（基础数学专业论文）修正的landaulifshitz模型解的存在性.pdf

修正的l a n d a u l i f s h i t z 模型解的存在性 l a n d a u - l i f s h i t z 模型 m t = m xm z z 是用来描写连续铁磁体中的自旋场的演化，讨论的是理想晶体。意大利物理学 家a u g u s t ov i s i n t i n 建议通过对l a n d a u l i f s h i t z 模型的修改来描述磁铁杂质、位 错等其他缺陷，也就是 卜= m ( 地。一嵩) 【a ，( z ，0 ) = m o ( z ) ，4 m o ( 。) i = 1 其中，7 是个考虑了材料中缺陷的平均分布后的常量，对于非均匀材料，”可能依 赖于z ， 也可以用一个3 3 的张量来代表材料的各向异性。 本文第一章是绪论，简单介绍了l a n d a u l i f s h i t z 模型的物理背景及目前的一 些相关的结果，本文的主要结果及证明的大体步骤与方法。 本文第二章得到了修正的l a n d a u l i f s h i t z 模型关于空问周期解的存在性。 本文第三章得到了修正的l a n d a u - - l i f s h i t z 模型柯西问题解的存在性。 关键词：修正的l m _ l d a u - - l i f s h i t z 模型，空间周期解，柯西问题，存在性。 中图分类号：0 1 7 5 2 9 e x i s t e n c eo fs o l u t i o nf o rm o d i f i e d l a n d a u - - l i f s h i t zm o d e l a b s t r a c t t h es y s t e mo fh e i s e n b e r gs p i nc h a i n m t = m xm z 。 a 1 8 0c a l l e dt h el a n d a u - l i f s h i t ze q u a t i o n i sp r o p o s e dt od e s c r i b et h ee v o l u t i o no f s p i nf i e l di nc o n t i n u o u sf e r r o m a g n e t s ， t h ea b o v ed i s c u s s i o ni sr e f e r r e dt oap e r f e c tc r y s t a la n dd o e sn o ta l l o wt h e p r e s e n c eo fm a g n e t i ci n c l u s i o n s ：i m p u r i t i e s ，d i s l o c a t i o n sa n do t h e rd e f e c t s t h i s a l s oc o v e r st h ec a s ew h e r em a g n e t i ci n c l u s i o n sa r er e g u l a r l yd i s t r i b u t e d ；at y p i c a l e x a m p l ei ss t e e la u g n s t ov i s i n t i np r o p o s e dt od e s c r i b et h ee f f e c to fd e f e c t so n e v o l u t i o nb yi n e a l l so fm o d i f i c a t i o no ft h el a n d a u l i f j h i t ze q u a t i o n ，i e 卜= m ( 尬。一离) 【m ( x ，0 ) = m o ( z ) ，l m o ( 。) i = 1 w h e r eqi sap o s i t i v ec o n s t a n tt oa c c o u n tf o rt h ea v e r a g ed i s t r i b u t i o no fd e f e c t s i nt h em a t e r i a l f o ran o n h o m o g e n e o u sm a t e r i a lqm a yd e p e n do nz ，a n dm a y b ea l s or e p l a c e db ya3 3 - t e n s o rt oa c c o u n tf o ra n i s o t r o p y i nt h i sp a p e rf o r s i m p l i c i t yq = c o n s t a n ti sd i s c u s s e d b u tt h