（计算机软件与理论专业论文）复合复映射mj集和一类混沌系统的投影同步.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 非线性理论是描述具有无规则结构的复杂系统结构形态的一门新兴边缘科学。它包 含了分形、混沌和孤子这三个非常重要的概念。本文侧重研究了分形学中具有重要意义 的复合复映射m j 集( 简称m - j 集) 的相关理论方法和一类混沌系统的投影同步问题，并 取得了一些重要的研究成果。 ( 1 ) 将复合复映射z 卜( z 2 + c ) 2 + c 推广为z + _ ( 矿+ c 广+ c ，r ) ，研究了由该映 射所构造的广义j 集的分形结构和裂变演化规律，通过研究发现；口为整数的广义j 集 具有旋转对称性；口和为小数时，相角护主值范围的不同选取，将导致广义j 集的不 同演化；计算了广义j 集之间的h a u s d o r f f 距离，这对研究广义j 集之间的匹配程度提 供了一种新的研究方法。 ( 2 ) 研究了由复合复映射z 卜0 4 + c ) p + c ( 口，r ) 所构造的准广义m a n d e l b b r o t 集 ( 简称m 集) 。通过对准广义m 集分形图的绘制发现：当g 和多为整数时，准广义m 集 关于x 轴对称，并且口和为为奇数时，准广义m 集不仅关于x 轴对称，还关于y 轴 对称，并在理论上给出了证明；利用d e m o i v r e 理论，当口和口为小数时，对相角目的 主值范围的不同选取，准广义m 集将出现错动和断裂，出现了雏瓣和部分卫星群。最 后将h a u s d o r f f 距离应用到准广义m 集，得出了不同准广义m 集之间的匹配程度。 ( 3 ) 实现了一种新混沌系统变形耦合发电机系统的投影同步。利用状态观测器 理论，设计了与该混沌系统相应的投影同步观测器，利用该观测器理论上使得变形耦合 发电机系统达到投影同步。最后，对变形耦合发电机系统进行了数值仿真，仿真结果进 一步验证了该方法的有效性。 关键词：复合复映射；m j 集；变形耦合发电机系统；投影同步 大连理t 大学硕十学位论文 t h em js e t so fc o m p o u n dc o m p l e xm 印a n dp r o j e c t i v es y n c h r o n i z a t i o n o f ac l a s so fc h a o ss y s t e m a b s t r a c t t h en o n l i n e a rt h e o r yi san e wd e v e l o p i n gf r o n t i e rs c i e n c ew h i c hd e s c r i b e st h ec o m p l e x s y s t e m a t i cs t r u c t u r es h a p ew h i c hh a sar a n d o ms t r u c t u r e ，t h en o n l i n e a rt h e o r yc o n t a i n st h r e e i m p o r t a n tc o n c e p t s ：f r a c t a l ，c h a o sa n ds o l i t o n h e r ew el a yap a r t i c u l a r 锄p h a s i so nt h e s t u d y i n go ft h et h e o r ya n dm e t h o d so ft h em - js e t s ( a b b r e v i a t e dt om - js e t s ) o fc o m p o u n d c o m p l e xm a p p i n ga n dv r o j e c t i v es y n c h r o n i z a t i o no fac l a s so fc h a o ss y s t e m a l s ow ew i l l g i v eo u ts o m ei m p o r t a n tr e s e a r c hr e s u l t s ( 1 ) g e n e r a l i z i n gc o m p l e x m a p p i n ga sz 4 - 0 。