（应用数学专业论文）dirac算式自伴域的刻画.pdf

硕士论文一维d j r a c 篮吉自伴撼曲刘葛 摘要 d i r a c 方程是量子力学的基本方程，讨论d i r a c 算式的自伴域在数学物理中有广 泛的应用。本文用两种方法来描述d i r a c 算式的自伴域；在第二节里，首先将d i r a c 算 式限制在两个合适的定义域上定义出d i r a c 算式的最大算子和最小算子，用古典分析 的方法讨论了d i r a c 算式的最大算子和最小算子的基本性质，然后用对称算子的c l a i n 描述刻画了一维正则d i r a c 算式的自伴域，给出了闭区间f a ，6 1 上的一维正则d i r a c 算式自伴域的完全描述，即d 是d i r a c 算式在区间 a ，b 上自伴域的充要条件是存在 2 2 矩阵 a = ( a l l 。a 。1 2 ) ，b = ( h b 2 1 1 乏2 2 ) ， 满足r a n k ( a , b ，= z 和a ( ：i 1 ) a + = b ( ；i 1 ) b 。，使得 d = ，d ( t x ( l ) ) i a f ( a ) + b f ( b ) = o ) 在第三节里本文利用辛几何的方法刻画了一维正则d i r a c 算式的自伴域并指出其与古 典刻画的等价性；本文最后还讨论了一维奇型d i r a c 算式的自伴域，指出当势函数连 续时，一维奇型d i r a c 算式是极限点型的。 关键词：d i r a c 算子自伴延拓l a g r a n g e 子流形 硕圭论文一维d i r a c 算式自伴域的刻画i i a b s t r a c t d i r a ce q u a t i o ni so n eo ft h ef u n d a m e n t a le q u a t i o no fq u a n t u mm e c h a n i c s ，i n t h i s a r t i c l e ，f i r s t ，w eu s ec l a s s i c a lm e t h o d st op o r t r a yo n e d i m e n s i o n a lr e g u l a rd i r a c o p e r a t o r ss e l f - a d j o i n td o m a i na n do b t a i nt h eg e n e r a lf o r m so fs e l f - a d j o i n td o m a i n i n c l o s e di n t e r v a l 【a ，酬；n e x t ，w eu s et h em e t h o d so fs y m p l e c t i cg e o m e t r yt og i v et h e d e s c r i p t i o no fo n ed i m e n s i o n a lr e g u l a rd i r a co p e r a t o r ss e l f - a d j o i n td o m a i n ；f i n a l l y w ed i s c u s so n e - d i m e n s i o n a ls i n g u l a rd i r a co p e r a t o r ss e l f - a d j o i n td o m a i na n dp r o v e t h a tt h es i n g u l a ri sl i m i t p o i n tw h e nt h ep o t e n t i a li sc o n t i n u o u s k e yw o r d s ：d i r a co p e r a t o r s e l f - a d i o i n te x t e n s i o n l a g r a n g es u b m a n i f o l d 、6 2 5 3 31 声甓 本学位论文烂我在导师的指导下取得的研究成果，尽我所知，在 本学位论文中，除了鸯羹疆轹注蠢致谢麴帮分终，不霞含其魏人已经发 表或公布过的研究成果，也不包含我为获得任何教育机构的学位或学 历瑟使耀过的材潮+ 。与我一溺工作的藏事对本学位论文徽出黪霞献均 已在论文中作了明确的说明。 研究生签名：曼车丛弘呼年7 月拟扫 学位论文使爱授权声翡 南京瑾王大学有权操存本学盟论文酶电子和纸覆文毯，霹数黉阕 或上网公布本学位论文的全部或部分内容，可以向肖关部门或机构送 交并授投其保存、话阕或上阙公毒本学经论文鲍全部或部分浅容。