ea r g u m e n tu s e dh e r ea l s ow o r k sf o r t h ec a s eq = 叩( z ) t h i st h e s i si sd i v i d e di n t ot h r e ec h a p t e r s i nc h a p t e r l ，w eb r i e f l yi n t r o d u c es o m er e s u l t sf o rl a n d a u l i f j h i t zm o d e la n dm yr e s u l t sf o rm o d i f i e dl a n d a u l i f s h i t zm o d e li nc h a p t e r2 ，w eg e tp e r i o d i cs o l u t i o n st om o d i f i e dl a n d a u - - l i f s h i t z i n o d e l i nc h a p t e r3 ，w eg e tc a u c h ys o l u t i o n st om o d i f i e dl a n d a u l i f s h i t zm o d e l k e y w o r d s ：m o d i f i e dl a n d a u l i f s h i t zm o d e l ，s p a c i a lp e r i o d i cs o l u t i o n ，c a u c h y s o l u t i o n ，e x i s t e n c e c h i n e s el i b r a r yc l a s s i f i c a t i o n ：0 1 7 5 2 9 第一章绪论 在外加磁场作用下，铁磁材料会有一个大的磁化强度，为了解释这个现象，w e i s s 在1 9 0 7 1 提出：即使没有外加磁场，铁磁材料的任何一个小的部分也显示了自发磁化，而 且达到了饱和磁化。1 9 2 8 年，h e i s e n b e r g 弓 k 7 交换相互作用，对w e i s s 关于自发 磁化的假设进行了解释。1 9 3 5 年，在f 1 1 中l a n d a u 和l i f s h i t z 提出了一个定量理论， 也就是现在的微磁学理论。 一般地讲，对于t l h e i s e n b e r g 链更一般的方程组 m t = m 地。+ ，( o ，t ，m ) 在 2 】一 2 1 集中于孤立子解和孤立波之间交互作用在 6 j 一【7 】中已经建立了该方程 组初边值问题和柯西问题整体弱解的存在性。 l a n d a u l i f s h i t z 模型 舰= m 尬。 是用来描写连续铁磁体中的自旋场的演化。在f 8 1 中，s u l e m ，p l ，s u l e m ，c 和b a r d o s 已经研究了柯西问题的适定性。在f 9 l 中，z h o u ，g u o 和t a n 证明了光滑 解的存在性和唯一性。 上面是对理想晶体的讨论，并不考虑含有磁性内含物，比如杂质，位错，及其他 缺陷，这包含了磁性内含物规则分布的情况，典型的例子就是钢。在【1 0 中，a u g u s t o v i s i n t i n 建议通过对l a n d a u l i f s h i t z 模型的修改来描述这些现象，也就是 卜2m ( 峨z 一嵩)( 1 叭) 【m ( x ，0 ) = m o ( 。) ，l m 。( z ) j = 1 其中q 是个考虑了材料中缺陷的平均分布后的常量，对于非均匀材料，”可能依 赖于z ， 也可以用一个3x3 的张量来代表材料的各向异性。本文只研究 是正 常数的情况，其中所用的方法同样适用于7 7 = 叩( z ) 。 为了避免( 1 0 i ) 的奇性，设= 地z 一揣，其中 o ，首先考 虑( 1 0 1 ) 的正则化问题： f 脚m i = ，惦mx 州w 砒i m 俐：。 毗， l m ( z ，o ) = 肘。( z ) ，。( z ) i = l 卜叫 根据( 1 1 1 ，对( 1 ，0 2 ) 1 , k g i l b e r t 阻尼项，也即 fm m t 。= ，。m ，：x m w 。 - ，a ，m x 5 ( m m 。x 。，w l ：) 。 ( 。，z ) ( o ，丁 州3 1 o q 、 第一章绪论 2 其中丁，a 是正常数，r 2 = 一1 ，1 。根据w e i s s 理论，i m ( x ，t ) i = 1 。k l j l t ( 1 0 3 ) 等 价于如下问题： 篆亲茹i 裂麓。 ( 。，z ) ( o ，丁 。q f 1 0 4 1 zeq 、 7 首先，我们对( 1 0 4 ) 的解建立与。