（基础数学专业论文）（rs）微分算子代数的导子代数及其二上圈.pdf

摘要 令c i t , t - 1 】为复数域c 上的l a u r e n t 多项式代数，0 = d d t 是c t ，t - 1 】的 微分，7 取g c ，q 0 ，1 ，类似a 定义c t ，t - 1 】的g - 微分岛为： 们) = 警，v p c 譬, t - 1 】 令r s c ( r s ) 且r ，s 0 ，1 为c 中非。非1 复数，仿似岛的构造， 定义c t ，t 一1 】的( r ，s ) 一微分如下： 屏，。( p ) = p ( r 石t ) - i p ( 一s t ) ，v pec 吣一1 】 记忆a 生成的结合代数即c p ，t - 1 1 的微分算子代数为d ， ，岛) 生 成的微分算子代数为珐，对于d 与岛的导子代数、二上圈及自同构研 究已有了很多结果，本文将对 t ，辞，。 生成的结合代数( r ，s ) 一微分算子 代数研。的导子代数及其非平凡二上圈展开讨论。 记z + 为全体非负整数集合，取专为c t ，t - 1 】的代数自同态满足( ) = s t ，有= t 研一一r 辞，。t ，令d = p 一1 ) t 屏，。+ f ，则d 口即。设r x s ” l ( z ，y zz ，y 不同时为o ) ，在此条件下可得d 的一组c 线性基为 t ”d “9 m z ，n ，q z + ) ，有： 口 = ( c ( m ，叫) 尹d “引c ( m ，) c 。盟 在上述结论基础上，本文第二小节对结合代数研，。的导子代数进行 讨论，得到结论为： 定理2 1 ：d ”的导子代数为d e r ( ：d r ，。) = a d ( 口邳) o l _ 31 c a i ，其 中吼( i = 1 ，2 ，3 ) 是研。的外导子，满足盯l ( t ) = t ，盯1 ( d ) = 口1 ( ) = 0 ，矿2 ( d ) = d ，c r 2 ( t ) = 6 r 2 ( 专) = 0 ，盯3 ( ) = ，a 3 ( d ) = a 3 ( t ) = 0 。 在定理2 1 的基础上，本文第- - - - - d , 节进一步对李代数研，。的导子代数 进行讨论，得到： 定理3 1 ：d e r ( t , 8 ) = a d ( 口即) o 筒3 c a i o j z o ) c 白，其中， q ( i z o ) 是李代数攻。的外导子，满足q ( ) = 瓯，j ，6 ( d ) = 6 ( 亭) = 0 。 本文最后一节讨论并确定了的所有非平凡二上圈，得到如下结论： 定理4 1 ：d i m h 2 ( d 品，c ) = 。o ，z 上的每一个二上圈在h 2 ( 口i 。，c ) 中与下述方法确定的某一二上圈属于同一同构类： 咿q , t m d m p ) = 等1 其中，a 。，。= 一a 。1 ，。 礼+ q = n l + q t = 0 ，m m l 否则 关键词： s ) 一微分算子，二上圈，导子代数。 a b s tr a c t l e tc t t ，t _ 1 】b et h ea l g e b r ao fl a u r e n tp o l y n o m i a l so v e rt h ec o m p l e x n u m b e r sf i e l d ，a n d0 = d tt h ed i f f e r e n t i a lo fc t ，t - 1 】l e tqb ea c o m p l e xn u m b e rw h i c hi sn o t0a n d1 ，s i m i l a rt o0 ，t h eq - d i f f e r e n t i a lo f c t ，t 1 】i sd e f i n e da s ： 咿) = 掣，v p c t , t - 1 l e tr ，sb et w od i f f e r e n tc o m p l e xn u m b e r sw h i c ha r en o t0a n d1 ，w e d e f i n e ( r ，s ) 一d i f f e r e n t i a lo fc t ，t _ 1 】a sf o l l o w s ： 辞，。( p ) =p ( r t ) 一p ( s t )v p c t ，t 。】 l e t 口b et h ea s s o c i a t i v ea l g e b r ag e n e r a t e db yn a ) ，a n d 巩b et h e a l g e b r ag e n e r a t e db y “岛) t h e r eh a v eb e e nm a n yp a p e r sm a k i n gr e - s e a r c ho nt h ed e r i v a t i o n s ，2 - c o c y c l e sa n da u t o m o r p h i s m so f 口a n d 玩 l e t 研。