（基础数学专业论文）几类特殊的有限p群.pdf

摘要 有限p 群是群论中一个重要的分支近年来，随着有限单群分类的最终完成， 有限p 群的研究变得越来越活跃群论研究的许多领头科学家，如g g l a u b e r - m a n ，z j a n k o 等人开始转入对有限p 群的研究在有限p 群的研究领域中，有 很多可以进一步研究的专题其中之一就是研究某些特殊的有限p 群的性质并 给出分类本文我们比较系统地研究了三类特殊的有限p 群 我们首先研究了极小非类2 的有限p 群得到了它的两个充分必要条件，并 在此基础上完全分类了这类群a m a n n 曾经猜想有限p 群大多数都是类2 的， 由此不难想象，在应用极小反例法研究某些p 群问题时 我们的群表将发挥一定 的作用其次，我们重新分类了二元生成、导群循环的奇阶有限p 群由于我们 充分应用了正则p 群的性质，因此和r j m i e c h 的原工作相比，我们的计算更 为简单，得到的结果也更为简明事实上，我们的群表可能是关于这种群的第一 个可读的群表最后，为了最终完成d s p a s s m a n 关于c h n ( g ) = 1 的有限p 群的分类，我们分类了一类特殊的亚h a m i l t o n2 群所有子群皆循环或正 规的有限2 群 关键词：极小非类2 的有限p 群、亚循环p 群、正则p 群、亚h a m i l t o np 群、c h n ( a ) a b s tr a c t f i n i t ep - g r o u p sp l a ya ni m p o r t a n tr o l ei ng r o u pt h e o r y a f t e rt h ec l a s s i f i c a t i o no ff i n i t es i m p l eg r o u p si sf i n a l l yc o m p l e t e d ，t h es t u d yo ff i n i t ep - g r o u p s b e c o m e sm o r ea n dm o r ea c t i v e m a n yl e a d i n gg r o u pt h e o r i s t s ，f o re x a m p l e ，g g l a u b e r m a n ，z j a n k oe t c ，t u r nt h e i ra t t e n t i o nt ot h es t u d yo ff i n i t ep - g r o u p s t h e r ea r em a n yt o p i c si nw h i c hl o t so fq u e s t i o n sa r ew o r t h ys t u d y i n g o n eo f t h e s ei st oc l a s s i f ys o m es p e c i a lc l a s s e so ff i n i t ep - g r o u p s i nt h i st h e s i s ，w ec l a s s i f y t h r e ec l a s s e so ff i n i t ep - g r o u p s f i r s t l y , w es t u d ym i n i m a ln o n - c l a s s - t w op - g r o u p s w eg i v et w on e c e s s a r y a n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n s ，a n dw eg e tac o m p l e t ec l a s s i f i c a t i o no fs u c hg r o u p s a m a n nc o n j e c t u r e dm o s to ff i n i t ep - g r o u p si sc l a s s2 s oo u rg r o u pl i s tw i l lp l a y a ni m p o r t a n tr o l ew h e nw eu s et h em i n i m a lc o u n t e r e