无关的先验估计，这样就可以通过令d 一0 得n ( 1 0 2 ) 的空间周期解，再令s 一0 可以得到( 1 0 1 ) 的空间周期解。其次，根据 不动点定理，与口无关的先验估计及解的延拓得到( 10 4 ) 解的存在性，最后建立与 空间一d ，d 1 无关的先验估计和与无关的先验估计，这样可以通过令d 一。就 可以得到( 1 0 2 ) 的柯西解，再令一o 就可以得到( 1 0 1 1 的柯西解。 定义 i i m l l w 一( o ，t ；仃* ( n ) ) = s u p i i 掣琵m i i l z o 0 。特别地，如果m o ( z ) 俨( q ) ， 那么订( 。，t ) c 。( o ，t 1 q ) 。 ( 3 ) 如果= 0 ，那么( 1 0 1 ) 存在空间周期解m ( 卫，t ) 满足i m ( x ，t ) i = l ， m ( 。，t ) l o 。( o ，刁；日2 ( q ) ) n w l , o o ( o ，卅；l 2 ( q ) ) 。 定义| | mj b 。= e i _ 0 ，首先考 虑( 2 1 1 ) 的正则化问题： 啡m t = ，m ) ：xw 0m m m 圳：1 ( 2 1 2 ) l w ( z ，) = o ( z ) ， o ( z ) l = 、。 根据【1 1 ，对( 2 1 2 ) ；1 ) , g i i b e r t 阻尼项，也即 ， i = m xw a m ( m w ) im ( x ，0 ) = m o ( z ) ，i m o ( 。) j = 1 其中t ，a 是正常数，n = 【一1 ，1 】。根据w e i s s 理论 价于如下问题： ， j 尬= m xw + a + 口 地1 2 m im ( x ，0 ) = m o ( z ) ，i m o ( z ) j = 1 ( 舢) ( o ，三1 洲( 2 工3 ) z q m ( z ，t ) l = 1 。因此( 2 13 ) 等 ( 。，石) ( o 捌州眦4 1 z n 、7 首先，我们对( 2 ，1 4 ) 的解建立与o 无关的先验估计，这样就可以通过令d 一0 得n ( 2 1 ，2 ) 的空间周期解。其次，根据不动点定理，与o 无关的先验估计及解的延 拓得n ( 2 1 4 ) 的空间周期解，最后令e o 就可以得n ( 2 1 1 1 的空间周期解。 定义 l i m l l w ( o ，t h * ( n ) ) = s u p l i 掣鳄m i l l t o t 三1t u s “三8 ，u s 口s r 本章中所有依赖与”，1 f m o i l 日* ，? 而与e o 无关的常数都记为e ，这些常数 可能彼此会不同。本文中我们用| fl i 代替| | | j l 。( n ) ，用| j忆代替| | l 一( n ) ， 2 0 。特别地，如果m o ( z ) c 。( q ) ， n 么m ( z ，t ) c 。0 ( o ，卅q ) 。 ( 3 ) 如果= 0 ，那么( 2l ，1 ) 存在空间周期解m ( 。，t ) 满足l m ( z ，驯= 1 ，且 m ( x ，t ) l o 。( o ，t 1 ；h 2 ( q ) ) n w 7 1 ，o 。( o ，明；l 2 ( q ) ) 。 最后，应该指出( 2 i 1 ) 空间周期解的唯一性仍然没有解决。 2 2 与q 无关的先验估计 引理2 2 1 设n = 【一1 ，1 】，如果u ( x ) h 1 ( n ) ，则 1 1 “i i 。g ( j i d “胪1i i “胪t + i l u l l ) 。 证明：令百= ；u d x ，n i i 面t l 。冬c l l 乜l l 。根据中值定理，j n ，v y q ， j 一1 我们可以得到 ( 札一五) 2 ( 可) = 2 u 。( “一a ) d z 。 因此 i i 髓一露蝥g 1 f u 。l 让一面 1 c l i o = i ll i c i t 。 这就完成了该引理的证明。 引理2 2 2 如果定理2 1 中的条件满足，那么在古典意义下( 2 1 3 ) 等价于( 2 i 4 ) 。 证明：设m ( x ，t ) 是( 2i3 ) 的古典解，用m ( x ，t ) 点乘( 2 1 3 ) ，易得 籀聊= o 因此我们有l m ( z ，f ) i = l m o ( z ) l = 1 ，故 一“m ( m w ) = “j m l 2 w o ( m w ) m = o + 。j 尬1 2 m 。 第二章修正l a n d a u l i f s h i t z 模型的空问周期解5 另一方面，如果m 0 ，) 是( 2 1 ，4 ) 的古典解，( 2 1 4 ) 和m ( z ，) 作内积，于是 如齑) 象i m l 2 = 詈昙m 2 刊埘( m 2 - 1 ) ， 则m = i m ( x ，t ) 1 2 一l 满足 ”+ 赢) 裳厨= 虿a 孬0 2 m - 刊埘廊 【m ( x ，0 ) = 0 用能量方法就可以得到府x ，t ) = 0 ，也即i m ( z ，o ) i = l ，比n ，t 0 。