+ c ) 卢+ c ( 口，r ) ，a n dr e s e a r c ho n t h e s t r u c t u r et o p o l o g i c a li n f l e x i b i l i t ya n dt h ed i s c o n t i n u i t ye v o l u t i o nl a wo f t h eg e n e r a l i z e djs e t s o f t h i sm a p p i n g t h er e s e a r c h e sa sb e l o w ：g e n e r a l i z e djs e t sh a v e 口一f o l dr o t a t i o ns y m m e t r y a n di t sc e n t e ri st h eo r i g i nw h e n 口i si n t e g e r ；t h ed i f f e r e n tc h o i c e so fa n g l el e a dt ot h e d i f f e r e n te v o l u t i o no fg e n e r a l i z e djs e t s ；c o m p u t e rt h eh a u s d o r f fd i s t a n c eb e t w e e nt w o g e n e r a l i z e djs e t s ( 2 ) ar e s e a r c hi sg i v e di n t ot h eg e n e r a l i z e dm s e t so fz 4 - ( ，+ c y + c ( 口，r ) ，b y p l o t t i n gt h eq u a s i ms e t s ，w ef i n dt h a t ：w h e n 口a n d a r ei n t e g e r s ，t h eq u a s i ms e t sa r e s y m m e t r i c a la b o u txa x i s ，w h e n 仪a n dpa r eo d d ，t h eq u a s i ms e t sa l es y m m e t r i c a la b o u tx a n dya x i s ，t h i sh a sb e e ni l l u s t r a t e dt h e o r e t i c a l l y ；m a k i n gu s i n go fd e m o i v r et h e o r y ，w h e n 理a n d8a r ed e c i m a lf r a c t i o n s , t h ed i f f e r e n tc h o i c e so fa n g l e8l e a dt ot h ed i f f e r e n t e v o l u t i o no fg e n e r a l i z e dms e t s f i n a l l y ，h a u s d o r f fd i s t a n c ei sa p p l i e dt ot h eq u a s i ms e t s ， o f f e rt h em a t h i n go f t w oq u a s i ms e t s ( 3 ) p r o j e c t i v es y s n e h r o n i z a t i o no fan e wc h a o ss y s t e n a - - - - - am o d i f i e dc o u p l e dd y n a m o s s y s t e mi ss t u d i e d u s i n gt e c h n i q u e sf r o mt h es t a t eo b s e r v e rd e s i g n ，w ep r e s e n tas y s t e m a t i c ， d e s i g np r o c