（基础数学专业论文）函数论中两类特定族的性质研究.pdf

中文摘要 摘要 本文主要引入和研究了定义在单位开圆盘= z ：h 1 ) 内的两类解析函 数族g + 陋，b ，c ，d 】和k ( n ，p ，入，q ) c 陋，b ，c ，d 】是用从属定义的近于凸函数的子集，这类函数都是单叶的，文中 讨论了它与另类函数族之间的两种转化形式，还对其部分系数及相关函数的凸形 式作了精确估计，并得到了驴陋，b ，gd 】的一种有效判断方法 k ( n ，p ，入，o t ) 是一类p 叶负系数解析函数族，它为p 叶凸函数的子集，这里确定 了它对应的p 叶星形阶，解决了其受限于c a u c h y e u l e r 微分方程的半径问题，讨论得 到了k ( n ，p ，入，o t ) 的两种修正哈达玛乘积的一般化结论，并找到了其极值点 对于伊陋，b ，c ，d 】和k ( n ，p ，a ，o t ) 的研究都从不同的方面优化了先前数学 工作者的相应结论 关键词：单叶函数；p 叶函数；近于凸和凸；负系数；哈达玛乘积；极值点 湖北大学硕_ 上学位论文 a b s t r a c t i nt h i sa r t i c l e ，t w ok i n d so fs u b c l a s s e s 4 ，b ，c ，d 】a n d t i o n sw h i c ha l ea n a l y t i ci nt h eo p e nu n i td i s k = i n v e s t i g a t e d z ：h k ( n ，p ，a ，q ) o ff u n c 一 1 ) a l ei n t r o d u c e da n d a l lt h ef u n c t i o n si n 驴 a ，b ，c ，d 】a l eu n i v a l e n ta n dd e f i n e db ys u b o r d i n a t i o n ，i n f a c t ，t h ec l a s so fc l o s e t o c o n v e xf u n c t i o n sc o n t a i n st h ec + 陋，b ，c ，d 】t h er e l a t i o n s h i p b e t w e e nc + 陋，b ，c ，d 】a n do t h e r si sg i v e n ，a s l o ，i to b t a i n st h es h a r pr e s u l t so nc o e f f i c i e n t se s t i m a t ea n dr a d i u so fc o n v e x i t yw i t h 【a ，b ，c ，d 】，a n dav a l i dw a yt oj u d g ei t i sp r o v e d k ( 亿，p ，入，o t ) i st h es u b c l a s so fp - v a l e n tc o n v e xf u n c t i o n sw i t hn a g a t i v ec o e f f i c i e n t r a d i u sp r o b l e m sa n dd i s t i r t i o ni n e q u a l i t i e so ft h ef u n c t i o n sw h i c ha l ed e f i n e d b yk ( 佗，p ，a ，q ) w i t hac e r t a i nc a u c h y e u l e rd i f f e r e n t i a le q u m i o na l es o l v e d a s l o ，t h e o r d e ro f p v a l e n ts t a r l i k e n e s so n c ( n ，p ，a ，q ) i sg i v e n m o r e o v e r , i ts h o w ss e v e r a lg e n e r a l