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安徽大学硕士学位论文：基于抛物线方程的电磁散射及传播问题的研究 摘要 摘要 抛物线方程( p e ) 是波动方程的一种近似形式，它假设电磁波能量在沿着 抛物线轴向的锥形区域内传播。初期该方法主要用来处理比较复杂的声波的传播 口j 题和光学等方面的问题。日前，抛物线方程算法作为电磁计算中的一种数值方 法，正逐步成为联系严格的数值方法如矩量法、时域有限差分法和高频近似法如 射线跟踪、物理光学法的桥梁。利用抛物线方程算法可以克服这些数值方法计算 时间较长或对计算机内存要求过高的缺陷，同时又可以克服高频近似法结果误差 较大的缺陷。 本论文对抛物线方程算法在电磁波的散射和传播计算中的应用进行了深入 系统的研究，具体开展以下诸方面的工作： ( 1 )对p e 算法的理论进行细致推导，包括二维标准抛物线方程、二维后 向标准抛物线方程、三维标准抛物线方程、矢量抛物线方程，在标准 抛物线方程的基础上对p e 算法中伪微分算子的展开用最小二乘法进 行改进，使得计算精度进一步提高。 ( 2 )对用于p e 算法二维和三维的问题的吸收边界条件( 基于复坐标系的 完全匹配层) 进行深入的分析和推导，使其既能用于散射体的r c s 计 算，又能处理无界空间的不同入射角的电磁传播问题。 ( 3 )利用吸收边界条件，计算几种典型散射体的r c s ，包括后向r c s 的计 算，以及通过旋转抛物线轴向技术计算更大范围的双站r c s ，并计算 了多体及三维散射体的r c s ，验证了p e 算法的有效性。 ( 4 )对不规则地形上的电波传播问题进行精确的仿真，采用阶梯近似及坐 标变换方法对地形表面进行建模模拟，利用p e 算法计算了典型地形 传播问题的电磁场分布，分析了p e 算法的优越性，为今后移动通信 小区的电磁传播及近场分布模拟计算建立平台。 抛物线方程方法的研究为散射目标的计算和雷达、天线的设计提供了一种重 要的理论依据，对于提高雷达对目标的识别和判断能力，提高目标的生存能力及 室墼苎兰堡圭兰壁笙苎! 苎三塑塑垡立堡兰皇壁墼墅丝堕堡塑嬖塑旦窒翌兰 隐身技术、反隐身技术的研究，以及对目标雷达探测、e l 标识别和蜂窝小区通信 网络的建设规划都有重要意义。 【关键训】；抛物线方程算法，电磁敖射，雷达敏射戡面，电破佑播，旋转抛物 线方程方法 安徽太学硕士学位论文：基于抛物线方程的电磁散射及传播问题的研究 a b s t r 酆- t a b s t r a c t t h ep a r a b o l i ce q u a t i o nm e t h o d ( p e ) i sa l la p p r o x i m a t i o no ft h ew a v ee q u a t i o n ， w h i c hm o d e l se n e r g yp r o p a g a t i n gi nac o n ec e n t r e do i lap r e f e r r e dd i r e c t i o n ，t h e p a r a x i a ld i r e c t i o nt h ep a r a b o l i ca p p r o x i m a t i o nw f l si n t r o d u c e dt ot r e a tt h ep r o b l e m s o fp r o p a g a t i o no fs o u n dw a v ea n do p t i c s i nr e c e n ty e a r s ，i tw a sr e a l i z e dt h a tp e m e t h o dm a ya l s ob ea d o p t e da sam t m e r i c a lm e t h o do fe l e c t r o m a g n e t i cf i e l d c a l c u l a t i o n , b r i d g i n gt h eg a pb e t w e e nr i g o r o u sm e t h o d sl i k e t h em e t h o do f m o m e u t s ( m o m ) o rf i n i t ed i f f e r e n c et i m ed o m a i n ( f d t d ) ，w h i c hs o l v em a x w e l l s e q l m f i o n se x a c t l y , a n da s y m p t o t i c a lm e t h o d sb a s e do i lr a y - t r a c i n go rp h y s i c a lo p t i c s u s i n gp em e t h o dc a l la v o i dt h ep r o b l e m so f t h e l i m i t a t i o no f c p ut i m ea n dm e m o r y r e q u i r e db yt h e s er i g o r o u