（光学工程专业论文）半导体光电探测器的混沌干扰机制研究.pdf

国防科学技术大学研究生院学何论文 摘要 本文在唯象理论的基础上，通过深入分析光伏型探测器、非本征光电导 和c c d 的光电特性及其内在机制来研究和探索激光干扰光电探测器的可能的 新机制。全文围绕着光电探测器能否出现混沌及如何出现混沌这个主题进行了 咀下几方面的工作： 1 概述了与主题相关的混沌的基本概念；着重研究了由微分方程和实验 数据计算l y a p u n o v 指数的数值方法，并在此基础上分别编制了一套相应的计 算程序；为研究激光与光电擦测器的作用，引入了级联非线性系统的概念，求 得了复合系统与两个子系统的l y a p u n o v 指数的关系；研究了激光的非线性动 力学特性，系统地分析了混沌激光的各种产生机制和在光子对抗中的可能应 用。 2 通过分析光伏型探测器内p 区、n 区和p n 结的物理特性，建市了载流 了输运的物理模型，得到r 摘述载流于在光伏型探测器中输运的动力学方程： 并结合在光伏型探测器府用巾普遍的玎路边界条件，采取恰当的算法编制了 套能全而而系统地研究光伏型探测器光电特性的程序：在该程序的基础i 二，着 重就光伏型探测器的输【f 5 f 1 阳应与捌料参数的关系、载流予输运的动、稳态特征、 探测器输h 响应与入射光强的关系和探测器的温度效应这些与主题密切相关的 问题进行了深入研究；提出了种消除背景辐射干扰光电探测晌方法。 3 在研究非木征光电导的基本物理过程并得到其载流予输运的动力学方 程的基础上，列周期凋制激光、混沌激光与非木征光电导作用的动力学形态进 行了探讨。 4 根据m o s 器件的基本工作原理，求得了激光与c c d 作用的输入输出 晌函数关系：并在此基础f ：探讨了c c d 的各光电特性( 灵敏度、饱和特性、小 信号特性、串音阈值) 。 导羔妣州蛳 器乞 测车拣知 蛾 1 扰 激混 目键关 周防科学技术大学研究生院学位论文 a b s t r a c t b a s e do nt h ep h e n o m e n o l o g i c a lt h e o r yo fs e m i c o n d u c t o r s ，t h i sp a p e rw a sd e v o t e dt o s t u d y an e wm e c h a n i s mo fl a s e r d i s t u r b i n gp h o t o e l e c t r i c d e t e d o r s t h r o u g h s y s t e m a t i c a l l ya n a l y s i n gt h ep h o t o e l e c t r i cc h a r a c t e r i s t i c so fp h o t o v o l t a i cd e t e c t o r s ， e x t r i n s i cp h o t o c o n d u c t o r sa n dc c d s e r v i n gf o rt h et h e m et h a tw h e t h e rc h a o sa r t s e a n db o wc h a o sa r i s ei np h o t o e l e c hi cd e t e c t o r s ，s o l n er e s e a r c hw e r ec a r r i e do u ta s f o f l o w it h eb a s i cc o n c e p t so fc h a o sc o n c e r n e dw i t ht h et h e m ew e r er e v i e w e d b a s e do n t h es t u d yo ft h ea l g o r i t h m sf o rc o m p u t i n gl y a p u n o ve x p o n e n t sf r o md i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sa n de x p e r i m e n t a lt i m es e r i e s ，t h ec o r r e s p o m i n gf o r t r a nc o d e sw e r e m a d e r e s p e c t i v e l y t h ec o n c e p t s o fc a s c a d i n gn o n l i n e a rs y s t e m sw e r e i n t r o d u c e da n dt h er e l a t i o n so fl y a p u n o ve x p o n e n t sb e t w e e nc o m p o s i t es y s t e m a n di t ss u b s y s t e m sw e r eo b t a i n e dt h en o n l i n e a rd y n a