（机械设计及理论专业论文）直升机主减速器主要零部件cae技术研究.pdf

国 防 科 学 技 术 大 学 研 究 生 院 学 位 论 文 摘要 现代机械领域进行新产品开发时，要求在设计阶段就要对产品技术性能做出预测。有 限元法是对产品进行性能分析的有效途径，产品几何模型的建立则是进行有限元分析的基 石 出 。 齿轮传动是近代机械中应用最广泛的传动形式之一，但是山于齿轮结构复杂，与实际 加工过程密切相关，致使齿轮的精确三维造型成为困扰工程技术人员的一大难题，也就无 法完成对于 含有齿轮的机械机构的有限元性能分析。 本文在研究齿轮啮合理论的基础上，推导出具有典型代表意义的渐开线齿轮齿廓曲线 和过渡曲线的直角坐标方程，结合实际加工方法，建立了弧齿锥齿轮齿面的数学模型。利 用具有强大三维造型功能的工程软件实现了四种常见齿轮:圆村直齿轮、圆村斜齿轮、直 齿锥齿轮和弧齿锥齿轮的三维造型， 解决了齿轮的精确三维建模难题。 最后利用生成模型， 对于齿轮传动过程中产生的轮齿应力进行了研究。 关键词:齿轮，三维造型，有限元法，应力分析 第 【页 国 防 科 学 技 术 大 学 研 究 生 院 学 位 论 文 a b s t r a c t t h e t e c h n i c a l p e r f o r m a n c e f o r e c a s t m u s t b e a c c o m p l i s h e d d u r i n g th e d e s i g n o f i t w h e n a n e w p r o d u c t i s g o i n g t o b e d e v e l o p e d in m o d e r n m e c h a n i s m f i e ld . t h e fi n i t e e l e m e n t m e t h o d ( f e m) i s a n a v a i l a b l y w a y t o a n a l y z e t h e p r o d u c t s p e r f o r m a n c e . t h e 3 d m o d e l i n g o f t h e p r o d u c t i s t h e b a s i c w o r k t o u s e f e m. g e a r t r a n s m i s s i o n i s o n e o f t h e t y p e s o f t r a n s m i s s i o n m o s t e x t e n s i v e l y u s e d i n m e c h a n i c a l d r i v e . j u s t b e c a u s e t h e g e a r s s t r u c t u r e i s v e r y i n t r i c a t e a n d i t s t o o t h g e o m e t r i c s h a p e i s i n t e r r e l a t e d t o i t s m a n u f a c t u r i n g m e t h o d , it i s q u i e t l y d i f fi c u l t t o 3 d m o d e l o f a g e a r . f e m c a n t b e u s e d t o a n a l y s i s a m e c h a n i s m c o m p o s e d b y g e a r s t h e p a p e r f i g u r e o u t t h e i n v o l u t e t o o th p r o f i l e d e s c a r t e s e q u a t i o n a n d t h e tr a n s i t i o n c u r v e d e s c a r t e s e q u a t i o n , w h i c h i s t h e t y p i c a l r e p r e s e n t i n t o o t h p r o f i l e , a n d b u i l d u p t h e m a t h e m a t i c a l m o d e l o f th e t o o t h f a c e o f t h e c u r v e d - t o o t h b e v e l g e a r . t h e e q u a t i o n a n d t h e m a t h e m a t i c a l m o d e l a r e a c q u i r e d j u s t a f t e r s t u d y i n g o f t h e t h e o r y o f g e a r i n g , a n d t h e m a t h e m a t ic a l