（基础数学专业论文）关于可逆系统中的低维不变环面.pdf

摘要 可逆系统是一类具有对合结构的保守动力系统许多专家学者对此系统进行了大量的 研究，并得到了许多重要的结论( 见【3 ， 1 3 一 2 0 ) 例如，俄国数学家s m s e v y w k 在通常的 非退化条件和非共振条件( 相当于哈密顿系统的第一、第二m e l i n i k o v s 条件) 下证明了一类 具有扰动的可逆系统的不变环面的存在性最近，柳彬教授对通常的非共振条件进行了推 广徐君祥教授利用一个特殊的相容变换( 2 0 ) ，得到在最弱m e l i n i k o v s 条件下不变环面的 存在性。但是他们一般是研究常系数的可逆系统的扰动问题，受f 2 0 中的特殊相容变换的 启发，本文对常系数可逆系统的扰动问题进行了拓展，考虑一类非线性可逆系统的扰动， 通过一个特殊变换，证明了一类依赖于角变量的可逆系统的扰动在一定的共振条件下不变 环面的存在性 由于可逆系统与哈密顿系统具有很多的相似性，有关哈密顿系统的结论可以推广到可 逆系统中来对于哈密顿系统，非共振条件有通常的第一、第二m e l n i k o v 条件和b r u n o 条 件b r u n o 条件是用一个关于i k l 的逼近函数代替了m e l n i k o v 条件中关于i k l 的幂次函数， 这个逼近函数比指数函数衰减慢，但比幂次函数衰减快，从而b r u n o 条件比通常的小分母 条件更弱而在b r u n o 条件下可逆系统不变环面的存在性问题的结果还没有受到德国数 学家h r i i s s a m m 工作( 1 1 1 ，【1 2 ) 的启发，本文考虑了在b r u n o 条件下可逆系统的不变环面 的存在性，证明了在通常的非退化条件和b r u n o 条件下具有小扰动的可逆系统具有不变环 面 关键词：可逆系统，相容变换，规范形，哈密顿系统，m e l n i k o v 条件，b r u n o 条 件，小扰动，不变环面 a b s t r a c t r e v e r s i b l es y s t e mi sac l a s so fc o n s e r v a t i v ed y n a m i c a l s y s t e mw i t h ac o n v o l u t i o ns t r u c t u r ea n d h a sb e e ns t u d i e db y m a n y a u t h o r s t h e r ea r em a n yw e l lk n o w nr e s u l t sf o rr e v e r s i b l es y s t e m s ( s e e 3 ， 1 a 一( 2 0 ) f o re x a m p l e ，r u s s i a nm a t h e m a t i c i a ns m s e v y w kp r o v e dt h ep e r s i s t e n c eo fi n v a r i a n t t o r if o rac l a s so fr e v e r s i b l es y s t e mw i t hs m a l lp e r t u r b a t i o nu n d e rt h eu s u a ln o n - d e g e n e r a c yc o n d i t i o n sa n dn o n - r e s o n a n c ec o n d i t i o n s ( t h e s ec o n d i t i o n sc o r r e s p o n dt ot h ef i r s ta n ds e c o n dm e l i n i k o v c o n d i t i o n si nh a m i l t o n i a n s y s t e m s ) r e c e n t l y , p r o f e s s o rl i ub i ne x t e n dt h eu s u a ld o n r e s o n a n t c o n d i t i o n s p r o f e s s o rx u j u n x i a n gu s e d as p e c i a lc o m p a t i b l e t r a n s f o r m a t i o n ( s e e 2 0 ) a n do b t a i n e d p e r s i s t e n c eo fl o w e rd i m e n s i o n a li n v a r i a n tt o r if o