sm e t h o d s i tc a l la l s or e d u c et h e e r r o rc a u s e db yt h e h i g h - f x e q u e n e ya p p r o x i m a t i o n t h i st h e s i sm a i n l yf o c u s e so i lt h ep ea l g o r i t h m sa p p l i e dt ot h ec o m p u t a t i o no f e l e c t r o m a g n e t i cs c a t t e r i n ga n dp r o p a g a t i o np r o b l e m s t h em a i nw o r k sa l el i s t e da s f o l l o w s ： 1 t h ep a r a b o l i ce q u a t i o na l g o r i t h m sw e r gd e d u c e dr i g o r o u s l y , i n c l u d i n g t w o d i m e n s i o n a ls t a n d a r dp a r a b o l i ce q u a t i o n , t w o - d i m e n s i o n a l ( 2 - d 、b a c k w a r d s t a n d a r dp a r a b o l i ce q u a t i o n ，t h r e e - d i m e n s i o n a l ( 3 - d ) s t a n d a r dp a r a b o l i ce q u a t i o na n d r c e x 3 t o rp a r a b o l i ce q u a t i o n b a s e do i ls t a n d a r dp a r a b o l i ce q u a t i o n , t h ee x p a n s i o no f p s e u d o - d i f f e r e n t i a lo p e r a t o ri si m p r o v e db yt h e l e a s ts q u a r e a p p r o x i m a t i o n t h e a c c u r a c yw a sf l l r t h e ri m p r o v e d 2 t h e2 - da n d3 - da b s o r b i n gb o u n d a r yc o n d i t i o n s ( p e r f e c t l ym a t c h e dl a y e r ( p m l ) b a s e do nc o m p l e xc o o r d i n a t es t r e t c h i n g ) w e r ca n a l y z e d a n dd e d u c e d s p e c i f i c a l l y t h e yw e r en o to n l ya p p l i e dt ot h ea n a l y s i so f e l e c t r o m a g n e t i cs c a t t e r i n g ， b u ta l s oe m p l o y e dt oi m p l e m e n te l e c t r o m a g n e t i cw a v ep r o p a g a t i o np r o b l e m si n u n b o u n d e ds p a c e 3 t h ep ea l g o r i t h m sw e r eu s e dt oc o m p u t et h em o n o s l a t i ca n db i s t a t i cr a d a r c r o s ss e c t i o n ( r c s ) o fs o m es t a n d a r ds c a t t e r e rw i t ht h er o t a t i n gp em e t h o d ， i n c l u d i n gt h eb a c k s c a t t e r i n gr c s 。