（电力电子与电力传动专业论文）离散系统变结构控制理论及其在电力电子装置中的应用.pdf

湖南大学硕士学位论文 a b s t r a c t v a r i a b l es t r u c t u r ec o n t r o lo fd i s c r e t e - t i m es y s t e m sa n di t sa p p l i c a t i o n s i np o w e re l e c t r o n i ca p p a r a t u sa r ed i s c u s s e di nt h i sp a p e ra tf i r s t ，v a r i a b l e s t r u c t u r ec o n t r o lo fc o n t i n u o u s t i m es y s t e m si sr e v i e w e db r i e f l y a f t e rt h a t ， t h ep r o b l e mo fc h o o s i n gs a m p l et i m ei nt h ed i s c r e t i z e dv a r i a b l es t r u c t u r e c o n t r o lo fc o n t i n u o u s t i m es y s t e m si sa n a l y z e d s o m ec o m m o nm e t h o d so f v a r i a b l es t r u c t u r ec o n t r o lf o rt h ed i s c r e t e - t i m es y s t e ma r ed i s s e r t a t e d ，a n d t h ed i s c r e t ee q u a t i o nr e a c h i n gc o n d i t i o n sa r ei m p r o v e d an e wr e a c h i n g l a wb a s e do na t t e n u a t i n gv a r i a b l er a t ec o n t r o lw h i c hi sv e r i f i e da sa c h a t t e r i n g f r e er e a c h i n gl a wi nt h e o r yi sp r e s e n t e da n di t s c o r r e c t l l e s si s v a l i d a t e db ys i m u l a t i o n m e a n w h i l e ，d e s i g nm e t h o d so fc h a t t e r i n g - f r e ei n t h ed i s c r e t e t i m es y s t e m sa r ee x p o u n d e da n dt h es t r a t e g i e so fr o b u s tc o n t r o l f o rt h ed i s c r e t e t i m ev a r i a b l es t r u c t u r ec o n t r o ls y s t e m sa r ed i s c u s s e di n e m p h a s i z e ，e s p e c i a l l y t h er o b u s td i s c r e t e - t i m ev a r i a b l es t r u c t u r ec o n t r o l s t r a t e g yw i t ht h er e a c h i n gl a wb a s e d o nd i s c r e t ea t t e n u a t i n gr a t ec o n t r 0 1 i n t h e e n d ，s o m ea p p l i c a t i o n s i nt h e p o w e r e l e c t r o n i c a p p a r a t u s w i t ht h e d i s c r e t e t i m ev a r i a b l es t r