显 然m ( z ，是( 2 1 3 ) 的古典解。这就证完了引理2 2 2 。 引理2 2 3 如果定理2 1 中的条件满足，m ( x ，t ) 是( 2 1 4 ) 的足够光滑的空间 周期解，则成立 s u pl j 尥| | i 蠼 证明：用w a 乘( 2 1 4 ) 并且在q 上积分，可以得到 砑ld 叫m 2 器d x = a 2 + n 恻2 m ， 于是 ；d i j m 。l l2 + a 胁研如 1 、俘习砑下 d x 0 在得到最后个表达式中我们利用t m w i 厶f 2 和i m ( x ，) i = 1 这就证 完了引理22 3 。 引理2 2 4 如果定理2 ，l 中的条件满足，m ( x ，t ) 是( 2 1 4 ) 的足够光滑的空间 周期解，则成立 s u pi 地。| | c 。 证明；( 2 1 4 ) 两端对x 求导，再与k 点乘且在q 上积分，可以得到： 知尬：川2 - - 2 a t l w z l l 2 = - - 2 e r 上：( 地1 2 m 卜帆如一2 w 矾如 -221卵舰。(淼)。dxl “+ 如+ 毛，( 2 2 1 ) 一2 卵舰。( 7 三乒) 。 = ，1 + 如+ 毛， ( 2 2 1 ) 一 、e 4 十j ll 通过计算容易得到 厶= 2 y - 1 1 叩战坐镤糕芦出 o i ( 2 2 1 2 ) 、s 2 + f 尬| 2 。 而且 s2 刚尥帆忡4 0 i 帆。l 尥洲睨 第二章修正的l a n d a u l 施胁z 模型的空间周期解 根据引理2 2 1 和引理2 23 ，有| | 地l | 蛩c | | 地。l 舰i l 。所以 se a l i a 虹。| | l l 眠lj + c “i i m 。l | 。l i 睨 l 割| i 2 + e 。| | 坛z i l 2 + g 酬尬z 睡 刳吲2 + g 酬蚓n ( 1 l w i l 蝥+ i i 湍i l l ) 口i l w 么| | 2 + a o i l n 以。1 1 2 + c a l l w l l 2 + e a s 。| | 眠j | 2 + g q l l 帆。ij 2 + c a 。 6 ( 2 2 3 ) 接下来处理厶。如果l 坞i 0 ，那么向量组m ，帆，mx 地在r 3 中形成一 个正交坐标系，通过分解我们有 邓m ) m + 紫尬+ 紫m 地a ，l 如= 一2 ( 尬m ) ( w - m ) + ( w m 尬) ( 肌m ) d x = 4 舰r 地( m ) 圳z + ( i 尥n 。( m 地) 如 以”芳畚c 肌m 删出一。f l l u l l 2c 肌胍如 = 上：眦( 彬) 水j 地门出+ li mzl5 m 3淼，m尥。)dzj 1xt = 地( 彬) 。】( j 地1 2 ) 出+2 ( 7 7 了睾磊 尥。 j 一1 o 一十l hl 吻芳斋c 删。， 皿。固 对于( 2 24 ) 式右端第二项我们有： 3 f li 尬1 2 ( 盎m 尬z ) 出3 l 坞j 地出z 对于( 22 4 ) 式右端第三项我们有 翱芳畚c w 删z r 2 7 | 地l ( 1 尥。尬 + r l l m 。1 ) d x g f f 尥。1 1 2 + c ， ( 2 2 6 ) j 一1 第二章修正l a n d a u l i f s h i t z 模型的空间周期解 7 对( 2 2 4 ) 甄石弱弟一坝天于t 秋分，我们有： 5 z z k ( m 堋。 ( i m d 2 皿打 r tr i = 5 l a o l 2 a 如( a 疋一o l a 疋1 2 m a w ) 。 d x d r j 0j 一1 = 知瞩雌刈明幡) 一s 。z 。i 地f 6 出d r - 5 a z o z ：i 尬f 2 尬w 。d z d r 拉。h2 + c + 新l l w d l 2 d r + c a f o 。阳r ， ( 2 2 7 ) 根据( 2 21 ) 至( 2 26 ) ，关于积分，可以得到： | | 地圳2 + q o 。i i w d l2 d r _ c ( 1 + a ) z 。| | 尬。 1 2 d r + c + 5 z 。上：眦( m 。 ( i m d 2 胁打 ( 2 2 8 ) 结合( 2 2 7 ) 和( 2 2 8 ) 立刻有 l l 尥圳2 + 詈z j | 酽打扣划2 + g ( 1 + 。) z 。| | 蝇圳2 d r + c ( 1 + 。) ， 利用g r o n w a l l 不等式就有 s u p | | 螈。1 1 2 c 。 