（计算机应用技术专业论文）灰色预测模型及其在电力负荷预测中的应用研究.pdf

摘要 摘要 由中国学者邓聚龙教授创立的灰色系统理论是一种研究少数据、贫信息的 不确定性问题的新方法。其中的灰色预测模型具有所需数据少、预测精度高和 无需先验信息的特点。但是，越来越多的研究表明，灰色预测模型中最为常用 的g m ( 1 ，1 ) 是一种有偏差的指数模型，有时不能得到良好的预测效果。 基于此现状，本论文在深入研究分析灰色系统理论的基本概念、基本原理 和基本方法的基础上，提出了三种改进的灰色预测模型方法，并结合具体应用 实例进行预测分析，以进一步提高其预测精度、扩大适用范围。这包括如下几 个方面：1 ) 消除残差g m ( 1 ，1 ) 的两个限制条件，使得对于任意的残差序列 都能应用类似于残差g m ( 1 ，1 ) 模型来精确化处理；2 ) 针对g m ( 1 ，1 ) 模 型在数据序列增长过快或下降过快时出现精度不高的情况，采用序列算子进行 改进，以提高预测精度；3 ) 采用a g m ( 1 ，1 ) 模型方法，通过修正g m ( 1 ，1 ) 的待估参数来提高g m ( 1 ，1 ) 模型的预测精度。 此外，本论文还以v i s u a ls t u d i o n e t 2 0 0 3 和a c c e s s2 0 0 3 为平台，完成了基 于灰色系统理论的电力负荷预测仿真系统的设计与实现。所设计与实现的仿真 系统旨在验证所改进预测模型的可行性和有效性，同时结合相关部门的实际工 作要求为今后更方便直观的预测工作提供科学有力的技术支持。所开发的系统 仿真预测某省未来几年的电力负荷量。结果表明：1 ) 灰色预测模型简单便捷，能 够为相关部门的决策提供科学的理论依据；2 ) 所改进的灰色预测模型精度高、误 差小；3 ) 开发的基于灰色系统理论的电力负荷预测仿真系统稳定实用，可以为电 力部门今后的此项预测工作提供有用的参考价值。 关键词：灰色系统理论；灰色预测；灰色模型；g m ( 1 ，1 ) ：电力负荷预测； 仿真系统 a b s t r a c t a b s t r a c t g r e ys y s t e mt h e o r yw a sf o u n d e db ya c h i n e s es c h o l a rp r o d e n gj l i t san e w w a yt os t u d yt h eu n c e r t a i n t yp r o b l e mo fl e s s d a t aa n dp o o ri n f o r m a t i o n g r e y p r e d i c t i o nm o d e lo fi ti s 、v i t l lt h ec h a r a c t e r so fl e s sd a t e 1 l i g hp r e d i c t i o np r e c i s i o n a n dw i t h o u tp r i o ri n f o r m a t i o n h o w e v e r , m o r ea n dm o r es t u d i e sh a v es h o w nt h a tg m ( 1 ，1 ) ，a st h em o s tw i d e l yu s e dg r e yp r e d i c t i o nm o d e l ，i sak i n do fu n b i a s e d e x p o n e n t i a lm o d e la n di tc o u l d n tg e tt h ee x p e c t e dr e s u l t ss o m e t i m e s a c c o r d i n gt ot h ef a c t s ，t h r e en e wm o d i f i e dm e t h o d so fg r e yp r e d i c t i o nm o d e l a r ea d v a n c e di nt h ep a p e ro nt h eb a s i so fs t a d y i n gt h ee s s e n t i a lc o n c e p t i o n s ，b a s i c p r i n c i p l e sa n df u n d a m e n t a lm e t h o d so fg r e ys y s t e mt h e o r y w h a t sm o r e ，t h e s p e c i f i ca n dp r a c t i c a le x a m p l e sa r eu s e dt op r e d i c ti nt h ep a p e rs ot h a tt oi m p r o v ei t s p r e d i c t i o np r e c i s i o na n de n l a l - g ei t sp r a c t i c a la r e a , w h i c hi n v o l v es e v e r a la s p e c t sa