u c t u r ec o n t r 0 1a r ei n t r o d u c e dt h ef u t u r e d e v e l o p m e n tf o rt h ed i s c r e t e - t i m ev a r i a b l es t r u c t u r ec o n t r o ls y s t e m si sa l s o p r o v i d e d k e y w o r d s ：d i s c r e t e t i m es y s t e m s ，v a r i a b l es t r u c t u r ec o n t r o l ， r e a c h i n gl a w , p o w e r e l e c t r o n i ca p p a r a t u s 2 第一章绪论 第一章绪论 变结构控$ 1 ( v a r i a b l es t r u c t u r ec o n t r 0 1 ) 是一类特殊的非线性控制策略，其非 线性表现为控制的不连续性。在连续系统中，该控制的特征是可以迫使系统在 一定的条件下沿规定的状态轨迹作小幅度、高频的上下运动，即滑动模态或滑 模( s l i d i n g m o d e ) 运动。这种滑动模态是可以设计的，且与系统的参数及扰动无 关。这样，处于滑模运动的系统就具有很好的鲁棒性。但在离散系统中，它已 不具有这种鲁棒性，主要是因为有限的采样频率对系统产生了很大的影响。有 限的采样频率使得输入控制在两个采样周期之间是一个常量，这就意味着当系 统的响应在两个采样周期之间穿过超平面时，输入控制不能立即校正响应使其 仍保持在超平面上。也就是说。离散系统的变结构控制在进入滑动模态后，系 统的状态不能仍保持在超平面上，但它可以保持在滑动面的某一个邻域。由于 当且仅当系统的状态保持在滑动超平面上时才出现变结构特有的品质不 变性，所以在离散系统的变结构控制中这个性质就不存在了，同样，其鲁棒性 也不能得到保证。然而，实际工作中，进行仿真研究与计算机实时控制均为离 散系统。所以，离散系统的变结构控制的研究与设计，就成为变结构控制理论 与应用的一个重要组成部分。 1 1 离散系统的变结构控制研究的现状与发展趋势 1 1 1 现状 变结构控制的思想最早来源于开关控制。对继电系统的研究，以及相平面 分区线性化方法和滑动模态的研究，引发了变结构控制的要领和方法。自从前 苏联学者欧曼尔扬诺夫( s v e m e l g a r m o v ) 、尤特金i o t k i n ) 以及依特克斯 ( o i t k i s ) 等人于6 0 年代初开始全面研究变结构控制系统以来，变结构控制理论 经历了4 0 余年的发展，至今已形成了控制理论的一个分支。1 9 8 0 年以后。由 于两个重大发展使得变结构控制在理论上和应用上的研究都大大前进了一步 ( 这两个重大发展一是变结构控制作为控制系统的一种具有普遍性的综合方法 被提了出来，另外一个是变结构控制系统对参数摄动和外部干扰具有极好的鲁 棒性的特点得n t 充分的认识) ，才开始进行离散系统的变结构控制研究。 湖南大学硕士学位论文 早期进行的离散系统变结构控制的设计，一般是采用连续系统的变结构控 制的设计方法，对此设计方法比较深入的代表作是x i a o h u o 于1 9 9 3 年，在 i n t j s y s t e ms c i 上发表的论文【“。该文提出了离散变结构控制系统滑模存在的充 分条件，指出了将连续系统的变结构控制的设计方法应用于离散系统时，其采 样周期容许的范围。 近年来专门针对离散系统的变结构理论与设计方法的文献逐渐增多，对离 散系统特有的性质也逐步深入1 2 、3 “。j 。在已发表的论文中，影响最大的是 k f u r u t a 在1 9 9 0 年发表的论文1 2 1 。国内外发表的有关离散变结构控制方面的论 文中，有不少是以这篇论文的理论分析及其控制器设计方法为基础。1 9 9 4 年， w a n gw e n - j u n e 等在文献【3 】中指出了f u r u t a 的上述论文的设计方法不合理，定 理证明不妥；并对该文设计的条件提出了不稳定的仿真反例，提出了保证b 区 等效控制平衡点在a 区的设计方法。