（基础数学专业论文）素特征域上的限制莱布尼兹代数的一些结果.pdf

摘要 自1 9 9 3 年以来，作为李代数的推广，莱布尼兹代数已经被广泛的研究，在域的特征 数为零的情况下，前人作了许多卓有成效的工作比如，莱布尼兹代数的幂零性，低维 的一些性质和结构等等但是，特征p 的情况下，其结果尚少鉴于限制在模李代数中 的作用，本文主要研究素特征域上的莱布尼兹代数的限制性下面是本文的主要结果 首先，模仿李代数，从结合代数出发，在莱布尼兹代数中引入尸映射又自然的定 义了限制的莱布尼兹代数在这里，给出了一般的限制的莱布尼兹代数的例子，它不是 限制的李代数继而，又在限制的莱布尼兹代数中得到有关p - 幂零的两个命题： 命题1 2 3 司p 是p - 理想，则l 是p 幂零的当且仅当，与l 是p - 幂零 的 命题1 2 4 令( l 【p ) 是有限维限制的莱布尼兹代数，则存在唯一的p - 理想r o d p ( l ) 使得： ( 1 1r o d p ( 目是p 幂零的 ( 2 ) 当j 司p l 是p 一幂零的，则j cr n d p ( l ) 其次，考察映射的存在性，并证明了定理： 定理( nj a c o b 8 0 n ) 令( l ， p 】) 是限制的莱布尼兹代数假设 勺b 。j 是三的基，且 存在蜥厶( o d e j ) 9 = o d 驸则存在尸- 映射 p ：l l ，使得e p = 协，功j 再次，讨论可限制性与半直积，与结合双线性型的关系，具体见定理2 2 1 一定理 2 26 ，但是，这对限制的莱布尼兹代数的讨论才是一个开始需要在今后的学习中进一 步深化和完善限制理论 关键词：莱布尼兹代数；李代数；限制莱布尼兹代数；p 一映射；可限制性 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得东北师范大学或其他教育机构的学位或证书而使 用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在沦文中作了明确的说 明并表示谢意 学位论文版权使用授权书 五“g 、 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：东北 师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和磁盘，允许论文被 查阅和借阅本人授权东北师范大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库 进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇编学位论文 学位论文作者签名t 手! i i i 攀指导教师签名。u ( 刘 日 期：上“址日 期 学位论文作者毕业后去向 工作单位 通讯地址 电话； 邮编： 引言 李代数与数学的许多分支密切相关，在现代物理学等其他学科中的应用也日益广泛 深刻而莱布尼兹代数是由l o d 时在 l o d 的研究中引入的莱布尼兹代数中定义了非 反交换的运算，并满足t 如果此莱布尼兹恒等式加上反对称性就是莱布尼兹恒等式的变形因此，李代数是反对 称的莱布尼兹代数对莱布尼兹代数的研究是很活跃的，也取得了很大的进展例如， 文献i q 中研究了莱布尼兹代数的幂零性，得到了有关有附加条件的( 尤其是单的) 有限 维莱布尼兹代数的结构方面的进一步结果 另一方面，由于研究非模李代数的许多工具和技巧在模李代数中不再适用模李代 数和李群，和代数群的联系看起来也不太紧密自然的就要考察与代数群有关联的模李 代数基于这种考虑，数学专家就提出了限制的概念这还要归功于j ”o b 8 0 n 川他注意 到了p 一映射【p ：- + l 的重要性，这样的映射具有与结台代数上的映射z 一，相 同的性质由此，1 3 中的第二章就讨论了可限制李代数的基本理论，包括在模李代数中 构造了只映射，给出限制的概念，研究可限制性等眼制这一概念为研究模李代数提供 了一个新的角度和有力工具基于模孪代数，考虑是否也可在特征p 下的莱布尼兹代数 上引入p 映射，进而定义限制的概念，再研究其理论，以使莱布尼兹代数的发展更进一 步本文就作丁一点这方面的工作 步本文就作丁一点这方面的工作 1 1 1 一些记号和定义 第一章预备知识 约定本文中域f 的特征数为素数p 定义1 1 1 斟设l 是域f 上的线睦空间，且l 中有二元运算( z ，g ) 一k 引满足 下列条件； ( n )此二元运算是双线性的 ( 6 )【z ，b ，爿 = 【z ， ，z 一【 z ，； ， 比，g ，z l 其中，( 6 ) 称为莱布尼兹恒等式注意到，如果一个莱布尼兹代数有如下的性质，即： 【z ，。】