m o d e l a ls o r e s u lt fr o m t h e a c t u a l m a n u f a c t u r i n g m e t h o d . t h e n , t h e p a p e r a c c o m p li s h t h e a c c u r a t e l y 3 d - m o d e l i n g o f t h e f o u r g e n e r a l l y u s e d t y p e s o f g e a r s : c y l i n d r i c a l s p u r g e a r , c y l i n d r i c a l h e l i c a l g e a r , s tr a i g h t b e v e l g e a r a n d c u r v e d - t o o t h b e v e l g e a r . i n t h e f o l l o w i n g p a r t, t h e p a p e r a c c o m p l i s h e s t h e to o t h s t r e s s a n a l y s i s b a s e d o n t h e m o d e l w o r d s : g e a r , 3 d -m o d e l i n g , f e w s t r e s s a n a ly s i s 门口目目.目.叫.，. 第 1 1而 y6 7 8 7 1 。 独创性声明 本人声明所呈交的学位论又是我本人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。尽我所知，除了 又中特别加以 标注和致谢的地方外， 论又中不包含 其他人已 经发表和撰写过的研究成果， 也不包含为获得国防 科学技术大学或其,c 教育机构的学位或证书而使用过的材料。 与我一同工作的同志对本研究所做的任 何贡献均已在论又中作了明确的说明并表示谢意。 学位论又 题目 : 直升机主减 学 位 论 又 作 者 签 名 : - v 立 t 器主 要零 部 。 才 : c a e 技 术 研究 日 期 :久 “ 三 年 i - , 士 日 学位论文版权使用授权书 本人完 全了 解国防科学技术大学有关保留、 使用学位论又的规定. 本人授权 国防科学技术大学可以 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印 件和电子 又档， 允许论又被查阅和借阅;可以将学位论又的 全部或部分内 容编入有关数据 库进行检索，可以 采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论又 ( 保密学位论文在解密后适用本授权书。 主要零部件c a e 技术研究 作者指导教师签名潇 崛乞 日 期 :二u 光年十 一 月寸日 日 期: a - a o 3年 /月/日 壑才一 学 位 一沦又 题目 : 直 升 机主 减 学 位 论 二 作 者 签 名颤 1 国 防 科 学 技 术 大 学 研 究 生 院 学 位 论 文 第一章绪论 随着现代科学技术的发展， 人们不断开发研制出结构更为复杂，规模更加庞大，加 ! _ 更加精密，成本投入更高的机械产品和设备。这一切都要求工程师在设计阶段就能精确地 预测出产品和设备的技术性能，需要对结构的静、动力强度以及温度场、流场、电磁场和 渗流等技术参数进行分析计算。计算机技术在机械领域的应用，改变了传统的产品开发程 序，使 七 述要求实现成为可能。本文用现代设计方法和分析技术，对多种齿轮的精确二维 造型技术和齿轮对啮合传动时产生的轮齿应力分析方法进行了研究。本章首先就课题的来 源、 背景进行了说明， 明确了课题研究的目的和意义， 给出了课题研究的主要任务和内容。 夸 1 . 1 课题来源及背景 木课题来源于中国航空工业第 6 0 8 研究所承担的“ 十五” 国防预研直升机项目 一部分。 直升机所具有的灵活机动、气候适应能力强、场地要求简单等众多优点，使得它不但 在军事领域仍然占有一席之地，在现代社会生活和生产中也扮演着重要角色，无论公安消 防、医疗救护、航空运输、航空摄影、资源勘探、抢险救灾、侦查探测，还是边境巡航、 缉私查毒、空中指挥、森林防火，甚至于现代商务中也开始发挥重要作用。 减速器是直升机传动系统的重要组成部分，是直升机控制系统的核心， 对于直升机的 工作状态、操纵性能有着决定性影响。齿轮是减速器的主要零部件，决定着减速器乃至直 升机的整体性能，齿轮的制造和安装精度直接反映到减速器的工作状态之中，例如减速器 噪声主要来源于齿轮制造和安装误差，因此有必要对它的性能进行分析，这项工作的首要 任务就是要完成齿轮的精确三维造型。 一、齿轮传动发展史 齿轮传动是近代机器中最常见的一种机械传动方式，是传递动力和运动的主要形式之 一，是机械产品中一类重要的零部件。与带、链、摩擦、液压等机械传动相比，具有功率 范围大、传动效率高、圆周速度高、传动比准确、使用寿命长、结构紧凑等一系列特点。 