（基础数学专业论文）几类二项式系数和序列的同余性质.pdf

摘要 二项式的研究至今已有近七百年的历史二项式系数和序列的递推公式是 数论研究中的重要问题。本文将主要利用整除理论，同余理论对几种二项式系 数和序列的同余性质进行研究。 本文由四部分组成，第一章介绍了一些基础概念及其相关知识，利用整除 理论、同余理论以及相关的结论，研究了二项式系数和序列吃( ，) 的同余性质。 第二章研究了二项式系数和序列 c ，s ，= ：。( ： 7 ( 挖之七 。 在模p 2 下的同余性质。 第三章将二项式序列吃( ，) 推广成 ，= 利i 。， 同时，得到了以下结论： 对于任意奇素数p l 和七，s n ，有k ( 七，s ) = 0 ( r o o d p ) 。i 对于任意奇素数p 和七，f ，p 一1 有 + ，( ，s ) 量( r + s ) 6 f ( ，s ) ( m o d p ) 第四章讨论了二项式系数的同余性质，得到了特殊指数与它所满足的多项 式递推公式的相关结果，证明了，= 3 ，j = 1 不存在三项递推公式的结论。 关键词：二项式系数；递推公式；同余；模 a b s t r a c t i th a sn e a r l y7 0 0y e a r sh i s t o r i e sa b o u tt h eb i n o m i a le x p r e s s i o nr e s e a r c h i t sa n i m p o r t a n tq u e s t i o n st h a ti st h er e c u r s i o nf o r m u l ao ft h eb i n o m i a lc o e f f i c i e n t sa n d a r r a y s i nt h et h e o r yo fn u m b e r sr e s e a r c h i nt h i sd i s 磷删o l l ，t h ec o n g r u e n c e p r o p e r t i e sa b o u ts e v e r a lk i n d so ft h eb i n o m i a lc o e f f i c i e n t sa n da r r a y sa r em a i n l y s t u d i e db yu s i n gd i v i s i o na n dc o n g r u e n c et h e o r i e s t h i sp a p e ri sc o m p o s e dm a i n l yo ff o u rp a r t s t h ef u n d a m e n t a lc o n c e p t sa n dt h e r e l a t e dk n o w l e d g ea r ei n t r o d u c e da n dt h ec o n g r u e n c ep r o p e r t i e sa b o u tt h eb i n o m i a l c o e f f i c i e n ta n da r r a y 吮( ，) a r cm a i n l ys t u d i e db yu s m gd i v i s i o n ，c o n g r u e n c e t h e o r i e sa n di n t e r r e l a t e dc o n c l u s i o n si nt h ef i r s tc h a p t e r t h ec o n g r u e n c ep r o p e r t i e sa b o u tt h eb i n o m i a lc o e f f i c i e n ta n da r r a y a a r 卿嚣憎丁 卿= ：。川玎川 u n d e rm o d u l e p 2 a r ed i s c u s s e di nt h es e c o n dc h a p t e r i l l 恤t h i r dc h a p t e r , t h eb i n o m i a la r r a y 瓦( ，) i se x t e n d e dt o ，= 利n 。 