（计算数学专业论文）一类非线性偏微分方程若干求精确解方法的研究.pdf

摘要 本文根据数学机械化的思想，在导师张鸿庆教授“a c = b d ”理论的指导下，研究在流体 力学、空气动力学、等离子体物理、生物物理和化学物理等现代科学技术中引出的非线性偏微 分方程的若干求精确解的方法a 第一章介绍了数学机械化的思想与应用的情况；回顾了孤立子研究的历史与发展以及非线 性偏微分方程精确解的若干构造性方法，同时介绍了一些关于该学科领域的国内外学者所取得 的成果a 第二章在“a c = b d “统一理论框架下考虑非线性偏微分方程( 组) 精确解的构造n 给出 了“a c = b d ”理论的基本思想和应用通过具体的变换给出了构造c 。d 对的算法n 第三章主要介绍了我们推广的一种直接求解方法一一广义代数方法n 以( 2 + 1 ) 维色散 长波方程为例，说明了广义代数方法具体的应用a 推广后的方法可以获得菲线性偏微分方程 ( 组) 的更多类型的精确解( 孤波解、类孤波解、周期解、类周期解、有理解) 。 第四章考虑非线性偏微分方程的p a i n l e v e 性质和b a c k l u n d 变换。介绍了p a i n l e v e 奇性分 析的一般原理利用w t c 方法证明了( 2 + 1 ) 维b o u s s i n e s q 方程具有p a h l l e v e 性质，并经截 断展开原理获得了方程的b a c k l u n d 变换；对b a c k l u n d 变换作了简单介绍，通过对( 2 + 1 ) 维b o u s s i n e s q 方程的种子解作适当的未知函数替换，进一步发展了b a c k l u n d 变换，并得到了方 程形式丰富的稽确解( 类孤子解。有理解) 。 关键词：数学机械化；孤立子；非线性偏微分方程：“a c = b d ”理论；c d 对；精确 解；b a c k l u n d 变换；p a i n l e v e 奇性分析 s o m ep r o b l e m si nn o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s e x a c ts o l u t i o n s a b s t r a c t i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，b ya p p l y i n gt h ei d e a so ft h em a t h e m a t i c sm e c h a n i z a t i o n ，u n d e rt h e i n s t r u c t i o no ft h ea c = b d t h e o r yo fp r o f e s s o rz h a n gh o n g q i n g ，c o n s i d e r ss o m e m e t h o d ss e e k i n g e x a c ts o l u t i o n sf o rt h en o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n ( s ) a r i s i n gf r o mt h ef i e l d so ff l u i d m e c h a n i c s ，a e r o d y n a m i c s ，p l a s m ap h y s i c s ，b i o p h y s i c sa n dc h e m i c a lp h y s i c s c h a p t e r1o ft h i sd i s s e r t a t i o ni sd e v o t e dt oi n v e s t i g a t i n gt h et h e o r ya n da p p l i c a t i o no f m a t h e m a t i c sm e c h a n i z a t i o n ；r e v i e w i n gt h eh i s t o r ya n dd e v e l o p m e n to ft h es o l i t o nt h e o r ya n d t h ec o n s t r u c t i o no ft h en o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，i na d d i t i o n s o m ea c h i e v e m e n t s o nt h es u b j e c td o m e s t i ca n da b r o a da r ep r e s e n t e d c h a p t e r2c o n c e r n st h ec o n s t r u c t i o no fe x a c ts o l u t i o n so fn o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n ( s ) u