（交通运输规划与管理专业论文）图在曲面上的强嵌入.pdf

a c k n o w l e d g e m e n t i n m ym o s th e a r t f e l tg r a t i t u d eg o e st om y a d v i s o rp r o f e s s o rl i uy a n p e i f o rh i su n s p a r i n gi n s p i r a t i o n ，h i sc a r e f u lc o u n s e l ，h i sg r e a te n t h u s i a s m ，h i s e n c o u r a g e m e n t ，h i st r u s t ，a n df o rt h ec o u n t l e s sh o u r sh es p e n ti ns e e i n gm e t h r o u 【g ha l lf a c e t so fw r i t i n gt h ed i s s e r t a t i o n i th a st r u l yb e e na nh o n o rt o b eg u i d e db yh i m h en o to n l yl e dm et ot h ea r e ao fc o m b i n a t o r i c sb u ta l s o l e dm e p u r s u em y r e s e a r c hi nt h i sa r e a u n d e rh i sg u i d a n c e ，ih a v eb e n e f i t e d v e r ym u c ha n d l e a r n e dw h a tc o n s c i e n t i o u sm a t h e m a t i c a lr e s e a r c hs h o u l db e h i ss p i r i tt od e d i c a t et om a t h e m a t i c sa n dp a t i e n c et ot r a i nm ew o u l di n s p i r e m ei nm yc a r e e r 1w o n tf o r g e ti tf o r e v e r 1w o u l dl i k et oe x p r e s sm yt h a n k st op r o f e s s o rc h a n g y a n x u n ，p r o f e s s o r f e n gy a n q u a na n dp r o f e s s o rx i un a i h u af o ri n t r o d u c i n gm e s o m et o p i c si n g r a p ht h e o r y m yg r a t i t u d ea l s og o e st od r t e nh a n a n dp r o f e s s o rd o n g j i n q u a nf o rt h e i rt r u l yh e l pa n dt h ed i s c u s s i o nd u r i n g t h ec o m p l e t i o no fm y t h e s i s ie n j o yt h ei n t e r c o u r s eo ft h e m t h a n k sa r ea l s od u et om yc o l l e a g u e sd o c t o rl id e m i n g ，d o c t o rc a i j u n l i a n g ，d o c t o rl i ut o n g y i n ，h a or o n g x i a ，m a ol i n f a n ，l iz h a o x i a n g ， h ew e i l ia n df uc h a of o rl i s t e n i n gt om yr e p o r t so ft h i sd i s s e r t a t i o na n d ie n j o y e dt h e i rv a l u a b l ec o m m e n t ss i n c e r e l y m yg r a t i t u d ea l s oe x t e n d st o e v e r y o n ea tt h ei n s t i t u t eo fa p p l i e d m a t h e m a t i c s ia mi n d e b t e dt om y l o v e ，l ix i n w e i ，w h oe n d u r e dt h er o u g ht i m e sa n d g a v em eu n f a i l i n gs u p p o r tw h e n iw a sw r i t i n gt h i sd i s s e r t a t i o n 摘要 自从c a y l e y 于1 5 7 8 年正式公布著名的四色定理后，图在一般曲面上 的嵌入引起人们的广泛注意在1 8 9 0 年h e a w o o d 提出著名的地图着色问 题后，( h i l b e r t 等人又将它归纳为引线问题，即在曲面昂( p 表示曲面品的 亏格) 上给定礼3 ) 个点，能否用简单曲线( 引线) 两两连结这n 个点 使得这些连线在曲面上互不相交? 应用图论术语，即为引线问题与确定完全 图k 。