（基础数学专业论文）拓扑空间上连续映射的拓扑熵.pdf

摘要 自从a d l e rr l k o n h e i ma g m c a n d r e wm 日给出紧动力系统拓扑熵的定 义以来，它就被认为是连续作用在底空间上引起的运动混乱程度的一种度量，而估计 和计算拓扑熵就成了紧动力系统的一个永恒的研究课题后来b o w e nr 给出了非紧 度量空间上的拓扑熵定义，但此拓扑熵的定义依赖于度量的选取本文我们对一般拓 扑空间( 不要求紧性，可度量性或可分离性) 上的连续映射定义了拓扑熵因此，我们 推广了拓扑熵的定义论文的具体内容如下； 第一章，我们简要介绍了拓扑熵发展的历史与现状，主要介绍了测度熵，以及各 种拓扑熵的定义与测度熵之间的关系，最后介绍了熵的重要性和本文研究的主要目的 和结果第二章给出了一般拓扑空间上的连续自映射拓扑熵的定义首先，在给出拓 扑熵定义前我们给出了一些符号和性质，这些性质保证了新拓扑熵定义的合理性其 次，我们讨论了新的拓扑熵定义与其它拓扑熵定义之间的关系第三章研究了新拓扑 熵定义下的一些基本性质且得到了一些漂亮的结果即子系统的拓扑熵不大于原系统 的拓扑熵以及拓扑共轭保持拓扑熵的不变性第四章主要讨论了新定义的拓扑熵在局 部紧度量空间和超空间动力系统上的一些性质 最后，我们总结了这篇论文的主要结果和创新，以及有待进一步展开的研究 关键词：连续映射；拓扑熵；不变紧子集；拓扑共轭；局部紧系统；超空间拓扑系 统 2 a b s t r a c t t o p o l o g i c a le n t r o p y , i n t r o d u c e db ya d l e r ，k o u l a e i ma n dm c a n d r e wf o rc o m p a c t d y n a m i c a ls y s t e m s i n1 9 6 5 ，i san u m e r i c a lm e a s u r et h a td e t e r m i n e st h ed y n a m i c a lc o m - p l e x i t yo fat o p o l o g i c a ld y n a m i c a ls y s t e m ( as p a c ea n dac o n t i n u o u st r a n s f o r m a t i o no n t h es p a c e ) a ss u c h ，t h ec o m p u t a t i o no re s t i m a t i o n ( e v e na na p p r o p r i a t ed e f i n t i o n ) o f at o p o l o g i c a le n t r o p yf o rag e n e r a ld y n a m i c a ls y s t e mb e c o m e si m p o r t a n ta n dd i f f i e n l t a n dt h e r e f o r ei sw i d e l yc o n s i d e r e da saf o r e v e rr e s e a r c ht o p i ci nd y n a m i c s i n1 9 7 1 b o w e ng e n e r a l i z e dt h ec o n c e p to ft o p o l o g i c a le n t r o p yt oc o n t i n u o u sm a p p i n g sd e f i n e d o nn o n - c o m p a c tm e t r i cs p a c e s ，w h i c hh o w e v e ri sm e t r i c - d e p e n d e n ta sp o i n t e do u tb y w a i t e r s c o n s e q u e n t l y , as i g n i f i c a n tw o r ki st os e e kam e t r i c - i n d e p e n d e n te n t r o p y t h i s t h e s i sa d d r e s s e ss u c hag a pi nt h el i t e r a t u r eo fd y n a m i c sb yg e n e r a l i z i n gt h ec o n c e p t o ft o p o l o g i c a le n t r o p yt oc o n t i n u o u sm a p p i n g sd e f i n e do na r b i t r a r