o t s t 注记 如果定理2 1 中的条件满足，m ( x ，t ) 是( 214 ) 的足够光滑的空间周期 解，则成立 s u pi i m , 1 1 2 c 。 o 蛭t 引理2 2 5 如果定理2 1 中的条件满足，m ( x ，t ) 是( 2 1 4 ) 的足够光滑的空间 周期解，则成立 s u pl i 舰。f | c 。 证明：( 2 1 4 ) 两端对t 微分，与m 作内积并在qh 积分，可以得蛰： 爰| | m 。胪+ 2 。i i w t l l 2 = 一2 qz ：( 1 尬1 2 m ) 。 一2 ，1 叩舰。( j 一1 w ；出 m 如 峨 l l 厂上如 2 k 第二章修正的l a n d a u l i f s h i t z 书a 型的空间周期解 关于t 积分可以得到： i i m , 。1 1 2 + 2 n t i l w d2 打 j0 8 r tr l = l l 峨| | 2 2 “( i 地1 2 m ) t w , d x d t 一2 | | m t xw w t d z d t 曲，z 上c 南埘砌 = 1 1 埘2 1 1 2 + j l + 也+ 五，( 2 2 9 ) 通过计算可以得到 “町丝型游薷学型蛐妯 引n 2 24 中对于1 讨论同样适用于 ，故我们有 靠1 1 w , 1 1 2 d r + c a f o 仳旷g n ， ( 22 1 0 ) ( 22 1 1 ) 接下来处理也。如果1 尬1 0 ，那么向量组m ，尬，m 尬在冗3 中形成一个 正交坐标系，通过分解有 瞰州m ) m + 訾+ 攀m 尬 于是 如- 2 z 。l 尥r 坛( m 幽打 一2z 。上：( 尬- m ) ( 一2 地蝇c 一尬) 如打 z z 。上m 2 m 洲删r + c z 。i i m , i i 圳t l l l l w t l d ，- 十e z 。i i m d l 蝥l l w i l 2 打 茎2 z 。m ( m 州血d r ，c + g 川 如。 l i + l l 拟 i ) d 丁 j 0 e 3 f o t | | 坛e | j 2 d r + 2f o f li 地1 2 ( m w ) t 如d r + g ，( 2 2 1 2 ) 在得到最后一个表达式中利用了m m = 一2 以飓t w 且以。 第二章修正的l a n d a u l i f s h i t z 漠型的空间周期解 对于f 22i 2 ) 右边第二项成立 2 z 。上：l 慨一蚴- ( 坛一d i 尥f 2 m n ) c 】d z d r 一z 埘刈埘撕mz l l m ：l l i w d l d r 导。l l w 。l l z 打 0 ，# c i 舰盹| | 地t l i d r j 0 竺2z 。l l w t l l2 阱g 门埘扎 根据( 229 ) 一( 2 2 1 3 ) ，可以得到 n 。z 。1 1 m 1 1 2 岖+ 1 ) 知呱c l l 2 d r + c ( 0 + 1 )oj 0 根据g r o n w a l l 不等式就有 最后，根据 和 i 2 c ，v 0 t t 。 通过计算可以得到 因此 m t = m w + q w + q i 尬1 2 m m 舰= 一a m xw + w + j 尥j 2 m r 再1 n 一m 尬卜j 尥1 2 m 9 ( 2 2 1 3 ) ( 2 2 1 4 ) 尥。= 矗j 。尬一m 舰) 一i 地j 2 m + 靠， ( 2 2 1 5 ) 地一= 志 口尬t 一( m 舰) z ) 刈尥1 2 m ) z + ( 揣 结合( 22 1 4 ) 一( 2 2 1 6 ) ，可以得到 s u pj 以可可砰尬：。忪c 。 0 t t ( 2 2 ，1 6 ) 第二章修正l a n d a u l i f s h i t z ) 陡型的空间周期解 1 0 引理2 2 6 如果定理2 1 中的条件满足，m ( x ，t ) 是( 2 1 ，4 ) 的足够光滑的空 间周期解，则成立 s u p ( | | 地。| | + l i m , t | | + i i 以；。j i ) g ( 兰) a 汪明：从引理2 ，2 ，5 的证明中可以得到； 1 2 + 2 r f o 篇d z d r c f o 佤胪e 。 根据引理22 5 和注2 2 4 有 i i 尬c 旷d t 墨g ( ；) ，( 2 2 1 7 ) 根据f 2 2 1 5 ) 有 尥甜= 可虿1 ( 。e 一( m 舰) d 一( i m z l 2 m ) t + ( 盎k 矿南 尬一一( m 蚍扣( i m = 1 2 蚴“揣k ，( 2 2 1 s ) 结合( 2 2 1 7 ) 和( 2 2 1 8 ) ，有 ( i t m t 。j + l 尥i i ) d t c ( ；) 。 类似于引理2 2 5 的证明就可以得到引理22 ，6 。 