m i c so fl a s e r sw e r e s t u d i e da n dt h e nq h ep r o d u c t i o no fc h a o sa sw e l la si t sp o s s i b l ea p p l i c a t i o n sw a s a n a l y z e d 2 ，b ya n a l y s i n gt h ep h y s i c a lc h a r a c t e ro fpr e g i o n ，nr e g i o na n dp nj u n c t i o ni n p h o t o v o l t a i cd e t e c t o r s ，t h ep h ) ，s i c a l m o d e l sd e s c r i b i n gp h o t o c a r r i e rt r a n s p o r t w a sp r o p o s e da n dt h ec o r r e s p n d i n gd y n a m i c se q u a t i o n sw e r eo b t a i n e dw i t h s u i t a b l ea l g o r i t h m sa d o p t e d ，t h ep r o g t a n l s ，m i l c ha r ea b l et o s t u d yt h e p h o t o e l e c t r i cc h a r a c t e ro fp h o t o v o l t a i cd e t e c t o r sg e u e r a l l ya n ds y s t e m a t i c a l l y ， w e r ed e s i g n e db yt a k i n ga d v a n t a g eo ft h eo p e nc i r c u i tb o u n d a r yc o n d i t i o n u s u a l l ya d a p t e dt op h o t o v o l t a i cd e t e c t o r sb a s e d0 1 1s u c hp r o g r a m s ，t h er e l a t i o n s b e t w e e nt h eo u t p u tr e s p o n s e sa n dt h em a t e r i a l p a r a m e t e r s o fp h o t o v o l t a i c d e t e c t o r s ，t h ed y n a m i ca n ds t a b l ec h a r a c t e r i s t i c so fp h o t o c a r r i e rt r a n s p o r t ，t h e r e l a t i o n sb e t w e e nt h eo u t p u tr e s p o n s e sa n di n c i d e n tl i g h ti n t e n s i t y ，t h e t e m p e r a t u r ee f f e c t s ，w e r es t u d i e d am e t h o d t oe l i m i n a t et h ei n f l u e n c eo f b a c k g r o u n dr a d i a t i o no np h o t o e l e c t r i cd e t e c t i o nw a sp r o p o s e d 3 t h eb a s i cp h y s i c a lm e c h a n i s mo fe x t r i n s i cp h o t o c o n d u c t m 。sw a si n v e s t i g a t e d ， a n di t sc o r r e s p o n di n gd y n a m i c se q u a t i o n sd e s c r i b i n gc a r li e rt r a n s p o r tw e r ea l s o o b t a i n e d t h ed y n a m i c sc h a r a c t e r i s t i c so fe x t r i n s i cd h o t o c o l l d u c t o f sw e r e t v 同防科学技术人学研究生院学何论文 e x p l o r e dw h e np e r i o d i c a l l ym o d u l a t e dl a s e ra sw e l la sc h a o t i cl a s e ra c t e do ni t 4 a c c o r d i n gt ot h eb a s i cp r i n c i p l eo fm o sd e v i c e ，t h ea n a l y t i ce x p r e s s i o n so f f u n c t i o nr e l a t i o nb e t w e e no u t p u ta n di n p u to fc c dw e r ed e r i v e d ，t h e ni t s v a t i o u sp h o t o e l e c t r i cc h a r a c t e r i s t i c s ( s e n s i t i v i t y ，s a t u r a t i o nc h a r a c t e r ，s m a l l s i g n a lc h a r a c t e r ，c r o s s t a l kt h r e s h o l d ) w e r eo b t a i n e d k e yw o r d s c h a o sl a s e rd i s t u r b a n c e p h o t o v o l l a i cd e t e c t o r e x t r i n s i c p h o t o c o n d u c t o r c c d v 国防科学技术大学研究生院学位论文 第一章序言 光电技术是现代军事中精确获取目标信息不可缺少的手段，装各有光电 探i i ( 伟i 导) 系统的各类武器因其命中精度高、杀伤力大而具有很大的威慑力。 因此，人们在设法提高光电探测系统特别是其敏感元件光电探测器的各种 性能和抗激光加固的同时，却在努力探索利用激光来高效牢地破坏和干扰光电 探测器的方法，这是因为破坏光电探测器或光电探测系统所需的激光能量大大 低于擢毁箨类武器本身所需的能量。激光使光电探测器失效的机制主要有f i l ： 利用光电探测系统本身的聚光系统将激光能量集中在光电探测器上，使其烧 蚀、炸裂或接线熔断等：激光加热光电探测器，使光电探测器性能下降或热 致盲p j ；对于依靠编码方式( 如调制盘) 跟踪的光电探测系统，利用相应的编 码技术调制激光来干扰光电探测器1 3 i 。 上述三种机制均有其特点，、要求激光器有较高的输出功率，而 要求预先知道目标的光电系统的调制方式和调制频率。实际上，所有的使光电 探测器失效的机制均会对激光的能量或功率有一定的要求，较低的阈值往往意 味着较低的激光功率或更远的作战距离。而在光电探测器的各种失效机制巾， 激光干扰( 所有使光电探测器暂时失效机制的总称，如、) 的阈值最低且行 之有效，因此，探索一种更低阚值、更高效率的激光于扰光电探测器的新机制 是人们所期望的和非常有价值的工作。于是，混沌在众多领域的发现及由此而 来的研究热潮，特别是激光i | i 和非本征光电导混沌现象引起了人们极大的兴 趣。 1 9 6 3 年，美国人气物理学家el o r e n t z 6 i 在研究其大气模型时，发现了混 沌，这种d ：l 确定性方程产生的随机现象的一个重要特征是运动轨道对初始条件 的极端敏感。t t - ，初始条件失之毫厘，运动轨道差之干旱。正如所有超越常规的 新理论、新现象难咀被人们接受样，l o r e n t z 的最初发现并没有引起人们多 大的兴趣，直到1 9 7 0 年，库恩科学革命的结构一书的出版，对混沌理论 的发展起了推波助澜的作用。此后，经过h e n n o n i ”、r o s i e r l 8 1 、m a y ”、 f e i g e n b a u m i ”】、r u e l l e ”、郝柏林l ”】等大批学者的卓越贡献，促使了- t 1 新 学科一混沌学的形成。混沌理论的建守被广泛认为是继相对论和量子力学之 后，= fi ! l i e 的又一次科学革命。它通过各种各样的时空尺度提供了各学科的 第1 贾 丽防科学技术大学研宄生院学何论文 共同点，其影响已经波及自然科学的各个领域。 混沌理论认为，混沌现象广泛存在丁许多非线性系统巾。从严格的意义 上说，自然界中的一切现象都是非线性的。所谓的线性，只是一定参数范围内 较好的简化和近似。一些自然现象也远比人们所作的数学捎述要复杂，所作的 一些数学椭述也往往是针列理想化的模型而得到的，因此可以说混沌是自然界 的普遍现象。事实上，在混沌理论逐渐完善和深入的同时，j 。泛存在于自然界 各个领域的混池也被纷纷发现，如：浅水波的强迫振动，非线性电路巾的分频 与混沌现象，光学混沌，湍流，固体物理中的混沌，化学反应r 1 1 的b c l o u s o v z h a b o t i n s k i i 反应，超声波的空化噪声，射频驱动的约瑟夫森。p 的反常噪声乃 至经济n 勺波动，大脑的脑电等等】，其t - 特别值得指出的是激光混沌和非本征 光电导的混沌。 1 9 7 5 年，h h a k e n “1 在建立激光器半径典理论的基础上研究激光的动力学 特性时，发现简化后的激光器( 单模、行波、均匀加宽) 的动力学方程和l o r e n t z 的大气模型方程竟然在形式上完全一致，这意味着激光象l o r e n t z 所研究的大 气一样，在适当的参数范隔内也能出现混沌输出，激光器的混沌现象通过实际 中发现的激光器输出的不稳定性无规则的尖峰脉冲得到了证实。 