sb et h ea s s o c i a t i v ea l g e b r ag e n e r a t e db y 托o r ，s ，w h i c hi sc a l l e d ( r i s ) 一d i f f e r e n t i a lo p e r a t o r sa l g e b r ao fc t ，t - 1 】i nt h i sp a p e r , t h ed e r i v a - t i o na l g e b r ao fz oa n di t sl i ea l g e b r ad 二w i l lb ed e s c r i b e da n da l lt h e n o n - t r i v i a l2 - c o c y c l e sw i l lb ed e t e r m i n e du n d e rt h ec o n d i t i o no fr x 8 ” l ( x ，y z ，x ，y n e v e rb e0a tt h es 眦et i m e ) l e tz + b et h es e to fa l ln o n n e g a t i v ei n t e g e r s a n dt h ec o n d i t i o n 严l ( x i y z ，z ，y n e v e rb e0a tt h es a m et i m e ) i sa l w a y sa s s u m e d t h r o u g ht h ep a p e r d e f i n et h ea u t o m o r p h i s m 毒o fc t ，t 。】s a t i s f y i n g ( t ) = s t s e td= p 一1 ) t 辞，s + f o r 毒= t 研，8 一r 缉，s t ，d 研 s t h e nw eg e tac b a s i so f 7 3 r ，s ，w h i c hi s ( t “d “9 i m z ，礼，q z + ) ，t h a ti st os a y ， 7 9 r ，s = c ( m ，他，q ) t ”d ”酽i c ( m g ) c ) - 。赫 u s i n gt h er e s u l ta b o v e ，i nt h es e c o n dp a r to f t h i sp a p e r ，t h ed e r i v a t i o n a l g e b r ao ft h ea s s o c i a t i v ea l g e b r a 研si sd e t e r m i n e da sf o o l l o w s ： t h e o r e m2 1 ：d e r ( 7 9 r ，s ) = a d ( 口郴) o 扛3lc 巩，w h e r e 吼( i = 1 ，2 ，3 ) 。a r eo u t e rd e r i v a t i o n so f 研s a t i s f y i n g 盯l ( t ) = ，0 - 1 ( d ) = 盯1 ( ) = 0 ，0 - 2 ( d ) = d ，a 2 ( t ) = 0 - 2 ( ) = 0 ，印( ) = ，0 - 3 ( d ) = a 3 ( t ) = 0 u p o nt h e o r e m2 1 ，t h ed e r i v a t i o na l g e b r ao ft h el i ea l g e b r a 臻si s d i s c r i b e d ，a n dt h er e s u l ti s t h e o r e m 3 1 ：d e r ( 7 9 i , s ) = a d ( 口r t s ) o 斟3c 吼o j z 0 ) c 白，w h e r e 彘( i z 0 ) ) a r et h eo u t e rd e r i v a t i o n so ft h el i ea l g e b r ad i s ，s a t i s f y i n g a ( ) = 巧t ，6 ( d ) = 6 ) = 0 i n t h el a s tp a r to ft h i sp a p e r ，a l lt h en o n t r i a l2 - c o c y c l e sa r ed e t e r m i n e d a sf o l l o w s ： t h e o r e m4 1 ：d i mh 2 ( 口不，c ) = 0 ( 3 e v e r y2 - c o c y c l eo n i s e q u i v a l e n tt oo n eo ft h ef o l l o w i n g2 - c o c y c l e s ： a ( t t d n 只眇d 吣q = 。