（基础数学专业论文）q算子的恒等式及其应用.pdf

中文摘要 二百多年来，人们用各种各样的方法研究q 一级数。在众多的方法中，算子方 法一直备受推崇， 象l e u l 叫1 6 ，1 7 】，l j r o g e r s f 3 0 _ 3 2 】，g c r o t a 【3 6 】，s r o m 锄【3 3 3 5 】，j c i g i e r 【1 0 - 1 3 1 ，g e a n d 崩v s 【l 】和c h e n 锄d “u 【7 ，8 】等这样的数学家都曾用过算 子方法来研究q 一级数。在本文中，我们也将用算子方法来研究q 一级数。 ，、 本论文第一方面通过对功月的微分算子的分析，揭示出兀6 珐) 瓶i 三 砷b j r，、 公式与e ( 6 彩，l 粕i 。；毋一阳l 之间的深刻关系，并且进一步揭示出它们之间以 i o j 及它们扩展的算子公式之间的转换关系，从而得到它们内在的统性。 第二方面，对g 一微分算子的应用，可以得到在g 级数中一些基础的但又非常重 要的q 一级数公式的新证明，比如说：g 一二项式定理， e u l e r 恒等式等。些转换公 式等。 第三方面就是，利用q 一微分算子，通过对q c j i l “一九如硎d 咒如求和公式 的深刻分析、挖掘，尤其是在此公式巾，对不同的自变量口c 用算子作用，得 到q p 如一s n 口m i i 圮公式的几利新的证明方法以及若干3 晚的转换公式，4 3 公 式的转换公式及一般情形。 关键词： q 一级数，q 一微分算子，q 一m 力s 口口比j i l i i f z 公式，q c j f l “一y 口，z 如，- m d n 如公 式，基本超几何级数 a b s t r a c t 1 1 l eh i s t o 叮o f 口一s e r i e sh a sb e e nm o r et h a nt w oh u n d r e d sa n db n d so fw a y sh a v eb e e n u s e dt os t u d yi t 口一o p e r a t i d rm e t i l o ds e e m st 0b co n eo ft h eb c s tm e t h o d s m a t h e m a t i c i 柚s l i k el e u i e r 【1 6 ，1 7 】，l j r o g e r s 【3 0 - 3 2 】，g 一c r o t a 【3 6 】，s r o m a n 【3 3 - 3 5 】 j c i g l e r 【1 0 - 1 3 】， g e a n d r e w s 【l 】a n dc h e n 柚dl i u 【7 ，8 】l l a v ee m p l o y e d9 一o p e r a t o rm e t h o di ns t u d y i n g 妞 霉一s e r i e s i i lt l l i s 砒i c l e ，w ec o n t i n t 0a p p l y 口一o p c r a t o rm e t l l o dt os t u d yt t l et l l e o r y0 f 霉一s e r i e s i nt i l i sp a p e r w ef i r s tg i v et l l ed e f i n i t i o no fq o p e r a t o r w i t l lt l l ea n a l y s i so f 功，日o p e 卜 a t o r ，w ec 柚g e ts o m es p e c i a lf o l 胁u l 舔柚d 岫s f b m l a t i o nf o 肿u l a sb e t w e e nt l l e m s e c o n d i y ，u s i n gt h e