n d e rt h eu n i f o r mf r a m ew o r ko fa c = b dt h e o r y t h eb a s i ct h e o r ya n da p p l i c a t i o n a b o u ta c = b dm o d e la n dt h ec o n s t r u c t i o no ft h eo p e r a t o r so fca n dda r ei n t r o d u c e d c h a p t e r3i sd e v o t e dm a i n l yt og e n e r a l i z e da l g e b r a i cm e t h o d ，w h i c hi sad i r e c tm e t h o d t h e g e n e r a l i z e da l g e b r a i cm e t h o d i ss h o w nt os o l v e ( 2 + 1 ) - d i m e n s i o n a l d i s p e r s i v el o n gw a v ee q u a t i o n s ， a n dw h i c i lc a no b t a i na b u n d a n te x a c ts o l u t i o n ( i n c l u d i n g s o l i t a r ys o l u t i o n s ，s o l i t o n - l i k es o l u t i o n s ， p e r i o d i cs o l u t i o n s ，p e r i o d i c - l i k es o l u t i o n sa n d r a t i o n a ls o l u t i o n s ) o fn o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n ( s ) c h a p t e r4m a i n l yd e a l sw i t ht h ep a l n l e v ep r o p e r t ya n db a c k h i n dt r a n s f o r m a t i o no fn o n - l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n t i l e g e n e r a lt h e o r yo fp a l n l e v es i n g u l a ra n a l y s i si sd i s c u s s e d ， ( 2 + 1 ) d i m e n s i o n a lb o u s s i n e s qe q u a t i o n l sp a i n l e v ep r o p e l t yi ss h o w nt op a s st h ep a i n l e v et e s t b yu s i n gw t cm e t h o d ，a n di t sb a c k l u n dt r a n s f o r m a t i o ni so b t a i n e dt h r o u g t lp a i n l e v et r u n - c a t i n ge x p a n s i o n ；b a c k l u n dt r a n s f o r m a t i o ni sd i s c u s s e ds i m p l ya n di sf u r t h e re x p a n d e d ，( 2 + 1 ) - d i m e n s i o n a lb o u s s i n e s qe q u a t i o n l sa b u n d a n te x a c ts o l u t i o n ( i n c l u d i n gs o l i t o n - l i k es o l u t i o n s ，r a - t i o n a ls o l u t i o n s ) i so b t a i n e db yr e p l a c i n gt h es e e ds o l u t i o nw i t hu n k n o w nf u n c t i o n k e y w o r d s ：m a t h e m a t i c sm e c h a n i z a t i o n ；s o l i t o n ；n o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n ； a c = b d t h e o r y ；c dp a i r ；e x a c ts o l u t i o n ；b a c k l u n dt r a n s f o r m a t i o n ；p a i l f l e v es i n g u l a ra n a l y s i s i i i 独创性说明 作者郑重声明：本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究 工作及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方 外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得 大连理工大学或其他单位的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作 的同志对本研究所做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢 意。 