的亏格，y ( k ，) 等影k ，7 77 0 年代，n h x u o n g 和刘彦佩对图的最大亏 格问题进行了研究刻画08 0 年代n r o b e r t s o n 和p d s e y m o u r 的次形工程 ( m i n o rp r o j e c t ) 和t h o m a s s e n ，r o b e r t s o n ，v i t r a y 及m o h a r 等人提出的 表示数或称面宽理论，又开拓了拓扑图论的新的领域 拓扑图论中有一著名问题，即“强嵌入猜想”，任给2 一连通图g ，它都可 以强嵌入到某一个哇b 面，即一个紧的2 维流形s ( 可定向或不可定向的) 上 连通图g 在曲面s 上的一个嵌入指存在一个拓扑同胚映射h ：g s 使 得s h ( g ) 的每个连通分支与圆盘拓扑等价，而s h ( g ) 的每一个分支称为 一个面若每个面的边界与单位圆拓扑等价，这样的嵌入称为强嵌入图g 的亏格7 ( g ) 是指最小的整数g ( g ) 使得g 可以嵌入到曲面岛上，而图的最 大亏格指7 m ( g ) 是指最大的整数9 ( g ) 使得g 可以嵌入到曲面岛上：图的 强最大亏格指最大的整数g ( g ) 使得g 可以强嵌入到曲面；岛上。图的最大 亏格一直是拓扑图论中一直十分活跃的分支r d u k e 于1 9 6 6 年，s s t a h l 在1 9 7 8 年分别证明了著名的关于图的亏格的插值定理，即图的亏格区间和 叉帽区间分别为【( g ) ，协( g ) 】和【- t 。( g ) ，可m ( g ) 】，h p 两个连续区间内的所 有整数 对于图g ，如果 m ( g ) = 【巨譬j ，称图g 是上可嵌入的。，其中z ( g ) = f v ( c ) f f e ( g ) f + 1 称为图g 的b e t t i 数如果嵌入是不可定向的，早在 7 0 年代末，r i n g e l 和刘彦佩等独立地证明了图是上可嵌入的关于图在可 定向曲面上的最大亏格的研究，可参见文献【5 3 】，【5 6 】，【7 6 1 ，【2 5 】等力一“一 本文主要研究图的强嵌入，菸夯天苇矿 o ，第一章，介绍了主要的定义和一系列与图的最大亏格相关的基本定理 图自圈秩是刻茴图的最大亏格的一个重要参数圈秩的表达式已有很完美的 刻画然而，与圈秩相对应的参数。节点秩的确定，却是一个很难的问题 目前已有的结果，也是对一些很基本的图类进行的研究在这一章，对部分 图，给出了明确表达式对另外一些图类，给出了一个上界，并且这个上界 是可达的 第二章，得出了一些平面图的强最大亏格本章的结果是在刘彦佩先生 2 的研究成果的基础上，进一步研究图的强嵌入的相关性质以及图的强最大亏 格这一章的结果包含极大外平面图。平面3 正则海林图、广泛3 一正则海 林图以及不舍不交圈的平面图的强最大亏格 第三章，对于一些非平面图，给出了其强最大亏格图的强嵌入的存在与 否问题是有一定难度，目前国内外的研究仅限于对具有某种结构和特定性质 的图在一定曲面上的研究包括前一章所研究的图类在内，这一章的结果同 时支持双圈覆盖猜想和少双圈覆盖猜想本章讨论的非平面图包括完全图， 与完全图相关的图类以及3 一正则图 第四章，刻画了从已知平面图出发，通过一种运算衍生出来的图是否平 面，是否收敛的问题以及这种运算所具有的一些性质 第五章，大部分的图类是否有某一曲面上的强嵌入仍是一个国际难题， 所以确定图的强最大亏格进一步增大了问题的难度于是，这一章确定了一 类图的少面数强嵌入这个数，对某类图来说是一个上界也就是说。对一 类图来说，具有这个面数的强嵌入一定是一个最大亏格强嵌入给定的这类 图的强嵌入仍然满足少双圈覆盖猜想 第六章，讨论关于强嵌入的插值定理我们指出。不论d u k e 型( 可定 向) 插值定理还是s t a h l 型( 不可定向) 插值定理对于强嵌入都是不成立的 一 这里的结果不仅回答了a r i s k i n 和d w b a r n e t t e 提出的公开问题，并且他 们的结论可以从本章的结果推出 ， 7 - 关键词：塑堂叁! 翌婴 k e yw o r d s ：s t r o n ge m b e d d i n g m u m g e n u s ，g r a p h 最大亏格，图 - _ - - c i r c u i td o u b l ec o v e r ，m a x i - e x t e n d e da b s t r a c t 3 a sm a n yo t h e rb r a n c h e so fg r a p h t h e o r y ，t h es u b j e c to ft o p o l o g i c a l g r a p ht h e o r yh a sah i s t o r yo fm o r et h a nt w oh u n d r e dy e a r s g r a p he m b e d d i n gi nab r o a ds e n s eh a v ee x i s t e ds i n c ea n c i e n tt i m e p r e t t yt i l i n go ft h e p l a n eh a v eb e e np r o d u c e df o ra e s t h e t i co rr e l i g i o u sr e a s o n g r a p he m b e d d i n g p r o b l e m sa l s oa r i s ei nt h er e a lw o r l d ，f o re x a m p l ei nac o n n e c t i o nw i t ht h e d e s i g no fp r i n t e dc i r c u i t s a l s o ，a l g o r i t h m si n v o l v i n gg r a p h sm a yb ev e r y s e n