s eo p e r a 衄i d e n t i t i e s ，w ec a r ig e ts o m en e wp r 0 0 f so fq s e r i e s i d e n t i t i e s ，f - 0 re x 锄p l e ，q c a u c h yt h e o r e m ，日一e u l e r - i d e n t i t ya n ds oo n n i r d l y j o nt h ef 0 u n d a t i o no f2 一c h u v | a n d e n n o n d e ，u s i n g 刃0 ，8o p e r a t o l 苫，a c t i n go n 妞 v a r i a b l e以c ，w ec a ng e ts o m en e wp r o o f so fq 一跏一s n 口比| i l 曲f z ，w ea l s og e ts o m e t r a j l s f b m a t i o nf o m u l 觞o f3 晚，4 九a n ds oo n k e yw o r d s ： q s e e s ，g d i f f e f e n t i a lo p e r a t o r ，q 一聊厂厂一s 口口f c j i z 鼢f z ，口一c h u v a n d e m l o n d e ，b a s i ch y p e 昭e o m e t r i cs e r i e s 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果。 据我所知，除文巾已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发表或撰写 过的研究成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文巾作了明确说 明并表示谢意。 作者签名：整盘日期：丝垄：垒2 学位论文授权使用声明 本人完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保留学 位论文并向国家辛管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版。有权将学位论 文用于非赢利日的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅。有权将学位论文 的内容编入有关数据库进行检索。有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密的 学位论文在解密后适用本规定。 学位论文作者签名：鉴墨 日期：j 啤卜 导师鼢驾逛l 习 日期：趔兰：! ： 第一章绪论及预备知识 第一章绪论及预备知识 基本超几何级数( q 一级数) 的发展，以1 7 4 8 年l e u l e r 将无穷乘积 ( 口：g ) - l = li ( 1 一矿) 一1 主= f 看成正整数n 的分拆函数烈疗) 的母函数为标志。经过一一段漫长的时间，直到1 9 世纪 上半叶一些低阶的g 一级数的求和公式才陆续被c f g a u s s 【2 0 】，a l c a u c h y 【2 7 】，e h e i n e 【2 扛2 4 1 等人发现。1 9 世纪下半叶到2 0 世纪巾叶，l j r o g e r s 【3 0 - 3 2 】，s r a m 锄u j i 卸，w n w 乱s o n 【3 8 】，f h j a c k s 【2 5 ，2 6 】，w n b a i l e y 【6 】和l j s l a t e r 【3 9 】等数 学家在口一级数的发展进程巾都做出了不可磨火的贡献。2 0 世纪5 0 年代到7 0 年代，可 以说是g 一级数发展的黑暗时期，但其发展并没有停止。