x a m p l em e t h o dt os t u d yp - g r o u p s s e c o n d l y , w er e c l a s s i f yf i n i t et w o - g e n e r a t e dp - g r o u p sw h o s ed e r i v e dg r o u p i sc y c l i cpi so d d ) s i n c ew eb r i n gt h ep r o p e r t i e so fr e g u l a rp - g r o u p si n t ot h e w o r k ，o u rc o m p u t a t i o ni sc l e a r e ra n ds i m p l e rt h a nt h ew o r ko fr j m i e c h i n f a c t ，o u rg r o u pl i s tm a y b ei st h ef i r s tr e a d a b l el i s t f i n a l l y , i no r d e rt of i n i s hd s p a s s m a n sw o r ka b o u tf i n i t ep - g r o u p sw i t hc h n ( g ) = 1 ，w ei n v e s t i g a t ef i n i t e 2 - g r o u p si nw h i c he v e r ys u b g r o u pi sc y c l i co rn o r m a la n dg i v ea c l a s s i f i c a t i o nf o r t h i sk i n do fm e t a - h a m i l t o n2 - g r o u p s k e y w o r d s ：m i n i m a ln o n - c l a s s - t w op - g r o u p s 、m e t a c y c l i cp - g r o u p s 、r e g u l a r p - g r o u p s 、m e t a - h a m i l t o np - g r o u p s 、c h n ( a ) i i 符号表 i g i 群g 的阶 e x p ( g ) 群g 的方次数，即g 中所有元素的阶的最小公倍数 d ( z ) 元素z 的阶 c ( g ) 群g 的幂零类 d ( a ) ：群g 的极小生成元的个数 ( x ) 元素x 生成的循环群 h g 群日是群g 的子群 h 2 ，i g i = 矿，有p n 2 l “整除i g ：g 7 i 等等 4 几类特殊的有限p 群 还有一些作者研究了导群循环的有限p 群的十分特殊的情形首先，刘声烈 在文【4 4 】中弄清了导群循环的类2 的有限p 群的结构且给出了它们的“基底” 后来，y k l e o n g 研究了这类群具有循环中心的情形，分p = 2 和p 2 两种情 形给出了这类群分解为中心积的规范形式，并解决了它们之问的同构问题，详见 文 4 5 ，4 6 】之后，去掉幂零类为2 的限制，a a f i n o g e n o v 在文 1 8 】中分类了导 群循环且中一l 、- 循环的p 群但是对于p = 2 的情形，其加上了g 3 u 2 ( g ) 的限 制，而去掉此限制的分类问题至今仍未解决 最后值得一提的是，许多群论工作者还对圣( g ) 循环的有限p 群进行了研 究由于g 7 垂( g ) ，因此这类群显然是导群循环的有限p 群的特殊情形早在 1 9 世纪4 0 年代，段学复先生就在华罗庚先生的建议下研究了它们的分类，他对 p 为奇素数的情形给出了完全分类，对p = 2 的情形也基本完成但遗憾的是，结 果至今没有发表直到1 9 8 0 年，t r b e r g e r 等人才在文 5 】中给出了这类群的 一个构造定理 由于导群循环的有限p 群往往可以表成二元生成、导群循环的p 群和循环 群的中心积，因此我们考虑导群循环的有限p 群，只需考虑二元生成、导群循环 的p 群因而，对于二元生成、导群循环的有限p 群的研究足十分必要和有意 义的而对于这类群的研究源于对二元生成亚交换群结构的研究早在1 