m u l t i p l es c a t t e r i n ga n d3 - d s c a t t e r e r sr c s 4 r a d i ow a v ep r o p a g a t i o no v e rt h ei r r e g u l a rt e r r a i nw a se m u l a t e da c c u r a t e l y 安徽大学硕士学位论文：基于抛物线方程的电磁散射及传播问题的研究 a b s t r a c t u s i n gt h ep em e t h o d t h es t a i r c a s ea p p r o x i m a t i o na n dc o o r d i n a t em a p p i n gm e t h o d s w e r ep r e s e n t e dt ot h ea c c u r a t em o d e l i n go ft h ei r r e g u l a rt e r r a i n t h ep ea l g o r i t h m s w e eu s e dt oc o m p u t et h ee l e c t r o m a g n e t i cf i e l dd i s t r i b u t i o no ft y p i c a lt e r r a i n ，w h i c h p a v et h ew a yf o rd e v e l o p i n gt h ep l a t f o r mo fe l e c t r o m a g n e t i ca n a l y s i so nt h ef i e l d d i s t r i b u t i o no f m o b i l ec o m m u n i c a t i o n t h er e s e a r c ho np em e t h o do f f e r sa ni m p o r t a n ta c a d e m i cf o u n d a t i o nt od e s i g n r a d a ro ra n t e n n aa n dc a l c u l a t et h es c a t t e r e r i ti so fg r e mi m p o r t a n c ei nm a n yr e s p e c t s ， s u c ha se n h a n c i n gt h ei d e n t i f ya n de s t i m a t i o no ft h er a d a r , s t r e n g t h e n i n gt h ev i a b i l i t y o fo b j e c ta n dr e s e a r c h i n go nt h es t e a l t ha n da n t i s t e a l t ht e c h n o l o g y , r a d a rd e t e c t i n g ， r a d a rt a r g e tr e c o g n i t i o na n dt h ep l a n n i n go f c e l l u l a rm o b i l et r a f f i cn e t w o r k 【k e yw o r d s ：p a r a b o l i ce q u a t i o nm e t h o d ，e l e c t r o m a g n e t i c s c a t t e r i n g ，r a d a rc r o s ss e c t i o n ，r a d i ow a v ep r o p a g a t i o n ，r o t a t i n g p em e t h o d 4 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师福寻f 迁行或研充工作及取哿的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包台其 他人已经发表或撰写过的研究成果也不包合为获4 芝蛰缸点唯或苴他教育机构 的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同专对本研艽所做的任何去献均 已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名 份l l i j 签字日期：一占年r 月，。日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解2 襁光唔 有关保留使用学位论文的规定 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阔和 借阅本人授怒箩杈t 学可叹将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行 检索，可以采用影印缩印或扫描等复制手段保存，汇编学位论文。 学位黧? 荔髫醐栅黧：l 乙及学位论文作者签名：竹矗，嚼导师签名：。乓z l 7 签字目期：，卯占年，月f 。日签字日期：2 6年j 月f 7 日 学位论文作者毕业去向： 第一章绪论 1 1 研究背景与意义 第一章绪论 随着高技术武器系统的发展，目标的电磁散射特性在现代雷达和电子对抗中 具有越来越重要的意义，一些发达国家投入大量的人力、物力和财力进行各种形 式的电磁特性测量和隐身技术的研究。其作用在现代局部战争中显示出了巨大的 威力，海湾战争和科索沃战争就是非常典型的例子 自从第二次世界大战中发明了雷达以来，雷达在军用和民用系统中都扮演着 一个至关重要的角色。