（基础数学专业论文）toeplitz算子代数的诱导理想.pdf

摘要 本文主要研究了拟格序群上的t o e p l i t z 算子代数的诱导理想，共分为四章在第 一章中，我们介绍了拟格序群，可传定向集，群的归纳极限等与本文有关的一些数学 概念，并且研究了拟格序群的归纳极限在文献f 1 8 】中，许庆祥和张小波研究了拟格 序群的归纳极限。他们证明了当拟格序群的定向系统满足一定条件时，其归纳极限也 一定是拟格序群为研究拟格序群上的t o e p l i t z 算子代数，l a c a ( f 7 j ) ，n i c a ( i x 4 ) ，许 庆祥和马峰( 【1 9 1 ) 研究了拟格序群的可传定向集于是个自然而又重要的问题是s 拟格序群的归纳极限的可传定向集与定向系统中的每个拟格序群的可传定向集之闯有 什么关系? 在1 3 节中我们对此作了专门的研究，本章的主要结果是性质1 3 3 和性质 l 3 6 拟格序群是一类很重要的数学对象，常见的拟格序群有序群，自由群，( 扩，露) 等除了这些常见的拟格序群外，构造其他的非交换的拟格序群是比较困难的事情通 过选取某些可逆的上三角实矩阵，在第二章中我们构造了个具体的拟格序群( g ，g i ) 并且麓g 0 的每个可传定向子集耳，我们非常清楚地刻知了相应的s ( s ) 的具体结构 供分8 种情形) ，这里s 饵) 指由h 生成的乒不变闭子集因为由文献用， 2 0 1 可知， 相应于拟格序群( g ，g i ) 的t o e p l i t z 算子代数7 q 的诱导理想与s ( h ) ( h g l ，h 可 传定向) 的结构密切相关基于第二章的结果。在第三章中我们将给出由这类上三角 实可逆矩阵所对应的t o e p l i t z 算子代数的所有的诱导理想。共记1 9 个 口代数的归纳极限体现了某种连续性和稳定性。它在算子代数k 理论等方面中 有着重要的应用文在献【1 8 l 中，许庆祥和张小波研究了拟格序群上的t o e p l i t z 算子 代数的归纳极限，证明了当每个t o e p l i t z 算子代数是顺从时，相应的归纳极限也是顺 从的以一般的可传定向集日去代替单点集 e ，我们推广了文献【培l 的主要工作。 见定理4 2 2 和定理4 2 3 在本文的最后，我们还举出了满足前面两个定理的条件的一 个实例 关键谚拟格序群。可传定向集，乳不变闭子集，伊一代数归纳极限，t o e p l i t z 算子代数，诱导理想 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r w e us t u d yt o e p l i t za l g e b r a so nq u a s i - l a t t i c e do r d e r e dg r o u p s t h ep a p e r c o n s i s t so ff o u rc h a p t e r s i nc h a p t e ro n e ，w e u 枷s o m eb a s i cc o n c e p t s ，s u c ha sq u a s i - l a t t i c eo r d e r e dg r o u p ，d i r e c t e ds a dh e r e d i t a r ys e ta n dt h ei n d u c t i v el i m i t so fg r o u p s w e m a i n l yf o c u so nt h es t u d yo ft h ei n d u c t i v el i m i t so fq u a s i - l a t t i c e do r d e r e dg r o u p s a ss h o w n 蚵x ua n dz h a n gi n 【1 8 1 ，t h ei n d u c t i v el i m i t so fq u a s i - l a t t i c e do r d e r e dg r o u p sw i l la l s ob e q u i - l a t t i c e do r d e r e dp r o v i d e dt h a tc e r t a i nc o n d i t i o n sa r es a t i s f i e d o n ei m p o r t a n ta s p e c t o ft h i st o p i ci st h es t u d yo ft h ed i r e c t e da n dh e r e d i t a r ys e t s ，a n dt h i si sc