i z a t i o nr e s u l t so ft h em o d i f i e d - h a d a m a r dp r o d u c t sa n de x t r e m ep o i n t so ft h ec l a s s c ( n ，p ，a ，o t ) a l lt h er e s u l t so nt h et w oc l a s s e sc + 阻，b ，c ，d 】a n dk ( n ，p ，a ，a ) a l es h a r p ，a n d s o m eo fw h i c he x t e n dt h ec o r r e s p o n d i n gr e s u l t sd o n eb yt h ee a r l yw o r k e r k e yw o r d s ： u n i v a l e n tf u n c t i o n ；p - v a l e n tf u n c t i o n ；c l o s e - t o - - c o n v e xa n dc o n v e x ； n e g a t i v ec o e f f i c i e n t s ；h a d a m a l dp r o d u c t s ；e x t r e m ep o i n t 一， 湖北大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得 的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个 人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集 体，均己在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承 担。 作者签名：1 垒k 舶 签名日期：叶蜘7 日 学位论文使用授权说明 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即： 按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本；学校有权保存并向国家 有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，并提供目录检索与阅览服务；学 校可以允许采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存学位论文；在不以赢 利为目的的前提下，学校可以公开学位论文的部分或全部内容。( 保密论文在 解密后遵守此规定) 作者签名：锰嫡 导师签名： i 似 隰吲年y 习日 醐呷盼7 日 第1 章引言及预备知识 1 1 引言 第1 章引言及预备知识 复变函数论一直是分析学的一个重要分支，它所研究的中心对象是解析函 数我国的数学工作者很早就开始了这方面的工作，至今已经取得了极大的成 效，除了对经典的复变理论，如整、亚纯函数，解析函数边值问题等有了新的发 展和应用外，同时还派生了一系列新的分支方向，如多复变函数论、单复变函数 论、广义解析函数论等但对于各种解析函数类的研究一直是重要的和有意义 的，这至今依然是函数论研究者侧重之处上世纪初，h a l l e n b e c kd j ，w i l l k e nr 等国 外数学家们相继引入并且研究了标准化单叶解析函数族s ，星形函数族舻，凸函数 族k ，近于凸函数族c ，正实部函数族p 等这一系列的经典函数类，随着后继研究工 作的不断深入和开展，已经产生了比较完整的函数类研究体系，除了对函数族固有 的数学特性如系数、偏差、映射情况、互容关系等作了大量具体的工作外，还通 过引入拓扑结构和测度积分知识，建立了关于函数族极值点和支撑点、俨空间 等新方向的探求，这对于解决极值问题和扩充理论领域开辟了新的道路其中【参 看1 9 ，2 4 ，3 8 等三本专著对这一研究现状作了全面的归纳和总结，最近的文献【参 看1 4 ，1 9 ，3 1 ，3 2 ，4 3 ，4 5 