作者签名：且日期：丛盘立l 第一章绪论 摘要：本章简要综述了数学机械化思想，孤立于研究的历史与发展，以及非线性偏微分方 程解的若干构造性方法，如b a c k l u n d 变换s n d a r b o u x 变换、p a i n l e v e 奇性分析、齐次平衡法、 a c = b d 框架下的精确求解等一 1 1数学机械化思想 1 7 世纪以来，人类经历了一场史无前例的技术革命，出现了以蒸汽机为代表的机器，代替 各种类型的劳动。如果说工业机器的出现导致的产业革命使人们逐渐实现了体力劳动的机械 化，促进了社会生产力的发展，那么本世纪电子计算机的产生，则为人类实现脑力劳动的机碱 化创造了物质条件。与工业革命相适应出现了解析几何与微积分这些数学上的伟大创新。在目 前这一以计算机为标志的信息革命时代数学应该有什么样的创新与之相适应呢? 正是基于这 种考虑，我围著名数学家，首届国家最高科技奖获得者之一，吴文俊院士【1 1 倡导数学机械化 研究。 吴先生认为：所谓机械化无非是刻板化和规格化。机械化的动作，由于简单刻板，因而 可以让机器来实现，又由于往往需要反复千百万次超出了人力的可能因而又不能不让机器 来实现。因之，机械化为机器化进而自动化铺平道路是它们必不可少的前奏。就这一意义来 说数学中的某些脑力劳动与体力劳动颇有共同之点，它们也同样可以机械化。 数学机械化首先是算法化这取决于计算机的有限性，离散性即机械性的特点；其次是 机械化即保证在计算机上实现相关算法的有效性这一点较前者更为重要。在功能上，实现 数学机械化的软件应该既可以完成人力所难以企及的繁杂计算同时还可完成逻辑推理的功 能a 这就为变数学的脑力劳动为计算机的机械行为创造了可能性，提供了工具，尤其为数学在 高科技中的应用提供了有力的手段也为数学在普通人群中的普及提供了条件。 2 0 世纪7 0 年代，吴文俊由中国的传统思想出发，从几何定理证明入手开始数学机械化研究 所建立的数学机械化方法，不仅将中国传统数学发扬光大，也为国际自动推理的研究开辟了新 的前景a 经过近2 0 年的努力，几何定理自动证明的吴方法及在其影响下产生的系列重要的新 方法已经发展成有我国特色在国际上领先的数学机械化理论。这一理论已不仅在几何定理的 机器证明，方程组求解，微分几何，理论物理，力学等领域得到成功应用还为机器入学数 控技术，几何辅助设计，c a d ，计算机视觉等高科技领域提供了有力工具。他引入的非线性代 数方程组的吴方法是求解代数方程组精确解最完整的方、法之一，已经被成功地用于解决很多问 题井实现在当前流行的符号计算软件中。上世纪8 0 年代，吴先生进一步给出了吴微分消元 法，提出了吴微分特征列的概念完善和发展了特征集理论 近年来，数学机械化思想得到了进一步的发展n 高小山研究员、张景中院士和周咸青教 授合作提出了基于几何不变置的“消点法”由此不仅实现了定理证明的机械化，同时使得 证明的过程简短可读，为自动推理的研究，在理论上起到了极大的推进作用，还被用来解 决c a d ，智能c a i ( 计算机辅助教学) 与机器人中的若干关键理论问题，在理论与应用上具有 大连理工大学硕士学位论文 重要意义。美图数学会“自动定理证明成就奖”及“j m c c a r t h y 程序验证奖”得主b o y e r 称 该工作“是自( 六十年代) s l a g | e 与m o s e s 符号积分程序以来自动推理界最重要的一件单独事 情”，该工作“在使计算机象具有算术天才那样具有几何天才这一不可避免的过程中将是一 座里程碑”：自动推理界权威l o v e l a n d 在a im a g a z i n e 的文章中将这一工作列为近年来自动推 理界“重要进展”的第一项，称“在几何中证明有意义的定理同时给出可读证明( i b m 公 司g e l e r n t e r 五十年代的经典工作) ，近年来才由周成青，高小山，张景中的几何定理证明器 所超过”。在几何自动推理方面，他们提出微分几何自动定理证明的新方法并予以计算机实 现，成功地机械化证明了上百个定理并发现了新的结果；给出了c a l e y k l e i n ) l 何的转换定 理，大大简化了非欧几何的自动定理证明；解决了z a s s e n h a u s 与m a c l a n e 公开问题；提出了几 何推理的演绎数据库方法；改进了基于搜索的定理证明方法，并第一次用此类方法证明了大量 几何定理。