了1 三：三怕1 _ 0 蟛m w h e r ea m ，“1a r ea r b i t r a r yc o n s t a n t sw i t ha m ”l = 一a m l ，m k e yw o r d s ：( r ，s ) 一d i f f e r e n t i a lo p e r a t o r ，d e r i v a t i o n ，2 - c o c y c l e v 陈茹硕士学位论文答辩委员会成员名单 年月日 姓名职称单位备注 主席 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果。 据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发表或撰写 过的研究成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说 明并表示谢意。 作者签名： 学位论文授权使用声明 本人完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保留学 位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版。有权将学位论 文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅。有权将学位论文 的内容编入有关数据库进行检索。有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密的 学位论文在解密痿适用本规定。 学位论文作者签名： 臼期： 导师签名： 日期： 第一节引 言 令c l t ，t - 1 】为复数域c 上的l a u r e n t 多项式代数，记口= d i f f c t ，_ 1 为c l ，t - 1 】 上的微分算子代数，它作为c 上的线性空间，存在一。组基为 t “d ”l ，n z ，n z + ) ， 妒( t 。= 妾( 弘扩“， 其中d = 国，a = d d t ，z + 是所有非负整数集含。 取q 为一个非零复数，且q 1 ，定义口一微分岛如下， 岛( p ) = p ( q 万t ) - p ( t ) ，v j p c tt - 1 】 ( t ) = q t 为c t ，t _ 1 】的代数自同构，则吼满足 吼( p q ) = 岛( p ) q + ( p ) 岛( 0 ) ， v p , q c t ，t - 1 】 称岛为一导子。所有的一导子集合构成个线性空间记为d e c ，t - 1 】，其组 基为 护岛i m z ，n z + ) 。计算得钆t 一班吼= 1 记由 t ，岛) 生成的c 上的结合代 数为矾，称为口一微分算予代数。 关于微分算子代数与口微分算子代数的研究已经有了很多成果。d 与巩的结合 导子代数及李导子代数已经完全确定下来( 见参考文献1 2 8 及参考文献【2 4 】) ，而作为 李代数，口与岛的非平凡二上圈也得到了确定( 见参考文献 2 2 1 与参考文献 2 4 】) 。近 年来随着对李代数包络代数单参数量子化的推广，双参数量子化也开始得到。泛关 注。本论文中将对c t ，t 。j 上的双参数微分算子代数的导子代数及非平凡二上网展 开讨论。 设r ，s c + ，r 2 s 2 ，定义r ，8 - - 微分算子露。如下： c 9 r , 6 ( p ) = p ( r 百t ) - 丁p ( s t ) ，v p c t , t - 1 】 定义c t ，t - 1 l 的两个自同构，f ，满足u ( ) = r t ，( ) = s t ，则由屏，的定义可得： 薛，( p q ) = 屏，( p 硅( 曰) + 0 4 p ) a ，( q ) ，v p , q c t ，t - i 】 因此屏，。又称为( “，f ) 一导予。容易验证： 良。t r 研，= f ，o r ，。t s t 屏。= u 记所有的u ，一导子集合为d e r w ，d c t ，t - 1 ) 。d e d c t ，t - 1 】) 作为线性空间的一组基 为露，。f i z ) 。 经简单许算可知 t 屏w = u 以5 ，研，= t 屏u = u 把似辞。) 生成的结合代数记为研。称为r ，s 一微分算子代数。 在本文的第二节中将试确定口。的所有外导子，从而确定了口。的结合导予代 数。第三节将在第二节的基础上确定研。的李导子代数结构，第四。讧确定d r ，的所 有非平凡二上圈，从而确定了研，的所有一维非平凡中心扩张。 在口。中，取d = + ( r 1 ) t 研则经简单计算可得： 引理1 1 ：在职。中，d f = f d ，d t = r i d ，酗= s 蟮。 i 引理1 2 ：若，s ”l ( 霉，y6z 且不同时为o ) ， t “d ”9 i m6z ，n ，q z + 是向量 空间研。