（运筹学与控制论专业论文）区间数互补判断矩阵的区间权重求解和排序方法研究.pdf

广西大学学位论文原创性声明和学位论文使用授权说明 学位论文原创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是在导师指导下完成的，研究工作所取得的成果和相关 知识产权属广西大学所有除已注明部分外，论文中不包含其他人已经发表过的研究成果， 也不包含本人为获得其它学位而使用过的内容对本文的研究工作提供过重要帮助的个 人和集体，均已在论文中明确说明并致谢 论文作者虢锕 形年石月珈 学位论文使用授权说明 本人完全了解广西大学关于收集、保存、使用学位论文的规定，即： 本人保证不以其它单位为第一署名单位发表或使用本论文的研究内容； 按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本； 学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并提供目录检索与阅览服务； 学校可以采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存论文； 在不以赢利为目的的前提下，学校可以公布论文的部分或全部内容 请选择发布时间： 口即时发布口解密后发布 ( 保密论文需注明，并在解密后遵守此规定) 做作者始节研翩签名狲协年多月纠日 区间数互补判断矩阵的区间权重求解和排序方法研究 摘要 层次分析法( a h p ) 是多属性决策的一个有效工具和重要方法，其关键在 于采取合理的标度系统将决策者对不同方案( 属性) 的偏好程度两两比较 量化以后，如何结合决策者给出的判断矩阵导出方案或属性的权重向量但 在利用a h p 进行实际的决策过程中，由于事物的复杂性、不确定性以及决策 者思维能力和知识水平的局限性，决策者提供的偏好信息常常是区间数形 式而不再是精确的实数于是，如何利用决策者给出的区间数互反或互补判 断矩阵对方案进行择优或排序，便成为一个困难但很重要的研究课题 本文主要针对区间数互补判断矩阵和残缺区间数互补判断矩阵的权重 求解及排序方法进行研究，主要研究内容有如下几个方面： ( 1 ) 给出现有的区间数互补判断矩阵一致性定义及排序方法，并指出现 有一些排序方法的不足 ( 2 ) 基于实模糊互补判断矩阵的一致性定义给出区间数互补判断矩阵 新的一致性定义，并举例说明新一致性定义下的一致性区间数互补判断矩 阵的存在性 ( 3 ) 基于区间数互补判断矩阵新的一致性定义，给出简单实用的区间权 重求解方法，并通过理论和算例将本文所给方法与现存文献中主要的、引用 率较高的区间权重求解方法进行比较，说明本文所给方法的优越性 ( 4 ) 定义了加性和乘性一致性残缺区间数互补判断矩阵，并给出了可接 受残缺区间互补判断矩阵的概念及其可接受检验方法基于所给一致性定 t 义，对可接受和不可接受的残缺区间数互补判断矩阵分别给出了两种排序 方法，并将所给排序方法与现有排序方法进行了比较，说明了所给方法的优 越性最后，对所给的新排序方法也进行了比较 关键词：层次分析法偏好排序一致性残缺区间数互补判断矩阵 i i r e s e a r c ho nm e t h o d sf o ro b t a i n i n ga n d r a n n gi n t e r v a lp r i o r i t yf r o ma ni n t e r v a l c o m p l e m e n t a r yj u d g m e n tm a t r i x a b s t r a c t a n a l y t i ch i e r a r c h yp r o c e s s ( a h p ) i sa ne f f e c t i v et o o la n di m p o r t a n t m e t h o do fm u l t i a t t r i b u t ed e c i s i o nm a k i n g ，a n di t sk e yl i e si nh o wt od e r i v et h e p r i o r i t yv e c t o ro f t h ea l t e m a t i v e so ra t t r i b u t e sa f t e rt h ed e c i s i o nm a k e r g a v et h e j u d g m e n tm a t r i x ，w h o s ee l e m e n t sa r et h eq u a n t i z a t i o no ft h ei m p o r t a n c ed e g r e e b e t w e e nd if f e r e n ta l t e r n a t i v e so ra t t r i b u t e sb a s eo nar a t i o n a ls c a l es