rr e v e r s i b l es y s t e m su n d e rt h ew e a k e s tm e l i n i k o v c o n d i t i o n s b u tt h e yu s u a l l ys t u d i e dt h ep e r t u r b a t i o nq u e s t i o no fr e v e r s i b l es y s t e m sw i t hc o n s t a n t c o e f f i c i e n t s b a s e do nt h es p e c i a lc o m p a t i b l et r a n s f o r m a t i o ni n 2 0 ，ie x t e n d e dt h ep e r t u r b a t i o n q u e s t i o no f r e v e r s i b l es y s t e m sw i t hc o n s t a n tc o e f f i c i e n t s ，t h o u g h to v e rac l a s so f n o n l i n e a rr e v e r s i b l e s y s t e ma n dp r o v e dt h a tt h ep e r t u r b a t i o no fac l a s so fr e v e r s i b l es y s t e md e p e n d i n go nt h ea n g u l a r v a r i a b l e sh a si n v a r i a n tt o r iu n d e rs o m er e s o n a n tc o n d i t i o n s b e c a u s er e v e r s i b l es y s t e m sa n dh a m i l t o n i a ns y s t e m sh a v em a n ys i m i l a r p r o p e r t i e s ，s o m er e - s u i t so nh a m i l t o n i a ns y s t e m sc a nb ee x t e n d e dt or e v e r s i b l es y s t e m s f o rh a m i l t o n i a ns y s t e m s ， n o n - r e s o n a n tc o n d i t i o n sh a v et h eu s u a lf i r s t ，s e c o n dm e l i n i k o vc o n d i t i o n sa n db r u n oc o n d i t i o n s b r u n oc o n d i t i o n ss u b s t i t u t eag e n e r a la p p r o x i m a t e df u n c t i o no n 眦f o rt h ep o w e rf u n c t i o no n t h i sa p p r o x i m a t e df u n c t i o na t t e n u a t e sm o r e s l o w l yt h a ne x p o n e n t i a lf u n c t i o n sa n dm o r eq u i c k l y t h a n p o w e rf u n c t i o n s ，s ob r u n o c o n d i t i o n sa r ew e a k e rt h a nu s u a ls m a l ld i v i s o rc o n d i t i o n s h o w e v e r ， t h er e s u l t so nr e v e r s i b l es y s t e m su n d e rb r u n oc o n d i t i o n sa i ef e w i n s p i r e db yg e r m a n i cm a t h e m a t i c i a nh r f i s s a m m ss t u d yo nh a m i l t o n i a ns y s t e m su n d e rt h eb r u n oc o n d i t i o s ( s e e ( 1 l 】， 1 2 】) ， is t u d i e dp e r s i s t e n c eo