在数学家g e a n d r e w s 【l 一 4 】和r a s k e y 【5 】等人不懈的努力下，q 一级数又重新得到了数学家的认可。世人重 新认识到了g 一级数的巨大应用前景，乃至到了二十世纪8 0 年代，有人戏称当时数学 家及有些物理学家患了q d i s e a s e 一一他们将数学的其他分支及物理领域巾的些概 念及性质都拿来q 一模拟。 留一级数发展至今，已经形成了一套比较完整的理论，它被应用到数论，根 系( m a c d o n a l d 恒等式) ，超越数理论，计算代数，组合学，差分方程，李代数和李 群，物理学，统计学，代数几何，h a r d h e x a g o n 模等方面。 人们用各种各样的方法来研究q 一级数，有组合的方法，有解析的方法，也 有算子的方法。在众多的研究方法中算子方法一直备受推崇，象l e u l e r 【1 6 ，1 7 】， l j r o g e r s 【3 m - 3 2 】，g c r o t a 【3 6 】，s r o m a n 【3 3 3 5 1 ，j c i g l e r 【1 0 一1 3 】，g e a n d r e w s 【l 】 和c h e na n dl i u 【7 ，8 】等这样的数学家都曾用过算子方法来研究g 一级数。 事实上，g 一算子方法的蓬勃而又快速的发展也只不过是近3 0 年的事情，但是 它在数学和物理学之间建立的桥梁作用不可估量的。本文也将用算子方法来研 究口一级数。 在本文中我们采用g a s p e r - r a h m a n 【1 9 ，2 l 】所使用的符号。记留一升阶乘符号为： 第一章绪论及预备知识 n l ( n ；q ) 。= l ， ( 口；q ) 。= 几( 1 一日矿) 七= o q 一二项式系数： 阱燕，川幺 由上面的定义我们容易得到： 篙( _ - 灼。诎阻( 留；留) i 、 。1 l i i ：j 为了方便起见，我们也使用如下的紧凑符号： ( 口l n 2 ，口州；q ) 一= ( n l ；q ) 疗( 口2 ；q ) n ( 口m ；q ) 打 基本超几何级数为： ，妒，【兰：二!口n；留，x)=砉笔吾：=j丢锹【c一，gc!，】l+卜r 如果厂= s + l ，而且卯l 口2 口州= 易i 幻饥，工= q ，那么我们称基本超几何级数 ，+ 1 九为平衡的( b a i a n c e d ) ：如果r = s + l ，而且q 口1 = 口2 6 i = = 口，+ l 坑，那么我们称基 本超几何级数州九为良平衡的( w e l l p o i s e d ) ；特别的，如果口2 ：卵，口3 ：一q 口我们 则称这个良平衡级数为完全平衡的( v e r y - w e l l l ，o i s e d ) 。 在本文中我们采用如下的q 一微分算子定义： 义： 矾) ：型型型 工 这一定义首先由l - e u l e r 给出，与f h j a c k o n 【2 5 】在1 9 0 8 年所给出9 一微分算子定 了 第章绪论及预备知识 稍有不同一一他们相差一个常数因子。 留一移位算子定义为：巧 ，( 曲 - 厂( g 曲，特别：刁一1l 厂( 工) = ，( 鼋一1 曲 而r o g e r s 【3 l 】，c h e n 柚dl i u 【7 ，8 】又给出了如下的算子： m 驴赤= 砉鬻， e c 加，= c 一加；q ，* = 善箐， 其巾p = 一珐 在这里我们只列举本文中常用到的一些符号及性质，更多的符号及性质可以参 见【1 8 ，1 9 】。 定义1 设口l ，口2 ，口，6 i ，如，切是复数，定义如下： 特别有： ，驴，( 三： _ ：，。二- 口， ；留，易。) = 茎篙掣【( - 1 ) 啄叩h =， 一i i l l 疗、z ，i 台 ( 留，6 l 6 棚) t l 一j 。 