y s t e m s h o w e v e r ，w h e nu s i n ga h p t om a k ed e c i s i o ni nr e a l l i f e ，t h ed e c i s i o nm a k e r m a yn o te s t i m a t eh i s h e rp r e f e r e n c ew i t he x a c tn u m e r i c a lv a l u e ，b u tw i t h i n t e r v a ln u m b e rb e c a u s eo ft h ec o m p l e x i t ya n du n c e r t a i n t yo ft h er e a l - w o r d ，a n d t h ed e c i s i o nm a k e r sl i m i t e ds t r u c t u r eo fk n o w l e d g ea n dt h i n k i n ga b i l i t y s o h o wt or a n kt h ea l t e r n a t i v e sb a s eo nt h ei n t e r v a lc o m p l e m e n t a r yj u d g m e n t m a t r i xo ri n t e r v a lc o m p a r i s o nm a t r i xg i v e nb yt h ed e c i s i o nm a k e ri sb e c o m i n ga d i f f c u l tb u ti m p o r t a n tr e s e a r c hs u b j e c t t h em a i nc o n t e n to ft h i st h e s i si so nt h ep r o b l e mo fh o wt od e r i v et h e p r i o r i t yv e c t o ra n dt h eo r d e rr e l a t i o no ft h ea l t e r n a t i v e so ra t t r i b u t e sb a s eo nt h e i n t e r v a lc o m p l e m e n t a r yj u d g m e n tm a t r i xo ri n c o m p l e t ei n t e r v a lc o m p l e m e n t a r y j u d g m e n tm a t r i xw h i c h i sg i v e nb yt h ed e c i s i o nm a k e r t h ea c h i e v e m e n t sa l ea s i l l f o l l o w s ： f i r s t l y , e x i s t i n gc o n c e p t so fc o n s i s t e n ti n t e r v a lc o m p l e m e n t a r yj u d g m e n t m a t r i xa n dm e t h o d sf o r d e r i v i n g t h e p r i o r i t y v e c t o rf r o ma ni n t e r v a l c o m p l e m e n t a r yj u d g m e n tm a t r i xa r ei n t r o d u c e d ，a n dt h es h o r t c o m i n g so fs o m e e x i s t i n gm e t h o d sa r ea l s op o i n t e do u t s e c o n d l y , an e wc o n c e p to fc o n s i s t e n ti n t e r v a lc o m p l e m e n t a r yj u d g m e n t m a t r i xi sd e f i n e db a s e dt h ec o n c e p to fc o n s i s t e n tc o m p l e m e n t a r yj u d g m e n t m a t r i x ，a n da ni n t e r v a lc o m p l e m e n t a r yj u d g m e n tm a t r i xi sg i v e nt op r o v et h e e x i s t e n c eo ft h en e wc o n s i s t e n ti n t e r v a lc o m p l e m e n t a r y j u d g