s f o l l o w s ：1 ) e l i m i n a t e dt h et w ol i m i t i n gc o n d i t i o n so fr e s i d u a lg m ( i ，1 ) s ot h a ta n y r e s i d u a ls e q u e n c ec o u l db ed i s p o s e db yt h er e s e m b l i n gr e s i d u a lg m ( i ，1 ) ；2 ) a d o p t e d s e q u e n c eo p e r a t o rt om i s ei t sp r e c i s i o no nc o n d i t i o nt h a tg m ( 1 ，1 ) i s 埘t 1 1l o w p r e c i s i o nw h e nt h e d a t es e q u e n c ei n c r e a s e do rd e c r e a s e dt o o q u i c k l y ；3 ) u s e d a g m ( i ，1 ) t om o d i f yt h ep a r a m e t e r se s t i m a t i o no fg m ( 1 ，1 ) s ot h a tt oi m p r o v et h e p r e d i c t i o np r e c i s i o no f g m ( 1 ，1 ) b e s i d e s ，ap o w e rl o a dp r e d i c t i o ns i m u l a t i o ns y s t e mb a s e do ng r e ys y s t e m t h e o r yh a sb e e nd e s i g n e da n da c c o m p l i s h e di n t h i sp a p e rw h i c ht a k e st h ev i s u a l s t u d i o n e t2 0 0 3a n da c c e s s2 0 0 3a sd e v e l o p m e n tt o o l s t h es i m u l a t i o ns y s t e mc a n v a l i d a t et h ef e a s i b i l i t ya n dv a l i d i t yo ft h ei m p r o v e dp r e d i c t i o nm o d e l ，a n dc a ns a t i s f y t h ea c t u a ln e e d si ns o m ec o n c e r n i n gd e p a r t m e n t st op r o v i d es c i e n t i f i ct h e o r ya n d t e c h n i q u e ss u p p o r t sm u c hm o r ec o n v e n i e n t l yf o ri t sp r e d i c t i o nw o r k s i ta p p l i e di n t o ap r o v i n c e sp o w e rs y s t e mt op r e d i c tt h ef u t u r ep o w e rl o a di nt h ep r o v i n c e t h e r e s u l t ss h o wt h a t ：f i r s t l y , g r e yp r e d i c t i o nm o d e li so fs i m p l ep r o c e s sa n de f f e c t i v e p r a c t i c a l i t y i t c o u l d p r o v i d e s c i e n t i f i c t h e o r yt h o u g h t s f o rt h e c o n c e r n i n g g o v e r n m e n t s ；s e c o n d l y , t h ei m p r o v e do n eh a sh i g hp r e c i s i o na n dl e s sp r e d i c t i o n e r r o r s ；l a s tb u tn o tl e a s t , i ts h o w st h a tt h ep r e d i c t i o ns y s t e mo fp o w e rl o a db a s e do n i a b s t r a c t g r e ys y s t e mt h e o r yi ss t a b l ea n dp r a c t i c a l ，a n di tc o u l do f f e rs o m ew o r t h w h i l e r e f e r e n c e sf o rt h ew