因此，它已经成为许多机械产品不可或缺的传动部件，也是机器中所占比重最大的传动形 式。齿轮的设计与制造水平将直接影响到机械产品的性能和质量。由于齿轮在工业发展中 的突出地位，致使齿轮被认为是工业化的象征。 齿轮传动技术经历了 漫长的历史发展过程。公元前 4 0 0 2 0 0年，我国古代就开始使 用齿轮，在山西出土的青铜齿轮是迄今发现的最古老齿轮，作为反映古代科学技术成就的 第 1页 国 防 科 学 技 术 大 学 研 究 生 院 学 位 论 文 指南车就是以齿轮机构为核心的机械装置。可是，直到 1 7世纪末，人们刁开始研究能正 确传递运动的轮齿形状， 先后提出 摆线、 渐开线可以 作为齿形曲 线。 1 8 世纪， e u l e r , s a v e r y 和 w i l l i : 逐渐完善了渐开线齿形传动理论。1 9 世纪末展成切齿法原理的提出以及利用此 原理切齿的专用机床与刀具的出现，使渐开线齿形显示出巨大的优越性。 2 0 世纪以来，科 技人员对于齿形曲线进行了更加深入地研究，加上新的加工方法和技术手段的出现以及制 造下艺和水平不断提高，齿轮传动获得更快发展，先后发明了圆弧齿形齿轮、双圆弧齿形 曲线齿轮， 制造出斜齿、弧齿、 蜗杆等多种类型， 使得齿轮应用范围更广、 承载能力更大、 传递精度更高、传递速度更快，已经成为工业发展的基础。 二、c a e 技术与齿轮 训算机辅助t程 ( c o m p u t e r 一八 i d e d e n g i n e e r i n g , c a e )是毛 算机技术与工程川 论的 有机结合，包括计算机辅助设计 ( c a d )、计算机辅助加工 ( c a m )、计算机辅助分析等多 项内容。c a d技术利用计算机强大的计算功能和高效率的图形处理能力，辅助知识劳动者 进行工程和产品的设计与分析，以达到预期的设计目 标。它是综合了计算机科学与工程设 计方法发展而成的一门新兴学科。计算机辅助设计的发展与计算机软件、硬件技术的发展 和完善，以及工程设计方法的革新紧密相关。目前，c a d技术在工程领域己经得到了广泛 应用，例如建筑设计、城市规划、交通工程设计等各行各业的发展都离不开它的支持，当 中尤其以 机床、 汽车、飞机、船舶、航天器等制造业当中，c a d技术的应用最为广泛和深 入 。 机械行业的c a d 技术起步于2 0 世纪5 0 年代后期，并获得迅速发展，技术 卜 大概经历 了四次创新。三维曲面造型技术是c a d 软件第一次技术革新的标志，同时也标志着计算机 辅助设计技术从单纯模仿工程图纸模式解放出来，实现了以计算机来完整描述产品零件主 要信息: c a d软件第二次技术革新以实体造型技术的普及为标志，实现了用计算机精确表 达零部件全部属性;参数化技术的应用主导了c a d 发展史上的第三次技术创新， 其突出特 点是基于特征设计、 全尺寸约束、 全数据相关、 尺寸驱动设计修改; 变量化技术是美国s d r c 公司对c a d 软件的巨大贡献，该技术既保持了参数化设计的优点，同时克服了参数化技术 的不足，从而推动了c a d 软件技术发展的第四次技术创新。 计算机技术迅猛发展，硬件成本大幅下降，加上c a d 技术上的不断创新，使得c a d 技 术在机械行业获得了更广泛的应用，这种应用也给传统工作模式带来冲击，使得一种产品 开发不再严格按照概念设计、详细设计、结构分析和优化、样机生产、修改原始设计这一 过程，很多工作都是在计算机上通过仿真模拟完成， 大大缩短了开发周期，降低了开发成 本。 有限元法 ( f i n i t e e l e m e n t m e t h o d : f e m )是对产品和工程技术性能进行分析预测的 第 2页 国 防 科 学 技 术 大 学 研 究 生 院 学 位 论 文 一种方法。该方法是近年来在计算机技术和数值分析方法的支持下发展起来的工程分析方 法，能够有效解决复杂工程分析计算问题。有限元法在机械领域的应用，被认为是机械设 计理论、方法和手段的次革新。它利用 c a d 软件建立的分析对象的儿何模型，加上符台 实际的约束和载荷后，对其进行技术指标和性能的校核计算，结果可用来判定分析对象设 计是否满足预期设计要求，并为分析对象的设计修改提供科学意见。 在工程实践中，有限元分析软件与c a d 系统的集成应用使设计水平发生了质的飞跃， 主要表现在以下几个方面: 1 、增加设计功能，减少设计成本; 2 ,缩短设计 一 和分析的循环周期; 3 、增加产品和 工 程的可靠性; 4 、 采用优化设计，降低材料的消耗或成本; 5 、在产品制造或工程施工前预先发现潜在的问题; 6 、模拟各种试验方案，减少试验时间和经费; 7 、进行机械事故分析，查找事故原因。 齿轮传动c a d 技术的开发与应用日 趋完善，从优化设计到计算机辅助绘图，从齿轮零 部件c a d 到传动装置的c a d ，逐步建立了一体化的c a d 集成系统。虽然一般齿轮设计计算 软件开发比较完整，但是三维设计开发软件较少。