（基础数学专业论文）一类拟线性吸收退化抛物方程的奇异解问题.pdf

摘要 摘要 在这篇文章中我们讨论下面方程的初值问题的非负非平凡解的存在性问题 u f d i , ( i v 卵。v u ) 一未叭u ) 一u 4 ( 叫) s t = r n ( 咐) ( 1 ) u ( z ，0 ) = 0 x j o )( 2 ) 其中p 2 ，q 0 ，饥( s ) c 1 ( r ) 首先假设 1 6 ：( 5 ) i m s ”一1 s 0 我们证明了若p 2 成立，当0 q p 一1 + 哥，0 m p l + 斋，0 m 血p 型+ n 正p - - 生n 尘时，问题( 1 ) ( 3 ) 没有解；当 p l q p 一1 + 嚣，0 0 ，b i ( s ) g 1 ( r ) i nt h i sp a p e r ，w ea r ei n t e r e s t e di nt h ee x i s t e n c ea n dn o n e x i s t e n c eo fn o n - n e g a t i v ea n d n o n - t r i v i a ls o l u t i o no fc a u c h yp r o b l e m ( 1 ) w i t hi n i t i a ld a t a ( 。，0 ) = 6 ( z ) z r ” ( 3 ) w h e r e6 ( z ) d e n o t e st h ed i r a cm d s sc e n t e r e da tt h eo r i g i n l e t j 瓦( s ) i m s 一1 s 0 w eh a v ep r o v e dt h a tl e tp 2 ，i f0 q p 一1 + 嚣，0 m p 一1 + 嚣，0 m 虹号拶，t h e n ( i ) ( 3 ) h a 8n os o l u t i o n ；i f p 一1 q p 一1 + 毋，0 0 ， 是常数，此处重复指标表示从1 到n 求和方程 中 ob 。( “) 描述扩散过程中的对流干扰项，非线性项a u 。描述扩散过程中的非线 性源，当a 0 时称为”热源”，当a 0 和n 0 是某物理常数。 改变变量和记号，它就化成非n e w t o n 渗流方程 害：加( 1 v 。p v 。) m 。“。”。“ 如果所考虑的是多方气体，则压力和密度满足- y n 状态方程 p = c p l ( 3 ) 一类拟线性吸收退化抛物方程的奇异解问题 其中c 和1 都是正常数。于是由( 1 ) 和( 2 ) 碍 日害= c m ( i p l l ”) 改变变量和记号，它就化成非n e w t o n 多方渗流方程 垫：div(iv“ml一2甲um)ot ， 其中m 0 ，p 1 易见，方程( 4 ) 可以写成 o u ：n 订五霎昙+ m p l ( m 一1 ) ( p 一1 ) 4 m p p - r e l y190t i v u l 。”瓦i 两+ ”1 【一1 j 【p 一” 其中 扎m p - l u ( m - 1 ) ( p - - ) 1 w l 坤( s i j + ( p 一2 ) i v y r 是考) 此处重复指标也表示从1 到n 求和。显然对f r ”，有 r a i n 1 ，p ) o 。( u ，w ) l 1 2 护6 6 m a x 1 ，p ) o ( u ，w ) l t 2 其中 8 0 ( 嵋v u ) 一m p 一1 u ( m - - i ) ( p 一1 ) v u r 2 由于当a o ( u ，v u ) 0 时 l i 驴汩帆蝴：卜如果p 1 礞 _ + o lo 。，如果p 1 + 击为慢速扩散情形，而称p 2 ，q 0 ，6 。( s ) c 1 ( r ) 当方程的初始值为测度时它是类物理现象的数学模型。若p = 2 ，6 ；( u ) = 0 ，在文献 1 2 中给出当0 g 1 + 斋时，问题( 5 ) 有一个满足下面初值的解 u ( z ，0 ) = 6 ( z ) z r ”( 7 ) 这里6 ( z ) 是中心在原点的d i r a c 函数，而且当g 1 + 斋时，问题( 5 ) ( 7 ) 没有解 在文献【1 3 】和【1 4 】中给出若p 2 且p 一1 q o ( 1 。) 