的一组基。 证明：研，是由萨1 ，良，生成。也可看作是由t 士1 ，t 屏，生成。由于d = + ( r 1 ) t a r 。，t 西，。一p 1 ) _ 1 ( d f ) ，则若能证得 扩( t a ，。) “p l m z ，n ，q z + ) 是研，的 一组基，则引理结论得证。又因为u = 良。t s t 矗。， = o r ，。t r t o r l 8 ，则t a r 。= ( r s ) - 1 p 一) ，从而引理证明转化为证明 u ”p i m z ，n ，q6z + ) 为d 。的组 基。 t “，t o , ，。6 ( t , n w “p i m z ，仉g z + ) c ，由，u ，的换位关系，可以得到 研一= o m ”p f 仃l6z ，几，q z + ) c 下面只须证明 u ”f lr n z ，n ，q 6 z + ) 的线性无关性。 设m 粤c ( m ，n ，q ) t ”d “ 。= 0 ，将之分别作用于t o6z + ) ，对每个 有下式 b 口e z + 成立： 一一c ( m q ) t m + 0 ， m zn ，口z + 2 则对每个取定的m ，有： fr “5 * c ( m ，口) = 0 j 一 n q e z + ( 1 1 ) 式左边是个有限和，不妨设对每一个7 n 有0 n n m 0 q 墨q 取p = n m q 。，令0 i p i 。可得方程组： 艇! ! i i 一j j l i ! i 銎麓i i 1 0 0 l o i v , n 0 o k 。o 1 o l o 1 o 占1 o 锹o p - ja p - j 该矩阵的行列式是范德蒙行列式，由引理条件知，眇1 ( g ，y z 且不同时为o ) ， 则当n ”1 ，g q l 时，a n 口a n 。 即上述矩阵可逆，方程组只有零解- 即所有的 c ( m ，礼，g ) = 0 。 上述讨论对所有的m z 成立，所以当m 量c ( m ，n ，q ) t ”d “f = o 时，有 c ( m ，n ，q ) = 0 ，即 t ”u ”4 l m z ，n ，g z + ) 是线性无关集。证毕。 l 由以上引理，当p s v 1 ( 霉，y z 且不同时为o ) 时，有 口r 产 g ( m ，吼q ) t “d “p l e ( m ，川) c ) 。：器 3 、， 口 口 ，0 。 卜 o o 口 ， 凸 n 第二节( 7 ，s ) 一微分算子代数的结合导子代数 我们知道口 2 。麓g ( t ，l ，n ，q ) t d “只g ( m ，n ，q ) c ) a 其中，d 。= r t d ，0 = s 延，且i - m 5 “= l ( m ，n z ) 当且仅当m = o r n = 0 。研，s 是个结合代 数，下面确定珥。作为结合代数的导子代数的结构。 设b 口r ，令历。( b ) ：= z 研，l x y = y x ，v y b ) 为口在口”中的中心化 子。 引理2 1 ：z v 。( 矿) = c t ，t - x 】( p o ) 。纭，( d ) = c d ，l = z 口。( ) 证明：下证z 文。( t ，) = c t ，t m i ( p o ) ，而獗，( d ) = c v ，科= z 口t 。( f ) 的证明 类似可得。 显然有c 池t 一1 l 纭。( 护) 仞o ) ，下面只须证明z v 。妒) 伽o ) c t ，_ 1 】。任 取d = 篙玉d ( m ，7 a ，q ) t ”d 誓9 五墨，( 护) ( p o ) ，下证d c h 。】： 【c ( m ，n ，q ) t ”d “4 ，卅= ( ( r ”s 。) 9 一1 ) c ( m ，n ，q ) t ”9 d “p = 0 。：吕。麓 则当礼，q 不同时为。时有c ( ，n ，吼q ) = 0 ，即d = 。e z d ( m ，0 ，o ) z d 。( 酽) o ) c t ，t - 1 】。 证毕。 i 引理2 2 ：研。存在如下外结合导子：o i ( = 1 ，2 ，3 ) ，满足 o 1 ( t ) = t ，a d d ) = 口1 ( f ) = 0 观( d ) = d ，观( ) = 观( f ) = 0 o 3 代) = ，a 3 ( d ) = 砚( t ) = 0 证明：取口。的线性映射盯1 。令口l ( t “d ”4 ) = m p d ”4 ，则显然，口1 ( o ) = t ，口1 ( _ ) ) 口1 ( ) = 0 。易验证口- 确实是导子。下只需证口1 是外导子即找不到y 研一使 得口1 = a d y 。简单计算可得 4 t m d t 掣，t l - ( r n s 4 1 ) ”“d ”“ 设2 。：器。( 7 n ， ，g ) 俨d ”扎则 a d uc t ) = ( r n s 。一1 ) c ( 眠训) f ”1 d “9 。