但是w a n gw e n - j u e n 等并没有指明f u n n a 的设计方法不能保证稳定的原因，而且通过理论分析与仿真研究发现w a n g 等 提出的设计方法，由于对不确定部分的影响考虑不充分，对变结构中交互影响 未加考虑，同样不能保证系统的稳定性。 上述的文献不仅没有考虑不确定部分对系统的影响，而且他们提出的设计 方法所要求的到达条件太过于严格，这使得相应的控制规律比较复杂。1 9 9 5 年， 我国学者高为炳针对上述的不足，将连续系统的趋近律1 6 】的概念应用到离敌系 统中来，设计了所谓的指数趋近律，并给出了离散系统准滑动模态的定义，系 统地阐述了离散系统变结构控制滑模的到达条件，由于它考虑了采样时间对控 制系统的影响，在一定的程度上保证了系统的稳定性。但由于指数趋近律本身 的缺陷，系统的稳态性能不太好，并且与连续系统相比较，离散系统的变结构 控制鲁棒性几乎不存在。尽管这样，到目前为止，这是一个相当不错的设计方 案，因为对高阶系统及多输入多输出系统没有因此而增加设计的限制，这是其 他方案所不能比拟的。 由于高提出的设计的方法存在抖振，后来有不少学者针对此提出了许多改 进的方法，如1 9 9 6 年f y u 等应用周期收敛律t 刀( p e r i o d i cc o n v e r g e n c el a w ) 解决 离散系统固有的稳态抖动问题。在分析离散指数趋近律抖动产生的原因后， 2 0 0 0 年，翟长连等给出了一种改进的离散指数趋近律i ”。当然，这些设计方案 仅是对确定系统而言的。 第一章绪论 1 1 2 趋势 在今后一段时间里，离散系统的变结构将利用离散系统周有的性质并将其 应用在多变量系统和高阶系统及其大系统。主要是研究不确定性对系统的影 响，通过一些策略将其与模糊控制或神经网络控制结合起来，以其得到更好的 系统动态响应。 1 2 不确定离散变结构系统的鲁棒性 当系统存在不确定性时( 这里的不确定性包括系统参数摄动和外部扰动】， 上一节所提的方法均不能保证系统的鲁棒性。为了能使离散变结构系统与连续 系统一样有很好的鲁棒性，提出的很多方案本质都是一样的：利用不确定估计 器来补偿不确定部分的影响，将变结构控制和时滞控制概念结合在一起来控制 系统。在不确定性有界的情况下，不确定估计器在很大程度上增加了系统的鲁 棒性。通常有如下两种不确定估计器。 1 2 1 常规的不确定估计器 这类估计器采用将连续系统中最简单的估计器c 7 ：导孵) 经近似离散化得到 的，其表达形式如下： d ( + 1 ) = + 9 7 戤+ 1 )( 1 - 2 1 ) 这个估计器的误差响应与滑动超平面是耦合在起的。由于存在耦合，使 得估计器误差增加，从而对系统产生负面影响。 1 2 2 解耦的不确定估计器 这类估计器利用分离原理将误差动态响应与超平面分开设计，选择合适的 参数可以得到良好的误差动态响应和鲁棒性。这种方法是目前最为流行的设计 不确定离散系统变结构控制的有效方法之一。 1 3 本论文的主要研究工作 本论文首先讨论了连续系统离散化及采用连续系统的方法来设计离散变结 构控制系统时所要注意的问题，重点分析了两种最为常用的离散化方法，基于 位移算子的离散化方法和基于占算子的离散化方法：归纳了离散系统变结构控 塑堕查堂堡主堂堡笙奎 制的滑动模态存在的条件；改进了等式情况下的滑模存在条件。在定义衰减控 制后，分析了离散指数趋近律和衰减控制的内在联系，在这个基础上，分析了 变速趋近律的本质并提出了一类新型的离散趋近律衰减变速趋近律，理论 分析和仿真证明其是无抖振的离散趋近律；同时提出了无抖动的离散滑模的一 些设计方法：分析了一些较为常用的不确定估计器的设计方法。最后将本文的 一些理论应用到电力电子装置的控制中，并对全文作了一个总结，各章的主要 工作如下： 第一章绪论 在绪论中，阐述了变结构的发展历程和离散变结构越来越受重视的 原因，然后探讨了离散变结构的发展趋势，分析了离散变结构的特点。 概括了本论文所做的工作。 第二章连续系统的变结构控制及其离散化 在这一章，首先简述了连续系统的变结构控制，在此基础上简要地 论述了由连续系统离散化后会产生的问题，并阐述了按连续系统的方法 设计离散变结构系统时必须注意的问题。 第三章离散v s c 本章先讨论了离散滑模存在的必要和充分条件，并由所得的条件建 立一些滑模超平面。同时，对离散滑摸进彳亍了归类。然后在衰减控制定 义的基础上，详细论述了衰减控制和离散趋近律之间的内在联系，并由 此得到一类新型的趋近律。