对这一理论作了进一步的探求 立足于先前的理论体系，不少数学工作者还定义和研究了s ，扩，c 的不同子 类 参看5 ，1 1 ，1 5 ，2 0 ，2 1 ，2 5 ，2 6 ，2 7 ，2 9 ，3 4 ，3 6 ，4 2 ，4 4 ，这些工作是重要的，它们都从不同 的侧面反映了各类函数族的特有性质，并得到了关于系数、偏差、半径或者其他 方面的很好结果，其中以s i l v i ae m 【4 2 】的o m ，j e i 】和c a ，b ，c ，d 】及k h a l i d ai n a y a t n o o r 2 9 】的q 陋，b 】最为典范当前，对于单叶和p 如1 ) 叶负系数解析函数的研究也 取得了很大的进步，从o w as ，s r i v a s t a v ah m 等数学工作者最近几年的研究性文 献 参看6 ，7 ，1 4 ，1 6 ，1 8 ，2 8 ，3 0 ，3 3 ，3 9 ，4 1 可以知道，对负系数解析函数族的研究除了更 深入的强化半径、极值点问题的处理外，还对哈达玛乘积，积分算子、。分式变换、 邻域等内容作了重点广泛的讨论 本文共分为4 个部分，第1 部分为引言及预备知识，主要概括性的介绍了当前 领域的研究背景及所涉及的基本概念 第2 部分借用从属定义了一类新的近于凸函数的子类阻，b ，e 驯，在形 式上和内容上建立了其与g 陋，b 币t l c a ，b ，c ，d 之间的联系，这里给出了它 与c a ，1 3 ，c ，d 1 的转化形式，还巧妙的对其部分系数和相关类的凸形式进行精确 估计，得到了一个有效的判断方法 第3 部分引入了一类p 1 ) 叶凸函数的子集k ( n ，p ，入，o t ) ，通过等价性 一l 一 湖北大学硕士学位论文 条件的推导，确立了其p 叶星形阶和找到其极值点，还研究了其附加定义于固定 的c a u c h y e u l e r 微分方程的偏差定理和半径问题，并重点对k ( n ，p ，a ，q ) 的两种修 正哈达玛乘积作了深入讨论，这些内容的处理方式和结果从不同的侧面总结和优 化了先前的相关工作 第4 部分是全文小结，主要从内容上综述了论文的研究成果及意义，并提出了 一些可行性的理论补充 1 2 预备知识 本节主要介绍了文中涉及的有关晒数族类，对于一些可能影响理解的定 理、定义也作了提前概述用表示单位开圆盘z ：i z l 1 ) ，这里记集合 e l = f ( z ) ：，( 名) 在内解析hf ( z ) = z + a k z 格 s = 厂( 名) ：，( 名) 在内单叶解析且，( 名) = 名+ ea k z 詹 在介绍一些重要的函数族之前，这里先给出下面的定理和定义 定义1 2 1 【2 4 】如果，( z ) 和9 ( z ) 在内解析，且存在( z ) 满足，( z ) = 9 ( ( z ) ) ，其 中( z ) 玩，则称，( z ) 从属g ( z ) ，记作f - - g ，一般情况下，这里标记 编= ( z ) ：矽( o ) = 0 ，i ( z ) i 1 ，( z ) 在内解析 定理1 2 1 【2 4 】如果，( z ) 夕( 名) 和0 r l ，贝, u i f 7 ( o ) i l g p ( o ) i 且厂( 名：h r 】) c9 ( z ：j 名l r ) ) 下面为几种常见的、特殊的s 族子类，可参考文献 2 4 ，2 5 ，2 6 ，2 9 ，4 2 】： ( i ) 球* s 且错 而l + a z ，_ 1 b a 1 ) 这里可以看出 【a 】s + 1 ，一1 1 兰s + 为星形函数族 【b 】 s 吖l 一2 口，一1 】三s + ( q ) 为0 4 0 q 1 ) 阶星形函数族 ( i i 川郇】= ，( 小北且群 嵩，_ 1 由定义，这里不难发现 【e 】kcs + cccsk a ，b 】cs 吖a ，b 】cs cs 2 第1 章引言及预备知识 ( i i i i ) p 【a ，b 】_ k ) ：北) s 且北) q 艇0 q 心 它们分别记为p 叶q 阶星形族和p 叶q 阶凸族 死0 ，q ) 和g 0 ，a ) 