9 6 5 年， g s z e k e r e s 7 2 7 4 】就曾研究过二元生成的亚交换群的结构，他给出了这种群明 确的定义关系，但因为在他给出的定义关系中参数较多，所以同构问题成为难点 而没有解决 事实上，亚循环p 群就是一类较为特殊的二元生成、导群循环的有限p 群 对于亚循环p 群，我们首先给出下面的定义 定义1 2 1 称有限p 群g 是亚循环的，若g 有循环正规子群使得g n 也是循环群 换句话说，亚循环p 群就是循环p 群被循环p 群的扩张 显然亚循环p 群的子群、商群仍为亚循环p 群 有关亚循环p 群的研究成果是相当丰富的从上世纪6 0 年代末开始，已有 许多人给出了亚循环p 群的分类然而有限亚循环p 群分类的是1 9 7 3 年b w 2 0 0 9 年上海大学博士学位论文 5 k i n g 第一个在文【3 9 】中给出的因为其发表得最早，这个结果得到了广泛的应 用但是遗憾的足，b w k i n g 的分类中有两个小错误这两个小错误最早是 1 9 8 7 年被徐明曜在文 9 1 】中指出随后g l p e t e r s o n 和g s i l b e r b e r g 分别在 文【6 3 ，6 8 】对错误进行了纠正另外，在文【5 8 - 6 0 】中，m f n e w m a n 和徐明曜利 用p 群生成算法重新分类了亚循环p 群，其中p 2 的情形已经发表，见文 5 9 】； 但p = 2 的情形尚未发表对于p = 2 的情形，在文 9 7 】中，徐明曜、张勤海完整 地分类了亚循环2 群，其方法完全独立于p 群生成算法下面我们将分两个定 理阐述文 5 9 ，6 0 ，8 5 ，9 7 】给出的亚循环p 群的分类 定理1 2 1 设g 是亚循环p 群，p 为奇素数，则 g = ( o ，bin p r + 。扣= 1 ，6 p r + 。= n p r 如，o b = n 1 + 矿) 其中r ，8 ，t ，u 是非负整数且满足7 1 ，乱r ，对于参数r ，8 ，亡，u 的不同取值， 对应的亚循环群互不同构我们用 p 来记这个群又， p 是可裂的，即可表成循环群被循环群的可裂扩张的充要条件是s t u = 0 进一步， z ( c ) = ( a p 卧”) ( 6 p 外”) 定理1 2 2 设g 是亚循环2 群，则g 是以下群之一： ( i ) g = ( a ，bl0 2 计“蚪1 = 1 ，6 2 件1 = n 2 蚪“1 ，n 6 = o 一1 拶舢+ 1 ) ，其中移，t ，t 7 ，u 为非负整数，乱1 ，茎1 ，= t v = u t 7 = 0 并且若t + u + 钐= 0 ，则= 0 ( i i ) 通常的亚循环2 群：g = ( a ，bia 2 件曩+ ”= 1 ，b 2 件卧= a 2 叶。，a 6 = a l + 2 r ) ， 其中r ，8 ，t ，u 是非负整数且满足7 - 2 ，u r 我们用 2 来记这个 群进一步，z ( a ) = ( a 2 * + u ) ( 铲外“) ( i i i ) 特殊亚循环2 群：g = ( n ，bia 2 h 卧蚪一h = 1 ，b 2 h 卧= a 2 什计r ， a 6 = a - 1 + 2 件”) ，其中r ，s ，u ，t ，r ，u 是非负整数且满足r 2 ，t r ，t 正1 ， t t = 8 v = t v = 0 ，而且若r r 一1 ，则u = 0 我们用 2 来表示 这个群进一步， z c g ，= 三：二：二：二：； 薹芰一+ 。 萋三：；：兰兰： 不同类型的群互不同构，同一种类型但参数具有不同值的群互不同构更 有，( i ) 型群g ( qxq ) 可裂当且仅当( t ，u ) ( 0 ，1 ) ；( i i ) 型群g 可裂当且仅 当s t u = 0 ；( i i i ) 型群g 可裂当且仅当u = 0 6几类特殊的有限p 群 但是一般的二元生成、导群循环的有限p 群却有相当复杂的结构1 9 7 5 年， r j m i e c h 5 3 依据诸多参数间的大小关系对二元生成、导群循环的有限p 群 ( p 为奇素数) 进行刻划，给出了这类群的完全分类他证明这类群有如下定义关 系： g = ( z ，可) ，矿。= z r p ，秒p 6 = z 即， 可，z 】= z ，z p 。