之后，对基于衰减控制的离散v s c 和传统离 散趋近律之间进行了仿真对比。 第四章无抖振的离散滑模的设计 这章首先证明了离散变结构系统采用离散趋近律实现的变结构控 制存在抖振，然后给出了无抖振离散滑模的设计定理和些无抖振的设 计方法。 。 第五章离散鲁棒滑模控制 灰色系统理论是处理不确定系统的一种有效方法。这一章先利用灰 色理论来处理系统的不确定性，使系统中的灰量得到一定程度的白化， 以提高滑模控制的稳定性和鲁棒性。然后利用离散系统的特点，构造了 几类不同的不确定系统的补偿方案。 第一章绪论 第六章离散变结构控制在电力电子装置中的应用 变结构控制最为成熟的是在电机控制9 。0 1 中的应用。本文将从计算 机控制的角度出发，设计了一类超平面并应用在异步电机的调速中，然 后简要地设计了离散系统变结构控制的开关电源。 第七章结束语 对全文所做的工作作了一个总结，同时对待进一步展开的工作作了 说明。 湖南大学硕士学位论文 第二章连续系统的变结构控制及其离散化 2 1 连续系统变结构控制 由于连续系统的变结构控制己相当成熟，在这一节里将不加证明地给出连续 系统的一些主要的定义及定理。其证明或说明参见文献1 1 1 。4 l 。 2 1 1 理想滑模变结构 定义2 - 1 1 【切换平面】切换平面就是这样一个平面，在这个平面的邻域，系 统具有两种不同的结构，且两结构的运动轨迹均指向这个平面，在此平面上。两 轨迹发生切换，其对应的方程记为s ( 砷。对于线性切换平面s ( 功= c x ，c 可由设 计者按一定准则设定，如极点配置和最优控制。 定义2 - 1 2 【滑动模态】系统的状态沿定义2 1 1 的切换平面运动，这种运动 就是所谓的滑动运动，或称为滑动模态。滑动模态具有这样一个独特性质：它完 全决定于切换平面的选择，而与系统本身无关。 定义2 - 1 3 【滑动模态区】切换平面上能引起滑动运动的点集，就是滑动模态 区。 定义2 - 1 4 【等效控籼非线性系统量= f ( x , z l ，f ) x r ”，甜r ”，t r ，基于 它而确定的函数j ( r ) = 0 的解就叫做此非线性系统的等效控制。 定义2 - 1 5 理想滑模变结构控制】对于非线性系统 j = 。，仉f ，) i e p ，”f ，t r( 2 - l - 1 ) 确定了一个切换平面 5 = ，= o 5 f 2 - i 2 ) 它满足： ( 1 ) 、可微； ( 2 ) 、过原点，即s ( 0 ) = 0 。 并寻求变结构控制 c 曲= 算：弓耋i ：三： 且酊c x ，酊c dc 2 - t - ， 使得： ( 1 ) 、满足到达条件：在切换平面以外的相轨迹于有限时间进入切换平面； 6 第二章连续系统的变结构控制及其离散化 ( 2 ) 、满足存在条件：切换面上存在滑动模态区； ( 3 ) 、满足稳定条件：滑动运动渐近稳定且动态品质良好。 ( 1 ) 、( 2 ) 、( 3 ) 就是所谓的变结构控制的三要素，满足以上条件的控制就是滑模交 结构控制。在这里假定了控制结构切换具有理想开关特性，所以这样的滑模变结 构控制称之为理想滑模变结构控制。 2 1 2 到达条件 使切换面以外的相轨迹于有限时间内到达切换面的条件被称为到达条件。在 到达条件下的系统状态运动轨迹被称为趋近模态。 1 、不等式到达条件 ( 1 ) 全局到达条件 ；：雪：；：r 为某一小正常数。( 2 - 1 - 4 ) ( 2 ) 局部到达条件 l i m j 0 蒜b o 当s 0 ；g 0 ( 2 - 1 6 ) 2 1 3 匹配条件 匹配条件本质上表示两种不同系统间满足某种相关关系所需要的条件，它来 源于模型的跟踪条件。在一定的条件下，如果模型可以和对象相匹配，那么这个 条件就称为匹配条件。 对于如下的非线性系统， 童= f ( x ，f ) + a f ( x , t ) + b ( x ，t ) + a b ( x ，f ) ，+ d ( x ，t ) ( 2 一l - 7 ) 式( 2 1 7 ) 中的各参量有合适的维数，下列条件就称为匹配条件， 4 厂( r ，f ) = b ( x ，o z ( x ，t ) a b ( x ，t ) = b ( x ，) 旦( x ，)( 2 - l 一8 ) d ( x ，) = b ( x ，t ) d ( x ，) 显见，一个模型能跟踪对象的条件是二者的维数应相等，且满足匹配条件。 