在这篇文章里我们研究了初值问题( 5 ) ( 6 ) 在对流项甓( “) 干扰下非常奇异解 的存在j 陡问题若p = 2 ，6 ，( u ) = u ”，文献【1 5 1 6 】中证明了当1 q 1 + 斋以 及1 ”l 1 + 霄1 时，问题( 5 ) ( 7 ) 有唯解；当q 1 + 斋以及1 m 学时，问 题( 5 ) ( 6 ) 没有非常奇异解；当1 q l + 号以及1 2 ，0 目 p 问题( 5 ) ( 7 ) 没有解； 1 + 嚣，0 m q ( p 再+ n 两p - - n - 1 ) 时， 定理3 假设( 1 1 ) 成立且当p 2 ，p 一1 q p 一1 + 斋，0 m 0 。 不失般性，在本文中我们用c 表示证明过程中的各种常数。 在这一嘲分的证明中我们假设定理1 的条件满足 1 2 1 5 一类拟线性吸收退化抛物方程的奇异解问题 记 b n ( x o ) = z r ：z z o i 0 由文献 17 j 易知问题( 1 3 ) 一( 1 5 ) 有唯古典解“h 且 e “k e 0 否则考虑其逼 斤闻颢口 引理2 2 问题( 5 ) ( 1 2 ) 的解“ 满足 厂f ：_ 1 + 番一“d z 出 e ( d ，r ) ( 1 6 ) 其中o n 击，e ( 如r ) 是和勘及k 无关的常数 证明设( 。) c 酽( b 。r ) ，0 1 ，= 1 若z b r ( z 。) ，用蔫p 乘以( 5 ) 两端且在r ( o ，t ) 上积分得 上。广丁羔如p 如+ 。0 7 五。寻为刚掣如斑= 一，j ( 7 上，若冬叫即v 岖叫v + ，：7 正，小羔衅。油出 z 7 上。篙州础十上。o m “南斌”出 ， 注意到 点，禹川州r 1 v 一厶若斋i v 叫甲捌t 删“小r 一可舻蛐删s 小扣。1 悯m 一类拟线性吸收退化抛物方程的奇异解问题 又由引理2 1 得 由式( 1 7 ) ，有 n ? ：击泌蜒c v 酬甲揪g 1 + z ，”。i v 铲d x 疵 + z ，“+ l “p ”i v 如d t + z ，i v f i 一l “：? d x d t ( 1 8 ) 其中假设式( 1 1 ) 成立 令。1 - 。帆，1 ，：。声，：业p 型- l - - a 。 由s o b o l e v 嵌入不等式得 ( 明；1 刚f t 上。1 v ( 妒卸s u p ( 上：。w 南捌( 1 _ 宁( 1 9 ) 其中口= ( 已= ；) ( 寺一i 1 + 2 产) 。由式( 1 9 ) 得 厶p 7 如d t tc ( 吲s u 。p 上。z i 如) 丛；。上。l , v 嬉w ) | 9 d x d t 因为f v 一e 嵩斋l v ”j a n 在( ? k 1 ) 上及e w v l = 0 在 t 培 1 ) 上 所以由引理2 1 得 上，v ( 洲如出c t 厶l v 铲u1 - “d x d t + 上，寻裔l v 蚓掣蚓( 2 0 ) 于是由式( 1 s ) ( 2 0 ) 得 ，p 。扣删c 1 + ，! jj s tjj s tv 印u - l - a d x 出+ 上，i v 求州u d x d t + 上，“叫慨i 螂 ( 2 1 ) 因为( a + 1 ) ( p 1 ) p - 1 + 昔一d ，取= 妒9 ，其中妒c f ( b 2 r ) ，0 妒l ，t t = l 若z b r ，卢= 丛巴掣，将其代入式( 2 1 ) 应用y o u n g 不等式，即得式0 6 ) 。口 引理2 3 问题( 5 ) ( 1 2 ) 的解u k 满足 u k ( z ，t ) c + t i j f 2 2 1 8 高 一类拟线性吸收退化抛物方程的奇异解问题 其中c = ( 击) 击 证明因为c t 南是( 5 ) 的解，利用比较原理可以得到( 2 2 ) 口 引理2 4 设百丽；而c r r o ) 以及0 p - s u pdxdtp1 ( 2 5 )u c ( r ) f “k 9 看m ( 2 5 ) 口r ( $ o ) ( o ，t ) j 0j 口r ( 。