对 于保密论文，按保密的有关规定和程序处理。 研究生签名：母叠l 张妒产7 月曲尽 硕士论文一雏d i r a c 算式自伴域的划画 一引言 d i r a c 算予主簧寒瀑予鬟予力学翁d i r a c 方程，量子力学是产垒予上登纪二十 年代的一门崭新学科，它是研究微观粒子系统变化规律的理论，对这理论有着广 义和狭义两种理解；狭义量子力学的研究对敷是低能无衰嶷的粒子以及这样的粒子 构成戆系统，理论是非相对论懿。s c h r s d i n g e r 方程 i 无杀妒一h e ( 1 1 ) 是擞予力学的基本方程。对于通常的坐标袅象，设粒子的质量为i n ，处于势场v ( r ) 申，弱踅对懿s c 盘r s d i n g e r 方臻可表示为跚，捧j i 嗉扣= _ 羔v 2 + 丽qy ( 懒 ( 1 2 ) 这羹重葵簿h = 一蓉v 2 + 豪v ( t ) 就是数学上凝宠懿s e h r s d i n g e r 算式，特别建，墨 考虑的空闻是一维对，h = 一蒜d 2 + 轰v ( x ) 萄 是s t u r m l i o u v i i l e 算式。对予 s t u r m l i o u v i l l e 算式的研究，已经有了大慰的结果 9 , 3 1 , 3 2 】，对s c h r s d i n g e r 算式 的研究利用k a t o 不等式和k a t o - r e l l i c h 定瑗也得到了魑很好的结暴阢矧。本 文烹耍讨论戆是广义量子力学鹃鏊本方程一一d i r a e 方凝，广义量予力学懿磷究黯 象主要是有无穷多个自由度的场，这时粒子可以产生、滋灭和相互转化，系统的粒 子可以不守恒，瑗论是相对论的。为了描述广义量子力学的基本方程，1 9 2 6 年， k l e i n 窝g o r d o n 挺窭了描述鑫瞧电子的提对论性波动方程，霹 “危篆+ y ) 2 妒= ( 一舻c 2 x 7 2 + m 2 c 4 ) 妒， ( 1 3 ) 詹米人们称之为k l e i n g o r d o n 方程，在这个方程提出以詹，人们立即发现它有一 系戮戆藏逶甄1 甓； 1 ) 妒4 妒不怒正定的，既法解释为粒子的位置概率 2 ) 总能量宥负特征值，而履没有下限，逸将造成严黧的困难，因为量子理论中 存糖鑫发跃迁的概念，因两这个系笺所有黪定态绥将不凝遗跃迁到斡髓级。 3 ) 这是个对丑誊闻静二输方程，缮戴方程霹除了黉要起始对裁豹妒羚，还餐 要辫作为初始条件。 4 ) 用此方裰计算氢原予，结果其能级与实验值符合得不好 2 阱 2 面= 论文一维d i r a c 冀式自伴域的刻画 妒拦，) ， 程缎形式 未如( 州) 十 n 灯v 咖+ 警如奶】；。 或霹戒囊量影式 i 嚷妒= 【_ 沌。- v + m c 2 翻妙， 这就是自由电子的d i r a e 方程，其中妒( r ，t ) 为多分量波黼数， 8 i ，锄，零罄怒装辍对稔懿nxn 瘫簿羹瀵是； i ) a 2 - o a 2 _ i i i )8 i q 0 + o o 娥= 0( i j ) ， i i i )旗声- b 多礅= 0 如粜粒子所处的辨场为矿，则d i r a c 方程为： i 嗉眵= 融v + m c 2 z + q v ) 妒 ( 1 5 ) ( 1 6 ) = ( o l ，2 ，o ，3 ) ( 1 7 ) 其中妒( r ，曲为多分量波函数，a = ( a 1 ，锄，0 1 3 ) ，a ，毗，穗3 ，卢都是共辍对称矩阵鼠 满足( 1 7 ) 通过一些篱擎的计算辩v 必为偶数量瓣三维空闻鸯n 4 。 硕士论文一维d i r a c 辫式自伴域的剿谶 我稍舔算式h i h c av 十m 乎多+ 譬y 为d i r a c 葵式( 其中8 ，箩涛是( 1 7 ) ) 。 自从d i r a c 方程掇出以后，人们对算式岢的研究就从未阔断过，也获得了巨大的 进展，主要集中程特征值估计、本性自伴上3 7 , 3 8 。特别地，我们取= 4 ， 婷( 0 3 = 0 o o1 lo o0 00 一lo ol 0o 堇1 a 2 豁 。廖嚣 显然口- ，乜。，a 3 ，芦满足( 1 7 ) 式，这时i 怠鑫妒= h e 描述的是自由电子的相对论性 波动方程，算式可化为 h = i v ，+ 多，_ - 一。 o j = l ( 这照我们只考虑算式的数学崽义，因此各项的系数我们举再考虑) 对这一算式的研 究j 。w e i d m a n n 殴给出了部分的结果【吲。 警我织考惑的空闻是一缝艇n = 2 ，势场为v ( x ) 时，魏对= 8 ，声帮楚 。矩阵，若取。；( ；i i ) ，卢= ( 。1 三，) ， ，卢显然满足c ，7 ) ，这时 箕式可表鸯： 茸一 ( 三，：) 芝+ ( 了盘+ m 孑喜。