= 1 ，k ，z 】= z m p m ，k ，y 】= z p ” 其中a ，b ，c ，m ，n ，r ，8 ，m ，n ，r ，s 是非负整数，a2b 且m n r s 0 ( m o dp ) 然 后他分析了何时上述参数的不同取值能确定同构的群通过十分繁琐的计算，他 把这种群共分为1 9 种互不同构的类型对于p = 2 的情形，到目前为止，只有徐 明曜、杜少飞利用p 群生成算法的理论，分类了二元生成、导群循环且有一个亚 循环的极大子群的有限2 群，见【1 6 】 由于r j m i e c h 在分类二元生成、导群循环的有限p 群 2 ) 时，参数 多达十一个且群的类型也较多，结构繁琐，不便于阅读和使用，因此本文第四章， 我们将利用正则p 的许多性质( 诸如：唯一性基底，己群列，群列等等) 以及 徐明曜教授所给出的奇阶亚循环p 群的分类结果，给出二元生成、导群循环的 奇阶有限p 群一个可读性分类的证明，共七种互不同构的群的类型 1 3 特殊的亚h a m i l t o np 群 众所周知，h a m i l t o n 群就是非交换的d e d e k i n d 群即每个子群均正规的 非交换d e d e k i n d 群而对于d e d e k i n d 群的研究始于十九世纪末1 8 9 7 年，r d e d e k i n d 对于有限d e d e k i n d 群进行了分类，见文 1 5 】随后，1 9 3 3 年，r b a e r 分类了无限d e d e k i n d 群，见文 1 1 因而h a m i l t o n 群的结构已是十分清楚了作 为这类群的推广，我们有 定义1 3 1 设g 是有限非交换群称g 为亚h a m i l t o n 群，如果g 的每个 子群或交换或正规 二十世纪六、七十年代，s n e e r n i k o v 【1 1 】，m s g a r a s 芒u k 【1 9 1 ，a a m a h n e v 【4 7 1 ，v t n a g r e b e c k i i 在【5 5 5 7 】中，以及g m r o m a l i s 和n f s e s e k i n 在文 6 4 - 6 6 】中，对于亚h a m i l t o n 群已经做了大量的工作尤其是，v t n a g r e b e c k i i 在文1 5 6 1 中证明了下面的定理 2 0 0 9 年上海大学博士学位论文 7 定理1 3 1 设g 是有限非幂零群，则g 是亚h a m i l t o n 群当且仅当g = s z ( v ) ，s 翼g 且s 是下列群之一： ( 1 ) s = p q ，其中p 是初等交换p 群，q 循环并且( 1 p i ，l q i ) = l ； ( 2 ) s = p aq ，其中p 竺q 8 且q 是奇阶循环群； ( 3 ) s = p q ，其中i p l = p 3 ，p 5 ，q 循环并且( p ，l q i ) = 1 根据这个定理，我们考虑亚h a m i l t o n 群，仅需考虑幂零的情形又注意到幂 零群是其诸s y l o w 子群的直积，因此其实只需考虑亚h a m i l t o np 群而它们的 结构远比非幂零的情况复杂到目前为止，人们还只足对特殊的亚h a m i l t o np 群 进行了分类和研究，见下面的例子 例1 3 1 下列p 群均为亚h a m i l t o np 群： ( 1 ) 内交换p 群，见引理2 2 1 ； ( 2 ) 指数为p 2 的子群均交换的有限p 群，即4 2 群，见文【1 0 8 ； ( 3 ) d s p a s s m a n 在文 6 2 】中决定的阶大于p 的子群均正规的有限p 群； ( 4 ) 作为( 3 ) 的推广，张勤海教授等决定了阶大于矿的子群皆正规的有限 p 群，见文1 1 0 由上面的几个特殊的亚h a m i l t o np 群的例子可以看出，完全分类亚h a m i l - t o n p 群是比较困难的值得提出的是，吕恒、陈贵云在【4 2 】中证明了对于p 2 、5 ， 亚h a m i l t o np 群的幂零类至多为4 但他们没有找到幂零类为4 的亚h a m i l t o n p 群的例子山西师范大学的安立坚、曲海鹏进一步证明了不存在幂零类为4 的 亚h a m