一方面二维的齿轮图能够满足于工业设 计、加工要求，另一方面，三维的齿轮造型一直是c a d 中的一个难点，因而，进行齿轮二 维c a d 方法研究，解决齿轮产品设计与制造中三维可视化问题，实现三维建模与仿真，具 有现实的实用价值， 本课题将c a d 和f e m 技术应用于直升机减速器齿轮的设计和性能分析， 首先研究了利用c a d 技术对几种齿轮进行精确三维造型的方法，给出了严格的数学程式， 然后在生成的三维模型基础上利用f e m 技术对模型进行性能分析。 1 . 2 课题研究的目的和意义 如上所述，现代设计理论、手段和方法在机械工业领域的应用，改变了传统的产品开 发程序、 手段，显著降低了新产品开发成本， 缩短新产品研发时间和更新换代周期，大大 提高了设计和生产效率。本课题目的是探讨怎样利用现代设计方法进行复杂机械零件 齿轮的三维造型，研究了几种齿轮三维造型的方法，同时应用当前比较盛行的有限元法对 于齿轮传动时产生的轮齿应力进行了有限元计算。 齿轮传动是机器和仪器中应用最广的一种机械传动方式，可以传递平行轴、相交轴和 相错轴之间的回转运动。由于用于传递的运动的回转轴不同，使得齿轮的结构形式多种多 第 3页 国 防 科 学 技 术 大 学 研 究 生 院 学 位 论 文 二二二二二二二二二二巴巴二二二二 样， 根据齿形不同可 分为直齿、 斜齿、 螺旋齿等。 传统齿轮新产品开发中， 往往是新齿轮 设计完成后， 工厂参照齿轮的二维图 纸加工试验用齿轮， 然后安装检验是否满足要求。 这 种方法由于印件生产造成研发成本高，反复地修改设计、试验使得研发周期长。 在计算机上进行三维造型对于结构简单的零件或机构来说己经不是一件为难的事。 但 是，齿轮以其结构复杂成为困扰设计、分析人员一大难题。本课题在研究了齿轮啮合理论 的基础上， 研究了直齿渐开线圆柱齿轮、斜齿渐开线圆柱齿轮、直齿渐开线圆锥齿轮和螺 旋锥齿轮的三维造型方法，并用 i - d e a s软件对前面二种进行了实现，螺旋锥齿轮啮合理 沦复杂，加工方法独特，本文在对它的啮合原理进行分析基础上，结合加工实际用解析法 推导出了齿面曲面方程，计算得到齿面坐标后再用软件实现三维造型。 轮齿应力是影响齿轮使用寿命的重要参数。理论齿轮接触强度校核中，计算公式均以 平行于圆柱体对压的赫兹公式为基础，通过对原始的赫兹公式进行系数修正而获得。轮齿 弯曲应力校核计算时，则将轮齿视为悬臂梁模型。而齿轮的实际啮合状况远比理论计算假 设条件复杂，例如受齿廓表面曲率半径变化的影响， 斜齿轮受螺旋角的影响，受啮合刚度 的影响等等，应力计算的节点不一定是应力最大处。利用木课题提出的齿轮三维造型方法 可以实现精确的齿轮三维建模，同时可以利用生成模型实现齿轮轮齿应力的有限元分析， 获得设计齿轮在载荷作用下拟真的应力分布状况。课题中以直齿圆锥齿轮为例，对这一方 法进行了研究。 课题提出的齿轮三维造型方法， 使得困扰工程技术人员的一个难题得以 解决， 从而使 得基于齿轮三维模型的传动机构建模与仿真，动态设计和分析计算等成为现实，所以本课 题的研究具有一定的实用和参考价值。 互 1 . 3 课题主要研究内 容和方法 由匕 文可以知道， 本课题主要内容包含两个部分， 一是分析多种轮齿的空ih 儿何形状， 实现齿轮的三维精确造型;二是利用建立的模型进行齿轮的应力分析研究。围绕这两个中 心，本课题主要完成了以下工作: 1 、推导齿廓曲线方程。 本文在研究齿轮啮合原理基础上， 利用啮合方程推导出过 渡曲线方程，由渐开线生成原理推导出渐开线直角坐标方程，利用解析几何知识推导出空 间螺旋线方程。 2 、弧齿锥齿轮齿面方程推导。 弧齿锥齿轮齿廓与加工方法和刀具形状及参数直接 相关，很难用解析法直接得到它的齿廓方程。本文首先对其加工原理进行分析，结合切齿 实例计算得到刀盘参数和机床调整参数，并建立加工坐标系和工件坐标系，然后解析推导 第 a页 国 防 科 学 技 术 大 学 研 究 生 院 学 位 论 文 出齿面方程。 3 ,齿轮的三维造型实现。针对不同轮齿形状结构特点，在 i - d e a s环境中，选用 不司 的实体适型力式，实现了直u圆柱齿轮、 斜齿圆柱齿轮、直 齿圆锥齿轮和弧齿锥齿轮 的二维精确造型。 1 、轮齿应力的有限元数值计算。 利用已生成几何模型建立有限元模型， 确定约 束 及载荷条件，建立物理求解模型进行求解。 5 、应力计算结果分析处理。 第 5页 国 防 科 学 技 术 大 学 研 究 生 院 学 位 论 文 第二章有限元法 有限元法是近四 卜 年来发展起来的一种有效的数值计算方法，它既包括有数学理沦 又包括有程序设计技巧，在工程技术各个领域中得到了) 泛应用。本章将阐述有限儿法的 概念及其基本思想，介绍有限元法的发展，最后具体说明有限元法分析问题的基本步骤。 2 . 1 有限元法发展概述 有限元法是在电子数字计算机 妞 速发展及数值方法在工程中日益广泛应用的背景下 发展起来的，这一方法的出现与发展为力学带来了革命性的变化。 有限元法作为一种计算方法起源于二十世纪五十年代航空工程中的结构矩阵分析法， 而有限元法基本思想确可以追溯到更早一些时候。