的一些特值函数类都被单独的作过具体的研究，情况如下： ( 1 ) 乃( p ，a ) 三t + p ，q ) 和a 0 ，a ) 三c p ，q ) ( 看o w a 3 5 ，s e k i n e 4 0 ) ( 2 ) 死( 1 ，a ) 三瓦( q ) 和g ( 1 ，a ) 兰g ( q ) ( 看s r i v a s t a v ae ta 1 1 4 4 ，d o m o k o s 18 ) ( 3 ) 丑( 1 ，a ) 三t ( 口) 和g ( 1 ，0 f ) 三c ( q ) ( 看s i l v e r m a n 4 1 ) 定义1 2 2 设乃( z ) = 扩一n 知，j z 七s ( n ，p ) ，j = l ，2 ，m ，则 车j 1 2 木木 厶( 名) 为对应的m 阶修正哈达玛乘积且 木，2 札木厶( z ) = 矿一o o 咖m ，m 名七 k = n + p 定义1 2 3 1 3 7 l 设x 为线性拓扑空间，u 是x 的一个非空子集，z o 是u 的一个元 素，如果z o 不能表示成u 的两个不同元素的真线性凸组合，则称z o 为u 的一个极值 点，记u 的极值点为e u 定理1 2 2 1 2 4 乱e 的充分必要条件是若0 t 一 七 。 七 z 詹 口 p k 一 矿 i i z ， 湖北大学硕士学位论文 间，k 是x 的一个非空紧子集，则k 包含在其极值点的闭凸包中特别的，当k 是一个 凸紧子集时，k 就是其极值点集的闭凸包 定理1 2 4 2 6 , 2 9 如果，( z ) k 陋，矧当且仅当9 ( z ) 陋，矧，这里夕( z ) = z ，7z ) 推论1 2 1 【2 4 】如果厂( 名) k 当且仅当夕( z ) s + ，这里夕( z ) = z 厂7z ) 第2 章c + 【a ，b ，c ，d 】的性质和相关类的精确凸估计 第2 章 c 丰【a ，b ，c ，d 】的性质和相关类的精确凸估计 s i l v i a e m 【4 2 1 曾研究过两类重要的解析m 数族o a ，b ，c ，d 】和。陋，b 】，其 定义形式分别为： c 陋，b ，c ，d 】- m ) ：m ) 且等 再l + 瓦c z ，夕引a ，吼一1 b a ges * 邶】i _ 1 b a 1 ，。p 1 ) 为此这里不难发现： 【c 】q ，b 】co hb 】cc 同样的考虑，我们可以定义c 陋，b ，c ，d 】的一个新予类矿陋，b ，gd 】，记 c m 叩】= 沁) ：m ) 且并 而1 + c z 胙引郇】 - 1 b a 1 ，一1 d o ) ，则f ( 名) s + 陋，b 】 引理2 1 2 【5 】设( z ) 和d ( z ) 在内解析，且d ( z ) 将h 1 映为星形域，若( o ) = 5 一 湖北大学硕- 上学位论文 。- d ( 晰口锱叫则锱卅, b i 定理2 1 1 设，( z ) c + 陋，b ，c ，d l ，则存在一个夕( 名) k a ，矧，使得当 纵加芝 1 + 萧 时，h ( z ) v i a ，b ，c ，d 】 证明因为- 厂( z ) c m ，b ，c ，d 】，则存在g ( 名) s + 陋，b 】，使得 ( z f 协) ) 7 1 + c 名 g 7 ( z ) 1 + d z 一。一 对为 僻m z g 砌，训卅鬻】 g ，( 名) = ( 协) ) 7 = ( z ) 【l + 号署】 删错：熹盏：鬻：搿 而l + c z z g ( z ) 1 丽2 碍2 而。_ 万气1 + 耽 因此危c a ，b ，c ，d 】，证毕 z 。f ( 石t ) d tg ( z ) = 0 2g ( 亡t ) d - ，贝u y e t - g ( z ) ，f ( 名) c 陋，b ，g 。】 又酌 z f 伽z 掣：i ( z )7 ( 名) = z 耸2 =) 所以 z f 7z ) ，( z ) 雨2 芦 g ( z )厂2 型j + 令肌) 训加川破聊) = z z 学出g ( z ) 测 锱d = 等 ， 7 ( z )9 ( z ) 、 。 