（计算机应用技术专业论文）小波多尺度分解阈值选择方法研究.pdf

摘要 提高地震资料的信噪比是地震信号数字处理的重要任务，因此地震资料去噪方法 的研究一直是地震勘探领域的研究热点。随着数字信号处理技术的发展，很多优秀的 去噪方法涌现出来，如何结合地震资料的特点，运用合适的去噪方法来提高地震资料 的信噪比，具有重要的的现实意义。 本文根据对传统软硬阈值函数去噪算法进行了深入的研究与讨论，根据传统阈值 算法的不足提出了一种将软硬阈值函数相结合的新阈值函数。并将新的阈值函数应用 到一维信号和二维地震图象去噪中去，对一维小波下新阈值函数与软、硬阈值函数多 阈值选取情况下的去噪算法进行比较，对二维地震图象下新阈值函数与软阈值函数多 阈值选取情况下的去噪算法进行比较，新阈值函数去噪算法改善了传统方法的不足， 达到了提高信噪比和保真度的效果。 关键词：小波分析，图像去噪，阈值函数，二维地震图象 a b s t r a c t s e i s m i cd a t ai m p r o v et h es i g n a lt on o i s er a t i oi sa ni m p o r t a n tt a s ko ft h ed i g i t a l p r o c e s s i n go fs e i s m i cs i g n a l s t h e r e f o r e ，s e i s m i c d a t a d e n o i s i n gm e t h o do fs e i s m i c e x p l o r a t i o nh a sb e e nah o ta r e ao fr e s e a r c h w i t ht h ed e v e l o po ft h ed i l g i t a ls i g n a lp r o c e s s i n g t e c h n o l o g y ，m a n yo ft h eb e s tm e t h o d so fd e n o i s i n gc o m i n gt ot h ef o r e ，h o wt oc o m b i n et h e c h a r a c t e r i s t i c so fs e i s m i cd a t a ，u s ea p p r o p r i a t em e t h o d st oi m p r o v et h en o i s es i g n a lt on o i s e r a t i oo fs e i s m i cd a t a ，h a si m p o r t a n tp r a c t i c a ls i g n i f i c a n c e t h i sa r t i c l e ，b a s e do nt h et r a d i t i o n a lh a r da n ds o f tt h r e s h o l dd e n o i s i n ga l g o r i t h m f u n c t i o n sc a r r i e do u ti n d e p t hs t u d ya n dd i s c u s s i o n ，a c c o r d i n gt ot h el a c ko ft r a d i t i o n a l t h r e s h o l da l g o r i t h mm a d eac o m b i n a t i o no fh a r da n ds o f tt h r e s h o l dd e n o i s i n ga l g o r i t h m f u n c t i o n s ，t h en e wt h r e s h o l df u n c t i o ni sa p p l i e dt oo n e d i m e n s i o n a la n dt w o d i m e n s i o n a l s e i s m i cs i g n a ld e n o i s i n g ，c o m p a r ew i t ht h eo n e d i m e n s i o n a lw a v e l e tf u n c t i o nu n d e rt h en e w t h r e s h o l dw i t ht h es o f ta n dh a r df u n c t i o n sm u l t i t h r e s h o l dt h r e s h o l ds e l e c t i o ni nc a s eo f d e - n o i s i n ga l g o r i t h m s ，c o m p a r ew i t ht w o d i m e n s i o n a ls e i s m i ci m