m o r e o v e r , t h ef o l l o w i n gr e s u l t sa r eo b t a i n e dt h a t ( 七，s ) = 0 ( m o d p ) i s t r u ef o re v e r yo d dp r i m en u m b e rpa n d 七，se ； “( ，s ) - a k ( r + s ) b t ( r ，s ) ( m o d p ) i s t r u ef o re v e r yo d dp 面1 cn u m b e rp a n d 七，f n ，t p 一1 i i l 也ef o u r t hc h a p t e r , t h ec o n g r u e n c ep r o p e r t i e so ft h eb i n o m i a lc o e f f i c i e n ta r e d i s c u s s e da n dt h es p e c i a li n & xa n dt h er e l a t e dr e s u l t sa b o u tt h e 口蹦x 旺h 丑l c ef o r m u l a o fp o l y n o m i a l sw h i c hi ts a t i s f i e sw i t h f u r t h e r m o r e ，t h e 陀s m tt h a ti td o c s n te x i s t t h r e er e c u r r e n c ef o r m u l a si so b t a i n e d k e y w o r d s ：b i n o m i a lc o e f f i c i e n t s ；l e c u r r e n c gf o r m u l a ；c o n g r u e n c e ；m o d u l e ) 1 刖舌 二项式系数又称帕斯卡三角o1 2 6 1 年，我国古代著名的数字冢杨辉，在冥 详解九章算法中就已经使用到了帕斯卡三角，所以在国内常被称为“杨辉 三角 。事实上，二项式定理的发现，我国至少要比欧洲早3 0 0 年。 二项式系数l ： 的数学定义是( 口+ 6 y 的展开式中矿矿。的系数，它与 b e r n o l l i 数，c a t a l a n 数，f i b o n a c c i 数，以及许多组合问题有着非常密切的联系， 很多学者致力于这方面的研究，得出了一系列非常好的结果 对于二项式系数和递推公式的研究已有很长的发展历史，而a p e r y 关于序列 = ：。( ： 2 ( 忍：七) 2 的研究为实数无理性的证明带来了新的研究高潮。 蛳8 年v 趾a e r p 。一t q 证明了棚序列：。坝以珂满 足多项式递推公式： 刀3 q ( ，j ) 一( 3 4 n 3 5 1 n 2 + 2 7 n - 5 ) a , , - l ( ，j ) + ( 刀一1 ) 3 2 ( ，s ) = 0 ，刀2 1 9 9 4 年到1 9 9 5 年间，s c h m i d t 讨论了这个序列的一些性质，这为研究一系 列相关递堆公式提供了重要的工具。 1 9 9 5 年，我国的袁进教授和a l s c h m i d t 【4 】给出了二项式系数和序列 s ( 刀) = 薹c ： 的同余性质和其满足的多项式递推公式的一个非平凡下界，即不 存在非平凡整系数多项式昂( 珂) = e o + q 刀+ + 气刀艉，日( 以) = d o + 碣刀+ + 吒刀研 使昂( 行) 母+ 1 ) + 墨( 刀) 母( 疗) = 0 成立。 1 9 9 9 年和2 0 0 0 年，袁进教授和h d i c k i n s o n 1 1 给出了二项式系数和序列： = 委( ：) 1 ( ：+ 七) r i ( ：+ 加七) ，。，厂k 为非负整数，所能满足的多项式 递推公式的下界估计。并给出了( ，s ) = ：。( ： 7 ( 刀：七丁在模p 的同余性质。 在稍后的几年内，袁进教授的学生田径，鲁志娟等对二项式系数和序列 儡( ，s ) 在模p 下的周期性和同余性质进行了研究。2 0 0 8 年，潘琼和田径给出了 对任意素数p 2 ，整数，艺2 ，自然数k ，有 ( 1 ) a p ( r ) 兰2 ( r o o d p 2 ) ； ( 2 ) 当r 为偶数时 l ( r ) = - - p p r ( m o d p 2 ) ，吃p l ( ，) - - 2 p 一4 p ( m o d p 2 ) ； 当r 为奇数时 州小，针”+ 卜力， 吒户。