= o ，v 茁l 则由莱布尼兹恒等式可以很容易得出雅可比恒等式： 陋，鲥，2 4 + f b ，2 j ，z + f 瞎，。1 ，们= o ，比，g ，。厶 因此李代数是莱布尼兹浅数的特殊情况， 例1 1 1 【5 】若a 是结合代数，d ：a - 一a 是线性映射，满足：d ( o ( d 6 ) ) = d n d 6 = d ( ( d o ) 6 ) ，饱，6 a 则在a 上定义运算t 。，纠d = k ，d ( 6 ) 】= n ( d 6 ) 一d ( 6 扣地，6 a 那么，a 在此运算下构成莱布尼兹代数特别地，当d = 记时就得到李代数4 一 仞1 1 1 2 令五和m 是李代数，m 是不可约的l 模令q = + m ，并在q 上 定义二元运算： p + m ，g + n 】= p ，f + m p ，v z ，l ，v m ，n m 为了方便，在 q 中m 可以写作【m ，订若m 还是反对称的莱布尼兹l 一模，即模运算在q 中满足 下面两条： ( 1 ) 反对称性：km = 一 m ，z 】，v m t 比l ( 2 ) 莱布尼兹关系式：陋， m ，州 = k 圳，叫一盼，叫，州 m ，p ，圳 = m ，z 】，p 一 陋，n 】，m ，l ，v m ，n m 则0 成为一个莱布尼兹代数 事实上，只需在q 上验证莱布尼兹恒等式即可对比，z l ，v m ，n ，p m 陋+ m ，阿+ nz + 纠 = 陋+ m ，b ，z + 【礼，卅 = p ，由，z ”+ 陋，陌，习 b + m ，寥+ 嘲，名+ p j = 【 。，翻+ 陋，引，名+ 纠= 【陋，引，司+ 【( m ，苕1 ，z l 【陋+ m ，z + p 】，+ n 1 = 【陋，z + h ，硝，g + 州= 【忙，z 】，引+ ( 【m ，司，g l 由l 是李代数以及如上的莱布尼兹关系式不难看出 陋+ m ，由+ 礼，z + p = 【p + m ，可+ 礼】，z + p 】一 陋+ m ，z + 叫，+ 扎】 依定义，囟+ m ，。+ m 1 _ k ，。 + 【m ，2 1 = b ，z 若对任意的z ，扛，m = o ，则m 的任意真子空间都是m 的真子模这使得m 是可约的，矛盾故这是一个一般的莱布 尼兹代数，而不是李代数 定义l1 2 若莱布尼兹代数l 的子空间日对运算封闭，即( e h l 日，则称h 是 l 的子代数若满足陋，竭甘，则称日是l 的右( 莱布尼兹) 理想；若( h ，叫日，则 称日是左的( 莱布尼兹) 理想既是左理想又是右理想，称为理想 记 a ，b = 陋， lv 。a ，b ) 例1 1 3 令m = f l ，目则们，i = 1 ，2 ，是l 的理想 证明运用莱布尼兹恒等式及对i 用归纳法即可 定义1 1 3 称z ( 三) = z li l ，。】= o ) 是莱布尼兹代数l 的右零化子集 注不难证明z ( l ) 是莱布尼兹代数l 的双边理想，且j = l d ( p ，。】= l ) 一定包 含在z ( 均中 定义1 1 4 设三是域f 上的莱布尼兹代数，如果l 上的线性变换d 满足： d ( 陋，刎) = d z ，引+ 陋，d 引，咖，l 则称d 为l 的导子 l 的所有导子的集合记为d e r l 例1 1 4 记忍：l 一上，比l 为三上的右乘算子即：r 。( ，) = 帆z 】，v l 则在r ( l ) = j 乙：z 工) 中定义运算：【飓，甩 = 飓吗一马忍，使之成为一个李代 数，并且有： 吼岛一见= r 比，l 由 r 。b ，司= b ，z 1 ，z 】= 阻，卅，z 1 + 由，k ，。 = 【疋( 目) ，z 1 + 氓磁( g ) 1 知r 也是l 的导予，记为n 出为了区别，r 作为导子时写成n 出 类似于李代数，导子有如下性质： d ，o 如 = 。d d z ，v d d e 儿，v z l 事实上。 d ，o d 。 ( ) = ( d 口如一d d z - d ) = _ d 。d 。( 9 ) 一o d d 3 d 由，。 一 d ，胡= d f ，z 1 + 阿，d 司一【d ，z 口d d 。( g ) ，比，己 这说明r ( l ) 是d e 儿的右理想 4 1 ，2p - 映射的引人和限制莱在尼兹代数 本节主要是从结合代数出发，在莱布尼兹代数中引入p - 映射，并给出限制莱布尼兹 代数的定义和相关性质 引理1 2 。1 设a 是结合代数，x 是a 的未定元，则存在唯一决定的导子d d e 即( a 旧) ，满足d ( 。x ) = i o 。，v 0 a 证明在f 捌上定义导子d ： d ( ，( x ) ) = d ( 。l x 2 ) = d ( o x 2 ) = 妞x “ = o扛0 = 0 再将d 线性扩充到a x 】上接下来只需要验证扩充后的d 是a x 环上的导子即可 d ( n x 。6 x j ) = d ( d 6 x “) = n 6 ( i + j ) x 计j ， v n x 曲x a x 】( 卓) d ( & x 。) 6 x + o x 口( 矗x ) + g 统x 一一1 + o 螗x 2 邯， v 口x ，6 x a 【x 1( $ ) ( 4 ) 与( ”) 相等，则d 是导子。 令a 是结合f - 代数，有： 证明 ( n c h ) ”( 爹) = 娄( 一，) ( 了) 。v 。”一i ( n d 。) ”( 爹) = ( 一1 ) 。： 矿“。 = u， ( 。( b ) ”( g ) = ( 一l 。) 4 ：妻f ( 飓) l ( 一1 ) ) m = 0 。 ：量( - 1 ) 一。扩t i = 0o 当m = p 时，有； c 。c b ，尸( g ) = c l ，p ( 吾) 。p 掣z 。+ c t ，。( ；) 。掣z p = 。p 可+ 归p = ( 。如p ) 可 彳导到 ( o d 。) = ( o 如9 ) 公式( 2 ) 从本质上表明了映射z 一扩和a 一的结构关系下面我们将验证a 一的 结构与映射z z 9 是如何关联的注意到： ( 口x ) p = a 尸x p ， v a f 1v x a f 日 p 一1 ( n x + b ) 9 = o p x 9 + 6 p + s i ( o ，b ) x ，( 口，6 ) a t = 1 对公式( 2 ) ，当m = p 1 时 ( n d ( n x + 6 ) ) “1 ( 。) = 篆( 妒h ( p 玲n r 心) = ( 1 ) p 一1 4 ( 一1 ) ( 。x + 6 ) p 一1 一n ( n x + 6 ) 4 = ( 一1 ) p _ 1 ( o x + 6 ) _ 1 “n ( o x + 6 ) p 一1 = ( 一1 ) 9 1 ( o x 十6 ) 。o ( o x + 6 ) p 一1 一0 = p 一1 一i ) j = 0 ( 5 ) 与( 6 ) 知，ts ( n 1 6 ) 是( n d ( n x + 6 ) ) 9 。( o ) a x 中x ”1 项的系数 则在公式( 4 ) 中令x = 1 ，可以得到： ( 3 ) ( 6 ) 假定工是a 一的一个子代数，对l 中任意元素。