a g e so ft h en e wt h r e s h o l d f u n c t i o na n dm u l t i f u n c t i o ns o f t t h r e s h o l dt h r e s h o l ds e l e c t i o ni nc a s eo fd e - n o i s i n g a l g o r i t h m s ，t h en e wt h r e s h o l dd e n o i s i n ga l g o r i t h mi m p r o v et h ef u n c t i o no ft h et r a d i t i o n a l m e t h o d s ，i n c r e a s es i g n a lt on o i s er a t i oa n dt h ef i d e l i t yo ft h er e s u l t s k e yw o r d s ：w a v e l e ta n a l y s i s ，i m a g ed e n o i s i n g ，t h r e s h o l df u n c t i o n ，t w o - d i m e n s i o n a l s e i s m i ci m a g e 长春理工大学硕士学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的硕士学位论文，小波多尺度分解阈值选择方法研 究是本人在指导教师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经 注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品 成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。 本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 作者签名：2 落 丝! 年上月旦日 长春理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“长春理工大学硕士、博士学位论文版 权使用规定”，同意长春理工大学保留并向中国科学信息研究所、中国优秀博硕 士学位论文全文数据库和c n k i 系列数据库及其它国家有关部门或机构送交学位论 文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权长春理工大学可以将本 学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，也可采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编学位论文。 作者签名：尘已二士年三月旦日 指导导师签名： 年一月一日 第一章绪论 1 1 课题的研究目的与意义 在图像采集与传输的过程中，信号常常会受到随机噪音的干扰。因而，实际得到 的数字图像中包含了噪声成分。噪声的存在，破坏了图像间在结构、纹理和内容等方 面的相关性，使得图像失真，这些给图像的理解带来困难，所以必须首先对图像进行 消噪。 众所周知，傅立叶分析是现代工程中应用最广泛的数学方法之一，特别是在信号 和图象处理方面，利用傅立叶变换可以把信号分解成不同的频率成分，使得对各种不 同的实际问题可以采取统一的处理方法。然而，由于傅立叶变换存在不能同时进行时 间一频率分析的缺点，g a b o r 在1 9 4 6 年提出了信号的时频局部化分析的方法，此方法 以后在应用中不断完善，从而形成了一种新的处理信号的方法一加窗傅立叶变换或称 为短时傅立叶变换。 由于g a b o r 变换的时一频窗口是不变的，窗口没有自适应性，不适于分析多尺度 信号过程和突变过程，而且其离散形式没有正交展开，难于实现高效算法，这是g a b o r 变换的缺点，因此也就限制了它的应用。小波变换则克服了窗口傅立叶变换在单分辨 率上的缺陷，同时具有时频二维分辨率的特点。其优于付氏变换之处在于它具有 时域和频域“变焦距 特性，十分有利于信号的精细分析l l 儿引。 小波变换的应用是与小波变换的理论研究紧密地结合在一起的，在小波变换的许 多应用中，都可以归结为信号处理问题。在工程实践中，对于信号其性质随时问是稳 定不变的信号，处理的理想工具仍然是傅立叶变换；但是实际应用中的绝大多数信号是 非稳定的，而特别适用于非稳定信号的工具就是小波变换。 小波分析的优越性在于它是一个有效的分析工具，并且己经在许多学科、领域中 取得了卓越的成效。例如，在数学领域中有：求解微分方程，与分形数学相结合做函 数数值逼近，在非线性系统及随机过程中做多分辨分析；在信号检测与模式识别领域 中有：利用小波分析的时频特性和多分辨率功能进行非平稳信号分析与检测，信号的 滤波去噪，地质勘探，机械故障分析，地震检测等。