o r ko f p o w e rl o a dp r e d i c t i o ni nt h ep o w e r s y s t e mi nf u t u r e k e y w o r d s ：g r e ys y s t e mt h e o r y ；g r e yp r e d i c t i o n ；g r e ym o d e l ；g m ( 1 ，1 ) ；p r e d i c t i o n o f p o w e rl o a d ；s i m u l a t i o ns y s t e m i v 学位论文独创性声明 学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得直昌太堂或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与 我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确 的说明并表示谢意。 学位论文作者签名( 手写) ：诗、毂签字日期：o 7 年描月甜日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解直昌太堂有关保留、使用学位论文 的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁 盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权直昌盔堂可以将学位论文的全 部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描 等复制手段保存、汇编本学位论文。同时授权中国科学技术信息研究 所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并通过网络向 社会公众提供信息服务。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：7 尔霞 签字日期：o 7 年膳月笥日 导师签名：习弓彳绝像 签字日期：硼年卜月矿日 第1 章绪论 第1 章绪论 1 1 研究背景与意义 本课题属于自选课题，它的研究内容包括：灰色系统理论的基本概念、原 理和方法；灰色系统理论的建模和预测研究，以及对灰色预测模型的三种改进 方法。最后将灰色预测模型应用于电力系统的电力负荷预测工作中并开发出仿 真预测系统。该课题属于理论和实际应用相结合的研发性课题。 邓聚龙教授于1 9 8 2 年创立的灰色系统理论【1j 是横段学科群中的一颗光彩夺 目的新星，它与研究“随机不确定住”的概率统计和研究认知不确定性”的模糊数 学不同，其研究对象是“部分信息己知，部分信息未知”的“小样本、贫信息”的不 确定性系统。通过对部分已知信息的生成、开发，灰色系统能够帮助人们了解、 认识现实世界，实现对系统运行行为和演化规律的正确把握和有效监控。 本课题不仅深化了灰色系统理论的研究，还进一步拓宽了灰色系统理论在 电力系统部门实际工作中的应用。这不仅有助于我国电力系统保持电网运行的 安全稳定性，减少不必要的旋转储备容量，还有助于保证社会的正常生产和生 活有效地降低发电成本，提高经济效益和社会效益，加快我国的社会主义现 代化建设。 1 2 灰色系统理论概述 灰色系统理论作为一种处理不确定性信息的理论和方法，主要针对以下四 种情况：元素( 参数) 信息的不完全、结构信息的不完全、边界信息的不完全 和运行行为信息的不完全。其“灰”概念 2 1 一般有以下两种表达方式： 方式一灰概念是“数据少”与“信息不确定”两种概念的整合，又称“灰性”， 即“少数据不确定性”。按此表达方式，灰色系统也就是少数据不确定性的系统。 由此可知，灰性的本质是“少”与“不确定”，这两者之间即有联系又有区别，既可 独立存在又有因果关系。 方式二“灰”是介于“白”与“黑”之间的概念。“白”指信息确定、数据完整， 对应的有白色系统；而“黑”指的是信息很不确定、数据很少，对应的有黑色系统。 “灰”指的是信息部分不确定、部分确定：部分不完全、部分完全；部分未知、部 第1 章绪论 分已知，对应的是灰色系统。 1 2 1 灰色系统理论的产生与发展现状f 3 】 灰色系统理论的创立至今已基本建立起了一门新兴学科的结构体系。随着 它的逐步完善，越来越多的国内外学者给予了充分肯定和大力支持，许多中青 年学者也纷纷加入灰色系统理论的研究工作。尤其在众多科学领域的成功应用， 更使得灰色系统理论赢得了国际学术界的肯定和关注。 目前，美国、英国、德国、日本、加拿大、奥地利、俄罗斯、澳大利亚等国 家及中国台湾、香港地区以及联合国等国际组织有许多学者从事灰色系统的研 究和应用。1 9 8 9 年在英国创办的英文版国际学术刊物灰色系统学报( t h e j o u r n a lo f g r e ys y s t e m ) 已成为英国科学文摘( s a ) 、美国数学评论( m r ) 等重要国际文摘机构的核心期刊。全世界有3 0 0 余种学术期刊接受、刊登灰色 系统论文，美国计算机学会会刊、台湾模糊数学通讯、系统与控制国际杂志 k y b e m t e s ( s c l 源期刊) 出版了灰色系统专辑。 