和b ，可有& b ) 工( 因为l 是a 一的子代数，所以( 口d ( n x + 6 ) ) p - 1 ( n ) l ) 为了在莱布尼兹代数中定义的映射 f j p l ：工一上具有茹一，的性质，需要从多项式环范畴转到莱布尼兹代数的范畴，设x 是结合代数a 上的未定元，同时也是f 上的未定元则存在唯一决定的结合代数上的同 构，：a f f ) 一a 】，( o o x ) = n x ，v o a 那么，s i ( n ，b ) 的特点可由下面的 式子体现出来： 6 x 砷 & h “ 1 j 一4p 的 +x00 + 存 武 等 面匕 到用作 d 将 b口 & n m 十 旷 + p 0 i j p + 0 一 x 的 n& n ：l | | l 0 n p 固 b+ x o 0 d 8 注意到给出个未定元x ，可在lo ff 陋】中定义运算t 口or 8s = 6 0r s ， v o ，b ev r ，s f x 在此运算下成为一个莱布尼兹代数根据张量积的泛性质，l 固ff 中的任一元素h 可以唯一的写成： h = o ， v 啦工 现在我们可以在l 中引入一个p - 映射 定义1 2 1 设三是f 上的一个莱布尼兹代数映射 p 1 ：l l ，d 【p 】如果满足下 列条件； ( 1 1o d 尸= ( o dn ) p v n ( 2 )( q n ) p 】= a p o 【p v 。l ，v q f ( 3 ) ( 口十【9 1 = o + b 9 + 当1 s ( o ，6 ) 则称之为p 映射其中，( d d ( 口 x + 6o1 ) ) 9 1 ( 口o1 ) = 昌1 f & ( n ，6 ) ”，v o ，b l ( l ，c p 】) 被称为限制的莱布尼兹代数 例1 2 1 将例( 11 2 ) 中的l 取成限制的李代数( l 爿1 ) ，并在q 上定义 p 1 ：q q 为( n z + 口m ) i p 】= 。9 z 【p 】- + 。m 则逐个验证三条性质，易知q 成为一般的限制的莱布 尼兹代数 定义1 2 2 令( 厶 p 】) 是限制的莱布尼兹代数如果子代数日cl ( 理想司l ) 满 足z 嘲h ，v 。日( p l j ，v z l ) ，称为p 一子代数( 理想) ，令scl 是( l ，【同) 的 一个子集，所有包含s 的p 一子代数的交记为昂，也是l 的p 一子代数，称为由s 生成 的p 一子代数由定义，s 尸是包含的s 的l 的最小的p - 子代数 定义1 2 3 令( l - ，【p 1 ) ，( l z ， p 】2 ) 是限制莱布尼兹代数映射，：l ，一工2 是莱布 尼兹代数同态，且，( z t ) = ( ，( 。) ) l p l 。，v l ，则称，为限制的同态( 或p 一同态) 如 果表示p ：l 一9 f ( y ) 满足p ( 。【p 】) = ( p ( o ) ) 旧，v z l ，则称p 是限制的 命题1 2 2 令( l ，【p ) 是个限制的莱布尼兹代数假定，：l g 是同态，e r ， 是l 的p 一理想，则，( 三) 上存在唯一的尸映射，且，：l 一，( 工) 是一个p - 同态 证明令f 【p 】：= ，( z 【】) 若= ，( 。) ，贝0 当目= ，( z 1 ) = ，( 。2 ) 时，z l 一。2 e r ( ，) ； 且1 ) p 】= ( z 1 一。2 + 。2 ) = ( 。l z 2 ) 叫+ ( 嚣2 ) 【叫+ 昌1s i 扛l z 2 ，z 2 ) 因为七e r ( ，) 是 p 一理想，贝4 ( 。t z z ) 【尸】，五1s ，( 。l 一。2 ，z 2 ) e r ( ，) 所以，( ( z 1 ) ip 】) = ，( ( z 2 ) 9 】) 且 p 】：，( 上) 一，( l ) 定义是合理的，由定义自然得到如上的在，( l ) 上定义的 p 1 映射 成为p 一映射的三个条件，同时，是一个p 同态。 7 注上面结果的重要意义在于当，q p l 时，由定义( z + 驯p 】：= ( 。) p 】+ ，使得 l j 成为限制的莱布尼兹代数，且7 r ：二一l ，是一个p 同态 定义1 2 4 令( 厶 p ) 是一个限制的莱布尼兹代数j 司尸l ，如果存在n v ，使 得，【。p ”= o 则称，是p - 幂零的如果比，存在n ，使得。l p 】“= 0 则称。