（基础数学专业论文）广义复流形上的n2超共形顶点代数.pdf

ab s t r a c t w 匕 c o ns t r u c t a n=z s u p 幻 如 r m alv e r t exal geb ra(s c v a ) fr om a g e n e r a li z ed c o d 】 讨 exma n l fo l dandcom p ute 七 he b bstcohomol o gy o f ite a 吕 s c 卜 ci a t e dt o p o fo gicaiver t e xa l g e b r a . v 六 子 日 b o wt b a t t his s c v a二 ci d eswi比 t heg e n e r a l l z e dd o b e a t l l t c o h o m ol o g ”m o r eove r ， t heb 朋tcoh o m o lo gyof i t s ， c i at edto p ol o gi c alv e r t exal geb r a iso o r p b l c t o t h e l i e al g e b r of d c o b o m o l o gy. k e y w o r ds:n =zs uper 咖 fo rmaiv 吧 rt e xal g e b r a ， g e j l er a l i z ed fo l d ， b r s tc oho m o l o g y ) l i e a l g e b r o i dc o h o mo l o gy iv 中国科学技术大学学位论文相关声明 本人声明所呈交的学位论文， 是本人在导师指导下进行研究 工作所取得的成果。 除已特别加以标注和致谢的地方外， 论文中 不包含任何他人己经发表或撰写过的研究成果。 与我一同工作的 同志对本研究所做的贡献均已 在论文中作了明确的说明。 本人授权中国科学技术大学拥有学位论文的部分使用权， 即: 学校有权按有关规定向国家有关部门或机构送交论文的复印 件和电 子版， 允许论文被查阅和借阅， 可以将学位论文编入有关 数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、 汇编学位论文。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定 。 作者签名: 年月日 致 谢 感谢我的导师胡森教授， 是他把我引入了数学物理这个美妙的 领域。 他对数学的热情始终感染着周围的每一个人。 同时， 他在学 术上的开放态度， 使我们有机会接触到数学上很多方向的最新结 果， 极大地开阔了我们的视野。 在他的讨论班里， 我们学到了很多 很多。 几年来， 我不仅在学业上得到了胡森教授的悉心指导， 而且 在生活上也得到了他无微不至的关心和帮助。 感谢同组的师兄弟以及科大数学系和上海研究生院的的老师 和同学， 几年来， 大家一起度过了许多美好的时光。 最后， 我要感谢我的父母多年来对我的养育之恩， 以及对我学 业上的支持和鼓励。 第一章绪论 本文旨 在给广义复流形引入顶点代数的结构， 进行这一研究的目的在于 进一步研究镜像对称。 在 物理中 ， 当靶流形( t argetm anifold ) 是 黎曼 流形， k 云 hl er流 形， 或 者h y p e r h 由 l e r 流形时， 。模型分别具有n =1 ， 2 ， 4的超对称扩张。a.模 型包含从一个二维的黎曼流形到另外一个黎曼流形 ( 靶流形) 的映射， 而超 对称依赖于靶流形， 可以推测靶流形是超对称的源头。 如果这种推测正确的 话， 应该从靶流形就可以得到超对称， 并能推到出a.模型的超对称。 近 年 来， 广 义复 结 构的 概念被 n . hi t chin 图 引 入， 他的 学生 mg u a l t i eri 16 对 广义复 几 何理论进 行了 详细的 研究 和扩 展. 在 研究 镜像对称和超对 称 的。模型时， 经常把复流形和辛流形作为靶流形。 而复结构和辛结构在广义 复 几何的 框架下 被完美地统一了。 事实 上， 在n=( 2 ， 2 ) 超对称的 研究中， 广 义复流形已 经被用来作为n=( 2 ， 2 ) 超对称 。 模型的 靶流形了. 此时， 一个 重要的问题就是如何在广义复流形上构造超共形场论。 周 坚在他的 文章11 刀 中， 给出了 一个在复流形上的 n=2 超共形顶点 代 数 ( n=zs c v a) 的构造。 这是构造以复流形为靶流形的n 论的一个非常重要的步骤。 受到周坚的工作的启发， 在本文中 2超共形场 我们在广义 复流形上构造了n=2 超共形顶点代数。 首先， 我 们知道在一个具有极化的向 量空间 上可以 构造一个n=2 超共 形顶点代数结构。同时， 在广义复几何理论中， 一个近广义复结构多对应的 特征 值士 侧 二 丁 所对应的 特征子空间， 刚好给出了 一 个极化。 