盟 要使a d ( t ) = t ，则当n ，g 有一不为0 时，必有c ( m ，i ，q ) = 0 ，。1 ，q 全为。时， ，s ”= 1 可得a d u ( t ) = 0 ，即不可能存在这样的y ，使得a d y = ( 7 1 ，所以0 1 是外导子。 得证。 类似地。分别取线性映射口2 ，0 - 3 ，并使得它们满足 a 2 ( t ”d ”e 9 ) = n t ”d “p ， a 3 ( t “d ”4 ) = q t ”d “p 则可类似口1 证明口2 ，口3 也是满足引理条件的研。的外导子。证毕。 引理2 3 ：对于研。任意一个结合导子q ，都存在z d r ，使得a ( ) 一a d z ( t ) c t ，_ 1 】。 证明：不妨设 “( ) = 口( m ，q ) t ”d ”只 。盟 由【t “d “f 9 ，t 】= ( 一s 4 一1 ) t ”+ 1 d “p t r s 4 l ( n + q 0 ) 知t 可取 。= f( p s q 一1 ) a ( m ，n ，q ) t m - 1 d “4 ， z j 、 n ，q e z + n + 口o m e z 则有 ( ) 一a d 七( ) = a ( ”t 1 0 ，o ) t ”c t ，t 。】 证毕。 i 定理2 1 ： 研。的导子代数为d e r ( d ，) = a d ( 职，。) o ：。c 以。 证明：( i ) 取任意的咖d e r ( d ，。) ，则由引理2 4 知，存在。珥，使得口o ( t ) 一 a d x ( ) = m z o 。t ”c h t - 】。取a = n o a d z ，下面主要确定o ( d ) ，口( f ) 。不妨设 a ( d ) = c ( m ，n ，q ) t d “p 。：强 5 o ( ) 一e ( m ，n ，q ) u d “4 。：兽 由d = r t d ，知o ( d t ) = r a ( t d ) ，即 ( 2 1 ) 左边 ( 2 1 ) 右边为 a ( d h + d a ( t ) = r a ( t ) d + r t a ( d ) = c ( m ，n ，q ) t ”d “一t + a , , d t ” 。，嚣悬+ “2 由左边= 右边可得： 化简上式得到： = r c ( m ，n ，q ) t ”1 d “o 蚪t ”d 。盟 “2 r ”n 。t ”d m z t + r a 。t ”d m e z ( 2 1 ) ( ，一r ) c ( m m ) 州d “f = p 一，) 。d ( 2 2 ) t z 分析( 2 2 ) 式，当n 1 或q 0 时 r n s 。一r = 0 这说明( 2 2 ) 式左边恒为零， 上式说明当m 1 时，a 。= 0 a 综上所述，可以得到 有c ( m ，n ，q ) = 0 ，而当 = 1 且q = 0 时， 即 p 一? - m i l n 一d = 0 m e z a ( t ) = a l ta ( d ) = c ( m ) t ”d m z 6 d m 0 懈 + d + 曲h v 扣 矿 n p 箍 | | 卜 f d n 曲 n 0扣 神 n 扣 儡 d + 曲 nh d r 籀 1 | 鬻 类似地用等式a ( ) = s 口( 蝤) 可以讨论得到 口( ) = e ( m ) ” m e t , ( i i ) 由d f = f d ，得等式 o ( d k + d 口( ) = n 代) d + o ( d ) 上式左边用( i ) 中得到的o ( d ) ，a 健) 展开式代入得到： c ( m ) t ”_ d + e ( m ) t “ m e zm z ( c ( m ) + r ”e ( m ) ) f “d f r a e z 类似司得右边展开式为 ( s “c ( m ) + e ( m ) ) d f ， m e g 由左边= 右边，得 ( c ( ”。) - _ f r e e ( i ) ) d f = ( s ”c ( t ) + e ( ”- ) ) ”d f 化简上式得 c ( m ) + r r n e ( m ) = e ( m ) + s ”c ( m ) 分析上式可得当m 0 时，有 取 归篙c ( m ) 综上所述，可得 a ( d ) = ec ( m ) p d + c d z m # o a ( f ) ： 豢c ( ，n ) m f + e f r a e z m 0 ( i i i ) 当m 0 时，容易得到 a d t ”( d ) = ( 1 一r t m ) t ”d ，a d ”( f ) = ( 1 一s ”) t ” = e 咎 m z m o 7 令，y 一口一a d y ，则有 再取 v ( t ) = a l t ，7 ( d ) = c d ，1 嬉) = 9 o “a l o - 1 c o - 2 c o - 3 则为导子且满足加( t ) = 7 0 ( ) ) = 加( f ) = 0 ，口。