世界上已有1 0 0 多所大学开设了灰色系统理论教程，如国内的清华大学、 浙江大学、中国人民大学、华中科技大学、山东大学、南京航空航天大学等， 国外的美国马里兰大学、日本丰桥大学、神奈川大学、维也纳经济大学、法国 宇航中心、台湾中央大学、成功大学、大同工学院、大溪大学等；此外，华中 科技大学、南京航空航天大学、福州大学和武汉理工大学已招收培养灰色系统 专业方向的博士研究生。迄今为止，世界各国已有数千名博士、硕士研究生运 用灰色理论的思想方法开展科学研究撰写学位论文。 国内外许多出版机构，如科学出版社、国防工业出版社、华中理工大学出 版社、江苏科学技术出版社、山东人民出版社、科学技术文献出版社、台湾全 华科技图书出版社、台湾高立图书有限公司、日本理工出版社和美国i ig s s 学 术出版社等，都相继出版灰色系统学术著作达6 0 余种。 许多国际重要会议，如不确定性系统建模国际会议、系统预测控制国际会 议、国际一般系统研究会年会、系统与控制世界组织年会、计算机与工业工程 国际会议、i e e e 系统等都把灰色系统理论作为讨论专题。如2 0 0 2 年3 月，在美 国匹兹堡召开的系统与控制世界组织( w o s c ) 第1 2 届年会和国际一般系统研 究会( i i g s s ) 第4 届年会共为灰色系统理论安排了6 场专题会议。2 0 0 3 年8 月，在爱尔兰利默瑞克召开了第3 2 届计算机与工业工程国际会议，为灰色系统 2 第】章绪论 理论安排了4 场专题会议。灰色系统理论已成为许多重要国际会议所关注、讨 论的热点，这必将对世界系统科学界同行进一步了解灰色系统理论起到巨大的 推动作用。 灰色系统理论已广泛地应用于农业、经济、医疗、生态、水利、气象、地质、 军事、文化、教育、交通、工业控制等几十个学科领域：而一批新兴边缘科学， 如灰色水文学、灰色地质学、灰色育种学、区域经济灰色系统分析、灰色哲学 应运而生。国家及各省、市科学基金积极资助灰色系统研究，每年都有一大批 灰色系统理论或应用研究项目获得各类基金资助。据统计，全国各地有1 6 0 多 项灰色系统成果获得国家或省部级奖励。2 0 0 2 年，我国灰色系统学者荣获“系统 与控制世界组织奖”。据不完全统计，s c i ( 科学引文索引) 、e i ( 工程索引) 、i s t p ( 科技会议索引) 、s a ( 英国科学文摘) 、m r ( 美国数学评论) 、m a ( 德国数学 文摘) 等国际权威性检索机构跟踪、摘引我国学者的灰色系统论著达3 0 0 0 多次。 而据1 9 9 7 年1 1 月2 6 日中国科学引文数据库( c s c d ) 发布的信息中国科学 时报，华中理工大学邓聚龙教授的“灰色系统理论”被引用5 3 3 次，居全国第一! 中国国家科技部编撰的中国科学技术蓝皮书( 第8 号) 把“灰色系统理论”作 为中国学者创立的软科学新方法给予高度的肯定。 1 2 2 灰色系统理论的基本内容【“3 1 灰色系统理论经过二十多年的发展，己基本建立起了一门新兴学科的结构傣 系。其主要内容包括：以灰朦胧集为基础的理论体系、以灰色关联空间为依托 的分析体系、以灰色序列生成为基础的方法体系、以灰色模型( g m ) 为核心的 模型体系和以系统分析、评估、建模、预测、决策、控制、优化为主体的技术 体系。 灰色代数系统、灰色方程、灰色矩阵等是灰色系统理论的基础。灰色系统分 析除了灰色关联分析外，还包括灰色聚类、灰色统计评估等内容。灰色序列生 成通过序列算子的作用来实现，而序列算子主要包括缓冲算子、均值生成算子、 级比生成算子、累加生成算子和累减生成算子等。灰色模型按照五步建模思想 构建，通过灰色生成或序列算子的作用弱化随机性，挖掘潜在规律，经过灰色 差分方程与灰色微分方程间的互换实现了利用离散的数据序列建立连续的动态 微分方程的新飞跃。灰色预测是基于g m 模型做出的定量预测，按照其功能和 特征可分为数列预测、区间预测、灾变预测、季节灾变预测、波形预测和系统 第1 章绪论 预测等类型。灰色决策包括灰靶决策、灰色关联决策、灰色统计、聚类决策、 灰色局势决策和灰色层次决策等。灰色控制的主要内容则包括本征性灰色系统 的控制问题和以灰色系统方法为基础构成的控制，如灰色关联控制和g m ( 1 。1 ) 预测控制等。灰色优化技术包括灰色线性规划、灰色非线性规划、灰色整数规 划和灰色动态规划等。 1 2 3 三种不确定性方法的比较【2 一】 概率统计、模糊数学和灰色系统理论是三种最常用的不确定性系统研究方 法，它们的研究对象都具有某种不确定性，相区别的只是各自的研究对象在不 确定性上的区别，具体分析如下： 概率统计研究“随机不确定”现象，它着重考察“随机不确定”现象的历史统计 规律，及具有多种可能发生的结果的“随机不确定”现象中每一种结果发生的可能 性的大小。其出发点是“大样本”，并要求对象服从某种典型分布。 模糊数学着重研究“认知不确定”问题，其研究对象具有“内涵明确，外延不 明确”的特点。如“年轻人”就是一个模糊概念因为人人都清楚“年轻人”的内涵， 但要划定一个确切的范围( 即在该范围内是“年轻人”，范围之外的都不是“年轻 人”) 很难。