吴尽昭研究员、刘卓军研究员将吴代数消元法运用到逻辑中去，较好地解决了逻辑 中的一阶定理证明问题。石赫研究员【3 1 利用吴方法，研究了著名的y a n g b a x t e r 方程的解的问 题。之后，他利用张鸿庆教授提出的“a c = b d ”的思想，研究t y a n g - m i l l s 方程，将其化为 三个简单的二阶线性微分方程。 在构造非线性发展方程精确解方面，李志斌教授等【8 1 1 利用吴代数消元法，在求孤子解 方面作了很多重要的工作他通过引入t a n h 函数方法，将偏微分方程求解问题转化为代数方 程组的求解问题，沟通了吴代数消元法与微分方程之间的关系。近年来范恩贵教授1 2 1 在这 方面的工作受到了国内外同行的关注。他推广了t a n h 函数方法及椭圆函数展开弦，借助于符 号计算和吴方法求得了一大批非线性发展方程的精确孤波解。朝鲁教授【1 3 将吴微分特征列法 ( 吴微分消元法) 应用于微分方程对称计算取得了很好的结果。闰振亚博士1 4 1 在微分方程的 求解代数化方面做了大量的工作。他基于两种r i c c a t i 方程，提出了求解非线性发展方程的更为 有效的算法，获得了很多方程的精确解。朱思铭教授f 1 5 根据a m s 猜测利用符号计算和吴代 数消元法对偏微分方程的p a i n l e v e 性质进行了研究证明了一批方程具有p a i n l e v e 性质。谢福鼎 博士、陈勇博士、李彪博士和郑学东硕士f 1 6 1 8 将吴微分消元法应用于偏微分方程p a i n l e v e 性 质研究，并根据他们给出的算法编制了m a p l e 软件包，对许多偏微分方程进行了p a i n l e v e 性质 检验。吕卓生博士 1 9 1 完成了l i e 对称的程序编制。 1 9 7 8 年张鸿庆教授 4 1 4 4 1 提出了偏微分方程求解的构造性的机械化算法。即“a c = b d ” 方法，证明了非齐次线性算子方程组a u = ，的一般解为“= c v + e 其中 满足方程 组d 口= g ，d 是对角矩阵，用代数方法给出了c ，d + e 的具体构造方法f 5 0 1 。在“a c = b d ” 理论的指导下，运用数学机械化的思想。张鸿庆教授及其课题组成员在微分代数方程的代数化 和机械化方面做了大量的工作给出了各种弹性力学位移函数和应力函数的机械化算法成功 构造出数学物理中一系列方程的般解n 他借助于代数的理论来构造偏微分方程组的解，结 果大批力学问题所对应的偏微分方程组的求解问题在一个统一的框架下得到了解决f 4 6 1 。最 近张鸿庆教授又提出t c d 对和c 。d 可积系统的概念【4 5 1 。另外张鸿庆教授还提出了基于吴微 分消元理论的”a c = b d ”模式的微分伪带余除法e 根据这一除法，得到了一些非线性微分方 程的变换使方程的形式变的更为简单进而易于求解。 2 第一章绪论 1 2孤立子研究的历史与发展 孤立- 子( s o l i t o n ) 现象最初是由英国科学家s c o t tr u s s e l l 发现的。1 8 4 4 年，r u s s e l l 在一篇题 为论波动的报告中记述了他1 8 3 4 年观察到的一种奇特的水波现象。当时他正在观察由两匹 马拉着的船在一条狭窄的运河中行驶。船突然停止了前进，但运河中被船推动的水却并没有停 止，而以汹涌翻腾的状态聚集在船头，然后以巨大的速度滚滚向前，且保持着巨大的轮廓分明 的光顺孤立的峰状外形。显然，它不改变形状与速度，沿运河继续前进。他骑着马跟踪了一至 两英里，在运河的拐弯处，这种孤立行进的水峰才终于消失。r u s s e l l 认识到这种水波现象是具 有关键性质的新现象、新事物，随后进行了更加细致的研究，在实验室作了很多实验，用多种 方法激发，也观察到了同样的现象。他称这种波为孤立波( s o l i t a r yw a v e ) 。但限于当时的数学 理论和科学水平，人们无法从理论上给予这种现象一个圆满的解释，科学家们甚至怀疑孤立波 现象是否真正存在。 在随后的几年，a i r y 、b o u s s i n e s q 和r a y l e i g h 等人相继对孤立波进行了研究。a i r y 得 出结论：r u s s e l l 所提到的孤立波根本不存在；s t o k e s 使用了正确的方程，却得到了错误的 结果；b o u s s i n e s q 和r a y l e i g h 分别从数学角度证明了孤立波的存在性ab o u s s i n e s q 为近似描述 孤立波，提出了一个非线性发展方程，后来被命名为b o u s s i n e s q 方程。但是b o u s s i n e s q 和 r a y l e i g h 的工作仍然没有使那些对孤立波感兴趣的科学家们完全信服。这也促使荷兰数学 家k o r t e w e g 和他的博士生d ev r i e s 对水波现象作进一步研究a 1 8 9 5 年，k o r t e w e g 和d ev r i e s 根据流体力学研究了浅水波的运动，在长波近似和小振幅 的假定下，求得了单向运动的浅水波运动方程，即著名的k d v 方程。