s i t i v ec ot h ew a yi nw h i c ht h eg r a p h sa r er e p r e s e n t e d ac e r t a i ng r a p h e m b e d d i n gm a y b eac o n v e n i e n tr e p r e s e n t a t i o n g r a p he m b e d d i n g a l s oa r i s ei nh a r m o n i c a n a l y s i so ns u r f a c e s i ns o l v i n g t h el a p l a c ee q u a t i o n u = 0o nas u r f a c e a na p p r o x i m a t es o l u t i o nm a y b e f o u n db yc o n s i d e r i n gad i s c r e t ev e r s i o no ft h ee q u a t i o no na na p p r o p r i a t e g r a p he m b e d d e do nt h es u r f a c e s i g n i f i c a n tt h e o r e t i c a lr e s u l t so nt h ei n t e r p l a yb e t w e e n t h et w o t y p e so fp r o b l e m h a v eb e e ne s t a b l i s h e db ym k a n a i 2 9 i n1 8 7 8 ，t h ew e l l k n o w n4 一c o l o rp r o b l e mw a s g i v e n o f f i c i a lr e c o g n i t i o nb y c a y l e y , a n d i n1 8 9 0 h e a w o o d g e n e r a l i z e d t h e4 - c o l o r p r o b l e mf r o ms p h e r et o g e n e r a ls u r f a c e s i n1 9 6 8 ，r i n g l e 5 6 】a n dy o u n g ss o l v e dt h ec l a s s ! c a ! h e a w o o d m a p - c o l o r i n gp r o b l e m f r o m t h e n o n ，n u m e r o u s f o ! ! o w - u p n v e s t i g a t ! o n s w e r e a p p l l e dt om a n y o t h e rg r a p he m b e d d l n g p r o b l e m s i ns e v e n t i e s ，y p l ! u 1 3 7 1 a n dn h x o u n g 7 6 】i n d e p e n d e n t l ys t u d i e dt h ep r o b l e mo fd e t e r m i n i n gt h e m a x i m u m g e n u s o f a 跹a p h o nn o n o r i e n t a b l e s u r f a c e s i n l1 9 9 0 s in ? r e b q r t s o n a n d r p v i t r a y 5 8 p o s e dt h er e p r e s e n t a t i v i t yo f s u r f 蟹ee m b e d d i n g t h e f i e l d o f t o p o l o g i c a lg r a p ht h e o r y h a sg r e a t l ye x p a n d e di nr e c e n t ”a r s ，a n di th a s b e e nu s e di nm a n y f i e l d s ，s u c ha sv l s il a y o u t ，t h e o r e t i c a ic o m p u t e r , s c i e n c e ， c o m b i n a t o r i a la l g o r i t h ma n ds oo n i n t o p o l o g i c a lg r a p ht h e o r y , t h e r ei saf o l k l o r ec o n j 叩t u r ec o n c e r n - i n gs u r f a c ee m b e d d i n g - s t r o n ge m b e d d i n gc o n j e c t u r e ，i e ，e v e r y $ - c o n n e c t e d g r a p hg c a nb ee m b e d d e do ns o , b es u r 才6 c es u c ht h a tt h eb o u n d a r y 啦e a c h a c eo lt h ee m b e d d i n gd ，gt sh o m o r n o r p h i ct ot h eu n i te r c l 己，as u r f a c ei s a2 - d i m e n s i o n a lc o m p a c tc l o s e dm a n i f o l dw i t h o u tb o u n d a r y , w