e d u r et os y n c h r o n i z eam o d i f i e dc o u p l e dd y n a m o ss y s t e mb yas e a l i n gf a c t o r ，a n d h a v ep r o v e dt h ev a l i d i t yo ft h ed e s i g n f i n a l l y ，f e a s i b i l i t yo ft h et e c h n i q u ei si l l u s t r a t e df o ra m o d i f i e dc o u p l e dd y n a m o ss y s t e m k 呵w o r d s ：c o m p o u n dc o m p l e xm a p p i n g ；m - js e t s ；am o d i f i e dc o u p l e dd y n a m o s s y s t e m ；p r o j e c t i v es y n c h r o n i z a t i o n i i i 独创性说明 作者郑重声明：本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工 作及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理 工大学或者其他单位的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志 对本研究所做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 大连理t 大学硕士学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“大连理工大学硕士、博士学位论文版权使用 规定”，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅。本人授权大连理工大学可以将本学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，也可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论 文。 作者签名：里查煎 导师签名：z 釜乏。 型i f f 2 一月上生日 大连理工大学硕士学位论文 引言 非线性科学是- - f 研究非线性现象共性的基础科学。它是2 0 世纪6 0 年代以来，在 各门以非线性为特征的分支学科的基础上逐步发展起来的综合性学科，被誉为2 0 世纪 自然科学的“第三次大革命”。科学界认为：非线性科学的研究不仅具有重大的科学意 义，而且具有广泛的应用前景，它几乎涉及到自然科学和社会科学的各个领域，并正在 改变人们对现实世界的传统看法。一般认为非线性科学的主体包括：混沌、分形、孤子。 分形理论是非线性科学研究中十分活跃的一个分支，被认为是研究非线性复杂问题 最好的一种语言和工具，它的研究对象是自然界和非线性系统中出现的不光滑和不规则 的几何形体，它的数学基础是分形几何。自1 9 7 5 年以来，分形理论无论是在数学基础 还是在应用方面都有快速发展。由于分形几何极强的应用性，它在物理的相变理论、材 料的结构与控制、力学中的断裂与破坏、高分子链的聚合、模式识别、自然图形的模拟、 酶的生长等领域取得令人瞩目的成功。另一方面，由于应用学科和计算机制图的刺激与 推动，分形的数学理论也得以迅速发展，并且目的更明确，思想更深入。近年来，在维 数的估计与算法，分形集的生成结构，分形的随机理论，动力系统的吸引子理论与分形 的局部结构已获得较深入的结果，其势方兴未艾。 混沌是非线性领域的另一重要组成部分，它与分形总有着千丝万缕的联系。混沌是 物理科学和数学科学两栖的边缘科学。它讨论系统对初值的敏感依赖性、拓扑传递性与 混合性、周期点的稠密性、随机性和遍历性、正的l y a p u n o v 指数、分维数和奇怪吸引 子等。同时，混沌在许多领域得到或开始得到广泛应用，如声学、光学、湍流、化学反 应中的混沌变化、地震的混沌特性、天气长期预报的“蝴蝶效应”、商业周期中蕴涵着 有序性、股市细微分散的交易和大规模变动情况之间的重要关系等。 