s - w e y l 度量 3 西南大学硕士学位论文 第2 章预备知识 第2 章预备知识 定义2 1 令v 是一个n 维实向量空间，v 上的一个m i n k o w s k i 范数l 是指范数l ： y r 同时满足： ( a ) 在y 0 ) 上三是c 的； ( b ) l 是2 阶正齐次的，即 l ( 入秒) = 入2 l ( y ) ，入 0 ，y y ； ( c ) 对任意的0 y v ，在y 上的基本形式鲰是非退化的，其中 咖) = 三磊陬y + s u + t v 叱瑚 这时( v 三) 称为一个m i n k o w 8 k i 空间如果对任意的秒y 都有l ( 一y ) = l ( ) ，则 称l 是对称的 定义2 2 设m 是一个1 1 维流形，t m 上的函数f ( x ，可) 称为f i n s l e r 度量，如果f 满 足： ( a ) f ( x ，矽) 在t m o ) 上是c 的； ( b ) 对v y v ，e ( ) = f ( x ，) 是疋m 上的m i n k o w s k i 范数，即 i ) f 关于y 是i e l 阶齐次的，即 f ( a y ) = 入f ( ) ，入 0 ，y y ； i i ) 对任意的0 y v ，在y 上的基本形式吼是非退化的，其中 咖m = 丢盖 职m u 删l 。 此时称( m ，f ) 为f i n s l e r 空间如果l = g i j ( z ) y j ，此时f i n s l e r 度量l 就称为r i e m a n n 度量，因此f i n s l e r 度量仅仅是没有二次限制后，对r i e m a n n 度量的一般化，通常我 们用g = g i j y 矿表示r i e m a n n 度量 定义2 3 对于流形m 上任意一点x ，在t m h , 总存在一个局部坐标系( ，矿) ，使 得f = f ( 可) 只是关于( 可) r ”的函数，则f 称为局部m i n k o w s k i a n 度量 在流形m 上的每一个f i n s l e r 度量都能诱导t m 上的一个向量场 g ：= 矿面0 2 g 钕，y ) 杀， 这里 ( 舢) ：= 耖( 删) 他( 叫) 矿一己( 伽) ) ， 其中夕玎( z ，y ) ：= ( g t j ( x ，y ) ) 一1 可以证明 g ( z ，入y ) = 入2 g ( z ，可) ，入 0 4 西南大学硕士学位论文第2 章预备知识 我们此时称g 为f 诱导的一个f i n s l e rs p r a y 当然并不是每一个s p r a y 都是f h f i n s l e r 度量诱导的 令 啦可) = 耐o g i 训) ；嘶，们= 黑o y o y ( 删) ， 我们称孵为f 的联络系数，巧知为f 的c h r i s t o 腩l 符号 定义2 4 假设c ( t ) 为( m ，f ) 上的一条参数曲线，若它满足测地方程 学瑚小) 剥d e ) _ 0 其中 g = 三g a 0 ，z m ，y 死m ，则称户与f 是射 影相关的此时 伊= + p y ， 矗：= r ：+ e 醍+ 亿矿， 其中三：= p 2 一p , k v 七，7 - ：= 3 ( p ；k 一即七) + 三七 定义2 1 2 对任意的y 瓦m 0 ) ，有 岛：= b ；k l d x i 。d x 知。如f 。刍i z ：瓦mo 死m 。冗m _ l m ， 其中 b ；k l ：- - 茄岛， 称 b = b 旧e m o ) ) 为b e r w a l d 率当b = 0 ，f i n s l e r 度量f 称为b e r w a l d 度量 定义2 1 3 令( m ，f ) 是一个f i n s l e r 空间，对于任意一个切向量y 疋m ，定义 l 耖( “，u ，w ) ：= 一言观( 胃0 ( u ，u ，伽) ，) ， 在局部坐标下 l ( u ，u ，w ) ：= l i j k ( y ) u 伽七， 并且 锄：= 一耖“秒) 嘞加) = 一互1 m “y ) 器( n 如果l = 0 ，那么称f 是l a n s b e r g 度量 定义2 1 4 在b e r w a r d 度量的基础上j d o u g l a s 定义了一个新的几何量d v ：= 墨m 瓦m 瓦m _ 瓦m ，它是一个线性形式d v ( u ，口，w ) = q 埘( 秒) 口知w 。岳i 霉， 并且 。 