a r d e do u ti ns e c t i o n 1 3 o u rm a i n 瑚u i t si nt h i sc h a p t e ra r ep r o p o s i t i o n s1 3 3a n d1 3 6 o r d e r e dg r o u p s ，如g r o u p s ，a n d ( 扩，刃) a l la r eq u a s i - l a t t i c eo r d e r e d ，h o w e v e re x c e p t f o rt h e s ew e l l - k n o w ne x a m p l e s i t8 q u i t ed i f f i c u l tt of i n do t h e r ( n o n - a b e l i a n ) q u a s i - l a t t i c e do r d e r e dg r o u p s i nc h a p t e rt w o w e uc o n s t r u c tac o n c r e t eq u a s i - l a t t i c eo r d e r e d g r o u pb yc h o o s i n gc e r t a i n2b y2u p p e rt m n g l l l a rm a t r i c e s md e t a i l e ds t r u c t u r eo fs ( 日) i sc l a r i f i e d ，w h e r es ( z ds t a n d sf o rt h ec l o s e d0 - i n v a r i a n ts u b s e tg e n e r a t e db y 日，w h i c h a m o u n tt oe i g h tc a s b a s e do nt h i sr e s u l t w et h e nf o c u so nt h es t u d yo ft h ei n d u c e di d e a l s o fc e r t a i nt o e p l i t za l g e b r a si nc h a p t e rt h r e e , w h e r ea l li n d u c e di d e a l s o ft h eu n d e r l y i n g t o e p l i t za l g e b r a sm 西v e n i n 【1 8 】，x ua n dz h a n g s t u d i e do nq u a s i - l a t t i c e do r d e r e dg r o u p s a m o n go t h e rt h i n g s ，w e p r o v e dt h a tt h ei n d u c t i v el i m i t so f t o e p f i t za l g e b r a sw i l lh ea m e n a b l ei f e v e r ye l e m e n ti nt h e d i r e c t e ds y s t e mi s r e p l a c i n gt h e 如g l ep o i n ts e t e b yag e n e r a ld i r e c t e da n dh e r e d i t a r ys e t 日，w eh a v eg e tag e n e r a l i z e dv i s i o no ft h em a i nr e s u l t so f 【i s l f o rt h ed e t a i l s ，s e et h e o r e m 4 2 2a n dt h e o r e m 4 2 3 k e y w o r d s ：q u a s i - l a t t i c oo r d e r e dg r o u p ，d i r e c t e da n dh e r e d i t a r ys e t ，o - i n v a r l a n tc l o s e d s e t 。i n d u c t i v el i m i to f ( y a l g e b r a s ，t o e p l i t za l g e b r a , i n d u c e di d e a l s 论文独创性声明 本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果论文中除了特别加以标注和致谢的地方外，不包含其他人 或机构已经发表或撰写过的研究成果其他同志对本研究的启发 和所做的贡献均已在论文中做了明确的声明并表示了谢意。 