雷达是根据目标对雷达电磁波的散射能量来判断目标的存 在并确定目标的位置，用来定量地描述雷达的特征参量是目标对入射电磁波所呈 现的有效散射截面积，即雷达散射截面( r a d a r c r o s ss e c t i o n ，缩写为r c s ) i l j ， 是表征雷达目标对于反射电磁波能力的一个重要的物理量。雷达和电予技术的发 展，使之成为武器系统性能评估的重要技术指标，对它的研究在天文、射电、天 线、电磁兼容、电磁干扰、电子对抗等领域有非常重要的意义。 长时间以来，雷达散射截面的分析和预估一直是国内外电磁场理论研究的一 个重要课题。对r c s 的研究有助于控制目标的雷达散射特性，降低或增大目标 的r c s ，用以满足武器系统对目标散射特性的要求，满足武器系统的定型、试 验和训练的要求。其中，目标隐身技术是通过减缩军事目标如飞机、导弹等对雷 达的有效散射截面的方法，以实现降低敌方雷达对我方目标的发现、搜索和跟踪 的目的，降低敌方雷达和武器平台的战斗效能，从而提高我方武器在双方战斗中 的突防能力和生存能力，以最小的损失去消灭敌人，这即是反雷达的隐身技术。 而提高目标r c s 的技术可用于空中的雷达信标和靶机。 随着大量的高科技技术应用到军事目标的检测和识别上，特别是近几年来， 隐身与反隐身、雷达识别与反识别、精确制导及仿真等技术的发展 2 1 3 1 ，武器系 统对目标的电磁散射要求更具有针对性，这就要求对目标的r c s 进行更精确地 预估，对复杂目标r c s 的计算也提出了更高的要求。而且r c s 计算既能用于分 安徽大学硕士学位论文：基于抛物线方程的电磁散射及传播问题的研究 析现有的各种军事目标的电磁散射特性，又能用来预估和优化未来武器系统对目 标的电磁散射特性要求。 近几年来，随着单站雷达缺陷的越来越突出，x x ( 多) 基地体制雷达的研究又 重新得知了各国的重税。双( 多) 站r c s 的训算一盲以来是电磁计算领域的大 热点，经历了大致三个发展阶段。第一阶段是利用矩量法对麦克斯韦方程进行求 解，这一阶段的方法主要集中在利用边界条件对矩阵运算进行简化，其缺点就是 运算量大，而且早期的计算机性能不好，因此主要用于计算较小尺寸的模型。第 二阶段方法主要集中在高频近似的方珐上，例如p o 、g o 、g t d 、p t d 这些方法都 有一定的优点和缺点，一般需要结合等效电磁流e m c 或增量长度绕射系数i l d c 进行求解，高频近似方法计算速度较快，但对于一些特殊的散射机理，如边缘、 阴影、非均匀表面、介质表面等形成的表面行波、表面爬行波、表面导波等贡献 需要另外考虑。第三阶段计算方法主要集中选择合适的数值方法上，这对具体的 边界条件和目标需要选择合适的数学方法进行求解。 在双站r c s 计算方面，国外八十年代开始起步，九十年代随着计算机计算能 力的大幅提高，双站r c s 计算开始在p c 机上就可以仿真，因此其计算方法也得 到了很大改进，尤其和实验结合较紧密，取得了可观的成就。这些研究成果直接 应用到武器设计之中，尤其是第三代隐身战斗机。我们国家在这方面起步较晚， 基本上是在九十年代后期才开始进行，一方面国外的先进技术处于保密状态，另 一方面国内在这方面的研究和管理模式在很多方面有待改进。因此，国内在双 ( 多) 站r c s 计算方面虽已取得了初步成果，但在理论方法和试验方面都有待需 要大力发展，尤其在大角度双站情况下缺乏有效的计算方法。 为了充分提高武器装备的作战能力或进行有效的通信系统设计，更准确地分 析雷达的作用距离等性能以及准确预测通信业务的场强分布和衰落特征己越来 越重要。对流层大气和地球表面的地形地物是雷达和通信系统发挥作用的一个重 要环节，特别是对各种地、海基或机载雷达以及地面或地一空超短波、微波和毫 米波通信，传播效应的影响如对流层折射、大气吸收、随机不均匀介质的体散射、 随机粗糙面的反射、散射和绕射等必须全面考虑。 在无线通信方面，随着无线通信的发展，电磁辐射问题也日益受到人们的关 注，研究人们周围的电磁环境也就显得更加重要。 当今世界已经进入到飞速发展的信息时代，而在这信息时代中的通信特别是 2 第一章绪论 移动通信是发展最快的产业。在地面移动通信网中，基站是固定的，而移动台的 天线距离地面往往只有l 一3 米，由于移动台的不断运动，传播路径上的各种各 样的地形、地物必然对电波传播产生影响，引起多径传播效应，从而造成多径衰 落。同时由于移动台的不断运动，还将导致接受信号强度和相位随时蚓j u 地点不 断变化；移动产生的多普勒效应，也将使接收信号产生极大的起伏。因此，移动 通信中的电波传播问题就变得很复杂，已不能再简单的应用固定无线电通信的传 播模式了，需要建它新的模型。 另一方面，随名无线通信形式和容龟的增加，发射源也越建越多，相互之间 的干扰也越来越重。通过电磁场预测，可以在基站建立之前，预测周围基站对此 小区的影响，进而进行设计调整，这样就可以避免一些不应该的浪费和损失。 由此可见，开展本课题的目的在于研究抛物线方程这一电磁场数值计算方 法，将其应用到目标的电磁散射特性的计算与分析中，并对空间不规则地形的电 波传播进行计算与模拟，为将其应用到移动通信小区中电波传播的预测打下基 础。 1 2 目标电磁散射研究的方向和发展状况 雷达散射截面是计算电磁学的核心问题，其计算方法主要包括解析方法、微 分方程解法、积分方程解法和各种高频近似方法等。 