第2 章 c + 【a ，b ，c ，d 】的性质和相关类的精确凸估计 又因为 由引理2 1 2 可知： 又由( 2 1 1 ) 知 ( z f 7 ( z ) ) 7 1 + c z g fz 、 。1 - k 七d z _ _ _ _ _ _ _ _ - _ _ _ - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 一_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - _ _ _ _ - _ 一 z f 7 ( z ) ，1 + c z g ( z ) 。1 + d z 7 ( z ) ，1 + c 名 _ ( 一 d ( z ) 1 + d z 再次利用引理2 1 2 ，则 g ( z 11 + c z d ( z ) 1 + d z 即 z f 7 ( z ) 1 + c z c ( z ) l + d z 所以关于g ( 名) ，f ( z ) c 陋，b ，c ，d 】，证毕 2 2 定性a 陋，b ，c ，d 的有效判断方法 引理2 2 1l 2 5 j ( j a c k sl e m m a ) 设叫( z ) 在h 1 内解析，w ( o ) = 0 ，看当h l z o i 1 时，有1 w ( z o ) l = m a x l w ( z ) l ，贝u z o w ( 翔) = k w ( z o ) ( k 1 ) 定理2 2 1 若，( z ) ，o ( z ) s + 阻，b 】，当，( 名) ，9 ( 名) 在内同时满足条件： ( 0 ) 错吕且( 批) ) ，在内无零点 i 竿铲一鬻j 研簖 则相对于9 ( z ) ，f ( z ) c + 【a ，b ，c ，d 】，其中一1sb a l ，一l d cs 1 证明设 并=币1+c丽w(z)z ( 2 2 1 ) 9 7 )1 + d 叫( z ) v 7 刚右 吣，= 端揣 由条件( a ) b 5 l 知，显然彬( z ) 在内解析且叫( o ) = 0 ，故只需证明f 彬( 名) i l ( z z x ) e ( 2 2 1 ) 式两端求导得： 坐裔z 型一紫= 黼1 ( 2 - 2 2 ) 夕7 )夕7 2 ( z )( + d 加( z ) ) 2 、7 湖北大学硕上学位论文 在( 2 2 2 ) 式两边分别乘以盂笋篆专，即 半铲一鬻=而(丽c-d厕)zw(z)z ( 2 2 3 ) 一= = 一 iz ，1 i (7 ( z ) ) 7夕7 ( z )( 1 + c 叫( z ) ) ( 1 + d 叫( z ) ) r 叫 假设存在z o 使得i z i i z o i 1 时，1 w ( z o ) i = 1 ，i 加( z ) l 1 则由引理2 2 1 和( 2 2 3 ) 式可知 2 z o f “z o 、+ 磊p ( z o 、z o g “( z o 、l ( z o f 7 ( 徇) ) 79 7z o ) 。 k i c d l l w ( z o ) i 1 1 + c w ( z o ) 1 l + d w ( z o ) c d 万可葡可可而 这与题设条件矛盾，故1 w ( z ) i n = z y o ， o 则有：i 。z l 差且l a 3 1 百1 9 证明在定理2 3 1 中取a = c = 1 ，b = d = 一1 即可 2 4 凸形式估计及应用 其中 弓i 理2 4 1 【2 6 1 如果，( z ) s + a ，s l ，i z i = r ，0 r 1 ，贝h ： 驯1 + 错】鼢篙：。票 x 1 ( r ，a ，b ) 恐( 7 ，a ，b ) 4 2 r 2 一( 3 a s ) r + l ( 1 一a r ) ( 1 一b r ) o 彩留一( 1 一a b r 2 ) a + b 。