在二维信号处理中有：图像边缘信 息提取与检测，图像去噪，图像编码，数据压缩传输，信息保密等。在实际应用中， 信号的重要的部分往往表现出奇异性或不规则性，在图像处理中，亮度的不连续性往 往提供了图像中某一部分的边缘特征，这难是认识图像的最有意义的部分。图像处理 是基于图像的数字化描述来实现的，图像数字化的结果就是得到一个巨大的数字矩阵， 图像处理就是在这个数字矩阵上完成的。用小波进行图像处理的任务就是利用小波变 换构造一系列算法，利用这些算法去完成对图像的分析诊断、量化编码、数据压缩、 去噪、信息传输与存储、合成重构肿【3 儿引。 小波理论在信号处理领域中显示出非凡的力量，引起了许多学者的关注和浓厚兴 趣。众多的小波函数为人们自由选择小波函数提供了广阔的空间，但是对某些具体问 题如何选择合适的小波函数，选择哪种小波变换方式( 如，连续小波变换，离散小波 变换，正交小波变换，双正交小波变换等) ，选择多少阶消失矩，正则度如何，紧支 长度怎样等等，必须综合考虑。 1 2 国内外研究现状 第一个正交小波基是a h a a u r 于1 9 1 0 年构造的，a h a a r 提出了构造正交小波基的 伸缩和平移思想。然而h a a r 小波基是不连续的，不具有连续可导性，限制了它的应用。 从8 0 年代开始，小波理论的研究有了巨大的发展。1 9 8 1 年，s t r o m b e r g 对h a a r 小波基 进行了改进，证明了小波函数的存在性。1 9 8 1 年，法国地质物理学家m o r l e t 在分析地 质资料时创造性地提出了小波分析( w a v e l e ta n a l y s i s ) 这一概念，但m o r l e t 最初提出 的仅仅是形状不变的小波。1 9 8 5 年，法国大数学家m e y e r 首次提出光滑的小波正交基， 后被称为m e y e r 基，对小波理论的发展做出了重要贡献。次年，m e y e r 及其学生l e m a r i e 提出了多尺度分析的思想。 八十年代后期是小波发展的一个重要时期，大量的正交小波基被构造出来。另一 重要的发展就是1 9 8 7 年。v e t t e r l i 和p p v a i d y a n a t h a n ，各自独立的提出了多速率信号 处理方法，且p p v a i d y a n a t h a n 提出了完全重构的最大抽取系统，并对因果f i r 无损系 统进行了参数化，这一结果不仅对多速率信号处理本身的发展起着重要作用，而且成 为m 一带小波理论建立的理论基石。1 9 8 8 年，法国年轻的女数学家d a u b e c h i e s 用 s m a l l a t 和m e y e r 的方法构造了具有紧支撑的正交小波基d a u b e c h i e s 基，这样，小 波分析的系统理论初步得到了建立。与此同时，信号分析专家m a l l a t 等人在前人大量 工作的基础上提出了多尺度分析的概念和基于多尺度分析的小波基构造方法，将小波 正交基的构造纳入统一的框架之中，使小波分析成为一种实用的信号分析工具p j 。 九十年代初期，随着小波理论和实际应用的结合，对小波性能的要求也不断增加， 如：线性相位、紧支撑、消失矩、正则度等。这些要求在两带正交小波中是无法兼容 的。因此就出现了“双正交小波 概念。其分析小波和综合小波函数可以是两组不同 的函数系，这使得它能同时具有许多正交小波所不能同时具有的良好性质。c k c h u i 等人则将其推广为有限冲激响应( f i r ) 和无限冲激响应( i i r ) 互对偶的非正交滤波 器组形式，由此构造了最小支撑的线性相位样条小波系。后来，g o o d m a n 等提出多小 波的概念。1 9 9 5 年，w s w e l d e n 提出了通过提升方法( l i f t i n gs c h e m e ) 构造第二代小 波( s e c o n dg e n e r a t i o nw a v e l e t ) 的新思想。提升方法是一个简单实用的工具，使得小 波的构造摆脱了对f o u r i e r 变换的依赖，并且更具有灵活性，包容了已有的小波构造方 法。这为信号自适应地构造小波系统提供了可能。 在信号去噪领域中，d o n o h o 和j o h n s t o n e 在1 9 9 2 年提出了“小波收缩”，它较传 统的去噪方法效率更高。“小波收缩 分为三部分： 2 ( 1 ) 将信号进行正交小波变换 ( 2 ) 对小波系数通过事先设定好的阈值进行处理，小于阈值的系数被置为o ，对 大于阈值的系数处理主要有两种方法：硬阈值和软阈值 ( 3 ) 将处理后的小波系数进行小波逆变换得到去噪后的信号( 6 j 。 “小波收缩”被d o n o h o 和j o h n s t o n e 7 l 证明是在极小化极大风险中最优的去噪方 法。在这种方法中最重要的就是确定阈值。