1 9 4 3年 r . c o u r a n t首先提出离散化概 念将一个原来是连续的整体离散成为有限个分段连续单元的组合，并第一次尝试应用 三角形单元的分片连续函数来求解扭转问题。5 0 年代，有限元法在飞机设计中首先应用， 1 9 5 6 年m . j . t u r n e r 和r . w . c l o u g h 等人用矩阵 法对飞 机结构进行了 受力和变形分析， 并应 用当时出现的数字计算机，第一次给出了用三角形单元求解复杂平面应力问题的方法。 1 9 6 0 年r . w . c l o u g h 首次提出“ 有限元”这个名词， 标志着有限元法作为一种数值分析方 法正式出现于 工程技术领域。 有限元法的第一个黄金时期开始于 6 0年代初，当时，将一个连续体离散化为有限个 单元组合体的这种有限元概念开始在工程界流行， g . n . w h i t e 和k . 0 . f r i e d r i c h s 采用了 规 则的三角形单元， 从变分原理出发求解微分方程式。 1 9 6 3 年j . f . b e s s e l i n g 等人认识到有 限元法是里兹法的另一种形式，并且证实了它是处理弹性连续介质问题的一种通用方法， 此后有限元法才开始巩固其在工程计算中的地位。 1 9 6 5 年o . c . z i e n k i e w i c z 等解决了 有限 元法可以应用于所有能按变分形式计算的场问题，使有限元法得到了更广泛的使用。 随着有限元法在工程界和物理界日 益流行，更多的数学家有兴趣对这个方法给予严格 的数学论证，大约于 1 9 6 8年有限元的发展进入第二个黄金时期。当时发表了很多关于有 限元法的数学文献，论证有限元法的基本原理是逼近论，是偏微分方程及其变分形式和泛 函分析的结合，并致力于估计各种单元类型离散化的误差、收敛速度和稳定性。 从实际应用来说，四十多年来，有限单元法的应用已由弹性力学平面问题扩展到空间 问题、板壳问题，由静力平面问题扩展到稳定问题、动力问题和波动问题。在工程分析中 的作用也已从分析和校核扩展到优化设计， 并与计算机辅助设计技术实现完美结合。 如今， 有限元法正在继续向纵深发展。从工程实用观点来看， 有限元法今后的发展方向应该是使 第 6页 国 防 科 学 技 术 大 学 研 究 生 院 学 位 论 文 二二二二二二二二二二二二二二二巴 分析方法更有效、更广泛、使用更方便。随着计算机技术的发展，有限儿法作为一个具有 坚实理论基础和广泛应用前景的数值分析工具，必将在国民经济建设和科学技术发展中发 挥更大的作用，其自身也将得到进一步的发展和完善。 互 2 . 2 有限元法基本原理 用弹性力学经典方法分析连续体时，是从研究连续体中微元体的性质着手，在分析过 程中允许微元体的数目 无限多而它的大小趋近于零， 从而得出描述弹性体性质的偏微分方 程， 求解偏微分方程可以得到一个解析解。这种解是一个数学表达式，它给出连续体内 每 一 点上所要求的未知量的值。然而，对于绝大多数工程实际问题，由于其儿何形状的不规 则，或由于其材料的非线性或不均匀等原因，要得到问 题的解析解是十分困难的。 有限元分析( f e a , f i n i t e e l e m e n t a n a l y s i s ) 求解问 题的进本思想是用较简单的问 题 代抖复 杂问题后再求解， 用一句话概括就是“ 先分后合” 。 有限元法在处理还续体问题时， 首 先把连续体离散化，即 “ 化整为零”。把连续体假想分割成数目有限的小块单儿，而单 元之间只在数目 有限的指定点处相互连结，用这样单元的集合体来代替原来的连续体。其 次， 对每个单元，由于其分块较小并且形状较为规则，易于由平衡关系或能量关系建立节 点之间的方程式，因而可以选择一个较简单的函数来近似地表示其位移的分布规律，并用 弹性力学中的基本方程建立起单元上节点力与位移的关系。最后，把所有单元的这种力学 特性予以综合，即 “ 积零为整”，借助于矩阵方法加以集合起来，从考虑各节点的平衡条 件着手，得到整个结构上力与位移的关系式。一般情况下这是一组以节点位移为未知量的 线性方程组，代入边界条件后，解此方程组可求得连续体上有限个节点上的位移，并进一 步解得单元的内力。 2 . 3 有限元法求解 根据以上有限元法基本原理，可以大概知道用该方法求解问题的过程，下面将用公式 上 表达其求解原理。 一、将分析对象离散化，建立单元模型 将本来连续的分析对象，假想地分割成有限个形状规则、结构简单的构件组合体，这 些构件称之为单元。 在单元的指定位置设置节点， 单元间通过共用节点进行力传递。 因而， 有限元法的计算模型实际上是一个仅在节点处连接，仅靠节点传递力的有限个形状规则的 单元组合体。单元的数量和形状可以根据计算机性能进行合理选择。 第 7页 国 防 科 学 技 术 大 学 研 究 生 院 学 位 论 文 二、假定单元位移模式 当弹性体由于受到外力作用发生变形时，组成它的单元也会发生变形，因而单元儿何 体的1y 点将会产/ i 不同程度的位移，有限儿位移法就是以节点位移作为基本的未知量进行 求解的。