，一m 乎) 鸯了更一般瓣讨论上述葵式鲍瞧凑，我镌薯l 入下嚣酶定义： 定义1 _ l 【3 k 3 目我们称形如l = b 鑫十( 一引一p ( 嚣) ) ( 其中嚣= ( 三1 ： p ( 茹) ，r ( 岔) 为区阅l 上的实连续函数) 的算式为区间上的一维d i r a c 嚣式。 本文翦主簧嚣懿就是我礁一缝d i r a c 冀式豹瑟有塞佟竣，下嚣我 蠢将分三霉分 来讨论：首先我们利用古典分析的方法给如闭区间f a ，嘲上的一维d i r a c 算式的自 伴域，其主要思想来源于文【8 ；在第三节里我们将利用睾几何的方法米研究闭区间 糍上救一维d i r a c 算式的鑫传域，弗指爨焚与古典刻藤鹩等价性。耀睾几何的方 ，、，；，；， ；， l o 0 0 一 一i l 0 。0 0 o 0 0 0 z 0 o 叫0 o 1 0 0 ，flliiiltiilt 硕士论文 一维d i r a c 算式自伴域的刻亘 法研究微分算子的自伴延拓是一种新的方法，其理论源于文f 25 _ 。最近，利用辛几 何的方法来研究j 一自伴延拓也取得很大的进展，在文f 1 3 ，1 4 1 中结论指出：j 一对称 微分算子的j 一自伴延拓与某个复j 一辛空间的l a g r a n g e 子流形一一对应，这与文 25 的结果：对称微分算子的自伴延拓与某个辛空间的完全l a g r a n g e 子流形一一 对应有异曲同工之处。在本文的最后我们将讨论一维奇型d i r a c 算式的自伴域，其 主要的结果来自文【3 1 ，3 2 ，但文 3 1 ，3 2 的证明比较繁琐，作者将其简化、整理， 给出区间f 0 ，。c ) 上的一维d i r a c 算式都是极限点的一个简单的证明： 为了刻画一维d i r a c 算式l 的自伴域，我们首先来给出h i l b e r t 空间上闭对称 算子可自伴扩张的条件和自伴扩张的方法 9 , 1 7 1 2 0 1 3 7 ”。 对称算子的自伴扩张有三种描述方法，即： v o r ln e u m a n n 描述，c a l k i n 描述 和k r e i n 方法，下面给出这三种方法的一般叙述。 设h 为复h i l b e r t 空间，a 为定义在h 上的闭对称算子，虬兰k e r ( a 千i i ) 为a 的正负亏指空间，d 土= d i m k 为a 的正负亏指数。 命题1 1 1 9 , 1 7 , 2 0 , 3 7 闭对称算子a 有自伴扩张的充要条件是d + = d 一 命题1 2 1 9 , 1 7 , 2 0 , 3 7 ( c a j k i n ) 设a 为闭对称算子且d + = d 一= d o o ，若 x l ，z 2 ，。d ) c d ( a 4 ) ，它们模d ( a ) 线性无关且 = 0 ，( i ，j = l ，2 ，d ) ，若记 d = 。d ( a + ) i - - 0 ，i = 1 ，2 ，d ) 则l d 上是a 的自伴延拓；反之，若五为a 的自伴延拓，则必存在t z l ，z 2 ，。d ) c d ( a + ) ，它们模d ( a ) 线性无关且 二0 ，( i ，j = 1 ，2 ，d ) ，使得： d ( t ) = 。d ( a ) i = 0 ，i = 1 ，2 ，d ) 命题1 3 9 1 7 2 0 3 ( y o n n e u m a n n ) 设a 为闭对称算子且d + = d 一( 可以取。) ， 则a 的自伴延拓和从k + 到n 的酉算子一一对应；对a 的一个自伴延拓a ，令 u 垒( a i 职a + i ，) 一1 是h 上的一个酉算子，并且u i k + 是从k 到k 一的酉算 子；反之，若给定一个苁 到j l 的酉算子矿，若记v = ( a i i ) ( a + i ) 一，令 u=vo v ，则a = i ( + u ) ( j u ) - 1 是a 的一个自伴延拓，并且： d ( a ) = 童= 。+ z + v z t x d ( a ) ，z 虬) a z = a z + i z i y z 硕士论文 一维d i r a c 算式自伴域的刻画 命题14m 3 7 ( k r e i n ) 设a 为h 上非负的闭对称算子，令s = f a i s ( a + z ，) 一，则s 为定义在h 上的有界线性算子， s 的所有在定义在全空间h 上的保 范自伴延拓与a 的所有保持非负的自伴延拓一一对应；即令= s 的所有h - + h 的保范自伴延拓) ，a = - 4 的所有非负自伴延拓) ，我们有 a = ( + ) ( 一雪) 。