作者签名：南鸳日期；户。万 论文使用授权声明 本人完全了解上海师范大学有关保留、使用学位论文的规定， 即：学校有权保留送交论文的复印件，允许论文拨查阅和借阅； 学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其 它手段保存论文保密的论文在解密后遵守此规定。 作者签名南鸳导师签名讶钢魄j 2 0 0 7 上海师范大学硕士学位论文 引言 本文第一章介绍拟格序群。可传定向集，群的归纳极限等基本数学概念由已知 的数学对象出发，构造出新的数学对象是数学中的常用方法，而归纳极限是其中的重 要方法之一在文献【1 8 1 中，许庆祥和张小波研究了拟格序群的归纳极限，他们证明 了当拟格序群的定向系统满足一定条件时，其归纳极限也一定是拟格序群为研究拟 格序群上的t o e p l i t z 算子代数，l a c a ( 【7 】) ，n i c a ( f 1 4 】) ，许庆祥和马峰( f 1 9 】) 研究了拟格 序群的可传定向集于是个自然而又重要的问题是z 拟格序群的归纳极限的可传定 向集与定向系统中的每个拟格序群的可传定向集之问有什么关系? 我们将对此进行专 门的研究本章的主要结果是性质1 3 3 和性质1 3 6 拟格序群是一类很重要的数学对象，常见的拟格序群有序群。自由群，( 磊，露) 等除了这些常见的拟格序群外，构造其他的非交换的织格序群是比较困难的事情通 过选取某些可逆的上三角实矩阵，在第二章中我们构造了个具体的拟格序群( g ，g 1 ) ， 并且就g 0 的每个可传定f 句子集噩我们非常清楚地刻知了相应的s ( 嚣) 的具俸结 构( 共分8 种情形) ，这里s ( h ) 指由日生成的乒不变f j j 子集因为由文献【7 i 2 0 1 ，知 道相应于拟格序群( g ，g + ) 的t o e p l i t z 算子代数丁q 的诱导理想与s ( h ) 的结构密切 相关因此基于本章的结果。我们在下一章中将给出由这类上三角实可逆矩阵所对应 的t 6 e p l i t z 算子代数的所有的诱导理想本章的研究基础为引理1 3 7 第三章有关t o e p l i t z 算子代数的诱导理想，可参考1 4 j ，【1 0 】，【1 4 l 等设( g g i ) 为 拟格序群。日是g + 的可传定向子集，令g 0 = g + h 一，分别记7 喀+ 和7 峙一为两个 相应的t o e p l i t z - 代数由文献【1 0 】知道。存在个从? + 到7 啦一的自然的c 一代数 同态映照，一，g + 研究t o e p l i t z 算子代数7 啦+ 的重要方面是刻划这类同态映照的核 空间e 竹妇t g + 的结构文献【2 0 】的最主要工作在于证明了丁g + 的每个诱导理想都 可以表示为上述族( 有限或无限) 核空间的交本章将以此为起点，针对第二章的由 某些上三角可逆矩阵所构造的拟搔序群，我们完全刻划了相应的t o e p l i t z 算子代数的 诱导理想，共有1 9 个 矿代数的归纳极限体现了某种连续性和稳定性。它在算子代数k 群中有着广泛 的应用关于它的定义及基本性质，可参看文献【1 5 l 和【1 6 j 相对而言，文献【1 5 | 的处 理方式较为简洁，但文献f 1 5 1 只介绍了一列口一代数的归纳极限以般的定向集， 代替自然效集n ，我们沿用文献f 1 5 l 的方法，将文献【1 5 】的有关结果作平行的推广在 文献【1 8 1 中研究了j 薹c 格序群上的t o e p l i t z 算子代数的归纳极限，证明7 当每个t o e p l l t z 算子代数是顺从时。则它们的归纳极限也是顺从的以般的可传定向集j ! r 去代替单 点集 e h 我们第四章将文献【1 8 】的工作做了推广，见定理4 2 2 和定理4 2 3 ，我们还举 出了具体的实例加以说明 22 0 0 7 上海师范大学硕士学位论文 第一章拟格序群的归纳极限 本章将介绍拟格穿群，可传定向集，群的归纳极限等基本数学概念由已知的数 学对象出发。构造出新的数学对象是数学中的常用方法，而归纳极限是其中的重要方 法之一在文献【1 8 l 中，许庆祥和张小波研究了拟格序群的归纳极限，他们证明了当 拟格序群的定向系统满足一定条件时，其归纳极限也一定是拟格序群为研究拟格序 群上的t o e p l i t z 算子代数，d c a ( 栩) ，n i c af f l 4 j ) 许庆祥和马峰( f 1 9 1 ) 研究了拟格序群 的可传定向集于是个自然而又重要的问题是拟格序群的归纳极限的可传定向集 与定向系统中的每个拟格序群的可传定向集之间有什么关系? 