i l t o np 群，文章还在整理发表中 1 9 7 0 年，d s p a s s m a n 在文 6 2 】中决定了阶大子p 的子群均正规的有限p 群显然对于这类群而言，其不正规子群为p 阶循环群那么若一个有限p 群的 所有子群皆循环或正规，则这样的群具有怎样的结构? d s p a s s m a n 曾在文【6 2 】中研究了c h n ( g ) = 1 的p 群不过仔细阅读文 章可知c h n ( g ) = 1 的p 群等价于所有子群皆循环或正规的p 群遗憾的是其对 于满足条件的阶不超过2 7 的有限2 群并没有给出分类虽然阶2 7 的有限2 群的分类已经熟知，但是在阶2 7 的所有2 群中选取满足条件的2 群的工作量 是很大的为此，本文第五章我们将给出子群皆循环或正规的有限2 群的完全分 8几类特殊的有限p 群 类，共得到八种互不同构的群进而结合d s p a s s m a n 的结果( 详见 6 2 】命题 2 9 ) ，可得所有子群皆循环或正规的有限p 群的完全分类，即下面的定理： 定理1 3 2 设g 为非d e d e l 【i n d 有限p 群，若g 的所有子群皆循环或正规， 则g 同构于以下群之一： ( 1 ) 坞( 佗，m ) ； ( 2 ) 3 4 阶非正则群； ( 3 ) g = c ，p ”书p ，其中n 2 ，p 为p 3 阶非交换群特别的，若p = 2 ，则 p = d 8 ； ( 4 ) g = q n q 8 ，其中1 , 2 ； ( 5 ) d 8 丰q s ； ( 6 ) q 1 6 ； ( 7 ) ( a ，bia 8 = 1 ，b 4 = a 4 ， a ，6 j = a - 2 ) ； ( 8 ) ( a ，b ，cia 4 = 1 ，b 2 = a 2 ，c 4 = 1 ，【a ，功= a 2 c 2 ， a ，c 】= 1 ，f b ，c 】= c 2 ) ； ( 9 ) ( a ，b ，v ，dla 4 = b 4 = 1 ，c 2 = 口2 6 2 ，d 2 = a 2 ，【a ，纠= a 2 ，【c ，司= a 2 b 2 ，【6 ，c 】= a ，明= b 2 ， a ，c 】= b ，翻= 1 ) 2 0 0 9 年上海大学博士学位论文 第二章预备知识 9 作为全文的准备工作，本章我们主要介绍贯穿全文要用到的基本概念以及 重要结论下文所述的群均指有限群 2 1 基本概念和符号 。本节首先给出有限p 群的一些术语和符号，其他未提及的术语和符号都是 标准的，见 9 4 ，9 5 】 设g 是有限p 群，我们分别用c = c ( g ) 、4 a ) 表示群g 的幂零类、极小生 成元的个数g 的t e e 心群y , i n _ k 中心群列分别是： g = g 1 g 2 g 。+ 1 = 1 ， 齐口 1 = z o ( c ) 历( g ) 0 ，则 ( 1 ) t h ( g ) = ( g p i 夕g ) = 旷i 夕g ) ，其中0 i e ； ( 2 ) q t ( g ) = ( g g i 旷。= 1 ) = 9 a l g p 。= 1 1 ，其中0 i e ； ( 3 ) l u i ( g ) i = i a a , ( a ) l ，其中0 i e ； ( 4 ) a p 。= 6 p 。铮( a b 一1 ) p s = 1 甘( a - 1 6 ) p = 1 ，其中0 i e ； ( 5 ) n p t ，6 】= l 学【a ，6 】p i = 1 管 a ，矿】= 1 ，其中0 i e 对于奇阶亚循环p 群，有 定理2 2 3 【9 5 ，x ，引理5 4 】设g 是亚循环p 群，p 是奇素数，则 ( 1 ) g 是正则的； ( 2 ) 若i g i = 矿，则g 是矿交换的，即满足 ( x y ) p ”= x p ”y p ”，比，y g ； ( 3 ) 若z ，y g 且m 为正整数，则 ，= 秒p m 当且仅当( x - 1 y ) p m = 1 当且仅当( x y 一1 ) p r o 一1 ； ( 4 ) 若z ，y g 且m 为正整数，则 护”，纠= 1 当且仅当囟，y p ”= 1 当且仅当扛，y p ”】= 1 对于导群循环的有限正则p 群，有下面的引理 1 2 几类特殊的有限p 群 引理2 2 3 设有限p 群g 正则，g 7 循环，且i g 7 l = 矿，则g 是p k 交换的， 其中k u 证明对于g 中的任意两个元a ，b ，因为g 正则，所以 ( a b ) p = a p 6 矿田蠼鳄， 其中，d i ( n ，6 ) 7 g 7 ，i = 1 ，2 ，s ，又因k 乱，所以上式等于a p b p 。