i 雪) 二 一维正则d i m c 算式自伴域的古典刻画 讨论微分算子的自伴性是微分算子理论的主要内容，因为在量子理论中，每 一个自伴算子对应一个可观测量。这一节就是利用对称算子自伴延拓的c a l k i n 描 述来刻画d i r a c 算式的自伴域。为此，首先将d i r a c 算式限制在两个合适的定义 域d ( 矗( 工) ) ，d ( t o ( l ) ) 上定义两个d i r a c 算子，并且保证t o ( l ) 是对称算子和 t o ( l ) + = 丑( l ) ，然后利用c a l k i n 描述就可以给出t o ( l ) 的所有自伴延拓。 定义2 1 设l 为区间上的d i r a c 算式，工在空间2 ( ，) 生成的最大算子 正( 工) 的定义如下： d ( 乃( l ) ) = f i r l 2 ( ) ，f a c l 。( j ) ，l f l 2 ( ，) ) 丑( l ) ，= l f ，f d ( 丑( l ) ) ( 2 1 ) 注在这里，时二维列向量，即，= ( ，2 f 1 ) ，2 ( ，) = 州，( f 。+ ，2 1 2 ) 出) o 。) ，显然l 2 ( ，) 是一个h i l b e r t 空间，其上的内积是 ( ，9 ) _ f ，( f l g l + ，2 _ 2 ) 峨v ，9 铲( n f a c l 。( j ) 是指五a c l 。( n i = l ，2 由于f a g l 。( ，) ，则d ，在j 上几乎 处处有意义，故l ，在上几乎处处有意义，d ( 矗( 工) ) 是l 所能作用的最大区 域，因而称丑( l ) 为最大算子，由于w ( ，) 在l 。( j ) 中稠，故丑( l ) 是稠定线性算子。 定义2 2 设l 为区间上的d i r a c 算式， 丑陋) 限制在g 铲( i o ) 上得到算 子的最小闭延拓称为l 在空间l 2 ( ，) 生成的最小算子，记为t o ( l ) ，即t o ( l ) = 6 竺三型羔墅一一一二丝望! 些! 燕壅i 堡基鲎到玺7 夏嘶；也羧是量曼 d ( 蜀( 三) ) f l f 三2 ( n j 厶管( ) ，使得1 l - i - m 。o o = ，。l - + i r a 。l a = 9 ： t o ( l ) f = g ，f d 隅( q ) + ( 2 2 ) 引理2 l 设l 为区间f 。，川上的d i r a c 算摹，d ( 弱( l ) ) ，贝1 j ，( 仃) ；，( b ) = 0 证明由，g d ( ( 上) ) ，则j 厶四( 孑) ，s t 。l 。i r a 。f n = ，：。l 。i m 。三厶；9 。由于 矗楚g 鞠由麓j l y = l a 黼糍( 黧) ，( 嬲) 硒= 。懿 基举饵组，令蕾c 茹，= ( 。忉o e ( 扛x ；妻兽；，) ，利用常数变易法可得。1) 如，7 ” ( 黝) 2 7 吣矿，( 端i ：罢端) 峨? 予熬 ，妒。( z ) 咖2 ( t ) 一妒2 ( t ) 庐。( 茹j 一妒。( 。) 世。( t ) + 妒。( t ) ，( 茹) 、 ( 燃) = 血巡宅辩离糕掣趔咖 由于妒l ，- ，i p 2 ，如都是区间陋，b 】上的连续黼数，所以存在c ，使得 l f m - 赫| s e f l l ：。一声东尹积_ 。，( i - - - - 1 , 2 ) 橛，嚣_ 。) ， 所以如在陋，b i 上一致收敛( i = 1 ，2 ) ，于是 间爨可证，( 6 ) 一0 磊( 固一二2 跫氩( 嚣) 一0i = l ，2 ) n - 口 引理2 2 设己为区间陋，翻上的d i r a c 算式，则边值问题 v l ( y 。) - - - - ：f ( i 兰善陋捌 旨勰兖要条件是，( k e r ( 聂( ) ) 上 堡圭逢塞二丝堡堡! 黧壅自堡垫塑型亘8 诞鞠f 穹 著逸篷楚疆毒麓，剩vg k e r 墨( l j 一( y ，l g ) + 训( 一y ，司l ： 攀0 其中枷凶，9 】= l 玑9 1l ，所以1 厂( k e r ( 霸( l ) ) 上 1 蜘擘2i ( e ) 设， k e r ( t 1 ( l ) ) 上，令影为c a u 田问题l y = f 。的解，下汪搿) = 。 即可。对任意的2 k e r 丑( l ) ，有 o = ( 笤，# ) 一( y ，l z ) 一( y l 瓦一y 2 z t ) l ： a ) 翌l ：。， l 强嘞现( 秘l 而由存在唯一性定理v c , ) 6 c 2 , c a u c h y 嘲 舞：( 茎) 均有解， 所以( 鬻) 扎鼬一。 