d o n o h o 和j o h n s t o n e 提出了全局阈值 = 6 2 i n ，( d 为噪声方差，n 为信号的长度) ，证明了是近似最优的，因 此得到了广泛的应用。但也有不足，当n 趋于无穷大时，这个阈值将把所有的小波系 数置为o 。后来又有人提出了其他的阈值并取得较好的效果。 d o n o h o 和j o h n s t o n e 抛弃了光滑性的要求，提出了基于无偏风险估计阈值( s u r e ) i 引。c h a n g 9 j 等人将小波系数估计为g g d 模型，根据最小均方估计，提出了另一个阈 值瓦嘴一6 2 屯，它比s u r e 阈值得到更好的结果。通过将信号估计为拉普拉斯模型， m o u l i n 等人根据m a p 准则提出阈值瓦御一2 6 2 $ a 一2 。全局阈值只与信号的 采样长度和噪声方差有关，与全局阈值不同的是这几类阈值更加适应信号的结构特征。 c h a n g 加】将小波系数分为不同的质地，根据不同的特性为每个小波系数设定一个阈值， 这样的去噪效果要优于普通方法【1 1 。 1 3 本文主要研究内容 1 对小波变换的基础理论进行深入的研究，包括傅立叶变换到小波变换的发展， 连续与离散小波变换，二进小波变换，多尺度分析，正交与双正交小波等。 2 针对信号与噪声的小波变换特性研究，对小波阈值萎缩去噪方法进行讨论，研 究阈值选取的方法，用多个实例研究阈值选取对一维信号去噪效果的影响，根据传统 阂值函数的优缺点，对阈值函数的阈值函数进行改进，运用改进的阈值函数对一维小 波进行去噪。 3 在二维信号小波处理中，采用改进小波阈值萎缩去噪方法对理论模型及实际地 震记录进行处理，比较改进阈值函数选取与软阈值函数的去噪效果。并对多种阈值选 取下的处理效果进行数据参数的对比进而对其效果进行讨论。 3 第二章小波变换基础理论 在小波分析中，应用最广泛的无疑是信号处理和图象处理，而在这两个领域中， 应用最多的就是信号( 图象) 的降噪和压缩。小波变换具有一种“集中”的能力。信 号经小波变换后，可以认为由信号产生的小波系数包含有信号的重要信息，其幅值较 大，但数量较少，而噪声对应的小波系数幅值小【1 2 l 。通过在不同尺度上选取一合适的 阈值，并将小于该阈值的小波系数置零，而保留大于阈值的小波系数，从而使信号中 的噪声得到有效的抑制，最后进行小波逆变换，得到滤波后的重构信号。小波分析的 主要优点之一就是提供局部分析与细化的能力。所以小波分析可以解释其他信号分析 方法所丢失的数据信息，与传统的信号分析技术相比，小波分析能在没有明显损失的 情况下，对信号进行消噪。基于小波理论的方法对信号进行处理期望得到比传统方法 更高的信噪比。 2 1 傅立叶变换 傅立叶变换是一个强有力的数学工具，它具有重要的物理意义，即信号，o ) 的傅 立叶变换f ( 山) ：r + 。f ( x ) e - i o a x d x 表示信号的频谱。正是傅立叶变换的这种重要的物理意 ，- - o d 义，决定了傅立叶变换在信号分析和信号处理中的独特地位。傅立叶变换用在两个方 向上都无限伸展的正弦曲线波作为正交基函数，把周期函数展成傅立叶级数，把非周 期函数展成傅立叶积分，利用傅立叶变换对函数作频谱分析，反映了整个信号的时间 频谱特性，较好地揭示了平稳信号的特征。从数学角度来看，傅立叶变换是通过一个 基函数的整数膨胀而生成任意一个周期平方可积函数。通过傅立叶变换，在时域中连 续变化的信号可转化为频域中的信号，因此傅立叶变换反映的是整个信号在全部时间 下的整体频域特征，但不能反映信号的局部特征1 1 2 儿乃j 。 傅立叶变换有如下不足： ( 1 ) 当一个信号变换到频域的时候，其时间上的信息就失去了。当观察一个信号 的傅立叶变换，我们不可能知道特定的事件何时发生。 ( 2 ) 为了从模拟信号中提取频谱信息，需要取无限的时问量，使用过去的和将来 的信号信息只是为了计算单个频率的频谱。 ( 3 ) 因为一个信号的频率与它的周期长度成反比。对于高频谱的信息，时间间隔 要相对较小以给出比较好的精度，而对于低频谱的信息，时间间隔要相对较宽以给出 完全的信息，亦即需要一个灵活可变的时间一频率窗，使在高“中心频率”时自动变 窄，而在低“中心频率”时自动变宽，傅立叶变换无法达到这种要求，它只能作全局 分析，而且只对平稳信号的分析有用。但是，在实际应用中，常常有些非平稳信号， 如音乐、语音信号等它们的频域特性都随着时间的变化而改变，这时傅立叶变换明显 表现出了其中的不足【1 4 j 。 4 为此，d g a b o r 于1 9 4 6 年提出了著名的g a b o r 变换【1 5 l ，之后又进一步发展为短时 傅立叶变换( s h o r tt i m ef o u r i e rt r a n s f o r m ) ，简记为s t i 叩，又称窗口傅立叶变换。窗 口傅立叶变换( s t f r ) 克服了傅立叶变换不能同时进行时间一频域的局部分析，在非 平稳信号的分析中起到了很好的作用。