从而我 们可以 把 这一构造扩展到n二2的超共形顶点代数丛。 更一般地， 我们在一般的向量 丛也可以给出类似的构造。 接下来的问题是， 我们构造的这个超共形顶点代数丛过于庞大. 为了得 到更有意义的n=2 超共形顶点代数， 我们在需要在这一顶点代数丛的截 影空间上做压 上同调群。 此时我们引入广义复流形的全纯向量丛的概念。 通 过百算子的作用， 我们可以定义广义的d o l b e a u l t 上同调群。 因为辛结构是一 2 007 年 第一章 绪论 中 国 科 学 技 术 大 学 硕 士 学 位 论 文第2 页 个特别的广义复结构， 从而作为一个特别的情形， 我们也就得到了辛流形上 的n=2 超共形顶点代数。 此外， 在e g u c h i 和 、 五 n g 的 文 章15中 ， 我 们知 道 有两 种自 然的 方 法 可以 从 己知的n=2超共形顶点代数得到一个拓扑顶点代数。 这两种方法分别叫 做atwist和bt w i s t 。 因此我们构造的n=2的超共形顶点代数就对应了一 个拓扑顶点代数。 而在拓扑顶点代数中， 我们可以计算所谓的b 础t上同调 群， 这在物理中是非常有意义的。 在本文中， 我们就计算了我们所得到的拓 扑顶点代数的b rst 上同调群。 本文的大致安排如下。 在第二章中， 我们介绍顶点代数的基础知识。 第 三章给出如何在一个具有极化的向量空间上构造n=2 超共形顶点代数. 在 第四章中， 我们给出 广义复几何的基本理论。 第五章给出我们的主要结论， 即给出广义复流形上的n=2 超共形顶点代数的构造， 并且计算它所引出的 拓扑顶点代数的b 础t 上同调群。 第二章顶点代数基础 在这一章中， 我们将给出顶点代数的定义， 一些重要的例子和性质。 这 一章主要基于文献!9 ， 17， 1 5 。 卯.1 定义 设v 是一个超空间 (s upe r s p e) ， 即 一个跳一 阶次的向 量空间 v=稀十叭 这里以及以后的0 和1 分别代表2 2 中的元素。 我们说v中一个元素a 具有一 个 奇 偶 性 廊( a) 几是 指 a 任 玲 间. 我 们 定 义 的 场 是 一 个 l aurent级 数 ， 具 有以下形式: a(z) 一 艺a(ul二 一， 这 里a( 司任 e n d v， 并 且 对v中 每 一 个 元素 公 ， 当 几 充 分 大时， 我 们有 a 伍 ) ”=0 如果对所有的。跳， ”任2都有 a( 司 vac凡知 (司 成立， 我 们就说这 个 场 a( 习具有 奇 偶 衡 (a ) 任 跳 。 一 个顶 点代 数( v e r t exa l g e b r a) 包 含以 下内 容: (i)态 空间 一 一 一 个 超 空间 叭 ( 司真空向 量一 一 0任 玲 ， (i 动态场对应一 一 个从 态空间 v 到 场所组成的 空间的映 射， 并且保持奇偶性: 。 、玖 a ， 2) = 艺a(ulz 一 卜 ， 并且满足下列公理: 2 00 7 年中 国 科 学 技 术 大 学 硕 士 学 位 论 文 第二章 顶点代数基础 第4 页 脸注 定义 ( 1)( 变换 协 变性 ) : 定 义协 变算 子 t c e ndv ， t(a)=a( 一 :)l 0) ， 我 们 有: it，y ( a ， 二 ) =刁 y ( a ， 2 ) ( 2 ) ( 真 空 态 ) : y ( 。 ， 司=iv y (a ， 习01二 =o=a (s) ( 局部性) : 对于充分大的n ， 有 ( 2 一 w ) 万 y ( a ， 二 ) 丫 ( 石 ， 。 ) 二 ( 一 1 ) p (a)v(bj ( : 一 、 ) 万 y ( b ， w ) y ( a ， 二 ) 假 设 a( 习= 艺 ， 。 : a 间 2 一 几 一 ， 是 一 个 具 有 奇 偶 饰( a)的 一 个 场 ， 拭 叻= e 。 。 : 标)w 一 任 一 是 一 个 具 有 奇 偶 脚( 二一口片- - - - 气 花) 2一wl z一w厂气 2一w) 则我 们说a 具有共形 权( co n fo rlnalweight)尔 例2. 4一 个 刃二1 超共 形 顶 点 代 数(s upe r c o n fo rlnalvert exa lg e b ra ) ， 简 称 为s c v a ， 是一个满足以下条件的中心荷是c 的共形顶点代数: 它包含了一个 奇向量二任铸 ， 使得这个向量所对应的场是: g( 劝 = 州 二卜 艺 gf z 一 卜 璧 盖 移 2 007 年中 国 科 学 技 术 大 学 硕 士 学 位 论 文第6 页 第二章 顶点 代数基拙松2重要的例子 并且这些场满足下面的o p e: g ( 2 ) g ( w ) 号 c ( : 一， ) 3 l ( 2 ) g 伽) z ee 刀j l ( : ) l ( 二 )、; .华 共 ; 十 典 三 玉 一实 、 2一 w) 一t z一 w -+ 旦 丛 塑 2 一uj 其中 l(习 是virasoro 场. 