1 9 8 3 年，t e i t s w o r i h ”5 1 等人建立了非本征光电导载流子输运的理论模型， 当将这利，冷却在液i i e 温区的远 i 外探测器的偏胃电流作周期调制且蛹制频率 和调制幅度达到定穰度时，非木征光电导出现混沌现象，随后，他们在实验 e 得到了完全一致的结果。 i h a k e n 和t e i t s w o r l h 的结论使人们产生了极大的兴趣，曾被认为是“引 起半导休红外光电探测器失效的种新机制” 1 6 1 ，因为一邑光电探测器 _ 现混 沌，一方面是其输出相当于噪声，无法得到可靠和确定的输m 结果；另一方面 出下混沌具有初值敏感性，某一时刻受到的f = e 何微扰会导致若下时刻后运动状 态的根本改变，而任何实际的物理系统总是处于微扰和涨落的环境中，其初始 条件| e q 精确度出总是有限的，这就意味着山现混沌嗣光电探测器的输出结果是 完全不可f 言的。 尽管调制编置电流能使非本征光电导出现混沌，但真正算得 二激光干扰 光电探测器的新机制的是仅依靠激光而不依靠探测器自身参量变化出现的混 沌。因为在实用巾，仪能利用激光作用j 刘房的毙电探测器而不可能改变探测 器的参数，况月，刘方不仅不会使自己的光巾- 探测器h 现混沌，还会尽量避免 有助于使光咆探测器产生混沌输出的各种因素。既然调整非本征光电导偏置电 笫2 受 国防科学技术大学研究生院学何论文 流的参数能使之出现混沌，那么调整激光参数是否也能使非本征光电导以及光 伏型探测器，c c d 出现混沌? 在什么条件下才能出现混沌? 本文的主要目的就是回答这二个问题：作为基础和工具，第二章对有关 混沌的一些基本概念作必要的概述之后，着重研究l y a p u n o v 指数的计算、复 合非线性系统和激光非线性动力学。第三章研究激光与光伏型光电探测器的作 用，从建立光伏型探测器载流子输运的动力学模型着手，编制了一套能全面地 研究光伏型探测器光电特性的程序，并在该程序的基础上，探讨考虑所有物理 量的可能变化，光伏型探测器对激光输出响应的稳定性。第四章在t e i t s w o r t h 所作工作的基础上着重研究不同参数的调制激光和混沌激光与非本征光电导的 作用。第五章研究激光与c c d 器件的作用。 第3 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 2 】 1 3j 【4 】 【5 】 【6 【7 f 8 f 9 1 0 【14 】 【15 】 f 6 】 1 1 7 1 【i8 】 f 1 9 1 【2 0 】 参考文献 陆启生，曾雄文等，“光电探测中的非线性过程”，1 9 9 6 年激光的热和力学效应 学术会议，浙江宁波 刘常龄，袁永。# 等，“激光对红外探测器的不同j j | 热率产生的致盲效果”，1 9 9 6 年激光的热和力学效廊学术会议，渐江；2 波 刘常龄，袁永华等， y a g 激光对红外制导系统的定向干扰”，1 9 9 6 年激光的热 和力学效应学术会议，浙江j 波 cow e i s s ，rv i l a s e c a ，“d y n a m i c so f l a s e l s ”，v c hp u b l i s h e rl n c ，n e w y o r k ( usa ) swt e i i s w o r t h ，r m w e s t e r v e l t ，e e h a i l e r ，p h y s i c a lm 、1 i e wl e t t e r s ，v o l5 i ，8 2 5 r 1 9 8 3 ) enl o r e n t z t ，a t m o s p h e ，i cs c i ，2 0 1 3 0 ( 1 9 6 3 ) m h e n o n ，( r ”7 7 7m o t h ， 】g ，5 0 6 9 ( 1 9 7 6 ) r o s s l e r ，p m * f c sl e t t e l w ，a 5 7 ，3 9 7f 1 9 7 6 ) r mm a y ，n o t w 。e 2 6 1 ，4 5 9 ( 1 9 7 6 ) m 3f e i g e n b a u m ，js t a rp h v s 、9 ，2 5 t 1 9 7 8 ) mjf e i g e n b a u m ，s t a r p h y s ，2 2 ，1 8 6 ( 1 9 7 9 ) mff e i g e a b a u m ，i h y s i c sl e t t e r s a 7 d - 3 7 5f 1 9 7 9 ) dr u l l e ，r r n k e n s ，c o m mm a t h ，u ，2 0 t1 6 7 ( 1 9 7 1 ) d r u l l e ，r f a k e n s ，c o m mm a t h ，f j s ，2 3 3 4 3 ( 1 9 7 1 ) 郝柏林物翠笋趔* 黾3 3 3 0 ( 1 9 8 3 ) 郑体谋，郝机林，彩甥笋屉，i o ，3 t 6 ( 1 9 9 0 ) i i 1 3 s l e