r + t ，( ：- i i 二j ，口r + l ；g ，易。) 台 ( 毋刍所；吁k 气( 口l ，口2 ，口，+ l ；q ) t ( 易d q ) 二u 一 一 并且我们会经常利用下式： 以及式： ( q 1 一”口；q ) 。= ( 一口) 一“q g ) ( n ；g ) 。 矿( c 口；q ) 。= ( 一c ) ”目( 9 鬻 3 第_ 章g 一算子公式的扩展和转换 第二章口一算子公式的扩展和转换 在本文中，为了方便起见，记碳，刀。为恒等算子，且如果没有特别指明的话， 我们所有的算子都是指对变量口进行作用的。由文【7 ，8 】我们有珐算子公式： 和 磋( 口f ；留) 。( 甜；q k q ，+ 妒，( ： f ： ，二：，口，+ l ；日，6 r ) 露l ，口2 ， = 器旆t = “伪f ( n f ；q k 征由( 1 ) 定义以及( 5 ) 式可知： 砌( = 七= o 口i 砚， ，口， b h ；口，6 岛 ) ( 口j ；口) 。1 丽歹 ：譬二：加潞所】 6 l ，6 ，口s ” j 口， ；q ，6 功 ) 些1 ( 口r ；q kj 半警【( - l 州) r ( 蛾) t ( q ，6 i ，6 ，k l 、7 1 j 、。一9 7 ， f 塑：丝：墅垡丛 台( 日，易l 易，；留h = 器川加 = 一“巾- 1 ( 口f ；口) 。7 即证得上述定理。 【( - 1 ) 口( ：) 】 s ；q ) 。 徊f ；q ) 。 l + ，- ，胪产( 口s 矿；q ) 。( s f ：q ) 佃f ；q k 三譬0 口? 确所) 6 l ，岛， 口s ”j 特别地，当，- 厂+ l ，= 厂时有： 推论2 4 i r + l 咖i l 口i ， 口2 ， = 器m 加 一- f m t ( 口f ；留) 。“” ，口r + i ， 阢， 当，一0 时，有如下重要定理： ；g ，扫嘎 】 ( 口s ；口) 。 f ；q ) 。 ：譬 i = 川f 礤纫】 6 l ，6 r ， 口j 1 j 5 口 ， 一啡 一饥 定理2 5 ( ；鼋，6 珐 】 ( 口s ；g ) 。 ( 口f ；g ) 。 ( s f ；g ) 七( 扫f ) 七 ( 口，口j ；q ) 七 丹= 七筹 赢) 一( n s ；q k ( s f ；口) t ( 6 f ) ( 6 矿功) ”f = ：一 ， 一 - - - - - - - - - - 一f ；g k 智( g ，口5 ；q ) 鲁( 2 ；砒【( 口矿，以y 矿；g ) 。 ( 5 f ；g ) t ( 6 f ) ( 口6 w v 矿；q ) 。 ( 口，口5 ；g ) t ( 口，矿，口y 矿，易，6 v ；g ) 。 = 蒜靠，z ( 晋赢伽一所) 由上述定理可得如下的推论： 当s _ 0 ，w - o ，v _ o 时，有： 推论2 1 0 r ( 峨) ( 口f ；g ) 。j ( 口f ，6 r ；q ) 。 7 口 脚 。脚 坐机 唑 = 第j ：章q 一算子公式的扩展和转换 当w 0 ，v 叶o 时，有： 推论2 1 1 丁c 州器) - 器z - 。0 当j 0 ，f 一0 ，w 一日l ，f 时，有： 推论2 1 2 丁c 咄， 瓦杀) = 定理2 1 3 ( 口6 s ，；q ) 。 ( 口s ，口f ，6 s ，6 f ；q ) 。 r ( 6 珐一1 ) = e ( 加) 证j 由，日的定义容易得到：p = 一q 踞1 并且有： ( 口；g 一1 ) 。= ( 一口) 疗q 一( ：) ( 1 口；q ) 。 从而可得证上述定理。 进步运用上述定理可以得到： 定理2 1 4 口 e ( ，d ( ( 口f ；g ) 。 = ( 口f ，6 f ；留) 。 e ( 易 ( 口5 ，口f ；q ) 。 = 鱼三 等 下面给出上述定理的证明： 近由 r p 珐， 赤) = 瓦蒜 当g q 1 时，运用相关的转化公式( 不妨将上式的相应左边记为：l s d ，右式 记为：髂d ) ： 船d = e ( 6 9 ) i ( 口f q ；口) 。l ， 又s d = ( 口留，易幻；留) 。 即： e ( 6 口) ( 口f ；g ) 。l = ( 口f ，易f ；鼋) 。 同理可以证明另外一个等式。 口 8 运用相同的转化原理，可以证明下面一系列的定理： 定理2 1 5 定理 定理 瓶( 定理 2 1 6 f l 驴o i l 2 1 7 c 0 2 1 8 c o 咖( 、r 瑚jt 三；鼋，一加】t c 口5 ；q ，。，= 等 器) - 器z 驴- ( g 苏，确驯口 旷加】 篙警) - 等，z ( c 驰裟孙g ) ，+ 。矿，( 莒：i j ，2 二：，口r + i ；q ，6 。一) 一，+ l办( ：；三：1 ( ：i j 二：，l 口，+ l ；口，一6 口。，口，+ t p ，易- ，易，) 1 6 l ，l 所， ， 9 第三章g 一算子的简甲应用 第三章q 一算子的简单应用 在这一章里我仃7 将给出算子公式：r c 易玩，e c 易，- 咖( 三；q ，扫功) ， t 。( 三；毋一加】简单的应用，比如说可得到：g 一- 项式定理，e u e r 恒等式等新 的证明。 定理3 1 2 妒- ( 抚口三c 碍似) = 器z 一( 地：确寸 证由于式： ；( 口6 ；q ) 。，( 以工；留) 。 i ( 6 ；q ) 。( 口工) “ 音( q ；q ) n( 工；留) m 看 ( q ；q ) n ， 一= = 一 ， 一 我们可以把上式改写成： ， ( 口蛐g ) 。 ( 似) ” 台雨丽面丽：2 瓦石白鬲丽丽i 丽 我们用7 ( c 优) 作用上式两端，且6 是自变量，则可得到： 化简整理可以得到： l ( 以6 c 矿；q ) 。， 1 i 一 【以d c g ；q j m 音( 鼋；q h ( 口6 矿，扫，口c 矿，c ；q ) m ：堕 一百石台 ( x ；口) m 急 m 曲”亿6 c 矿；d 。 ( q ；口) 。( 6 口”，口易，c 矿，c 口；g ) 。 z 妒tr 三冲x ) - 器z 妒- ( g ：c 碍口寸 此式即为上述定理( 7 ) 。 定理3 2 ：妒( 口耋：q ，工) = 警z 妒( c 口，c ? ；q ，口6 吖c ) 1 0 ( 8 ) 口 ( 9 ) 第三章q 一算子的简单应用 证由于式： 薹警= 器姜错 我们可以把上式改写成： 争 ! ：幽竺争 竺 j ( 留；留h ( 以6 矿，口j ；留) m( 工；g ) * j ( q ；留h ( 口j c 矿，口6 ；q ) m 我们用丁( 蛾) 作用上式两端，且口是自变量，则可得到： 化简整理可以得到： 毛 ( 口易c j 叼，i ：g ) 。一 各( q ；q ) n ( n 6 q ，l ，烈，6 c 矿，“；g k ：堕地 = 一( 工；留) m 台 纱( 日易c j 叼一；q ) 。 ( g ；留) 。( 矗j 【矿，口6 ，c j 【矿，c 西；留) 。 z r 口：确工) - 器州t 卜口纛殛易】 ， 此式等价于上述定理。 口 易知，上面的两个定理本质上是等价的。 事实上，式( 8 ) 中令曲口，口c 一6 ，日6 c - c 即可得到( 9 ) 式；而( 1 0 ) 式巾 令动一口，易c _ 6 ，口6 甜一c 即可得到( 9 ) 式。这也允分体现了鼋算子的方法的无穷 作用。 推论3 3 ( e u l e r 第一恒等式) 机= 薹譬力= 0 、1 17 ” 征由( 1 0 ) 式巾先令口工一工，再令n _ ，6 = 0 ，最后再令c = l 即得。 口 推论3 4 ( e u l e r 第二恒等式) 上：三 丽2 台而。( j ；q ) * j ( g ；q ) n 征由( 1 0 ) 式中易= 0 即得。 口 第三章q 一算子的简单应用 推论3 5 ( q 二项式定理) 证由( 9 ) 式巾c = 6 即得。 