yt o p o l o g i c a ls p a c e s ( c o m p a c t n e s s ，m e t r i z a b i l i t y , e v e na x i o m so fs e p a r a t i o nn o tn e c e s s a r i l yr e q u i r e d ) t h ec o n t e n t so ft h et h e s i sa r eo u t l i n e db e l o w ： i nc h a p t e ro n e ，w er e v i e wt h eh i s t o r y , c u r r e n td e v e l o p m e n ta n ds o m ea p p l i c a - t i o n s ，a n de x p l o r et h er e l a t i o n sb e t w e e nt h ee x i s t i n gd e f i n i t i o n so ft o p o l o g i c a le n t r o p y i np a r t i c u l a r ，af i n d i n gf r o mt h i sl i t e r a t u r es u r v e yi st h a tt o p o l o g i c a le n t r o p yi sa n a n a l o g o u si n v a r i a n tu n d e re o n j u g a c yo ft o p o l o g i c a ld y n a m i c a ls y s t e m sa n d c a nb eo b - t a l n e db ym a x i m i z i n gt h em e t r i ce n t r o p yo v e ras u i t a b l ec l a s so fm e n s u r e sd e f i n e do n a d y n a m i c a ls y s t e m ，i m p l y i n gt h a tt o p o l o g i c a le n t r o p ya n d m e n s u r e - t h e o r e t i ce n t r o p y ( k o l m o g o r o v ，1 9 5 0 s ) a r ec l o s e l yr e l a t e d ：t o p o l o g i c a le n t r o p y b o u n d sm e a s u r e - t h e o r e t i c e n t r o p y ( g o o d w y n ，1 9 6 9a n d1 9 7 1 ) t h ep u r p o s ea n dm a i nr e s u l t sa r ea l s os u m m a r i z e d i nt h i sc h a p t e r c h a p t e rt w op r o p o s e so u rd e f i n i t i o no ft o p o l o g i c a le n t r o p yf o rc o n t i n u o u sm a p - p i n g sd e f i n e do ng e n e r a lt o p o l o g i c a ls p a c e s t h ei d e ao ft h i sd e f i n i t i o ni st h ec o u s i d - e r a t i o no fa l ln o n - e m p t yi n v a r i a n tc o m p a c ts u b s e t so fam a p p i n g w et h e ni n v e s t i g a t e b a s i cp r o p e r t i e so ft h i sn e we n t r o p y , e x p l o r ei t sr e l a t i o n st ot h ee x i s t i n gd e f i n i t i o n s a n dp r o v i d ea ne x a m p l ei na ne f f o r tt od e m o n s t r a t et h ea p p r o p r i a t e n e s so ft h i sn e w d e f t n i t i o n i nc h a p t e rt h r e e ，w ee x p l o r ef u r t h e rf