m e n tm a t r i x t h i r d l y , as i m p l ea n dp r a c t i c a lm e t h o df o rd e r i v i n gt h ep r i o r i t yv e c t o rf r o m a ni n t e r v a l c o m p l e m e n t a r yj u d g m e n tm a t r i xi sp r o p o s e db a s eo nt h en e w c o n c e p to fc o n s i s t e n ti n t e r v a lc o m p l e m e n t a r yj u d g m e n tm a t r i x c o m p a r i s o n s w i t ha ne x i s t i n gm e t h o dw h i c hi sq u o t e df r e q u e n t l ya r ea l s om a d eb o t ht h r o u g h t h e o r ya n de x a m p l et os h o wt h es u p e r i o r i t yo ft h ep r o p o s e dm e t h o d f i n a l l y , t h ea d d i t i v ea n dm u l t i p l i c a t i v ec o n s i s t e n ti n c o m p l e t ec o n s i s t e n t i n t e r v a l c o m p l e m e n t a r yj u d g m e n tm a t r i x a r ed e f i n e d t h e a c c e p t a b l i l i t y i n c o m p l e t ei n t e r v a lc o m p l e m e n t a r yj u d g m e n tm a t r i xa r ea l s od e f i n e d ，a n da m e t h o df o rj u d g i n gw h e t h e ra ni n c o m p l e t ec o n s i s t e n ti n t e r v a lc o m p l e m e n t a r y j u d g m e n tm a t r i xi sa c c e p t a b l eo rn o ti sg i v e n b a s eo nt h e s en e wc o n c e p t s ，f o r a ni n c o m p l e t ei n t e r v a lc o m p l e m e n t a r yj u d g m e n tm a t r i xn om a t t e rw h e t h e ri ti s a c c e p t a b l eo rn o t ，w eb o t hp r o p o s e dt w om e t h o d sf o rd e r i v i n gt h er a n k i n g v e c t o rf r o mi t c o m p a r i s o n sw i t he x i s t i n gm e t h o da r ea l s om a d e t h r o u g ht h e o r y t os h o wt h es u p e r i o r i t yo ft h ep r o p o s e dm e t h o d a tl a s t ，c o m p a r i s o n sb e t w e e n t h ep r o p o s e dm e t h o da r em a d e k e y w o r d s ：a n a l y t i ch i e r a r c h yp r o c e s s ；p r e f e r e n c e ；r a n k i n g ；c o n s i s t e n c y ； i n c o m p l e t ei n t e r v a lc o m p l e m e n t a r yj u d g m e n tm a t r i x v 目录 1 1 论文选题背景及问题的提出l 1 2 国内外研究现状分析2 1 2 1 区间数互补判断矩阵的一致性及排序方法研究现状2 1 2 2 残缺区间数互补判断矩阵的一致性及排序方法研究现状3 1 3 本文研究的思路和主要内容3 第二章区间数有关概念及排序方法：5 2 1 区间数的定义和运算法则5 2 2 区间数排序的几种常用方法6 2 3 本章小结8 第三章基于新一致性定义的区间数互补判断矩阵权重求解新方法9 3 1 