即 ( a b ) p = a p 垆。，从而g 是矿交换的 下面我们重点来介绍证明和计算过程中反复使用的一些换位子公式 命题2 2 1 9 4 ，i v ，命题1 2 】设g 是群，a ，b ，c g ，则 ( 1 ) a 6 = o o ，h i ； ( 2 ) 【a ，b 】c = 【a 。，6 c 】； ( 3 ) a ，6 】q = b ，a 】= a ，6 一】6 = a ，纠n ； ( 4 ) a b ，c 】= a ，c 】6 6 ，c 】= 陋，c 】 n ，c ，6 】 6 ，e l ； ( 5 ) 陋，b e = a ，c 】陋，6 】c = 陋，c 】 o ，6 】 n ，b ，c 】； ( 6 ) ( w i t t z 州) 【a ，b ，c 】6 【6 ，c ，叫。【c ，a ，6 】口= 1 ； ( 7 ) a ，b ，矿】 c ，a ，6 c 6 ，c ，a 6 】_ 1 命题2 2 2 9 5 ，x ，定理3 1 】设g 为亚交换群且x ，y ，z g ， ( 1 ) 若z g 7 ，则 名，叫_ 1 = 旷z1 ，z 】； ( 2 ) 若y g 7 ，贝i j x y ，z 】= 陋，z 】 ，z 】且 z ，x y 】= z ，z 】 z ，】； ( 3 ) x ，y _ ，z 】= y ，z ，z 】，p ，y ，z z 】= i x ，y ，z 】； ( 4 ) p ，y ，名1 陌，z ，z 】k ，z ，y 】= 1 ； ( 5 ) 若z g 7 ，贝1 i 【z ，y ，z 】= 【z ，z ，秒】 为了更好的叙述下面两个命题，我们约定：对于任意的正整数i j ， 州= ，0 7 ，0 i - 1 j - 1 命题2 2 3 【9 5 ，x ，引理3 2 】设g 为亚交换群，a ，b g ，m ，n 为正整数，则 a mb - = h i i n ，j 6 】( ? ) ( ；) 2 0 0 9 年上海大学博士学位论文 命题2 2 4 9 5 ，x ，定理3 3 】设g 为亚交换群，n ，b g ，他2 ，则 ( a b 一1 ) n = 扩 i 。，歹6 i ( i 轨 1 + j n 2 0 0 9 年上海大学博士学位论文 第三章极小非类2 的有限p 群 1 5 设p 为一群性质，若g 满足性质p ，我们说g 为p 群在研究p 群，特别 当p 为子群遗传且商群遗传的性质时，通常需要了解极小非p 群的一些性质 本章我们将研究一类极小非p 群极小非类2 的有限p 群 3 1 定义及引理u ，n - i 一 本节我们给出一些重要的概念和引理 定义3 1 1 3 0 ，i i i ，6 2 】【4 1 】称群g 满足扎次e n g e l 条件，如果对于任意 的9 ，h g ，有 函，划“- 下面的定理给出了满足2 次e n g e l 条件的群的幂零类的准确回答 引理3 1 1f 3 0 ，i i i ，6 5 】若对群g 中一切z ，y 有 x ，y ，y 】= 1 ，则g 是幂 零的且c ( a ) s3 若g 无3 阶元，则c ( a ) 2 下面我们将介绍一类比较重要的有限p 群极大类p 群 定义3 1 2 【9 5 ，x ，定3 ( 5 5 】设n 2 ，称矿阶群g 为极大类p 群，若g 的幂零类c ( a ) = 佗一1 极大类p 群的简单性质是： 引理3 1 2 【9 5 ，x ，命题5 6 1 设g 是矿阶极大类p 群，则 ( 1 ) g ，_ 圣( g ) ，i a a 7 i = p 2 ，d ( a ) = 2 ； ( 2 ) 对i 2 ，g i 是g 的唯一的p n 一阶正规子群； ( 3 ) 对于0 i 竹一1 ，有五( g ) = g 竹一i 关于亚循环p 群，还有如下比较重要的引理 1 6几类特殊的有限p 群 引理3 1 3 9 5 ，x ，定n 5 2 有限p 群g 亚循环当且仅当v 中( c 7 ) g 3 是亚 循环的 引理3 1 4 9 4 ，i v ，习题1 】设a ，b ，c 是群g 的子群，若b n g ( a ) n y a ( c ) ，则 a b ，c 】= ( a ，q b ，q 最后，我们来介绍下面证明过程中反复用到的换位子公式 引理3 1 5 ( 1 ) 3 0 ，i i i ，6 8 设g 是幂零类为c 的任意有限群，则 【n ? 