通过一定的数学变 换，k d v 方程变为如下形式 毗+ 6 u u z + u 。= 0 ，( 1 1 ) 其中u 为波形函数。k o r t e w e g 和d ev r i e s 从上式求出了与r u s s e l l 所发现的孤立波现象一致的结 果，即具有不变形状的脉冲状孤立波解。k d v 方程的解准确地描述了浅水波的非线性特 性：行波速度依赖于其本身的振幅，当骶个这样的脉冲波沿着同一方向运动时，波峰高的脉 冲波的行进速度快，因此会赶上前面波峰低的波而发生碰撞。 然而这样的孤立波是否稳定，两个这样的孤立波碰撞后是否形变这一直是科学家们感兴 趣丽又无法证实的问题a 因此在没有新的发现之前k d v 方程以及孤立波仍长期处于被埋没之 中a 1 9 6 5 年美国普林斯顿( p r i n c e t o n ) 大学的两位应用数学家m d k r u s k a l 和n z a b u s k y 通 过数学模拟方 去深入地研究了等离子体中孤立波碰撞的非线性相互作用过程。他们意外地发 现，两个孤立波在碰撞后备自的波形与行进速度居然都能保持不变，仅仅是相位发生了改变。 这一性质使人们联想起质点粒子和波粒二象性等熟悉的现象。只有粒子的碰撞才会有类似的情 形出现，于是将这种波定名为孤立子( s o l i t o n ) 以反映其粒子属性。 “孤立子“没有明确的定义，但是它可用来描述一个非线性方程或非线性体系的任意 解，若此解满足：1 可表示威一个固定形式的波；2 是局部的、衰变的或在无穷大时变为常 数：3 可与其他的孤子进行强烈的相互作用。在相互作用后即使叠加原理成立其形式亦不会改 3 大连理工大学硕士学位论文 变a 总之，k r u s k a l 和z a b u s k y 的这一研究工作为推动孤立子理论的发展，树立了一个重要的 里程碑。此后，科学家们对孤立子的研究兴趣和热情便一发难收，在很多学科领域都发现了 孤立子运动形态，相应地，在数学上，发现了一大批具有孤立子解的非线性发展方程，而且已 逐渐建立起较系统的研究孤立子的数学物理方法【3 l 卜 孤立子现象无论对于非线性科学来说，还是对于整个科学体系来说，都具有重要意义： 第一，孤立子是自然界中普遍存在的现象。如木星的红斑旋涡、用隧道电子显微镜成像方 法发现的晶体中的电荷密度波、在小尺度湍流环境中长期存在的有序大尺度组织、神经元轴突 上传递的冲动电信号、大气中的台风、激光在介质中的自聚焦、晶体中的位错、超导体中的磁 通最等。社会经济系统中也广泛地存在着非线性相互作用。由非线性机制产生的孤立子，无论 其现象还是本质，都可能启发我们更好地理解某些杜会经济现象，如社会财富、社会权利等的 稳定集中，某些社会意识等的长时间稳定传播。 第二孤立子深刻地反映了非线性系统相干结构中惊人的有序n 从k d v 方程的结构中我们 可以来分析其产生孤立子的机理：其中“。，项是弥散项，使初始的局部脉冲扩展开来随着波 的行进而改变形状；而非线性对流项6 u u ，倾向于在脉冲已经很大的地方增大该脉冲并由此使 扰动凸起，从而使得频率扩展坐标空间收缩，其效果是挤压波包。这两种对抗因素的巧妙平 衡为孤立于的形成提供了条件。所有拟序结构，包括孤立子拟序结构和非孤立子拟序结构 都具有非线性效应和弥散力巧妙平衡这一共同特征，它为我们提供了一种从稳定性角度考察事 物的新方法。 第三，孤立子理论发展了散射反演方法。由于孤立子的形状在相互作用期间经过暂时的变 形之后又严格地得到了复原这一特性的启发，g a r d n e r ，g r e e n e ，k r u s k a l 和m i u r a 等人发展了 散射反演方法，通过一系列线性变换运算得到了一大类具有孤立子的非线性方程的精确而系 统的显式解，对无限维分析、代数几何、偏微分方程和动力系统理论产生了深远的影响n 散 射反演方法的成功，表明了人们可以精确而系统地解一大类非线性方程，这本身就有很大意 义而且对我们深刻理解非线性的本质问题也极具启发性。 目前，较为完整的孤立于理论体系正在逐步形成，国内外在这方面出版了很多专 著f 2 6 ，3 5 ，3 6 ，4 8 】。孤立子理论已经被应用于解决等离子体物理、凝聚态物理、生物学和非线性 光学等领域中某些难以解决的问题，以及非线性作用下的运动规律等。从数学方面来看，已经 发现一大类非线性发展方程具有孤波解，求解方法也出现了许多独特的分支a l 3构造非线性偏微分方程精确解的若干方法 寻找方程的解( 包括数值解和精确解) 是一个非常古老而且很重要的课题。有时为很准确 地研究物体变化的性质，我们需要寻求其对应方程的精确解。自从k o r t e w e g 和他的博士生d e v r i e s 提出k d v 方程并获得其精确解以来，一大批非线性方程解的构造引起了人们的极大兴 趣。但由于非线性偏微分方程自身的复杂性，用现有的方法无法求出其非平凡解即使获得 4 第一章绪论 了方程的精确解，也只是少数的一些解，无法求出其全部解，并且对不同类型的方程，用的方 法可能也不一样。至今还没有任何一种方法可以囊括四海，包罗万象，谁也无法用自己的“神 功 一统“天下”面“笑傲江湖”。正女i k l e i n 所说：微分方程求解只是技巧的汇编。