fi n v a r i a n tt o r if o rr e v e r s i b l es y s t e m su n d e rb r u n oc o n d i t i o n sa n dp r o v e d r e v e r s i b l es y s t e m sw i t hs m a l lp e r t u r b a t i o nh a v ei n v a r i a n tt o r iu n d e rt h eu s u a ln o n d e g e n e r a c y c o n d i t i o n sa n db r u l 2 0c o n d i t i o n s k e y w o r d s ：r e v e r s i b l es y s t e m ，c o m p a t i b l et r a n s f o r m a t i o n ，n o r m a lf o r m ，h a m i l t o n i a ns y s t e m m e l n i k o vc o n d i t i o n ，b r u n oc o n d i t i o n ，s m a l lp e r t u r b a t i o n ，a ni n v a r i a n tt o r u s 东南大学学位论文独创性声明及使用授权的说明 一、学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或 撰写过的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材 料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了 谢意。 签名：趣驻1 日期：2 q 堕：i ! 望 二、关于学位论文使用授权的说明 东南大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留本人所送交学位论文的复 印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人电子文档的内容和 纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可以公布 ( 包括刊登) 论文的全部或部分内容。论文的公布( 包括刊登) 授权东南大学研究生院办理。 签名：整垦! 导师签名；j 差望i 至日期：o ! ：! ：! 第一章绪论 考虑s 个质点的力学系，这s 个质点的速度是独立的，甚至速度的函数也是独立的，这 样的力学系可以由牛顿方程d 2 r l d t 2 = f ( r v ) 给出，其中r 瓜轴，”= d r d r ，并且f ( r ，”) ； f ( r ，”) 关于时间是可逆的，即倒换所有的速度”也就倒换了构形空间碾3 5 中的所有轨迹 这是可逆系统的一个简单例子，其它相关例子见文献【1 5 可逆系统是一类具有对合结构的保守的动力系统很多专家学者对该系统做了大量的 研究工作，并且获得了许多很好的结果( 如 3 j ， 1 3 卜f 2 0 j ) 通常人们考虑可积可逆系统的小扰 动，又由于可逆系统也有臭命昭著的小分母条件，并且与哈密顿系统有着许多的相似性， 因此我们可以用处理哈密顿系统的一些技巧去考虑可逆系统这样，对k a m 理论的应用 就显得非常重要 k o l m o g o r o v a r n o l d m o s e r ( k a m ) 理论首先用于解决天体力学中的问题 3 0 0 多年前， 牛顿写出了具有万有引力相互作用的多体系统所满足的微分方程若仅有两个物体，这些 方程就能够具体的求解出来若考虑第三个物体( 即”三体问题【2 】) ，则没有精确解存在 即使在太阳系中，两个物体的质量比第三个物体的质量轻得多，精确解也不存在然而在 这种情况下，两行星间的万有引力比任何一个行星与太阳间的万有引力要弱得多于是， 人们首先忽略两行星间的相互作用，得到一个可积系统( 即一个能够具体求馋的系统) ，在该 系统内行星绕太阳旋转比其它现象要明显得多然后人们试图再以扰动的方式系统地归纳 出行星间的相互作用在整个十九世纪物理学家和天文学家发展了该方法，利用行星质量 与太阳质量的比率提出了小参数，并在小参数中发展了方程解的级数展开然而这些级数 的收敛性还没有被确定 直到1 9 5 4 年，a ，n k o l m o g r o v ( 5 1 在一封信中提出了解决收敛性问题的建议他在建 议中提出了两个思想( 这两个思想也是k a m 技巧应用的中心) ： 近似地求解线性化问题在此过程中，必须处理小分母 