模糊数学主要是凭经验并借助于隶属函数来处理这类内涵明确、外 延不明确的“认知不确定”问题。 灰色系统理论着重研究“小样本”、“贫信息”的不确定性问题，它依据信息覆 盖，通过序列算子的作用探索事物运动的显示规律，其特点是“少数据建模”。灰 色系统理论与模糊数学的区别在于，灰色系统理论着重研究“外延明确，内涵不 明确”的对象，如到2 0 5 0 年，中国要将总人口控制在1 5 1 6 亿之间。这“1 5 1 6 亿之间”就是一个灰概念，因为其外延很清楚，但内涵是不明确的，也就是说究 竟是1 5 亿到1 6 亿之间的哪个具体数值不清楚。 综上所述，三者的区别如表1 - 1 所示： 4 第1 章绪论 表i 1 三种不确定性方祛的比较 项目概率统计 模糊数学灰色系统 研究对象随机不确定认知水确定贫信息不确定 方法依据概率分布隶属度函数信息覆盖 途径手段频率统计截集灰序列算子 集合基础康托集模糊集灰色朦胧集 数据要求典型分布隶属度可知任意分布 侧重方向内涵外延内涵 目标历史统计规律认知表达现实规律 特色大样本凭经验小样本 1 3 论文的主要创新点 目前基于灰色系统理论的研究和应用仍有待完善和改进，本课题的主要创新 点体现在： ( 1 ) 针对灰色建模部分对数据处理的不足，提出了三种灰色建模预测精度的改 进方法，分别如下： i ) 针对数据序列进行g m ( 1 ，1 ) 建模出现精度不符合要求时，需要满 足两个限制条件的情况下，提出了改进的残差g m ( i ，1 ) 模型： i i ) 针对数据序列增长过快或下降过快时，提出了改进的序列算子作用的 g m ( i ，1 ) 模型； i i i ) 考虑待估参数方面的影响，采用了a g m ( 1 ，1 ) 模型提高预测精度。 ( 2 ) 结合电力系统部门的实际应用工作，构造了灰理论的电力负荷预测模型， 并结合具体实例加以应用说明和分析； ( 3 ) 将灰色系统理论及其预测模型用于电力负荷预测工作中，开发出具体应用 的仿真系统，这是对该理论应用的一个新尝试。 1 4 论文的组织结构 本文对基于灰色系统理论的电力负荷预测工作做了一个较为深入的探讨。 研究工作主要分为三大部分：第一部分主要介绍灰色系统理论的相关概念和思 5 第1 章绪论 想，包括灰色系统理论基础、灰色建模和灰色预测；第二部分研究了如何对灰 色预测模型进行改进，以提高其预测精度，扩大适用范围；第三部分则是理论 联系实际，将灰色模型应用于某省的电力负荷预测工作中，并设计开发出具体 仿真系统。其中，第二、三部分是本文的核心内容和目的所在。 综上所述，本文的组织结构如图1 1 所示： 第l 章绪论 = = = = 爿第2 章灰理论基础 = = = ：) | 第3 章灰色建模 = = = = _ | 第4 章灰色预测 黼结束语阿哥赢葫鞴黼阿前葫刺磊。闩”巍僦 图卜1 本论文的组织结构图 6 第2 章灰理论基础 第2 章灰理论基础 2 1 灰色系统理论的基本概念 灰色系统用“灰数”、“灰色方程”、“灰色矩阵”等来描述，其中“灰数”是灰色 系统的基本“单元”或“细胞”。 2 1 1 灰数【l 】与灰度m 4 1 定义1 ( 灰数)是指只知道大概的范围而不知道其确切值的数。 在应用中，灰数实际上指的是一个区间或某个一般的数集内取值不确定的 数，常用记号“o ”表示。按此原则，灰数分为以下几类：仅有下界的灰数、仅有 上界的灰数、区间灰数、连续灰数与离散灰数等【5 】。 另外，从本质上看，灰数又可分为信息型、概念型、层次型灰数三种。 信息型灰数是指因暂时缺乏信息而不能肯定其取值的数，如预计国庆黄金周 期间接待旅客量在2 0 万人以上，o 【2 0 ，叫，估计某学生一年生活消费在8 0 0 0 到1 0 0 0 0 元，0 8 0 0 0 ，1 0 0 0 0 这些都是信息型扶数。它们都能在一定时 间后，通过信息补充，使得灰数变白。如上述的例子，只要预测的时间到了， 都能知道确切的数值，而使其变为“白”。 概念型灰数，又称意愿型灰数。它是指因人们的某种观念、意愿形成的数。 如某家庭希望年终储蓄至少1 5 万元，而且越多越好，o 【1 5 ，叫。 层次型灰数是由于层次改变而形成的狄数。有的数从系统的高层次( 即宏 观层次、整体层次或认识的概括层次) 上看是白的；但是在低层次( 即系统的 微观层次、分部层次或认识的深化层次) 则可能是灰的。如人的体重以斤度量 是白的，但若精确到微克就是灰的。再如名叫“李强”的人，某个乡只有1 人，全 县有5 - 2 0 人，o 5 ，2 0 1 便是灰数：如果在全国范围内考虑，更是不确定的数。 定义2 ( 灰度)对灰数的测度，反映了人们对灰色系统认识的不确定程度。它 的大小应与灰数产生的背景或论域有着不可分割的联系。 2 1 2 灰色代数方程与灰色微分方程【1 】 定义3 ( 灰色代数方程)含有灰参数( 灰元) 的代数方程称为灰色代数方程。 含有灰元素的1 1 维向量称为n 维灰色向量，记为：x ( o ) = ( o l ，o 。) 。 7 第2 章灰理论基础 严格说来，灰色方程并不是一个方程，而是许多个方程的代表符号。灰色 方程代表的方程个数取决于方程中灰元的取值。若灰元都在有界灰域内取有限 个值，则灰色方程代表有限个白方程；若方程中的灰元取无穷多个值，灰色方 程就代表无穷多个白方程。 