复合复映射的m - j 集是分形学的重要研究内容之一，本文着重对复合复映射相关理 论及其分形集进行研究与阐述。全文共分四章：第一章对分形和混沌理论进行概述，并 简要介绍了本文中所涉及的相关基础理论。第二章阐述了复合复映射的j 集理论，并对 复合复映射的j 集进行了相关的研究。第三章介绍了复合复映射的m 集的相关理论和研 究。第四章研究了变形耦合发电机系统的投影同步，并验证了同步的有效性。最后是全 文的总结。 复合复映射m - j 集和一类混沌系统的投影同步 1 分形和混沌理论概述 混沌学是继相对论和量子力学问世以来，本世纪物理学的第三次革命，它研究自然 界非线性过程内在随机性所具有的特殊规律性。而与混沌论密切相关的分形理论，则揭 示了非线性系统中有序与无序的统一，确定性与随机性的统一。从字面上来说，分形是 指一类极其零碎而复杂，但具有自相似或自仿射性的体系，它们在自然界中普遍存在。 虽然分形理论在2 0 世纪7 0 年代才首次提出。但经过十几年的发展，已成为一f 1 重要的 新学科。目前分形理论已应用到自然科学、社会科学等很多领域，并在工程上得到了广 泛的应用，成为当今国际上许多学科的前沿研究课题之一。 1 1 分形理论概述 1 1 1 分形理论的产生和发展 自然界大部分不是有序的、稳定的、平衡的和确定性的，而是处于无序的、不稳定 的、非平衡的和随机的状态之中，它存在着无数的非线性过程，如流体中的湍流就是其 中的一个例子。在非线性世界里，随机性和复杂性是其主要的特征，但同时在这些极为 复杂的现象背后，存在着某种规律性。人们不断地寻找这一规律性，分形就是在这种背 景下出现的，使得人们能以新的观念、新的手段来处理这些难题，透过无序的混乱现象 和不规则的形态，揭示隐藏在复杂现象背后的规律、局部和整体之间的本质联系 l 2 1 。 分形这个词是由美国i b m 公司的科学家m a n d e l b r o t 在1 9 7 5 年首次提出的，其原意 是不规则的、分数的、支离破碎的物体。1 9 7 7 年，他出版了第一本著作分形：形态， 偶然性和维数，标志着分形理论的正式诞生。这是分形理论的初创形式，他也因此获 得了前所未有的学术成绩和殊荣，他的名字出现在科学史学家科恩经过严格挑选的短短 名单上。 早在1 9 1 9 年豪斯道夫就为此奠定了基础。2 0 世纪8 0 年代中期，在庞大的埃克森石 油公司研究中心有大量的科学家钻研分形问题。在通用电器公司，分形成为聚合物研究 中心的组织原则；还有核反应堆的安全问题也是如此。在好莱坞，分形在产生电影特殊 效果方面大显身手，用于创造地上或天外非凡的“实景”。m a y 和y o r k e 等人在2 0 世 纪7 0 年代初期开始研究非线性动力系统的混沌行为。而理解非线性动力学的关键结构 是分形。在应用方面，分形几何学也为物理学家、化学家、地球科学( 地球物理、地球 化学) 家、冶金学家、生物学家提供了工具。人们认为，m a n d e l b r o t 的分形几何就是大 自然本身的几何。1 9 8 2 年，m a n d e l b r o t 出版了自然界的分形几何f t h ef r a c t a lg e o m e t r y o f n a t u r e ) 这一著作之后，分形这一概念便在全世界不胫而走，迅速深入许多科学领域， 大连理t 大学硕十学位论文 把许多人带入了分形的百花园。m a n d e l b r o t 不仅提供了自然界中许许多多的分形图象， 还为混沌提供了必需的语言。分形几何学为描述复杂现象和探索物质世界的复杂机制提 供了简洁的工具。它被誉为开创了二十世纪数学的重要阶段，m a n d e l b r o t 也因此获得了 1 9 8 5 年度b a r a n a r d 奖章。国际上分形研究方兴未艾。分形在物理、化学、数学、生物 学及石油天然气勘探开发中的应用方面的论文逐年增加。1 9 9 1 年英国培格曼出版社创办 了混沌、弧子和分形的国际刊物，1 9 9 3 年初新加坡世界出版社推出了分形学一关 于大自然复杂几何的交叉科学杂志。涉及分形的各种专题讨论会已近百次。“自然科 学中的分形大自然中的复杂几何学的国际学术讨论会”于1 9 9 3 年8 月3 0 日至9 月2 日在匈牙利布达佩斯召开。 