w a t l ，j m ，t h o m p s o n ，“n o n l i n e a f d y n a m i c sa n d c h a o s ”，w i l e y ，c h i c h e s t e r ( 9 8 6 ) hh a k e n ，p h j w i c s l e t t e r s ，a 5 3 ，7 7r 1 9 7 5 ) rm w e s t e r v e l t ，s w ，t e i t s w o r l h ，a p p lp h y s ，2 0 ( 5 7 ) ，5 4 5 7 ( 1 9 8 5 ) 蓑暴讯，哼1 国激光a 2 3 ( 3 ) 2 2 9 ( 1 9 9 6 ) 锥4 负 囝防科学技术大学研究生院学协论文 2 1 l 奇怪吸引子 第二章混沌 2 i 基本概念旧 在统计物理中，刘维定理指出1 4 i ，保守系统在相空问运动过程中始终保持 体积不变，而列耗敝系统来说其相体积要逐渐收缩。至1 ：如何收缩及收缩程 度如何，向然与系统的性质仃关，如：有的收缩爷一不动点( 稳定定态) ，有的 收缩到闭曲线 ：( 极限环) ，有的l 发缩到二维或二绗以 ：的环厮上等等。人们称 这些时问足够长后，系统肴斜日空间叫l 所趋向的有限区域为吸引予mq ，昆然， 吸引子是不随时问变化的几伺休，其附近的轨道都要趋于它。 然而，f ：述情况只是过去人们熟知的普遍情况，混沌运动的吸引子与此 完全不同。对于耗散系统的混沌运动，存在着看来似乎相反的_ 个过程：一方 而是耗散作用使轨道收缩，另一方而轨道又要相瓦分离。由_ 丁j 收缩是由方程自 身决定j _ j 勺f 存在耗散项) ，因此，对相空间的整体来说，它要使远处的轨道趋向 于有限的范| = 1 ；| 内( 吸引子) 而对相空f f i j 个体某一点附近的性质来说，其靠近的轨 道又要相互排斥而分开，这样就使所有轨道集中在相空间巾的有限范阐内，靠 拢又分卸：、分丌又折叠靠拢，无数次的来回折替就形成了复杂的混沌运动。仔 细观察利分析可以看出，混沌的吸引。t - 与前述的普通吸引子有以下几点显著差 别： ( 1 ) 从整体上说，系统是稳定的，即吸引子外的一切运动展后都要收缩到 吸引子_ j ：，但就局域来说，吸引予内的运动又是不稳定的相邻运动轨道相互 排斥。 ( 2 ) 混沌态的吸引子不定填满某有限区域而往往具有一些或大或小的 空隙或空洞，使吸引子具有无穷层次的自卡阿似结构。 f 3 ) 与不动点，极限环利高维环不同， ；断的分开和折餐使混沌吸引子卜 的运动依赖于初始条什，即初始条件的不同，则同1 吸引子的轨道截然不同。 山于以：一些特点，混沌吸引子被称作奇怿吸引子，以有别于前述的普 第5 甄 国防科学技术夫学研究生院学位论文 通( 简午1 吸引子。针对上述奇怪吸引予的特点，爱使轨道在有限的相体积内不 断地靠拢、折叠、分丌而又永远不相交，则只有当相空问的维数大于3f f 寸才有 这种可能。当相空问为维时，吸引了只可能是不动点：为二维时，吸引予只 可能是极限环或不动点。冈此，剥，：任何微分方程确定的动力学系统，只有当 方程的自由度不小于3n 4 j 有出现混沌的可能。 吸引子是出现在相窄问中的，在得到多个动力学变量时间序列的情况下， 相空间和吸引了的构造是很简单的。但存实验过程巾，有时候只便于对个变 量进行测量，这就需要借助相空问重构的方法柬得到相应的吸引子，即适当地 选取一时阀延迟最兀取x f m ，0 + 力，f 舛( 1 ) 7 为 i 维相卒问轨迹点的 出标。j h 窄问蕈构法虽然是用个变量存不同时亥f f f l , j 值构成相卒问，但动力系 统个变量的变化自然跟此变量与系统其它变晕n 勺相互作用有关，即任何一个 变量随时问的变化隐含着整个系统的动力学协! 律，因此重构和空问的轨线【包反 映系统状态的演化规律。 2 i2 功率谱 由前而列奇怪吸引予的分析可见，当系统处于混沌状态时其运动大体上可 以看成是由二种运动所组成：从整体i 看，系统是在绕一些大的空洞周而复始 地运动，这利t 运动近似地是周期的，并有平均周期：但实际上系统同时在绕 无数大大小小的空洞运动，这种运动自然就要具有随机忭。所以，在混沌状态， 系统既不是作规则运动，但也不是象噪声那样壳令杂乱兀章，反映在功率谱上 便是连续谱 ：还迭 f 1 了具有一定宽度的线状满，根据此特征，可以f 打功率谱来 判别一个时间序列是完全随机的、周期的还是混沌的。 对于一个f l 寸问序列x 例，其功率谱由其自桐关函数的f o u r r i e r 变换定义： 1肭 s ( c o ) = 寺i 。c ( 咖d r ( 1 ) 7 2 c ( f ) ，l i m - - _ r 1 。( 删( f + f ) d r ( 2 ) 2 式中文。) 为功率谱密度，r 是时问的移动值。( ，( r ) 为x ( f ) 的自相关函数，表 示两叫亥l l ( t 羽i ，+ r ) 运动的相互关联和相似的程度，当x ( ，) 的幅值一定时，c ( r ) 第6 兜 国防科学技术大学研究生院学何论文 越大，x ( i r ) 与x ( f ) 越相似。