此外，还有力法，就是以节点力作为基本未知量进行求解;棍合法则综合使用 卜 述两种方法进行求解，在板壳问题中有广泛应用。下面仅对位移法作简单介绍: 为通过节点位移求得单元位移、应力和应变，需要将单元内各点位移与 节点位移联系 起来。单元内各点位移是坐标的函数，这种函数不仅复杂而且未知，因此只能够作近似处 理。通常的作法是假定单元的位移分布形式，称之为位移模式或位移函数，也可以通过单 元上节点的位移插值得到。无论采用那种方法，单元内任一点位移都可以用节点位移来表 示为: 1j 1 = n - e 其 中 : n j 为 形 函 数 矩 阵 ; s 犷 是 单 元 节 点 位 移 三、分析单元力学性质 根据假定的位移模式，利用弹塑性力学理论方程就可以 用节点位移表示的单元应变， 再利用材料力学方程进一步可以求出单元应力。求解节点位移的基本方程是节点平衡方 程， 为导出该方程， 首先需要确定单元节点力与单元节点位移之间的关系式， 可以表示为: f = k r s 川 是 节 点 力 ， k称 为 单 元 刚 度 矩 阵 。 四、计算等效节点载荷 连续弹性体经离散化后，便假定单元之间除共用节点外，不再通过单元边界进行力传 递。因而，不管是作用在单元上的集中力、体积力还是作用在单元边界上的表面力，都必 须等效地移植到结点上形成节点力。 五、化零为整， 建立单元集合体整体节点平衡方程组 以节点为研究对象，建立节点平衡方程。可以表示为: k . 8 = 洲 其 中 川为 整 体 节 点 载 荷 列 阵 伍 为 整 体 节 点 位 移 列 阵 k 为 单 元 集 合 体 整 体 刚 度 矩 阵 六、求解节点方程组 第 s页 国 防 科 学 技 术 大 学 研 究 生 院 学 位 论 文 求解上式即可得到所有的节点位移分量。 七、计算其它物理量 根据 匕 面求得的结点位移，利用弹塑性力学知识即可求出单儿应力和应变，进步还 可求得单元主应力、主平面倾角等参数。 互 2 . 4 有限元软件解题步骤 一、分析对象、简化模型 一般情况下，选择用有限元法解决地问题结构都比较复杂，而有限元法的优势正在与 此对于一个复杂结构，往往存在很多特征，由于受计算机性能的限制，不1 1 一 能把模犁做 的很大，另一方面，受网格划分算法的影响，模型上的一些比较小的特征，比如倒角、小 圆孔等，常常会影响网格的生成。考虑到以上原因，实际应用中经常采取的作法是对模型 进行合理简化，这样处理对对计算结果不会带来影响，但计算效率会大大提高。 二、建立几何模型 现在的大型c a d 软件往往都具有强大的三维建模功能，有的c a e 软件也可以进行实体 只维建模，两种软件建立的几何模型，都可以用来进行有限元分析。但是，如果利用 c a e 软件对在c a d 背景下生成的模型进行分析，存在一个数据转换问题。一般读入一个几何模 型有三个层次:一是标准数据交换格式，比i g e s , s t e p ;另一种是专用的c a d 软件接口， 像p r o / e , c a t i a ;最后一种是采用相同的c a d 建模核心，例如a c i s , p a r a s o l i d 。在数据 交换中经常会碰到数据错误或数据丢失的现象，致使转换过来的模型不能够反映模型真实 结构特征。比如体变成为面、小面转换过来之后变成大面等，必须进行处理保证数据的一 致性。 三、选择分析软件 当前市场上具有有限元分析功能的大型软件很多，每一种产品在基本功能上相差不 大， 但是在单元类型、分析过程等方面各自 具有自己的特点和专长。选用软件之前，一定 要认真分析计算的目标和任务，明确影响计算精度的主要因素，综合时间、经济的多方因 素，选用合适的应用分析软件。 四、建立有限元模型 建立有限元模型包括以下四个内容: 1 )定义约束、施加载荷 2 )创建材料 3 )指定单元类型和特征 第 9页 国防科学技术人学研究生院学位诊宝 4 ) 公刀 五、模型求解 包括对于求解器进行设定，设定内容包括分析类型 ( 线性、非线性、 静态、 动态等) 、 结果输出类型等 六、结果分析 这一步称为后处理过程，即对计算结果进行显示解释。也就是利用软件提供的后处理 工具对输出数据进行处理，将应力、应变、场分布等不可见物理量用直观的、可见的形式 表示出来。 2 . 5 有限元分析软件的发展 国 际上早2 0 世纪在5 0 年代末、 6 0 年代初就投入大量的人力和物力开发具有强大功能 的 有限 元分析程序。 其中最为著名的是由 美国国家宇航局 ( n a s a ) 在 1 9 6 5年委托美压 困 算科学公司和贝尔航空系统公司开发的n a s t r a n 有限元分析系统。该系统发展至今已 有几 十个版木，是目 前世界上规模最大、功能最强的有限元分析系统。从那时到现在，世界各 地的研究机构和大学也发展了一批规模较小但使用灵活、价格较低的专用或通用有限元分 析软件， 主要有德国的a s r a 、 英国的p a f e c 、 法国的s y s t u s 、 美国的a b a r u s , m s c , a n s y s , i - d e a s , n a s - t r a n , s a p 9 1 , m a r c 和s t a r d y n e 等。 