( a b ) ( 1 一r 2 ) a b 这里彩= a 一2 b + 1 一( a 一2 b + b 2 ) r 2 ，留= ( 1 一a ) ( i + a r 2 ) ，r + 为方程g ( r ，a ，b ) = a ( a b ) r 4 - 2 a ( 1 一b ) r 3 一( a 2a b + 2 a + 2 b 一2 ) 7 2 + 2 ( 1 + a ) r - 2 = o 在( o ，1 】之 间的唯一根 1 0 第2 章c + 【a ，b ，c ，d 】的性质和相关类的精确凸估计 其中 弓i 理2 4 2 【2 6 】如果p ( 名) p a ，b 】，1 名i = r ，0 r 1 ，贝0 ： m 群鼢y 2 ( r , a a , b b ；三已三 m ( 7 ，a ，b ) 砼( r ，a ，b ) ( a b ) r ( 1 一a r ) ( 1 一b r ) o 、彩留一( 1 一a b r 2 ) 。a + b 。 ( a b ) ( 1 7 2 ) 。a b 这里万= ( 1 一b ) ( 1 + b r 2 ) ，历= ( 1 一a ) ( 1 + a r 2 ) ，矿为方程夕( r ，a ，b ) = a b r 4 2 a b r 3 + ( 2 a + 2 b a b 一1 ) 7 2 2 7 + 1 = o 在( o ，1 】之间的唯一根 定理2 4 1 y 发f ( z ) = z f 7 ( z ) ，且，( z ) c + 陋，b ，c ，d 贝j j 当h = n0 7 1 ，时，有： r e 斜x i ( r , a , b ； ：。z + 鼢y 2 ( r , g c , 。d ；三= 其中矿，矿，x l ( r ，a ，b ) ，配( r ，a ，j e 7 ) ，y l ( r ，c ，d ) ，m ( r ，gd ) 的定义方式与引 理2 4 1 和引理2 4 2 中对应保持一致 证明因为，( 名) c 1 a ，b ，c ，d 】，则存在夕( 名) s + 陋，b 】，使得 又因为f ( z ) = z f 7 ( z ) ，所以 并叫冰叩，d 】 批冲心) ) ，铷j 并韧k z ) 故 ( z f 7 ( z ) ) 7( z 9 7 ( z ) ) 7 。z h 7z ) f 7z ) 9 7z ) 。h(z-i-) 一：= = 一- - - - 一 这里9 矿口，捌，h p 盼d 】，因而由由引理2 4 1 和引理2 4 2 ，则 湖北大学硕士学位论文 当i zj = 7 - ，0 r 1 时，有 兄e 斜= 月e 样他鬻 x 1 ( r , a , b ) o r r + y x ( r , c , d ) o 7 矿 l 恐( 7 ，a ，b ) 7 + r 1 im ( 7 1 ，c ，d ) 矿 r 。，则当f ( z ) = z f 7 ( z ) 时，f ( z ) z e i z l 3 2 以内是凸的，且这个界是最好的 注：推论2 4 1 被很多人以各种方式研究过，这里容易由定理2 4 1 中取a ： c = 1 ，b = d = 一l 直接推理得到证明 下面我们给出定理2 4 1 在求凸半径问题中的一个具体的应用 推论2 4 2 若f ( z ) = z ，7 ( z ) ，且，( z ) c + 。，一三，三罢j 兰零；吾：；吾，。 时，贝u f ( z ) 在i z i 坠笔 内是凸的，且这个界是最好的 证明因为，( 名) c + 【o ，一五1 ， r 1 ，时，有 r e 斜 兰 仝 石 薰兰；云岩，0 】，则由定理2 4 可知，当h = n 。 l n 2 百一【o ，1 j 1 2 一 ，0 ) 0 r 矿 ，0 ) 矿 7 1 ( 2 4 1 ) l ” l 奎 r r q 一 第2 章 c + 【a ，b ，c ，d 】的性质和相关类的精确凸估计 则 一。 一2 + 2 锯 矿= 二5 兰! ! f 阜塑二坐兰型堕垒一o r - 一2 了+ 2 一v 佰 m 斜啦驾篇篱半 ： 1 当。 r 型竽时，m s ( 忙( 2 0 锯_ 2 0 ) r + 1 6 怕- 5 6 = 0 知 硒= 瓦5 6 - 万1 6 丽v 6 = - 2 了+ 2 一v 信( o ，- 2 + 。2 v 信1 = ；= 一= ：一i u ， ” 2 0 、6 2 0 5 、7 o 当二型譬堕 q ，。