h i c hc a nb e s e e nw h a ti so b t a i n e db yi d e n t i f y i n ge a c hp a i ro fe d g e sw i t ht h es a m el e t t e r a l o n gg i v e nd i r e c t i o no nap o l y g o n ，d e n o t e db ys a sw e l l ，w i t he v e nn u m - b e ro fe d g e s w h i c hi st o p o l o g i c a l l ye q u i v a l e n tt ot h ed i s c t h el e t t e r so n e d g e ss a t i s f yt w oc o n d i t i o n s ：a ) e a c hl e t t e ra p p e a r se x a c t l yt w i c eo ns ；b ) e a c ho c c u r r e n c eo fal e t t e rw i t hap o w e rw h i c hi s1o r 1t od i s t i n g u i s ht h e 4 t w od i r e c t i o n so ns i ft h et w oo c c u r r e n c e so fe a c hl e t t e ri nas u r f a c ea r e w i t hd i f f e r e n tp o w e r s ，t h es u r f a c ei ss a i dt ob eo r i e n t a b l e ；o t h e r w i s e ，n o n o r i e n t a b l e 3 5 a n ( o r2 - c e l l i ns o m er e f e r e n c e s ) e m b e d d i n go fag r a p hgo n as u r f a c esi sas e to ft r a v e l s ( c l o s e dw a l k sw i t he d g er e p e t i t i o r ia l l o w a b l e ) s u c ht h a te a c he d g eo c c u r si ne x a c t l yt w oo ft h e m ，a n da te a c hv e r t e xa l l + t h e i n c i d e n te d g e sa r ei nt h es a j n ee q u i v a l e n tc l a s sd e t e r m i n e db yt h es f i c c e s s i v e h e s so nt h et r a v e l s a ne m b e d d i n gi ss a i dt ob e s t r o n g ，i fe a c hf a c eb o u n d a r y i sac i r c u i t ( 2 - r e g u l a rc o n n e c t e dg r a p h ) as t r o n ge m b e d d i n gi sa l s os o m e t i m e sc a l l e dac i r c u l a re m b e d d i n g ，s e e 5 4 ，c l o s e d2 - c e l le m b e d d i n g ，s e e 5 9 ， 7 7 7 9 t h ec o n j e c t u r ew a so r i g i n a l l ye m e r g e di n 【2 1 ，a n dt u t t es a i dt h a t ：”i h a v eb e e np u z z l e dt of i n da no r i g i n a lr e f e r e n c e it h i n kt h ec o n j e c t u r ei s o n et h a tw a sw e l le s t a b l i s h e di nm a t h e m a t i c a lc o n v e r s a t i o nl o n gb e f o r ea n y o n et h o u g h to fp u b l i s h i n gi t ”s e v e r a lo t h e rc o n j e c t u r e sp o s e db yy p l i u 3 6 i n2 0 0 0 ，w h i c ha r es t r o n g e ro rw e a k e rt h a ns t r o n ge m b e d d i n gc o n j e c t u r e ， a r ev e r yc l o s e l yr e l a t e dt os t r o n ge m b e d d i n gc o n j e c t u r e t h ec o n j e c t u r e h a sc l o s e l yr e l a t i o n st ot h ef a m o u s5 - f l o wc o n j e c t u r eo f 1tutte6s a n dc i r c u i t d o u b l ec o v e rc o n j e c t u r e ，p o s e db ys z e k e r e s 6 3 】a n dp d s e y l n o u r s 1 f o r a2 - c o n n e c t e dg r a p hg ，i fg c a nb es t r o n g l ye m b e d d e do n0 1 s u r f a c e ，t h e n t h ef a m i l yo ft h ec i r c u i t sw h i c ha r ef a c eb o u n d a r i e si f ：t 5 i sj 试b j d d m gi s a c i r c u i td o u b l ec o v e r ：o fg c u r r e n t i y ，缸滴l - 潞岔鲫c t s a n g 甜1 i 玲锄缸 c u i td o u b l ec o v e rc o n j e c t u r ea r eb a s i c a l l y r e s e t r i ；t 甜f 越! f ；f 警d ，。；每x 龇 c l a s s e so fg r a p h s 【1 9 】，g r a p h sw i t hac e r t a i nm i n d 一譬茹1 u d 占a1 a n d ”s o ，m p e 缸e d e s s t o 哪c d 。c n d i c ：c o 璐i r c u 玉i td ：o h u e b m i l en i c o m u v e r m c c o n 叽j e j c t t ! u r r e e 恶c a p n l 够b e 呼翌黧基髫毫擎鞭t h r o u g 舀h()s m q m 蛳2 圃的 e x c l u d e dm i n o r s 【2 】 n o w h e r ef l o w s 8 1 ，9 2 ，c y c l d a 矗9 酃函i l 溢? 盛 t o p o - l o g i c a la p p r o a c h 西面a n d s oo n a m o n g t h e 如嫡t 。h “$ 各o f o g l j ma p p r o a c h h a sn o tb e e nm u c hd e v e l o p e dv e r ym u c h 7 9 c u r r e n t l y 。t h e 。b t u d 梦：b fs t r o n g e m b e d d i n gh a sn o tm a d em u c hp r o g r e s s i tw a so n l yr 幽t r 迹t dt op r o j e c t i v ep l a a rg r a p h 5 8 ，s t r o n ge m b e d d i n g o fg - c o a t i , t e ap l a n a rg r a p h so n h e n o n o r i e n t a b l es u r f a c e 5 4 ，g r a p h sw i t h o u t 蚝a s am i f i b r 8 0 ，g r a p h sw i t h o u t m i n o r s 5 9 】a n d4 - 5c r o s s c a pe m b e d d a b l eg r a p l i s 7 7 t h ef o c u so fa t t e n t i o no ft h ed i s s e r t a t i o ni ss o m ep r o b l e m sr e l a t e dt o s t r o n ge m b e d d i n g so fg r a p h so n s u r f a c e so fh i g h e rg e n u s ，w h i c hi n c l u d et h e i n v a r i a n to fm a x i m u mg e n u s ，t h es t r o n gm a x i m u mg e n u so f j s m ep l a n a ra n d n o n p l a n a rg r a p h sa n dt h es t r o n ge m b e d d i n g so nh i g h e rs u r f a c e s ，a n d t h e i n t e r p o l a t i o nt h e o r e mf o rs t r o n ge m b e d d i n g i tc o n s i s t so f s i xc h a p t e r s 5 t h em a x i m u m g e n u so fag i v e ng r a p hh a sb e e np a i dc o n s i d e r a b l ea t t e n t i o ns i n c et h ei n t r o d u c t o r ya r t i c l eo ft h em a x i m u m g e n u so fag r a p hb y n o r d h a u se to l i n 【5 3 】i nt h es t u d yo ft h em a x i m u mg e n u s ，o no n eh a n d w ew i s ht of i n ds o m ec l a s s e so fu p p e re m b e d d a b l eg r a p h s ，a n do nt h eo t h e r h a n dw ew i s ht of i n dal o w e rb o u n do ft h em a x i m u m g e n u so f a g r a p h - b a s e d o ns o m ei n v a r i a n