对于具体求解时间序列的功率谱来说，直接由上 述定义是比较繁琐的，常用的方法是将由n 个数据确定的时间序列f x 作快速 f o u r r i e r 变换，得到其系数 然后汁算以= 吼7 + “2 ， | 若干组f _ 得到若干 一 ，求其平均后即趋近于由 定义式给出的研。) 。 21 3l y a p u n o v 指数 通过求功率谱，可以定性地判断一个n - j 问序列是周期的、完全随机的还 是混沌的。但对于二：个同样处于混沌状态的动力学系统，如何标识混沌运动之 问的差别，则还需要一令定量化的指数。由于初始条仆的敏感性是混沌的一个 显著特征，丁是人1 1 1 弓f 入表征轨道分离快慢程度的长时问的平均值- - l y a p u n o v 指数。 设系统的运动用下述自治力程表示： j ，= e ( x l ，。，。)i = 1 ，一，n( 4 ) 又设它有定态解x 0 0 l o 一2 0 ， ，。) ，令 x ，= x 0 + j x ， i = l ，一，”( 5 ) 为刖近的另一解，将( 5 ) 式代入( 4 ) 式后，得到 警= 缸x o x ， 矩阵 k ( h ) - ( 竽) 、 ( 7 ) d x 称为l y a p u n o v 矩阵。根据线性稳定性原理”1 ，只要l 。有一个本征值的实部大 第7 页 砒一埘一 ，一一 嘶 以 国防科学技术大学研究生院。等何论文 于0 t 如就会呈指数发散 6 x ，= 出，。p “ ( 8 ) 这意味着空问任意：相邻轨道将按指数分离。对于混沌运动l a p u n o v 矩昨 存在萨实部特? h ：根恰是其特符，冈为这时轨道随n 寸问的迅速分离表明混沌运动 不具有轨道稳定r f ，而臼列初始条件极端敏感。 虽然l y a p u n o v 矩阼的本征值的正实部的大小可以定量地表征相窄问二靠 近点之问的距离按指数增加的快慢程度，但它， 具有局域特征，不能说明沿轨 道长时问结果，因而不能直接定义为1 , y a p u n o v 指数，l y a p u n o v 指数应定义为 长时间( t o o ) 的以甲均变化： 砸班脚1 n 矧 ( 9 ) 在n 维干n 空问中，j x 是n 维的，i 刮而x 应有n 个值，就耗散系统来说， 这n 个 值之和总是负的。对于任何吸引予，由吸引予的定义可知必有个 是负的，对丁混沌，则至少有一个 是萨的，若奇怪吸引予有二个或_ 1 个以l 的l y a p u n o v 指数大_ 丁0 ，则定义为超混沌肾”l 。网此只要求系统的最大 l y a p u n o v 指数，看它足否为j 下，就可以判断吸引子是否为奇怪吸引子。 2 2l y a p u n o v 指数的计算 d j 前所述，l y a p u n o v 指数是混沌运动定量化的一个重要指标一个时间 序列、组动力学方程是否混沌，l y a p u n o v 指数足有效、可靠而客观的判据 特别是对1 二不同的混沌运动的区分l y a p u n o v 指数更是不可替代的。因此， 对于探讨激光与光电探测器作用r 1 1 的混沌现象来说，l y a p u n o v 指数的计算是 必不可少的。 时间序列i 律山已知的动力学方程确定或口f 实验结果给 | ，由动力学方程 给出的时问序列是连续的，而由实验数据确定的时问序列是离散的，因此直接 由定义式来计算实验数掘的l y a p u n o v 指数屉不可行的，因为有关l y a p u n o v 定义的各式均建讧在确定方程的慕刊l j ：。 第8 哑 国防科学技术人学研究生院学何论文 2 2 1 由微分方程计算l y a p u n o v 指数 从理论上蜕，计算l y a p u n o v 指数可以按其定义追迹微扰出，对于混沌 以( f ) 是随时间增加而增加的，在f 较大时6 x ( t ) 将不能再被当作一微扰，于是 由一阶近似得到的( 6 ) 式不再成立。因而应采取分步方式，即对于足够小的一 z 2 恕驯器名丽5 x ( n - 1 ) r ) r ) | j ( 1 0 ) wi ( o ) 缸( r ) 缸( 研一1 ) r ) l 。 在实际计算中，往往采取与方程( 6 ) 等效的变分方程的形式，因为对于考 察初始微扰的长期演化过程来说，变分方程在数学形式更为直观、方便。 设x = 吐( x 0f 。) 是方程 量= f ( x ，) x ( t 。) = x 。( 1 t ) 的解，则 出一以以( o ，f ) c ( 1 2 ) 令巾，( ，“) = o x o ( b t ( x o ，t o ) ，则有 5 x = 中f ( x o ，“) 5 x o ( 1 3 ) 上式表示初始时刻点处的微扰出。经过r 时问后变成以。可见只要能确定 中。( ，f 。) ，( 1 0 ) 式中的 也就相应地得到求解。 事实上，将x = 以( ，“) 代入方程( 1 1 ) p 炼( x o 鬈溉x 0 “x d ， 谚。，。) = ”v 对( 1 4 ) 式二边求x 。的微分后，得到 q o ”“于( b 鬈j ? 