例 2.5一个n=2 超共形顶点代数， 是一个满足以 下条件的中心荷是c 的共 形顶点 代数: 它包含了 两个奇向 量产 巧和一 个偶向 勤 c巧， 使得这两 个向量所对应的场分别是: 护间= y( 产 ， 2) =e 讲 2 一 卜 亏 ， 盖 + 2 双 2) = y 口 ， 2) 二 e人 2 一 ” 一 并且这些场满足下面的o p e: + ( 2 ) 一 ( w ) c 士 ( 2 ) g 士 ( ， )、 l ( 2 ) l (w)、 双 习 护(w )、 l ( 2 ) j (w) j ( 二 ) ( 2 一 w ) ， l ( w ) +丢 a j ( w ) 十 2 一牡夕 0 肄七+ 翼掣 共 气 2一 切) 1气 多一 w “ 鼻 罕 赵 翼 之 + 旦 旦 包 竺 2 气 2一 w少 2一 叨 井 卿 布 + 塑丝 七 2一 w厂2一 切 告 。 ( 名 一叨 ) 2 + 些 玉塑 z ee钊j j ( 2 ) j ( w ) j ( 2 ) g 士 ( 。 )_* 旦 士 二 些 2 一钊j g 士 ( 2 ) 被 称做 超流 ( s u p ercu r r e ll t s ) 幼d j ( 2 ) isc al l edt heu ( 1 ) 流( u ( 1 ) c ur- ren t ) 。 2 007 年中 国 科 学 技 术 大 学 硕 士 学 位 论 文第7 页 第 二章 顶点代数塞础盼2重 要的 例子 例2. 6一 个 d 阶 的 拓扑顶 点 代 数(t 叩of ogic al ver七 exa l g e b r a) 是一 个中 心 荷为 0 的 共形顶点 代数并且满足下列条 件: 它具 有一个共形权为1 偶向 量j ， 一 个共 形权为1 的 奇向 量q和一个共形权为2 的 奇向 量g . 并且， 他们所对应的 场 满足下列o p e: t ( 2 ) t 伽) j ( 2 ) j ( w ) 一冀 挚 裂 十 竺 业 2 、 2一 甘) ，不一 叨 ( 2 .2 .3 ) d ( 2 一 二 ) 2 ( 2 2 .4 ) t ( : ) j ( w ) g ( 2 ) g ( 。 )、 t ( 2 ) g ( w ) 万 奥 下价奥 禁 布 + 挤 一 w) “t z一 叨) z g( w ) j ( : ) c ( 。 )、 q ( 2 ) q ( 。 ) t ( : ) q ( w ) ( 2 一 ， ) 2 g ( w ) z ee1 u j ( : ) q ( ， ) q ( : ) g ( w ) q ( w ) 2 一1 日 d j ( 。 ) 在 二砰十 吞 万砰+ t ( w ) 2 钊j ( 2 .2 ，1 1 ) ( 2 忍 . 1 2 ) 其中 t ( 劝 是vir留 。 ro场。 观察 方程(z.2 功， 我们可以 得到 q 苦 一 要 iqo， qo 一 0 . 飞 uz “ 、 . ， 、 . j 其中 算子qo被称作刀 月 s t 算子， 另 外上同 调群 h* ( 认q o)=k er q o/ i m qo. 就称为刀 月 泞 t上同调群。 e ，chi 和 y u g 在文 献sj中 指出 了 一 个重 要的 构造可以 把 n二2 超共 形顶点代数和拓扑顶点代数联系起来: 命 题2. 7 给定 一 个 n=2 超 共形 顶点 代数 v ， 它的叭 心口 。场 记为 拭2) ， 超 流为g 土 ( 2) ，而 u ( 1)流记为j( 习 夕 则可以通过下面 公式得到一个 拓扑顶点 代 中 国 科 学 技 术 大 学 硕 士 学 位 论 文第8 页 第二章 顶点代数基础卯 .3顶点 代数的一些性质 貌 t ( 2 )= 去 即 ( 2 )= q ( 2 )= g( 2 )= : ( ) + 合 。 了 ( )， 双习， g + ( 2 ) ， g 一 ( 2 ) ， 或者 t (: ) 一 l (。 一 委 。 j (: )， 几 即 ( : )= 一 j ( 2 ) ， q ( : )= g 一 ( : ) ， g ( 2 )= g+( 2 ) ， 反过来， 如果给定一个拓扑顶点代数， 我们也可以 通过上面的 会式来得到一 个 n=2 超共 形 顶点 代数 结 构. 这 里 的 人 ， ( 2) 表示 拓 扑 顶点 代 数中 的 u ( 1) 流 . 注 2.8命题2. 7 中的两个方式分别被成为at 哪 t 和bt w 幼 t 。 卯.3 顶点代数的一些性质 一个顶点代数之间的同态是指丛一个顶点代数v 到另外一个顶点代数vi的 线性映射: 了: v，v ， 了 保 持 奇偶 性， 并且 对任 意的 a ， b v和 。 任 2 ， 有: f ( a ( 司 b)=j ( a ) 。 j ( b) 进而可以定义自同态和自同构。 两个顶点代数的直和是指， 设u和v两个顶点代数， 可以定义它们的直 和u田v 如下: 0 阳v =0 u 。0 v 中 国 科 学 技 术 大 学 硕 士 学 位 论 文 第二章 顶点代数基 础 卯3 顶点 第9 页 代数的一些性质 y (tl 。 