解析方法是把要求解的天线和电磁散射问题作为边界问题来处理，即通过满 足严格边界条件的波动方程求得此问题的解析解。但是，在电磁散射和绕射问题 中，只有极少数问题如球体、椭球体、无限长圆柱和椭圆柱等，可以求得严格的 解析解。 求解散射场的另一种途径是按照s t r a t t o n - c h u 公式将任意形状导体或介质 体的散射问题用电场积分方程( e f i e ) 和磁场积分方程( m f i e ) 表示出来，但其解也 仅是形式解，须用数值方法计算求出。但当物体的电尺寸很大时，由于计算机容 量的限制，也难以求得数值解，因而仍不得不求助于近似解法。在过去的几十年 中，出现了多种近似解法。这些近似解法可以分为两大类，即低频方法和高频方 法。 低频方法仅限于低频区和谐振区，有微分方程法和积分方程法两种。微分方 安徽大学硕士学位论文：基于抛物线方稗的电磁散射及传播问题的研究 法有有限差分法( f d ) 和有限元法( f e m ) 。f d 又分频域有限差分法( f d f d ) 和时域有 限差分法( f d t d ) 。积分方程法主要是矩量法( m o m ) 。低频方法适用于任意的电磁 激励的任意形状的散射问题求解，但由于计算机存储和速度的限制，对电大物体 的三维问题水解肯一定凼雉。 高频近似方法有几何光学法( g o ) 4 1 、几何绕射理论( g t d ) 【5 】以及在g t d 基础 上发展起来的一致性几何绕射理论( u t d ) 【6 】、物理光学法( p 0 ) 、和物理绕射理论 ( p t d ) 、等效电磁流方法( m e c ) 及增量长度绕射系数法( i l d c ) 。 迭代推进力幺是用于水解目标散射问题的一种比较新型的方，去，世界上许多 国家主要在空间场的迭代递推、电流的迭代递推和时域场的迭代递推等方面做了 大量的研究并取得一定的研究成果。 ( 1 ) 时域场的迭代递推方法( 舳) ： 时域有限差分方法1 7 l 是用于求解麦克斯韦方程比较成熟的一种方法，通过对 时域场的迭代递推可以成功求得散射区域的电场和磁场，但是这种方法只能对小 尺寸目标进行建模，而且为了数值模拟的稳定性与准确性对散射目标要求有细小 的网格划分和时间步长，所以时域有限差分方法并不适用于电大尺寸目标的散射 计算。 ( 2 ) 电流的迭代递推方法( c u r r e n tm a r c h i n gt e c h n i q u e ) ： 电流递推方法嘲是一种利用迭代算子来计算电磁场积分方程的快速、有效方 法，连续的感应电流可以通过沿目标的前向和后向迭代递推方法求得，从而求得 麦克斯韦方程的精确解。迭代的次数主要取决于散射体的形状，与网格中的节点 数相关 电流的迭代递推方法对于求解光滑表面的凸面体的散射时能得到比较好的 结果，但该方法用于计算大目标散射问题时仍对计算机的要求太高，并且计算时 间较长。 ( 3 ) 空间场的迭代递推方法( f i e l dm a r c h i n gt e c h n i q u e ) ： 抛物线方程 9 1 ( p a r a b o l i ce q u a t i o n ) 算法是在利用波动方程的抛物线近似形式 的基础上发展的一种电磁计算方面的新方法，该方法将散射目标等效为一系列的 面元或线元，然后通过边界条件和场的迭代递推方法求解抛物线形式的波动方 程，进而获得这些一系列连续面元在抛物线方向某一截面上的散射场，通过近场 远场转换技术得到远区的散射场，进而计算目标的双站雷达敖射截面。 4 第一章绪论 抛物线方程方法对求解电磁散射提供了一种准确、高效的计算方法，它的主 要缺陷是只能对抛物线方向近轴区域内的电磁散射进行快速、准确地计算，不过 这种限制可以通过旋转抛物线轴向来克服，主要思想是抛物线的轴向不受入射场 方向的限制，使抛物线的轴向围绕散射目标旋转柬计算目 ，下任意刀向的散射场。 抛物线方程方法已成功用于计算大型建筑物的散射和空中、海洋中大型目标的电 磁计算，但是该方法对于计算电小尺寸目标的散射时还存在着缺陷，同时不适合 用于计算腔体或凹面体的散射，主要因为在这些目标表面散射场在传播方向上有 人的变化。 1 3 电波传播问题的研究状况 在自由空间中无线电波传播是相对简单的现象。对于无限大的自由空间来 说，一个有限大小的波源所发射的电磁波都是以球面波形式向外传播，在球面上 某一给定的立体角内功率密度将保持不变。但是，由于地球的存在，即使假设地 面平坦，并用平面波来近似地面波在地球上的反射，问题也会变得相当复杂。一 旦在有障碍物时，如建筑物、丘陵、山等，我们只能利用近似的方法，例如利用 统计模式来计算市区和郊区传播损耗问题。如果直接用描述这种物理问题的几何 模型所建立的电磁方程来计算的话，其复杂程度将大大超过我们的计算能力。 从七十年代开始，国内外对电波传播预测的研究工作就广泛展开，并建立了 很多分析模型。根据辐射源的覆盖范围，这些模型可以分为大区模型、小区模型、 微区模型。 然而近年来，通信中微波技术应用越来越广，频谱资源也越来越有限，微蜂 窝技术由于采用了频谱复用技术而得到广泛的应用，微小区情形下的电波传播特 性及分析模型也成为国内外研究的热点。 根据传播模式的性质，它们可以分为：经验模式、半经验模式、确定性模式 其中经验模式是根据大量的测量结果统计分析后导出的公式，它是基于大量的测 量数据，由测量数据出发，建立相应的计算模型进行计算。