值碍庆 幸的是，经过数学家和物理学家们的不断努力发现了孤立子理论中蕴藏着一系列构造精确解 的有效方法，如反散射方法、b a c k l u n d 变换、d a r b o u x 变换、齐次平衡法、t a n h 方法等等。随 着各种求解方法的出现，不但过去难于求解的方程得到解决而且新的、具有重要物理意义的 解不断被发现和应用，出现了一个层出不穷的势头。 1 散射反演方法 散射反演方法是当前求解可积非线性系统的重要方法，它的基本思想是将这类非线性问题 通过常微分算子与本征值转化为线性问题来求解。1 9 6 7 年，伽德纳( c s g a r d n e r ) 等人( 简 称g g k m ) 在研究k d v 方程时利用量子力学h 6 s e h r o d i n g e r 方程的反散射论证( 正散射问题和 反散射阔题) 将k d v 方程的初值问题转化为三个求解线性方程的闯盟，得到了n 孤子解，这 种处理问题的方法称为反散射法。由于求解过程用到f o u r | e r 变换及逆变换，有时该方法也被称 为f o u r i e r 变换法。1 9 6 8 年p d ：l a x 分析了g g k m 用于求解k d v 方程初值问题的上述思想，整 理提出了用反散射方法求解其它偏微分方程( p d e ) 的更一般的框架，同时指出，用反散射方 法求解p d e 的前提是找到该方程的l a x 表示( l a x 对) 。1 9 7 2 年。z a k h a x o v 和s h a b a t 利用l a x 的 思想用反散射方法求解非线性s c h r o d i n g e r 方程，第一次用实例证明了反散射方法的更 一般性。1 9 7 2 年，w a d a t i 用类似方法求解了m k d v 方程。1 9 7 3 年，a b l o w i t z ，k a u p ，n e w e l l 和s e g u r 编制了用反散射方法求解大批偏微分方程的软件包。1 9 7 5 年，w a h l p u i s t 和e s t a b r o o k 提出了含有两个非线性p d e 的延拓结构法。该方法的一个重要应用是：借助l i e 代数，可以得 到方程的l a x 表示，这为用反散射方法求解方程提供了必要条件。但是，用w e 方法求解太复 杂。利用陆启铿教授建立的非线性联络理论，郭汉英教授等人简化了w e 方法，完整地建立了 非线性方程主延拓结构的理论和方法- 李翊神教授、屠规彰教授为发展这一方法做了很好的工 作。 2 b a c k l u n d 变换和d a r b o u x 变换 1 8 8 5 年，瑞典几何学家b a c k l u n d 在研究负曲率曲面时发现s i n e g o r d o n 方程 ( 1 2 ) e ：薹：l 。， 上述一阶方程组，就可以得到其另一个新解。根据上述结果还可以得到一个非线性叠加公式 心= 4 a r c t a n ( 箬t a n 兰) 讥 ( 1 4 ) 一廿哇 。 大连理工大学硕士学位论文 这样，如果已知方程( 1 2 ) 的三个解“o ，1 和“2 ，就可以通过叠加公式求得新解u 3 ，而不必 再求解方程组( 1 3 ) 2 6 ，3 5 1 。b a c k l u n d 变换当时并没有引起人们的足够重视。在被冷落了近 百年以后，到了2 0 世纪6 0 年代由于非线性光学和晶体位错等许多领域的研究都和s i n e - g o r d o n 方程有关，这个变换才重新受到重视n1 9 7 3 年，w a h l q u i s t 和e s t a h r o o k 发现k d v 方 程也具有类似的b a c k l u n d 变换n1 9 7 6 他们提出了求解非线性方程的b a c k l u n d 变换的延拓结 构法，将b a c k l u n d 变换、守衡律及反散射变换统一在一个拟位势中。1 9 8 3 年，w e i s s ， t a b o r 和c a r n e v a l e 2 2 ，2 3 1 推广了常微分方程的p a i n l e v e 可积的判定方法，提出了偏微分方程 的p a i n l e v e 可积的判定方法，并用其获得了一些可积方程的b a c k l u n d 变换。 1 8 8 2 年d a r b o u x 研究了一维s c h r o d i n g e r 的特征值问题 一妊。一u ( z ) 毋= a 妒，( 1 - 舄 其中“( ) 是给定的函数，称为势函数，a 是常数，称为谱参数nd a r b o u x 发现了这样一个事 实：设u ( z ) 和( $ ， ) 是满足( 1 5 ) 的两个函数，对任意给定的常数 o ，令，( z ) = ( 。，a 0 ) ， 即，是( 1 5 ) n x = o 时的一个解，则由 u 州 = u ，+ ：2 纵( i n 啪f ) x ，x , 一争m 一越，一t ，= a ( 1 6 ) ( 1 7 ) 这样这个借助于，( z ) = 妒( z ， o ) 所作的变换( 1 6 ) 将满足( 1 。