。 ， 2 ) 一 y (。 ， : ) 。 y (。 ， 2 ) = 艺(。 。 ) 。 。 。 ) ) 2 一 ” 一 ， 顶点 代数 v 的 一个 于代数是一个 包 含0 的 子空间 u ， 使得对所有的 a u 有: 嘶ucu 显然u 是一个顶点代数， 并且有 y ( a ， 2 )一 艺a 。 1 。 : ” 一 ”仁 2 顶点 代数 v 的 一 个理想是一 个t-不 变的 子空间 1 ， 它不 包括0) ， 并且 对 所有的a 任v ， 有: a 回i ci 显然对所有的o ci ， 有: a( 动 vcl 给定两个顶点代数u和v， 则uv也是一个顶点代数， 其中它的真空 向量和态一 场对应分别为: !0 ) 物v =0 ) v 0 ) v y (。 。 。 ， 2 ) 一 二 ( 。 ， 2 ) 。 二 (。 ， 2 ) 一又(。 。 ) 。 。 、 ) 2 - 。 一2 协， n c z 如果u是一个顶点代数而v是一个共形顶点代数， 共形向量为即. 则uqv 也是一个共形顶点代数， 其中 它的 共形向 量为。 ) u 。 即. 如果此时 u也是一 个共形顶点 代数， 共形向 量为咋， 则uqv仍然是一个共形顶点代数， 它的 共形向 量是 勿。10 v +10 坛。咋. 顶点 代数 上 一 个 k 阶 导子(d erivati on) 是 一 个k 阶的 线 性映 射 8: v 一 v 对任意a 任v 和。2 满足: 5 ( a 份 ) b ) = ( sa) 间 b + ( 一 1 ) ia la (， ) ( sb) 一 个微 分算 子( d i ffe r e 时 1 劝d 是一 个1 阶导 子 并且满 足尹=0. 中 国 科 学 技 术 大 学 硕 士 学 位 论 第二章 顶点代数基 j 出 互 2 3 文第10页 顶点代数的一些性质 引 理2. 9如果 d 是顶点 代数v上的 一个微分， 则k er d 是v 的 一个子 顶点代 数， i m d 是k er 涌一个 理想. 从而 上同 调 群h ( 认司=ke心 / 介 耐 就 是一 个 顶 点代数. 同样的结论对于共形顶点代数和n=n 超共形代数也是成立的. 下面设v 是一个顶点代数， m是一个光滑流形。 m上一个纤维型为v 的 顶点代数丛是指一个纤维型为v的向 量丛二: e*m 并且丛上的变换函数 都是顶点代数v的自同构。 同 样的我们可以定义共形顶点代数丛和超共形顶 点 代数 丛。 这里 我们要 提 及周 坚 在 文 献l 刃 指出的 一 个结 果: 引 理2 . 1 0给定 一个 顶点 代 数丛 e*m， 则 这个丛 上的 截 影空 间 r( 习 具 有 一个 诱导的顶点 代数结构， 对于 共形 顶点 代数丛和超共形定点的 代数丛 也有 相同的结论. 证明: 因 为0在同 构变换 下 保 持 不 变， 于 是这 就定 义了 零 截影: 1 0) m 。 给定 两个截影a和b ， 则映射 : ( 材) *a ( x ) 仆 ) b ( 二 ) 就 定 义了 一 个截影， 记作 a( 叼 b 。 容 易 验 证 y ( a ， 二 ) b 一 艺a 。 ) b z 一 ” 一 从而我们就得到了 r(e ) 上的 一 个顶点 代数结构。 第三章向量空间上构造n二2 超共形顶点代数 在 这一 章里， 我 们引 用文 献 13 ， 1 刀中的 结 果， 给出 一 个在 具有内 积和 极化的向量空间上的n二2 超共形顶点代数的构造. 9 3 . i n e veu-s c h w arz构造 下面设 t是一 个有限维的向 量空间， 它上面 有一个的内 积 9 。 t一个极 化是指满足下面条件的一个分解: t=t l 由护 其中 对 al ， 勿任 ti和 bl ， 帐任 尸， 我 们有 9 ( a i ， 电 ) =夕 ( b i ， 帐 ) =0 如 果 给定( t，刃 的 一 个 极化 t=t l 由护 显然， 9 诱导了 一个同 构 尸望( t ) ， . 如果( t ， 刃是一个z m 维的向 量空间， 并且具有极 化t=t i 。产 ， 我们 假定 bl ， . ， . ， 俨1 是 ti 的 一组 基， c ， ，. ， 产 是 尸 的 一 组基， 并 且满 足 抓 护 ， 夕 ) =凡 定义空间 b (t， ， ) = 5 ( 一 “ t ) 。 5 ( 一 ” 产 ) 是由下列对称形式张成的 班 kl _ ， 比 一 1 心1 一 ; 之 卜 : 其中 棍 ， 几 之。 。 这 里的 =云 、， 其中 a c 护 ， 了 且 。 任 2 。 对于 夕和 j， 我 们可以 定义 它 们 对应的 场， 这 些 场作 用在b ( t，刃上: 州 2) = e喻: 一 ” 一 1 1 中 国 科 学 技 术 大 学 硕 士 学 位 论 文第12页 第三章 向童空间上构造n=2 超共形顶点代数妇. in eve 企 s c h w a r z 构造 以 习 = 又响: 一 ” 一 ， 对 于 “ 0 是由下面反对称形式张成的: 心1 一 i 此 一 ， 此: 一 l 此，一 ， / 其中 概 ， 1 20 ， 这里的 衣， =亡 一 r 功 ， 其中 劝 c 尹 ， 训1 且 。 