2 1 4 滑模变结构控制在参数摄动及外千扰作用下的不变性 7 湖南大学硕士学位论文 当匹配条件成立时，滑动模态的运动方程根本与摄动和干扰无关，不变性自 然成立。而且不管系统的摄动与干扰多强多弱，都没有关系。 事实则不然。首先，问题要能彻底解决，即要能求出确定的控制律，其中不 含摄动和干扰。另外摄动与干扰的强弱，在很多情况下影响控制的确定。如控制 不可能无限大，这就是影响之一。 2 1 5 准滑动模态 由于能量有限，系统结构的切换不可能在一瞬间完成，这样，系统的运动轨 迹被限制在理想滑动模态的某一4 邻域内的模态。这种模态就是所谓的准滑动模 态，或称为伪滑动模态。 从相轨迹方面来说，具有理想滑动模态的变结构控制是：一定范围的状态均 被吸引至切换面，速度矢量始终沿切换面。而准滑动模态控制则是；一定范围的 状态均被吸引至切换面的某一4 邻域。从数学上描述，前者的存在条件为西 0 与 s 0 ；而后者的存在条件是：s i 0 ，所r ( x ，妒) 与，( t ) 总具有相同的符号，即 一 0 r 0( 2 3 - 1 1 ) 从( 2 3 1 1 ) 5 - 矢1 1 ，超平面，( x ，) = o 具有这样的特性，它是闭环系统轨迹的一个分 界面，它两边的轨迹都是离开它向两边分开的。故称此平面为“渐近超平箍”。 对于二阶系统，则为渐近线。 如果有多个正特征值，则有多个相应的“渐近超平面”。 2 、数学模型 将( 2 3 7 ) 式用位移算子离散化，所有符号的意义如前所述，则离散数学模型 如下： x ( k 十1 ) = e x p ( ar ) x ( 女) ，( 女= o ，1 ，) ( 2 3 1 2 ) s ( k ) = s ( r ( 七) ) = c 1 五( 膏) + c 2 x z ( k ) + + c 。一1 矗一l ( 七) + ( 七) ( 2 - 3 1 3 ) 令变换前后的控制结构分别为+ ，妒一，并记 + = 口。，口：，q 】，一= 届，屈，届】 变换前后两种控制结构分别对应两种闭环系统，其系数矩阵分别记为 a p + a 一。 不失一般性，设结构变换后闭环系数矩阵a 卜具有一个正特征值 ，则存在 一个渐近超平面r ( x ，妒一) = x r v 。一= 0 。s ( k ) = o 超平面与r ( x ，庐一) = o 超平面在二 维空间的位置示意如图2 1 所示。 由渐近超平面的性质可知，它是一个边界，当x ( k + 1 ) 在这个边界内时，它的 轨迹将趋向滑动平面；反之，当x ( k + 1 ) 在这个边界外时，其轨迹将离开渐近超 平面( 即发散) 或向滑动超平面的另一个区域而去，如图2 - l 所示( 图中只标明向滑 动超平面的另一个区域而去) 。 由( 2 3 1 2 ) 可知，当结构确定后( 即爿+ 确定后) ，系统的状态x ( k + 1 ) 决定于采 样步长r 。如果离散时间步长r 足够小，x ( k + 1 ) 就可能处于渐近超平面内，系统 j咩2 0l 兮 i i 、卫) 、 、j 枣+ 1 ) z ( g 1 ) r - - - 0 图2 - l 的轨迹，就会在结构变换后，返回滑动超平面；如果离散时间步长7 较大，r ( k + 1 ) 就可能超越渐近超平面，在结构变换后，系统轨迹就不会返回同一区域的滑动超 平面，而是进一步离开它或进入滑动超平面的另一区域，如图2 - l 所示的下一步 状态可能进入第二象限，而不是第四象限。 所以，离散时间步长r 不仅要很小，而且不能超越一个上界。这个上界可由 图2 1 经计算得出，令日是采样的上界，则当t = h 时，r ( k + 1 ) 恰好落在渐近 超平面上。当t 时， 轨迹不能返回滑动超平面，准滑动模态不存在。 综上所述，对于按连续系统设计的离散变结构系统( 2 - 3 1 2 ) 、( 2 - 3 1 3 ) ，具有 渐近稳定的准滑动模态的充分条件应为：满足基于连续变结构控制的条件成立； 滑动超平面参数g 满足稳定判据；步长r 应小于h 。 2 3 3 步长，采样时间t h 的判别方法 定理2 - 孓l 在一定的初始条件下，离散变结构控制系统具有渐近稳定的准滑 动模态的充分条件是：满足基于连续变结构控制的条件成立；滑动平面参数满足 稳定判据；步长r 使得( 2 3 一1 4 ) 的符号不改变且收敛。 r ( x ( k + 1 ) ) = x ( + 1 ) 叱一( 2 3 1 4 ) 证明：当渐近超平面的符号不发生变化，则说明系统的状态没有超过渐近 超平面。