巧= 鼋埘一南【弓七彰+ 鳓酲+ 取z 嘭+ 百o z 厂j k f i ， l ， f p 家 d = d u l y 瓦m 1 【o ) 为d o u 斟a s 曲率如果d = 0 ，称f 为d o u 百a s 度量 我们知道b e r w a r d 度量一定是l a n s b e r g 度量，然而在f i n s l e r 度量中并非所有 的l a n s b e r g 度量都是b e r w a r d 度量，但在一定条件下两者是等价的 7 西南大学硕士学位论文 第2 章预备知识 i l l 理2 1 5 【2 6 】在d o u g l a s 空间中，如果聩一个三口邶6 e 被量，那么隈一 个b e r w a r d f l j 量 再a r t - 齐次的f i n s l e r 度量与l a n s b e r g 度量之间的关系我们可以得到 引理2 1 6 【2 4 】在紧致的d d 叼f o s 空间中，如果跟r 一：, k 的f i n s l e r ) j 量，那 么隈b e r w a r d j 量 在d o u g l a s 度量的基础上定义了一类比d o u g l a s 度i 和b e r w a r d 度量更一般 的f i n s l e r 度量 定义2 1 7 一个f i n s l e r 度量f ，如果存在一个张量乃托使得 q 斛i m y m = t j 埘矿， ( 2 1 ) 这里巧埘i m 表示巧削关于f 的水平协变导数，则称度量f 是推广的d o u g l a s - w e y l p 良j i 方程( 2 1 ) 是一个射影不变方程，等价于对于任何沿一条测地线c ( t ) 的线性平行向量 场u = u ( t ) ，v = y ( t ) ，和w = w ( t ) ，存在一个函数t ( t ) 使得 夏d 。d 6 ( 以v ) 】= 疋 以上等式表示d o u g l a sl t 扫率沿测地线的变化率 因为对于任何r i e m a n n 度量总有d = 0 ，所以h w e y l 于1 9 2 1 年引进一个新的量 来刻画r i e m a n n 度量和测地系数，1 1 1 w e y l $ i 率 定义2 1 8 对任意的y t x m o ，设 ( 乱) = 忧( 可) 七刍i 正； 啪) ：= 耻击筹以 这里 a ：；：= 冠一r 酲 v ：= 瓦m 一疋m 是一个线性映射满足： ( ) = 0 ，t r = 0 我们称 w ：= 1 秒瓦m o ”是w e y l 瞄t 率 d o u g l a s l 曲率和w r e y l 曲率是f i n s l e r 射影几何中两个基本的射影不变量，它们在 对f i n s l e r 空间结构及色彩等方面的研究发挥着举足轻重的作用 现在我们来介绍一下( q ，卢) 度量 8 西南大学硕士学位论文 第2 章预备知识 足义2 1 9 令 f = q 妒( s ) ，8 = p q ， 其中口：= 谚矿矿是r i e m a n n 度量，p = ：玩 ) 矿是非零的1 一形式满足0 尾i i 口 0 ，( s ) 一s ( s ) + ( 6 2 一s 2 ) 哆”( s ) 0 ，l s i b 6 0 ， 则f = 口( s ) ，s = 鲁是( 口，p ) 度量，特别是当( s ) = l + s 时，称f 为r a n d e r s 度量 设g 和g a i 分别为f 和m e m a n n 度量q 的测地系数，局部表示为 g = 耖 【f 2 x m p l y m - - 【f 2 吣哦= p x m p l y m _ 【q 2 】一) ， 其中( ) ：= i f 2 】且( ) ：= ( a i 1 j ) ， 令 b ：= 1 1 风1 1 a ，= o 访s 幻，s j = 玩s ；， = 三( + ；t ) ，s 巧= 互i ( b i 扩；) ， r o o = r l j y 矿，s 5 = s ；矿，8 0 = s i y i l l 理2 2 0 【2 7 2 8 】( 口，p ) - 度量的测地系数与威e m o 佗破量a 的测地系 数g 耋有如下关系 g = g ：+ 口q s ；+ e 一2 q a s 。