p ，量2 + 4 ，( ；) + i p + + ( 二一。 ( m o d p ，； ( 3 ) ( ，) - a p ( r ) ( m o d p 2 ) 等结论。 本文主要利用以上研究成果，对几种类型的二项式系数和序列的同余性质 进行了讨论。二项式系数和序列的研究，不仅仅有它本身的数学研究价值，同 时它还对实数的无理性证明和无理性测量具有十分重要的意义。 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解学校有关保护知识产权的规定，即：研究生在校攻读学位期间 论文工作的知识产权单位属于西北大学学校有权保留并向国家有关部门或机构 送交论文的复印件和电子版本人允许论文被查阅和借阅学校可以将本学位论 文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印，缩印或扫描等复 制手段保存和汇编本学位论文同时，本人保证，毕业后结合学位论文研究课题再 撰写的文章一律注明作者单位为西北大学 保密论文待解密后适用本声明 劫芦筹嚣| | 修劫d 年夕月弓日 l 指剥撇：袁世 2 ( ) ( 。年n37 日 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所里交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，本论文不包含其他 人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得西北大学或其它教育机构的学 位或证书而使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在 论文中作了明确的说明并表示谢意 学位论文作者签名：彳i 锯， f o 年j 乡其弓1 日 第一章基础理论知识 1 1 整除理论 定义l 设口，b z , 6 1 0 ，如果存在q z ，使得b = 凹，则称b 能被口整除， 或者口整除b ，记作：口i b 性质1 ( 整除的传递性) 若a l bh _ b i c ，则口l c 性质2a b 且6 c 对任意的x ，y z ，有a l b x + c y 一般的若口i 岛，a l b 2 , - , a | b 。同时成立，则对任意的五，而，毛，黾z 可推出 a l 岛五+ 6 2 而+ + 圾黾 性质3 设m 0 ，那么a b 营m a m b 性质4 设( m ，口) = 1 ，那么，若m a b 则m b 1 2 同余理论 同余理论是数论学科中非常重要的知识，由于同余概念的提出，极大的丰 富了数学研究的内容，我们在这一节介绍同余的有关概念知识和一些基础知识。 定义2 设m 0 ，若m a b ，即口一b = k m ，则称口同余于b 模m ，记作 口- = b ( m o d m ) 性质5 同余是一种等价关系，即： a 三a ( m o d m ) ：a 毒b ( m o d m ) b 三a ( m o d m ) ； 口暑b ( m o d m ) ，b 兰c ( m o d m ) j a 兰c ( m o d m ) 。 性质6 同余式具有可加性，即： a - - b ( m o d m ) ，c 兰d ( m o d m ) ，则口+ c = b + d ( m o d m ) 。 性质7 同余式具有可乘性，即： 口暑b ( m o d m ) ，c 暑d ( m o d m ) ，则d e = b d ( m o d m ) 。 性质8 同余式c a c d ( m o d m ) ，等价于：a = - b ( m o d m ( c ，m ) ) ，特别是当 ( c ，m ) = l ，同余式口兰c b ( m o d m ) 等价于口三b ( m o d m ) 。 引理1 设m a ，0 1 2 a ，( 鸲，m ) = l ，若鲁兰r ( m o d m ) ，- 1 2 ( m o d m ) ，那么， 口l i 瓦a 曼，( m o d m ) 。 证明：瓦a 一，= 而所，一之= 乞聊，毛，乞z ，那么 口= b l l ( r + l c l m ) = 6 ( 乞m + 乞) ( ，- + 毛所) = b r l 2 ( m o d m ) 由性质8 得：昙- r ( m o d m ) 。 