更一般地，我们有下面结论 引理2 2 7 如果定理2 1 中的条件满足，m ( x ，t ) 是( 2 1 4 ) 的足够光滑的空 间周期解，则成立 2 3 定理的证明 在本节中将会证明当m o ( z ) h 4 ( n ) 时( 2 1 4 ) 存在局部解且解唯一，根据 与。无关的先验估计就可以延拓局部解，完成定理的证明。 首先我们考虑如下问题： m t = 。) ：a ( z 。t m m ( t ，。) ( 0 ，纠q z q ( 2 3 1 ) l e q 0 满足 垒_ = ；竺入o i i z ，比只3 ，( 。，t ) q o ，t 】。 根据f 1 2 知道( 2 3 i ) 存在局部解。 b i 理2 3 1 如果假设h 满足，m ( x ，t ) 是( 2 3 1 ) 足够光滑的解，则成立 s u p ( 1 1 l 刍t + l i m i i 刍。) + ( 1 l m l l 备t + i | a 以i i 刍。+ | l 必。1 1 2 ) d r c ( 1 l f i f 备。+ 1 1 只1 1 2 + i i a 。肘：。i i2 + l i a 。尬：1 1 2 + l i a 。1 1 2 ) d r 其中c 只依赖于a 。 证明：( 2 3 1 ) 与地。作内积，在n 上积分，可以得到 一j l 彬d m 川2 = 上：尘坞。，。出+ 上：f ( 咄) 地。妣 关于t 积分有 i i m 。1 1 2 + a o o 2f2dr崩1ifiij0 j 0 下， i i 地。f 2 _ 2 打， 7 继续同样的步骤就能证明引理( 2 3 1 ) 。 考虑如下问题： 慨m t = 班a ( x 弦邶砷m ( t ，z ) ( 0 ，卅q o q ( 2 32 ) 引理2 3 2 如果垒去! o ，v r 3 ，a ( 。，t ) ，b ( z ，t ) l o 。( o ，卅；日1 ( n ) ) ， n ( 2 3 2 ) 的解唯一。 。 证明：( 2 3 2 ) 与尥。作内积，在q 上积分可得 一j l 拶d m 圳2 = 尘笋舰。尬。出+ 上：b 吖坛抽一， 利用垒芸竺f o 和分部积分有 副地雌o ( i i m i i o 。f l a i l + 1 1 地1 1 2 ) t ( 2 舳) 其中c 依赖于函数b 的上o 。f 0 ，t 1 ；h 1 ( n ) ) 模。 第二章修正的l a n d a u l j 矗h j z 模型的空间周期解 1 2 一互l 五d ”m 旷= 上：a 舰。- m 如+ 上：b m m 出， d l l m l l 2 c ( f l m 。l i m a + i i m i l 2 + l i m a 2 ) ，( 2 3 4 ) d ( 1 l m i l 2 + 1 1 眠1 1 2 ) sc ( t l m i l 2 + i i m 。1 1 2 ) ， l i i m i i i ；= 掣2 ( 1 l m d l 备z + i i m i i 备a ) + ( i i m i i 备t + i i 尬f j 备。+ l i 尬。1 1 2 ) d r 。 0 0 和y ，考虑如下 j ，日( v k ，m 。) 阢：陋i + a ( v + m 。) 玩。+ f ( k k ) i 矿( 圳) = o ( t ，z ) ( 0 ，卅n z n ( 2 3 7 ) 第二章修正的l a n d a u l i f s h i t z 模的空间周期解1 4 引理2 3 4 ( 2 3 7 ) 在中存在局部解。 证明：记 8 ( v ) = b ( v k ，m o ) ，d ( 矿) = a i4 - a ( v + m o ) ， v v e ，根据引理2 3 1 有 r 而 i l l u l l l c ( 1 i b 一1 ( y ) f ( kv m l 刍, 。4 - i i b 一1 ( y ) f ( vk ) 】。| | 2 ) 出 , t o + af ( i i ( b 1 ( y ) d ( y ) ) 。瓯。1 1 2 + | | ( b 一1 ( y ) d ( y ) ) 。巩。2 + - i i ( b - 1 ( v ) _ d ( y ) ) t 巩。j 1 2 ) 出 g r q 4 + c q 2 死+ g 口2 i l l u l t f 毛 s g 9 4 + g 9 2 + ；毛， 于是 i l l u t l l 笺c q 4 + c 口2 q 2 其中口“，而且丁互，吼，z 足够小，且只依赖于，。，目，a o ，i i m 日。 下面证明压缩性。