是 尸幂零的如果中任意元素都是p 幂零的，则称，是p 一诣零的 命题1 2 3jq pl 是p 一理想，则l 是p - 幂零的当且仅当，与三，是p 幂零 的 证明“乍”显然，由l 的p 幂零性，可得与l ，是p 一幂零的 “ ”如果f 与l 是p - 幂零的，则竹，使得( l 删p 】“= o ，旧“= o 则l i p 】“c f 因此，( _ l 1 【p 】2 “= 0 口 命题1 2 4 令( l ， p ) 是有限维限制的莱布尼兹代数，则存在唯一的p _ 理想r o d 尸( l ) 使得： ( 1 ) r 8 如( 口是p - 幂零的 ( 2 ) 当jq pl 是p 一幂零的，则，cr n d p ( l ) 证明令r 洲p ( l ) 是己的最大维数的p _ 幂零理想假定司p 厶则( r o 如( 五) + ，) ，! r 口d p ( 工) fnr o d p ( l ) 由命题1 23 得，r o d p ( l ) + ，是p 一幂零的因此， r 8 d p ( ) + ，= r b d p ( 二) 说明王cr 口d p ( 三) 口 8 第二章可限制莱布尼兹代数的一些理论 2 ，1p 一映射的存在性，可限制的莱布尼兹代数 给出一个莱布尼兹代数己，是否可以在l 上定义p _ 映射呢? 如果可以，能够定义多 少个这样的映射是自然要提出的问题本节着重解决这两个问题 下面将用到p 一半线性映射的定义，即： ，( o 。+ y ) = a p ，( z ) + ，( ) 命题2 1 1 令上是限制莱布尼兹代数( g ， p 】) 的子代数，映射 p 】l ：一l 则下 述两个命题是等价的： ( 1 ) - 是上的p 一映射， ( 2 ) 存在p 半线性映射，：一孙( 三) 使得 p 】，= 【p + ， 证明( 1 ) ( 2 ) 考虑，：l g ，( t ) ：= z 吼一z f p 】则，将l 映到z 0 ( l ) 中 对忱，g l ，o f ，有 尸一1 ，( 。z + y ) = a p 嚣旧1 + 掣p 1 1 + & ( n 茁，掣) 一q p 。【p 】 扛：1 p 一1 一【p 】一s ( 口z ，g ) t = l = a p ，( z ) + ，( 可) ， 这说明，是p 一半线性映射 ( 2 ) = 辛( 1 ) 我们将逐条验证 p 】t 成为l 上的p _ 映射需满足的三个条件，g 工 扛+ ) 【p | 1 = 如+ ) 同+ ，扣+ y ) = 。f p 】+ y 【p 】+ ，( 。) + ，( g ) + 旦0 ，9 ) i ；l p 一1 = 卅1 + 1 + & ，) 4 = l 口d z 【p 】1 白) = o d 扛【p 】+ ，0 ) ) ( 可) = n d 。【爿( 可) + ，( z ) ( ) = ( n 如) p 0 ) ( n z ) p 1 = ( a 。) 【p 】+ ，( 。z ) = o p z 【用+ a p ，( 嚣) = n p 。【p 】l 口 注l 未必是( g ，【p ) 的p 一子代数 推论2 1 2 下述命题成立： 9 ( 1 ) 如果z ( l ) = 0 ，则工上至多有一个p 一映射 ( 2 )如果两个p - 映射在l 的基上是相等的，则他们就是相等的 ( 3 ) 如果( l ，【用) 是限制的，则存在l 上的另一个p 一映射 p 】，满足z 【尸 = o ，v 嚣z ( l ) 证明( 1 )对g = 工，有z g ( l ) = z ( 上) ，则命题2 1 1 中的唯一的p 一半线性映射 ，= o ( 2 ) 设 岛) ；1 ，是l 的基，由已知条件，= 【p 】( f p 】) l 是p 半线性的，且 ，( e ，) = o ，贝4 ，( z ) = = ，( 觑e t ) = 南f ，( e ) = o = ，= o ，v f 】 z 三 ( 3 ) 【尸】j z ( q 是z ( l ) 上的p 一映射显然z ( 三) 是交换的，则刍1 最( 。z ，y ) = o ， 有v 茁，g z ( l ) ，( + p ) 俐z ( c ) = 矿。m + 管【p l l z ( “，知【p 11 z ( l ) 是p - 半线陛的将 f p j 卫( l ) 扩充成，：= l z ( d 则 尸 ：= f p 一，是l 上的尸一半线性映射，并且在 z f 功上是零。 ( n j 8 c o b s o n ) 定理令( ，f 用) 是限制的莱布尼兹代数假设 勺b e j 是三的基，且 存在协l ，( n 4 勺) 9 = 。