任 2 对于 尹和训， 我们可以 定义它们对应的 场， 这些场作用在f ( t，功上: 试 习 =艺喻: 一孟 ， ， c 盖 + 2 似习 一又 作 )z 一截 r 。 盖 + 2 对 于 r 0，峨 r ) 和 叻 扬就 是 用 忆， 和 讹， 分 别 和 尸 ( 界 功中 的 元 素 做 缩 并 根据文献文献!13， 1 刀 ， 我们有下面结论: 命 题3. 1 如果( t，功是一 个 有限 维的 复向 量空间 ， 并 且 有极化t = 分， 把这组基分别写作脚和钾， 和 少 ， 则 : .基开且满 足夕 脚， 尸) =凡 在费米部分，把这组基分 设 砂 和j仔分别为 ti 和尸 的 一 组 基并 且满 足夕 少， 尸) t l e产。 在波色部 别写作 尹 (a) b(t，刃有一 个 顶点算 子 代数的 结 构 ， 定 义 如下 : 州 边 kl 一 ， 琏 一 1 心， 一 ; 心 t 一 : ， 2) 二 : 越 k ) 护 ( 2 ) 二 妙) y ( : ) 砂 ) 护 ( 二 ) 越 ， ) 沙 ( 2 ) : 它的共形向童为助 =e心己 : . 这 里 还 有 以 后 我 们 的 记 号 小 叼 表 示 击 少 2 007 年中 国 科 学 技 术 大 学 硕 士 学 位 论 文 第13页 第三章 向量空间 上构造n=2 超共形顶点代数妇zr a m ond- r 池 功 创 】 d 构造 (4) 尸 ( 界功有一个顶点算子 代数的结 构， 定义 如t: y ( 心1 一 l 沪 气 一 盖 此: 一 厂 叽一 扩 习 : 毋 ) 尹 ( : ) 越 ) 沪 ( 2 ) 砂， ) 少 ( 2 ) . 毋t) 沪间: 它的共形向量为即二辉吸气+ 辉唤八 (c) v(t，功=f(t，川b(t，刃上有一个n二2 超共形顶点 代数结构， 它的 共 形 权 是哥 d 如 t ， 它 的 定 义中 的 那 些 特 别的 向 量 如下 : 社一 艺七诞 告 二 一e八内 卜e诞 盖 健 丢 一 黔。 + 叠 军 吻 生; + 叠 琴 生。沈 注3. 2显然命题3 . 1 中的 这些向 量 和基的 选取无关。 如果我 们记g 斌t i ) 为t i 上的 一般线性群。 因 为 ti( 卯) . ， 所以 g 侧ti) 诱导作用在 护上， 从而g 双ti) 作 用 在 t 上， 并 且 保持 9 。 这 个 作用 可以 分别 扩 展到 b ( t ， 功和 f ( 界刃上， 成 为 顶 点 代数的 一 个自 同 构， 进而 成 为 v ( t ， 刃的 一 个 n=绝 超 共 形 顶 点 代 数 的自同构。 写 3 . 2 助m o n d 一 r 滋 m o n d构造 类似n-s 构造， 我们还可以 通过以 下方式构造在具有内 积和极化的向 量 空间上给出了一个n二2 超共形顶点代数的构造。 下面假设关于向 量空间和 极化的记号和上一节相同。 下面定义空间 b (t， 。 ) = ” 之05 ( t 一 “ t ) 。5 (t 一 ” 产 ) 中 国 科 学 技 术 大 学 硕 士 学 位 论 文 第14页 第三章 向量空间上构造n=2 超共形顶点代数 互 3 忍 rjamon d 一 r 泊 n o n d 构造 是由下列对称形式张成的 班 kl 地 心1 一 ， 己 。 一 : 其 中 棍 应全 。 ， 这 里 气一 俨 。 ， 其 中 。 。 护 尸 且 。 。 2 . _ 对 于 夕 和 已我 们 可 以 定 义 它 们 对 应 的 场 ， 这 些 场 作 用 在 b ( t， 刃 上 : 夕 冈一 e喻厂 气 了 ( ) 一 艺禾 ): 一 卜 对 于 n 0，代 叼和 咬 动分 别 是 用 班 。 和 已 。 对 b ( t， 功的 元 素 做 。 倍 缩 并 ; 对 于 n = 0，喻= 0 而 0) 是 用 咤 对 b ( t， 川的 元 素 做 缩 并 。 下面定义空间 侧 界 功 = a(t一 ， ， ) 0 oa(t一 ” 哟 是由下面反对称形式张成的 记、 1 此、 此: 一 ， 伐 一 : 其中 肠 ， 之 0 ， 这 里。 =云 一 ” 沪 其中 功 任 尹 ， 训 ， 且 。 c z. 对于 尹和 训， 我 们可以 定 义它们 对 应的 场， 这 些场 作 用在 尸 ( t，功 上: 叭习 一 又喻 色 叭2) = e砂 zn) z ” 一 对 于 “ 。 ， 略) 和 叻 zn)分 别 是 用 此 。 和 讹 。 对 f ( t， 刃的 元 素 做 缩 并 ; 对 于 。 = 0，峨 0) = 0 而 砂 ;0)是 用 锡 对 f (t ， 功 的 元 素 做 缩 并 。 类似于n-s 情形， 我们有 2 0 0 7 年 中 国 科 学 技 术 大 学 硕 士 学 位 论 文第15页 第三章 向量空间上构造n=2 超共形顶点代数 写 3 沱 r 泊 切 o n d- r a m o n d 构造 命 题3. 