u n d a m e n t a lp r o p e r t i e so ft h ed e f i n e dn e w e n t r o p ya n dp r e s e n tt h em a i nr e s u l t s ，i n c l u d i n gt h a tt o p o l o g i c a le n t r o p yo f as u b s y s t e m 3 i sl e s st h a no re q u a lt ot h a to ft h eo r i g i n a ls y s t e m a n dt o p o l o g i c a l l yc o n j u g a t e ds y s - t e r n sh a v ea l li d e n t i c a le n t r o p y i ts h o u l db ee m p h a s i z e dt h a tt h e s et w op r o p e r t i e sf o r a r b i t a r yd y n a m i c a ls y s t e n f l j sa r ea m o n gt h o s e m o s ts i g n i f i c a n tp r o e p r t i e sf o rc o m p a c t d y n a m i c a ls y s t e m s c h a p t e rf o u rc o n s i d e r st h ee n t r o p i e so fl o c a l l yc o m p a c tm e t r i cs p a c e s ，w h i c hi s p r a c t i c a l l yu s e f u lf o r t h es t u d yo fd y n a m i c a ls y s t e m sd e f i n e do nm a n i f o l d s i na d d i t i o n ， e n t r o p i e so fh y p e m p a c ed y n a m i c a ls y s t e m so fl o c a l l yc o m p a c tu n d e r l y i n gs p a c e sa r e a l s od i s c l l s s e di nt h i sc h a p t e r ：t h ee n t r o p yo ft h ei n d u c e dh y p e m p a c es y s t e mi sl a r g e r t h a no re q u a lt ot h a to ft h eo r i g i n a ls y s t e m c h a p t e rf i v es u m m a r i z e st h er e s u l t sa n di n n o v a t i o no ft h i st h e s i s ，a n dp r e s e n t s o u rv i e wo fp e r s p e c t i v e sf o rt h ef u t u r ei n v e s t i g a t i o no ft o p o l o g i c a le n t r o p y k e y w o r d s ：d y n a m i c a ls y s t e m ；c o n t i n u o u sm a p p i n g ；t o p o l o g i c a le a t r o p y ；i n - v a r i a n tc o m p a c ts u b s e t ；t o p o l o g i c a le o n j u g a c y ；l o c a l l yc o m p a c ts y s t e m ；h y p e r s p a c e t o p o l o g i c a ld y n a m i c a ls y s t e m 4 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解学校有关保护知识产权的规定，即：研究生在校攻读学位期间论文 工作的知识产权单位属于西北大学学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文 的复印件和电子版本人允许论文被查阅和借阅学校可以将本学位论文的全部或部 分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编 本学位论文同时，本人保证，毕业后结合学位论文研究课题再撰写的文章一律注明 作者单位为西北大学保密论文待解密后适用本声明 学位论文作者签名 空、 毳 w 0 7 年月5 日 指导教师签名： ，。