由t ，d ，生成，所以实际上 作为研。的导子，7 0 = 0 。 f l j ( i ) ( i i ) ( i i i ) 论证可得， 定理得证。 “o = a d + y ) + a l o 1 + c o 2 + 3 8 第三节( r ，s ) - 微分算子代数的李导子代数 我们知道，结合代数d r , 。自然作成个李代数，而研，的一个导子自然作成z # ，的 一个李导子，即d e r ( d ，。) d e r ( d f , 。) ，在上一= 宵中已经确定了的结构，本小：1 i 主要 确定啦。的李导子代数结构。 引理3 1 ：李代数攻，是由集台x = ，d ，引m z ) 李生成的。 证明：只须证对任意的m z 及任意的n ，q z + 。有t d ”f 4 可由x 中元李生成 即可。记x 生成的李代数为。用归纳法证明。 已知t ”x ( m z ) c4 ，设已经证明7 “d ”p 4 ( m 0 ) 下只须证d ”+ 1 掣， t m d “f 9 + 1 ，m 士1 d “9 a 即可。 因为 p “d “f 9 ，d 】= ( 1 一r ) “d ”+ 1 4 【t ”d ”e 。，刳= ( 1 8 n 1 ) ”d “f 9 + 1 可知确有t ”d ”+ 1 p ，7 ”d “。+ 1 a 。从而可以假设已经证明d ”掣a ( m 0 ， + q o ) ，丽由【t ”d ” 4 ，t 士1 l = ( ( p 8 q ) 士1 1 ) z ”“d ”p ，可知也有m ：k l d “9 a 。 证毕。 i 鄂理3 2 ：李代数d 矗存在外导子6 ( i z o ) ) ，满足 0 ( 矿) = 巩j ，6 ( d ) = g ( ) = 0 证明z 取研。的线性映射g ( i z o ) ) ，令0 ( 俨d “f a ) = 以。如托o ，下验证确 实厶为导子。 g ( 【”d ”9 ，t ”1 d “1 9 1 】) = 6 ( ( r ”“5 4 “1 一m i m e , “”) t ”+ “1 d n - f n l 4 + “) =( r n n q 8 。1 一r ”“s 吼m ) 最，m + m l 矗+ n 1 + g + 9 1 0 = 0 ， 9 并且有 【q ( p d ”p ) ，t ”1 d “0 1 = 0 ， 【d ”f ，矗( 1 d ”1 ”) l = 0 这是由于c t 在巩。上任意元的值都是复数。由上述讨论可得 6 ( 【t m d ”f 9 ，, t m l d m 吼】) = 【6 ( t m d ” 9 ) ，t - , l d n l 叮1 l + 【t m d “4 ，矗( t m l d m 仉8 ) 】= 0 可见( i 确实是导子。 设存在y 。研，使得( i = a d y l ，由t ( d ) = 0 可知，y i c o ，刳( 引理21 ) ， a d y 。( t ) = 0 ( 4 7 n ) 则y l c t ，t 一1 】nc d ，刳= c ，而这与a d y | f ( t 。) = 靠( 扩) = 1 ( z 0 ) ) 相矛盾。所以，不可能存在这样的y i ，使得a d 玑= ( ，即是靠外导子。 引理3 。3 ：对于口二任意一个李导予o t ，都存在z 研。使得o ( t ) 一a d t ( ) c i t ，t 。1 】。 证明：证明同引理23 。 i 定理3 1 ：臻。的导子代数为 3 d e r ( ) - _ a d ( 研，) o c a ；o c 白 i = l j e z ( o 证明：( i ) 取任意的o 0 d e r ( d 二) ，则由引理3 3 知，存在x 口，使得a o ( t ) 一 a d x ( t ) c t ，t - 1 。取a = d o a d x ，i 殳s ( t ) = a ( t ) = 。z a ，t ” 由【t ，t ”i 】= 0 ，得到 o ( 【f ，”】) = 【o ( t ) ，t “】+ 【t ，a ( t ”) 】_ e ，a ( 一) 】_ 0 则有。( t ) z v 。( t ) = c t ，t - 1 l ，特剐地，取9 ( ) = 口( t - 1 ) = 。e zb m l ”，设 o ( d ) = c ( 帆m q ) t “d “n 。：麓 a ( ) = e ( m ，mq ) t ”d ”f 9 。愚 已知【t ，d = ( 1 一r ) t d ，【t - 1 ，t d 】= ( 1 7 - 1 ) d ，用。作用其上，得到： o ( 【t ，d 1 ) = q ( t ) ，d 】+ 【，。