1 ，。】= 【a l ，n c r m ( 2 ) 设g 为有限p 群且c ( g ) = 3 任取a ，b g ，若p 2 ，则 a p ，6 】= o ，6 】p 【。，b ，o 】( ：) 若p ：2 ，则 a 2 ，6 】：b ，6 】2 【o ，b ，a 4 且 a 4 ，6 】：【o ，6 】4 陋，b ，川g ) 证明对于( 2 ) ，由于c ( a ) = 3 ，因此g g 4 = 1 故由定义2 1 4 知g 亚 交换从而利用命题2 2 3 和c ( g ) = 3 可知， a p ，纠= 【。，6 】p 【。，6 ，0 】( ；) 【n ，6 ，a ，0 4 ( ) 【n ，b ，划；) = 【n ，6 】p 。，6 ，叫g ) p - 1 因此，对于p 2 ，结论显然成立对于p ：2 ，显然 a 2 ，6 】：【n ，6 】2 口，6 ，n 】( ；) = 口，6 】2 n ，b ，n 】进一步，利用命题2 2 3 和c ( g ) ：3 同样可知 a 46 】= n ，6 】4 【n b ，o 】( ：) 3 2 极小非类2 的有限p 群的一般性质 本节我们将分别给出极小非类2 的有限p 群的一些基本性质，判定一个有 限p 群是极小非类2 的两个充分必要条件以及极小非类2 的有限p 群的导群结 构 首先有下面的命题： 命题3 2 1 设g 是极小非类2 的有限p 群，则 ( 1 ) z ( v ) 循环，l g 3 i = p ，c ( g ) = 3 且g 亚交换； ( 2 ) 【西( g ) ，g 】z ( g ) 且u 1 ( g ) sz ( g ) ； 2 0 0 9 年上海大学博士学位论文 1 7 ( 3 ) z ( g ) 圣( g ) ； ( 4 ) d ( g ) s3 ； ( 5 ) 若d ( g ) = 3 ，则p = 3 且g 为正则p 群令g = ( o ，b ，c ) ，则【n ，b ，c 】= b ，c ，o 】_ 【c ，o ，6 】1 证明( 1 ) 设为g 的p 阶正规子群由于g 为极小非类2 的有限p 群， 因此c ( c u ) = 2 且g 3 1 因为c ( c u ) = 2 ，所以g 3 n 注意到g 3 1 且 l n i = p ，因而n = g 3 故g 3 是g 唯一的p 阶正规子群显然g 3 z ( g ) 故 z ( c ) 为循环群且c ( g ) = 3 进一步，由于c ( c ) = 3 ，因此g ”g 4 = 1 从而由 定义2 1 4 知g 亚交换 ( 2 ) 因为西( g ) = g 7 u 1 ( g ) ，所以由引理3 1 4 知，p ( g ) ，g 】m b - g 7 ，g 】【u 1 ( g ) ，g 】 显然【g ，g 】= g 3 z ( g ) 任取z ，可，z g ，由于c ( c ) = 3 且i g 3 i = p ，因此根 据引理3 1 5 ( 1 ) 知p ，可，z 】= z ，z i p = 1 由z 的任意性可得妒，引z ( g ) 注意到t h ( g ) = ( 妒iz g ) 且z ，可具有任意性，因此p 1 ( g ) ，g 】z ( g ) 故 【圣( g ) ，g 】z ( g ) 任取n g 7 且b g ，显然 o ，6 】g 3 进一步，由于c ( c ) = 3 ，因此 【n ，b ，o 】= 1 又由引理3 1 5 ( 2 ) 知 a p ，6 】= 【o ，b p a ，b ，n j 因此【a p ，6 1 = n ，b p 又因【n ，6 】g 3 且l g 3 i = p ，所以【口，b p = 1 从而p ，6 】= 1 故a p z ( g ) 注 意到z 3 1 ( g 7 ) = ( x pi3 7 g ，) ，故t h ( g 7 ) z ( g ) ( 3 ) 利用反证法，假设z ( a ) 差圣( g ) ，则z ( a ) 中必存在g 的一个生成元，不 妨设为c 显然总存在g 的某个极大子群日使得g = i - i ( c ) 由于c z ( g ) ，因 此c ( c ) = c ( t t ) 由于日为g 的极大子群且g 极小非类2 ，因此c ( i - i ) 2 故 c ( g ) 2 ，矛盾从而z ( a ) 圣( g ) ( 4 ) 利用反证法，假设d ( a ) 4 任取n ，b ，c g 且令h = ( o ，b ，c ) ，则 h 1 又由命 题3 2 1 知，u 1 ( g 7 ) z ( c ) 且z ( c ) 为循环群，因此u 1 ( g 7 ) 亦循环从而可得 g 7 鲁岛m c 学一 最后，我们给出下面的命题，其在后面定理的证明中要反复用到 2 0几类特殊的有限p 群 命题3 2 2 设g 为有限p 群，d ( a ) = 3 且g = ( a ，b ，c ) ，c ( a ) = 3 ，则g 满足2 次e n g e l 条件当且仅当a ，b ，e l = 【b ，c ，a 】= c ，a ，6 1 ， a ，b ，b l = a ，b ，a 】= 【b ，c ，c 】= 【b ，c ，6 】= 【c ，a ，a = 【c ，a ，c 】= 1 证明必要性：由于g 满足2 次e n g e l 条件，因此 a ，b c ，酬= 1 注意到 c ( a ) = 3 ，从而 a ，b c ，b e = a ，b ，c 】 o ，c ，6 】因此 a ，b ，c 】= a ，c ，6 】_ 1 = 【c ，a ，6 】进 一步，由a ，b ，c 的对称性可知， a ，b ，e l = i v ，a ，6 】= 6 ，c ，a 1 又由g 满足2 次e n g e l 条件，可知其余结论显然成立 充分性：由于g = ( a ，b ，c ) ，因此a a 7 = ( 丘，b ，磅故任取z ，y g ，则 z = a i l b j l 矿l d l ，y = a i 2 b j 2 扩2 d 2 ，其中d 1 ，d 2 g 7 从而 p ，y ，y 】一a n b j l 1 d 1 ，a i 2 b 1 2 扩2 d 2 ，a i 2 b i 2 c k 2 d 2 】 = 【n ，b ，c 】知2 ( n j 2 一舶【c ，o ，b j 烈k l i 2 - i l k 2 ) b ，c ，叫2 ( 溅一h 妙 又因【a ，b ，c 】= 【b ，c ，叫= 【c ，a ，叼，所以陋，y ，y 】= 1 从而由定义3 1 1 知，g 满足 2 次e n g e l 条件一 理 3 3 分类极小非类2 的有限p 群 本节我们来分类极小非类2 的有限p 群首先假设i g i = 矿，则有下面的定 定理3 3 1 设g 是有限p 群且i g i = p 4 ，则g 是极小非类2 的有限p 群 当且仅当g 是极大类p 群 证明必要性：由命题3 2 1 知，c ( a ) = 3 由于i g i = p 4 ，因此g 为极大类p 群 充分性：若g 是极大类p 群，则由引理3 1 2 知，d ( g ) = 2 ，g 3 是g 唯 一的p 阶正规子群且z ( a ) = g 3 故z ( g ) 循环根据定理3 2 1 知g 为极小非 类2 的有限p 群 根据上面的定理，在下面的证明过程中，我们不妨设i g i p 5 由命题3 2 1 可知d ( a ) 3 ，因此分( 1 ) d ( g ) = 2 和( 2 ) d ( a ) = 3 两种情形来分类群g 2 0 0 9 年上海大学博士学位论文 2 1 3 3 1d ( c ) = 2 本小节我们分类二元生成的极小非类2 的有限p 群g 根据引理3 2 1 ，可 知g 7 或者循环或者同构于锑因此分下列三种情形：( 1 ) g 亚循环；( 2 ) g 7 循环 但g 不亚循环；和( 3 ) g ，竺四，通过下面三个定理来完成二元生成的极小非类 2 的有限p 群g 的分类 首先考虑g 亚循环的情形 定理3 3 2 设g 是亚循环的极小非类2 的有限p 群且l g l p 5 ，则g 同 构于下面的群： ( n ，ba p 2 + 1 = 1 ，b p , + + 1 = a p + 1 ，n b = 0 1 + p ) ， 其中r 1 ，t 0 g 是可裂的当且仅当p 2 ，t = 0 或p = 2 ，r22 ，t = 0 证明首先假设p 2 根据定理1 2 1 ，可