毋年b 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，本论文不包含其他人已经 发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得西北大学或其它教育机构的学位或证书而 使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确 的说明并表示谢意 学位论文作者签名：弓c f 磊 纠年月j 日 西北大学硕士学位论文 第一章绪论与预备知识 1 1 熵理论的发展概述 自从c l a u s i u s ，b o l t z m a n n 提出熵作为热力学系统的状态函数，并给出其表达式 s = i nw 以后，统计物理热力学便成为一门真正的定量的演化科学随着科学的发 展，熵概念还被广泛地运用于其他领域，成为科学中的一个基本概念，挣别，s h a n n o n 1 】 在通信问题研究中通过与标准b o l t z m a n n 熵的比较，首次给出了信息熵的概念，并 且给出了它的表达式，这引起了数学家们的注意随后在1 9 5 0 年，k o l m o g o r o v 2 和 s i n a i 为了处理b e r n o u l l i 移位的同构问题，而对动力系统与随机过程【3 给出了一个 严格的测度熵( k s 熵) 的定义在这个定义中，k o l m o g o r o v 第一次把s h a n n o n 熵的概率概念引入到了动力系统理论中后来，o r n s t e i n 4 在证明度量熵与完全双 边b e r n o u l l i 随机过程的关系时，也用到了这种思想6 0 年代中期，a d l e r , k o n h e i m 与m c a n d r e w 为研究拓扑动力系统又引入了拓扑熵的概念，它们都是关于不确定性 的数学度量，在现代动力系统的研究中扮演着十分重要的角色 1 1 1 测度熵 k o l m o g o r o v 的度量熵是测度动力系统的一个不变量，它描述了混沌轨道随时间 演化信息的产生率，并且与s h a n n o n ，s 熵有一定的关系 测度熵( k s 熵) 为一个很强的概念，因为它控制着遍历性质的最高层，即k - s 性质= = 争多重混合性 混合性= 亭弱混合性= 辛遍历性【3 】如果相空间的可测集 构成了一个子代数，并且这个子代数通过流( 双射保测变换所成的单参数族) 生成了全 代数，则可以在相空间上计算测度熵( k s 熵) 3 】个确定性系统的动态随机性可 以在动态的非稳定性以及对初值的灵敏度中找到它的原状态事实上，据p e s i n 8 定 理【5 ，6 】的概述，测度熵( k s 熵) 与l y p u n o v 指数有关特别，如果具有有限自由度 的一个确定性系统的测度熵( k s 熵) 是正的，则这个确定性系统蕴含混沌关于测 度熵( k s 熵) 的许多性质，我们可以参考文献 3 ，5 ，7 1 再后来s n a i c h e r n o v 8 发展和完善了测度熵理论，论述了一个空间扩张系统如果在空间和时间平移下概率测 1 西北大学硕士学位论文 度是不变的，并且它的测度熵是正的，则说这个扩张系统是混沌的至此，测度熵已 发展成为测度动力系统( 遍历理论) 中卓有成效的理论 1 1 2 拓扑熵 1 9 6 5 年，a d l e r k o n h e i m m c a n d r e w 9 1 对紧拓扑空间上的连续自映射定义 了拓扑熵，它是拓扑动力系统的共轭不变量1 9 7 0 年。b o w e n 在研究拓扑熵与公理 a 1 0 1 时，对度量空间上的连续自映射定义了拓扑熵，并且验证了当空间为紧度量空间 时，此拓扑熵的定义与a d l e r k o n h e i m m c a n d r e w 的拓扑熵的定义一致但是， b o w e n 的拓扑熵定义依赖于度量的选取f n l 后来，b o w e n 又在1 9 7 3 年给出了非紧 集上拓扑熵的一个定义【1 2 】，这个拓扑熵的定义方式有点类似于h a u s d o r f f 维数的定 义，并且证明了当空间为紧的时，此拓扑熵的定义与a d l e r k o n h e i m m c a n d r e w 的拓扑熵的定义也一致近几年，c a n o v a s r o d r i g u e z 以及m a l z i r i m o l a c i 分 别对非紧度量空间上的连续自映射定义了拓扑熵【1 3 ，1 4 】 1 1 3 拓扑熵与测度熵的关系 自从a d l e r k o n h e i m m c a n d r e w 给出了拓扑墒的定义以后，学者们就提出测 度熵与拓扑熵之间是否存在着某种关系a d l e r k o n h e i m m c a n d r e w 9 1 对紧空 间x 上连续自同胚r 进行研究，比较了拓扑熵和测度熵之间的关系，得到了如下的 结果；设p 为x 的b r o e l 集上对丁不变的概率测度，则丁相对于p 的测度熵不大于 t 的拓扑熵，即 。