0 1 2 引理2 对任意素数p 和整数，当歹p 一时，有p l ( 多) 证明：由1 j p - 1 ，可得出：p ，力= ( p ，j - 1 ) = = ( p ，1 ) = l ，而 防志= 业j ( 群j 21 是整数，所以笺等掣21 炯样为 l _ ，! o 一) ! 一1 ) j u 一1 ) 整数。若立，二2 二q 二丛旦不是整数，则有p l 歹( ，一1 ) 2 1 ，这和 歹u - 1 ) 2 1 叫 。 p ，j f ) = ( p ，j 一1 ) = = ( p ，1 ) = 1 矛盾产生，所以得出的结论：p l ( 1 _ j _ 5 ，那么( = 1 ) 三们。 以上定义及相关性质来自于参考文献【1 】 2 1 3 相关定理 1 3 1 多项式定理 设n 是整数，而，屯9 e 9 是任意k 个实素数，则 c 而+ 砂剐”批邑硼矗一+ 2 + 。j t i 硼1 ：7 匕k 7 k ： 叠 证明：0 1 + z 2 + + ) ”是有n 个因式 1 + x 2 + + ) “的乘积，其中它的 展开式共有k ”项，那么可以按照以下方法进行分类： 设屯”气展升式甲任蒽一坝，如果在气”甲硐啊个而，n 2 - i x 2 ， 吃个黾，( 啊+ 吃+ + n k = 刀) 则把气+ 气+ + 气归于( 啊，吃，) 类，很明显的 可以得出属于( 啊，伤，仇) 类的项的个数等于有n 1 个x l 皿个x 2 ，黾个黾做成 的全排列数，得出百告习，所以在o l + ，+ “+ ) ”的展开式中，得出砷， 砖，母的系数为百而爰习。由此可得出多项式的结论是成立的。 1 3 2 二项式定理 设刀是正整数，x 和y 是任意素数，贝l j ( 川卜孔p t 证明由以卜名i 面式的常揶可以得小! ( 州) 刀= 丕珧n ! ! x 少( 七，s 为非负整数) = 。卸托飞月n 一 五夕：x y h = 毫( ：弘少4 1 3 3p a s c a l 公式 对于满足l 5 ， 那么( = 1 ) 暑们。 当，p 一时，因为p l ( 歹 ，于是p 2 i ( 乡) 7 ，当歹= p 时，由引理3 得 知：对于任意始5 ，= 2 ( = 羞2 删p 2 ，。 鼽3 时，= 2 0 = 2 3 2 朋以 咖，= 豺埘创吲小2 3 力。 当o _ ，p 一2 时，则p i q + 歹) ! ，但_ ，u + 1 ) ! 仞一1 ) ! ，从而 由此可知： “ ，= 敬1 ”卅5 = 敬1 ) ( 甾：玎 暑w 卜渺，。 当歹p 一时，因为p l ( 乡) 2 ，于是p 2 l ( 岁 7 ，所以 咋c ，s ，= 筹( p 歹1 ) 7 ( p l + ) = ，：。 ( ，p + ( 歹：。 7 ( p 0 + 歹) 小c 2 p 州卅印+ 2 3 ) 郴川，旷h 筹f d 丁 小c 一2 州3 + p l + ( 2 煳一 当。，p 一2 时，因为p l ( 2 p ? + 歹) ，于是p 2 i ( 2 p 了+ ， 5 ，所以 讪曲= 翟 7 p 七丁 基驴n 一 + d “h 一。 “七丁 毫( p + 苫一。 ( p + 苫一。丁+ ( p + 譬一。) ( p + 。+ p 丁 毫l ( m o d p 2 ) 垆姜( 爿( 譬叮兰嘉曙) r ( ? 丁+ 荔( 蠹，) 7 ( 等丁 6 + 一kp dj 叶 = + + p ， ，l p 当o _ ，七，l i p 时，有p 川l ( 助) ( 助一1 ) ( 幼一( 彦+ j ) + 1 ) ，但是， p 川l c 川m 所以p 陋，) ，于跗陋，) ，由炯以得出以下躺 f 助1 幼( 助一1 ) i 印一( p 一1 ) l ( 印一p ) i 助一u 一1 ) p | ( 幼一j p + i ) il = - - - - - - - = - - - - - 二二- 二= - - - - - - - - - 二二- - - - - - - - - - - - - - - - 一 t j p jj p ( j p - 1 ) l 彦一q 一1 ) i ( 印一p ) l 彦一u 一1 ) p | 3 2 1 kp(kp=-p)磊(kp-丙2p)币kp而-(j习-1)pjp(jp p ) ( j p2 p ) j p1 ) p 宣( m o ) 一一 l 一( j f il j 、 17 腿礁( 警m q - ，( r o o d j p 2 ) ，代人以下公勰 l 彦l 1 以加霎( 了 7 ( ? 