+ r 0 0 ) 石y i + 皿 一2 q a s o + r o o b - s - i 其中 q 一南； o ：= 垒( 尘二型l 兰型： 2 ( ( 一s ) + ( b 2 一s 2 ) 7 ) m ：= 丽磊示每i 弼 9 第3 章e i n s t e i n 流形上一类特殊( q ，p ) 一度量的 西南大学硕士学位论文 曲率性质 第3 章 e i n s t e i n 流形上一类特殊( a ，p ) - 度量的 曲率性质 3 1背景介绍 随着f i n s l e r 几何研究的快速发展，人们对f i n s l e r 几何中的不同曲率的研究也日 渐深入，f i n s l e r 空间呈现出多样性，在一定程度上取决于各种曲率的作用以及它们 之间的相互作用( 口，p ) 一度量是几何学家m a t s u m o t o 2 9 】引入的f i n s l e r 几何中的一 类丰富可计算的重要度量，它的曲率性质自然成为人们关注并讨论的焦点，因此 在这方面的研究取得了巨大的成果其中，沈忠民和程新跃对( a ，p ) 一度量的曲率性 质以及具有特殊曲率性质的( q ，p ) 一度量的分类问题上做了大量深入的研究 3 0 - 3 2 ， 不仅得到了一些( q ，p ) 度量的不同曲率之间的关系，而且使我们对曲率的几何意 义有了进一步的认识在( q ，p ) 度量曲率的研究过程中，最简单的( a ，p ) 度量一 - - r a n d e r s 度量常作为首要研究对象，到目前为止对r a n d e r s 度量的各种曲率的讨 论相对于其它的( 口，p ) 度量更加深入和完善在2 0 0 3 年，c r o b l e s 证明了r a n d e r s 度 量f = q - 4 - p 是e i n s t e i n 度量，即兄i c = m 一1 ) c ( x ) f 2 ，c ( x ) 是流形上的标量函数， 则c ( x ) 是一个常数f 3 3 】那么我们自然想考虑更一般的( q ，p ) 度量对以上条件是否 成立本文对具有以上性质的( a ，p ) 度量f = 笔进行了讨论，得到下面的结论 3 2相关知识 引理3 1 ( a ，p ) 一度量f = 为的测地系数满足以下关系 g = 口g + o r o o l + 皿7 0 0 扩一2 q o a s o l + 2 k o q a s o b i - 4 - q q s ：， 其中 q = e= 皿= - i & b 2 ：= a i j ( x ) b i b j ，并且o b 2 i 1 引理3 2 【3 4 】( m ，f ) 是n 维f i n s l e r j i c 形，隈( 及，p ) 度量，f = q ( s ) ，8 = 簧， 那么f 的r i c c i 曲率与r i e m a n n f l , 量口之间的威颤曲率a 磁有如下关系 霹= 口磁+ 霹， 1 0 亟筹 其中 焉：= 并且 + + + ( n _ 1 ) 鲁c ，+ 鲁吻帕1 ) s 3 c s + s ；魄帕r o a 0 8 0 铝+ 警铂 ( n 一1 ) r o o r o c 7 + 业c 8 + ( n 一1 ) 2 r o s o ( 2 e v t b 2 ) + s k s q ( 2 q u ) 、 “0 f r 加s k o ( a q e ) 一r o ，、o ，l o0 一让s o l 0 1 + r r o o c _ = 9 十( 2 ) r 气r + 8 0 r o c l o q s o r c l l + ( 2 a v ) s o r 2 + r 3 c 1 2 + q s 知8 k o c l 3 + 8 k 0 8 0 k c l 4 + $ k o l k o c l 5 + ( 4 a q 讧1 ) s k o r k f ( 8 ，b 2 ) ：= 0 ， g ( 8 ，b 2 ) ：= 皿， ( 3 1 ) u ( s ，6 2 ) ：= 一2 e q ， v ( 8 ，b 2 ) ：= 2 皿q 由于c 1 ，c 2 ，c 1 8 表达式比较繁琐这里就不具体给出 引理3 3 ( m ，f ) 是礼维f i n s l e 航形，如果( q ，) 一f l j l - 量r f = 南的坳和s 。