在书【2 l 】中，有： ( 口j ；q ) 。 与( 口；q ) 。， 一= ，一 ( z ；q ) * 看( g ；g ) 一 ( o 石】_ 器z 心 1 ；g ，c1 j 口 上式可改写为： 薹鲁= 器茎半黯竽 ， ， 一：一 7 一 i li ， 看 ( q ，c ；q ) 一 ( c ；q ) * 看 ( q ，j ；留) n 、。 从而有下面的定理： 定理3 6 证- 由( 1 1 ) 即得： 孙工) = 器z z g 淼 虽( 一1 ) “q ( ；) ， l 看( g ，c ；g k ( 口矿，口衫c ；g ) m ( x ；q ) 。( 一1 ) 一q ( ! ) c ，l l = ：一 ， 一一 ( c ；q ) mj ( g ，工；留) n ( 口j 【矿c ，日；q ) m + 用r ( 6 q ) 作用上式两端，且订是自变量，则可得到： 1 ；g ，ci j 与( 一1 ) ”g ( ；) ， ( 日z r 工q ”c ；g ) 。 看( q ，c ；q ) n ( 口矿，以工c 6 q ”，6 工c ；口) m ( x ；g ) 。 三( 一ly q ( ：) c ，l ( 日6 j 矽c ；q ) 。 = ： ， 一一 ( c ；q ) m 篆右( q ，工；q ) n ( 日j c 口“c ，a ，6 工矿c ，6 ：q ) m 整理即得上述定理。 1 2 口 c 6 k口 口 c ，j-。_-一 2 矽 2 第三章日一算子的简甲应用 ：晚k 三豫j 】 = 涨薹坐挚2 妒。r 篆豫叫c ) = 一 ， 一，加- ：，仃p ，r- ( c d ；g k 台 ( 毋工；g h ”1 【 口工加 啊”1 厂 征由式( 3 ) ，( 1 1 ) 可得： ! 二! ! ：型鱼型! 生笙型竺 急 ( 口；留) 。 九= 0 、1 1 川 却；咖。薹鬻哿订= o 、17 。17 、。1 一r 17 一 用。如( 吕；毋一胡) 作用上式两端，其中c 是自变量，则有： 薹! 警t 如( 苫；g ，一p 毋) t t c 矿；留，。， 咄。茎舞咖( 罢孙卅) 鬻 2 z 乏冲工j = 滁薹必挚z 。r 口巍碍州c ) = 一 一巾- _ ，仃p ，i ( c ，出q k 台 ( 留，工；q ) 一 ”1 i 口工c 1 1 。j 。 令幽- d 上式即得此定理。 推论3 8 ( j a c k s o n s2 2t r a i l s f o 咖a t i o n ) z 矽z 心竺孙卟= 器：妒r ：确寸 迂在上述定理中，令工_ 撕，矗一口五p - c 弦即可得。 推论3 9 z z ( a 乐，一兰；州】- 蒜虢 1 3 口 口 第三章q 一算子的简单应用 证由( 2 ) 令口_ 口2 ，p _ 矿，c 日幻，d - 一口幻，工一一g 即得，可参见文【1 4 ，1 5 ， 2 8 】 口 定理3 1 0 z z 【：三殛j ) ：器，驴s 心翟箍确寸 证由( 1 1 ) 可得： ( 一1 ) ”q ( ；) ， l o ：q ) 。( 一1 ) 玎g ( ；) ， ( 口工c ；日) 。 ) 一一= ：一 ) 一 舌右【g ，c ；留) 一( 口矿；g ) m【c ；q ) 。j 矗【q ，工；q ) 开【口工矿c ，口；留) * 用- 妒。( 三 ；q ，易d j l 作用上式两端，其r f l 口是自变量，则有： - 如( 三孙峨) 去) - 罴 - 加( 三孙扫珐) 揣) - 器，咖( 磊，乏p 孙蜊c ) 由于口x | c x b e n e x 矿= b x q n c ，故 ，：( 纛，：p 礤w ，c ) - 溉，妒z ( 2c g 三肛6 冯寸 ( 一1 ) 一目( ! ) ，( 日x c ，易p g ；q ) 。 ( q ，石；鼋) 。( 口x 矿c ，日，易；q ) o 。器，妒z 【譬( n z c ；日) 。