在国内，分形研究起步较晚，但进展较快。1 9 8 9 年7 月在成都市四川大学召开了“第 一届全国分形理论及应用学术讨论会”，1 9 9 1 年1 1 月在武汉华中理工大学召开了第二 届会议，1 9 9 3 年1 0 月在合肥中国科技大学召开了第三届会议，并拟定每年召开一次。 在我国的攀登计划非线性科学项目研究内容建议书中，列出了“分形的数学理论” 和“分形的物理机制”两个大方向。同时指出，“作为自然界白相似结构几何表现的分 形及自然界中自相似结构的生长问题是当前国际非非线性研究的重大前沿课题，它的研 究和应用引起了物理学、地球科学、化学、生物学、医学及材料科学等方面的广泛兴趣。” 在1 9 9 3 年国家科学基金申请指南中，首次列出了“分形论及其应用”的研究内容。国 内一些科学杂志，已开出了“分形分维”专栏。据统计，国内出版的分形理论及应用方 面的书籍已近1 0 部，部分成果己达到国际先进水平。目前，分形是非线性科学中的一 个前沿课题，在不同的文献中，分形被赋予不同的名称，如“分数维集合”、“豪斯道 夫测度集合”、“s 集合”及“具有精细结构集合”等等。一般地可把分形看作大小碎 片聚集的状态，是没有特征长度的图形和构造以及现象的总称。由于在许多学科中的迅 速发展，分形已成为- r q 描述自然界许多不规则事物的规律性的学科。 与传统几何学即欧几里得( e u c l i d e a n ) 几何学相比，分形几何学有以下主要特点： ( 1 ) 从整体上看，分形几何图形是处处不规则的。 例如，蜿蜒曲折的海岸线和起伏不平的山川，从远距离观察，其形状是极不规则的， 这些都是分形图形。在传统的欧几里得几何学中，人们习惯于用欧氏测度研究图形，并 将研究的图形抽象成或理想化为能用圆规和直尺画出的简单的图形，这样的图形是光滑 的。牛顿以后，微积分与几何学的结合，使人们可以描述一些复杂的形状，但这些形状 的重要特征是具有特征长度，是光滑的、可微的。而分形几何改变了人们对物体的测度 观，分形几何所研究的是更为复杂的图形，它们是没有特征长度、不光滑、不可微分的 形状，欧氏几何图形只是分形几何的特例。 3 复合复映射m - j 集和一类混沌系统的投影同步 ( 2 ) 分形几何形态不具有特征长度。 自然界的所有形状和人类迄今为止所考虑的一切图形，大致可分为两类：一类是具 有特征长度的图形，另一类是不具有特征长度的图形。所谓特征长度，是指能代表物体 的几何特征的长度，如一个球的半径、正方体的边长、人的身高、汽车的长度等。这些 都是各个物体的特征长度，它们很好的反映了这些物体的几何特征。对于那些具有特征 长度的物体的形状，即使稍加简化，但只要特征长度不变，其性质不会产生大的变化。 有特征长度的物体，其最基本的形状都具有共同的性质，即构成其形状的线和面都是光 滑的。但实际上，自然界中没有特征长度的物体却是普遍存在的，如海岸线、山丘、河 流等的形状。从地图和航空照片上看，而不借助一些己知尺度的参照物，一般很难估计 它的比例尺究竟有多大，也就是说，从大尺度上看和从小尺度上看，它们没有明显的差 别，即它们不存在特征长度。 ( 3 ) 分形几何形态具有自相似性。 虽然总体上看，分形几何图形是处处不规则的，但在不同的尺度上，图形的规则性 又是相同的。上述的海岸线和山川的形状，从近距离观察，其局部形状又和整体形态相 似，它们从整体到局部都是自相似的。 今天，分形理论已经与计算机科学理论等领域相结合，这种结合使人们对久悬未解 的基本难题的研究取得突破性进展，在探索、描述及研究客观世界的复杂性方面发挥了 巨大作用1 3 一。其作用涉及到几乎整个自然科学和社会科学。分形已被认为是研究非线 性复杂问题最好的一种语言和工具。并受到各国政府及学者的重视和公认，成为举世瞩 目的学术热点。 1 1 2 分形的定义 分形( f r a c t a l ) 这个名词是m a n d e l b r o t 在2 0 世纪7 0 年代为了表征复杂图形和复杂过 程首先引入自然科学领域的，它的原意是部规则的、支离破碎的物体。 分形可以分为规则分形和不规则分形。在分形名词使用之前，一些数学家就提出了 不少复杂和不光滑的集合，如c a n t o r 集、k o c h 曲线、s i e r p i n s k i 垫片、地毯和海绵等。 