尹“r 0 )(15)x l西o ，f 0 ) = ， ” p 拈，) 是m ，0 的雅可比矩阵，各矩阵元是x 的函数，而x 由( 1 1 ) 式确定，因此 第9 页 国防科学技术大学研究生院学仲论文 只要将动力学方程( 1 ) 与线性微分方程组( 1 5 ) 联立，即可求得中；( b f 。) 。 同1 由微分方程计算l y a p u n o v 指数辑序设计的、栩略框图 一卜述整个求解过程f 见图1 ) 可作如下简化表述：由于l y a p u n o v 指数被定义 为相邻轨道的发散度，由此可以根据吸引予轨道的初始微扰( 以吸引子轨迹为 中心、半径为歇。的体积元) 的长期演化过程柬进行讨算。对于n 维相宅闻，在 吸引子轨道上建立一个n 维的正交坐标系，在各坐标轴 = 取一个在计算机精度 许可范围内尽可能小的初始微扰，坐标原点遵循动力学方程( 1 4 j ，即坐标系随 着吸引子的轨迹运动，由于微扰为小量它的变化规律由流的线性部分( 方程( 1 5 ) ) 确定。随着时问的演化，因非均匀流的形变作用各方向上的微扰增氏速度会不 一致，某一个方向上的优势增长将使所有轴的切窄问取向变得无法分辨。此外 随着时间的演化微扰不断增大，而上述算法的基本要求是微扰必须保持为相对 小量，这二个问题得用矢量框架g r a m s c h m i d t 重整化过程f g s r ) 来解决。 即在( 1 0 ) 式所示的分步求解过程中，每步求得的曲都应进行如下操作： 第1 0 觅 国防科学技术大学研究生院学位论文 令舐= ( g x 一一，万x 。) ( i x2 陋x ： 王1 ) j i i ) “ e = 苦杀矧等等篡褊 ( 1 6 ) 上式中 表示求内积。将g s r 后6 i = ( 西、，氓) 作为下 步的初始微扰 如此循环往复，直到累积_ 甲均后所得的l , y a p u n o vj b 数收敛到一同定值。 2 2 2 由实验结果计算l y a p u n o v 指数i ”“1 对于实验数据的l y a p u n o v 指数的计算先用相空问重构法来得到相应的吸 引子，然后采取与由微分方程计算l y a p u n o v 指数相类似的方法来求解，这涉 及到吸引于的重构、使微扰保持尽可能小的尺度、使用必要的g s r 方法等等， 但是由实验数据往往只能求解其最大t ，y a p u n o v 指数，而不能象由微分方程计 算l y a p u n o v 指数样得到所有的l y a p n n o v 指数。事实i ：，从前而商哭i , y a p u n o v 指数的概念不妨肴 忆列丁吸引了柬说，摄有意义、人们最关一d 的便是最大 l y a p u n o v 指数。 图2 微扰的演化和替换示意图 分析l y a p u n o v 指数需要“一对干好邻的轨道，虽然实验数据得到的是单条轨 道，但可以通过在时间序列中选择与考察点桶筹一个轨道阁期左右的点集作为 另一+ m l 问序列来建立另一条吸引了轨道作为参照轨道( 如图2 所示) ，从参照 第1 l 页 l i i 一万 旦盼堕帆i f ( 一( 国防科学技术大学研究生院学何论文 轨道上选取与考察点空问距离尽可能小的数据点作为参考点，该两点之间的空 间距离便定义为初始微扰( l q 。) ) 。参考点沿参照轨道、考察点沿基准轨道经过 一个时间步氏厉该二点的空间距离就是演化后的微扰( l ( f ，) ) ，在得到基准轨道 各考察点、l 的罐础上即可求得l y a p u n o v 指数： a ：1 _ 等1 n ，盟f 17 ) f 一f o w - , l ( t ) 为了始终保持微扰为小量，演化后的微扰l 4 i 能作为下一个时间步长的 初始微扰，必须进行类似“g s r ”的替代过程：通过在与演化后微扰相同的方 向从参照轨道中选取新的参考点，使之与演化后的考察点( f 。) 构成下一利问步 挺的初始微扰( ( ) 。但由于实验数据的有限，坷；可能完全得到在指定方向上 使初始微扰线度无穷小的点，当然，对r 实验数据柬说，由于噪声的介入，无 穷小线度是没有意义的，只能存保留方向误差( 口) 尽可能小和使初始微扰线度 尽可能小之问达成利一折衷。 卜丽谈及r 从实验数据巾求解l y a p u n o v 指数的基本原碑，存具休求解过 程中很多细节渚如：重构吸引了的维数和延迟时问、州问步长、初始微扰的大 小、噪声的影响、州f r j j 序列数据量的要求等非常蕈要，下而在综合各文献的绎 验总结的基础l ，逐一予阱简述。 i 。重构吸引子的雅数所和延迟时间r从原理l 讲，我们可以仟意地选取 足够大的一t 和r ，但在实际计算巾往往发现m 和r 还是得有所选择，若选取 不当，会影响讣算结果的精确度和可靠性。一般地说，1 1 1 尽量选取较小的值有 利于得到更为精确和可靠的l y a p u n o v 指数( 列下l o r e n l z 类型的吸引了来说，一 般墩， = 3 ) 。如果选取过大 贝0 数据点的仡 日审问巾的密度会降低，而噪声是 无穷维的能填充吸引予的每一维，因l l t ；j 旦人地选取”，会导致信噪比的降低。 i i ：k 0 l - ，增加 ，还会使吸引了的表而小 家加人从而在进行微扰替代喇会使f ( f ) 与l i ，) | | | 勺角度偏差口足够小的约束难以满足。