用线性化问题的解作为牛顿方法的基础，迭代性地提高近似解 这些思想在接下来的十年左右里被v a r n o l d 和j m o s e r ( 1 ，【6 ) 更新扩充，应用于其它 问题( 7 ，l o ，1 2 ，2 4 ，2 5 】) ，形成了现在我们所知道的k a m 理论特别地，人们还发展了可逆 系统的k a m 理论，取得了丰富的成果本文想继续探讨具有小扰动的可逆系统不变环面的 存在性问题，在非共振条件方面给出一些更弱的条件，进一步推广了已有的一些的结果 1 东南大学理学硕士毕业论文 2 本文的安排如下： 第一章绪论简单介绍了可逆系统及k a m 理论的背景和发展，及本文的内容安排 第二章先粗略地介绍了已有的结论，特别是受到【2 0 的启发，得到一类非线性可逆系 统，并且证明了在一定的条件下它的不变环面的存在性 第三章是基于可逆系统与哈密顿系统的相似性，并受到h r u s s a m m 工作( 1 1 ， 1 2 ) 的 启发，证明了在b r u n o 条件下可逆系统具有不变环面 第二章一类可逆系统的低维不变环面的存在性 在本章中，我们将证明一类依赖于角变量的可逆系统在小扰动下不变环面的存在性 考虑下列动力系统 2 1 引言和主要结果 圣= f 1 ( z ，让，”；u ) ，也= f 2 ( 茁， ；u ) ，心= f 3 ( 。，“，口；u ) ( 21 1 其中( ，u l 口) t n r p 刚都是列向量，曩( 1 i 3 ) 在复邻域 d ( r ，s ) = ( z ，u ，”) li i m x i r ，i u l 8 ，| 。i s ) 中实解析，u 0c 琏“频率参数，0 是贮中的具有正的l e b e s g u e 测度的有界闭子集 定义2 , 1 ( 可逆系统) 系统( 2 1 ) 称为关于对合g ：( 。，u ，”) 叶( - x ，一“，”) 可逆，如果 d g xxo g 其中x = ( f 1 ，f 2 ，f 3 ) t 是( 2 1 ) 的向量场 兰三i 三i 蚕三三豢i 善i ， ( 22 ) 定义2 2 ( 相容变换) 我们称变换垂( 。，“，”) 叶( z + ，“+ ，”+ ) 是关于对合g ：【。，“，”) - ( 。，一u ，”) 的相容变换，如果垂。g = go 圣，即变换壬与对合g 可交换 这些定义在 3 ，1 3 ，1 5 ，1 8 ，2 0 】均有详细地介绍，相容变换将可逆系统变为可逆系统 定义变换西：( 。，口) _ ( 。+ ，“+ ， + ) 如下： + = 乎2 1 ( z ) “+ 曲2 2 0 i ) 。 如3 z 2西 十u 茁 u曲 = + u石 = + z 东南大学理学硕士毕业论文 4 其中仅依赖于x ( i ，j = 1 ，2 ) 由相容变换的定义，很容易知道，垂是相容的当且仅当 1 2 ( 。) = 一咖1 2 ( 一z ) ，妒2 1 ( z ) = 一2 l ( 一z ) ， 妒1 t ( 。) = 1 l ( z ) ，2 2 ( z ) = 2 2 ( z ) ， 并且矩阵( 妨) 1 s i ，j 1 2 是非奇异的于是对定义如下的垂：( z ，u ， ) _ + ，“+ ，”+ ) ， 卜， u + =( e i ( ，2 ) + e - i ( ，。) u i ( e i 忙，4 ) 一e - i ( 。，。) 口， i l 口+ = i ( e ) 一e - i ，。) + ( e i ( ，。) + e - i ( ，。) 这里扩固定，i = 了，由 2 0 】中的讨论知，该变换是相容的 一般地，我们考虑下面的可积可逆系统的小扰动： i 圣= w + p 1 扛，钍，钙u ) ， i 也= a ( w ) v + p 2 ( z ，“， ；u ) ， ( 2 3 ) i io = b ( w ) u + p 3 ( z ， ；u ) 其中a 和b 分别是p 。q 和q p 的矩阵，它们仅仅依赖于参数u ，且p 兰q ，p j ( 1 茎j 3 ) 是小扰动项且在d ( r ，s ) 0 中解析， 在 1 3 ，1 5 ，1 8 】中，s e v r y u k 在下面的假设下对( 2 3 ) 研究了n 维不变环面的存在性： 拙0 卜 c 啦( 三：) 的特征值都是单的 在这些假设和一些非共振条件下，他证明了若扰动项p 1 ，p 2 ，p 3 充分小，则在l e b e s g u e 测 度意义下，对p 中的大多数u ，可逆系统( 2 3 ) 有不变环面 在f s 中，l i u b ，n 不再要求( 三：) 的特征值为单的，并且允许。是( 三a 0 ) 的 特征值在他的证明中，他需要下面的非共振条件( 即m e l n i k o v 条件) ：对v k 0 ，有 i ( u ，女) l p ，( 2 4 ) l d e t ( i ( w ，) + q q ) i p l l 一7 ， ( 2 5 ) f d e t ( i ，七) 十9 。