确定性模式是对具体 的现场环境直接应用电磁理论计算的方法。在确定性模式中，已使用的几种技术 通常基于射线跟踪加1 的电磁方法，如几何绕射理论( g t d ) 、致性绕射理论 ( u t o ) 、物理光学( p 0 ) 等，最初是为了计算机可视化应用而开发，其基于高频场 安徽大学硕士学位论文：基于抛物线方程的电磁散射及传播问题的研究 的“局部性”将小区中电磁波的传播简化为直射、反射及绕射，这样便可使用小 区中环境建筑物数据库，搜索主要的传播路径，再由各路径对场的贡献得出总的 场强。半经验或办确定性模式是基于把确定性方法用于一般的市区或室内环境中 导出的等式。 近年来随着多种遥感技术的进步，大量环境数据促进了地理信息系统( g i s ) 的建立和完善，另外，计算机在速度和容量等方面的飞速发展使得电磁学领域中 建立在m a x w e l l 方程基础上的数值计算方法，如f d t d 川方法、抛物线方程( p e ) b 2 的f o u r i e r 变换分步( 印t - s t e p j 13 1 力压和自限左分( f d ) 方法，丌始 逐渐得到广泛应用，它们是取代射线跟踪和波导模理论模拟大气和地面影响的有 效算法。而p e 方法最早被l e o n t o v i t h 等用于模拟球面地球的电波绕射传播， 同时在声纳传播的水下声通信中得到发展1 5 】【1 6 】【埘。它能处理每一距离高度点 均相互独立的大气折射率结构，是目前能以一致的方式同时计算从视距到超视距 区的大范围地面和折射影响的唯一方法。 1 4 本论文的研究内容及所作的工作 论文主要对p e 算法在电磁散射及传播的计算应用方面进行了深入系统的研 究，具体开展了以下诸方面具体工作： ( 1 )对p e 算法的理论进行细致地推导，包括二维标准抛物线方程、二维 后向标准抛物线方程、三维标准抛物线方程、矢量抛物线方程，并对 p e 算法中伪微分算子的展开进行深入分析，找到一种更优于泰勒级数 展开的逼近方法，应用到p e 算法中，使得计算精度进一步提高； ( 2 )对用于p e 算法的吸收边界条件( 基于复坐标系的完全匹配层) 二维 和三维的闯题进行深入的分析和推导，使其既能用于散射体的r c s 计 算，又能处理无界空间的不同入射角的电磁传播问题； ( 3 )利用吸收边界条件，计算几种典型散射体的r c s ，包括后向r c s 的计 算，以及通过旋转抛物线轴向技术计算更大范围的双站r c s ，并推广 到多体及三维散射体的r c s 计算； ( 4 )对不规则地形上的电波传播问题进行精确的仿真，采用阶梯近似及坐 6 第一章绪论 标变换方法对地形表面进行建模模拟，利用p e 算法计算典型地形传 播问题的电磁场分布，为今后移动通信小区的电磁传播的场分布计算 建立平台。 安徽大学硕士学位论文：基于抛物线方程的电磁散射及传播问题的研究 第二章抛物线方程基本理论 2 1 抛物线方程方法简介 抛物线方程( p e ) 是波动方程的一种近似形式，它假设电磁波能量在沿着抛物 线轴向的锥形区域内传播。抛物线近似形式最初由l e o n t o v i c h 和f o c k 【1 8 】【1 9 l 在 2 0 世纪4 0 年代提出，并用于处理围绕地球的绕射问题。他们又把这种方法扩展 到更复杂的情况，包括大气层的折射等等。同一时期m a l y u z h i n e t s 把抛物线近似 与几何光学方法结合| 2 0 1 ，形成了目标散射的又一强大理论。根据该思想，用几种 形式简化了波动方程，并用此解决了一些问题。 经过多年的发展及随着计算机的出现，抛物线近似方法又被重新提出，目的 是要找出数值的解。h a r d i n 和t a p p e r f 2 u 将s p l i t - s t e p 迭代方法和傅立叶变换引入 抛物线方程，用于研究水下的声波问题。c l a e r b o u t 将抛物线方程与有限差分结 合，研究物理方面的应用，同时大量科研工作者在广泛用此方法研究水中声波的 传播问题中都取得了良好的结果1 2 2 1 。在水下声波研究领域，p e 方法已取得了巨 大的成就。标量p e 方法在水波传播，光学及地震波传播领域得到了广泛的应用。 抛物线方程方法初期主要用来处理比较复杂的声波的传播问题和光学等方 面的问题。抛物线方程方法曾经广泛用于计算各种波的传播问题，它对长距离声 波在海洋中的传播和地震波传播的计算和研究提供了一种有效、准确的方法田】 鲫。近些年来，研究人员发现p e 方法也可应用于散射问题。p e 方法在数值 方法和解析方法之间架起了一座桥梁。数值方法如矩量法( m o m ) ，f d t d 给出了 m a x w e l l 方程的精确解；解析方法则基于射线理论或物理光学理论。 本论文中用此方法计算目标的电磁散射问题，特别用于计算电大尺寸目标的 散射时发现抛物线方程方法与以往的电磁计算方法相比具有快速、准确的特点。 此方法主要用于求解目标在二维和三维坐标下的抛物线形式的波动方程，利用散 射体表面的边界条件，通过旋转抛物线方程方法可以求得各个方向的散射场。 