本章将对此进行专门的 研究本章的主要结果是性质1 3 3 和性质1 3 6 1 1拟格序群，可传定向集 设g 是个离散群，g 0 是g 的个半群满足g + n g ；1 = c ，其中e 是g 的单 位，而g ；1 = 伽- 1 l 岔g i ，在g 上定义个循序关系如下l z sf 辛窖一1 f g + ，v 。，可g 由定义知这偏序关系是左不变的。即对任意的，f ，：g ，由sy 可推出荔铆 定义1 1 1 ( g g i ) 称为个拟格序群，若对于g 的任意有限子集，当它在g i 中 有个上界时，它在g l 中必有个最小的上界关于拟格序群的具体例子详见【1 4 1 给定个拟格序群( g ，g 1 ) 及g 中的任元素毛易知在g + 中有个上界当 且仅当g + g ：1 ( 注意此时一1 也属于g + g ；1 ) 当g i c ；1 时，我们分别记 口( z ) ，r ( z ) 为毛- 1 在g l 中的相应的最小的上界易知 仃( 霉一1 ) = r ( z ) ，王f f i 矿( z ) r ( z ) 一1 当g + 的元索有多于个的子集时。我们有以下的约定；设2 ：1 ，为g i 中的a ( ，i 2 ) 个元素。若它们在g l 中有个公共的上界，则它们在g 中的最小的公共的上 界记为z l v v 为方便起见，若。l ，如在g + 中没有公共的上界。则我们约定 ：z 1 v v 。o o 定义1 1 2 g i 的个非空子集嚣称为可传的，若对任意的毛妒g 0 ，。j r 日= 辛2 日；日称为定向的，若日中的任意两个元素在日中有个公共的上界 记n 为g + 的所有的可传定向集全体由【1 4 l 知，按下述拓扑，n 成为个紧致 的h a u s d o r f f 空间la 4 n ，a n ， 厶一a 骨刖t g + ，有x a c t ) 一x a ( t ) t o e p l l t z 算子代数的诱导理想 3 设a n ，t g + ，记 o t c a ) 一 j g + 1 3 。e a ，使得8 缸) ( 1 1 ) 对任给的t g i ，令皿= 佃n i t 口) ， 定义1 1 3 对任意的t g + ，啦是q 的个闭子集，映射巩：n n t 定义为 o t ( a ) = 陋，t a l ( a n ) 是个以n 到n t 的同态映照对任意的s ，t g + ，有o s o o t = 0 8 p 对任意的a n t ，设 町1 ( 脚= t 一1 0 v 而l 每a ) ( 1 2 ) 对任意的a 啦，o g + 有町1 c a ) n ，以。盯1 = j ，町1o o t = ， o e 町1 ( a ) 铮t a a ( 1 3 ) 实际上，若口町1 ( a ) ，则存在a ，有o = t - i c t v z ) 所以协= t v z a 因此，o t 是 个从n 到m 的双射 反之，若d g + ，t o a ，则 口= t - z ( t o ) = t - z ( t v 缸) 町1 c a ) 定义1 1 4 设k 是n 的个非空子集。k 称为是竺丕窒的，若对任意的t g l ， 有 0 d k ) = o d a ) l a k ) k 以及巩( n k ) = 以( b ) i b k ) n k 由定义知。k 是f 2 的乒不变子集当且仅当对任意的t g + 和a n ，有 a k 错o , c a ) k 显然1 2 的任意一族乒不变的闭子集的交集仍然是乒不变闭子集，因此对任意的k n 存在个最小的乒不变的闭子集烈k ) 包含它，我们称s ( k ) 为由k 所生成的乒不 变的闭子集特别地，当k 是个单点集f 日) 时，则简记s ( 日) ) 为s ( 日) 1 2 群的归纳极限 关于群的归纳极限，可参见文献【1 6 】的第6 章为了明确本文的一些数学符号 的意义，在本节中我们简单地回顾一下群的归纳极限的定义称 g i ，) t j e ，为个 群的定向系统，若j 为个定向集， g k n 为一族群v f ，j s ，当 j 时， 存在坳：g 一g j 为保单位的群同态，满足做= i 曲。m d 及秸接条件o 4 2 0 0 7 上海师范大学硕士学位论文 仍i = 似( v i jsk ) 为简单起见，我们笼统地以e 记所有的群的单位分别定义 兀科昏耐卜g 怕。) 