g a p , o a 1 ，z ( a 1 ， 这里注意到 【a 】 + n ，p ，0 ，a ) 三死，q ) 为p ( p 1 ) 叶星形函数族 ( 参看o w as 3 3 】) b 】矿( 几，p ，1 ，a ) 三c k ，q ) 为p ( p 1 ) 叶凸形函数族( 参看o w as 3 3 】) 这里，我们可以来类似的研究一仰 1 ) 叶凸函数的子函数 族g ( n ，p ，a ，a ) ，定义如下：一个函数f ( z ) k ( 佗，p ，a ，a ) 当且仅当厂( z ) s ( n ，p ) 和 满足不等式 t z = 冗e q ，。a q ( z ) 矿( 却一入+ 1 ) 一k 2 ( a k a + 1 ) 。奄o l p ( a p 一入+ 1 ) 一a k ( a k a + 1 ) 。七 k = n + p k = n + p ( 3 1 2 ) 或者 后( 七一q ) 盼( 七一1 ) + 1 a k p ( p - o o , x ( p 1 ) + l 】 反之，若( 3 1 1 ) 成立，则我们注意到 = l 燮鼎篙铲一p i 。 后( 七一1 ) a k - 4 - 1 一p a 】- 4 - ( 1 一p ) k a k z 知 ii g = t 1 十p ：= l - - - - - - - ：- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 。一jo o p ( a p 一入+ 1 ) 护一k ( a k 一入- 4 - 1 ) a k z 七 弗= 几十p o ( p r ) ) 。o 定理3 3 1 如果，( z ) = 矿一a k z 岛s ( 仡，p ) 和9 ( z ) = z p 一b k z 知 k = n + p k = n - i - p g ( n ，p ，a ，q ) 满足方程( 3 3 1 ) ，则 f ( z ) 1 - - - i 卅i 黯攀赢芒蓦豁辞帅3 i f ( z ) 1 - 1 牡i 薪警高舞窘豁蔫i 肿i b 3 劫 证明由： - y - g ( z ) g ( n ，p ，入，q ) ，用定理3 1 1 ，我们有 ( 礼- i - p ) ( n + p q ) a ( n - t - p ) 一入+ l 】 p 0 一q ) ( 却一入+ 1 ) 所以 因此 缸p o o 七萎0 0p 筹揣 七塾而怨篙熬 3 q 6 知石- f 石灾警车亏兰篓s 为专：；( 尼= 钆+ p ，n + p + 1 ，) ( 3 3 5 ) 由( 3 3 1 ) ，我们容易发现 所以 o o 夕( z ) = 名p 一b k 少= 矿一 k = n + p。霎。等辫躺吣膏知三p ( p + p ) + p + 1 ) ”甩。 。七= 暑 蚩6 奄c 尼= 礼+ 弘礼+ p + l ， c 3 3 6 ， 1 8 第3 章 g ( n ，p ，入，a ) 的性质和极值点情况 和 o o m ) = 矿一口七= 矿一 k = n + pk = n + p簪k - t - 黼址七 (p ) ( 七十p + 1 ) ”“ 因此 i m ) i 0 因此从( 3 3 8 ) 和( 3 - 3 9 ) 可知结果( 3 3 2 ) 成立，这第2 个结论( 3 3 3 ) 可以用相同的方 法得到证明，证毕 在定理3 3 1 中取入= 0 ，我们得到如下的结论： o o 推论3 3 1 ( 【7 ，推论2 】) 如果f ( z ) = z p 一a k z 知s ( n ，p ) 和g ( z ) = 矿一 k = n + p b k z 七g p ，q ) 满足方程( 3 3 1 ) ，则我们有 k = n + p f ( z ) l _ i 卵+ 髯崭譬篇h 帅 f ( z ) l 1 z i p i 寰兰菩j j ；舌：弩菩j 三! ：堇端l z i n + p o o 定理3 3 2 如果，( z ) = z p 一a k z 知s ( n ，p ) 和9 ( 名) = z p 一b k z 七 k = n + pk = n + p k ( n ，p ，入，o t ) 满足方程( 3 3 1 ) ，贝, u 3 5 o ，使得当 冗时，f ( z ) 乃0 ，6 ) ，这里 肚鼢i n + f p 筹畿等搿鲁瓣黼) 南 1 9 湖北大学硕士学位论文 证明 我们必须证得i 等等一p i p 一6 当 兄因为9 ( z ) g ( n ，p ，入，q ) ，由定理3 1 i ，我们有 由( 3 3 1 ) 式我4 f j 矢h 道 。