其主要特点是：用一窗口函数g ( t r ) 对信号，( f ) 作乘积运算，实现在t 附近平稳和开窗，然后再进行傅立叶变换。 其变换如下：g f ( m r ) = 厂f ( t ) g ( t f 弦姒出 ( 2 1 ) 由于窗口傅立叶变换所定义的窗函数的大小和形状均与时间和频率无关而保持不 变，在实际应用中也存在其局限性。主要有两方面：一是因为高频信号一般待续时间 短，而低频信号持续时间长，因此需高频信号采用小时窗，对低频信号采用大时窗。 二是在进行数值计算时，为了便于计算，需将对基函数进行离散化，但g a b o r 基无论 怎样离散都不能组成一组正交基，因此会给计算带来不便。为了克服这些缺陷，使窗 口具有自适应特性和平稳功能，1 9 8 4 年，法国地球物理学家j m o r l e t 在分析地震数据 时提出将地震波通过一个确定函数的伸缩和平移来展开。之后，他与a g r o s s m a n 共同 研究，发展了连续小波变换的几何体系，将任意一个信号可分解成对空间和尺度的贡 献。1 9 8 5 年，y m e y e r ，a g r o s s m a n 与d a u b e c h i e s 共同寻找了连续小波空间的一个离散 子集，得到了一组离散的小波基( 称为小波框架) 。1 9 8 6 年y m e y e r 发现了构成希尔伯 特空间的规范正交基，从而证明了小波正交系的存在。1 9 8 7 年，m a l l a t 将计算机视觉 领域内的多尺度分析的思想引入小波分析中，提出了多分辨率分析的概念，并提出了 相应的分解和重构快速算法一m a l l a t 算法，从而统一了以前所有具体正交小波基的构 造。 小波变换是一种新的变换分析方法，它的主要特点是通过变换能够充分突出问题 某些方面的特征，因此，小波变换在许多领域都得到了成功的应用，特别是小波变换 的离散数字算法已被广泛用于许多问题的变换研究中。从此，小波变换越来越引进人 们的重视，其应用领域来越来越广泛，如：信号处理、图像处理、模式识别、语音识 别等，并取得了可喜成果。 2 2 小波简介 2 2 1 正交尺度函数和小波所满足的条件 由于正交小波v ( t ) 是自对偶的，因此，正交小波是希尔伯特空问中最理想的小波。 在正交小波中，归一化的尺度函数和小波满足如下条件： ( 1 ) - - _ - - 九= 做二： ( 2 2 ) 特别的，当m = 0 时有 5 一屯。一 苫：三 = 氏九干挂薏“ 特别的，当m = n = o 时有 = 瓯。= 苫：二三 ( 3 ) 暑0 特别的，当m = n = o 时有 ；0 2 2 2 正交滤波器h ( w ) i f f lg ( w ) 所满足的关系 正交滤波器h ( w ) i 乖1 1g ( w ) 所满足的关g 如- f ： ( 1 ) 满足双尺度方程 ( 2 ) 正交尺度滤波器满足的关系式： l h ( w ) 1 2 + i h ( w + 万) 1 2 一l h ( o ) 一1 ，h ( 万) = 0 ( 3 ) 正交小波滤波器满足的方程 i g ( w ) 1 2 + i g ( w + 万) 1 2 = 1 ，g ( o ) = o ，g 似) = 1 ( 4 ) 尺度滤波器与小波滤波器满足的关系式 西彳万弦( w ) + h ( 而) g ( w + 万) 1 0 或研( w ) + g ( 雨( w + 石) z 0 2 2 3 滤波器系数所满足的关系式 ( 1 ) ( o ) 1 营h k4 2 ( 2 ) 何) 一1 尊薹j l l 2 i ；h 洲。f 2 2 魁 ( 3 ) i h ( w ) 1 2 + i h ( w 州一荟k h k - 2 n 吨一僻二三 l g ( w ) | 2 + l g ( w 硝t 1 营荟鼬i 咄。一 三二三 ( 5 ) g ( 0 ) = 0 喀争g t20 争9 2 t4 一g 拍+ l ( 2 3 ) ( 2 4 ) ( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) 6 ( 6 ) 1 6 ( - , ) 1 2 1 j l 荟1 4 薹9 2 k + l , 4 r 2 2 ( 2 1 7 ( 7 ) 万i 万洒( w ) + h ( 而) g ( w + 石) ；0 营罗j i l 2 。g k - 2 一0 ( 2 1 8 ) f 髭 以上从时间域、频率域和系数三个不同的角度讨论了正交小波的特性。实际上这 是从不同的角度来考虑同一个问题，是同一个问题的不同表现形式。许多公式并不是 独立的，也就是说，根据某些公式可以推导出另一些公式。 2 2 1 紧支集双正交小波 在正交小波中，h a a r 小波在时域是不连续的，频域的局部衰减特性也较差， s h a n n o n 小波恰好相反，频域是不连续的，时域衰减性不好。