1 9 7 9 年美国的s a p s 线性结构静、 动力分析程序向国内引进移植成功， 掀起了国内 应 用通用有限 元程序来分析计算工程问 题的高潮。 这个高 潮一直持续到 1 9 8 1 年a d t n a非线 性结构分析程序引进，一时间许多一直无法解决的工程难题都迎刃而解了。大家也都开始 认识到有限元分析程序的确是工程师应用计算机进行分析计算的重要工具。但是当时限于 国内 大中 型计算机很少， 大约只 有杭州 汽轮机厂的s i e m e n s 7 7 3 8 和沈阳鼓风机厂的工 b m 4 3 1 0 安装有上述程序， 所以用户算题非常不方便， 而且费用昂贵。 p c 机的出现及其性能奇迹般 的提高，为移植和发展 p c版木的有限元程序提供了 必要的运行平合。可以说国内有限元 分析软件的发展一直是围绕着p c 平台做文章。在国内 开发比较成功并拥有较多用户 ( 1 0 0 家以上)的有限元分析系统有大连理工大学工程力学系的 f i f e x 9 5 、北京大学力学与科学 工程系的s a p 8 4 、中国农机科学研究院的m a s s . 0 和杭州自 动化技术研究院的m f e p 4 . 0 等。 本文最终选用i -d e a s 作为课题使用软件， 首先是因为它的开发公司s d r c 开创了c a d 技术的第四次革新，反应到i 一d e a s 中就是变量化技术的应用，使得软件具有强大的三维 造型功能，同时该软件也具有f e a 功能，可以避免模型数据交换造成的数据丢失。 当前， c a d 和f e a 技术的 集中使用使工程设计发生了质的变化，相信随着计算机技术 第 1 0币 国 防 科 学 技 术 大 学 研 究 生 院 学 位 论 文 的更快发展，c a d 和f e a 技术的应用会更加沪 一泛，必将推动注 _ 业生产的蓬勃发展! 第 村 页 国 防 科 学 技 术 大 学 研 究 生 院 学 位 论 文 第三章齿轮啮合基本原理 齿轮峭合原理又称为共辘曲面原理，主要研究两个运动曲面的接触传动问题。齿轮啮 合原理的内容丰富，本章仅介绍在齿轮设计和计算中用到的一些基本理论问题。重点介绍 了相对微分法、齿轮啮合方程、诱导曲率等问题， 并利用啮合原理推导出齿轮过渡曲 线方 程。渐开线方程利用啮合理论也可以推导出来，不过由渐开线的生成原理出发，用解析法 可以 推导出 更为简洁的渐开线直角坐标方程，该内容在下一章将进行详细叙述。 3 . 1 共辘曲 面接触条件 齿轮计算中广泛应用矢量运算，相对微分法是进行齿轮矢量运算的 具。齿轮进行连 续传动， 必须满足一定的运动条件，这个运动条件就是我们要介绍的齿轮啮合方程。 一、相对微分法 设s w是一 个在空间 不断 运动的曲 面， 。 、 二 是它的a 面参 数， 用矢量函 数r 来表 示它 时， 它不仅是。 、 ， 的函数，而且是时间t 的 参数。 如果建立一个与曲 面s ( t ) 固连在，一 起并 随 着 它 运 动的 坐 标 系a ( t ) 二 0 ( t ) , i ( t ) , j ( t ) , k ( t ) , 那么 其中 的 坐 标系原 点。 ( t ) . 坐 标系 矢 量i ( t ) 、j ( t ) 、k ( t ) 都是时间的函数。 设a 面 相 对 于 t ) 的 坐 标为( x ( u , v ) , a u , v ) , z ( u , v ) ) ， 那么 运 动曲 面 ( t ) 的 方 程可以写为 r ( u , v , t ) = x ( u , v ) i ( i ) + y ( u , v ) j ( t ) + z ( u , v ) k ( t ) ( i ) 或 者 可以 简记为r 二 x i + 力+ z k ， 但是一定要记 住x , y 、 二 是“ 、 ， 的函 数， 而i , j , k 是时 间t 的函数。 用微分法求 1 )式的全微分，并令 巫 d v dv 加砂一av d x 二 全d u + 面 d y 二 o- d u + a u d z 二 全d u + 全d v 面 a v 则 d r 二 d x i + 创 十 d z k + ( x i + y j + z k ) d t 设 运 动 l iffi s ( t ) 的 角 速 度， 也 就是 运动 坐 标系ff ( t ) 的 角 速 度先w ( t ) ， 坐标矢量的 导矢即i , j , k 端点的 运动速度为 ( 2 ) 那么由理论力学可知 国防科学技术大学研究生院学位论文 i = a ) x i j ， 二 。x j k = w x k 将创门 代入 ( 2 )并记 试r = d c 卜 d v j 十 d z k 3) 则 ( 2 )式可以写为 d r = 试 r + w x r d t ( 4 ) 上 式中 :d ,r 称为 矢 量r 关于 动 标a ( t ) 的 相 对 微 分， 即 假定曲 面s ( t ) 和 运动 坐 标 系o ( 1 ) 不 动 时 的 微 分( 4 ) 式 称为 相 对微 分公 式， 给出了 绝 对 微 分d r 和 相 对 微分d ,r 之间 的 关 系。 