o ) z 7 上。，i v u t l 9 c k d t o ) 乘以( 5 ) 两端且在r ”( o ，t ) 积分得 因为 丢1 上。p u ：“( 8 “d x + r ：。上。v 蚓u ：。1 9 如如 切z 。上。陬t i v - 2 v u k u r 1 v f 出d s = 南上。烈挑) ) r + ，j ( 。上，序打扩蚍洲础 ，。l + r ，掀 j oj r “ l v 蚓”r 1 限恤如e 正，1 v 叫飞9 + g ( s ) z ，t 。2 一l + i v i d z d t 又s u p 必cr o ) ，h ( z ) c 铲( r “) ，则足够大时有 所以，由( 2 7 ) 得 p h ( k z ) = 0 。p ，f p ，d x + ，_ 厂j v 。：f 芦憎出也 0 t tj r xi is 7 f 2 7 ) 9 一类拟线性吸收退化抛物方程的奇异解问题 g ( r ) j f z ，“一1 + ”l v f p d x d t + z ，f ”一1 j v l “? + 7 d z d ) ( 2 8 ) 应用嵌入不等式，对某些p 0 有 z 7 上。r u ：1 + r + 寻一“) a z 出c r 。s u 。p ，上。p u ；+ 1 出) 昔厶l v ( 黝；2 产胪如出 删。器，r 。阿1 如+ j ，上，i v ( 如胛删“寻 0 ( p l 其中d = 盟掣一1 。 首先考虑m p l 的情况。由( 2 7 ) 得 z 7 上。+ 。u ：一2 + k 1 + 1a z 出i i l i ：；7 j 驴z 7 正，“l 一2 + a z a t 不失般性，假设 + 上7 上。u ：m p + 1 ) + p 一2 十x 1 如a e “ _ | r 7 ，p - 2 + k t d x d t lv j 0 j b a ， t ，。p 。- 2 + k t + l 掀) 击 j 0 j b n + 1 利用标准m o s e r 迭代和s c h w a r z 不等式得 g 两( 7 小p “2 她 。舞剐赤j ( 7 水2 + k d z d t ) 女 f 2 9 1 1 0 二蔓塑壁型墼坠堕墨丝塑竺查堡塑童墨壁旦壅 1 1 s u 旭p 毗邓( 射s u p q 虮) 警矿去陌z 2 上。u ：- 2 + r d x d t ) 由 。，。s x ( 。u p 毗i 1 。鬻，) “t + g ( r ) 砸= _ ；可筛z 1 上。嵋。h 出疵 于是由 1 9 ，p 1 6 1 ，引理3 1 i 得 。，器，u 一g 未iz 1 上。喀2 + r 蛐) ( 2 5 ) 的证明与( 2 4 ) 的类似由( 1 6 ) 、( 拍) 、( 2 5 ) 可以推出( 2 3 ) 利用( 2 3 ) 、 ( 2 4 ) 、( 2 5 ) 和( 2 8 ) ，可以得到( 2 6 ) 予是引理2 4 得 芷口 定理l 的证明 由引理2 2 2 4 ，问题( 1 3 ) 。( 1 5 ) 的解关于，e 在任 意紧集kc 岛 ( o ，o ) ) 上致有界于是存在个子列 。幻。和个函数。 e ( 岛 ( o ，o ) ，) ( 文献 1 8 】) 使得对任意紧集kc 岛 ( o ，o ) 都有 ”b 。一当j o 。当c ( 肖) 中 现在证明“是( 5 ) ( 7 ) 的解。易知t 具有定义1 中的性质l 和2 ，剩下的是要 验证性质3 记u b 。为叶。由( 1 3 ) 得 j 厶。q 忙，烈z ) 如一五。 ( 虹) 妒( z ) 妇j a ( o 上。i v 1 9 1 a z a s + o 以。o “l 。：( r ) l a r a z a s ) + b o 。上。t 辱a z “。 a ( z 。f r 出删字( z 上。出出) ； + m a ( j ( 2 正。j u j r l + 昔a z 删亦( z 五。a z 1 。亦 + b ( z 。上。