及 i e l q = h 埏，e i e l g i 存在札使得当t 如时，专氐= e ， l、j 则按点点相乘，兀g 为一个群，而g 为n g i 的正规子群，记t ：r i q 一 e ji e ji j e j 1 7g g 为相应的商映照 由定义知，对于兀岛的任意两个元他) 讵，仇) i e ，t ，r ( 瓴k e ，) = f ( 慨) ，) = 争j t o l 使得当i i o 时，有啦= b i 寺李l j ，j 屯i l ，使得当i 2 时，有a i = b f ( 1 4 ) v i o f ，定义：g k n q ，( ) = ( b i ) i e f ，其中 k = 州t 籍如 令= fo ：g k ng eg 易知对于任意的 ，j j ，当i j 时，有 仍。鳓= 忱于是g = u 忱( g i ) 为个群，它具有如下的万有性质： 设h 为任一群，使得对于任何 i ，存在保单位的群同态 ：g i h ，满足 o 竹= ，丘则存在唯一的保单位的群同态a ：g h ，满足 o 协= ，l 事实上，对于任何的z g t 必存在啦。g ，使得z = 忱。h 。) 若还存在另外的 个足标 2 ，及a n 吼，使得z = 协。( ) ，则可取 充分大。使得i i l ，i 赴且 。h 。) = 协，( 瓯，) 此时k h 。) = 九( 蛳。h 。) ) = ( 。( ) ) = k a 于是映照 ：g 一凰 ( 忱( 啦) ) = ( q ) ，皿g 定义合理且为个保单位的群同态由a 的定义知。a o 鼽= k l 上述群g 称 为群的定向系统t q ，伤i ) j ，的归纳极限，通常记为些 g ，协 1 3 拟格序群的归纳极限 引理1 a 1 ( c 【1 8 j ) 设t g ，坳) i j ，为个群的定向系统t 记g2 斟忱( g ) 为其 归纳极限设对于任意的 存在g ，岛，( q ，g ) 为拟格序群，使得 ( i ) 对于任意的i ，j 当 j 时。有妒一( g ) 量g 岁； t o e p l i t z 算子代数的诱导理想 5 ( i i ) 对于q 中的任意有限个元t l ，如，若它们有一个公共的上界属于钟，则 竹i ( 口( 0 1 ，k ) ) = 口( 协( 0 1 ) ，协) ) ，巧i 令g + = u 仍( g ) ，则( g ，g 1 ) 为个拟格序群 证明任取t i ，记c g 。为g 的单位，e g 为g 的单位困e g 。辞，彀 岛g = 忱( ) g + ( 蛀) 任取8 ，6 g + ，设8 = 体t 缸，) ，b = 0 k ) 其中辨。g 盅，奶g 毫取 i 3 j ， 3 n 且 3 赴，则西= 体3 i i 钒) 仍。b 缸2 ) ) g + 这样我们证明了t g + 饵g + 、 ( i i i ) 设口，d 1 g l ，g r i n 个如i 及x i o ，磁，使得4 = 扛i o ) ，8 1 = ( ) 由( 1 4 ) 式知，存在i l 缸使得当i l 时，有( ) = 镪t 0 0 二1 ) = ( 扛旬) ) 1 由g 八( g ) 一1 = ( e 岛 知。协o ( ) = e g l ，v i i l ，于是n = 7 r ( ( e 岛) 芷fl = e g 这样我们证明了，g ln o ；1 = f e g ， ( i v ) 设。l ，如为g 的任意有限个元，g + 为它们的个公共的上界，印 巧1 霉g + ，p = 1 ，n 取i t i ，使得 工l = 体l 似1 ) ，毛= 忱l ) ，d l 。a n q l ， 彳f l z = 5 i ( 6 1 ) ，j i l z = 体i ( k ) 6 l ，k g 吉， 善= 协l ( n ) ，d 诺 因耳( 丐1 z ) = ，故存在i 2 l l ，使得i ，( 唧) = ，( 口) ，p = l ，n 于是对于 p = 1 ，n ，( i i ( 唧) ) “i ；。( b ) g 去令 t l = h ( 0 1 ) 。k ；协，i l ( d ，i ) 。o = o i 2 1 l ( 口) ， 则 以；( t 1 ) ，= ( k ) 。= ( 5 ) ，知。锐 于是o ( t t ，n ) s4 ，从而扣( t l ，t ，i ) ) i j ) = 。 对于p = l ，棚，每1 ( 口( t l t ，t n ) ) = 协： 筝1 p ( t l i t ，i ) ) ) ( 嚷) g + ，于 是p o l ，k ) ) 为l ，如在g + 中的个上界 另一方面，任给，g i ，使得暑，却，p = l ，竹，同前可知，存在i 3 j 及 “，k 龟，r 吨，使得 葶l = ( f 1 ) ，孙= i ( k ) ，= 似 ( r ) ，f lsr ，k r 取女i 2 且女白，使得 妒均( t 1 ) = 妒i 缸( f 1 ) s 铆嘞( r ) ， 6 2 0 0 7 上海师范大学硕士学位论文 ： 饥吐( t n ) = 慨i 3 ) 纠盹( r ) 于是口( 妒h ，( t 1 ) ，蛳，) ) 。( r ) ，即。