t so rs t r u c t u r a lc h a r a c t e r i z a t i o no fag r a p h s ，m a n ya u t h o r s g a v es o m e r e s u l t so nt h e s ea s p e c t s f o re x a m p l e ，i nt e r m so ft h ec o n n e c t i v i t y c o n d i t i o n s ，n e b e s k 口 4 6 ，4 7 】s h o w e ds o m ei n f i n i t ef a m i l i e so fu p p e r e m b e d d a b l eg r a p h s ，w h i l em a n ya u t h o r sa si n 1 2 ，1 3 】f o u n ds o m el o w e rb o u n d so f t h em a x i m u m g e n u s l e tt b eas p a n n i n gt r e eo fag r a p hg a c o m p o n e n t i n g e ( t ) i ss a i dt ob eo d d i fi th a so d dn u m b e ro fe d g e s l e t ( g ，t ) d e n o t e t h en u m b e ro fo d dc o m p o n e n t si ng e ( t ) t h ev a l u ef ( g ) = 喇n ( g ，t ) ， w h e r et h em i n i m u mi st a k e no v e ra l ls p a n n i n gt r e e sto fg i sc a l l e dt h e d 币c i e n c yn u m b e r o fg al e m m a i n 【7 6 】d u et ox o u n gg a v e ac o m b i n a t o r i a l e x p r e s s i o no ft h em a x i m u mg c ! n u sa n dan e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n t c o n d i t i o n f o rt h eu p p e re m b e d d a b l e g r a p h s t oo b t a i nt h em a x i m u mg e n u s o fa g r a p h ， t h ec y c l er a n ki sak e yi n v a r i a n tt oc h a r a c t e r i z ei t c o r r e s p o n d i n gt ot h e c y c l er a n k ，t h ei n v a r i a n ti s c a l l e dd e c y c l i n gn u m b e r t h ek n o w nr e s e a r c h i sl i m i t e dt os o m ee l e m e n t a r yg r a p h s ：i nc h a p t e r1 ，t h ed e c y c l i n gh u m b e r o fs o m eg r a p h si si n t r o d u c e d e x c e p ! f o rt h i si n v a r i a n t ，扣8 臻垮粤册a m o n g s o m ec o n j e c t u r e sa r ep r e s e n t e dt o o rn i ti sk n o w nt h a te v e r y2 - c o n n e c t e dp l a n a rg r a p hh a sas t r o n ge m b e d d i n g a n di ti so ft h es t r o n gm i n i m u m g e n t s ：i jc h a p t e r2 。t 舶s t r o n g 。国蜘通m g e n u s o fs o m e p l a n a rg r a p h s a x es h o w n f r o mt h ed e f i n i t i o no fs t r o n ge m b e d - d i n g ，w ek n o wt h a tf o ra n ys t r o n g 。e m b e d d i n go f 争g i y e ng j - a p h , t ，h q e n u ：m b e r o ff a c e sa r eg r e a t e rt h a nt h em a x i m u md e g r e eo ft h eg r a p h c o m b ! n e dw i t h o t h e ri m p o r t a n ta t t r i b u t i o n s ，t h es t r o n gm a x i m u mg e n u so fs o m eg r a p h si n t h i sc h a p t e ra r es t a t e da sf o l l o w s ： t h e o r e m2 1 t h es t r o n gm a x i m u mg e n u so fm a x i m u mo u t e r p l a n a r g r a p h sc a nb eo b t a i n e