h r ”扣捌s ) 赤( f 厶d x d s ) 1 赤 妒c 伊( b r ( z o ) ) ，a = _ | 妒1 l 土 卫 h 歉 l 常 的中寿 0o 是 啦 * n k 0 证明：由定义1 ，u c ( a r ( r ，t ) ) ，1 w t p ( b r ( l t ) ) ，可以推出对任 意的母( z ) c 铲( 兄“) 以及r ( o ，t ) 上。广7 羔嘶j ( 7 上。丽l l q + a 矿如出 扣f 上。i 若三l v u ，如出= 上。上州“n 击a s 妒一如 ，f 厶。若i v u i p - 2 v u v 妒妒一。出出+ 一，7 上。f t fb 知，t 鲁a s 虹妒，一1 出出 注意副 7 上。若l v 妒叫v 螂川揪e j ( 7 上。瓦竿斋附v u 灿出 f 3 0 1 + g ( s ) t z 7 上。扩。1 + “ v 母i ，如出+ z 7j r u ( + 1 ) ( p - 1 ) v 廿l ，如出)f 3 1 ) 又由引理2 1 上。j ( “仙引岳侧g 于是由( 3 0 ) ( 3 2 ) 并令，一0 得 v u i 一妒p d x d t + z 7 上。“j 妒，z a t e + 上7 上。u ；。+ 1 ) ( p 一1 i v 咖j ，如d t + f 0 7 正，”“妒一1 i v f ，j 妇a t ) 这里u = m z “l 。选取n 0 ，机( 置) 在( o ，o ) 附近趋于0 ，而且“在8 t i 酬上有界，由引 理3 1 得 于是从定义1 推出 小 f f j s r n s u p p c r v u l p d x d t c v u l p2 v u v c k + 厶t ( u ) 妒z 。一“4 砂) d z 疵= 0 所以，只要汪明当k w 时下面的结论成立即町 n u r l k t t 缸a t 一。 f o t r n1 9 , c u ，- * 。；出出一。 z 7 五。l v u i 一一2 v t 。v ”t z z a t + 。 设d = ) k 0 ，k _ 1 蚓2 + t 青 2 k _ 1 ) 。 则 f 1 r , vu ”k t s a z “t i g t 号! o 。u a z t i 上1 五。i v 叫2 v u v r l k i c 吖五。v 卵- l d 础 z 1 厶。( t 。) ”t 。，f 如一t i iz 1 上。z “_ 6 ：( s ) 1 a s ”e 。d x d t i g t 5 、：) 。t t ”a r a t f 3 6 1 f 3 7 1 f 3 8 1 1 4 一类拟线性吸收退化抛物方程的奇异解问题 令q = p 一1 + 昔+ 0 ， 南应用h 6 1 d e r 不等式及引理3 , 1 ，得 t 孚小础鲫孚 o 一) 南陬l 端 删上。矿i + 嚣删南 i r 厶。l v u i 9 1 d x d t 眦f j d “a l v u l 9 如巩) 孚 上。( 1 + u a ) 2 ( p - 1 ) u ( ：- d ) ( p - ：) d x d t 球：oo i l + 酬州d x d t ；删厶。u ) 虻学t 一吐学一 c k 一正业吐等删 k ；jl d ：俨d 娥 0 ，定义h ( s ) = h1 j ( ) 和 珊( t ) = 1 一j h ( s ) d s 其中r ( o ，r ) 是固定的。显然，帆c 。( _ r ) ，蛳( t ) = 1 若t r 。 设x c 3 。( r ”) ，令f ( 。，t ) = x ( z ) q h ( ) 代入( 3 0 ) 中得 正，协。( t - v 2 h ) “xl v u p - 2 v u v x m + 叭u ) 噩j i b u q x r 7 z 出m = = 。 1 5 一类拟线性吸收退化抛物方程的奇异解问题 若令h o + ，则有 那么 一f n nu ( 叩) 冲) d z 一z ，( l w i p - 2 v u v x 扎( u ) 。州x d x 肚。 ，1 w i mj r 。u ( z ，r ) x ( z = o vx 曙( r “) 这和定义1 的性质3 矛盾。口 1 6 二耋墼塞：些丛些堡些塑丝查堡竺量竖堕塑1 7 第四节定理3 和定理4 的证明 讨论问题( 5 ) 和初值 ( z ，0 ) = k n + l h ( k z ) 其中 ( z ) c 护( r ”) ，h ( z ) 0 ，厶“h ( x ) d x = 1 。 