3 如果 ( t ， 刃是一个 有限 维的 复 向 量空 间 ， 并 且 有极化 t = ti。 产. 设 日 和 仃 俘分 别 为 ti和 护的 一 组 基 并 且 满 彻归， 尸 ) =凡. 在 波 色 部 分 ， 把这 组 基 分 别 写 作 码 和 佃 ， 在费 米 部 分， 把这 组 基分 别 写 作 护 和 叻 ， 则 : (a) 侧t，刃有一个顶点算子代数的 结构， 定义 如下 : y ( 心: 必 k. 心1 一 : 心。 一 : ， 习 = : 越 花 ， ) 夕 ( 二 ) 二越 k ) 扩 ( : ) 毋 ) 夕 ( 2 ) 妙) 沙 ( : ) : 它的 共形向 量为 吻=艺 眨 1 过 ， ; ( 习存在 极大 迷向 子空间 l ( vov *) c ， 并 且l n 工 = 0 5)存 在纯 旋量 甲 ， 并 且仲 ， 词尹0 互 4. 2 可积性条件 写 4 . 2 1 设m 克朗括号 是一个流形， 于是在t m 由7*m 上有个自然的内积， 定义为: ( x+若 ， y+ 一豆 ( ( ( y ) +c ( x) ) 这个内积可以扩展到 tcm由几m=( t me尹m) c 我们把这个内 积记作水 2 00 7 年中 国 科 学 技 术 大 学 硕 士 学 位 论 文第19页 第四 章 广义复几 何互 4 忍可积性 条件 下 面 我 们 在 tcm。 咫m上 定 义 克朗 括 号( cour ant b r ac k e t ) : x+ 心 ， y+引 其中， 乙 义 为李导子。 一 lx ， 州 + 众 一 “一 姜 d (、 一 ， : ) m上的 一 个广义 近复结 构( g e n e r aliz e d al m o stc o m p 1e x st r u c t ure) 是一 个 对应于内 积刀 的正交的 丛映 射: 了 二 tm 由尹m * t 材 由t m 并且满足尹 =一 1 。 另外如果这个广义近复结构j 的 沪万 特征丛l在克朗 括 号下 是闭 的， 那么 我 们 就说 这 个 广 义近复 结 构是 可积的 (i nt egrab le)。 在这 种情况下， 一个广义近复结构就成为一个广义复结构。自 然地， 一个广义复 流 形( g e n e r ali ze d com p le x 二 fo ld)就 是 具 有 广义 复 结 构 的 一 个 偶 数 维 的 流 形. 设 万是 广义复结 构 了 的 卜沪 万升 特征丛， 那么， 内 积 刀 显 然诱导了 一个 同 构忑望l ， 。 写 4. 2. 2 李代数体 一个李代数体( li e al g eb ro i d ) 是光滑流形m 上的 一个向 量丛 l并且在 截影空间 r(助上具有某个李括号!， 和一个丛映 射a : l ，t ， 满足 a ( ix， 州) =la ( x ) ， a ( y ) 1 ， 丫 义 ， y任 r ( 习 和 x， 了 月=了 x， 月+(a(x)j) y， vx， y任 r( 助， 了 任 c . ( m) 其中 这个丛映射a : l *t称为 描( a n c h o r ) 。 如 果 l 是 一 个李 代 数 体， 我 们可以 定 义李 代 数 体导 子( lj e al ge b r of d d e r i v- ative ) 一 一 心. 它 是 一 个从 截影空 间 r( 砂l) 到 截 影空间 r( 八 七 +l l*) 的 线 性 算 子。 定义如下: 心以 xo， 二， 瓜)=e( 一 1 ) a (凡 ) 。 ( xo 十 又( 一 1 户可 x.， ， ， 凡， ， 瓜) 凡】 ， xo， ， 丸， 二， 凡，二 ， 瓜) ， 2 007 年中 国 科 学 技 术 大 学 硕 士 学 位 论 文第20页 第四 章 广义 复几 何触2可积性条件 其中 。 c r( 八 七 l* ) ， 凡任 少( 匀。 因 为 李 括 号 ， 满 足 j acohi 恒 等 式， 我 们 可以 验证算子心满足 雌= 0 因此， ( r ( 八 . l * ) ， 心) 配合我们刚定义的李代数体就成为一个自然的微分复形。此时我们就可以 考 虑心 一 上同 调 群。 这 个 上同 调 群叫 做李 代 数 体 上同 调 群 ( li e a l g e br of d co ho- 功 d 。 罗 ) 。 如 果 e是 一 个向 量 丛， 我 们可以 定 义李 代 数 体 联 络( li e al ge br of d e o n n e c 七 l o n ) : d: r(e ) *r(l*oe ) 定义为: d ( j s ) =( 丸f ) 。5 +j d ， 其中 j c 。 ( m) ， ， 任 r(e ) . 这 个定 义可以 扩 张到 几 : r( 八 忆巾 。 e ) *r( 八 杆 il . 司 其定义为: dl( 户 。 