丁+ 茎。( 钳( i 丁+ 一。毛i ，- - 1 。( 了) ，( 譬叮+ 争f 、, 幼j p l r ) f t ”j p 彦) j 暑鲥。稚5 ，删们 这样我们就完成了定理的证明。 7 第三章二项式序列以( ) 在模p 和模p z 下的同余性质 3 1 引言及结论 关于序列= ：；。( ：) 7 ，大家都尝试找出它的多项式递推关系，经过计算 我们发现该序列相近的两项具备以下的关系： = 2 + ：( ； ：；。( 七n 一。 ( 七：。) h 本文把序列吃( ，) 推广成( ，力= 喜( ： 7 ( 七n 1 5 ，在第一章中我们已经给 出序列瓦c ，在模p 下的同余性质，对于吃c ，一= 喜( ： 7 ( 七：， 我们可以得出 以下几个结论： 定理1 对任意奇素数p 和七，se ，有( ，s ) - o ( m o d p ) 。 定理2 对任意奇素数p 和七，s ，f ， 0 ，若p + 岛朋) l ( 口+ 毛珊) ，b a 且删不整除6 ， 则有譬竽兰a ( m o d m ) 。 6 + i 【、mu 证明：设而a + l q m = ，詈2 l 那么口+ 毛历= p + 乞册= f 2 6 + 毛朋= 驴+ 厶岛所， 心一厶) 6 = “乞一帅由于聊不整除6 ，所以坍陪厶) ，而a + l q m 兰b ( m o d 胁) 。 3 3 定理的证明 定理1 的证明 枷，= 妒j - lkjj j - lj 肥丁 ( ，s ) = l 掣ll 二，l ，1 9 = 妻( ： 7 ( 妻，) + 篁j 1kf，?j1 ) 7 ( 皇。) ，+ 薹，防 7 ( # 。) j + + 黑。防) 7 ( 声。丁c t ， 棵上舯第一仰式：北 ( 爿，其中 f ，助1 一i g , 叹k p 一1 ) ( k - y + 1 ) p ( k - j ) p + 2 】 l 彦一1 j5 弋乒矿一 因为：p j 矽( k p - 1 ) 【( j i 一歹) p + 2 】) ，而：，一1i ( 彦一1 ) ! 不整除一1 ) ! 。所 p 啤 一：北贮。卜删办 对于( 击， ，这里例，h 馗扩l 。因为 p jl 幼( 幼一1 ) ( k - j ) p ( k - j ) p - ( s 一1 ) 】 ， 而：p i ( j p + f ) ! 且p 川不整除+ 1 ) ! ， 所以：( 彦k p + ， 兰。以= o , - - , k - 1 ；i = 1 , - , p - 1 ) ， ( 3 ) 。 ( 2 ) 把( 2 ) ，( 3 ) 两式代入( 1 ) 中，由同余性质得出( 七，s ) - o ( m o d p ) 。 定理2 的证明 力= 篓( 叫5，皇l ， ， 1 = 赛( ：丁l 彦k p + 叫i + 薯( 了) 7 ( 墨卜薹。( 7 7 ( 譬卜一 + 羔( 叫( 搿+ ，警。( 叫( 譬丁 考查上式中第一个和式： 1 0 氰纠、 k p + t 肋l ( k p + 叫t = 螋地必秀警出垃刿 因为：p ji ( 幼+ r ) 切( 七一，+ 1 ) 【( 七一歹) p + h 1 】) ，而：矿1i ( 归一1 ) ! j tp 。不 整除哪所以我们可以弛p 阻f ) ，因此： 喜瞄炮i c p + 叫t l = - 0 力 。 对于f ? + ：1u ：o ，七一l ；江f + l ，p 1 ) ，所以可以得出以下同余式： k i p l 蓦( 譬r ) 7 ( 譬卜害( 譬f ) 7 ( = 丁p ， 善( 弩 7 ( 譬卜黑。( 了) 7 ( 譬丁删p ， 户篇肚。( 写r 7 ( 譬卜! ：菱，( 譬 7 ( 譬) j p ， 将它们和( 5 ) 式代入( 4 ) 式得到以下结论： c v ，兰圭j - , f ， j ) 7 r 了吖) + 黑，( ? ) ( 葛) + ，二琵。( ? ( 譬) i t ( 鬈7 r ( = ) j + ( = ，( 丁+ + ( ) ( = 丁+ p p + + f 1 1 ，jp 。p 州丁+ ( 筘) ，( 譬j 一瞄) ，( 篇卜+ ，l k p + f l 忡) l ) ，+ ( 列( 搿+ + ( 别( 嚣二1 ) 兰鲍kk p + 一t 。肥麒剖7 瞄卜+ 戢kk p + + t f 黻j p + + f t - 。丁 兰善, 缶t 瞄i c p + t 贮k p + t 卜p ， 。 