p ( t l ，k ) ) 讯妇( r ) ，从而 协，c o c t , ，k ) ) = 雠( ( 口( t l ，k ) ) ) s 似( ，( r ) ) = p 这样我们证明了，a 扛1 ，) = ( ( o l ，t - i ) ) 由( i ) - ( i v ) 知，( g ，g + ) 为个拟格序群 口 设j 是个定向集，“g ，甜) ) 谢是族拟格序群，且t g ，纷i i j e j 是个群的 定向系统满足定理1 3 i 的两个条件为简单起见，u 忱( g ) 和u 忱( 钟) 分别记为 e fi e i g 和g 卜任取日为g l 的个可传定向子集。对任意的i i ，令 甄= 扛钟i 忱( 日 ( 1 5 ) 性质1 3 2 设日为g 0 的个可传定向子集，则日= u 协( 甄) 此外，我们还有 ( i ) 协( i ) 吗j i ) ； ( i i ) 对任意的t i ，甄是g ，的个可传子集； ( i i i ) 对任意的i i 以及z ，p 鼠，存在j 使蚴扛) v 蛳0 ) 吗 证明只需证( i i i ) 对任意的i j 以及z ，f 凰，由于日s g l = u 忧( 甜) ，故存 e f 在i l ，以及：凰。，使得仍v 协( f ) = 仇。( 力 令口= 忱( 习，b ；忱( ”) 和c = 忱l ( ：) 因为5 = a - - 1 c , t = b - 1 c g + ，故存在如，i 3 f 以及“嚷，口吨使得。= ( ) ，t = ( ”) 注意到张( z ) ( ) = c ；忱。( = ) = 忱( ) ( ，因此由( 1 4 ) 式及协的定义易知存在某个j ，j i l ，如，妇，使得 协( z ) 协吐( = 畅i 。( ；) = 协i ( ) 竹i ，( 口) 所以坳( 甸vs o 曩( y ) 协i 。( = ) 马 口 注1 3 1 设g ，q ，凰甄如定理1 3 1 和性质1 3 2 由性质1 3 2 的( 试) 知。对任 意的，v 甄，存在j i 使得鳓( vs o 舅( y ) 玛下面我们指出 ，、 忱( 功v 吼( v ) = 协i 协( 刁v 协( f ) ) ( 1 6 ) 、， 事实上，协p ) = 仍( 仍( z ) ) 访( 仍( ) v 竹妇) ) ；同样，体( ”) 竹( 竹i 扛) v 吩( v ) ) ，因 此有协缸) v 忱( y ) 协( 仍i ( 2 ) v 蚴( v ) ) 另方面。对任意的仍。( 奶怫( z ) v 红( ) ，其中t l ，磁，由性质1 3 2 的证明知， 存在， ，j ，a ，使得 妒巧。( t 妒h p ) v 悱白) = 妒巧( 竹i 扛) ) v ( 扔i ( 可) ) = p 巧( 蝴( z ) v 妒一( f ) ) t o e p i t z 算子代数的诱导理想 7 于是 鳓= 讯( 蛳。( ”) ) 似( 鳓( z ) v 鳓( ) ) = 竹( 蛳。) v ( 枷口 性质1 3 2 的逆命题也是正确的t 性质1 3 3 设对任意i i ，存在甄为q 的个子集，满足性质1 3 2 的条件 ( i h j j i ) ，则日= u 恢( 甄) 是g 0 的个可传定向集 证明( 1 ) 日是可传的，设c d b 日g + 令o = ( z ) ，b = ( y ) ，其中 z g 之且y 风。选取j 芝 o 使得勺仍旬冬协o ( ) 协如( 点) e 吗因为岛是 可传的，所以协o ( 动月j ，故口= ( = 伤( ( ) ) 日 ( 2 ) 日是定向的- 对任意的口，b 日，令o = 恍。扛) ，b = ( ) ，其中z 凰。，f 月矗 选取如i 使得如i l ，i 2 ，则o = ( 。1 ) ，b = 觚) ，其中l = i 。扛) ，n = b ( v ) ， z l ，讥z k 由假设，存在j j 且，乱使得竹如p 1 ) v 协i 0 0 1 ) 马则可知 口v b = 竹( 仍 o ( i ) v 协如觚) ) 协( 马) 口 性质1 3 4 设日为g + 的个可传雩向集，定弋风( d 同性质1 3 2 取5 g + ， 口吒使。= ( 口) ，则o o ( h ) = g 协【( d ) 慨) j i z 幻 、 ， 证明( 1 ) 任取霉o ( 凰) ( i i o ) ，由定义( 见( 1 1 ) ) 知存在凰，使得 z s ( 口) ，于是忱0 ) 奶( ) ( 。) ) 忱( 们；。0 ) 因此协( 口) 协( 风) i - i , 进而知 协( z ) 以( 日) 所以有u 忱( 吣扣) ( 甄) ) 以( 日) t ) 幻、， ( 2 ) 对任意的以( 日) ，存在h 1 t 有ss h 选取i t 硒使得u = 怯。如) 和 h = 仇。