m - i p 中的标度系统9 3 2 模糊互补判断矩阵及其两种一致性定义1 0 3 3 区间数互补判断矩阵已有的一致性定义及排序方法1 1 3 4 区间数权重向量的归范化1 6 3 5 区间数互补判断矩阵的新一致性定义1 7 3 6 基于新一致性定义的区间数互补判断矩阵权重求解方法18 3 7 新排序方法与常用排序方法的理论比较2 0 3 8 新排序方法与常用排序方法的算例比较2 1 3 9 本章小结2 3 第四章残缺区间数g ：n 笋j j 断矩阵的排序方法研究2 4 4 1 已有的残缺区间数互补判断矩阵排序方法2 4 4 2 基于加性一致性定义的可接受残缺区间数互补判断矩阵排序方法2 6 4 3 基于加性一致性定义的不可接受残缺区间数互补判断矩阵排序方法3 0 4 4 基于乘性一致性定义的可接受残缺区间数互补判断矩阵排序方法3 2 4 5 基于乘性一致性定义的不可接受残缺区间数互补判断矩阵排序方法3 5 v i 3 7 3 7 4 0 4 1 4 2 4 7 攻读硕士学位期间发表论文目录4 8 v 广西大学硕士学啦论文区间数互补判断矩阵的区间权重求舜 和排序方法研究 第一章绪论 1 1 论文选题背景及问题的提出 层次分析法( a h p ) 是运筹学家t l s a a t y 于上世纪7 0 年代提出的一种非常简洁且实 用性很强的多准则决策方法其关键步骤是采取合理的标度系统将决策者对不同方案( 属 性) 的偏好程度两两比较予于量化，并通过决策者给出的判断矩阵导出排序权值a h p 白 面世以来，便因其简单实用性被广泛应用于价值工程、行为科学、军事指挥、经济计划 等众多领域特别是对目标( 因素) 结构较为复杂而且又缺少必要数据的多属性决策问 题更加实用 就如何由决策者给出的互反判断矩阵求解备选方案或属性的优先权重，自s a a t y 提 出特征向量法( e m ) 以来，许多学者提出了很多切实可行的求解方法，目前已达三十多种， 并日趋完善随着对a h p 研究的深入以及实际应用的需要，模糊思想和方法先后被引入 到a h p 中o r l o v s k i 首先给出了另一种形式的判断矩阵模糊互补判断矩阵，随后，很多学 者对模糊互补判断矩阵的一致性及排序进行了研究并取得了相对丰硕的成果目前，关 于互反判断矩阵和模糊互补判断矩阵的一致性及排序问题的研究也已趋于成熟 然而，在利用a h p 进行实际决策过程中，由于客观事物的不确定性和决策者思维能 力、知识结构的局限性以及决策者对决策问题相关领域知识的缺乏性等因素，决策者给 出的互反( 互补) 判断矩阵中的元素不一定是实数，而是经常以区间数的形式给出，有时 甚至以残缺区间数的形式给出此时构造的判断矩阵称为( 残缺) 区间数互反( 互补) 判断矩阵于是，如何定义( 残缺) 区间数互反( 互补) 判断矩阵的一致性、如何利用 决策者给出的( 残缺) 区间数互反( 互补) 判断矩阵对方案或属性的权重进行求解和排 序，便成为重要的研究课题 目前，对( 残缺) 区间数互反( 补) 判断矩阵的一致性和排序方法的研究己成为新 的热点，关于区间数互反判断矩阵的研究成果已有不少，而关于残缺区间数互反判断矩 阵、( 残缺) 区间数互补判断矩阵的研究还很不完善到目前为止，区间数互补判断矩阵 仍没有通用的、公认的一致性定义，而如何定义区间数互补判断矩阵的一致性将直接影 响到方案或属性的权重求解模型的建立以及排序向量的合理性关于残缺区间数互反 ( 互补) 判断矩阵的研究则更不多见本文将就区间数互补判断矩阵及残缺区间数互补 判断矩阵的一致性定义、方案或属性的权重求解及排序等问题进行研究 区间数互补判断矩阵的区间权重求解和翻# 序方法研究 1 2 国内外研究现状分析 关于( 残缺) 区间数互补判断矩阵的一致性及排序问题已成为a h p 中新的研究热点， 国内外的一些学者对此进行了研究，并取得了一定的成果现分别将区间数互补判断矩 阵和残缺区间数互补判断矩阵的一致性及排序问题研究现状介绍如下： 1 2 1 区间数互补判断矩阵的一致性及排序方法研究现状 到目前为止，一些学者基于实互补互补判断矩阵的加性或乘性一致性定义给出了不 同的区间数互补判断矩阵一致性定义，并给予提出的一致性定义对方案或属性的权重求 解和排序方法进行了研究，并取得了初步的成果【l 2 1 】 例如，徐泽水【l 】给出了区间数互补判断矩阵的定义和区间数比较的可能度公式，并基 于可能度公式给出了一种简洁的区间数互补判断矩阵排序方法但此法对行和相等的区 间数互补判断矩阵的权重进行求解时得到的各备选方案的权重将完全一样，从而无法实 现对方案择优周礼刚和陈华友【3 1 类比模糊互补判断矩阵的一致性定义，给出了区间数互 补判断矩阵的一致性定义，对一致性区间数互补判阵具有的性质进行了研究，并给出了 一致性的检验方法黄松和黄卫来【4 】基于优于与劣于的定义，提出了区间数互补判断矩阵 的拓扑排序方法，其前提是构造与区间数互补判断矩阵相对应的有向图周宏安和刘三 阳【6 】给出了新的区间数互补判断矩阵的一致性定义及检验方法，并通过所建立的目标规 