这些都属于规则的分形图形，它们具有严格的自相似性。而自然界的许多事物所具有的 不光滑性和复杂性往往是随机的，如蜿蜒曲折的海岸线、变换无穷的布朗运动轨迹等。 这类曲线的自相似性是近似或统计意义上的，这种自相似性只存在于标度不变区域，超 出标度不变区域，自相似性不复存在，这类曲线为不规则分形。 1 9 8 6 年m a n d e l b r o t 给出了分形的一个实用型定义： 定义1 1 组成部分以某种方式与整体相似的形体叫分形。 大迕理t 大学硕士学位论文 这个定义通俗直观，它指出自相似性是分形最本质的特征，这一定义反映了自然界 中广泛存在的一类物质的基本属性，即局部与局部、局部与整体在形态、功能、信息、 时间与空间等方面具有某种意义上的相似性。这观点为大多数人所接受。 但也有学者认为，自相似性并不能概括分形的全部属性，现阶段给予分形严密的定 义还为时过早，把分形看成是具有一些性质的集合似乎更为妥当。分形的定义应该以生 物学家给出“生命”定义的类似方法给出，即不寻求分形的确切简明的定义，而是寻求 分形的特性。在这种观点指导下，英国数学家f a l c o n e r 给出了分形的基本特性，他认为， 一般地，称集f 是分形，即认为它具有下述典型的性质： ( 1 ) f 具有精细的结构，即有任意小比例的细节。 ( 2 ) f 是不规则的，以至于不能用传统的几何语言来描述。 ( 3 ) f 通常有某种自相似的形式，可能是近似的或统计的。 ( 4 ) f 在某种方式下定义的“分形维数”通常大于它的拓扑维数。 ( 5 ) 在大多数的情况下，f 可以以非常简单的方式来定义，可能由迭代产生。 到目前为止，对于分形的严格定义，仍是各国学者研究和讨论的问题。分形一般分 成两大类，确定性分形和随机性分形。如果算法的多次重复仍然产生同一个分形图，这 种分形称之为确定性分形。确定性分形具有可重复性，即使在生成过程中可能引入了一 些随机性，但最终的图形是确定的。随机分形指的是尽管产生分形的规则是确定的，但 受随机因素的影响，虽然可以使每次生成过程产生的分形具有一样的复杂度，但是形态 会有所不同。随机分形虽然也有一套规则，但是在生成过程中对随机性的引入，将使得 最终的图形是不可预知的。即不同时间的两次操作产生的图形，可以具有相同的分维数， 但形状可能不同，随机分形不具有可重复性。 1 1 3 构造分形图的逃逸时间算法 动力系统是确定性分形的源泉，通过研究动力系统的轨道，一方面可以认识更多的 分形；另一方面可以了解构造分形图的理论根掘。下面给出动力系统的定义。 定义1 2 度量空间( x ，力上的动力系统是一个变换f ：x x ，记为 x ，) 。j 中 一点x 的轨道是序列 厂”( x ) ：，l = l ，2 ， 。 设( x ，_ p ) 为给定的度量空间，( f ( x ) ， 。) 代表相应的带有豪斯道夫距离的非空紧子集 空间( 即分形空问) ，则确定性分形集a 即为( f ( x ) ，h d ) 上的压缩映射与折叠变换的不动点 集，而 x ，力( 厂为( x ，力上的变换) 构造了( ，( x ) ，九) 上的分形动力系统。 定理1 1 设( y ，力为度量空间，x c y 是y 的非空紧子集，又设厂：x _ y 是连续 的，且满足厂( x ) x ，则： 5 复合复映射m - j 集和一类混沌系统的投影同步 ( 1 ) 由形( a ) = 1 ( a ) ，v a e f ( x ) 定义了个变换矿：，( x ) 斗f ( x ) 。 ( 2 ) 形具有不动点a f ( x ) ，它由下式决定： a = n f “( x ) = l i m w ”( x ) 。 如果还满足：设u x 是度量空间( x ，力的开子集，则( u ) 是度量空间u ( x ) ，力 的开子集。则有： ( 3 ) w 是从度量空间( 厂( x ) ，力到它自身的连续变换。 由定理1 1 知，不变集( 分形集) a 可表示为 a = 缸x ：”( 功x ；n = l ，2 ，3 ，) ， 即a 是那些轨道不离开x 的点组成的，它是轨道逃离a 的点集的余集。故可得如下 构造分形集的逃逸时间算法： ( 1 ) 已知动力系统 x ，n ，给定视窗w 及逃逸半径r 和逃逸时间限制n 。 ( 2 ) 定义逃逸时间函数 聊) ：k5i f * ( x ) l 溯 划 ? 