( ，) ，其中g 去，p 鼠。取j i 且，i l 而使得仍i 。( z ) ( 口) 蛳。 仍如0 ) 日j 则 u - - - - 妒t 。( = 竹( 协i 。( ) ) 仍( o 扣) ( 吗) ) u 忱( e ( 。) ( 凰) ) i _ i o 、7 因此- g 怫( o ( o ) ( 凰) ) 以( 日) 口 1 7 柚 、 ， 性质1 3 5 取抒是g l 的个可传定向子集定义凰0 i ) 如性质1 3 2 所示 取t e 日，t = ( d ) ( 口) ，则 町1 ( 日) = u 协( 乙( 口) ( 凰) ) i 三1 0 。 证明( 1 ) 对任意的i “取0 ，- t 。( 。) ( 凰) ，剐( o 净甄于是蛾( ； 仍( ( 口) z ) 协( 甄) 日，易知协( z ) 町l ( 日) - 因此竖似0 蔬( d ) ( 甄) ) 町1 ( 日) 82 0 0 7 上海师范大学硕士学位论文 ( 2 ) 对任意的町1 ( 日) ，存在h 日使得缸= k 选取 l i o 使得；协t 扛) 和 h = 忱l ( 9 ) 其中g 去，p 甄。取j j 且j i 1 i o 使得协d ( 口) 。( z ) = 竹i ，( p ) 马， 则协i 。( 。) 味( o ) ( 玛) 因此， u = 协。( 功= 协( 竹- ( z ) ) 协( ；：o ( 玛) ) u 协( 之( 口) ( 凰) ) ， 所以毙协( 味( n ) ( x d ) 2 盯、日) 口 性质1 3 6 令日为g i 的个可传定向子集定义甄( f f ) 如性质1 , 3 2 所示 取s ，g + ，t 日使。0 ( 口) ，f2 ( 6 ) ，其中口嚷和6 风，则以。町1 ( 日) = 。毙协卜- ( 4 ) 。嚷脚( 甄) 证明由性质1 3 4 ，易知 u 协【j 0 扣) 。嚷御( 甄) ) 以。町1 ( 田 另方面，对任意的u 以。町1 ( 日) 一鲫，其中v 町1 ( 日) 取i l i o , x ，f g 吉，使 得u = 协。口= 忱。( ”) 且忱。o ( 6 ) p 凰。( 性质1 3 2 ) 选取j i 且j2 i l t o 使 得叻“( 功力旬( 口) 协。( 们因为竹如( 6 ) 协。( 计= 协。( 体丙( 6 ) 协。( 甄。) 易，易知 竹i t ( y ) 味( 6 ) ( 马) ，于是坳- o ) o ( d ) 。嚷( 玛) 因此 仙= 竹( 鳓t ( 瑚竹心幻t 耐。0 撕- 1 ( 吗) ) g 望似一o 。o 哪- tt ”( 凰) ) t 所以竖协h 柚。啵啪( 凰) ) 2 以。町1 ( 日) 口 引理1 3 7 ( c 【1 9 1 ) ( g ，g + ) 为个拟格序群，日为g + 的个可传定向子集， s ( x ) 为由日所生成的n 的0 - 不变闭子集。则s ( h ) 为d 的闭包，其中 d = o , ( o - 1 ( 日) ) 扣c ，t 日 口 结合定理1 3 7 及前面的定理，我们得到以下的结果t 定理1 3 8 令i 1 为g l 上的可传定向集的全体令日n ，s ( 日) 是由h 生成的 n 的0 - 不变子集定义凰“j ) 如性质1 3 2 所示，则 = 画而两而肟硐口 t o e p l i t z 算子代数的诱导理想 9 第二章由某些上三角实矩阵所诱导的拟格序群的s ( 日) 结构 拟格序群是类很重要的数学对象，常见的拟格序群有序群。自由群，( 磊，z ：) 等除了这些常见的拟格序群外，构造其他的非交换的拟格序群是比较困难的事情通 过选取某些可逆的上三角实矩阵，在本章中我们构造了个具体的拟格序群( g ，g + ) ， 并且就g l 的每个可传定向子集日，我们非常清楚地刻划了相应的s ( s ) 的具体结 构( 共分8 种情形) ，这里s ( h ) 指由日生成的乒不变闭子集因为由文献f 7 l f 2 0 1 ，知 道相应于拟格序群( g ，g + ) 的t o e p l i t z 算子代数了q 的诱导理想与s ( h ) ( 日g + ，王r 可传定向) 的结构密切相关因此基于本章的结果，我们在下一章中将给出由这类上 三角实可逆矩阵所对应的t o e p l i t z 算子代数的所有的诱导理想本章的研究基础为引 理1 3 7 2 1由某些上三角实可逆矩阵所构成的拟格序群 本节我们将构造个具体的非交换的拟格序群记r 表示实数集， 令g 为由某些可逆的2 阶e 三角实矩阵所构成的集合，即 g = ：) 卜。一毗r ) 瓯= ( ：1 ：) l 。- - - ，。