( r ) ( 丁) 后来，在1 9 6 9 年，g o o d w y n 1 5 证明了当x 为紧度 量空间，t 为x 上的连续映射时，上述不等号也是成立的，即 。( t ) ( 丁) b o w e n 在1 9 7 1 年研究群的自同态与同态空问上的熵【1 6 】时，论述了他的拓扑拓扑熵与测度 熵的关系随后，b o w e n 1 2 1 继续讨论了拓扑熵和测度熵之间的关系，证明了当测度 为正规的h a a r 测度时，b o w e n 定义的拓扑熵与测度熵相同1 9 7 1 年，g o o d w y n 1 7 比较系统的论述了拓扑熵与测度熵之问的关系得到了一些较好的结果下面我们简要 介绍一下他的工作，设x 为紧的h a u s d o r 空间，t 为x 上的连续映射设p 为 x 的b r o e l 集上对t 不变的正则概率测度，记m ( x ，t ) 为所有这样的p 构成的集 合则当( x ，r ) 为局部非回归的时，拓扑熵h ( t ) =s u p札( r ) ，其中h ，( t ) 是t p e m ( x ，r ) 关于的测度熵 2 西北大学硕士学位论文 1 2 熵的重要性 熵对研究动力系统上的拓扑与测度结构非常重要例如。两个共轭系统有相同的拓 扑熵，因此，熵是共轭动力系统的一个数值不变量扩张动力系统理论与拓扑熵理论密 切相关【1 8 ，1 9 ，2 0 】熵与混沌也是有关系的，例如，单位线段上的连续自映射，：，一j 是l y 混沌的当且仅当它有正拓扑熵 2 1j 一个非常好的结果是一个具有不变概率测度的确定性系统决定了一个随机过程 这说明了一个确定性系统可以通过度量轨道复杂性的信息熵而产生动态的随机性 熵理论的应用非常广泛，例如，逃逸速度理论的迁移性质 2 2 ，2 3 ，2 4 ，2 5 ，2 6 】，这里 轨道的逃逸通过在系统边界的吸收状况来确定这些吸收边界的状态选择了空问轨道 的一个集合，进而形成了混沌和分形，这就与k s 熵有了联系而逃逸速度理论也 应用到扩散理论 2 7 】，反应扩散理论【2 8 】以及黏滞性理论【2 9 中，因此，这些理论也 有熵的影子再者，熵还应用在量子动力系统的分类上【3 0 】 在动力系统中，符号动力系统( ( p ) ，口) 是最简单也是最具有代表性的，它的熵为 l o g p ，并且有着复杂的动力性状当我们讨论一个动力系统的运动状态是否复杂时， 我们总是把它和符号动力系统作比较【3 l ，3 2 】对与符号动力系统拓扑共轭的动力系统 的例子，我们可参考o r n s t e i n 4 ，s i n a i 3 3 ，w a n g 和w e i 3 4 1 3 预备知识 为了更好的了解各种熵的定义，同时也为后面与我们的新拓扑熵定义作比较，我 们列出各种熵的定义如下： 1 3 1 。s h a n n o n 信息熵 假设样本空间x 有n 个基本事件 l ，w 2 ，其中w i 发生的概率为p i ，i = 1 ，2 ，n 记之为( x ；p l ，p z ，m ) 下面试定义一个函数日，它的定义域是所有样 本空间，在( x ；p 1 ，1 z ，肌) 取值h ( p l ，) ，希望用h ( p a ，肌) 来反应具有 3 西北大学硕士学位论文 概率分别为p l ，仇，一，肌的事件 1 ，w 2 ，劬。的样本空间的不确定度 n 定义1 3 1 由式n ( p l ，) = 一n f o g a 定义的数h ( p l ，m ) 称为 t = 1 对应于样本空间( x ；p l ，肌) 的s h a n n o n 信息熵 1 3 2 测度熵( k - s 熵) 设( x ，p ) 为一概率测度空间，t ：x x 为一个保测变换，即；对中 每个元素a 有p ( a ) = p ( t - 1 ( a ) ) 任取x 的一个有限划分a = 似1 一，a 。) ，即 m a ，ua i = x ，p ( a n a j ) = 0 ，( i j ，l l ，jsm ) 这样a 可看成以 i = l a l ，a 2 ，a 。为基本事件，以p ( a 1 ) ，p ( a 。) 