8 第二章抛物线方程基本理论 2 2 二维标准抛物线方程的理论分析 我们假设以e x p ( - i t ) 变化的时谐场，传播媒质是均匀的，在c a r t e s i a n 坐标 系o ，y ，矽f ，对于二维问题，考虑场量l | f ，与坐标y 无关，则有二维波动力程如 下所示【2 6 1 【2 7 】： 窘+ 警搿咖= 。 p ) 其中代表电场或磁场分量，k 为玻数，n 为媒质折射系数，选取x 轴正方 向为抛物线的轴方向，并定义波函数为： u ( x ，z ) = p 一“矿( x ，z ) ( 2 - 2 ) 假设与水平面以口角方向传播的场量在二维坐标系中表示如下； y ( x ，z ) = e x p ( i o c c o s a + i k z s i n a ) ( 2 - 3 ) 其对应的波函数的形式为： u ( x ，z ) = e x p ( i k x ( c o s a 一1 ) + i k z s i n a l ( 2 4 ) 将波函数( 2 2 ) 带x ( 2 一1 ) 式，得： 磐+ 2 琥罢+ 鲁订( n 2 - 1 ) “：o ( 2 - 5 ) 叙2缸a z 2 假设1 1 不随x 方向变化，可将( 2 5 ) 分解为： ( 去+ 讹( ，一拉) ( 丢+ 啦( t + 拒) ) 删 p s ， 其中微分算子q 定义为： q = 古等衍( 2 - 7 ) 由式( 2 6 ) ，波动方程分解为前向和后向的两个抛物线形式的方程 罢= 一琥( 1 一拉弦 ? ( 2 - 8 ) 娑= 一腩( 1 + 压弦 对于波动方程( 2 ，5 ) 此即相当于将其变化为下式，其中u + 为前向波函数分量， 甜为后向波函数分量： 9 安徽大学硕士学位论文：基于抛物线方程的电磁散射及传播问题的研究 u = u 。+ u 一 鲁一腩( ，一压) 虬 舐 、，+ 尝一t ( ，+ 压) “一 缸 、。、，一 2 2 1 前向标准抛物线方程 ( 2 9 ) 对于只考虑曲向的散射问题，只用到前向的抛物线形式的破动方程： 娑= 以( 1 一压弦 ( 2 1 0 ) 式( 2 1 0 ) 的解用以下形式给出： 甜( 茗+ a x ，z ) = e “( , - o - 。1 ) “( z ，z ) ( 2 1 1 ) 由式( 2 1 1 ) 可以看出：任何一个面上的散射场可以通过前一个面上的散射场 的值递推计算得到伫耵。 怎样处理q 成为求解髓方法的关键，这里使用较简单的t a y l o r 数展开， 取其一阶近似，即： q = 1 + ( q 一1 ) 小盟一业4-。(-12 8广1 等( q _ 1 ) ”72 h i l 、。 。1 + 盟 2 将( 2 1 2 ) 、( 2 - 7 ) 式代入( 2 一l o ) 即得标准抛物线方程( s t a n d a r dp a r a b o l i c e q u a t i o n ：s p e ) ： 鲁+ 2 趾妻( 1 ) 甜= o ( 2 - 1 3 ) 出2缸 、， 这种抛物线方程的简单形式对于求解对流层中电磁波的传播非常有用，其中 空气中的折射系数恒定接近于1 ，用此方法计算的结果比较准确。标准抛物线方 程只是抛物线波动方程的近似形式，由于在处理对流层电磁波的传播问题 时角度的变化不大，所以用来计算长距离波的传播能得到比较准确的结果。 将对应的波函数式( 2 4 ) 代入，抛物线方程( 2 - 1 1 ) 式中忽略的第三项正比于 1 0 第二章抛物线方程基本理论 1 丁f 夏c 0 2 刮u 1 ) 2 = s i n 4 口 ( 2 14 ) 根式的泰勒级数展开中忽略的项与s i n 4a 成正比，如图2 1 所示，这样由此 产生的误差由1 度时的1 0 7 到达1 0 度时的1 0 ，到2 0 度时误差到达l o ，所 以标准抛物线方程方法只是一种沿传播方向的小角度近似方法，这种方法只有在 抛物线方向1 5 度范围内近似比较准确。但在计算凹面体或腔体目标时此种方法 误差较大，主要原因上凹面体或腔体内的每一点散射场的多重散射的相瓦影响， 致使用抛物线方程的迭代递推方法失效。 图2 1 根式( 2 1 2 ) 的泰勒级数展开中忽略的项s i n 4 口与角度的关系 2 2 2 后向标准抛物线方程 同理，对于后向的散射问题，就要用到后向的抛物线形式的波动方程： 罢刊t ( 1 + 拒m 优 ( 2 1 5 ) 同样对百取一阶t a y l o r 级数展开近似，即将( 2 1 2 ) 、( 2 7 ) 式代入( 2 1 5 ) p 得后向标准抛物线方程： 鲁一2地丝抒(n2+30) 甜= o zo x z ， 。 ( 2 - 1 6 ) 安徽大学硕士学位论文：基于抛物线方程的电磁散射及传播问题的研究 2 2 3 改进的p e 算法 之前提到怎样处理q 成为求解p e 方法的关键，一种自然的想法是通过高 阶t a y l o r 级数展开来提高计算精度，遗感的是t a y l o r 高阶展开不仅增加了计算 的复杂度，而且又带来了算法的不稳定性。这里采取常见的曲线拟合的方法最小 二乘法对伪微分算子进行逼近。 所谓曲线拟合的最小二乘法，就是由给定数据( x ，只) ( f - 1 ，m ) ，确定拟合 曲线类型y = p ( x ，a o ，a n ) ， 然后根据在给定点误差平方和 【p ( x ，吒) 一m 】2 最小的原则定出参数吼( 七= o ， ) ，从而得到所求的拟和 t - i 曲线方程y = ，。 