对于f ? _ r1 ，这里j f = 0 ，、七；材：0 ，f l 彦+ ” 。 盼j p + u ) = 而亲笔两 一( 印+ f ) 印【( 七一j ) p + f 】 ( k - j ) p + t u + l 】= = - ；- = - ； ( j p + “) ! ：! 堑尘：! 堑竺! 丛垒尘：! 堑n 【! 查二塑旦尘：【堡二也里! 二竺卫 f ( “+ 1 ) ( j p + 材) ( j p + 1 ) u ( u 一1 ) 2 1 幼( k - j + 1 ) p ( k - j + 1 ) p - 1 ( k - j ) p + t 一1 】 归p o , 一1 ) o + 1 ) 由引理4 可知： f ，k p + t1 一七 k - u 一1 ) i 【( 七一，) p + r 】【( 七一歹) p + f 一竺+ 1 】 c s p + u ) j f !u ( u 一1 ) 2 1 埘坐u 挈( u 嵩2 掣1 ( m o l 歹j 一1 ) 、 显然：p 1 4 。由于丝望二垄旦是i g 筹专掣= ( 幼一乒+ f ) ，并且 等等掣= ( ：f ) 所以甜( 材一1 ) 2 - 1l ” 尘二! ! ：坠二生二! 塑都为整数。 “ 一1 ) 2 1 ( k p - j p ) + t ( k p + j p ) + t - u + 1 f f 聋l u ( u 一1 ) 2 1 由引理s 得l ( 伊k p + + t 材1 兰( * ( t , m o k u ) d p )l 伊+ 材 同理可证： 出k p + t 一托 p ， 把( 7 ) ，( 8 ) 两式代入( 6 ) 式得到以下结论： ( 7 ) ( 8 ) 神董善t 缶k 盼k p + t ) 7 出二。) , j - o k j u 队“二，丁 暑劐m 利5 吲姒”删p ， 定理3 的证明 班喜旺 ( 皇。卜嘉曙) 7 ( 妻，卜舀( 蠹； 7 匕笔一，丁 当o a j k ，1 f p 时，有p 7 ( k p x k p - 1 ) ( 切一( 彦+ d + 1 ) ，但是， 巾，所以p ，脚一。) ，因此 ，兰凇j - i ) 7 ( 爿。j p j p1 又因为 f 勿1 助( k p - 1 ) i k p - ( p 一1 ) i ( 助一p ) l 印一( - ，一1 ) p 卜( 幼一彦+ 1 ) l i = j = j ：l ：= ：一 t s p jj p ( j p - 1 ) j p q 一1 ) i ( j p p ) l 归一u 一1 ) p 】3 2 1 暑kp(kpj-p)磊(kp-瓦2p)面kp百-(j-丽1)pjp(jp p ) ( j p2 p )1 ) p 三昀p 2 ) ， 一一 l 彦一u l l j f 、 所哪，童则7 ( 嘉。丁删们闱地歉2 帅2i ( 嘉。卜 ( ，s ) - = o ( m o d p 2 ) 。 定理4 的证明 b p + l “沪敷1 胀j 当2 k p 时，1 p - k + l p - 1 ，2 p - k + 2 p ，可知七! ， 一七+ 1 ) ! ， ( p - k + 2 ) ! 都不能被p 整除。显然p l 。+ 1 ) i ，则此时p i ( p ：1 ) ，p i l p 七一+ l i ， 蚶性舭 p 叫+ l l 。因此薹瞄卜p 2 u 以砂中- 1 ) ，r 1 丁+ 一1 ) ，r 1 h 0 1 比：万七：1 ) ，眩1 丁删p 2 ， 叫1 + 7 ( 州) + 5 ( 州+ 1 删p 2 ) 却p + 2 + 7 ( 州) + 。( 州) 删p 2 ) 捌地尚兆魈时，7 坩丁兰。删p 2 u l ( ，s ) - - ( r + s ) p + 2 ( r o o d p 2 ) 力= 薯附 7 ( = 1 丁 当3 k p - 1 时c 此时p 川( 2 7 1 ) = 盟竽产塑，此时 p 班2 一班2 川m i ( 2 7 1 h 艺1 ) - 盟岽等塑， 此岍4 卿m 3 跏，蚓( 乞1 ) 。