口 亏| 理2 3 f 8 搿删著s 为空阏h 豹一个黼密子空阉，m 为h 鹃一个翅子空阕麓 d i m h m = n ，贝0m n s 在m 中稠且d i m s m n s = 竹 霉l 瑾2 4 谈丢鸯蕴藏蕊麓上懿d i r a c 舞式，到 d ( t o ( l ) ) 一 ，d ( 置( l ) ) ，( o ) = f ( b ) = o ) 鼯t o ( l ) = 噩( 功b 羁 至羔型盘一 一 二丝里! 兰! 篾塞宣壁蕉堕型燕9 诞爨 i t o ( l ) c 嚣( 驯 ，j ，( 瓦i 弛) ：删：。 ， 设，d ( 弱( 占) ) ，则j 矗肾( n ，6 ) ，s - t 一县恐厶= ，占恐三厶= 曰。因为 ( 乏，) 魄+ p ( z ) 南a 2 ) 所以热矗；存在，不妨设恕氖, l = 2 h f ， i = 1 ，2 ，于鼹h f 三k6 ，又由于 支f g ) ：厂矗i ；( 砖如，i ：i ，2 ，f 2 。4 j 。 n 由引理2 1 的 芷嘲知如在k 嘲上一致收敛捌 ，i 一1 ，2 ，故( 2 4 ) 式右边也 致牧敛，虽牧敛爨 蕊( t ) d t ，黪以 ( z ) = h f ( t ) d t ， 魏 a c 。，q ，础一p p 因为平均收敛必肖几乎处处收敛的点列，所以 等冀”， 因筒厶，= 9 五2 【。，b 】，故肖，d ( 置( 功) ，由引理2 2 知i 式成立。 i i t o ( l ) 墨( 三) l ，d c 霸腿。) ：，鳓：8 卜 ，我们先米蒲算式l z 一职未，b = 0 ，：) 设歹d 霸f 易) 显歹强) = 歹( ) = 0 ，我霪j 要我 c f ( a ，6 ) ，s 六。1 + i r a 。f n ，县怒五l a 2 l f f ， ( 2 5 ) n - + n _ o 。 则即可得，d ( t o ( 五) ) 。说 则内引理2 2 得 蜀一t i ( l 1 ) i f e d ( i l ( l l 驸 ：，黼。o r a n t o = ( k e r t l 陋1 ) ) 。， 硕= 论文一维d i r a c 算式自伴域的刘蕾 彀r a n t o 是阚予奎阗，恧巍k e r t i ( l ，) 熄膏限维的，则r a n t o 有露隈亏糖数，又 幽c 铲( n ；b ) 在妒( f ) 中稠，幽萼i 瑕2 3 ，褥r a n t or 、四。( 乱，在r a n t o 中稠。设 g 一五l 歹= 羁f r a n t o 鼗l l 9 。) c 。r a n t o n c f ( a ，s t ，溉蜘= g 浚懿一t o 矗，廷嚣诞 矗 满是( 2 5 ) 式，困斑 删，( g n l1 幽矗= f 南- f 。c f ( - - i n l1 n ，杏) ，；五1 矗： 啪1 t 联戳： 矗一t 8 瑚， 然三晕燃出 鳃祭设s u p pg nc 【a l ，b l 】c ( a ，棼，剃 警8 g s8 l ， 当b lsx 冬b ， 厶l = f 2 = 0 ， 0 a t 渖) = 一f g 。驻) 出一 t ( = 。， 厶。扛) 一z 6 散t 国盛一矗。( 赫= 。， 敬： s 踅鳓ac 尊l ，b 1 】c ( a ，6 ) ， 努妙 i i a j l = l i f ( g 哟一) 疵i i + l ( 一孙，_ 磊) 出i i f i l g 一p n 呻。融_ o 。) ， 所以 j i m 。一1 。，酯一般脯形拈嚣盛+ ( 0 呻) 设，d ( t o ) ，辩，a 蛳三，l 2 【岱，翻，于蔗 至兰整塞 一一二丝堡些! 燕壅鱼堡垫堕型巫 一u ( i l n 厶9 ，) 一l 矗+ ( ：篙j 乞暑) 五2 沁，剀， 戆以，d ( 噩( 五i ) ) ，又盎于歹( 8 ) = ，( = 0 ，麦1 ) 絮，d ( t o ( l t ) ) ：阑露 j 矗c t ( a ，6 ) ，墨恐厶= ，墨翳l 矗。工- ， 而r ( z ) ，p ( z ) 在 。，6 】上连续，所以。l 。i m 。l l ；m l f ，故，毫d ( t o ( 工) ) t 定理2 5 设l 为区闻【a ，嘲上的d i r a c 算式，剐而( 功+ = 墨( 五) 证明i ( 五) 正( l ) 设孽d ( 曩) ) ，v ，鼢( 霸( 三。) ，因必，( 8 ) = f ( b ) 一0 ，则 ( l f ，g ) 一( f ，l 9 ) 一一训【，萄j ：= 0 ， 口 ( t o ( l ) f ，蓟= ( 鼻置( d 珐 g d ( t o ( l ) ) ，t o ( l ) + g = 丑( ) 口 i i 瓦( 三) + c 露( ) 。 釜嚣l ：麓：箬l 陋 a 三由桃唯吨勰v ( 兰) c 。