务一弘1 郎j ， 0 ( 比z ) j n ，f 有周期m 的点。 ( 2 ) 厂存在一个s c r a m b l e d 集s ，即s 为一个不可数的非周期点集使得 町( s ) c s ，对某一个疗 0 ， 搬，y s ，x y ，有。l i m s u d ：”o ) ，f ”c v ) l l 0 ， 坛s ，x p ，有l i m u p i s ( 工) ，厂( 圳i 0 存在s 的一个不可数子集s 。，v x ，y e s o 有 i m m f l l s 0 x s ，p 为周期点。 此定义中前两个极限说明子集的点相当集中而又相当分散；第三个极限说明子集不 会趋近于任意点。 定义1 6d e w a n e y 意义下的混沌 设( m ，p ) 为一度量空间，f ：m m 为m 上连续自映射，称离散动力系统( m ，) 为 d e v a n e y 意义下的混沌，如果成立： ( 1 ) 敏感地依赖于初值，即存在8 0 ，使得肘上任一点x m 的任一领域u ，当 y u 时存在栉0 使得以，”( x ) ，”o ) ) 8 。 ( 2 ) 厂为拓扑可迁，即对m 的任意非空子集u 和v ，存在七 0 使得 大连理工大学硕士学位论文 混沌分形学基本思想起源于本世纪初法国科学家庞加莱等，发生发展于六十年代 后，代表人物为美国学者l o r e n z 、y o r k e 、s m a l e 、前苏联科学院院士k o l m o g o r o v 、美 国科学院院士m a n d e l b r o t 和f e i g e n b a u m 等。混沌学的进展，无疑是非线性科学最重要 的成就之- - 1 l , s - l l 。自1 9 7 5 年，“混沌”作为一个新的科学名词开始出现在科技文献中， 混沌动力学已迅速发展成为有丰富内容的研究领域。混沌学研究的重要特点就是跨越学 科界限。混沌现象主要研究非线性系统的时间演化行为，它揭示了由完全确定论方程描 述的系统中，长时间行为对初值非常敏感的依赖关系。混沌状态不是完全无序，它可能 包含着丰富的内部结构，可以出现所谓奇怪吸引子【1 2 ，”】。奇怪吸引子具有无穷层次结构， 亦即自相似性【1 4 ，”l 。因此，混沌与分形应该说具有很深的内在联系。如果说分形几何为 描述混沌吸引子的内部结构提供了一个很实用的语言，那么，混沌运动则被认为是产生 分形结构的根源之一。分形与混沌有密切关系，因此，为了更充分地阐述分形现象，有 必要先说明分形与混沌的关系。 在非线性科学中，分形与混沌有着不同的起源。分形起源于对不规则集合的研究( 例 如，弯弯曲曲的海岸线、凸凹不平的路面等自然物表面的几何形状，数学中处处连续而 处处不可微的函数等“逻辑怪物”或“病态”函数。从集合的观点来看，它们都是属于 不规则的点集) 。混沌则起源于非线性动力学的研究。也就是说，混沌是研究非线性确 定性方程所具有的内在随机性在时间上的非周期过程。 从研究问题来看，它们又具有类似性。混沌主要研究非线性动力学系统的不稳定的 发散过程，但系统状态在相空间中总是收敛于一定的吸引子。这与分形的生成过程十分 相似。因此，如果说混沌主要研究非线性系统状态在时间上演化过程的行为特征，那么 分形则主要研究吸引子在空间上的结构。混沌运动的随机性与初始条件有关；而分形结 构的具体形式或其无规性也与初始状态有密切关系。混沌吸引子与分形结构都具有自相 似性。所以，它们是从不同侧面来研究同一个问题的。 分形与混沌的这种类似性有着更深刻的根源，或者说它们有着共同的数学祖先 动力系统。动力系统是研究抽象系统随时间变化的动态规律：f ：x 专x 。而混沌学是 研究动力学系统随时间变化的规律。如果把逃逸时间算法生成分形的迭代步骤看作一种 时间的话，那么分形的生成也是随时间变化的一种规律。因此从理论上说，动力系统既 与混沌存在着一定的关系，又与分形有着密切的关系。动力系统与混沌的具体关系表现 在，动力系统存在混沌必须满足的三个条件：对初始条件的敏感依赖性、具有拓扑传递 性质以及周期点的稠密性。这三个条件正好对应着产生混沌现象的三个条件：不可预测 性、不可分解性以及有一定的规律成分。