定义4 ( 灰色微分方程)含有灰参数的微分方程称为灰色微分方程。它可以通 过积分或特征方程转化为灰色代数方程求解。 灰色系统理论 6 1 通过对一般微分方程的深刻剖析定义了序列的灰导数，从而 利用离散数据序列建立近似的微分方程模型。 j ( 设微分方程为：竺三一4 - a x ( 1 ) = ( 2 1 ) d t 称；为x 的导数，工为尘的背景值，4 和“为参数，其中口为发展参数， c 撑出 反映预测的发展态势：“为灰作用量，反映数据变化的关系。 设x ( f ) 为定义在时间集r 上的函数，若当出斗0 时，恒有x ( ，+ a t ) 一工( ，) 0 ， 则称工( f ) 在丁上的信息浓度为无限大。使微分方程( 2 1 ) 成立的函数工( f ) 满足信 息浓度无限大的条件。 设a 、b 为集合，胄为a 与曰元素之间的一种运算，其中甘瓴a 2 a ，v b b ， 如果满足a i r b = a 2 r b ，则称b 对a i ，a 2 为平射。 因此，微分方程构成的条件有如下三条：1 ) 信息浓度无限大；2 ) 背景值是 灰数；3 ) 导数与背景值满足平射关系。 设x = x ( 1 ) ，x ( 2 ，) ，工( 啊) 为f 级计时单位时间序列，称 d ( ) = 工( 置) 一x ( t 一1 。) 为i 设计单位下的信息增量，其中f _ 1 ，2 ，q 。 设x 为计时单位可无限密化的序列，1 ，为f 级计时单位下的一个时间单位。 若当l ，一0 时，d ) = 工( t ) 一x ( 与一1 ) 0 ，则称x 为具有微分方程内涵的序列或 灰色微分序列，并称d “( 毛) = i 理( j ( 电) 一x ( t ，- 1 ) ) ，电= 1 ，2 7 l i 为序列x 的 灰导数，一般序列的灰导数记为d ( 七) 。 设原始序列：一0 = x 0 ( 1 ) ，一哪( 2 ) ，( 珂) ( 2 2 ) 一= p ( 1 ) ，x o ( 2 ) 9 , p9 ( 打) ( 2 - 3 ) 其中 x ( 1 ( t ) = 一o ( m 七= l ，2 ，栉( 2 - 4 ) 为x ( o 的一次累加生成算子，记为1 一a g o 序列( a c c u m u l a t i n gg e n e r a t i o n o p e r a t o r ) ， 则x ( 1 的灰导数为d ( 七) = x o ( 七) ( 2 5 ) 8 第2 章灰理论基础 2 1 3 灰色矩阵f “刁与灰色序列生成1 1 1 定义5 ( 灰色矩阵) 含有灰元的矩阵称为灰矩阵，记为a ( o ) ，并用o i j 或0 ( i j ) 表示灰矩阵中第i 行第j 列处的灰数。 如a ( 固) = f 锣l i q 2f 即为一个2 2 灰矩阵。其中0 1 l 【旦1 l ，品l i 】垡1 1 t o ( 3 9 ) a o 一。 口 由 量o ( 七+ 1 ) = 王1 ( 七+ 1 ) 一主o ( 七) = ( 1 一g a x x ( o ) ( 1 ) 一兰) p 一曲 ( 3 1 0 ) 累减还原后得到的残差修正模型为： 1 6 第3 章灰色建模 圣o ( 七+ 1 ) = ( 1 一p 4 ) ( z ( 1 ) 一詈) p 一曲， 忌 毛 ( 3 1 1 ) 口 、 ( 1 - e ) ( z ( 。( 1 ) 一u ) e - “以( f 。( 一丝) ) e t ( 吨) ，七2 毛 3 6g m ( i ，1 ) 模型的适用范围【“1 7 _ 川 通过发展系数a 和灰作用量可以建立g m ( 1 ，1 ) 模型。但并非所有的g m ( 1 ，1 ) 模型都是有效的。如果参数( 口，) 不合理，就可能导致畸形的g m ( 1 ， 1 ) 模型。不适合参数所在的区间称之为g m ( 1 ，1 ) 参数的禁区。”例如，出 现量o ( t ) 2 时，竺吾等挚为常数，而( 了1 i - 0 石五5 a ) h 随着k 的奇偶性不同而改变符 号，因此x o ( 七) 随着t 的奇偶性不同而变号。 由以上讨论知，当g m ( 1 ，1 ) 的发展系数2 时，g m ( 1 ，i ) 模型无 意义。 根据大量实践经验可知： 1 ) 当一口0 3 时，g m ( 1 ，1 ) 可用于中、长期预测： 2 ) 当o _ 3 一口o 5 时，g m ( 1 ，1 ) 可用于短期预测，中、长期预测慎用5 3 ) 当o 5 叫0 8 时，g m ( 1 ，1 ) 用于短期预测要慎重； 4 ) 当o 8 1 时，不宜采用g m ( 1 ，1 ) 模型。 1 7 第3 章灰色建模 3 7g m ( i ，1 ) 模型的精度检验【2 衄 灰色模型精度检验主要有后验差法、关联度法和相对误差法( 又称残差法) 。 ( 1 ) 后验差法按照残差的概率分布进行检验，属于统计检验；它采用方差比 和小误差概率，步骤较烦琐。 设x ( 七) 、j o ( 七) 分别为k 时刻的实际值和预测值，牙为当k = 1 ，2 ，h 时， 实际值x o ( t ) 的平均值；q ( k ) 为k 时刻的残差，虿为残差的平均值；且s 2 和最2 分别为实际数据( 即原始数据) 方差和残差方差，则定义 后验差比值为 c = 是，墨 ( 3 1 2 ) 其中j = 2 x t 。) ( 七) ， g ( t ) = x 。