d a u b c c h i e s 小波不具有对 称性( 既不具有线性相位) ，以样条函数作尺度函数，然后正交化得到的b a t t l e l e m a r i e 小波不是紧支集的。d a u b e c h i e s 已经证明，既具有紧支集，又具有对称性的j 下交小波 是不存在的。在利用小波对图像处理和压缩应用中，为了减少处理后的图像的相位延 迟，通常要求小波具有对称性，使处理后的图像的边缘失真最小，为此放松对正交性 的要求，而采用双正交小波。即采用一对对偶小波妒( f ) 和步( f ) 构成双正交小波( t p ( t ) 和 矿p ) 为对偶小波的充要条件是它们为双正交小波) ，当妒o ) 和矿( f ) 都是紧支集时，双 正交小波，称为紧支集双正交小波。 双正交小波的m a l l a t 算法在双正交情况下f ( t ) 可以表示成如下形式： 厂( f ) = 罗 ，妒磁砷融一罗 o ，r 尺) ( 2 其中，a 为尺度因子；f 为平移因子；称妒。( f ) 为依赖于a ，f 的小波基函数。因为a f 为 连续变换的值，因此称 妒。o ) 为连续小波基函数，它们是由同一个小波母函数妒( f ) 经 伸缩和平移后的一组函数序列。 2 连续小波变换 设x o ) 是平方可积函数记作x ( f ) r 俾) ，妒o ) 是基本小波或母小波函数， l f ，。j ( f ) e l 2 俾) 为连续小波。对任意x ( f ) l 2 ( r ) ，则连续小波正变换，如式( 2 3 3 ) ： w t 。( a 力一扣o ) i f ，( 等) d t 酬删以 ( 2 3 3 ) 称为z o ) 的小波变换。式中a 0 是尺度因子，z 是反映位移，其值可正可负。暇( 口，f ) 可以看作是函数x ( f ) 在函数系 下1 缈。( 尘三) ) 展开的下的系数。式( 2 3 3 ) 中不但t x a a 是连续变量，而且a 和f 也是连续变量，因此称为连续的小波变换( c w t ) 。 3 时频分析 工程技术上在时域作局部分析以往常用短时傅里叶( s t f t ) 。虽然在一些需要研 究信号局部性质的问题中起一定的作用，但是，尽管窗1 5 1 的位置能随参数f 的变化而移 动，而窗口的大小与形状是固定不变的。这与高频信号的分辨率应比低频信号高，频 率愈高窗1 ：3 应更小的要求不相符合。这促使人们寻找更有效的局部分析方法，小波变 换就是满足随频率的变化窗1 ：3 的大小也随之变化的要求。下面把两者作时频局部分析 的特点作一比较： s t i 丌的处理方法是对信号x o ) 施加一个滑动t o ( t z ) ( f 反映滑动窗的位置) 后， 再作傅旱叶变换。即 s r f t 。( c o ，f ) ；f x ( t ) o , ( t - r ) e 一胁d t ( 2 3 4 ) 9 上式可以看成是x ( t ) 和g ( t ) = t o ( t r ) e + 徊的内积；f 是位移因子，是频率。 假如t o ( t ) 是高斯型的。当r = 0 时， t 2 t o ( 0t e r ( 2 3 5 ) 对固定频率t oa t o o g ( f ) = er e * j 吖 ( 2 3 6 ) g ( t o ) ；詹扣训2 ( 2 - 3 7 ) 它正是m o r l e t 基本小波。可见当改变时s n 可的基本分析单元的结构与c w t 明显不同。由于只影响g ( t ) 中的复指数因子，因此从时域上看，当t o o 取不同值时g ( t ) 的包络不变，只是包络下的正弦波频率改变。从频域上看，当变成2 t o o 时，g ( t o ) 的 中心频率变成2 t o o ，但带宽不变。可见s t i 丌基本分析单元的分析特点如图2 1 a 所示， 在f t o 平面的不同位置处分析单元的形状保持不变；既不具有分析频率降低时视野自 动放宽的特点，也不具有频率特性品质因数保持恒定的特点。 c w t 在时频平面上的基本分析单元具有图2 1 b 所示的特点。当a 值小时，时轴 上观察范围小，而在频域上相当于用较高频率作分辨率较高的分析，即用高频小波作 细致观察。当a 值较大时，时轴上考虑范围大，而在频率上相当于用低频小波作概貌 观察。分析频率有高有低，但在各分析频段内分析的品质因数q 却保持一致。这是一 项很符合实际工作需要的特点，也和人类对感觉信息( 如视觉、听觉) 的加工特点相 一致。 1 0 t1 t 2 a 短时傅里叶的分析元 ttl t b 小波函数的分析元 图2 1 基本分析元的特点比较 4 小波变换的反演 小波变换区别于某些变换( 如傅里叶变换、拉氏变换) 的一个特点是没有固定的 核函数。但也不是任何函数都可以作小波变换的基本小波驴( f ) 。任何变换都必须存在 反变换才有实际意义，但反变换并不一定存在。对小波变换而言，所采用的小波必须 满足所谓的“容许条件，反变换才存在。 若q g ( t ) e l 2 ( r ) 满足下面的可容许条件 旷仁警 ( 2 3 8 ) 贝, l j t p ( t ) 是基本小波，妒 ) 是伊( f ) 的频谱，上面的c 妒便是对缈( f ) 提出的容许条件。 