划模型和已有的可能度公式对备选方案的权重进行求解和排序对于决策者的偏好形式 以区间数互补判断矩阵给出的不定型多属性决策问题，z h o u 和l i u l 7 】首先通过转换函数将 决策信息规范化，然后基于目标规划模型和c o w a 算子对备选方案的权重进行求解和 排序x u 和c h e n 1 0 】提出了加性一致性和乘性一致性区间数互补判断矩阵等定义，并分别 基予两个一致性定义给出了相应的排序向量求解模型，并将求解结果进行了比较冯向前 等【b 】给出了两种形式的区间数互补判断矩阵一致性定义，且给出了一致性检验的简便 方法，并在其一致性定义的基础上给出了排序向量的求解模型刘芳等【1 5 】基于凸组合和 可能度，给出了一种从区间数互补判断矩阵得到区间数优先权重的方法史文雷和李楠 u 6 】首先给出了区间数互补判断矩阵的满意一致性概念，并给出了相应的检验指标，同时 对其h a d a m a r d 组合矩阵的运算法则及性质进行了研究钱钢等【2 0 】对区间数互补判断矩阵 的一致性进行了研究，给出了完全一致性、满意一致性等概念，且分别给出了相应一致性 的检验标准，最后对几种一致性定义间的关系进行了讨论覃菊莹【2 1 】指出了现存的一些 排序方法的不足，从一致性信息的角度对区间数互补判断矩阵进行了考察，并得到了有 2 区间数互补芋g 断矩阵的区间权j e 求搿醑a 扫e 序方法研究 等的若干性质及定理，并给出了证明过程 矩阵的一致性及排序方法研究现状 断矩阵的一致性及排序方法的成果尚不多见，但也有一些 出了一种残缺区间互补判断矩阵的排序方法，其思路是将残 缺区间互补判断矩阵的排序问题转化为相应的残缺期望值判断矩阵( 残缺实互补判断矩 阵) 排序问题但其排序方法所得到的排序向量为实数向量，而本文作者认为，在对残缺区 间互补判断矩阵进行排序时，得到的排序向量为区间数排序向量显得更为合理王秋萍 等【2 3 1 给出了加性一致性残缺区间互补判断矩阵以及可接受残缺区间互补判断矩阵等概 念当决策者给出的残缺区间数互补判断矩阵可接受时，无论其是否具有一致性，作者给 出的排序模型都可用来求解其排序向量但其所给的方法在求解排序向量时需解2 ，l + 1 个模型，且每个模型的约束条件较多，解起来较为麻烦 1 3 本文研究的思路和主要内容 从1 2 1 节区间数互补判断矩阵的一致性及排序现状可以看出，在对区间数互补判 断矩阵排序时，目前已有的求解方法大部分都存在着以下两点不足： ( 1 ) 对不一致的区间数互补判断矩阵，大都不能直接用来获取区间数权重向量，而是要先 修正成为一致性或满意一致性的，然后进行求解，过程较为繁琐 ( 2 ) 现存的大部分排序方法或排序模型在获取备选方案的区间数权重向量时，要解的模 型一般较多，而且每个模型的约束条件较多当备选方案较多时，求解过程较为复杂 而从1 2 2 节区间数互补判断矩阵的一致性及排序现状来看，目前对残缺区间区间 数互补判断矩阵有关内容的研究成果甚少，且已有的一致性定义及两种排序方法并不理 想，相关理论有待于进一步研究和完善 基于以上所述，本文的主要研究内容如下： ( 1 ) 从决策者主客观判断的角度出发，基于加性一致性实互补判断矩阵，给出区间数 互补判断矩阵新的一致性定义并举例说明新一致性定义下的一致性区间数互补判断矩 阵的存在性 ( 2 ) 基于区间数互补判断矩阵新的一致性定义，给出区间数互补判断矩阵权重向量 求解的一种新方法该方法不仅约束条件较少，而且对一致和不一致性的区间数互补判 断矩阵都适用并理论和算例上将所给方法与现存文献中引用率较高的区间权重求解方 法进行了比较 广西大学硕士掌位论文 区间数互补判断矩阵的区间权重求解和翻e 序方法研究 ( 3 ) 对残缺区间数互补判断矩阵的有关内容进行了研究定义了加性和乘性一致性 残缺区间数互补判断矩阵，并给出了可接受残缺区间数互补判断矩阵的概念及残缺区间 互补判断矩阵是否可接受的判别方法对不可接受的残缺区间互补判断矩阵，给出了修 正方法 ( 4 ) 基于加性和乘性一致性残缺区间数互补判断矩阵定义，给出了残缺区间数互补 判断矩阵两种新的排序方法，并将所给方法与现有的排序方法进行了比较，说明了所给 两种方法的优越性 4 区间数互补字蚰旰矩阵的区间权重求解和排序方法研究 第二章区间数有关概念及排序方法 由于客观事物的复杂性、不确定性等属性，在生产、经济发展和科研等活动中遇到 的决策问题大多为不定型多属性决策问题由于区间数具有形式简单、计算方便等优点 且能很好的表达模糊性和不定性，当决策者在对某些实际问题的背景缺乏了解或者受自 身知识结构等因素的限制时，便常常以区间数形式来表达决策信息因此，对区间数有关 内容的研究对不定型多属性决策理论的发展有着重要意义另一方面，在利用a h p 对实 际问题进行决策时，当求出各备选方案的区间数权重后，必须对区间数权重进行排序以 便对备选方案择优此时，必须考虑区间数的排序问题因此，区间数的比较与排序是一 个非常重要的研究课题国外学者y o u n g 【2 4 】早在1 9 3 1 