渐近超平面收敛则系统一定收敛。 是不是采样周期取得越短就越好呢? 显而易见，采样周期7 越短，计算量就 会显著增加，增加了计算机不必要的负担。合理的采样周期应具有这样的特性： 既保持了连续系统原有的性能，又不会增加计算机的不必要的负担。 2 3 4 仿真实例 塑堕查兰堡主兰堡丝塞 考虑( 2 3 1 ) 连续系统模型，其中 a ：卜 b = 嘲a = l o 一3 lb = l 1 i ( 2 冬1 5 ) 取控制律“= 似，其中口= 4 ，当甜= 4 一时，得五( 爿一) = 1 ；它对应的左 特征向量y = 【41 】，取c = 11 】，满足稳定判据，初始条件x ( o ) = 1 - 1 1 ，将 系统离散并按定理2 - 3 1 得临界h = o7 3 5 ，仿真结果如下。 0 2 f 02 03 04 0t ( s ) 5 0 0 - 2 f 02 03 04 0 t ( s ) 5 0 1 6 第二章连续系统的变结构控制及其离散化 0 r ( k ) - 2 4 f 0 1 02 03 04 0 t ( s ) 5 0 图2 - 2 不同采样时间下系统的仿真图 从图中可以得出当采样时间很小时，离散系统的性能几乎和连续系统一样， 如图2 - 2 a ，b 所示；当采样时间大于临界值时，系统可能最终还是稳定的，但与连 续系统的变结构有较大差别，如图2 - 2 d 所示；也可能会发散。 2 4 小结 本章首先阐述了连续系统中变结构控制一些常用的定义、定理及主要的设计 1 7 湖南大学硕士学位论文 方法。在这之后，列举了两种离散化方法一q 算子法和占算子法，并比较了这 两种方法的差异：二者均是连续系统离散化时的有效模型，但q 算子法是精确的 离散化模型，而占算子法是近似的离散化模型。在采样时间r 趋于零时，g 算子 法所得到的离散模型与连续系统的模型并不等价，而占算子法得到的离散模型是 其等价模型。最后，论述了按照连续系统的变结构控制设计方法来设计离散系统 的变结构控制应注意的问题：采样时间的合理选取。 第三章离散系统的滑模方程 第三章离散系统的变结构控制 直接针对离散系统的滑模变结构控制，比按连续系统的方法来设计离散系统 的变结构控制更为简单、方便，它不需直接考虑采样周期长度；因为离散系统的 滑模控制是种准滑模控制，从原理上又有避免高频抖振的可能；更为重要的是： 建立在差分方程基础上的离散系统，其状态可由输出、控制等值计算出来，不需 要建立观测器。从而使得直接针对离散系统的滑模变结构控制，更具有实用性。 在这一章里，综述了离散变结构控制已有的各类到达条件，并重新论述了等式到 达条件i l ”，提出了一类新的趋近律一基于衰减控制的趋近律，重点讨论了基于 衰减控制的变速趋近律切换区的宽度，并证明其是一个无抖振的趋近律。最后进 行了仿真验证。 3 1 离散变结构系统的等效控制 离散系统滑模运动的等效控制不能用逻辑控制自动产生。本文中所指的等效 控制是针对离散系统的确定部分而言。对于离散系统的等效控制通常有两种定义 2 q 。 定义3 - 1 1 考虑如下的离散系统 “揣：多霈她) a - j - n x ) s ( 妁= c | x 式中的各个参数有合适的维数( 为便于分析，假定叫，6 ) 为能控规范型，且其中c 满 足滑动运动方程的稳定条件的要求，o r b ；o ) 。能使系统的状态在任何时刻均保 持 s ( k + 1 ) 一s ( | ) = 0( 3 1 2 ) 的控制玩。称为等效控制。 = - ( c 礓) 1 c 7 ( a 一，) r ( 七)( 3 1 3 ) 定义3 - 1 2 能使( 3 1 1 ) 所示的系统的状态在任何时刻t 均保持 s ( j i ) = 0 r 3 - z - 4 ) 的控制l ，。称为等效控制。 塑塑奎兰堡主兰竺笙奎 f ，。= 一( c 7 6 ) 一1c 7 a x ( k ) ( 3 一i 一5 ) 显然，( 3 1 - 4 ) 埘( 3 1 2 ) 式，反过来就不一定成立。若无特殊说明，本文 的等效控制均是指( 3 一l - 4 ) 式。 3 2 离散系统准滑动模态存在条件与控制律的设计 3 2 1 离散准滑动模态的存在条件 1 、不等式型2 1 2 8 】 仍然考虑( 3 一1 1 ) 式的离散系统。 定义3 2 1 若在离散时间系统的切换平面s ( 七) = 0 的一个开环邻域内。