在容许条件下，用v f - x ( 口，f ) 反演源函数x ( t ) ，此时 删。扣笨( 口蝴m ( 2 3 9 ) 一善瓤m “f ，击驴c 等渺 2 3 2 离散小波变换 在实际的应用中，尤其是计算机实现，连续小波必须加以离散化。这一离散化都 是针对连续的尺度参数a 和连续平移参数b 的，而不是针对时间变量t 的，故离散小波 变换其实是离散a 、b 栅格下的小波变换1 1 6 1 1 7 1 。 在连续小波中，考虑函数，如式( 2 4 0 ) ： l f ，。，( f ) = 万1 妒。，( t - 口r ) a ，b r 且a 。 ( 2 4 0 ) 1 1 这罩a ，b e r 且a 0 ，妒是容许的，在离散化中，总限制a 只取限值，这样相容条件就 “学抓+ 他4 1 ， 通常把连续小波变换中的尺度参数a 按幂级数进行离散，即a 取口：，口：，则如式 妒。( f ) = a o 一2 妒 a o o f ) 】，j = o ，1 ，2 ，3 ( 2 4 2 ) 固定尺度j 的情况下，然后对位移变量r 以口：r 。采样，则如式( 2 4 3 ) ： 妒。( t ) = a o 一2 t p a o 0 一妇；f o ) 】，j = o ，1 ，2 3 ( 2 4 3 ) 最后再取取口o = 2 ，t o = 1 ，则对应的离散小波函数为，如式( 2 4 4 ) ： 妒似一2 2 妒( 2 一- k ) ( 2 4 4 ) 则对于任意函数f ( tc - - l 2 俾) ) 的离散小波变换，如式( 2 4 5 ) ： w l ( j ，七) l 2 正z o 渺， ( f 沙( 2 4 5 ) 式( 2 4 5 ) 称为离散小波变换( d w t ) 。 如果妒似满足框架条件，那么组成其的小波母函数妒( f ) 就满足可容性条件，如式 旷正掣抓+ 组4 6 ) 则其重构公式( 逆变换) ，如式( 2 4 7 ) ： 他) 一c 妒，j ( f ) 2 4 7 ) c 是一个与信号无关的常数。 2 3 3 - - i 羞, j , 波变换 对于离散小波，如式( 2 4 8 ) ： 妒。o ) = a o e o a o o 一妇；f o ) 】 ( 2 4 8 ) 1 2 a o = 2 ，并对位移采取连续变化，设小波母函数妒( f ) l 2 ( 尺) ，有a ，b ( 彳 b + ) ， 且满足式( 2 4 9 ) ： 彳s 荟p c 参) 1 2 sb 眩4 9 ) 则二进小波母函数，如式( 2 5 0 ) ： ， 妒：，= 22 妒( 2 一( f 一2 f ) ) ( 2 5 0 ) 则二进小波变换，如式( 2 5 0 ) ： 嘿，p ) 一 ( 2 5 1 ) 如果二进小波构成l 2 俾) 的一个小波框架( 满足了可容性条件) ，即： a k ( t ) 1 1 2s 乏i 鸭，硝sb l l x ( t ) u 2 ( 2 5 2 ) 那么二进小波反演，如式( 2 5 3 ) 、式( 2 5 4 ) ： a = b 工1 3 f ) i a - 1 薹 妒：，o ) ( 2 5 3 ) a b z ( f ) 一薹正暇，p ) 矿，o ) d f ( 2 5 4 ) 2 4 多尺度分析 s m a l l a t 于1 9 8 7 年将计算机视觉领域的多尺度( 多分辨) 【1 8 】【1 9 】分析法引入到小波 分析中，并形成了具体的算法，即“m a l l a t 分解与重构算法”。m a l l a t 分解与重构算法 在小波分析中的地位相当于快速f o u r i e r 变换( f a s tf o u r i e rt r a n s f o r m ，简称f f t ) 在经 典f o u r i e r 分析中的地位。多尺度分析( m r a ) 是构造小波的通用方法，而且大多数的 小波都来自m r a 下面给出m r a 的定义。 设任意函数驴( f ) 三2 僻) ，记吼o ) 一q 0 ( t - k ) 为整数位移，如果 = 6 i j ， 则称驴( f ) 为尺度函数。再对尺度函数进行扩展，得到，如式( 2 5 5 ) ： 一 驴似( f ) 一22 妒( 2 7 t - k ) ( 2 5 5 ) 定义咋t 历历琢丽为一固定尺度jt - _ q j ，七( f ) 张成的空间，称为为尺度j 下的 尺度空间。则慨( f ) ，则如式( 2 5 6 ) ： z ( f ) 。善c t 驴， o ) 2 舶) 1 3 定义以k 是空间2 似) 中的一字空间序列。如果杉k 和函数驴o ) l 2 俾) 满足 如下条件： 单调性：c + 。一。一v e z ： 逼近性：n 哆ti o ) , u = 三2 俾) ； 声z 伸缩性：f ( x ) e 寺f ( 2 7 x ) e 圪，z ； 平移不变性：，o ) v o 兮，o 一刀) 圪，v ne z ； r i e s z 基存在性：存在g ，使得k o 一以) l 刀z 构成的r i c s z 基。 