为概率分布的一个有限样本空间， m 它所对应的s h a n n o n 熵为日( 五) = 一p ( a ) l o g p ( a ) i = 1 对给定t ，t 一1 ( 五) = t 一1 ( a 1 ) ，t - 1 ( a 。) ，也为x 的个划分，用a v t _ 1 ( a ) = a n b ：a a ，b t 一1 ( a ) 表示划分a 与划分t - 1 ( 互) 的加细类似可定义 n 一1 vr “( a ) = a v t 一1 ( a ) v v t 一扣一1 ( a ) t = 0 定义1 3 2 设a = a l ，a 。 为x 的有限划分，保测变换r ：x x 关 n 一1 于a 的熵为：，l ，( 正五) = l i m ：日( vt 。( a ) ) n 。 定义1 3 3 设( x ，p ) 为一概率测度空间，t ：x x 为保测变换，则t 的测度熵( k s 熵) 定义为：札( t ) = s u p h ，a ) ：a 为x 的有限划分) 1 3 3 a d l e r - k o n h e i m - m c a n d r e w 拓扑熵 定义1 3 4 设( x ，) 为紧动力系统，o 为x 的任意开覆盖，定义e n t ( f ，o t ) = n - 1 一l i r a 。：h ( j v = 0i - * ( 。) ) 叫作，相对于。的拓扑熵进而定义8 n 。( ，) = 8 u p e n t ( ，。) ) 叫 作，的拓扑熵，其中s u p 是对所有x 的开覆盖的上确界拓扑熵是一个非负整数， 但可以达到+ o o 1 3 4 b o w e n 拓扑熵 设( x ，d ) 为一个度量空间，t ：x x 为一致连续的，一个集合e x 为 ( n ，e ) 一分离集，如果对任意z ，y e ，存在j ，0 sj 已一个 4 西北大学硕士学位论文 集合f 称为另一个集合k 的( n ，e ) 一张成集，如果对每一个z k ，存在y f ，使得 d ( 丁。( z ) ，t j ( v ) ) ，0 j 他 一个紧子集k x ，设r n ( ，k ) 表示k 的最小基数( n ，e ) 一张成集的基数 & ( s ，k ) 表示k 的最大基数( n ，) 分离集的基数定义r t ( e ，k ) = ，望恐s u p ：l o g ( k ) ，s t ( e ，k ) 。曼恐s u p ：l o gs , ( e ，耳) 引理1 3 1 ( e ，k ) 鼠( s ，k ) h ( s ，k ) 定义1 3 5 h d ( lk ) = 1 i 珥s 如( e ，) ，h d ( t ) = s u ph d ( t , k ) 称为t 的拓扑熵 一 k 1 3 5 b o w e n 另一拓扑熵 定义1 3 6 设，：x x 为连续映射，y x ，拓扑熵b ( f ，y ) 的定义类似 于h a u s d o r f f 维数的定义设g 为x 的一个有限开覆盖，如果e 包含在g 的某一 个元素中，则我们记作e g 若每一个最 g ，则 最) - 4g 设“，t g ( e ) 为使得 ，( e ) g ，k 【0 ，n f , g ) 成立的最大非负整数如果e 不包含在g 的任何一个元素 中，则n f , g = 0 如果所有的，( e ) 0 ，s ( k ) 为一个集合，使得所有z ，y s ”，存 在0 i n i ，有d ( f ( z ) ，。( ，) ) 我们用s ( n ，n ，) 表示最大基数的s ”的基 数对给定的n 和n ，e 0 ，r ，( k ) 为一个集合，使得对任意z ，( 耳) ，存 在y r ，对所有0si n 一1 ，有d ( f i ( x ) ，( ) ) 我们用r ( ，n ，e ) 表示最小 基数的r n 的基数 引理1 3 2 5 ( ，n ，) ，则 ( 1 )s ( n ，扎，s ) s ( n ，n ，e 7 ) ；r ( ，n ，) r ( ，竹，e 7 ) ( 2 ) r ( n ，n ，) s ( ，n ，e ) ；s ( n ，n ，2 s ) r ( n ，n ，) 定义1 3 9 记，l ( ，) = 。l i m 。，l i r a 。s u p 1 - l o g ( s ( ，n ，) ) 2 嬲熙s u p ：l o g ( r ( ，吼) ) ，定义，关于基k 的拓扑熵h k ( f ) 2 拦恐s u p h ( n ，) 定理1 3 1 设( x ，) 为紧动力系统，0 l ，p 为x 的两个开覆盖，若卢为o t 的 加细，即o t - 4p ，贝0e n t ( f ，o ，x ) e n t ( f ，p ，x ) 定理1 3 2 ( a l e x a n d r o f f ) 拓扑空间x 的单点紧扩张x 4 为紧的并且x 是它 的子空间空间x 为h a u s d o r f f 空同当且仅当x 为局部紧的h a u s d o r f f 空间 定义1 3 1 0 设x 是个拓扑空间，2 x = f ：f 为x 的非空闭子集) ，对 p x 的任意有限个开集仉，巩，记u ( n ，巩，) = f 2 x ：f u 阢且 i = 1 f n 以妒i = 1 ，2 ，p ，则所有这些集合以基底形式生成2 x 上的v i e t o r i s 拓扑 1 4 本文研究的目的和主要结果 本文是作者在其论文t o p o l o g i c a le n t r o p yo fc o n t i n u o u sf u n c t i o n so nt o p o l o g i c a l s p a c e s ( 已被c h a o s ，s o l i t o n s & f r a c t a l s 录用) 基础上完成的本文给出了一般拓扑空 间( 不要求紧性，分离性或可度量性) 上连续映射的拓扑熵的一个定义，并研究了此拓 6 西北大学硕士学位论文 扑熵定义的一些性质这个定义概括了a d l e r k o n h e i m m e a n d r e w 的拓扑熵的定 义，解决了b o w e n 1 3 1 定义的拓扑熵的一些不足之处同时，我们在第三章也证明本 文定义的拓扑熵具有a d l e r k o n h e i m m c a n d r e w 定义的拓扑熵的大部分性质， 即我们定义的拓扑熵满足熵的基本性质或与a d l e r k o n h e i m m c a n d r e w 定义的 拓扑熵的性质相似我们也在本文中得到一些主要结果，即研究了子系统的拓扑熵不 大于原系统的拓扑熵，拓扑共轭系统有相同的拓扑熵第四章我们讨论了新拓扑熵的 定义在局部紧度量空间和超空间上的应用，给出了欧氏空间r 上的自同胚映射的拓扑 熵为o ，超空间动力系统的拓扑熵不小于原系统的拓扑熵的一些结果 7 西北大学硕士学位论文 第二章拓扑熵e n t + ( ，) 的定义及与其它熵的关系 2 1 引言 自从1 9 6 5 年，a d l e rr l k o n h e i ma g m c a n d r e wm h 9 给出紧动力系统拓 扑熵的定义以来，拓扑熵一直是动力系统学者研究的课题，他们给出了拓扑熵各种各样 的定义，但是他们的定义只适用于一些特定的空间，例如a d l e rr l k o n h e i ma g m c a n d r ewm 日的拓扑熵定义只适用于紧拓扑空间，这样就使我们比较熟悉的欧氏空 间月与舻不适用于这个定义还有b o w e n 1 0 1 定义的拓扑熵要依赖于度量的选取于 是我们就考虑是否可以在一般拓扑空间( 不要求紧性，分离性或可度量) 上的连续自映 射来定义个拓扑熵? 并且当空问是紧的时，这个定义与a d l e rr l k o n h e i ma g m c a n d r e wm h 9 1 定义一致本章我们就在一般拓扑空间上的连续自映射定义了一 个拓扑熵使得这个拓扑熵满足了上面的要求 2 2 拓扑熵的新定义 定义2 2 1 设x 为一个拓扑空间，f ：x x 是连续自映射则称( x ，) 为 个拓扑动力系统，x 称为拓扑动力系统( x ，) 的底空问，如果x 为紧拓扑空间， 则称( x ，) 为紧拓扑动力系统 对紧拓扑动力系统，a d l e rr l k o n h e i ma g m c a n d r e wm h 9 】已经给出 拓扑熵的定义并研究了它的性质下面我们给出他们的定义t 定义2 2 2 设x 为紧拓扑空间，f ：x x 是连续自映射口为x 上的 任意开覆盖，记n x ( a ) 为。的全部子覆盖基数的下确界，设月k ( n ) = l o g n x ( o ) ， n l 则e n t ( f o t is ) = 一l i m 。：h x ( ；v ：of 一( n ) ) 叫作，相对于n 的拓扑熵；e 耐( lx ) = 8 西北大学硕士学位论文 s u p e n t ( f ，a ) 0 叫作，的拓扑熵 n 下面我们在介绍新拓扑熵的定义前先给出一些符号和术语 设( x ，) 为任意一个拓扑动力系统，即x 为任意一个拓扑空间，为x 到 自身的连续映射设o t 为x 上的任意开覆盖，f 为x 的非空紧子集，且对，是 不变的，即( v ) f 记m f ( o t ) 为d 对f 的全部子覆盖的基数的最小者，即 m f ( o ) = n f i n c a r d p ：p 为q 对f 的子覆盖，据f 的紧性，它是一个正整数记 l f ( a 1 = 1 0 9m f ( o ) 设口，p 为x 上的任意开覆盖，记o v = u n v ：u o ，v 卢) ，显然o i v p 仍为x 的开覆盖如果对p 中任意元素y ，都存在n 中的元素u ，使得y u ，则称 卢加细o t ，记作o t 卢 为了叙述方便，我们将采用下面的约定如果o t 为x 的一个覆盖，f 是x 的一个 子集，n 的子集族 以n ：s s 为f 的个覆盖，则我们就说 以o l ：s s 为 