因此耵1 ) ，瞄卜删办 当p + 3 k 2 p - 1 时c 此眇3 ，( 2 卅= 堕等警塑， 此时3 2 ，有： 力= l ，t o a 2 ( 3 ，1 ) + d o a l ( 3 ，1 ) + q d ( 3 ，1 ) = 0 1 8 n = p ，c o a e + l ( 3 ，1 ) + d o a p ( 3 ，1 ) + e o a r _ 1 ( 3 ，1 ) = 0 n = 2 p ，c o 口2 1 ( 3 ，1 ) + d o a 2 j 口( 3 ，1 ) + e o a 2 矿l ( 3 ，1 ) - - 0 从引理6 和引理8 导出：3 1 c o + 3 , 0 = o ；9 c o + 3 d o + g o = 0 ：1 9 c o + 3 1 d o + 3 e o = o 。系 l ! ；l 三l = 一l 嚣3 3 1 1 + 3 l 苫3 3 l = 9 3 3 t 3 t + 3 c 3 3 9 3 ，= 6 。7 。 由此可得：c o = d o = e o = 0 ，即当m 0 时，定理成立。 假设m = q 成立，则当m = q + l ( q 1 ) 时： n = p + l ，9 3 + 9 或+ 3 - - o ( m o d p ) ； d 0k - - - o七由 m = 2 p + l ，7 3 1 嚷+ 1 9 噍+ 3 - o ( m o d p ) ； ，由b詈ok - - - - o 历朋 新 n = 3 p + l ，6 9 7 5 c t + 8 7 3 ) - 吃+ 3 9 9 - e k - o ( m o d p ) 行列式为： 9 39 7 3 11 9 6 9 7 58 7 3 o 所以c o = c a = 气= d o = 4 = 破= e o = e l = 巳= 0 。定理证毕。 1 9 总结 本文对几种类型的二项式系数和序列进行了研究，在以前研究的基础上得 出了哆( ，破铀( r 破以破( ， 曲在模p 2 下的同余性质，接下来讨论了二项式 系数的序列以( ，一= 耋( ： 7 ( 七：1 5 在模p 下的同余性质，推广了序列吮( ，) 在 模p 下的同余性质，最后利用了二项式系数和序列( ，s ) = 委( ：) 7 ( 刀：忌) 5 在模 p 的同余性质，得出了，- - 3 ，s = 1 不存在三项递推公式的结论。 由于时间关系以及个人能力有限，材料和知识上的欠缺，所以文章还有诸 多不足，对于二项式同余性质的研究仅仅是冰山一角，还有更多的领域需要我 们去研究和解决。这是我们今后学习努力的方向，同时也为我下一步的学习提 供了条件和动力。 2 0 参考文献 1 潘承洞，潘承彪初等数论 m 北京：北京大学出版社，2 0 0 3 2 阂嗣鹤，严士建初等数论 m 北京：高等教育出版社，1 9 8 2 3 曹汝成组合数学 m 广州华南理工大学出版社，2 0 0 0 4 袁进二项式系数和的同余性质 j 西北大学学报( 自然科学版) ；1 9 9 0 年0 4 期：4 8 5 2 5 s c h m i d ta l l e g e n d r e t r a n s f o r m sa n da p e r y s e q u e n c e s j j a u s e t a lm a t h s o ea19 9 5 ，5 8 ( 3 ) ：3 5 8 - 3 7 5 【6 】h a oh s as i m p l em e t h o do fs o l v i n gf i r s t - o r d e ri n d e f i n i t ee q u a t i o n j c h i n e s e q u a r t e r l yj o u r n a lo fm a t h e m a t i c s ，2 0 0 2 ，17 ( 3 ) ：6 2 6 9 【7 】潘琼田径二项式系数幂和序列在模心下的几个性质川纯粹数学与应用 数学2 0 0 8 0 1 ：1 5 6 - 1 5 9 8 袁进二项式系数和的同余性质 j 西北大学学报( 自然科学版) 1 9 9 9 ， 2 9 ( 4 ) ：2 7 9 2 8 1 9 田径，袁进二项式系数幂和序列在模p 下的周期性 j 西北大学学报( 自 然科学版) ，2 0 0 5 ，3 5 ( 3 ) ：2 4 9 - 2 5 0 1 0 田径二项式系数幂和序列的几个性质高等数学研究 j 2 0 0 6 ，4 ：6 7 6 9 1 1 鲁志娟，袁进，赵燕二项式系数和的同余性质及应用 j 西北大学学报 ( 自然科学版) ，2 0 0 8 ，1 0 1 7 2 1 8 0 12 y j i n , h d i c k i n s o n a p e r ys e q u