则称e 悬由函数伊o ) 三2 ) 生成的一个正交多分辨率分析( m a r ) ，其中 伊p ) r 僻) 称为尺度函数。从多分辨率分析的定义可以看出，它与人类的视觉有着惊 人的相似。当人在观察某一目标时，可设他与目标之间的距离为尺度j ，当他在远处观 察目标时，对应大尺度空间，只能看到目标的概貌；当他走近目标时，对应于小尺度空 间，可以对目标进行细致观察。由远及近，尺度相应的由大变小，可以对目标进行多 尺度的由粗到精的观察，这就是多尺度( 多分辨率) 的思想【2 0 l 【2 l l 。 形象的可以用如下树型结构表示( 以2 抽取为例) ： 图2 2m r a 分解过程 图2 3m r a 重构过程 1 4 2 5m a t l l a t 算法 在m r a 的理论框架下，m a l l a t 设计了正交小波分解和重构算法一m a l l a t 算法。通 过它可以实现信号多分辨分解的快速算法【冽p 1 。 设函数f ( x ) e l 2 ，它在v 中的投影为： o ) = a j , k 妒j ，t o ) ( 2 5 7 ) 这里口j j = r 厂 概，i ( x ) a x ，纺 ( x ) 一2 j 2 驴( 2 7 x - k ) ，j , k e z 类似的厂0 ) 在上 的投影为： o ) ；岛j 妒，j o ) ( 2 5 8 ) 这里声j j = r 厂o 渺， ( x ) d x ，为在_ + 。中的正交补，静( 一万) ln z 】为的标 准正交基，从而厂o ) 有如下分解： ( x ) - 兀o ) + m o ) ( 2 5 9 ) 此时称o ) 为函数厂g ) 在空间巧上的线性逼近为了计算各个尺度上的尺度系数 口，以及小波系数卢，j ，有如下快速小波算法( m a l l a t 算法) ： 为： 口j j 一 ( 坍一放) 口m ( 2 6 0 ) 岛 一g ( m 一2 k ) 口h 一 ( 2 6 1 ) 其中伽( 七) k 为低通滤波器系数，倌( 七) h 为高通滤波器系数相应的完全重构表达式 口一j i l 沏一放) 口h 朋+ g ( m 一放) 口一 ( 2 6 2 ) 综上，对连续函数的情形给出了尺度系数、小波系数的计算公式，以及其线逼近 的定义。现实中，遇到更多的是离散情形在离散情形下，函数厂0 ) 被看作某一细尺度 上的平滑系数，即尺度系数定义如下两个矩阵： 1 5 h = h 啊 h j i l oi l l h h g = g o g l g j - i 二“一j 向量口一( ，a ， ，口，棚) ，岛一( ，岛 ，上) 则离散型的m a i i a t 算 1 6 a f 厂( 石，y ) ；( ( x ，y ) ，2 7 q ，( 2 - x 一一) 驴( 2 7 y 一肌) ) ( 2 7 1 ) d j u ，( x ，y ) = ( 厂( x ，y ) ，2 。妒( 2 。z 一万渺( 2 。y - m ) ) ( 2 7 2 ) d j 舶f ( x ，y ) = ( f ( x ，y ) ，2 。妒( 2 。x - n ) p ( 2 。y - m ) ) ( 2 7 3 ) d j 孙f ( x ，y ) = ( f ( x ，y ) ，2 。妒( 2 。z 一刀) q p ( 2 - y - m ) ) ( 2 7 4 ) 其中h 和g 分别为一维的低通滤波器和高通滤波器，钙。厂为原始图像，衫厂为 低一级分辨率的低频轮廓信息，( 1 ) 噬1 厂为垂直方向的高频信息，( 2 ) d 厂为水平方 向的高频细节信息，( 3 ) 硝；厂为对角线方向的高频细节信息【2 4 1 。 经过二维小波变换，可以将原图像逐级分离成具有不同尺度的子图像。原图像经 小波变换后生成四个分量部分：低频分量l l ，保留了原图的大部分信息；高频分量 l h 、h l 、h h 均包含了边缘、区域轮廓等细节信息此时还可以对l l 进行第j 级小波 分解，以得到2j 分辨率下的图像表示。实际图像的二级小波分解见图2 3 ，左图为一 层小波分解示意图，右图为二层小波分解示意图【圈。 a 一层小波分解示意图b 二二层小波分解示意 图2 3二级小波分解示意图 2 6 函数的正则性和消失矩 正交性保证了变换后的图像经逆变换后能够完全的恢复，紧支撑性保证了编码的 可实现性，支撑区间越小( 即：小波系数越少) ，所须计算时间越少，然而，支撑区间的 长短与小波的光滑度和正则性密切相关，这些特性反过来又影响编码特性。双正交小 波的主要吸引力是线性相位，在金字塔式的多级分解处理时，无须相位补偿，减少或 消除重建图像的边缘处的失真。与正交小波相比，双j 下交小波对图像分解计算时所须 的额外开销不大。小波基或滤波器的设计和选择主要考虑对图像分解时能够产生接近 1 7 于零的小波系数的量，接近于零的系数越多，表明小波基的性能