这里由于s p e 只取一阶t a y l o r 级数展开，并考虑到之后数值计算的方便及 稳定性，采取一阶线性最小二乘逼近q 算子。 令q = 1 + ( q 1 ) 一a + b ( q 一1 ) ，由线性最小二乘法计算得出当 a = 0 9 9 5 0 1 ，b = 0 5 0 4 5 6 时，取其与伪微分算子的范数为o 0 0 4 5 ，而一阶t a y l o r 级数展开与伪微分算子的范数为0 0 0 6 8 ，从范数可以看出逼近程度稍好于一阶 t a y l o r 级数展开。一阶线性最d , z - 乘、一阶t a y l o r 级数展开、伪微分算予的比较 如下图2 2 所示，从图上可以看出，由于一阶t a y l o r 级数是从零点展开，所以在 零点附近一阶t a y l o r 级数展开的值较线性最小二乘法更为精确，但从整体效果可 以看出，线性最小二乘法的逼近精确范围更广。从此意义上可以理解成，线性最 小二乘法牺牲了r c s 计算中的0 度时精确度，但将计算角度进一步提高。 1 2 第二章抛物线方程摹本理论 图2 2 最小二乘逼近、泰勒展开和伪微分算子解析解的关系图 2 3 三维标准抛物线方程 在c a r t e s i a n 坐标系o ，y ，矽下，则有三维标量波动方程如下所示； 鲁a x + 鲁a y + 害o z + k 2 咖= 。 zz 2 ， 类似的选正x 轴方向为抛物线的轴方向并定义沿x 方向传播的波函数 甜g ，y ，z ) = e x p ( _ 哟c 砂g ，y ，z ) 将上面的波函数求偏导代x ( 2 一1 7 ) 式得到下式 ( 2 1 7 ) f 2 - 1 8 ) 窘蚴后面0 u + 雾+ 窘c 以2 - 1 ) 甜= 。 ( 2 - l9 ) 同样将方程( 2 - 1 9 ) 可分解为： ( 旦+ 疆6 一拉) ) 怯枷6 + 扼班= 。 c 2 珈， 并取其前向抛物线形式： 罢= - i k ( 1 一压 反 7 其中微分算子q 定义为： ( 2 - 2 1 ) 安徽大学硕士学位论文：基于抛物线方程的电磁散射及传播问题的研究 使用一阶7 砂肠r 级数展开平方根算符，即 压小孚 ( 2 2 2 ) ( 2 - 2 3 ) 代x ( 2 2 1 ) 式得小角度( 轴向1 5 度) 抛物线方程： 宴：- 【i k 万1 ( 罢+ 罢) 材_ 1 “( 2 - 2 4 ) 缸2 k 2 却2 。玉2 。 在真空媒质中取n = 1 ，方程( 2 - - 2 4 ) 变为标准的抛物线方程( s p e ) 宴：委( 笔+ 罢 ( 2 2 5 ) 瓦2 瓦【矿+ 虿m 【 2 4 矢量抛物线方程 电磁场的电场和磁场矢量可以表示为 孟= 伍，b ，t ) 面= 缸，h ，h ：) 与电场和磁场矢量对应的两个波动方程 v 2 豆+ | j 2 豆= 0 v 2 豆+ k 2 疗= 0 在二维坐标系下，假设入射波场量不沿坐标y 变化，即 嚣 水平极化 垂直极化 f 2 - 2 6 ) ( 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) 在三维坐标系下，当平面波入射到完全纯导体的表面上时，由于导体表面上 任何一点电场的切向分量为零。 毫t ：琶a + 雹t = 0 即 e = 一e 。 1 4 ( 2 2 9 ) ( 2 3 0 ) 阼 + 生铲一旷 + 竺矿 一驴 = 9 第二章抛物线方程摹本理论 这里我们假设驴= 云，定义对应场量沿x 轴方向传播波函数 石= e x p i k x 归( 2 3 1 ) 结合式f 2 3 0 ) 、( 2 - 3 1 ) n 得散射场的边界条件为： d3 ( 尸) = 一e x p ( 一i k x ) e ( p ) ( 2 3 2 ) 其中p 为散射体表面上的点，”= ( ；，n 。，”：) 为p 点的法线方向，在完全纯导 体的表面上切向的电场分量为零，电场平行于法线方向，由而舌= 0 ，将电场 用各个分量来表示，可得对应的三个方程为： f 凡b ( p ) 一b e ( p ) = 0 n e ( p ) 一e a p ) = 0 ( 2 - 3 3 ) 【，z ，e ( p ) - - n z e , ( e ) - - o 式( 2 3 3 ) q b 电场分量可以表示为入射场与散射场和的形式 i e o ) = e ( p ) + ( p ) 髟( p ) = e ( p ) + 彰( p ) ( 2 - 3 4 ) i e o ) = e ( p ) + e o ) 考虑到式( 2 3 0 ) 及( 2 - 3 2 ) 上面方程变为 i 门，“；( 尸) 一以，“：( 尸) = 一g 叫h ( 疗，e ；( p ) 一挖，彰( 尸) ) r t x u j ( e ) 一n z “：( p ) = 一p 一“( ”，e ：( p ) 一n z e ( p ) ) ( 2 3 5 ) 【栉，“；( p ) - - n z u ；( p ) = 一e “( 以，e ( p ) 一玎：髟( 尸) 式( 2 - 3 5 ) 中的三方程并不是相互独立的，没有定解，只有加上m a x w e