由引理2 1 ，( 5 ) ( 4 0 ) 有个非负古典解u i 。 和引理2 3 的证明类似，可以证明 u 如，眯g 丫南矿= ( 击) 击 进一步还有下列估计 引理4 1 对任意瓦再三而c 叭 o ) ，( 5 ) ( 4 0 ) 的解u 满足 ，7 ， 。r k d x d t g ( r ) vr o j 0j b r 扛o ) ( 4 0 1 ( 4 1 ) f 4 2 1 证明；设留( r ) ，0 1 ，= 1 若g b r ( x o ) ，s u p p c r n o 用，t 骶，( r o ) 乘以( 5 ) 且在s t 上积分得 f b 上，u ：+ 沁，e r 出+ z 7 上。u ；”p 出出+ rz 7 上。i v 蚓9 u ；。如出 ，j ( 7 厶，l v u x i ，一l u ；p - 1 1 v l d z d t + 。m ：1 上。u 警+ 一1 l v l d 。d t + 南正，嘲滟 ( 4 3 ) 因为。卿c r o ) ，所以如果k 足够大时驰”+ 1 h ( k x ) = 0 注意到 z 7 上，i v “* l ，一i t 。一1 l v l d z d t m a x m + - p 一1 + r ) 利用y o u n g 不等式，取= 护足够大) 得到( 4 2 ) 。口 引理4 2 设b r ( z o ) c r “ o ) 则( 5 ) ( 4 ( ) ) 的解 k 满足 u 2 d x d t g ( r ) vn o ， s u p g ( r ) u z 一2 + d x d t 若m p 一1 s u p 。g ( ，) t -。产产”d x d t 若。 p 一1 b r ( o ) ( o ，丁) j0 j b r ( o o ) j ( 上捌i v t i 出出g ( 其中0 p 一1 + 号，0 m q 一持，这里m 是( 1 1 ) 中的常数则存 在常数c 1 ，q ，q 使得问题( 5 ) ( 6 ) 的解u 满足 ( r ) f 1 ( i r 2 + t ) 一i 眚+ ( 毛( 1 f f 2 + t ) 一i 再；研+ ( ( | t i 2 + f ) 一豇南( 1 5 ) 其中a ，q ，岛仅与、m 、p 和q 有关。 证叽设z r ” o ) ，0 t o t 及0 r 。 设集合 和函数 g = ( z ，t ) ：i 。一z o i r 2 + t ，0 t t o ) 扛，t ) = e ( r 2 一r 2 + t ) 一南 这里r = i z x 。i ，c 是使下面式子成立的常数 事实上 l ”= 啦出 ，( i v i 一2 v ) + 丽0b 。( ) + 俨。 d i v ( i v v l p _ 2 v u ) = a v l v , , i 一2 + ( p 一2 ) l v i 4 f 4 6 1 1 9 ojo 。一 。 一类拟线性吸收退化抛物方程的奇异解问题 驴一篇( r 2 - r 2 + t ) 一南，= 尚( r 2 - - r 2 + t ) 一南- l ( 驴m ) v ”= 尚( r 2 - r 2 + t ) 南1 。) 若i j ， 。， 豁( r 2 - - r 2 - - t ) 一南。( x , - x o t ) ( x j - - x o j ) 若，牲圹搿( r 2 - - r 2 t t ) 一南- 2 ( 矿砘) 2 + 尚( r 2 - r 2 + t ) 南_ 1 ”一鬻c r 2 - r 2 + t ) 一南_ 1 + 黼 ( 冗2 一r 2 + t ) 一f ；一2 r 2 42-1cp-i(q-p+3)(p-1) ( q p + 1 ) p f 冗2 一r 2 + 圹钙等p r p 南( r 2 - r 2 + t ) 一嘴铲一 坐丛竿( r 。