db ya na l g o r i t h m - t h e o r e m2 2i h en o n o r i e n t a b l es t 而n gm a x i m u mg e n u so ，p l a n a r3 一 r e g u l a rh a l i ng r a p h sw i t ho r d e r ni s 凳一1 t h eo r i e n t a b l es t r o n gm a x i m u m g e n u so fp l a n a r3 - r e g u l a r 肌砌g r a p h s w i t ho r d e rne q u a sz e r o t h e o r e m2 3 f o r3 - r e g u l a r p l a n a r h a l i ng r a p hg o fo r d e r 礼，v k ，1 k * 一1 ，g ds t r o n ge m b e d d i n go nn k ( d c l o s e ds u 盯h e ew i t hkc r o s s 。 6 c a p s ) t h e o r e m2 4 s u p p o s egi s p l a n a rh a l i ng r a p hd ，o r d e rna n dd i d e n o t e s 地en u m b e ro l e n 。e so l d e g 肥8 ，t h e n 钆 f ( g ) = 萎( 2 一 ) d 、一1 - t h e o r e m2 5 s u p p o s eg i sag e n e r a lh a l i ng r a p hd e t e r m i n e db ya y o r e s tf t h e n - g ) = ；一kw h e r eki st h en u m b e ro fc o m p o n e n t si nf t h e o r e m2 6t h em a x i m u m s t r o n ge m b e d d i n g0 ，p l a n a rg r a p h sw i t h o u tt w od i s j o i n tc y c l e se x c e p to n ec ec a nb ed e t e r m i n e d a n d | o rt h i sk i n d o g r a p h s 。al o w e rb o u n do lt h e mc a nb ei o u n d i nt h e o r e m2 6 ，t h eu p p e rb o u n dm i n u st h el o w e rb o u n di s1 i ti sv e r y c l o s et ot h em a x i m u m g e n u s i nc h a p t e r3 ，t h es t r o n gm a x i m u m g e n u so fs o m en o n p l a n a rg r a p h sa r e s t a t e d t h es t r o n ge m b e d d i n go f2 - c o n n e c t e dp l a n a rg r a p h si s e a s yt ob e o b t a i n e d ，b u tt h ep r o b l e mo f t h ee x i s t e n c eo fs t r o n ge m b e d d i n g o f n o n p l a n a r g r a p h si ss t i l la no p e np r o b l e m t h em a i n t h e o r e m si nt h i sc h a p t e ra r e ： t h e o r e m3 1 吼m ( 珞) = ! 学+ 3 t h e o r e m 3 2 钆村( 一e ) = 巫等皇上+ 2 t h e 。r e m3 3 矗( 如舀：) 二立挚年学鞭= “l ：+ ” t h e o r e m3 4 g = 苗塌h a 8 an 由r e g u l a r e r 概4 d i n 覃o n 旃8 n o n o r i e n t a b l es u r f a c eo f g e n u s 业乎十掣十7 一_ ，： t h e o r e m3 5 讯 f ( k - m 白) = 巫等盟+ m w h e r es 二r a i n m ；n ) 一1 。 t h e o r e m3 6l e tgb ea3 - r e g u l a i 驴劫 t h e n t h ij o u o w i n gt h r e e s t a t e m e n t sa r ee q u i v a l e n t ： ( i ) a3 - r e g u l a rg r a p hg h a sas t r b n ge m b e d d i n gw i t he x a c t l y3 ，o c e s ； ( i i ) gh a sac i r c u i td o u b l ec o f f e rc = a ，岛，岛 ( 删g h a sa1 - l a c t o r i z a t i o nm = 胍，) a n dm 1 _ u m 2 ，m i u m 3 ， 尬u 尬a r e h a m i l t o nc i r c u i td ，g t h e o r e m3 6c h a r a c t e r i z e st h es t r o n gm a x i m u mg e n