但1 1 1 也不能取得太小，否则就 会使i 吸引了巾术来分，1 ：的点存相字蚓t p 重合交叉，以致与基准点距离很大的点 在计算巾被误认为是参考点，从而造成很大汁算误筹。 选取合适的r 列丁f 避免求解过程巾的不稳定性来说是非常必要的，若r 取得过小，就会使吸引予沿着相空间的“角平分线”( x = 力展开，一般地， 取mr 大约为一个轨道周期。 第l2 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 2 时间步长 使h - j 问步长尽可能地长是比较理想的，它一方面能减少替代的次数使 角度的累积偏差减小：另一方面又能减少汁算量。但时问步长过大又会使体积 元增长过快，从而m 现弯f f 和折叠，其不良影响类似于聊偏小的情形。一般 说来，时闸步跃为1 2 到3 2 个轨道周期往往能求得比较稳定可靠的l y a p u n o v 指数。 3 。初始微挽的大，j 、 前而提到，由于数据景的有限，存微扰替代过程- l 】使初始微扰工f ，) 尽可能 小和角度偏羞目尽量小之间必须达成一种折衷。方而较小的初始微扰长度可 以使允 , q ：f l q 时问步长变氏，从而减小角度偏差的积累和计算量，当然初始微扰 长度的最小值总是受到数据最的限制的，f h 另方而初始微扰鲢度过小，又会 使测量h 桑声剥计算的不良影响增大。已经讯明，只要所取的初始微扰长= 度和混 沌的特缸尺度相接近，则同样可以高精度地得到无限小微扰近似f 的l , y a p u n o v 指数值。 4 噪声的影响 物理系统1 - 的噪声分测量噪声和动力学噪声，测量噪声是由测量系统的 分辨率低、清晰度不够造成的，测量噪声不会影响李氏指数的确定性( 可蘑复 性) ，只要初始微扰的线度比噪声的特钲线度大就能有效地避免测量噪声对汁 算结果的影响：动力学噪声是d 系统的参数波动造成的，严格说来，在动力学 噪声的影响下不会有确定的l y a p u n o v 指数，但是通过取定动态范围内的甲 均值可以得到具有低噪声系统特征的l y a p u n o v 指数。 s 擞据量的要求 对于精确的l , y a p u n o v 指数的计算，除了要求数据具有一定的精度之外还 要求具有一定数目的数据量。对数据量的要求主要山以下三个因素确定：j 提 供足够的参照点所必需的数据量；2 必需的参照轨道数目；3 为重构吸引子 每个轨道所需要的数据点的数目。 通过分析和估算得出：填满d 维吸引子、提供足够的参照点，需要1 0 。- - 3 0 。 个数- 掘! i ；硼j 确得到l y a p u n o v 指数所需的轨道数为c “，d 为吸引子的维 同防科学技术人一羊研究生院学位论文 数c 为常数，是一个系统相关的量，与吸引了的结构有关，一般地c = 1 0 1 0 0 每个轨道必需的数据点的数目为d ，取、的乘积得到d x1 0 - 。d 1 0 。 由于以k _ - - 个要求均得满足，因此取最大的一个为精确i 十算l y a p u n o v 指数所 要求的数据最，对于维数小于1 0 的吸引子柬说数据量至少要1 0 d 3 0 “。 陲i3ij 1 实验数据计算最人l y 8 p u n o v 指数稃序设计的糨略框图 整个计算过程可综述如下( 见同3 ) ：计算一丌始就搜寻吸引了轨迹点中离 第一个点最接近的点，当然，不考虑那些与之距离小于最小阁值的点( 程序中 记为s m n ) ，汁算这_ ：个点在相空m 中沿吸引_ i 了：轨道经过一个叫问步长后分丌 的距离，然后山( 17 ) 式，取演化前后二点距离的比值的对数再剥各叫问步长求 平均值即是最夫l 3 ，a p u n o v 指数。在替代演化后的微扰t l , j ，茼先计算各参照点 到考察点的距离，选取那些距离小 最大阀值f 记为s m x ) 坦又大于s m n 的点， 考察这些点引起的角度偏差0 是否小j j i 允许的最人角度偏差( a n g ) ，若不j ：一 个点满足该条什则取角向误差最小的点为符代点，如果没有满足该条 ， ：的数据 蔚l4 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 点则放松限制：将s m x 增大一倍或数倍后，再重复上述挑选过程，甚至有必 要的话也可适当放宽a n g 限制。如果此时还找不到合适的点，则说明该演化 后的微扰不必替代，可以直接作为下一步求解的初始微扰。这些过程不断重复， 直至基准轨道豹终点。 2 3 级联非线性系统 现实的物理系统总是非线性的，同时也往往是开放的，总要受到其它物 理系统的作用和影响。考察二个非线陛系统若其中一个系统作用于另一个系 统而另一个系统却不作用于该系统，则称这样的二个系统为级联非线性系统 1 1 6 1 ，其中施加作用的子系统为驱动系统，被作用的予系统为响应系统。这样， 响应系统的动力学性态就不象独立的非线性系统那样完全由其本身的动力学方 程确定，而是必然涉及驱动系统。 假设驱动系统的动力学方程为( q 绯) 毫= ( x i ，心，x 。) j 2 。2 ( 。t ，。2 ，。v ) t_- j 。= 丘( 葺，t ，) 其中它输出给响应系统的驱动信号为阢。，z 。) ，与响