d 协，则存在p 一映射【p ：l l 满足e ，= 协，坳j 为了证明此定理，需要先将泛包络代数的内容扩展到莱布尼兹代数上 定义2 1 1 令l 是域f 上的莱布尼兹代数假设i ：l u ( l ) 一是莱布尼兹代 数同态( 其中， u ( 工) 一是结合f 代数u ( ) 生成的李代数) 如果对任意的结合f 一代 数a 和每一个莱布尼兹代数同态f ：l a 一，都有唯一的结合同态 ：u ( l ) 一a ，使得 f = foi ，则称对渺池) ，i ) 是上的泛包络代数， 如果s c a 是结合且代数的子集，则用n f 卵( s ) 记由s 生成的有单位元的a 中的 结合f 一代数 引理2 1 3 令ll 】 上2 是莱布尼兹代数则下面的命题成立 ( 1 )如果( c ，( 上) ，i ) ，( y ( l ) ，j ) 都是工的泛包络代数，则存在唯一的同构h ：u ( l ) 一 y ( l ) 满足h = io j ( 2 )如果( u ( l ) ，i ) 是l 的泛包络代数，则u ( l ) = o f 9i ( l ) 下面将利用自由代数来证明泛包络代数的存在性回忆自由代数的概念，若y 是一 个向量空间对于由结合f - 代数a ( y ) 和线性映射t 构成的对( a ( v ) ，t ) ，如果对任意 给定的结合代数b 和线性映射t ：v b 都存在唯一的结合同态f ：a ( y ) 一b 使得 f = f 。t 则称似( v ) ，t ) 是矿上的自由代数线性空间上的张量积可以看作是一个自由 代数所以每一个线性空间上都至少有一个自由代数 引理2 1 4 令l 是域f 上的莱布尼兹代数则l 一定拥有一个泛包络代数( v ( l ) ，i ) 注引理2 1 f 3 和引理2 1 4 的证明与模李代数中的证明相类似，故略去详见吼 下面给出( n j o b s o n ) 定理的证明 1 0 证明v z l ，有o = ( ( o d 勺) 9 一( o d 鲫) ( 2 ) = p ，( 勺) 9 一鲫 则( e j ) 一协 z u ( l ) ( l ) ，w 一定义p - 半线性映射，：l z 0 ( l ) ( l ) 为 ，( q e j ) ：= 茸( 蜥一e 于) 考虑y ：= 。三lz p + ，( 茁) l ) ，由( q 。+ 可) 尸+ ，( n 。+ 掣) = a p 。p + 掣p + 昌1s ( 乜z ，) + o ，( z ) + ，( ) 知矿是l 的子空间由，的定义知b ) j j y ，则 y = l 即z p + ，忙) l ，v 嚣l 由命题2 1 1 ， p ：l 畸工，z 【p j ：= z p + ，( z ) 是l 上的 p 映射，且有芦4 一芎+ 厂( 勺) = 协由推论2 1 2 的( 2 ) 及( 。嘞) 9 = n d 知唯一性成 立口 定义2 1 2 如果o d ( l ) 是d e r ( l ) 的p 一子代数，即( 口d 。) o d ( l ) ，比l 则称 莱布尼兹代数l 是可限制的 每一个交换的莱布尼兹代数是可限制的 注意到l 是可限制的当且仅当存在映射p ：三一l ，使l 成为 1 、限制的莱布尼兹 代数对可限制概念的研究要比限制的概念更可行，此外解决实际问题时，有时仅需要 知道是否可以引入p 一映射，即是否l 是可限制的下面定理体现了只考虑可限制性的 优势 定理2 1 5 令，：l 1 一l 2 是莱布尼兹满同态若1 是可限制的，则l 2 也是可限 制的 证职由于，：l 1 一l 2 是满的，则对勖三2 ，存在z l i ，使得，( 。) = 口 ( o d ) 9 ( 9 1 ) = ( n d ，( z ) ) 9 ( v 1 ) = ( n 够( z ) ) p ( ，( z ，) ) = ，( ( 口如) 9 ( 。) = ，( n d g ( z ，) ) = 聊( z ) ，( o - ) = a d ，( z ) ( 口1 ) 这说明l 2 是可限制的。 