c a 。哪问 设，2 陋，纠，则，6 】，由存在唯性定理，v i 。j 。 “。h yi 刚 题= ( 三) 桃唯蒯 r a n t z ( l ) 一五2 瓯醚 2 ) d ( t o ( 五) ) c 口( 霸( 玉) ) 设，d ( t o ( l ) ) ，则由1 ) 知存在9 d ( 工) ) ，s t 正( l ) 9 = t o ( l ) + f ，但由 1 ) 知t o ( 玢3 墨( d ，敬 t o ( 蜀( 歹一扪= 0 这样v 让d ( ( l ) ) ，有( t d l ) u ，一9 ) 一( ，t o ( l ) ( ，一9 ) ) = 0 所以 f g j _ r a n t o ( l ) ， 硕= 论文一雏d i r a c 算式自伴域的刻画 因而由引理2 2 f g k e r 五( l ) 而g d ( 正( l ) ) ，所以，d ( 瓦( 工) ) 口 对于一般的区间，我们也有定理2 5 的结果： 定理2 6 设l 是区间上的d i r a c 算式，则t o ( l ) = t 1 ( l ) 。 证明it o ( l ) 4 正( l ) 设g d ( l ) ) ，v ，皤。( ，) ，不妨设s u p p fc a ，6 c ，则由分部积分公 式： ( l f ，g ) 一( ，l g ) = 一训 刳i ：= 0 ， 即 ( t o ( l ) ，g ) = ( f ，乃( l ) 9 ) ， 因两对任意，d ( t o ( l ) ) 都有 ( 蜀( l ) ，g ) = ( f ，兀( l ) 9 ) ， 所以 9 d ( t o ( l ) + ) ，且t o ( l ) + 9 = 丑( l ) g i i t o ( l ) 4ct 1 ( l ) ，只需证明d ( t o ( l ) + ) cd ( 丑( l ) ) 即可。 设g d ( t o ( l ) + ) ，【a ，6 是j 的任意紧子区间，对任意的，ec 矿( o ，b ) 卵【n ，6 ，由定理2 5 得 ( t o ( 功，g ) = ( f ，t o ( l ) + 9 ) ， 记l 2 o ，6 上的内积是( ) 1 ， g l = 目忆h ，( t o ( l ) 9 ) 1 = t o ( l ) 4 9 h ，l 1 = l k m ， 则对v ，c 铲( o ，6 ) ，- ，9 1 ) 1 = ( ，( t o ( l ) + 9 ) 1 ) t 因而对任意的f d ( t o ( l 1 ) ) 都有 ( l - ，9 1 ) - = ( ，( t o ( 三) g ) 1 ) i ， 故 玑d ( t o ( 工1 ) ) 且t o ( l 1 ) g = ( 蜀( 工) g ) l ， 由定理2 5 ， d ( ( l - ) = d ( n ( l ，) ) ， 圭讫天一雄d i r a c 算式自伴域的刻画 爨 9 i a c a ，嘲，o t 目l = ( l 9 ) l = ( 弱( 三) 4 窖) l 由f n ，b 的任意性，故 g a c t 。( i ) ，l 9 = t o ( l ) 8 9 l 2 d + 因而9 d ( 孔( 功) 推论2 7 设三势鬻【a ，麓上豹d i r a c 算式，粼夏( 三) 为溺箕子。 口 下面我们来刻画【a , b 区间上的d i r a c 算式的自伴域。设工为隧间 a ，川上的d i r a c 算式，则v 正g c 铲( n ，6 ) ，剥 ( l f ，9 ) 一( 矗l 9 ) = 一甜 ，翻i ：= o ， ( l f ，g ) = ( f ，l g ) ， 致较限鬣黧 ( t o ( 上) g ) = ( ，t o ( ) g ) ，v f , 口d ( 死( 五) ) ， 所以( 五) 是对称算予而且l y i y 和l y = - i y 的解都撼平方可积的飘个数相 等，羁 d + = d 一= 2 ， 因而由命题1 此时蜀( 上) 必有自伴延拓下面就用c a l k i n 描述来具体刻耐d i r a c 葵式弱巍转域。 引璎2 8 设l 为聪间【o ，b 上的d i r u c 算式。则v ( ：) ( 爱) e c 2 , 在歹乃e 噩e 国，“，e 8 ，；( 三) ，歹瓣= ( 笔) 证明同s t u r m l i o u v i l l e 算予情形类似，w 参阅【8 】 璧三燕塞 一= 叁望i 墼叁塞童篓蔓蹩型薰1 4 鬣壤2 。9设厶为遗嘲i a ，b j 上弱d i r a c 弹式，j l i i | u 最i o i l j 瀚撩个茸伴宴l 蔓 掘t 的定义域的充要条件悬浮在2 2 筑阵 a = ( ：芝) ，8 一i b n 5 趣1 2 。) 