满足以 下等式 那么 ( r o o + m a s o ) 2 三( 8 + o ) ， 一一m s s o2a 2 ( s 2 一a 2 ) t o o f f o lt s 一一s s 02 一 0 这y - s = 鲁和盯= 盯( z ) 是流形m 上的光滑函数 及 证明因为 + m a s o ：r一竺口s s o + 竺a s o8too0 0 十o ) ， + m a s 0 2r 一一a 口s s 0 十一a a s 0十j 根据模的性质，等价于 由多项式整除的性质，可得 则可以假设 ( + m o z s o ) 2 三0 ( 8 + o ) ( w o o + m a s o ) 三0 ( 8 + o ) r 一一mo 兰o ( 8 0 0 0 1 8 8 + o ) ， r i 0 = 十o ， ( r 一詈蝴。) = 口( 。+ s ) k 1 1 印 妒溅 q + 舻 p 乳 铲 扩 叻幽 陋聊 r m - 宕 十 萨砖独铷州 一 咿 挪 口 + q q 詈l q r 一 的荔 即q + 一 西南大学硕士学位论文 3 ：2 相关知识 这里k 是一个关于s 的多项式，将其有理部分与无理部分分开，得 ( 7 一i m a s s 。) 一q s r a t ( k ) - a n j 舢t ( k ) = 0 ， m ( 3 2 ) 和( 3 3 ) 得 将( 3 4 ) 代入( 3 2 ) 得 等价于 所以 t r s l r r a t ( k ) + a a r a t ( k ) = 0 r a t ( k ) =一兰，r r o 亡( k ) a a - 。( s 2 - a 2 ) i 舢( k ) + ( r 0 0 一m 。a s s o ) = 0 ， 一竺qs80三o(s2toou t s a 2 ) ， 一一q s 8 0 三一。j ， a 一一masso三盯q2(s2too a 2 ) 一一a s s o 三盯q 一 。】 a ( 3 2 ) ( 3 3 ) ( 3 4 ) 引理3 4 ( a ，p ) 度量f = 南的r i c c t 曲率与威e m 口n 破量q 的尉c 西曲率a 镅满 足以下等式 其中 磁= 口磁+ 瑶， 何一1 ) 鲁鑫+ 鲁暴+ ( 几一1 ) s 2 蠢+ s 3 铂曼a 1 a 2 + m 1 ) 警惫 + 警硐c e , + ( ) 了r o o r o 甭c 7 + 了r o o r o 甭c 8 + ( 一渺倘焘h s 口蔫+ r k 0 8 盎+ 警警 i 。箍m 伽鬻m r 石2 + s o r o 最佃。r 最+ a 最2 + 2 趸c 1 4 + a s k s 弋最+ s 罨+ s 最 一靠硒4 + 8 0 1 0 碉c 1 8 + i r o o l o 甭c 7 9 佃舻七苁 + 石2u k r i 一口6 k s k l o 页孑2 写一万i 4 巧a 6 k s o l k - 石27 乞r 加 一石2 k0 1 0 。s 蹴磊一2 q 幽七石1 柑s 奄k 碉4 ， 1 2 西南大学硕士学位论文3 2 相关知识 引理3 5 如果( 口，p ) - 度量f = 南，是流形m 上的历礼s t e l 破量，则有以下等 式成立 t o o + 9 其中仃= 盯( z ) 是流形朋上的一个标量函数 = a o t 2 ( ( 1 + 2 b 2 ) 2 9 s 2 ) ， 证明对于( 口，p ) 一度量，根据引理3 2 ，有 因为f 是e i n s t e i n 度量，那么 磁= 口磁+ 霹 a 磁+ 霹= ( n 一1 ) c ( x ) f 2 由引理3 2 ，将礤带入上式可得，并两边乘以钟，得 a r y e ( 1 + 3 s + 2 b 2 ) 4 + 砰( 1 + 3 s + 2 b 2 ) 4 一c ) ( n 一1 ) f 2 ( 1 + 3 s 十2 b 2 ) 4 = 0 ， 很明显 a 磁( 1 + 3 s + 2 b 2 ) 4 一c ) ( 佗一1 ) f 2 ( 1 + 3 s + 2 b 2 ) 4 三o m o d ( 1 + 3 s + 2 b 2 ) ， 所以 根据磁m 的表达式有 由( 3 5 ) , - i 得 砰( 1 + 3 s + 2 b 2 ) 4 三o m o d ( 1 + 3 s + 2 b 2 ) ， 鲁历+ s 3 是+ i r 0 0 8 0 趸c - 6 兰。m d d ( 1 + 3 s + 2 b 2 ) ( 3 5 ) ( 詈一矗8 。) 2 兰o m 。d ( 1 + 3 s + 2 b 2 ) ， 根据引理3 3 ，得 伽+ 曩函f = 蒜口s s 。