2 2 可限制的莱布尼兹代数的其他相关性质 定义2 ，2 1 令a 是莱布尼兹代数，b 是李代数，妒：以一d e r ( b ) 是同态在向 量空间a o b 上定义乘法t 缸，6 ) ( 1 6 7 ) ：= ( o o ，( 。) ( ) 一毋( a ) ( 6 ) + 6 6 7 ) ，缸，b a ，6 ，b 则a 0 口按此乘法够成莱布尼兹代数，称作a 与口的半直积 事实上，忱，o l ，0 2 a ，v 6 ，6 1 6 2 b ( 。，6 ) ( ( n - ，6 - ) ( 0 2 ，6 2 ) ) = ( 口，6 ) ( 口- d z ，妒( o - ) ( b 2 ) 一西( 。2 ) ( 6 ) + 6 1 6 2 ) = ( 吼啦) ，西囊) ( ( g - ) ( 6 2 ) 一( 。2 ) ( h ) ) 一( 0 1 d 2 ) ( 6 ) + b ( 托- ) ( 6 2 ) 一咖( 2 ) ( b 1 ) + b 6 2 ) ) ( ，6 ) ( 。l ，6 - ) ) ( n 2 ，6 2 ) = ( o 口1 ，西( n ) ( h ) 一( o - ) ( 6 ) + 6 6 】) ) ( 。2 ，6 2 ) = ( ( 。口1 ) 眈，一曲( d 。) ( ( 。) ( 6 1 ) 一咖( 0 1 ) ( 6 ) + 6 6 1 ) 十( 0 0 1 ) ( k ) + ( 咖( 口) ( 6 - ) 一( 0 1 ) ( 6 ) + 砧，) ( 6 。) ( ( 吼6 ) ( n 。，6 。) ) ( o - ，6 - ) = ( n 眈，咖( o ) ( 6 2 ) 一西( 0 2 ) ( 6 ) + 6 6 2 ) ) ( t ，6 1 ) = ( ( o 口2 ) t ，一曲( 。1 ) ( ( 口) ( b ) 一咖( 0 2 ) ( 6 ) + 拍z ) + ( o n 2 ) ( 6 1 ) + ( 咖( o ) ( 6 2 ) 一西( o z ) ( 扫) + 6 6 2 ) ( 6 1 ) 其中，由妒( a n 。) ( 扫2 ) = 降( n ) ，咖( n - ) 1 ( 6 2 ) = 妒( n ) 曲( o ，) ( 碗) 一庐( n ，) 毋( 。) ( 6 2 ) 及莱布尼兹 恒等式知( o ，6 ) ( ( 。- b ，) ( n 2 ，6 2 ) ) = ( ( n 拍) ( n - ，6 t ) ) ( 0 2 ，6 2 ) 一( ( a ，b ) ( 口2 ，o z ) ) ( 0 1 16 1 ) 由定义，b 是a o d b 的理想如果= o ，则a 0 t b = a o b 为通常的代数的 直和 定理2 2 1( ，4 ， p 】) 是限制的莱布尼兹代数，( 口，【p 】，) 是限制的李代数，且：a d e r ( b ) 是限制的同态如果任意z a ，尊( z ) 是限制的，则ao b 是可限制的 证明令z a ，则( 8 如) p o 如【p 】f = o 任意f b ， ( ( 。出) 9 8 d 。【尸】) 白) 一( 8 妇) p 白) 一8 d 用妇) = ( n 如) 1 白z ) 一妇。i 尸】) = ( 血d z ) p 一1 ( ( 0 ，可) ，( 茁，0 ) ) 一( o ，可) ( 。【p 】，o ) = ( o d z ) 9 1 ( o ，簪( 。) ( v ) ) 一( 0 ，( ip 】) ( g ) ) = ，一，= ( 曲( z ) ) 尸( ) 一( z 【p 1 ) ( 掣) = o 1 2 因此，( 口出) p o d ( a o 曲b ) ，v 。以 如果$ 口，则( n 如) 一。出f p 】，1 8 ：o 且f a ， ( ( o d 。) 9 一o d z 【p r ) 0 ) = ( 口如) ，一- 咖( y ) ( z ) 一( ) ( z 妒】) ：o 因此，( n 出) 9 以( a o b ) ，v t 8 这说明a o b 是可限制的口 推论2 2 2 令a ，b 都是莱布尼兹代数l 的理想，特别地b 是李理想，且l = a o b 则l 是可限制的当且仅当a ，b 都是可限制的 证明如果4 ，b 都是可限制的，由定理2 2 2 ，令西= o ，得l 是可限制的 如果l 是可限制的，由l l b 是满同态，及a 兰工b 知a 是可限制的同理， b 是可限制的。 