v v l ，v 2 ，u ( t = 1 ，2 ) 是( 2 3 7 ) 相应的解，则 r r n u 1 一u 2 乞茎g z 炒1 ( y 1 ) d ( y 1 ) 一b - 1 ( y 2 ) d ( y 2 ) 】 畦+ f ( y 2 ，v s j l ；, ：出 + g 上 b _ 1 ( y 1 ) d ( y 1 ) 一b - 1 ( y 2 ) d ( y 2 ) 】( 眩+ f ( 矿2 ，谨) 】) t | 1 2 班 + e 上伊1 ( v 1 ) d ( v 1 ) f ( 矿1 ，瞠) 一f ( y 2 ，瞪) 臁出 + e i i b 一1 ( 矿1 ) d ( y 1 ) ( f ( v 1 ，w ) 一f ( v 2 ，眨) ) 。1 1 2 出 , i o + g i i b 一1 ( y 1 ) d ( y 1 ) k ( 呢。一吆。) 2 + f l f b 一1 ( y 1 ) d ( 矿1 ) k ； ( 噬。一u 羔) 1 1 2 + l i b 一1 ( v 1 ) d ( y 1 ) 。( 昵。一u 羔) l 1 2 ) 出 c q 2 l i l y l 矿2 茏+ c q 2 i l l u l 一矿2 毛 c q 2 l i l y l v 2j jj 毛+ ；j j l 矿1 一矿2 川毛， 也即 u 1 一2 兔曼c q 2 y 1 一y 2 f f i 毛；l i l y l 一y 2 乞， 其中g 外，t z ，吼，正足够小，且只依赖于，口，口，a o ，jj m o j 日t 。根据不动 点定理知道( 2 3 6 ) 在中存在局部解。 引理2 3 5 设m o 片4 ( n ) ，则( 2 1 2 ) 解唯一。 第二章修正l a n d a u l i f s h i t z 模型的空间周期解 证明：设埘1 ，m 2 是( 2 1 2 ) 的两个解，即 州( 胛删；一”淼) ， 【m 1 ( z ，o ) = m 。( z ) ， i m o ( z ) l = 1 m t 2 = a ( 舻煅一”盎) 。 【m 2 ( z ，o ) _ m 。( 。) ， i m 。( z ) i = 1 根据；i 理2 2 7 ，当 m o 日4 ( q ) 时，m 1 ，m 2 w 1 , o o ( 0 ，丁；日2 ( q ) ) ， 即删，聊l o o ( o ，t ；h 2 ( q ) ) 。 令m = m 1 一m 2 ，贝0 a 疋上( o ，丁；h 2 ( q ) ) ， 设庇= 聊+ a ( 埘一蟛) ，则 ， + q a ( m 1 ) 露豆( 廊f ) d 州燧= a ( m 1 ) z a ( m 2 一篇) m 【m ( z ，o ) = 0 ( 2 3 8 令6 = 、s z + i 庇f z ，厨t = ( 廊。，慨，慨) ，则有 啦焉( 蔓麓b 2 - 燕“2 通过计算容易得到d e t 宫( 庇) 吾。另一方面，令 r = ，+ 州z 1 宫( 庇) 扒 所以r 。a ( m 1 ) ，r 。a ( m 2 一淼) 上o o ( 0 , t ；h a ( n ) ) a r 一1 a ( m 1 ) + a f m l ) r 一 = r 一1 【a ( a 彳1 ) r 。+ a ( m 1 ) n l a 。 = 2 ，皿“a ( m 1 ) z 1 宫( 庇) d 入( m 1 ) j r “ 0 ， 因此，根据引理2 3 2 就可以得到( 2 ，3 8 ) 解唯一，也即m 1 ( z ，t ) 三m 2 t ) 。 定理2 1 的证明：根据引理2 2 3 ，引理2 2 4 ，注记和引理2 2 7 就可以得到定 理2 1 中的( 1 ) 。虽然引理2 3 4 中的局部解依赖于q 和，根据与。无关的先验估计 和局部解的延拓方法可以得到：v r 0 ，( 2 1 4 ) 在n ：蝥w 5 ，”( 【o ，刁；h n 钿( n ) ) 中 存在解。通过。一0 和引理2 3 5 ，证明了定理2 1 中的( 2 ) 。最后，令e 一0 结束定 理2 1 的证明。 、， 哆磁 啦啦肚 第三章修正的l a n d a u l i f s h i t z 模型柯西问题的解 在第二章中讨论了修正的l a n d a u l j f s h i t z 模型存在空间周期解，本章将讨 论修正的l a n d a u - - l i f s h i t z 摸型柯西问题解的存在性。 3 1主要结果 回顾第二章提出的修正的l a n d a u - - l i f s h i t z 模型 卜州( 尥z 一篇) 蚝r ，o ( 3 1 1 ) 【 彳( z ，0 ) = m o ( 。) ， l m o ( z ) f = 1 ， z r 如前，讨论( 3 i 1 ) 正则化问题： j 舰= m ( w 茁r , t o 阻2 ) lm ( x ，0 ) = m o ( 石) ， i m o ( z ) l = 1 ， z 月 由第二章知道，下面这个问题存在空间周期解， fa 以= m wz ( - d ，d ) ，t 0 m ( x ，o ) = m o ( z )z ( - d ，d ) ( 3 1 - 3 ) lm ( x d ，t ) = m ( x + d ，t ) 。