e n c e sa n dl e g e n d r et r a m f o r m s j j a u s e r a l m a t h s o e ，2 0 0 0 ，6 8 ：3 4 9 - 3 5 6 【1 3 旺1 径任大卫潘琼一个求解二项式系数幂和序列递推公式的方法四纯粹数 学与应用数学2 0 0 6 0 3 9 2 9 6 1 4 任丹妮陈晓化米焕霞二项式系数和序列的同余性质阴纯粹数学与应用 2 l 数学2 0 0 9 0 1 1 9 2 2 0 2 1 5 vs t r e h l b i n o n m i a li d e n t e t l e s c o m b i n at o r a l a n d a l g o r i t h m i ca s p e c t s j d i s c r e t em a t h 19 9 4 ，13 6 ( 13 ) ：3 0 9 3 4 4 【1 6 】鲁志娟关于几类二项式系数和序列的同余性质叨西北大学学报( 自然科学 版) ，2 0 0 7 ，0 8 10 4 10 7 【17 】方辉方炜初等数论中的模p 法及其应用阴黄山学院学报2 0 0 9 0 3 6 6 - 6 7 1 8 】b u m 凡p ap a t h w a yi n t on u m b e r1 1 1 e o r y m c a m b r i d g e ，1 9 8 2 【19 】n a g e l lt i n 仃o d u c f i o nt on u m b e rt h e o r y m w i l e y , 19 5 1 2 0 1 贾悦利二项式系数和的同余性质阴四川教育学院学报2 0 0 7 2 1 1 4 8 1 5 0 【2 1 】谭明术广义二项式系数及反演叨西南交通大学学报2 0 0 4 0 4 2 1 3 - 2 1 5 【2 2 】r o t hk er a t i o n a la p p r o x i m a t i o n st oa l g e b r a i cn u m b e r s j 】m a t h m a t i k a , 1 9 5 5 ，2 ：1 - 2 0 【2 3 】b a k e ra l i n e a rf o r m si nt h el o g a r i t h m so f a l g e b r a i cn u m b e r s j m a t h m a t i k a , 1 9 6 6 ，1 3 ：2 0 4 - 2 1 6 【2 4 】b a k e ra l i n e a rf o r m si nt h el o g a r i t h m so fa l g e b r a i cn u m b e r s j i b i d , 19 6 7 ， 1 4 ：1 0 2 。1 0 7 2 5 】f a l t i n g sqe n d l i c h k e i t s s a t z ef u ra b e l s c h ev a r i e t a t e nu b e rz a h l k o r p e r n 叨 i n v e n tm a t h , 1 9 8 3 ，7 3 ：3 4 9 - 3 6 6 2 6 】b a k e r t r a n s c e n d e n t a ln u m b e rt h e o r y m c a m b r i d g e ，1 9 7 5 【2 7 】s c h m i d tw m d i o p h a n t i n ea p p r o x i m a t i o n m l e c t u r en o t e si nm a t h 7 8 5 ， b e r l i n ：s p r i n g e r - v e r l a g ，19 8 0 【2 8 】s h o m yt n a n dt i j d e m a n1 le x p o n e n t i a ld i o p h a n t i n ee q u a t i o n s m c a m b r i d - g e ，1 9 8 6 【2 9 】e v e r t s cj h a n do y o r yk d e c o m p o s a b l ef o r me q u a t i o n s m n e wa d