5 ) 的一组函数( u ，鳓变化为满足同一方 程的另一组函数( ，) ，这就是原始的d a r b o u x 变换 ( “，) ( t ，妒)( 1 8 ) 在f 0 处它是有效的。d a r b o u x 变换的基本思想为：利用非线性方程的一个解及其l a x 对 的解，用代数算法及微分运算来获得非线性方程的新解和l a x 对相应的解。有时人们 也称d a r b o u x 变换为b a c k h m d 变换。1 9 7 5 年w a d a t i 等人j 哿d a r b o u x 变换推广到m k d v 方程 和s i n e g o r d o n 方程。中科院院士谷超豪等人i 2 4 2 6 1 将其推广j i l j k d v 族、a k n s 族和高维方程 组，并将这个变换应用到微分几何中的曲面论和调和映照中。 王明亮教授和李志斌教授【8 1 l j 提出了求b a c k l u n d 变换的简洁而有效的方法。范恩贵教 授进一步发展了这一工作【2 7 _ 3 0 卜闫振亚博士【1 4 】、陈勇博士 1 8 】和李彪博士【2 1 】也作了许多工 作。 3 双线性方法 1 9 7 1 年，h i r o t a 日i 入了双线性方法，用于构造许多方程的多孤子解和b a c k l u n d 变换。最 近，胡星标教授【3 2 等人很好地发展了该方法，并且给出了解的互换定理和解的非线性叠加公 式。1 9 8 8 年b o i t i 等人研究了( 2 + 1 ) 一维模型，提出了孤立子解的一种特例d r o m i o n 结构。随后， 6 第一章绪论 人们证明其它( 2 + 1 ) 维方程也拥有d r o m i o n 结构。1 9 9 6 年，楼森岳教授用h f f o t a 方法研究了一 个( 3 + 1 ) 维k d v 型方程，证明了该方程拥有丰富的类d r o m i o n 结构。1 9 9 3 年，r o s e n a u 和h y m a n 为 了研究非线性色散模型的影响，提出t k ( m ，n ) 模型，并且给出了该方程在分段连续情况下 的c o m p a c t o n 解该解具有弹性碰撞等有趣的类似于孤立子解的性质。 4 p a i n l e v e 奇性分析 给定一个非线性发展方程，是否可用反散射方法求解是孤立子理论中的一个基本而尚未 解决的问题。我们知道，用反散射法求解方程的初值问题的前提是寻找该方法的l a x 对，但拥 有l a x 对的方程不一定可用反散射法求解。1 9 7 8 年，a b l o w i t z ，s e g u r 和r a m a n 发现：对于可以 用反散射方法求解的非线性演化方程来说，其相似约化的所有常微分方程都有p a j n l e v e 性质， 因此他们给出一个猜测，p a i n l e v e 猜测：一个完全可积的偏微分方程的每一个相似约化的常微 分方程具有p a i n l e v e 型，或者约化的o d e 经过变量变换之后其有p a i n l e v e 型。这个猜测提供了 一个证明一个p d e 是否完全可积的必要条件。1 9 8 3 年，j w e i s s m t a b o r 和g c a r n e v a l e 2 3 b i 入了的p d e 的p a i n l e v e 性质( 或称p a i n l e v ep d e 检验) 的概念，并且提出了一个与a b l o w i t z 用 于判定的o d e 的p a i n l e v e 性质类似的算法，利用p d e 的p a i n l e v ep d e 检验可导出l a x 对 和b a c k l u n d 变换a1 9 8 4 年w e i s s 2 4 又推广t p a i n l e v ep d e 检验的使用范围，引入条件p a i n l e v e 性质的概念。1 9 8 2 年k r u s k a l 等人将奇异流形上的函数( 不妨设两个变量z ，t ) 假设为其中一 个变量的线性关系，即( 。，t ) = z + 妒( t ) 。这大大简化了计算的复杂性。一般说来，p a i n l e v e o d e ( 或p d e ) 检验不研究负共振点的性质。1 9 9 1 年j i m b o f o r d y 和p i c k e r i n g 研究了负共 振点的重要意义，并且指, m , c h a z y 方程具有负共振点( 1 ，2 ，3 ) 。曾云波教授f 3 3 ，3 4 改进 了p a i n l e v e 截尾展开，导出了t o d a 方程的b a c k h n d 变换，给出了从给定具有p a i n l e v e 性质的方 程出发去构造具有p a i n l e v e 性质的一族方程的一般方法。 5 齐次平衡法 1 9 9 5 年，王明亮教授等) q 3 7 - 3 9 1 提出了齐次平衡法用来求解非线性偏微分方程的精 确解，1 9 9 5 年高以天教授和田播教授【4 0 l 改进了该方法，来研究( 2 + 1 ) 一维方程的解。随后， 他们又给出了非线性偏微分方程的更一般形式的解。