对f 的个子覆盖也就是说对f 来讲， 以n ：s 研为o t 的一个子覆盖紧 h a u s c l o r f f 空间当然也是局部紧的h a u s d o r f f 空间；但是，一个紧的非h a u s d o r f f 空间不一定是局部紧的h a u s d o r f f 空间，当没有h a u s d o r f f 性假定时，连续映射下 的紧子集不一定是闭子集 有了上面的符号和叙述我们有以下性质： 性质2 2 1 工，( n ) 0 证明：因为据f 的紧性，m f ( o t ) 为一个正整数，而l f ( a ) = l o gm r ( a ) ，所以 工，( d ) 20 性质2 2 2 o t p ，则l f ( a ) l f ( p ) 证明；设 ，k ，k ) 为卢对f 的最小子覆盖，即m f ( f 1 ) = 竹，而o p ，因 此，存在以o t ，使得k 阢，( i = l 2 ，n ) 从而， 以，巩，以) 为。对f 的 子覆盖所以m f ( a ) sn ，即m f ( o ) 知( p ) ，进而我们有l f ( a ) = i o g m f ( a ) 9 西北大学硕士学位论文 l f ( 卢) = l o g 矗( 卢) ，故工f ( o ) s 工，( 卢) 性质2 2 3 己f ( dv 卢) l t - ( a ) + 工，( 卢) 证明：设 矾，巩， 为o t 对f 的最小子覆盖，即坼( n ) = m ， m ，k ，k ) 为卢对f 的最小子覆盖，即坼( p ) = n 显然 玑n k f = 1 ，2 ，m ，j = 1 ，2 ，n ) 为d v 卢对f 的子覆盖，所以m f ( a v 卢) m n 从而l f ( a v p ) = l o g m f n v 卢) l o g m n ，进而f ( q v p ) l o g m + l o g n ，故l f ( a v p ) l f ( a ) + l f ( p ) 性质2 2 4 三，( ，- 1 ( a ) ) l f ( n ) 当i ( f ) = f 时等号成立 证明：记坼( n ) = 设 n ，) 为q 对f 基数最小的有限子覆盖，则 ，- 1 ( 仉) ，i - ( 巩) ，i - 1 ( ) ) 为广1 ( n ) 对i - ( f ) 的有限子覆盖因为f ( f ) f ， 从而f i - ( f ) ，所以 ，1 ( 仉) ，y - 1 ( 踢) ，i - i ( 巩) ) 也为f - , ( n ) 对f 的有限子覆 盖因此坼( ，一1 ( q ) ) n ，即m f ( i 一1 ( 口) ) 坼( n ) ，故l f ( i 一1 ( q ) ) f ( o ) 当i ( f ) = f 时，记坼( ，“( n ) ) = m ，设 ，- 1 ( 巩) ，_ 1 ( 巩) ，i - ( u k ) ：以 a ，i = 1 ，m ) 为i - 1 ( o ) 对f 的基数最小的有限子覆盖，即f u ，- 1 ( 以) ，从而 i = ：1 i ( f ) u 阢而i ( f ) = f ，所以 仉，巩，巩。) 为a 对f 有限子覆盖因此， 坼( n ) m ，即 知( q ) m f ( i _ 1 ( n ) ) ，从而工p ( o ) l f ( f _ 1 ( a ) ) ，故l r ( y - 1 ( n ) ) = 工伊( q ) 一l 引理2 2 1 极限一t i m 。! n l f ( j v i - 。( a ) ) 是存在的 7 1 - - l 证明；记= 三f ( v 厂( n ) ) ，据文献 1 4 ，2 1 ，只需验证i i n + k a n + 钆据性 j = 0 质2 2 4 知“( 厂1 ( n ) ) l f ( n ) ，进而有l r ( f - j ( n ) ) sk ( n ) ，u = 0 ，i ，) 从而 有嘶。+ 女= l f ( v ，7 ( n ) ) = l f ( ( v ，一( n ) ) v ( v ，一，( 口) ) ) = l f ( ( v ，( o ) ) v j = oj - - o= nj = o n 一1n 一1一l ( ，一”v ，o ( d ) ) ) 工f ( v ，o ( o ) + 工，( v ，o ( o ) ) ，即+ i a n + a k ， j = o j = 0 j = o n 一1 故一l i m 。n 1 - l f ( j v ：。y - j ( 。) ) 是存在的 记k ( x ，) 表示x 中所有对，不变的非空紧子集构成的集合即k ( x ，) = 1 0 西北大学硕士学位论文 f x ：f 妒，f 为x 的紧子集，且f ( r ) f ) 显然，当x 为紧空间时， f ( x ) x ，因此，k ( x ，f