需要说明的是 ( 4 )式不仅对于曲面方程成立，对于曲面法矢也是成立的。设运动曲 面s ( t ) 的法矢 n ( u ,， 、 t ) = n , ( u , v ) i ( t ) + n , ( u , v ) j ( t ) + ， 二 ( 、 、v ) k ( t ) 则 d n = d ,n + w x n d t ( 5 ) 其 中 d ,n = d n x i + d n y j 十 d n , k 是 假定曲 面 不 动 时 的 相 对 微 分 矢函数的这种微分法称为相对微分法，它是研究齿轮啮合问 题的有力工具。这种方法 既考虑了曲面运动问题，又能在运动中研究曲面的几何问题。 二、齿轮啮合方程 两个曲面在空间某点m接触传动时， 两曲面必在m点相切。 设有图3 . 1 所示两 个 运 动曲 面， 在曲 面s ， 上建 立固 连 运 动 坐 标 系“ , ( ( )坐 标系中m点 径矢 为r , ， 单 位 法矢为n , ; 在曲 面s 2 上建立固 连坐标系 0 2 ( t ) m点 在 坐 标 系中 径矢 是r 2 ， 单 位 法 矢是n 2 。运动坐标系0 2 ( t ) 原点0 2 ( t ) 到 , , ( t )的 原 点 d , ( t ) 的 径 矢 为 - ( t ) = 0 2 ( t ) 0 , 小 由图可 知它们应该满足 方程组 wt ) r 2 = r , 十m n z =n 1 ( 6 ) 0 荞 t ) 图3 . i 两运动曲 面接触传动 其中，第一个方程是两齿面在 iv i 点接触所应满足的条件， 第二个方程保证了两齿面在m 点相切，这就是所有齿轮传动应该满足的基本方程式。 -一一一冲，-甲 贫 且 3百 一一一一一一 l n/j 17 y 7x h l y ji j l n7l 如 果 m d ， 表 示 曲 面 s , 关 于 运 动 坐 标 “ l( t ) 的 相 对 微 分 ， 用 d , 表 示 0 面 s , 关 于 运 动 坐 标 6 , ( t) 的 相 对 微 分 ， 用 w , 表 示 曲 面 s , 即 运 动 坐 标 系 “ ,( t) 的 角 速 度 ， 用 w : 表 示 曲 面 5 2 即 运 动 卧r 系。 2 川的 角 速 度， 用 才 吕 对微 分 法 微 分( 6 ) 第一 式 得: d , r , + w 2 x r , d t = d , r , + w , x r , d t + m 因为 v =曰 , x 叭一 。 : x r , + m， ( 7 ) 是 两曲 面s , , s , 上m点 的 相对速度， 故 上式 可以 写为 d z r z = d ,r , + v i a ( 8 ) ( 8 ) 式 中d ,r , 是 运动曲 面s , _ t m点 的 一 个切 线 方向 ， d , r , 是 运 动曲 面s , j _ m点 的 一 个 切 线 方向， 满足 ( 8 ) 式的 这样一对方向 称为 一对 共 扼方向。 显 然， 只有叭 r , i ! v , : 或d , r , 为 接 触 线 方 向( d t = 0 ) 时 ， 两 共 辘 方 向 才 会 重 合 但 是 ， 对 于 !v 司 = 0 的 点 ， d , r , = 试 。 恒 成 立 ， 即共桃方向都重合。 将( 8 ) 式 两 边与 两曲 面的 公 法矢n 作 数 积， 因 为佑 r , 和姚 位 于 切 平 面内 ， 方向 总 是 与 n 垂 直， 故n * d , r , = n * 风 r , = 0 。由( 8 ) 式 可 知 这时n * v , d t = 0 因 此， 两 运 动曲 面 在 接触位置还应该满足条件 n * v iz = 0 ( 9 ) ( 9 ) 式就是齿轮的啮合方程。 其物理意义是: 为保证两运动曲面持续啮合， 避免两曲 面 在运动中发生脱离或相互嵌入，必须保证两运动曲面法线方向分速度相等。 由以上分析可以知道，一对共扼曲 面啮合时，在任何啮合位置都必须同时满足基木方 程 ( 6 )和 ( 9 )，即 r 2 = r , 十m n 2 二n l n v , 2 = 0 ( 1 0 ) 3 . 2 共扼曲面诱导曲 率 一 对 共 扼曲 面 在接 触点 的 相 对曲 率 称 为 诱 导曲 率。 由 3 . 1 知 道， 如 果 运 动曲 面s ! 存 在 共 辆曲 面s 2 ， 它和s : 只 可能 沿 着啮 合 方 程 所 确 定的 接 触 线 接 触， 因 此， 曲 面凡只能 是 这 条 接 触线在 运动 坐 标系(2t) 中 的 轨迹。 也 就 是 说， 共 辘曲 面s 2 完 全是由 曲 面戈 的 方 程 和 两运动坐标系之间的相对运动所确定， 进而，两运动曲面在接触位置的诱导曲率完全可以 第 1 4页 国 防 科 学 技 术 大 学 研 究 生 院 学 位 论 文 由曲 面s 。 的曲 率和两运动坐标系之间的 相对运动所确定。 用相对