1 9 9 8 年范恩贵教授和张鸿庆教授【3 0 】进 一步发展了齐次平衡法，不仅得到了更多类型的精确解，也找到了得 ! 1 b a c k l u n d 变换的另 外一种途径。之后，闰振亚博士和张鸿庆教授 1 4 1 再次发展了该方法，并且利用该方法推广 了s i n e c o s i n e 法、t a n h 函数法和椭圆函数法等，获得了非线性偏微分方程的更丰富的精确解的 形式。 6 a c = b d 框架下的精确求解 1 9 7 8 年，张鸿庆教授f 4 1 4 4 1 提出了偏微分方程求解的构造性的机械性算法即“a c = b d ” 方法。他借助于代数的理论来构造偏微分方程的解，结果大批力学问题所对应的偏微分方程组 的求解问题，在一个统一的框架下得到了解决。 构造微分方程精确解得方法尚有许多，但是由于非线性方程本身的复杂性，使得这类努力 的结果往往得到只是少数的解至今尚无统一的方法来构造精确解。 7 第二章“a c = b d ”理论与c d 对的构造方法 摘要： 自从张鸿庆教授1 4 1 于- 十世纪六十年代提出了“a c = b d ”思想，井于1 9 7 8 年发 表以来，他和他的学生们在这方面做了大量的工作，使得这一思想在电动力学、弹性力学、流 体力学、量子力学、孤立子理论、物理学等方面得到了广泛的应用。这一思想是一个开放的思 想，遵循“简易、变易、不易”的原则。近年来该思想推广到解决非线性问题中，张鸿庆教 授又提出了c d 可积系统与c d 对的概念，形成了在微分方程( 组) 求解中的c d 可积理论， 在孤立子理论及其应用方面有了很好的成绩。本章简要介绍张鸿庆教授提出的关于微分方程 ( 组) 求解的“a b = c d ”理论及应用，c d 对的构造方法n 2 1“a c = b d ”理论及其应用 “a c = b d ”理论的基本思想方法就是将复杂不易求解的方程( 原方程) 通过适当的 变换转换为简单易于求解的方程( 目标方程) 。不失一般性，可形式地将原方程和目标方 程分别表示为a u = 0 和d v = 0 、则原方程的求解就变为寻找适当的变换u = g ”，将原方 程化为易于求解的目标方程d v = 0n 但是，在实践中往往需要求得算子b ( 辅助算子) ， 使其满足“a c = b d ”，有时还需要求得算子r ( 余算子) ，使得a c = b d 十r 。其具体 格式是：设a u = o 为待求解的原方程，d v = o 是易求解的目标方程，寻找变换u = 使 得a u = 0 d v = 0 ，且c k e r d = k e r a l 。对一般微分方程的求解，就转化为以下问题的解 决：给定算子a ，构造算子c 和d ，使得c k e r d = k e r a ，及如何构造变换= c v 。将待求解的 方程a u = 0 约化为目标方程d v = 0 。 定义2 h 设x 是线性空间，a ，b ，g ，d 是从x 到x 的算子，对任意 x ， a c ( 口) = a ( g u ) ，b d p ) = b ( d r ) 如果对u x 。a c v = b d v ，则称a c = b d 。 定义2 2 如果对于算子a ，存在算子b ，g ，d 使得a c = b d c k e r d = k e r a ， 其中k e r a = ula u = 0 ) ，k e r d = id v = 0 ) ，则称4 u = 0 是可积系统。若 c k e r d k e r a ，但g k e r d k e r a ，则称a u ；0 为部分可积系统。 定义2 3 ：算子g 和d 称为算子且的g d 对。如果系统： ：嚣 协- ， 【d ( ，u ) = 0 、 其相容条件恰为a u = 0 ，其中”为参数，“恰”的意义为：如果系统( 1 ) 的另一个兼容条件 为a “= 0 。那么k e r a k e r a 。 若g ( u ，“) = 0 可写为u = c v ，d ( u ，u ) = o 可写为d v = 0 那么a 有显式的g d 对a 若c k e r dck e r a ，则对d v = 0 的任意解 。若u = c v i j l l j a u = 0 。 若c k e r d k e r a ，则对a u = 0 的任意解“，必有 k e r d ，使得“= c v 。 盔壁堡王查堂塑主兰丝丝塞 如果g 耳e r ddk e r a 和c k e r dc e r 同时成立， 1 p c k e r d = k e r a ，这时方程a “= 0 的一般解为u = c u 其中 满足d v = 0 。也称在变换“= c 下，方程a “= o 与d 。= 0 等价。 定义2 4 若方程组 三：j 三：的相容性条件为a “= 。，则称a u = o 是c - d 可积的 并且 鬻暑嚣枷训c - d 对n 定理2 1f 4 5 ：设x 是线性空间a ，b ，a d 是x 到x 的线性算予a 如果 g = b d ， b ( 0 1 = 0 ，i i c k e r d 3k e r a ，则方程( 组) a u = 0 的一般解为“= ，其中 满足d v = 0 。 定理2 2 【4 6 】：设 f 啦! m 2