瀵是殛n 是t a ，霉，= z 袭a ( ；i 1 ) 矗4 一b ( ：i 1 ) 丑+ ，使缮 d ( t ) 一 歹d ( t ，( l ) ) i a f ( a ) b f ( b ) 一吣。 诚h 月t ( 婶) 设d 是t o ( l ) 的某个自伴延撅t 的定义域，则 d ( t ) = ，d ( 噩( l ) ) l = 0j 一1 ，2 ， 萁中 ，2 是d i 噩( 鼻) ) 中模d ( ( l ) ) 线性芜激的且 = 0 ，j ，k 一1 ，2 而 = 0 ，杰k = l ，2 下诫 ，如模d ( t o ( l ) ) 线性既关，若不然，设他们模d ( t o ( l ) ) 线性相关，即有分 勰武 炙一+ g j ，蠡o d ( t d l ) ，g i 甄$ 搿一，j = t ，2 ， 塑生熊塞一二竺垒翌! 篓塞童堡垫塑型基 一1 6 且存在不全为零的数1 ，。2 使得让1 9 1 一。2 口2 = 0 ，即l f 】+ a 2 f 2 d ( 而( l ) ) ，于是 帮 。- ( 挈) 怕( 享) 钠( 享) 怕( 享) 叫 c 。- ，她，( 喜a l l 罢a 1 2 雨5 1 1 瓦h i 2 1 = 。， 0 2 10 2 20 2 1d 2 2 酬( 篡a 1 2 。藏5 1 2 ) 吼 此与r a n k ( a ，b ) = 2 矛盾。隧 a ，c 。，+ 曰，c 。，= ( m a 2 1 1 。a 1 2 2 21 ，c 。，十( 乏：笼) ，p ， 1 嗡 = ( 器二器p + - - f 1 2 ( b ) 丽f l l ( b ) - f = ( bb ) )蠢。( 旬一五t ( 8 ) ，。一五，( ) ，一 = ( 滋三) 数魏对 d ( t ) = ，d ( 矗( l ) ) = oj = 1 ，2 ) ， 这样一维常烈d i r a c 算式在区间( a ，b 】上的自伴域为存在一个2 4 矩阵 ( ：b l lb 1 2 。) 麟 。= ，。e 墨e d ，l ：量；：兰羔；：；：乏：羔；：三2 暑三： 硕= 论文 一蛀d i r a c 簋式自伴域的刻画 其中f 0 1 1 0 u 6 1 一u 满足 n 2 l a 2 26 2 l 6 2 2 ， 1 ) r a n k ( 1 。1 笼i ib 幻1 。2 ) z 崔薹薰茎 一9 - 6 1 22 0 b 2 2 = 0 b 1 2 = 0 b 2 2 = 0 为了更加深入地讨论自伴d i r a c 算子谱的性质，以下设所考虑的区间是f 0 ，” ， 我们对d i r a u c 算式的自伴域进行分类，设矩阵f 。1 1 。1 26 1 16 1 2 1 满足上述 a 2 1 1 2 2 26 2 l6 2 2 ， 条删删，对觯( 吼：a 1 2 ：x h i 2 a 2 a 2 2 ) 粉初等微换，则可糙阵化为 l6 2 16 2 2 如下形式之一 。 s m 乜 o e i 0 c e 计 c 0 8 q o 0 s i n 启 b e i o1 d e i o0 其中。，卢，a ，b ，c ，d ，0 均为常数，8 0 ，7 r ) ，a d b c = 1 。变换后的矩阵显然也满足 上面的条件1 ) 和2 ) ，并且由变换前和变换后矩阵定义的d i r a c 算子自伴域是一样 的，因而他们有相同的特征值和特征函数。 我们称由形如i ) 的矩阵定义的d i r a c 算子目佯域为分离型边条件自伴域，这 时d i r a e 算子的自伴域可写为 f d = ，d ( 丑( 三) ) l 【 定理2 1 0 a i , a 2 3 分离型边条件下d i r a c 算子的谱只有可列个单重特征值，且这 一、) 卢0 l o 瞄 ，fi、，ji、 、l，j 0 0 = | | a 卢 咖 咖 、j 、，丘止 + + 口卢 n n s s 0 硕士论文一雏d i r a c 簋贲自伴域的刻画 些行，仕值砹甬有限的聚点。已此时的行，仳值，u 为t a n ，甭 。= n + ；+ 。( ：) ， 其中一= 卢一a + ，1 。x 眵c r ，+ r c 叫一r ，设对应于k 的特征向量为( 芝墨；) ，则 扣) ：e 。s ( 。一位) + 。( 三) ， ( 。) = s i n ( 岛一。) + o ( ；) ， 其中。= ( z ，a 。) = a 。z j 1 一 p ( r ) + r ( r ) d r 我1 i j 孙田彬雪u 叫明，妲阵难义明u l r a c 异于目伴壤刀琨旨垄【迥寐忏日伴壤，趣 时d i r a c 算子的自伴域可写为 。= ，。