一+ qoq + q 昂+ v ) f p f 七f 一7 ( 2 6 ) 东南大学理学硕士毕业论文 5 成立其中。= ( 三a 。) ，+ a 表示( p + 曲( p 十g ) 单位矩阵，。是矩阵的张量积( 见 3 ) 在这些条件下他证明了一个与文献【1 3 】中相类似的结论 最近，徐君祥教授在 2 0 中证明了条件( 2 4 ) 和( 2 5 ) 对结论的成立已经足够了，也就 是说非共振条件( 2 6 ) 是不必要的他假设： 1 。秩( a ) = p ； 2 。 ；， ；是矩阵- a b 的特征值，并且有下面的条件成立； 1 u ，) l 川 r 7 ，v 0 ， l ( u ，k ) 一a j l p l i 7 ，v k 0 ，l j q 在前面提到的文献中，系数矩阵q 通常是p + 口阶的常数矩阵，即可积部分不依赖于 角变量z 在第二章中我们将考虑更一般的情形，即可积部分可以依赖于z 的可逆系统： i 士= u + p 1 ， i j = q ( x ) z + p 其中z = ( “r ，q ) t ) r ，p = g ( 注意：在第二章中为了简单，我们仅考虑p = q 的情形，在第三 章中再考虑一般情形p sq ) 假设q ( x ) 有特殊形式q ( z ) = q + q ( 4 ，其中q 不依赖于z ，而 国依赖于z 且有一定的特殊形式，上面的可逆系统可化为： l = u + p 1 ( z ，z ) ， ( 2 7 ) ij = ( 0 + q ( z ) ) z + p ( x ，z ) 然后借鉴徐君祥教授在 2 0 中处理共振关系而构造的相容变换，构造一个类似的相容变换， 使得( 2 7 ) 在此变换下可变为通常的可逆系统，也即变为系数矩阵不依赖于z 的可逆系统 动力系统( 27 ) 是这一章我们考虑的主要问题其中z = ( z f ，螺) t ，z j = ( “尹，”，) t ，嘶 和是p j 维的列向量，1 j m 令u = ( “ ，u 磊) t ，”= ( ” ，”三) t 和z = ( x t ，甥) t 也都是列向量，并且( z ，u ，”) t n 舻衅，曼p j ：p 点“”表示对时间 的导数，这篇论文中的上标”t ”表示矩阵或向量的转置u = ( u 1 ，u 。) t 0c 琏“是频 率参数，p = ( p 汀，p 3 t ) t 注意q ，国，p 1 ，p 通常都依赖于参数u ，在不引起混淆的情况下，我们并不写出对w 的 这种依赖关系 东南大学理学硕士毕业论文 6 铲( 一乙蛰j _ m - 1 惦h 这里如。是p 。p 。的单位矩阵，岛是p 。阶的零矩阵或特征值为零的约当形 假设口= e i 。g ( q 1 ，国。) ，其中岛= e “向，。) g j + e 2 i ( b ，。) 岛，i j m 一1 ，这里 吗= ( 苫暑) ，岛= ( i c j 曼) 其中q 是p 1 。彤的常数矩阵，巧z “ o ) ，且国。= 0 d ( ns ) = ( z ，u ， ) t “x 扩x 妒il i m x i r ，l 钍1 s ，i v iss ) 表示t nx 0 1 o ) n - + g s p ；域，其中i l m z l = m a x l _ i _ 。 i m x d ，1 u i = m a x l _ 0 ，存在依赖于碍“，0 ，n 的e 0 ，使得若 ( 2 8 ) ( 29 ) l l p l i l l ( ，。) e ，l i p 2 i i 岛( ，月) s e ，l i p 3 i l l ( ，。) ( 2 1 0 ) 成立( 这里l 大于等于特征值重数的最大值) ，则有下面的结论：存在一个非空子集o 。co 使得对v w 0 1 , ，存在解析的相容变换 西( - ；u ) ：d ( r 2 ，s 2 ) _ d ( r ，5 ) 将可逆系统( 2 7 ) 变为 士= 由+ p 1 ，o = 国z + p 其中户1 ，户满足 p 1 ( 。，0 ，0 ) = 0 ，户( z ，0 ，0 ) = 0 因此，对u 0 。，圣( t ”x1 0 ) x o ) ；u ) 是可逆系统( 2 7 ) 的一个不变环面，并且它的频率 由满足i l a 4 u ) 一圳。2 e 而且，我们有m e o s ( o 吼) 掣 ，其中c 是不依赖于p 注2 1 我们可以取q 为上述特殊形式，因为我们通常可将一般的可逆系统士= u ，吐= a v ，0 一b u 进行标准化，详细的说明可见【2 0 注2 2 我们要求囝。= 0 ，因为q 。仅有零特征值，此时0 。