( 七) 一卫。( | ) ， 虿= 圭g ( 七) ， - k = l ，i k f f i l s 22 吉善( ( 妒牙) 2 最22 考善( 稚) 一q - ) 2 小误差频率p = p i q ( k ) - 虿l 0 6 7 4 5 s l ( 3 1 3 ) 后验差精度检验等级标准见表3 1 。 缸l后验差法的精度等级 ( 2 ) 关联度法根据模型曲线与行为数据曲线的几何相似程度进行检验，属于 几何检验。 设原始数据序列为( x o 0 ( 1 ) ，托0 ( 2 ) ，“( h ) ) ，则第i 个模型值为 ( 暑o ( 1 ) ，只o ( 2 ) ，只( 帕，= 1 ，2 ，疗。 关联系数按下式计算： 鼬，= 苇甓群始幂鐾挈( 3 - 1 4 )鬏d = 赤孕网蒜面毒杀靠习丽广 关联度则按下式计算： = 圭专( 七) ( 3 1 5 ) c 表示第i 个模型值数列对原始数列的关联度，且越大，模型的预测效果 1 8 第3 章灰色建模 越好。关联度法的精度等级标准见表3 - 2 。 袁 2关联度 去的精度等级 ( 3 ) 相对误差法又称残差检验，即绝对、相对预测误差检验。它是按点的直 观的算术检验，其计算公式如下： 绝对误差 相对预测误差 预测误差均值 e ( k ) = x o ( 女) 一i o ( i ) “七) 弘葡 虿= ；喜 灰色模型相对误差法的精度等级标准如表3 - 3 所示。 表3 _ 3 相对误差法的精度等级 ( 3 - 1 6 ) ( 3 1 7 ) ( 3 1 8 ) 当灰色预测模型用于原始数据呈指数或近似指数增长的情况下时，其精度 最高；用于其他情况下时，模型所得到的结果也较为准确，但模型的精度有所 下降。实际中，由于对原始数据进行了有限次的累加生成处理，其生成数列一 般都呈近似指数的增长模式。 3 8 本章小结 本章内容主要分为五部分。其中3 1 、3 2 和3 3 小节为第一部分，主要介绍 了灰色系统建模的数学原理、建模机理和实质：3 a 小节为第二部分，说明了灰 色系统的五步建模思想：3 5 小节为第三部分，详细说明了g m ( 1 ，1 ) 建模和 残差g m ( 1 ，1 ) 建模；3 6 小节为第四部分，指出了g m ( 1 ，1 ) 模型的适用 范围；最后在3 7 小节中给出了三种常用的g m ( 1 ，1 ) 模型的精度检验方法。 1 9 第4 章灰色预测 第4 章灰色预测 4 1 灰色预测的概述【“5 1 “凡事预则立，不预则废。”这充分表明了预测的重要性。事实上，只有通过 科学的预测，最终的决策才是富有远见卓识的决策。 预测是借助对过去的探讨来推测、了解未来的一种事先推测。而灰色预测 则是通过对原始数据的处理和灰色模型的建立来发现、掌握系统发展规律，从 而对系统的未来状态做出科学的定量预测。 详细说，灰色预测把预测数据序列看作随时间( 序列数据的序号) 变化的 灰色量或灰色过程。在建模前，应先对原始数据进行整理和处理，通过累加生 成和相关生成逐步使灰色量白化，使得呈现一定的规律性，最终建立相应于微 分方程解的动态模型并做出预测。 模型的选择并不是一成不变的，所有灰色模型都可以用来做预测。但是对于 一个具体问题究竟应选择何种预测模型，则应以充分的定性分析结论作为依据。 一个模型要经过多种检验才能判断其是否合理、合格；也只有通过检验的模型 才能用来做预测。 理论上说，g m 模型只需要4 个以上的数据即可进行建模。但对于信息丰富、 样本空日j 较大的原始序列，则可以从中选择一部分数据进行建模，如此我们便 可以对同一数据建立不同的g m 模型。对于这些模型预测结果的分析，可以丰 富我们对研究对象的认识，更好地描述研究对象的发展动态和内在性质。原则 上说，原始数据的样本空间越大越好，但实际情况却并非如此，因为有时利用 相同的不稳定信息可能使得模型的精度弱化。因此，我们应随着相同的发展变 化对所建立的模型进行相应的调整。 4 2 灰色预测的机理1 2 1 9 2 0 l 灰色预测的机理包括：全信息性、惯性问题和预测可信度检验三条，具体分 析如下： ( 1 ) 全信息性 灰色系统理论认为，系统现有状态是各种因子作用的结果，而灰预测是现有 2 0 第4 章灰色预测 状态向未来延伸的预测。为了获得可信的结果，要求建模数据具有全信息性。 提到全信息性，很多人认为只要掌握了“全因子性”，也就是全部因子，则必 然掌握全信息。但是，作为信息不完全的灰色系统，尤其是没有物理原型的本 征性灰色系统，它是不可能掌握全部因子的，这样也就有了“灰性”。 事实上，符合灰因白果律的数据是全信息的，至少是默认原理下的全信息。 如棉花预测中，棉花年产量是建模的基本数据，而棉花年产量又是当年各种因 子( 土壤、种子、耕作、肥科、水和r 照等) 作用的结果。显然影响棉花产 量的因子不胜枚举，这也必然导致棉花因子具有灰信息覆盖：而又因棉花年产 量是具体的、确定的，它又具有白信息覆盖。综合看来，从棉花因子到棉花产 量符合灰因白果律。而用棉花产量作为数据建立灰预测模型也符合全信息性。 ( 2 ) 惯性问题 定量预测以惯性为基础。 g m ( 1 ，1 ) 建模的研究表明，序列中的数据变化体现了惯性的大小。