( o ) 】= ( 1 一r ) o ( d ) ，( 3 1 ) 】0 a ( 【t 一1 ，t d 】) = 【口( 一1 ) ，t d l + i t 一1 ，c r ( t d ) 】= ( 1 一r - 1 ) o ( d ) ( 3 2 ) 将( 3 ，1 ) 变形为o ( t d ) = ( 1 一r ) 0 4 t p 1 ) 代入( 3 2 ) 中得到： 【a ( t - i ) ，口】+ 【t - i , 再1a ( 陋，d 】) 】= ( 1 - i i ) 口( d ) ( 3 3 ) 在( 3 3 ) 中， 其中 【a ( t 。) ，t d = ”d | _ k ( 1 一r ”) ”1 d m zm z t ，两1a ( 【t ，d 1 ) 】= i t - 1 , 再1 ( 【。( f ) ，d 1 + 【t ，a ( d ) ) 】 = 西1 ( t ，) ，d 】+ 【t - 1 , 【t ，口d 】) i t ，( a ( t ) ，d i = i t 一，【口m t m , d i = n 。i t ，n 刎】 t n z z = ( 1 一r “) ( 1 一r 1 ) o 。t 一1 d ， m z t ，【t ，a ( d ) 】_ 2 0 r ( d ) 一( t - 1 a ( d ) t + t a ( d ) t 。) 则( 3 3 ) 左边展开式为 ( 1 一r ”) “d + ( r t r 一1 ) 口。1 d m e z m e z + 击( 2 a ( d ) 一t a ( d ) t 一t - l a ( d ) t ) ， ( 3 3 ) 式可以变形为： ( 1 一r ”) ”1 d + ( r ”一1 k r l d m zm z = ( 1 一；) a ( d ) 一再1 ( 2 口( d ) 一a ( d ) t - 1 - t - a ( d ) t ) ( 34 ) ( 3 4 ) 式左边合并同类项可得： 【竺a m + l + ( 1 - - t i n - i b m _ 1 ) 舢 把a ( d ) 展开式代入( 3 4 ) 右边得到 ( 1 一；) c ( m ，n ，q ) t d “”击2 c ( m q ) t d “p h q e z +n q z 十 一( c ( m ，n ，q ) t ”+ 1 d “p t _ 1 + c ( m ，mp ，g ) r “_ 1 d ”p ) n 巾q e z +q e z + = ( 1 一；1 ) c ( m q ) t “d “f 9 一击2 c ( m m ，q ) t ”d ”。 m e z 一 m e z 二( r “s 一4 c ( 弛n ，q ) t r a d ”p t - 1 + ，8 4 c ( 帆n ，q ) l d ” 。：兽。：置 2 宰三c ( m , n , q ) t ” 击薹( r s q + r - n s - q - 2 ) c ( 咖d p 2 孚三c ( r n ，r t , q ) t r o d v + 击三( 一毋一警s 寻炜( m ，”矽矿p n q e z t n t 口e z + 2 三志k 浮疗) 2 邓一r ) 2 】c 1 ( m ，仉咖m d 叩- 得到( 3 4 ) 韵展开式为： 三南i t ( 南牝疗s 刁2 _ ( 1 。r ) 2 j c 加k m 咖”f ：【笠n m + ，+ ( 1 一一) 】舢 ( 3 5 ) m e z 对( 3 5 ) 式进行分析，当n l ，q 0 时，必有 i t ( r s l r 警s 寻) 2 一( 1 一r ) 2 】c ( m ，n ，g ) ：0 ， 换言之，即【r ( r s l r 乎s 寻) 2 一( 1 一r ) 2 j = 0 或c ( m ，n ，口) = 0 。 下面研究礼，g 取何值时，有 r ( r 2 s 一r 警s 警) 2 一( 1 一r ) 2 】= 0 。 r p ；s 一r 一28 2 ) 2 一( 1 一r ) 2 = 0 ， 即r ( r 28 。2 一r - - 2 n s ：2 r ) 2 = ( 1 一r ) 2 ， ( r i s 一r 寻s 寻) 2 = 坠娑= ( r i r 5 ) 。 1 2 设z = p 一，上式改写为 解这个方程得 z 2 一( r + r - 1 扣+ 1 = 0 $ = r 或 z = r 一1 即p 8 q = r 或 r ”s q = r 一1 由n ，q z + 知，只能有p s q = r ，即 r ( r ”2s “2 一r 芋s 寻) 2 一( 1 一r ) 2 = 0 当且仅当n = 1 且q = 0 由以上讨论可知，当 1 或q 0 时，有c ( 1 r t , ，n ，q ) = 0 。而当 = l 且q = 0 时 ( 3 5 ) 左边为0 ，则有如下等式成立： 【竺0 | + 1 + ( 1 一，1 ) p d ：o m z 记( m ) ，= ( 1 一r ”) ( 1 一r ) ，则上式可以筒记为( m + 1 ) ，a m + z = r ( m 1 ) ，b 。一1 。 综上所述，得到以下结论： a ( d ) = c ( r n ) d ， t r i z ( m + l k a 。