注推沦2 2 2 中条件是可能的 以v u p o 和o m o r ( 1 9 9 8 ) 给出了一个莱布尼兹代 数上，其商代数l 胆( l ) 恰是一个李代数 推论2 2 3 令a ，口分别是莱布尼兹代数l 的可限制的理想，李理想，且l = a + b ， a b = 0 ) ，则五是可限制的 证明如果a n b = o ，则由推论3 12l 自然是可限制的否则，令a n b = e ， 易知b g 是可限制的，由4 b = o ) 知b e 仍是l 的理想由= a ob g 知，上 是可限制的。 推论2 2 4 假设l = l 2 十z ( l ) 且jc z ( l ) 是l 的理想，则上是可限制的当且仅 当l j 是可限制的 证明如果l 是可限制的，由定理2 1 5 ，工，是可限制的 现在假设二是可限制的，比l 2 ，珊工2 ，有 ( ( o d 。) p 一口魂f ) ( l ) c ，cz ( l ) ( ( 口d z ) 尸一口咖) ( l 2 ) = o 因此l 2 是可限制的因为z ( ) 是交换的，则是可限制的，并且l 2 z ( l ) = o 由推论 2 2 3 ，l 是可限制的a 最后，我们讨论可限制性与结合双线性型之间的联系 引理2 2 5 令工是限制的莱布尼兹代数( g ，( p ) 的有限维的子代数，设a ；g g f 是结合的对称的双线性型，在三l 上是非退化的则l 是可限制的 证明因为a 在l 工上是非退化的，则l 上的每一个线性型都由一个在三中适 当选取的9 来决定：，( z ) = a ( g ，z ) ，比l 令。l 则存在l 使得 入( z 【尸l ，z ) = a ( 掣，= ) v 。l 】3 这表明o ： ( z 【p 】一g ，弘) = a ( 扛【p 1 一g ) l ，工) 且( z 【p 】一f ) l = o 因此，可有 ( a d l z ) = n d l 。【p 】= n d l 掣o d l l 这说明l 是司限制的。 推论22 6 令p ：l 一讲) 是l 的有限维表示，使得k 在五x l 上是非退化的， 则l 是可限制的 证明结合型( z ，g ) 一亡r ( p ( 。) p ( ) ) 在p ( l ) p ( l ) 上是非退化的因此， p ( 三) 是 可限制的p ：l p ( 工) 是一一的，所以l 也是可限制的。 注莱布尼兹代数( g ，【p ) 上的表示与李代数上的表示的定义是类似的 1 4 参考文献 1 】孟遭骥复半单李代数引论【m 1 t 北京大学出版社，1 9 9 8 年1 月 【2 】s a l b e v e r i o ，s h a a y u p o v ，b a o m i r o v o nn i l p o t e n ta d8 i m p l el e i b i l i za l g e b r a j 】 c o m m u n i c a t i o n si na l 昏e b r a ，3 3 ：1 5 9 - 1 7 2 ，2 0 0 5 3 张永正m o d u l 8 rl i ea l g e b r aa n dt h e i rr e p r e 8 e n t a t i o n s m 卜 【4 ll o d 吼j 一l ( 1 9 9 3 ) u n ev e r 8 i o nn o nc i i n m u t t i v ed e sa l 酌b r a sd el i e ：l e sa l g 曲r 8 sa n d ( c 0 ) h o m 0 1 0 科 j 】m a t ha n n ，2 9 6 ：1 3 9 - 1 5 8 f 5 a y u p 。v ，s h a ，o m o r o v ，b a ( 1 9 9 8 ) o nl e i b n i za l g e b r a sa l g e b r a 龇l do p e r a t o r 8t h e o r