霎。筹黼蜓l知彖口p 一q ) ( 却一入+ 1 ) 。 出m 一壹b k z k = z p - - 一e k = n 4 - p k-妻np 等辫搿吣詹- l ”。 ， ( 3 3 1 0 ) 因此 n 南= 暑 芸6 詹c 七= n + p ，礼+ p + 1 ， c 3 3 t 1 ， ( 3 3 1 0 ) 式能够确保 七量踏糌躺坯七毫等黼坯1 q 3 舶， 结合( 3 3 11 ) 和( 3 3 1 2 ) ，我们注意到 搿一p i = i 掣 o ，使得当h r 时，f ( z ) 瓯0 ，6 ) ，这里 肚鼢i n f + p o ，使得当 r 时，( z ) ( p ，6 ) ，这里 肚南魏 o ，使得当例 1 其中a = n p ( a p a + 1 ) 0 一一1 ) 白一q m ) b = ( n + p ) 盼( n + p 一1 ) + 1 】( n + p 一，) 一1 ) ( n + p - a 。) 一p ( 却一入+ 1 ) 0 一，) ，m 一1 ) 一o l m ) 这个结果是最好的当 地，= 矿一两希嚣端赢z n + p 歹“忍，m ；唧 证明首先我们需要去证明当m = 2 时结论成立假设 j ( z ) = 矿一吼，j z k g ( n ，p ，入，) ，j = 1 ，2 ( 3 4 1 ) k = n + p 则由定理3 1 1 我们能够知道 进一步有 塞笺p ( p 涨蓦斟n 川，2 知耋耳口 一哟) 盼。一1 ) + 1 】“j 一。 。” 睡。篓p ( p 耥t 。k 3 r j 组，2l 七彖p 一) 队一1 ) + 1 】 一”。1 。 由于霍尔德不等式，从而 。妻 黑鞘 专 k ( k - 丽a 2 ) ( k k - a + 1 ) 卜。妊1 七- - - - 厶n + p 【p ( p q 1 ) ( 却一入+ 1 ) j 【p ( p q 2 ) ( 一入+ 1 ) j 峨1 峨z 一 因此 和 七妻p 箍制( 篙崩k - o e 2 ：) ；丽1 ( 3 - 4 纠 渊p(ap ( 竺po t l 戌离p ) ；( 尼佗刊 ( 3 4 3 ) 一入+ 1 ) 、一 7、 一q 2 7、 一 。7、 2 2 一 a 万 一 m p l l = 饥 ，lij 1 l l 第3 章 k ( n ，p ，入，q ) 的性质和极值点情况 我们应该找到最大的讹使得 ，妻笺p ( p 等等岩呶砖1 4 q 七彖口 一仇) ( 却一a + 1 ) 峭1 w ”一 _ 7 由于( 3 4 2 ) ，( 3 4 4 ) 能够成立如果 而k - 7 2 慨2 0 a ( k ) = 一a 1 ) 2 ( p o t 2 ) 2 p 2 ( ) 巾一a - i - 1 ) 2 + ( 七一p ) p q 1 ) 一q 2 ) p ( a p 一入+ 1 ) ( 七一q 1 ) ( 七一q 2 ) ( 2 七入一a + 1 ) + p ( p q 1 ) p q 2 ) ( 卸一a + 1 ) 七( a 后一a + 1 ) 陋( 七一2 p ) + o f l 一q 2 ) + 艘2 】 因为死p ，则七礼- i - p 2 p ，所以a ( 七) 0 ，这表明g ( 七) 为关于k 的增函数，从 而g ( k ) g ( n + p ) ，于是 7 2 p 百- 1 1 ( 3 4 6 ) 上j 1 其中a 1 = r i p ( 却一入- t - 1 ) 一0 1 ) 0 一q 2 ) b a = ( 礼+ p ) 【a ( n + p ) 一a + 1 】( n + p o q ) ( n + p - o r 2 ) - p ( 却一入+ 1 ) 一q 1 ) p 一0 1 2 ) 湖北大学硕士学位论文 这完