是退化的，我们不能将依 赖于。的项变为常系数的标准形如果没有零特征值的话，0 。和矗都不出现 注2 3 g j 和8 ，的对称性是由可逆系统的对称性质决定的 注2 4 若q ( 1 j m 一1 ) = 0 ，则系统( 27 ) 是不依赖于z 的，这种情形在 2 0 中已讨 论过了 东南大学理学硕士毕业论文 2 2主要结果的证明 8 定理2 1 的证明首先考虑如下不带扰动项的可逆系统： f 圣： 1 ( 2 1 1 ) i 三= ( q + 国( z ) ) g 我们希望通过一个特殊的变换使得( 2 1 1 ) 中z 的系数不再依赖于z 作变换圣：( z ，z ) _ 0 + ，z + ) 为如下形式： 。+ = z ，。+ = 庐= ( 2 1 2 ) 其中= d i a g ( 咖l ，c m - l ，) ，而南= e i ( k j ，。助+ e - i ( k j ，。) 岛， 弓= ( 乏) ，岛= ( 曼鼢 1 ，m l ，并且。= 嘞。由相容变换的定义知，变换( 2 1 2 ) 是相容的于是 o q -= 岱= 甜 = d i a g ( l ，。m - 1 , o ) 庐一1 铒+ ( q + 国) 咖一1 z + = d i a g ( l 庐i 1 ，岳。一l 咖- i l ，o ) z + + d i a g ( 曲l ( q 1 + q 1 ) 妒i - 1 ，- 一，( q 。+ 国。) 庐暑) z + 其中蜉1 是咖的逆，且 町12 ：( 畸，2 岛+ e 一b 瑚马) ，j = 1 ，一，m 一1 ， 蛎1 = = 2 ，。由南，町1 ，南，q j 和岛，的定义及性质 如町1 = ( ( b ，士) e 。胪弓一 ( 如，i ) e i ( ，。岛) ；( e “耐岛+ e 1 啪e j ) ：；i ( 吩，u ) 马一；i ( 磅，u ) 岛 2 i 。 吩，“) 均一i 。向，“) 吻 = ；i b ，u ) ( 马一岛) 铋川。即等) 东南大学理学硕士毕业论文 在上面的等式中，我们用到了 砭= 2 e j ，骂= 2 e i ，e i e ，= 雹3 e 3 = 0 令 锄= ) 1 l _ j m - 1 其中冯和s j 满足a j + 岛= 4 g ，除此之外我们不需要与和b j 有什么特殊形式于是根 据这个特殊相容变换的性质，我们有 其中 因此，我们有 于是 其中 町1 岛咖= 马+ e 锄( 如t 。) g j + e 2 。岛= 功+ 岛 】，0a ，一言f d j = 云i 一 。 。l ，1 j m 一1 一山+ 岛0 q + 龟i = q j d j + c j l 自，审i 奶( q + 锡) 町1 = 审m ( q 。+ 国。) = = 劬一d j + q ， ( 一2 如0 ) + ( 。邑2 岛0 ) ，l j m - 1 q m 三+ = d i a g ( q + l ，一，q 十( m 一1 ) ，q 十m ) 名十= q 十辞 q 卅= ( 一山一。如二，嘞+ 。q 山+ 悔：嘞+ 2 9 ) = ( 乏讨j 0 ，存在依赖( 1sj 口) ，a ，o ，n ，m 的e 0 使得若 ) “；l l g l 潮g 扣酬) 0 , v0 s t 0 ，使得如果 0 p 1 l l d ( ，。) 茎e ，l i p 2 i i d ( ，。) s e ，l i p 3 1 1 0 ( ，。) 茎s e( 35 ) 成立，那么有下面的结论： 存在非空子集0 7 0 ，m e a s ( ( 9 0 1 ) _ 十0 ，当7 _ 0 时并且，v u 吼满足非共振条件 l ，k ) l j 皿( ，z “ o ) 陋( t ( u ，) 一q ) l j 皿( ) ，z “ 龇( ( u ， ) z i m 。q + q 。i m ) l ；皿( i k l 2 ) ，k ez “ 0 ) 存在一个相容变换西：d ( ， ) q _ d ( r ，s ) o ，使得可逆系统( 31 ) 变为如下形式 ( 3 6 ) ( 3 7 ) ( 3 8 ) 士= u + 碍，也= a + ( u ) u + 砰，i = b + ( u ) u + 碍( 39 ) 其中碍( = 1 ，2 ，3 ) 满足只( z ，0 ，o ；u ) = 0 因此，对u 吼，壬( t “ o ) x o ) ；u ) 是可逆系 统( 3 1 ) 的不变环面 注3 1 对于空间变量的解析性是不必要的，只是它可以大大地简化我们的证明如果 我们用w h i t n e y s 扩展定理( 见【2 6 ) ，对参数的解析性也是不必要的 3 2 主要结果的证明 在这一节中，我们用 和分别表示 c 和 c ，其中c 是与迭代步骤无关的很大 的正常数。