条 件厶( 七) s ( ) 0 恒成立，则称系统( 3 1 1 ) 在s ( | ) = 0 存在准滑动模态，且 厶( 七) = s ( k + 1 ) 一s ( k ) 。 定义3 2 1 是仿照连续系统的到达条件西 0 来设计的，很明显，当离散系 统运动轨迹围绕s = 0 超平面作幅值发散的振荡时，定义3 - 2 - 1 的条件也能满足。 参照连续系统的局部到达条件t i mj 0 ，可得如下离散系统的到 j 斗0 s - - o 达条件， t i m 厶( i ) 0 i 3 - 2 - 0 j ( t ) 呻0 +j ( ) 呻o ( 七) 的定义如前所述。这个条件对于离散系统来说太严格了，或者说这根本是 不可能的，而且它仅是一个必要但不充分条件。文献【2 2 ，2 3 提出了下面的充分条 件： 定义3 - 2 - 2 对于所有的膏均有条件 i s ( k + 1 ) i ij ( 女) i ( 3 - 2 2 ) 或其等效形式 s ( 膏+ 1 ) 2 5 ) 20 - 2 - 3 ) i s + 1 ) s ) 5 二0 - 2 - 4 ) s ( 膏) 。出( + 1 ) 一l 2 4 女+ 1 ) 20 - 2 - 5 ) 成立，则称系统( 3 1 1 ) 存在准滑动模态。 苎三宴壹墼墨堑堕塑堡立垦一 从这个定义可知，离散系统的变结构控制的设计必须使得开关函数s ( j ) 是一 个衰减序列，但是，获得控制律来满足这样一个条件是极为困难的。而且，这个 所谓充分条件也不充分，例如取5 ( 七十1 ) = p s ( k ) ，0 k 均有，当x ( k ) 在 x ( 七) ：s ( 尼) = 0 ) 的邻域e 内时，芏( j + 1 ) 也在只内，则系统( 3 - 1 - 1 ) 存在准滑动模 态。 几点说明： 1 ) 、若邻域口，为零集合，就可以称系统( 3 1 1 ) 有理想滑动模态。 2 1 、通常曰。有两种定义方式： e = x ( | 】 ) ：l5 ( d 峰占x ( k ) l l 。) 和e = x ( ) ：ls ( | ) 怪占) 分别如图3 - l 所 示，其中图中所描述的对象是= q 五 + c a o 岛 o 。 划 l x 2 t t 0 ( 柚 o除 i 、e 、 li s ( 茹= o x ：( 七) ? j 。 v 、零? n 如) ：o ( 口)( 6 ) 图3 一l 相平面中不同的切换区b ； 对于图3 - l ( a ) q b 所示的扇形切换区，有一个比定义3 _ 2 - 3 的条件要弱一些的定 义。 定义3 2 - 4 若存在一个序列 丘：f _ 1 , 2 ，3 , - - - ) 使得 i ( 七) l s i i ) | | 。( 3 2 6 ) 和对于t k t + ，有 is ( k ) i f f | x ( k ) j f 。和ls ( k + 1 ) o ，t 0 ( 3 2 8 ) 变速趋近律 第三章离散系统的滑模方程 s ( k + 1 ) = j ( 女) 一e t l ix ( k ) j f ls g n ( s ( k ) ) ，g o ，t 0 ( 3 - 2 - 9 ) 离散趋近律( 指数趋近律) s ( k + 1 ) = s ( k ) 一q t s ( k ) 一s t s g n ( s ( k ) ) ，0 0 ( 3 - 2 1 0 ) 幂次趋近律 s ( k + 1 ) = s ( k ) 一s 7 1 ls ( i ) i 。s g n ( s ( j j ) ) ，0 0( 3 2 1 1 ) 各式中的r 为采样时间，显然，采样时间是影响离散系统的个重要参数。正因 为考虑了采样时间，才保证了趋近模态具有良好的品质，而且求解变结构控制也 变得直接而简单。 3 2 2 离散系统变结构控制律的设计 有两类到达条件，相应的也有两类变结构控制律的设计方法：选择增益滴或 不等式法) 和趋近律法( 或等式法) 。 l 、选择增益法 在选择增益法中，输入控制设计成能使得离散李雅谱诺夫函数是一个渐减的 函数，在离散变结构系统中，李氏函数的定义如下： 矿( d = 亍1 ，p )( 3 2 1 2 ) 由如下的引理获得的控制可以保i y _ v ( k + 1 ) z ( k ) ： 引理3 - 2 1 如果一个控制满足晌6 0 + 1 ) 一娴) q 雄够+ 1 ) 一晌y ，5 o ，那么 v ( k + 1 ) l 伊2 lc r b l k o 酬l l x ( k 1 1 ) 0 1 2b k o”1 ，0 ( k 2 l 新，拧 “ ，j ( 膏) i i c l l| | r ( 七) l 7 ” 盘? 