龆芝- ，a - ：2 。) ( ；1 ：) 嵋我们有 霉k ( 寺霉) 对任意的z = ( 2 1 ) z ，营x - 1 ，田曹钆 - - l 1 l ，勉s 勉，笔s 篆 ( 2 2 ) 因此，对g 任意两个元素z = ( 啊) ，f = ( 蛳) ，它们有个最小的公共上界：= ( 勺) g + 其中 z l l 。m ( 1 。z l l ，玑1 ) 2 0 0 上海师范大学硕士学位论文 名镏 = m n z 【1 霉恐 勉) 铀= m 一( o ，锄篆，劾面1 2 ) 所哗( g ，g 1 ) 是个非交换的拟格序群 定义2 1 1 取e = f l ，0 0 ) x 【1 ，o o ) f o ，嘲为r 上的子集，定义a ：g + 一f ， ( 苫：) = c 。m 锄，石0 1 2 ， 。 d = ( n ) = ( 日) r e a ) 口= p 霉【1 ，o o ) l 了z , e f l ，) 。：【0 0 0 ) ，使得( ? ，“：) 日) ， p = s u p p 【l ，o o ) 1 3 z f l ，o o ) , z 【0 0 0 ) ，使得慨弘刁嚣) ， 7 = 鳓p z t o , ) 1 3 x e 【l ，) ，p 【1 ，。o ) ，使得仁，；) e s 易知日= 毛x 妇矗，其中 l 【l ，口1 ， 正口 o o 且3 1 f l ，o o ) ，；【o ，o o ) 有妊，弘力昱； l = f l ，n ) ，i f a ，但( 口，玑z ) 簪日对任意的口【l ，o o ) ，ze 【0 ，o 。) ； 【l ，o o ) ，i f a = o o 则 j r 5 1 ) = 【1 0 l ( 1 口 o o ) ， 船) = 【0 ，o 】( o s 口 o 。) ， k = 毽) = 尝= 1 1 ，o o ) ， 穆) = 【l ，d ) ( 1 口 o o ) 。 以2 ) = 【o n ) ( 0 口 ) 3 。= 璁= 穗= 1 0 。o o ) n = f 厶妇x 以1 1 s 口，p ，0 7 so o = 归舻x 妒j l s 儡卢s m ，0 l ，c 0 ，忱a 一1 ( 【1 o ) 【l ， 【o ，c ) ) ，定义 = a 一1 ( 1 l ，【1 ，6 ) f o ，c ) ) ，我们有 吼舻a - 1 ( 【l ，未) x 【l 去) x 【o 竺鼍坐) ) ( 2 4 ) 证明令z = ( ：1 ：兰) a 一1 ( 【l ，a ) f l ，6 ) 【0 ，c ) ) 则坯z l l a , i 鲡她o c 罄“撕2 【l ：1 笔) 酣+ ，有 ，坛1 ( a 一1 ( 【l ，口) 【l ，6 ) 【o ，c ) ) ) 争珂e a ( 1 1 ，d ) x 【1 ，6 ) x1 0 。c ) ) 甘u 讥阳，蝴 b ，型挚“ 口，bn l ，口篮一z 1 2 曹蛐 石勉 1 ，c 0 ，存在z ，p g 0 使得 钆。踞1 ( a 一1 ( 1 1 ，2 ) x 【l ，2 ) 【o ，2 ) ) ) = a 一1 ( 【l 。o ) 1 1 ，b ) 【o ，c ) ) ( 2 6 ) 证明取吼l ，。罐，满足 ，幡( 1 ，：) _ r o l l 1 ，b l ，c 1 情形1 - = a 一1 ( 【l ，x 【l ，6 ) 1 0 ，c ) ) 由定理2 1 4 ，对任意的a o l ，6 n 1 , c o o s ( a 一1 ( 【l ，a o ) x 【l ，6 0 ) x1 0 ，c o ) ) = s ( a 。1 ( 【l ，2 ) 【1 ，2 ) x1 0 ，2 ) ) j 由引理1 3 7 ，对任意的日n ，有 s ( 日) = ： 气。置；1 ( 日) i ，ei c + ，口h 故 s ( a 一1 ( 【l ，o o ) x 【l ，6 0 ) 【o 句) ) ) = f 币丽i 研和面丽石可了而) = n t 0 印n 拓算子代数的诱导理想 情形2 = a 一1 ( 【1 ，0 0 ) 【1 ，6 ) 【o ，c ) ) 由( 2 4 ) 和( 2 5 ) 知，对所有的毛f g i ，有 巧1 ( a - 1 ( 【l ) 【1 6 ) 【0 ，c ) ) ) = a ：1 ( 【1 ) 【1 ，去) x 【o 警) ) 毛( a 一1 ( 【1 ，) 【1 ，6 ) 【o ，c ) ) ) = a 。1 ( 【1 ，) 【l ，6 掣纽) x f o c y n + y 1 2 ，) ) - 挖 下面我们取特殊的z ，使得 知o e ；1 ( a 一1 ( 【l ，o o ) 【l ，2 ) x 【0 ，2 ) ) ) = a - z ( 【l ，o o ) x 【1 ，6 ) 【0 ，c ) ) 取1 z l l o o ，。船，勉，使得 ( 1 乓) s 。涩 2 ，蚴：譬o