州= r ( m 1 ) ，b m 一1 对于n ( ) 进行类似讨论，可以得到： n ( f ) = e ( ”。) t “f m z ( m + 1 ) a a m + l = 8 ( 一班( 毗= 警 ( i i ) 用口作用于【d ，刳一0 得到 陋( d ) ，刳+ d ，a ( ) 】_ 0 ， 将a ( d ) ，n ( f ) 代入上式得展开式为 c ( m ) ”d ，刳= 一e ( ，n ) | d ，t ”刳 m e zm e z 1 3 即 e ( 1 一s “) c ( m ) ”d f = 一e ( 1 一r ”) e ( m ) i d ，t ”刳 m zn t z 分析上式可得当t n 0 时，有 e ( m ) = 二1 - - 而8 m c ( m ) 综上所述，可得 “( d ) = ec ( ”- ) “d + c d ， a ( ) ： 羔c ( m ) t m f + e l z t ，i 0 4 ( i i i ) 当m 0 时，容易得到 a d ”( d ) = ( 1 一r ) d ，a d t ”( ) = ( 1 8 r n ) “ 取 = e 粤俨， 令 7 0 = d a d y ，则有 7 0 ( t ”) = n ( ”) ，拍( d ) = c d ，加( f ) = e 再取 ，y 。加一a 1 6 r l c o 2 一e a s ， 则有7 ( d ) = 7 ( ) = 0 。且7 ( t ) = ，( ) ，州t _ 1 ) = 9 ( t ) 。 由h d 】= ( 1 一r ) t d ，知( 1 一o y ( t d ) = h ( ) ，d 】+ 【t ，1 ( d ) l = 。z a m 【t ”，d 】，即 7 ( t d ) 2 互蔷t r n d = p k 。， 类似由【t ，d 】= ( 1 一r _ 1 ) d ，h ( - 1 ) ，d ) = ( 1 一r 。h ( t _ 1 d ) ，得到 7 ( 。1 d ) = 一r ( m ) ，h d m z 简单计算可得 p d ，d 】= ( 1 一r ) t d ，d 2 】= ( i - r 2 ) d 2 ， 耻d ，一1 上) = ( ；一r ) d 2 1 4 将1 作用于以上三式t 司得 ( 1 + r ) ，y ( p d ，d 1 ) = ( 1 + r ) h ( 口) ，d 】= ，y ( p ，d 2 】) = h ( ) ，d 2 】+ 【f v ( d 2 ) 】 ( 3 - 6 ) ( 三一r ) 7 ( _ d 2 ) = h ( t d ) ，t 一1 d l + 睁d ，一y ( t 一1 d ) 】， ( 3 7 ) 在( 3 7 ) 式中 h ( t d ) ，t 一1 = ( m ) t o m d , t d l 一( ；“) 。m - 1 d 2 ， 融7 ( t 一- d ) i ：一r ( m ) ，b , 。i t d ，t ”p l 一r ( m ) r ( r 一一6 m “1 d 2 。 则( 3 7 ) 可以改写为： 1 ( d 2 ) = 击( 互( _ _ r 1 ”) a , n t - l d 2 + 三r ( m ) 灯”m ) k r ”“伊卜。8 一 m z ”t o 在( 3 6 ) 式中， 7 d 2 ：。nd 2 ：( 卜r ”) d 2 m z n t z h 艄1 = 击( 三) r ( _ _ r 1 啊彬”1 d 2 】+ 三州m ) 灯 m z m t 口 南( 三( 畹( ；1 一) ( 1 ，) 。t ”d 2 + r ( m ) ，【r 一( 1 _ r 2 ) 6 m 2 d 2 ) r h z =(mml一一+1)t”胪+三，(m州r一，p+2d2mez m t = 互( 删_ _ t m 4 - 1 m “d 2 + 乏如q x ( r 2 一一。k - 2 ，2m z m t o 由于( m 一2 ) 扣。一2 = ( m ) ，啦。，上式为 ：( 1 一r 州) ( m ) ，a m t ”一1 d 2 + ( r 2 一r ”。1 ) ( m ) 胁伊 ：、r ( 1 一r m + l + r 2 一r m - 1 ) ( m ) ，o m t d 2 z j 、 ( 1 + r ) h ( t d ) ，d 】= ( 1 + r ) ( 1 一，) ( m ) t t ”d 2 由以上讨论可知( 3 6 ) 展开式为： ( 1 + r ) h o d ) ，d = ( 1 + r ) ( 1 一r ”) ( m ) 趣。t “d 2 m z = 【( 1 一r 2 ”) n 。+ ( 1 一t r a + l + r 2 一，”一1 ) ( m ) ，n 。l t d 2 m z = 【( 1 + r ”) ( 7 n ) ，o 。+ ( 1 一r “+ 1 + 7 - 2 一r 一1 ) ( 7 n ) r o 。m t ”d 2 ，