年便开始了就区间数有关内容的研 究，随后以m o o r e 2 5 也6 1 为代表的许多学者对区间数进行了进一步的研究 为了本文第三、四章的研究需要，作为预备知识，本章仅就区间数的定义、运算法则、 排序等问题予以简单介绍，并给出本文通用的区间数排序方法 2 1 区间数的定义和运算法则 定义2 1 1 2 7 】称a = 口一，a + 】= 缸fa 一x a + ，a - , 口+ ，x r ) 为区间数若区间数 a = 口一，a + 】满足 0 a 一x a + ，a - , 口4 - ，x r ( 2 1 ) 称a 为正区间数若口+ = 口一，则a 退化为实数 由于本文第四章研究内容所涉及到的区间数运算都是正区间数的运算因此，以下 仅给出本论文所到的正区间数运算法则 定义2 1 2 【2 8 】设口= a - , 口+ 】、6 = b - , b + 】为区间数，其中a - , b 一0 时，贝t 1a 、b 的部 分运算法则定义如下： ( 1 ) 加法 a + b = 【口一- i - b - , 口+ + 6 + 】； ( 2 2 ) ( 2 ) 减法 口一6 = a - - - b + ，a + 一6 一】； ( 2 3 ) ( 3 ) 乘法 s 广西大掌硕士掌位论文 区间数互补判断矩阵的区间权重求解和排序方法研究 口b = a b - , a + b + ；( 2 - 4 ) ( 4 ) 数乘 a 口= f 三兰：a a 口a ：主三0 。； c 2 5 ， 【 a 口+ ，一】， 允 ( 5 ) 除法 i a = 寺，鲁6 - 6 + o ； 6 ) 2 2 区间数排序的几种常用方法 区间数的比较与排序问题一直是热点问题，到目前为止，国内外许多学者基于不同 的指标和可能度公式提出了不少的区间数排序方法【2 9 枷】但由于本文的研究重点不是区 间数排序问题因此，这里我们仅就一些主要的区间数排序方法以及最新研究成果予于介 绍，不作过多探讨 为叙述简便，下述a 、b 均指区间数a = a - , a + 】、b = 【6 一，6 + 】其中，a + a 一，b + b 一 以下仅就几种常用的区间数排序方法予以简单介绍 排序方法一 s e n g u pt a 和p a l 在文献 4 3 1 q b 给出了区间数的均值及宽度等概念，并基于均值和区间 宽度给出了比较两个区间数大小的可接受度指标，定义如下： 九，。：m ( a ) - m ( b ) ( 2 7 ) k 6 一瓦丽 旺叫 圳口 + w i d ) i f 朋( 口) = m ( b ) i f 聊( 口) b i fm ( a ) m ( b ) a n da + b 一 其中，m ( a ) 、m ( b ) 分别为区间数a 、b 的中点；w ( a ) 、w ( a ) 分别为区间数a 、b 的 宽度的一半 但是，该排序方法的不足之处是当待比较的区间数数目较多时该排序方法显得较为 困难 排序方法二 刘进生和王绪柱【4 5 】在区间数的0 序及三_ 0 序两类序关系的基础上给出了区间数的 比较方法 6 o l = a 人i允 6 ，= 三兰三宝 c 2 9 ， ( 2 ) 若口，b 中最多有一个是实数，则口b 的可能度定义为 p 。6 ，= m a x t 一m a x ( 万- ：，。 ，。，( 2 - 1 0 ) 张吉军为了提高区间数比较结果的分辨率，在此排序方法的基础上又提出了基于相 对优势度的比较方法，对此方法作了改进，详见文献 4 9 】 排序方法四 w a n g 在文献 5 0 】中基于优先度给出了一种简单实用的区间数排序方法，该方法中区 间数口 b 的优先度定义如下： p ( 口 6 ) ：型等某掣( 2 - 1 1 ) 由定义知显然有p ( 口 6 ) + p ( 6 a ) = 1 成立 一口 6 ) 若p ( 口 6 ) p ( 6 口) ，称区间数口以p ( a b ) 的度优于区间数6 ，记为a - b 若 p ( b a ) p ( a 6 ) ，称区间数a 以p ( b 口) 的度劣于区间数b ，记为a 口j p ( a 6 ) = p ( 6 口) = o 5 ，则称区间数口和6 无差别，记为口6 但该方法的缺陷是未对区间数口，b 同时退化为实数时的优势度进行定义 排序方法五 谢海阁基于s 型函数特点给出了如下一种新的相对优势度公式，具体如下： 区间数互补判断矩阵的区间权重求解和排序方法研究 小删乩m h a ( 6 忉_ j 豸丽h 筹叫咖砸) ( 2 - 1 2 ) 出删小帆训咖扛 等1 n 矿。_ 口“焉磊1 2 ) 【1 + e r - 6 一 。“，一。、。7 芝岛+ 詈一1 驴前1 ，2 i 玎一i ( 2 - 1 3 ) 即可求出排序向量，从而实现对区间数的排序 有关区间数的排序方法已有很多，我们仅介绍了较为常用的几种方法到目前为止， 关于区间数的排序问题没有通用的方法考虑到w 抽g 等【5 0 】的排序方法的简单实用性，本 文以下内容中若需对区间数排序时，将采用w a n g