= 盯q 2 ( ( 1 + 2 b 2 ) 2 - 9 s 2 ) 伽+ 面_ 硕丽删o 2 盯旷【l + 引理3 6 如果口，p - 度量f = 茄是觑n s e i 破量，并且p 是闭的j 形式，那 么瞒足以下等式 t o o = t o t 2 ( ( 1 + 2 b 2 ) 2 9 s 2 ) ， 竺! 鼍皇苎詈! 鼻曼曼皇鼍皇曼! 皇皇皇毫! ! ! 皇皇! 墨皇詈! 詈曼鼍鼍置皇目! !：= = ：兰：! 并且 r o o l o 2 r o 2 嚷= r o o l i b 。= f - = r i o i b z = 嵋= 2 9 a ( 4 ( 1 + 2 b 2 ) a r o 一9 r o o s ) + 印( ( 1 + 2 b 22 9 s 2 ) a 2 ； 言盯口s ( 2 ( 1 + 2 b 2 ) 2 1 8 6 2 ) ； 盯( n ( 1 + 2 b 2 ) 2 9 b 2 ) ； 2 a c e ( 4 ( 1 + 2 b 2 ) q 伽一9 r o o s ) + a 0 ( ( 1 + 2 b 2 ) 2 9 s 2 ) 口2 ； 盯6 2 ( ( 1 + 2 b 2 ) 2 9 6 2 ) ； a ( 1 8 b 2 1 ) s c y r o 一9 a b 2 r 0 0 + a o a s ( ( z + 2 b 2 ) 2 9 b 2 ) ； 口2 ( ( 1 + 2 b 2 ) 4 1 8 ( 1 + 2 b 2 ) 2 8 2 + 8 1 b ：s 2 ) 口2 3 3 主要结果的证明 定理1 2 1 的证明 因为f = 为是e i n s t e i n 度量，则存在流形m 上的标量函 数c ( z ) 使得 又因为p 是闭的1 形式，即 根据引理3 6 ，有 r i c = ( 佗一1 ) c ( x ) f 2 ， s q = 0 ， t o o = 盯口2 ( ( 1 + 2 b 2 ) 2 9 s 2 ) ， ( 3 6 ) 再根据引理3 2 ，得 磁一磁+ 研= _ 1 ) c ( z ) f 2 = m 一1 ) c ( z ) q 2 万b ( 3 7 ) 将r ，r o ，r o o l o 等代入( 3 1 ) 中，可得 霹= 9 ( 8 n 1 1 ) a 2 a 2 s 4 + 1 s ( ( 5 4 b 2 ) n + 6 b 2 7 ) ，2 口2 5 3 + 3 ( ( 1 6 b 4 5 0 b 2 + 主) n - 3 2 b 4 + 8 2 b 2 + 羞) 盯2 口一( 2 n - 3 ) a o a s 2 + 3 ( ( 8 b 4 - 3 6 b 2 - 1 1 ) l n - 3 2 6 4 + 6 0 b 2 + 1 1 ) a 2 a - 6 a b a + 印( ( 昙+ 4 b 2 ) n - 8 b 2 一孙s + ( 1 6 b 6 + 3 3 6 4 + 1 8 6 2 + i 1 1 ) 绍+ 3 2 6 6 1 0 2 6 4 - 2 4 b 2 _2 a 2 + 2 ( 1 + 2 b 2 ) q 2 + ( ( 6 2 + 专) n + 2 b 2 一去) a r 0 q 其中 。咯= 盯( z ) t ( z ) ，a o ：c 么t j ! ，t 西南大学硕士学位论文3 3 主要结果的证明 霹中有理部分和无理部分分别为： 删( 瑶) = 9 ( 8 n 一1 1 ) 0 2 a 2 8 4 + 3 ( ( 1 6 b 4 5 0 6 2 + 五1 ) n 一3 2 b 4 + 8 2 b 2 + 丢) 如2 s 2 + c r o ( ( 三+ 4 6 2 ) 佗一8 b 2 一互5 ) 及s + 【( 1 6 b 8 + 3 3 6 4 + 1 8 6 2 + 芸) n + 3 2 b e 一1 0 2 b a 一2 4 b 2 2 a 2 + 2 ( 1 + 2 b 2 ) a b a 2 ， ( 3 8 ) i r r a t ( t 嚣) = 1 8 ( ( 5 4 b 2 ) n + 6 b 2 7 ) 盯2 q 2 8 3 3 ( 2 n 一3 ) 0 o l a 8 2 + 【耋( ( 8 6 4 3 6 6 2 1 1 ) n 一3 2 b 4 + 6 0 b 2 - t - 1 1 ) 0 - 2 _ _ 6 0 b a 2 s + ( ( 6 2 + 互1 ) 几+ 2 b 2 一互1 ) c r 0 口 ( 3 9 ) m ( 3 6 ) 可得 ( 1 + 2 8 + 8 2 ) a r ：+ ( 1 + 2 s + s 2 ) 焉= ( n 一1 ) c ( x ) a