r 2 + t ) 哗鲁产，+ g a ( r 2 q p + i ( n 2r 2 + t ) - 者轩 g 4 南( r 2 - r 2 + t ) 器( r 2 - r 2 + t ) 皆，2 4 p - 1 c p _ 1 ( q p + 3 ) ( 9 ( g p + i ) p r 2 + f 1 坠半俨矿 4 m v n c m ( r 2 一r 2 + t ) 帮r q p 十1 其中假设( 1 1 ) 成立。要使( 4 6 ) 成立，必须令 c = c i ( r 2 + t 。) 百= 警晒+ c 2 ( r 2 + o ) 可+ 岛( r 2 + o ) ( 卫 李铲+ ) 鬲 这里o ，q ，凸仅依赖于n ，m ，p u ( x ，o ) = 0 v ( x ，o ) ，所以由比较原理得 1 z ( z o ，t o ) c l ( r 2 上t o ) 暑+ c 2 ( r 2 + t o ) q 。因为在o g 上”= + o 。以及 可# 衙 c z ( r 2 + t o ) 可南 f 4 7 ) 一类拟线性吸收退化抛物方程的奇异解问题 对任意的0 r p l + 等，0 m q 一2 n ，则有 f u 。u ( z ，) 出g ( r ) 其中g ( r ) 不依赖于t 。因此 面t - - i oj b 。u 扛，t ) 出c ( r ) 这说明( 5 ) 一( 7 ) 没有非常奇异解。口 2 1 参考文献 参考文献 1 z h a oj u n n i n g ，s o u x c e - t y p es o l u t i o no fd e g e n e r a t eq u a s i l i n e a rp a r a b o l i ce q u a t i o n s j d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，9 2 ( 2 ) ( 1 9 9 1 ) ：1 7 9 1 9 8 2 】l a d y z h e n s k a j ao a ，n e we q u a t i o nf o rt h ed e s c r i p t i o no fi n c o m p r e s s i b l ef l u i d sa n ds o l v a b i l i t yi nt h el a r g eb o u n d a r yv a l u ef o rt h e m ，p r o cs t e k l o vi n s tm a t h ，1 0 2 ( 1 9 6 7 ) ，9 5 1 1 8 3 】m a r t i n s o nl k f l u i d s ，m a r n i t a n dp a p l o vk b ，t h ee f f e c to fm a g n e t i cp l a s t i c i t yi nn o n - n e w t o n i a n g i & o d e n a m i k a ，3 ( 1 9 6 9 ) ，6 9 7 5 ( 4 jm a r t i i m o nl k a n dp a p l o vk b ，u n s t e a d ys h e a rf l o w so fac o n d u c t i n gf l u i dw i t ha t h e o l o g i c a lp o w e rl a w ，m a r n i t g i d * g d e n a m i k a 、2 ( 1 9 7 0 ) ，5 0 - 5 8 z h a oj u n n i n g ，s o u r c e t y p es o l u t i p n so faq u a s i l i n e a xd e g e n e r a t ep a r a b i ce q u a t i o n w i t ha b s o r p t i o n ，c h i n a n n 。