下面我们用k a m 迭代给出定理3 1 的证明 定理3 1 的证明这里证明的思想与h a m i l t o n i a n 系统的情形类似，即我们希望找到一个相 容变换，使得可逆系统( 3 1 ) 变为 圣= u + + 尸；，也= a + + 尸i ，o = b + “+ p i 其中p 王( j = 1 ，2 ，3 ) 是更小的扰动项，u + ，a + ，b + 是相应于u ，a ，b 的校正项若这个步 骤可以无穷地进行下去，那么无穷步后，可逆系统( 3 1 ) 收敛到定理3l 中的形式 东南大学理学硕士毕业论塞 现在我们详细地给出k a m 迭代每一步 我们假设第v 步迭代后，变换过的动力系统为下面的形式 其坩= f 三： 方程右端的研，r = f ：u 一+ 砖扛，g ；u 一) ， 【j = q ”z + b 扛，z ；“”) 1 5 z ：( “t v t ) t ，秩( a ) = p 不妨设却= ( o 玎) 1 i ， p 且d e t 冱”0 p f ) r 定义在复区域d ( r ，s ，) 上，而且我们假设 l l 砖怕( 引， 当 i e 怕( s ”) i = 2 , 3 卜 慨删 i i ( u ，七) i i i ( u ，南) j m q l l i ，) k 。一k o q 十q o i 对v0 2 茎k ，令变换圣为： 皿( i k l 2 ) ( 2 ) 护( i k l 2 ) 0 2 k 0 茎l k h k 0 2 墨k = z + + e i 圳2 以e i ( 2 ，。制， = u + + e i i2 s ( 摆十g “十+ g 2 + ) e 。2 ，。+ = + + e i k i 。 k ( 摆+ 硪u + + 硪 + ) e 2 2 2 + ) ( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) ( 3 1 3 ) f 3 1 4 1 t 卜 查南大学理学硕士毕业论文 1 6 其中以( f = 1 ，2 ，3 ) 及嚷、 ( j = 1 ，2 ) 分别是常数向量和常数矩阵我们的目的就是确定 这些量设变换后的方程为： 融篓基 0 l = 0 生= ( 3 1 5 ) ( 3 1 6 ) + c i ( a + ”+ + 碑) e 啪，+ 嚷( 珥+ + 碑) 。i ( k ，叫 磷= i ( ，0 3 + + 碑) ( 摆+ 珥“十+ 硪d + ) e i ( k ，z + ) i k l 2 k + 磁( 4 q + 碑) e ( 2 ，。+ ) + 砩( b + “十+ 肆) 。；一) f ”口i 兰i i k l 2 _ k 将p 1 ，p 2 ，p 3 在( $ ，0 ，o ) 展开成u 、”的幂级数，再取它们的零次项和一次项，在( 3 1 6 ) 中 考虑e 量级的项，得到下面两个同调方程妇： f f 女，u ) 矗 i ( ，u ) 眉 e ( ，u ) 摆 a 跽+ 瑶 = 磁 = a 睡+ 曜 = b + p ； =0 o 2 k 0 2 k f 3 1 7 ) 0s 2 k 斗 q馥 + + 难 扣 d g 一 + 扣 碑碑 十 + 帆 七 七 “ “ 螂螂 东南大学理学亟望些鲨塞 和 其中 i ( 南，u ) g + g 2 b i ( k ，叫) g 2 + g a ( k ，w ) 硪+ 蝶2 b i ( 月，u ) 硪+ 硪a 瓒 ( 器) 。 ( 等) 。 a 硪+ ( 警) t a 磋+ ( 喾) k b g i + ( 餐) k b g + ( 筹) = 疆朱小p 1 ( ，0 ，o ) b 一。 。d z = 赤丘。掣e m 。d x = 赤小牮e 讹。d x 1 7 0 2 k o 胁垡 舢) 0 2 k 2 曼k 注意我们这里璎，育o p j ，面o p j ，j = 2 ，3 不同于通常的f o u r i e r 系数 由可逆系统的定义，我们有 可知， 和 因此，得到 令 f 尸1 ( 一z ，一札， ) i p 2 ( 一z ，一“，。) i 【p 3 ( 一$ ，一u ， ) = p 1 ( 茁，u ，口) = p 2 ( z ，“，u ) = 一p 3 0 ，“， ) 砭。：瑶，p 兰。= 璎，p 兰m = 一磺 ( 餐) 。= 一( 餐) 。 ( 百o p 3 ， 1 一。= ( 错) 。， j = 2 3 ( 3 1 9 ) j = 2 3 ( 喾) 一。= ( 喾) 。 ( 筹) 一。= 一( 筹) 。 瑶一o ，( 等) 。_ o ，( 等) 。= 。 ( 32 0 ) ( 3 2 1 ) ( 3 2 2 ) ( 3 2 3 1 ”a + ( 筹) 。，耻b + ( 等) 。 