数据2 变化越大，其惯性越大。具体说，序列的级比一( 七) 满足一町( 七) ( o 1 3 5 3 ，7 3 8 9 ) ， 表示序列x 的惯性达到了可作为一o 灰预测建模的地步，而且盯 o ( t ) 越靠近1 ， 说明惯性越大。对于发展系数a ( - 2 ，+ 2 ) 来说，a 越小，惯性越大。 对于有跳变的序列，其必为小惯性序列。从原则上说，它们是不可作为灰 建模的序列的。但如果跳变不少于4 时，可以按跳变点时分布作g m ( 1 ，1 ) 建模 以预测跳变点未来的时分布。 + o ) 预测可信度检验 由于g m ( 1 ，1 ) 模型的数据允许少到4 个，所以具有4 个以上数据的序列都可 以通过滚动检验( r o l l i n gc h e c k ) 来检验预测模型的可信度。 所谓滚动检验是指用前面的数据建模，预测后一个数据，如此一步步地向 前滚动。而预测值与实际值的残差，便反映了预测模型的可信度。并且，残差 越小，可信度就越大。 4 3 灰色预测的分类m 2 5 一“2 2 1 4 3 1 五种灰色预测 根据功能划分，灰色预测可以分为五大类： ( 1 ) 数列灰预测 2 l 第4 章灰色预测 对系统行为为特征值大小的发展变化进行预测， 建立模型，g m ( i ，1 ) 是较为常用的数列预测模型。 如果级比0 - ( 0 ) ( j j ) 落于可容区的( 大) 惯性序列， 以预测事件的值分布。 ( 2 ) 灾变灰预测( 异常值灰预测) 按时间序列的行为特征值 直接建立g m ( 1 ，1 ) 模型 对系统行为特征量超出某个阀值( 界限值) 的异常值将在何时再出现的预 测。建模所用的数据己不是行为特征量本身，而是异常行为特征值发生的时间。 对于级比盯( 0 ( t ) 不是全部落于可容区的小惯性序列，对跳变点时分布建模 以预测跳变点未来的时分布称为灾变灰预测，如旱、涝季节的时分布预测。 ( 3 ) 季节灾变灰预测 若行为特征量异常值的出现，或某种时间的发生是在一年中某个特定的时 区，即对特定时区发生的事件来做未来时间分布计算的预测就称为季节灾变灰 预测。它的特点是灾变一般仅仅发生在一年的某个特定时段，如洪水、季节风、 农业病虫害等。 为了提高数据的分辨率和建模精度，在做季节灾变灰预测时需要将灾变的 发生同期序列做适当的处理，以剔除多余的部分。 ( 4 ) 拓扑灰预测 这是对一段时间内行为特征数据波形的预测。 本质上看，拓扑预测是对一个变化不规则的行为数据列的整体发展态势进 行预测。对于大幅度的摆动序列，常按点集拓扑基选取时分布序列做g m ( i ，1 ) 建模，预测拓扑基的时分布，以达到预测摆动序列未来发展态势的目的。 ( 5 ) 系统灰预测 对于含有多个相互关联的因素与多个自主控制变量的复杂系统，任何单个 模型都不能反映系统的发展变化，必须考虑建立系统模型才能有效地进行预测。 由多个行为变量形成的灰微分方程组，通过g m ( i ，1 ) 嵌套的方法来预测多 个行为变量的发展变化，从而避免解高阶特征方程的烦琐，这样的预测称之为 系统灰预测。 4 3 2 与其它预测方法的比较1 5 均2 4 大体上说，预测方法分为定性预测和定量预测两类。 定性预测也称直观性预测，一般以专家索取信息为对象，组织各方面的专 第4 章灰色预测 家运用专业知识和经验，通过直观的方法对过去和现在发生的问题进行综合分 析，从中找出规律，以便对今后的发展趋势和前进做出主观的推测。其优点是 在缺乏统计数据和原始资料的情况下，能够简单易行地做出比较正确的判断和 推测；缺点是预测程度依赖于专家的选取，精度不高。 定量预测则是用数学、概率论和数理统计等方法进行处理，认为将来是过 去和现在的自然延伸。目前，常用的定量预测方法有回归模式、时间序列分析、 指数平滑法等。它们都需要搜集足够多的历史资料、大量的样本，才能获得较 准确的未来预测值，进而作为制定决策的参考。 而灰色系统预测却适合于短期或无法取得完整信息的预测分析中，只要求 至少4 个以上的数据资料即可进行建模。以上五种灰色预测方法的共同点是： 第一：少数据建模，只要4 个以上的数据即可； 第二：允许对灰因果律事件进行预测； 第三：具有可检验性，这包括：( 1 ) 建模可行性的级比检验，就是事前检 验；( 2 ) 建模精度检验，即模型精度检验；( 3 ) 预测的滚动检验，即预测检验。 正因如此，灰色预测模型以其“小样本”、“贫信息”、“少数据建模”等特点广 泛地应用在各个领域中，取得了很好的效果。 4 4 数列灰色预测【2 5 1 一 数列灰预测的机理是：对g m ( 1 ，1 ) 建模序列建立g m ( 1 ，1 ) 模型，通 过所建模型对未来进行预测，其步骤如下： ( 1 ) 级比检验，建模可行性判断 对给定序列j ：( x ( 1 ) ，工( 2 ) ，工( n ) ) ，计算级比盯( 七) = x ( k - 1 ) ，进而获得级比 膏j 序列o r = p ( 2 ) ，盯( 3 ) ，仃( ) ) ，然后检验级比a ( k ) 是否落于可容覆盖中。当 k = 2 。3 。r ，盯( 女) 满足均落于可容覆盖的条件时，则该序列可作g m ( 1 ，1 ) 建 模，进行序列灰预测。 ( 2 ) 数据变换处理 对于级比检验不合格的序列，必须作数据变