，m a t h ，1 5 b ：1 ( 1 9 9 4 ) ，8 9 - 1 0 4 州z h a oj l l n n h g s i n g u l a rs o l u t i o nf o rac o n x e c t i o nd i f f u s i o ne q u a t i o nw i t ha b s o r p t i o n ， a c t am a t h e m a t i c as e i e n t i a , 1 9 9 5 ，1 5 ( 4 ) ：4 3 1 4 4 1 q u 6 b e c2 4 ( 2 0 0 0 ) ，n o1 ，7 9 8 5 7 张培欣，一类具强非线性源的退化抛物方程的边值问题，厦门大学学报，3 ( 2 0 0 6 ) 1 6 8 】袁洪军，二阶拟线性双重退缩抛物方程弱解的连续睫，吉林大学自然科学学 报，2 ( 1 9 9 1 ) ，3 6 5 2 z h a oj u n n i n ga n dy u a nh o n g j u n ，t h ec a n c h yp r o b l e mo fs o m ed o u b l yn o n l i n e a rd e g e n e r a t ep a r a b o l i ce q u a t i o n s ，c h i n 可m a t h ，1 6 ( a ) ( 2 ) ( 1 9 9 5 ) ，1 7 9 1 9 4 z h a oj u n n i n ga n dx uz h o n g h a i ，o nt h ec a n c h yp r o b l e mm i di n i t i a lt r a c e sf o rad o u b l y n o n l i n e a rd e g e n e r a t ep a r a b o l i ce q u a t i o n s ，$ c i e n e ci nc h i n a3 9 a ( 7 ) ( 1 9 9 6 ) ，6 7 3 5 8 4 1 1 1y a n gj i n s h u na n dz h a oj u n n i n g r h ea s y l n p t o t i cb e h a v i o ro fs o l u t i o no fs o m ed o u b l y d e g e n e r a t en o n l i n e a rp a r a b o l i ce q l r a t i o n s ，n o r t h e a s t m a t hj , 1 1 ( 2 ) ( 1 9 9 5 ) 2 4 l - 2 5 2 参考文献2 3 1 2 b r e z i s ，ha n df r i e d m a n ，a ，n o n l i n e a rp a r a b o l i ce q u a t i o n si n v o l v i n gm e a s u r e sa si n i t i a l c o n d i t i o n s ，m a t h p u r e se ta p p l ，6 2 ( 1 9 8 3 ) ，7 3 9 7 1 3 】b r e z i s ，h ，p e l e t i e r ，l a a n dt e r m a n ，d ，av e r ys i n g u l a rs o l u t i o no ft h eh e a te q u a t i o n w i t ha b s o r p t i o n ，a r c h ，r a t i o n a la n a l ，9 5 ( 1 9 8 6 ) ，1 8 5 - 2 0 7 1 4 】p e l e t i e r ，la a n dw a n gj u n y u ，av e r ys i n g u l a rs o l u t i o no faq u a s i l i n e a rd e g e n e r a t e d i f f u s i o nw i t ha b s o r p t i o n ，t r a n s a m e r m a t h s o c ，3 0 7 ：2 ( 1 9 8 8 ) ，8 1 3 8 2 6 1 5 】l i uw e u x i o n g ，s i n g u l a rs o l u t i o n sf o rac o n v e c t i o nd i f f u s