具体地说就是，对初始条件的敏感依赖性，在 动力系统中表现为其长期行为的不可预测性；拓扑传递性表明，动力系统不可能被分解 复合复映射m j 集和一类混沌系统的投影同步 成两个或几个互不影响的子系统；周期点稠密性表明，动力系统产生的混沌并非完全无 序，而是有一定的规律成分的。动力系统与分形的具体关系表现在，从生成分形的迭代 函数系统( i t e r a t i v ef u n c t i o ns y s t e m ，i f s ) , h u , 发，可以定义( 随机) 移位动力系统，而移位动 力系统正是一个混沌动力系统。因此，在一定条件下，动力系统的斥性吸引子( 即斥子) 与对应的i f s 的吸引子是重合的，或者说在一定条件下，i f s 中的变换是相应的动力系 统中变换的逆变换。 分形与混沌的关系表明，如果把非线性动力系统看成是一个不稳定的发散过程，那 么由i f s 生成的分形吸引子正好是一个不稳定的收敛过程，因此，可认为：“如果把混 沌广义地看作是具有自相似的随机过程和结构，则分形也可看作是一种空间混沌。反之， 由于混沌运动具有在时间标度上的无规自相似性，它也可以看作是时间上的分形。”简 单地说，分形是空间上的混沌，而混沌是时间上的分形。 1 。4 复合复映射理论概述 非线性混沌与分形理论的基本思想起源于2 0 世纪初，发生于2 0 世纪6 0 年代末， 发展于2 0 世纪6 0 年代末，发展壮大于2 0 世纪8 0 年代后。这一理论揭示了有序与无序 的统一，确定性与随机性的统一，被认为是继相对论、量子力学之后，2 0 世纪人类认识 世界和改造世界的最富有创造性的科学领域的第三次大革命。 分形理论是非线性科学研究中十分活跃的一个分支，它的研究对象是自然界和非线 性系统中出现的不光滑和不规则的几何形体。 大约1 9 3 0 年j u l i a 和f a t o u 对复多项式迭代进行了竞争性的研究，但是由于缺乏计 算机的辅助，使研究基本处于停滞不前。1 9 8 0 年m a n d e l b r o t 率先利用计算机绘制了第 一张引人入胜的m 集分形图，从而开创了动力系统分形几何的研究，这是m a n d e l b r o t 在非线性分形领域中所作出的杰出贡献。2 0 多年来，人们对复映射z4 - - ，+ c = 2 ) 所 构造的m - j 集已进行了深入研究。在此基础上，很多人都对复映射的的指数进行了推广 和扩展，l a k h t a k i a 和g u j a r 等基于口r 时广义m - j 集的视觉结构特征提出了几点假设； g l y n n i l 7 j 发现了相角主值0 卜兀，兀) 时广义m 集的对称演化；d h u r a n d h a r 等探讨了口 ! ，则0 ( 厂9 ) ( z ) 0 = l ( 筇) l 1 ；所以它们是斥性的，j 觯伽l l z l i = l 。显然 当k 寸0 0 时，如果 1 ，则，( z ) 一m ，但是如果= 1 ， 则厂( z ) 总在j ，上。j ，是在迭代中分别趋于0 和0 0 的点集的分界。当然，在这特殊的情 况下，j ，不是分形。如果c 为较小的复数，则厂( z ) = 0 。+ c ) 4 + c 。容易看出，如果z 也 较小，则f ( z ) 一国，这里是，的接近于0 的不动点；而如果z 较大，则厂( z ) 哼。 大连理工大学硕七学位论文 虽然j ，也是两类不同表现形式的集合之问的分界，但现在却显现出j ，是分形曲线。 定义2 1 设，：z 卜( ，+ c ) 4 + c ，卢r ；l a l l ，例 1 ) 为黎曼球e 上的复映射，乃 表示c 中那些轨道不收敛到无穷大点的点z 的集合，即： f ，= z c ：钏厂( z ) 函是有界的) ， ( 2 1 ) 称此集为相应于f 的充满的广义j 集，f ，的边界称为复映射厂的广义j 集，记为jr ，即 j ，= 汐f ，。 ( 2 2 ) 该定义是利用逃逸时间算法绘制f ，的计算机图象的理论基础【2 1 。 选取逃逸半径r = 2 0 、逃逸时间限制n = 2 0 0 ，复常数c = 0 5 + 0 5 i ，利用逃逸时间 算法作者绘制了口，口的f ，。 其中盯 o 且 0 时，图中黑色为稳定区f ，白色为不稳定区f ，；口 o 或 o 时， 图中白色代表稳定区b ，黑色代表不稳定区f ，。将口和分别表示为口= ( 玎+ ，) 和 = ( j + 力其中刁和艿是正整数；，