5 ) = 心 群 。 5 + ( 一 1 ) 1拜 1拌 入 d s 此时， 我 们 称 d 呈 为 该 联 络的曲 率 (c i l r v a t u r e) 。 9 4. 2. 3 可 积性条 件与李代数体的关系 由 文献 s我们知道， 如果流形m 上具有广义复结构j，并且如果l 是j 的 护万 特征丛， 则 l是一 个李代数体， 它所对应的 李括号 就是 广义复结 构中的克朗括号， 而锚映射就是投影映射 了: l 叶 tm 并且广义复结构的可积性条件刚好等价于 嵘=0 如果e是广义复流形上的一个复向量， l 是广义复结构的沪万 特征丛。 如果几 是关于l 的一 个李代数体联络， 并且如果有 成= 0 200 7 年中 国 科 学 技 术 大 学 硕 士 学 位 论 文第21页 第四 章 广义复几何互 4 3 两个极端的例子 则 我 们 称 ( e ， 几) 为 一 个 广 义 全 纯 向 量 丛 ( ge ne 励ze d holo m or p hi o vec七 orb lln ， die) 。 于是， 如果e 是一个广义全纯向量丛， 则 ( r ( 八 石 。 刃 ) ， 几) 形成一 个自 然的 复形， 于是我们可以 考虑 几一 上同 调群， 我们称这个上同调 群为广义d ol bea t 上同调群。 芍 4. 3 两个极端的例子 下面我们把广义复结构写成矩阵的形式: 其中， j: v*v， 尸: v * * v，v* . t v* k: 、.声zv 尸kt jq:v /了.、q 由于丁 2 =一 1 ， 我们有: 尹十尸 q = 一 1 j 尸十尸 亢= 0 kq+l j = 0 q 尸+护 = 一 1 而由正交性， 我们有: k = 一 jt 尸= 一 尸 q t= 一 q 例4.3通常的复结构是一个广义复结构。 设j 是流形m上的一个的复结构， 广义复结构可以定义为: j 二 中 国 科 学 技 术 大 学 硕 士 学 位 论 文第2 2 页 第四章 广义复几何 转3两个极端的例子 此时 ， j 所 对应的 极大 迷向 子空间， 即 俨 刁 特征 子空 间为 : l ， =几o m。 吸i m 它 所 对 应的 纯 旋 量 是 体 积 形 式 。 。 而 广 义 复 结 构 的 可 积 性 条 件 就 是 复 结构的可积性条件。 例4. 4通常的辛结构是一个广义复结构。 设。 是流形m上的一个的辛结构， 广义复结构可以定义为: 、.才/ 钾且 - 刚0 0公 矛了.甩、 一一 j 此时， j 所对应的极大迷向 子空间，即沪万 特征子空间为: 几 = x+ 沪不义 叫 xct m 。 它 所 对 应的 纯 旋 量 是 e 护 刁 . 而 广 义 复 结 构的 可 积性 条件就是山 =0. 第五章在广义复流形上构造n二2 超共形顶点代数 在本章中， 我 们得到了 n=2 超共形顶点 代数的 构造， 并计算它 所诱导 的拓扑顶点代数的b bs t 上同调群。 如. 1 广义近复 流形情形 如 果( m， 了 ) 是 一个广义近复 流形， 因为 尹 =一 1 ， 所以向 量丛 tcm 由耳m 可以被表示为两个子丛的直和: l由 l* 其中 l 是 广义近复结 构j的俨万 特征丛， l 是卜杯万卜 特征丛. 因 为l是 极大迷向子空间， 从而这个分解就给出了一个极化， 则由第三章的构造， 我 们有: 定理 5. 1 如果( 从 刃 是一个广义 近复流 形， 则在m 上 存在一个n=2 超 共形顶点代数结构: v ( 石 。 万 ， 刀 ) l 和l 分别是 j的必 刁一 特 征丛 和卜侧 二 丁 卜 特 征丛. 如.2 广义复流形情形 下面假设 j， 即( m， j ) 是一 个广义复 流形。 由 定 理5. 1 相同的方 法， 我 们 可以得到了n =2 超共形顶点代数丛。事实上， 如果我们给定一个广义全纯 向量丛e ，配合广义全纯联络百 ，把它的对偶从记为矛，于是e由矛上有个 自 然的内 积， 仍然记 作刀 。 于是， 类似定理 5. 1 ， 我们得到了 一个n=2 超共形 顶点 代数v ( eoe *) ， 功 定理5 .2如果( 城 j ) 是一个广义复流 形， l 是j 的 了 二 丁 漪征丛. 如果 e是 相对于l 的广义 全纯向 量丛， 则在 m上 存在一 个n=2 超共形顶点代数结 构: v ( eoe * ， 刀 ) 2 00 7 年中 国 科 学 技 术 大 学 硕 士 学 位 论 文第 24页 塑迄二望丛塑生鲤竺型丝竺些丛生一一丝广 些 壑鲤丝型 但是这样的顶点代数丛往往太大了，为了得到更有意义的顶点代数结 构， 我 们一般需要计 算它的 上同调群 ， 从而 得到 更为有意 义的 顶点 代数。 事实上， 我们可以截影空间。 根据定理5. 2 和引理2. 10， 我们知道 a (l*)v ( e oe ， ， 功 具有一个n=2 超共形顶点代数结构。 另外根据例2. 2 ， 我们可以 把 a ( l *)=a . l . 