( 噩( l ) ) ia。e谛i。fl(。0)+dbe。i拍of，22(o。)+f，2l(7行r)=：0。 定理2 1 1 面对于混合型边条件下d i r a c 算子的谱只有可列个特征值，这些特 征值没有有限的聚点，负特征值至多有限个。令此时的特征值列为 h ) ， 脚) 有 a 。= 。几+ 去z ”陋( r ) + r ( r ) d r + 等一i 1a r c c 。s ( 号筹) + o ( ；) ， 一。n + 去z “盼m 胁+ 等+ 1c o s ( 杀等) + 。( b 设对应于k 和的特征向量为分别为( 2 善：宝) 和( 象凄：；) ，则有 西，( z ，a 。) = 一生三麦孝器蔷：削c 。s ( 文矗) 一口- ) + c 。s ，靠) 一。z ) + 。( 去) ， 妒z ( z ，a 。) = 一! 三：蓑； ：封s i n ，矗) 一乜- ) + s i n ( z ，矗) 一a 。) + 6 ( ：) ， 西。 ，) = 一嬖! 壶毒藩j ：掣c 。s 扛，) 一a - ) + c o s ，) 一n 。) + o ( ；) 。( z ，脚) = 一! 三麦：i 蚤等粼s i n ，伽) 一血- ) + s t n f ( z ，) 一啦) + 。( ：) 磺= 论戈一雏d i r a c 算或自俘琏黪刘誉 箕申 。 卢= 甜c 。8 了i 彳2 军t , 露，a 2 c o s t l 2 + 8 1 n t ；b = s i n a e c o s o e l 矗= 2 似寸去z 。盼) 州r 瑚r 十星一a r c c o s 丽- 2 c o s 0j ,71 ， 矗= 2 似寸去上眵盯) + r ( r ) 1 打十芝一甜。8 了蚕面j ， 2 n + 去z ”帅) 州删d r + 壁7 1 + 。s 【。丽- 2 c o s o j，, 吼= 一b 高：a z 一一妯蔼舞茹“一i z 一十r p ) i d a - l p ( r ) 1 2 8 瞄”了雹丽8 2 2 勰了喜亏蘑( 茹a j 2 z 一至五 十7 f 例：设蚓。州，l = ( 三：) 刍d ( 驴啪( 功一脚) 一 吣，剥蠢前面的讨论露船d 是l 的分离裂边条件自俘域，圜面由怒理2 。9 可辩l 酌谱袋肖胃数个特徼菹，下蠹采求盯( 五) 设 l f 一 ， 躲 f 五一a i 一五= 如 阙丽可解得方程的邋解为 p ( ：竺：嚣) ， 其中。t ，c 2 为摄意的常数，要使，d 娅) ，嬲蒋矗o ) = 如霄) = 0 ，鼯 k 曲三翥一 巍于e l ，龟不勰丽游为零，敬 c o g a 盯= = 0 艨默 a 一； 一士l ，士2 ，) 即唧( 功= 知一4 - 1 ，土2 ，) ，此时a = 对应的将授硒致为 扣s i n 5 x ：) 。 签查篓蒸二鲞望避! 錾蕊叁鲎矍鎏型萋2 0 浚：获上秘可以看出d i r a c 舞子来必是下睾番脊的 三一维正剥d i r a c 算式窦伴域瓣睾咒每刘匿 利用辛几何的方法来刻画对称微分算子的融伴延辐是由数学家w n e v e r i t t 和l 。m a r k u s 键出豹。1 9 9 9 年，袍 j 在 2 嗣审深入讨论了肇空闻鹃往艨，并给蹒 突全l a g t a n g e 予滚形翦搭遴，盔f 2 翻戮录中，缝瞧叉壤褥戮懿结爨与瓣髂微分黪 予结合起来，襻到h i l b e r t 嫩间h 中的算予而，霸若满足 1 )移( 而) 一 ，拶( 置) i f ，：d ( 磊) ；一9 2 ) t o f 一噩ff d ( 羁) 3 )d ( t o ) 襁日中稳履瑁一t 箕审f ：9 3 一噩矗g 一 ，v f ，尊d ( a ) ，鲻t o 骈翁的裔伴延据与 ( d ( r 1 ) o ( t o ) ，f ，：。d 懿完全l a g r a n g e 子淡影一一砖瘦。下嚣就联熏【2 5 l 鲍理论 来刻画d i r a c 簿式的自伴域。 定义3 ，l 嘲复翘量空阕s 称为复辛空间怒指在s 上泠定一个辛形式i ：。】 鞠： 1 ) ：】怒一个半双线性烈： 札，移峙沁：l s | 譬_ g ；l c i 钍+ 强口：w 】= c l u ：铆】+ c 2 v ：蜘1 2 ) f ： 怒个反h e r m i t i a n 碴；m ：v j = 一陋：缸j ，所以 【托：e l 嚣+ c 2 w j = 百f 珏：罄】兹c 髓：铆】 3 【。：。】怒嚣逡建懿： ：s = 0 辛“；0 獒孛祛，茁，韬蠢s 串鹣任意嚣，e l ，q c 。 定义3 2 i z 5 1 复辛空间s 酌个线性子流形l 称为l a g r a u g e 的，若【l ：l ：o ，即 v 让，付， 珏：