2 4 ， 东南大学理学硕士毕业论文 ( b ) 解同调方程 现在我们来解同调方程( 3 1 7 ) 和( 3 1 s ) 对k = 0 ，我们令 ，j = 0 ，埒= 0 ，g 6 = 0 ，g 2 - 0 日3 = 0 ，h g = 0 ，摇= 一a - 1 瑶 对k 0 ，令a = ( ，) ，若u o r ( k ) ，贝0 1 8 ，j = 一a - 1 爿i 盼( a i p p 2 = ( a i m - q ) - i 似2 5 ) ( k q ) + z q = 9 鬈) ( 3 2 6 ) g 2 引 c 。z z ， i ( - k ，u ) 正 = 业k = 瑾 ( 一k ，w ) ，! 女= a ，兰+ p 兰女= 4 ，! 女+ 砰 i ( - k ，u ) ，! 女= b ，! + p 3 _ = b ，三女一磺 最后两个不等式隐含着 c q ，) = 因此，如果满足( 31 1 ) ( 31 2 ) ( 3 1 3 ) ，我们有 拦k = 一氏仨k = 一范 j 羔k ；臻 类似地，从( 32 2 ) 和( 3 1 8 ) ，可以得到 ( 一q ) 奎+ 2 q = ( 32 8 ) 嚷硪到_ 得 f f 扛 烈砷 和 七 中 p 其 由 麴盘皇理学硕士毕业论文 1 9 枷= 薏) 一 ( 一q ) z + x q = g ( 32 9 ) 有唯一解z ，那么2 = r ，其中z 的定义在( 3 2 3 ) 中，这个式子意味着 从3 3 中的引理3 5 我们推得，如果满足( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) ( 3 1 3 ) ，则( 3 2 9 ) 有唯一解，且 ( 3 - 2 8 ) ( 3 3 0 ) 成立这样变换雪是相容的，从而保证了系统( 3 1 5 ) 相应于对合g ：( 。+ ，u + ，。+ ) - ( 一。+ ，一u - i - ：”+ ) 也是可逆的 。 ( c ) 相容变换圣 在这一部分中，我们将要估计相容变换壬为此，我们先要估计同调方程( 3 1 7 ) 和( 3 1 8 1 的解首先，我们叙述下面一个引理 引理3 i 若u o ( ) ，则 于是，有 ( u ，女) i 皿( j 纠2 ) 2d ：= ；皿( k ) ， d e t 0 ( u ，) k q ) i d ， d e t ( i ( w ，) k 。一k 圆q + q o k ) d ( 3 3 1 ) j “j d 1 ( 厶- 一口) 1 f 2s d 1 、丽( 1 + 2 f o f 2 ) m 一1( 3 3 2 ) f ( 厶t 。一厶 口+ q 0 厶) 一1 2s d - 1 m ( 1 + 6 f q f 2 ) 辨2 1 其中卜岛 q + q 。岛f 2 2 以 q 1 2 ，： ) ， 这个引理的证明可由3 - 3 中的引理3 7 和引理3 8 直接推出例如，( 3 3 2 ) 中的第三个 式子 ( k 。k 圆q + 国固k ) 一1 1 2 d - 1 俯( 1 + 2 1 一固q + q k f 2 ) m 2 1 d 1 r n ( 1 + 6 i q l 2 ) m 2 1 0 坷硪 = = k 晓醒b 硪 g 一 | l | i k 让耻 东南大学理学硕士毕业论文 取r + = r 一等l o g 警，s + = ；a s ，。= e ，e + = e ，0 d 女是一个固定的常数 由于蜀( 1 l 3 ) 是解析的，利用柯西估计，我们有 i i 等( 哪吲怪川筹( 蚋o ) 1 1 g 删，3 因此，有 l 磁怪e 小弦，i 磁e e - ”川等) i ：e e - - ”川筹) t i ：e e - - ”，j _ 2 j 3 由( 3 2 5 ) ( 3 2 6 ) ( 3 2 7 ) 和引理3 5 ，我们得到 对u w h ( k ) 和0 2 k ，有 f 以i 懈r ，i 瑚；而( 1 + 2 i 。j 。) m - 1 8 e e - ”，j = 2 ， ( 3 - 3 3 ) 和 i i c 2 l l ，i i h l f l ；m ( 1 + 6 q 1 2 ) 舻一旷，f = 1 ，2 ( 3 朋) 对于= 0 ，我们有 f 疗f = i 舒i = 0 ，l 靠i s e ，l l 瓯i i = 1 1 日8 i i ，j = 1 ，2 ( 3 3 5 ) 于是， “l k 1 2 _ k 胪“| | d ( r 十) 一l 。墓剐叫刮卅 ( 3 。) l2 耳” “ 对j = 2 ，3 ，有 i i i k i 。s 髭e 2 ( 冉峨h 。+ ) 。m 。 e s + e o j k l 2 1 、而( 1 + 2 t q l 2 ) m 一1 e s e j i 2 e l 。1 2 + e s + 暑