则系统将沿着准滑动模态区为l s ( ) f _ 1 2 l c r b j l j x c k ) 1 1 渐近地收敛到原点。 证明见文献( 1 4 】。 湖南大学硕士学位论文 2 、趋近律法 在趋近律法中，切换函数满足到达条件，这样，输入控制律就可以从动态响 应逆推出来，因此，求解控制律就变得非常之简单。在离散系统中，较为常用的 趋近律是离散指数趋近律。由此可以得出对应的控制： u ( k ) = ( c t 6 ) 。 - c 2 a x ) + q t s ) 一w t s g n ( s ( k ) ) 】( 3 - 2 1 5 ) 但是，不论u ( k ) 如何变化，在这个控制律的作用下，即使是考虑( 3 1 - 1 ) 式的标称 系统，其状态也是不可能收敛到原点的。关于这一点，参见第四章。 3 3 基于衰减控制的离散交结构控制 3 3 1 衰减控制 定义3 3 1 考虑( 3 1 1 ) 式的单输入离散时间系统，采用如下控制律： 珥= 一( c 7 6 ) 一1 c 7 ( 爿一) j ( 七) 0 p l ( 3 3 - 1 ) 式中的p 称之为衰减系数，则u ，称之为衰减控制。 定理3 - 3 , 1 对离散系统( 3 1 1 ) 采用衰减控制律( 3 3 1 ) 进行控制，则系统状态 轨迹将按s ( z ( 膏) ) 以衰减系数p 的衰减速度收敛到原点，其中衰减系数如下： p = s ( k + 1 ) s ( k )( 3 3 - 2 ) 证明：1 ) 、系统收敛到原点。 将( 3 3 1 ) 式代入( 3 1 - 1 ) 式可得 x ( k + 1 ) = 【a b ( c 1 6 ) 。1 c 7 ( a 一户，) 】x ( 七) ( 3 - 3 3 ) 由此得系统( 3 1 1 ) 的特征方程 以力：茎二跪s ? 乞j ! 恐嵩i 腭 o - 3 - a ) = ( 孑一p ) ( = “叫+ 巳一l z “一2 + + c 2 z + c 1 ) 该多项式表明：闭环系统( 3 - 3 3 ) 的即一1 ) 个极点即为原来的等效控制滑动方程的 极点，从系统( 3 - 1 1 ) 知，滑动运动方程稳定( 需要说明的是，这里所说的等效控制 指的是( 3 1 2 ) 所确定的等效控制) ，所以有iz ，i 1 ，i = 1 , 2 ，h 一1 。而第h 个极 点为z 。= p ，因为0 p 0 ，g 0 , t 0 ( 3 - 3 - 5 ) 考虑到( 1 ) 、( 2 ) 式劳由( 6 ) 式可得系统的控制方案为： u = - ( c 2 6 ) 1 c 2 ( a - i + g 印x ( k ) + e t ? g n ( s ( k ) ) = i ( c 7 _ 1 ( c 7 ( 4 一p 7 ) j ) + 号c 。( 彳一，弦( 膏) + 占t s g n 0 ) ) 】( 3 3 6 ) = u ? 七u 式中，占= 2 6 ，例p = i 卜2 q t l o , i = 1 2 o ， 式中，为系统的阶次，x i 为系统的状态变量。在连续系统， 在变速趋近律的作用下，系统将渐近稳定。近似离散化得： 5 ( + 1 ) = s ( | | ) 一丁：，岛lx ，( k ) l s g n ( s ( k ) ) ( 3 - 3 一l o ) 已有文献o o 】证明了 ( 3 3 - u ) 定理孓3 _ 3 离散变速趋近律( 3 - 3 1 1 ) 产生了一个扇形切换区： 4 = 丁：。l _ ( ) j 。即当卜叫b 喀z 芝二。弓i 王国i 有is ( 七+ 1 ) l 0 ，i = 1 , 2 ，n ，则( 3 3 一1 1 ) 式可重写为： s ( k + 1 ) = s ( j ) 一s ，| | x ( | ) ms g n ( s ( k ) ) ，s o ，t 0 ( 3 - 3 1 2 ) 式中| | xm 表示的是向量x 的1 范数。类似于连续系统有如下定理3 3 4 ， 定理3 - 3 4 设系统( 3 1 1 ) 为一个二阶系统，在一定的控制下，使得( 3 3 1 2 ) 式 满足，则系统存在扇形切换区is ( k ) b8 t i ix ( k ) m ；若 0 8 t m