看作是一个全纯的顶点代数， 从而我们可以得到 r ( a ( 石 * ) ov ( eoe * ， 刀 ) ) 具有一个n =2 超共形顶点代数结构。 假设 算子 百 是广 义全纯向 量丛 召 对 应的 李 代数体联 络. 因 为 v ( e o e . ， 功 实际上 无限多 个e和 e . 的 张量积， 从而 仍然是广 义全纯的， 另外算子 百可 以扩展定义到 r 伍( l * ) 。v ( e oe * ， ， ) ) 这个扩展的算子仍然记作百 . 显然这个联络的曲率是平凡的， 即: 扩= 0 所以 算子 百可以 看成是 一个顶点 代数的微 分算子， 从 而根据引 理2. 9 ， 我们得 到: 定 理5. 3 如 果 ( m，刃是 一 个 广 义 复 流 形 ， l 是 j的 了 万. 特 征 丛 . 如 果 (e ， 两 是m 上的广义全纯向量丛及其李代数体联络. 则我们可以得到一个n=2 超 共形顶点代数 码( m，a (l * ) 。 v (e o e * ， 夕 ) ) 并且， 它通过bt 叨 初 t 得到一个拓扑顶点代数的刀 月 s t 上同调群同构于李代数 体上同调群. 2 加7 年中国 科 学 技 术 大 学 硕 士 学 位 论 第五章 在广义复流形上构造n=2 超共形顶点代数 第25 页 广义复流形情形 文躺 这个n = 2 超共形顶点代数存在性的证明是明显的。下面我们计算它 的b rst 上同调群.这个我们需要一个引理。这个引理主要参考malik ov - s chec h t lnan一 v 苗 n t ro b ll 习 。 引理5. 4如果q 。 是通过b细初 碍到的br s t算子.则顶点代数人 ( w) v( tl。 产，功的 qo止同 调 群 是 a ( w ) ， 其中 w是 一 个 向 量 空 间 . 证明:这里我们采用命题3 . 1 中的记号， 回忆命题2 . 7 中bt w is t的定义。 我们有 q( z) = g 一 阔一 州 二 一 ， 习 =:艺j (z) 州习:= ee木 ) 峨 、 2 一 ”一 这里我们 忽略了正 规顺 序乘积， 因为 了和尹总是 可以 交换的 。 另外， 我 们有 。 ( : ) = e。 ， 2 一 ” - 所 以， qo一 艺e嗬叫 一 、 + 艺艺嗬峨 一 。 ) ” 0” 之 0德 我们分别记 q 一 e艺心 ) 叫 一 * q 十 = 艺又木 ) 代 一 、 显然， 我们有 q 兰 = q 军 =q 一 ， q + =0 同时我们还有 a( w ) v(tl。 护， 刃= a(w ) 。 vi。 巧 其中， 巧 一 a (t 一 ” 均。 s(t” 均， ” 之0” 七 0 姚一 a(t一 哟。 s( 尸 哟. 中 国 科 学 技 术大 学 硕 士 学 位 论 文 第五章 在广义复流形上构造n=2 超共形顶点代数 第26 页 2广义复流形情形 另外， 我们知道巧是由 下面 形式的 元素张成的: 沪 。 : 丫 此 心 : 践 其 中 ka ， 全氏 同样地， 岭 是由下面形式的元素张成的: 劝 气一 ， 叻 玩一 1 心 ， 一 : 么 : 一 ; 其中 ka ， 几 之00 q +作用 在巧上可以 看成是 无限多 个t 又 的张 量积上的一个derhaln 复 形， 而 作用 在巧 和 a ( w) 上是 平凡的. 类 似地， q 一 作用在巧 上 可以 看成是 无限 多个 护 的 张量积上的 一个 k 、 zul 复形， 而 作用在巧和a(w) 上是平 凡 的 . 从而 在计算q 十 一 上同 调群 和q 一 上同 调群的时候， vi和巧 就 被分别消去 了， 这就完成了证明。 定理5. 3 的证明: 我们注意到在截影空间 r( a ( l*) v ( eoe . ， 刃 ) 有两 个微分算子 作用一 一q o 和百 。 显 然我 们有 端一 扩一 !qo ， 司 = 0 我们构造的n=2 超共形顶点代数 碍( m ， a ( l * ) 。v ( e田e . ， 刀 ) ) 实际是从 r ( a ( l * ) 。v ( eoe * ， 刀 ) ) 通过做 压 上同 调群得到的。 然 后在做 q 。 一 上同调 群得到 b 朋t上同调 群。 现在我们交换一 下它们的 顺 序， 我们先做 q 。 一 上同 调群， 然后再 做压 上 同 调群. 根 据引理 5. 4 ， 我们 知道qo一 上同 调群是 r(a(l*) ) . 在这种情况下， 联 络百 就退化为李代数体导 子心。 于是 压 上同 调群就是李 代数体上同调群。 这 就完成了证明。 中 国 科 学 技 术 大 学 硕 士 学 位 论 文 第五章 在广义复流形上构造n=2 超共形顶点代数 9 5 忍 第2 7 页 广义复流形情形 注 5.5广义全纯的概念并没有复结构中那么直观，所以我们所知道的广义 全 纯向 量丛的 例子不多。 我 们知道， 纯 旋量线丛 就是一个 广义全纯向 量丛. 但纯旋量线丛在最重要的广义c al a bi-、 妞 u 的情况下是平凡的。 所以要想得到 更有意义的顶点代数， 我们需要找到非平