( 一d ，d ) ，t 0 ；e e p d 是正常数，对于( 3 1 3 ) 的空间周期解，我们会建立与d 无关的先验估计，这 样可以通过令d o 。就可以得到( 3 1 2 ) 的解，再令一o 就得到( 3 1 1 ) 的解a 定义 i i m i i 刍, 。= e 1 ! 女| 1 霹m i l 2 c l m l l w ( 。；t 。_ f f ( 叫) 2 。! t ! ? ，s s u 。p 0s ，。邵! 女【i 醪理m 怯0 t ? 1 s d 蔓5 o 曼卢墨女 本章中用”i f 代替| j l ：( n ) ，”代替”l f l 一( f ) ，2 p 曼。o ，记q = - d ，d 】，t 是 任意正常数，所有依赖于，f ，l i 彤o i5 西。，t 而与，d 无关的常数都记为e ，这些常 数可能彼此会不同。不失一般性，本章假定d 1 。 定理3 1 设m o ( z ) 日( r ) ，k 4 ，m o ( z ) i = 1 ，那么 ( 1 ) 对于任意正数t ，d ，如果m ( z ，妨是( 3 ，1 3 ) 的足够光滑的空间周期解， 则 s u p ( i 尥。忡| | 忡i l 尥 i ) c 且 s u pi l m 。寸一。i i e ( ；) ，3 第三章修正的l a n d a u l i f s h i t z 模柯西问题的解 1 7 ( 2 ) 对于任一t ，e ，( 31 2 ) 有唯一解m ( z ，) l - b 1 1 s d c , 0 0 ( r + ；h k 一2 s ( r ) ) n l i o 鑫( r + ；疗( r ) ) 。特别地，如果m o ( z ) c 。o ( 兄) ，那么m ( z ，t ) c 。( o ，卵r ) 。 ( 3 ) ( 3 1 1 ) 至少有一个解m ( z ，t ) l 麓( r _ ；矗2 ( 尺) ) n w 訾( r - ；l 2 ( r ) ) 。 3 2与d 无关的先验估计 引理3 2 1 设q = - d ，d ，其中d2l ，如果“) 日1 ( q ) ，那么 1 1 札1 】。曼2 ( i u 。1 1 1 | u 1 | + i i , * 1 1 ) 。 ，d 1 证明h 酝2 面上。诎则 面1 1 2 = z o 。【面i 上d 。u 如】2 d z = 面i 【_ d du 矧2 扫札1 1 2 2 d i l u l l 2 另一方面，根据面的定义有 忙s 扣i i v q d _ 端l l u f l 这里我们应用了柯西不等式。 根据中值定理j z o q ，v y q ，可以得到 ( u 一面) 2 ( 可) = 2 札。( u 一面) d z 。 j 2 0 因此 i u 一面| | 蝥s2 1 1 u 。i “一面l i 4 l f u 。| | l i u l i 。 故 i | u l l 。1 | 豆1 。+ 1 1 札一豇1 1 。2 ( 1 1 札。| 1 i l 札1 1 + i l u l l ) 这就证明了该引理。 本文中对于 i 俨m ij ，l o f l 使用该引理。 引理3 2 2 如果定理3 1 中的条件满足，m ( z ，t ) 是( 3 ，1 3 ) 的足够光滑的空间周 期解，那么i m ( x ，t ) l = 1 。 第三章修正l a n d a u l j 蠡h j t z 模型柯西问题的解 1 8 证明：用m ( 茁，t j 点乘( 3 1 3 ) 司以得到 ；瓦0 | m i 2 = o 所以i m ( z ，t ) l = i m o ( 。) l = 1 。 引理3 2 3 如果定理3 1 中的条件满足，m ( z ，t ) 是( 31 ，3 ) 的足够光滑的空间周 期解，那么 s u p | 1 | | l l 删 证明：用w ( x ，t ) 点乘( 313 ) 可以得到 一。l 拶d m 圳2 一叩上高出= 。 于是 翔蚓2 一上器蜒。 这样就证明了该引理。 引理3 2 4 如果定理3 1 中的条件满足，m ( x ，t ) 是( 3 l a ) 郇j n 够光滑的空间周 期解，那么 s u pl i 疋。l fsc a 证明：( 31 3 ) 两端对茁微分，再用乞点乘并且在q 上积分，可以得到 d l t m z 圳2 = 司上尥出一z 上叩尬z ( 志) 。出 = 1 1 + 1 2( 3 2 1 ) 直接计算可以得到 上即出型等蒜掣巡妪。， ( 3 z z ) n 、e 2 + j 舰1 2 ” 接下来处理1 ，如果帆0 那么向量组m ，m j ，m 疋形成一个正交坐 标系，通过简单的计算我们有 w 叫r m ) m + 紫尬+ 带m 地 第三章修正的l 彻d 8 u l j 劬j t 骥型柯西问题的解 。：一2 风儿m ) ( m ) + ( w m 坞) ( 虬朋) 一4 上l 坛r 地( m w 瑚妇+ 上“