7 i易p ， z z 乞孙j ) - 器姜哗警，妒z ( 譬 若口砌一1 q 1 嘲= c 9 1 一”肛，即日撕= 耐时，有： z 驴：( ：三礤工) = 器，心翟船 1 4 口， 易 1 c 9 1 一一工 ；岔，譬j 口， 易 1 c 口1 一n 工；q 日j 。 j ；g ，c 1 口 第三章q 一算子的简甲应用 定理3 1 1 迂由( 1 1 ) 可得： ；留，j 】= ! 等z 妒( 口! c ，纵易 ! = ! 型塑曼丛型：型竺! ! 竺 鲁 ( 口；q h ；口，6 c ，a 工】 却。茎些挚 用e ( 蚴作用上式，其巾c 为自变量，可得到： n ：0 ( 一1 ) n q ( ：) ，( 口；q ) 。( ( g ；口) n c 矿，c q | d x b 矿，b q | n x ；。 ( 易c 矿乜石；g ) 。 咄。薹缈垫意掣九= 0 、1 1 川 从而得到上述定理。 1 5 口 x 缸6 幻 砺g ，-_， 2矽 2 第四章口一c j i z “一n 出删。九如公式的应用 第四章 g c 庇“一y 口，z 比r m d 咒如公式的应用 q c 地一府p 册d 砒公式： 言鬻矿= 等 鲁警c 争= 鬻g ，c ；口儿 口 【c ；g 如 ( 1 2 ) ( 1 3 ) 本章由留一c 触一y 鲫如册d n 如公式出发，分别以口，c 为自变量，用口一指数算 子作用g c 地一妇n 出懒如公式的各种变形公式，从而得到很多优美而又重要 的q 一级数公式，比如：q p 加厂厂一s 伽，c f i 亿公式的几种证明， 3 2 公式的变换公 式，4 3 公式到3 2 公式变换公式，以及形如下列公式： 辫扎饥。 q ，c ；留k 掣m “。 ( c ；砒“” 的变换及其相应的特殊情形。 首先由文【7 ，8 】易知： r r ( 6 功) l 口i 矿；g ，时 ，6 ， 口 ：一絮- ：c i 啪咖】 b 、，。b nn q 卜n c l ( 口f ，口s ；q ) 。) = 蒜筹 e ( 易日) ( ( 口5 ，n f ；q ) 。 = 鱼苎琶器 定理4 1 ( 日一p 和s 口以z c ，l 豇f z 公式) ，驴z ( q 一月：口6 c 三q 。一厅；口，g ) = 鬻 田由式( 3 ) ，( 1 2 ) 可以得到： ( 一c ) 一g ( ；) = = - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 一 ( c ；q ) 。( 口q c ，n ；q ) 。 脚 。脚 瓦画丝矿垃埘丽瓦 。脚 第四章 鼋一c j z “一，z 如册d n 如公式的应用 其巾口是自变量，用r ( 易珐) 作用上式两端，即得到： 1 1 ( q 一”；q ) t 矿( 口扫q 1 + 呐c ；g ) 。 囱幻，c ；州对，钾卜1 c ，时，蚓叫c ；q k 一 ! 二空0 ；k 啦型鱼g ) 哩 一石瓦面万i 而丽。 经化简整理上式即可得g 一列缸玎一5 口口触瑟z 公式，证明详见文【8 】。 口 证2 由( 1 2 ) 式可以得到： 砉垃嘴挚些川咖椭k 厶r 疗仃、i 。”、。，”。1 叮，。 = 0 、1 i ， 其中c 是自变量，用e ( 螂作用上式两端，即得： 经化简整理可得： 亡( q 一，；q ) 矿( 耐，叫口，易矿，6 矿口；q k ( q ；g ) 七 ( 6 c g ”+ 一1 订；q ) * 一一( c 加，c 矿，6 口，扫矿；q ) 。 钏面孑可而j 一 ，zr 耋v 口 ；鼋，孽) = 口“觜 令扫c 矿一1 n _ 6 再结合：( 2 ) 式，即得到q p 加一s 口口f c ，l i i 纪公式。 证3 由( 1 3 ) 式令日一l 4 ，可以得到 妻贮掣笺塑事吲卿阳小訾 智 ( q ，c ；q ) t 一一”“ ( c ；q ) n 其中自变量是口，用( 6 臼) 作用上式两端，即得： 七= o ( q n ；g ) t ( c 矿) ( 一1 ) q ( ! ) ( 口日1 一t ( q ，c ；g ) 七 1 ( 口c ，口q ，6 c ，扫q ；g ) 。 ：= 一一 ( c ；q ) 。 ( n 扫c ；q ) 。 化简整理可得到： 1 7 ，口c g ，l ，6 q 1 一，易c 矿；q ) 。 ( 口6 c 矿一；q ) 。 ( 1 4 ) 口 第四章 日一c “一y 口九如册d 删p 公式的应用 虽( r ，叼h ，幻1 一；q ) t ( c 矿严( 一1 ) g ( 9 一( 口c ，缸；g ) 。 台 ( 鼋，c ，口易叫 ；g h( c ，口缸；g ) 一 -_-_-_-_-_-i-_一：一 令4 一l 口，6 _ l 6 ，可以得到： 与( 留一 ，鼋1 口，9 1 一6 ；碍) 女( c 矿严( 一1 ) 9 ( ：) ( f 口，c 易；g ) 。 台 ( g ，c ，c 矿 口6 ；留k( c ，c 肛6 ；q ) 一。 7 一：= 一 再结合：( 2 ) 式，即得到留一p j 缸一s 伽m i i 坨公式。 口 证4 由( 1 3 ) 式令c _ l c ，可以得到： 其中c 是自变量，用r ( 易d q ) 作用上式两端，即得到： 订一一 ( 删，c g i 一玎；q ) 。 1 1 ( g 一一，n ，口易c 矿一一一；日) t ( q ，l 口r ( 一1 ) q 一( ：) 台 ( g ，钾h ，幻1 。：张 口一n ( 口6 q 1 一玎，口c q l 一一；q ) 一 = = 一 ( c q l 一九，6 q i 一疗；q ) n 令c l c ，6 1 6 ，再结合：( 2 ) 式，即得到：( 1 4 ) 式。 再用同样的方法即得到口一p 如一s 彻z c 触纪公式式。 足埕4 2 ，欢r ：殛g ) _ 鬻叫n 耋口苏孙吲0 证由式( 3 ) ，( 1 3 ) 可得： k ( 曰一一；口) t 矿 l ( 一c ) 一日一( ：) ( 以口l 一一c ；口) 。 ) 一一= 一- i _ _ 。一 ( 鼋，c ；q ) t ( 口q ；g ) * ( c ；q ) 一 ( 口留c ，口；q ) * 用- 咖i 三 ；毋一易b l 作用上式两端，其中口是自变量，则有： ( q 叫；q ) 矿( 6 p 矿；q k f ( q ，c ；q ) t ( 口矿，6 矿；g ) 。 = 筹鬻，z 卜叼三 = 一 ，_ ( c ；q ) 。( 口q c ，口，6 ；g ) o o 3 7 ic 叼l 一一c ，6 p 1 8 i ；口，6 q f i 1 口 一 堑婴宴二二鱼堕二旦翌坐竺竺蜊塑窒旦 由( 2 ) 式，即得到： s 如r ：乏终口) _ 鬻，zr 三卅毛礤吲c 】 令抛_ 么c - p 即得到此定理。 口 推论4 3 庐sr 耋耋；确g ) - 鬻矿耋笔鬻 ，妒zr g ；现孙9 】 征由上述定理可写成： 弋( 擘一”，以，易：孽k 矿 1 ，一毒一 蠹 ( 留，p ；留) 七( d ：g ) t 2 鬻矿耋篆瓣鬻 即 骞臀埘彻。 ：譬挚矿p 蝉竺丝丝唑垒：笙! 坐 ( p ；q ) 一 怠幻，口q 卜疗忙；q ) 舶( 由m 6 ；q ) = - 用渺。l 丢；q ，一印l 作用上式两端，其中d 是自变量，则可得到： 4 妒，r 耋善硌鸟) - 鬻矿耋鬻 筠警，zr 9 。毛g ；韶孙q ) 令盯_ ，即得到： 。，r ：；礤g ) - 鬻矿蠢笔鬻 ，咖r g ；觋孙q 】 1 9 第四章 g c ，l “一y n n d p 册d n 如公式的应用 s qg 鬟：毋吁】_ 篙叫q 一乏兹，g 耸6 潞日) 正由( 1 2 ) 可写成： 骞警c 棚* = 篱 用- 如( 三；g ，一阳) 作用上式两端，其中c 是自变量，则可得到： ，驴2 r 乏耋孙q 】- 鬻矿 3 zr 芝兹川三纠) 令沈- d ，即证得上述定理。 口 推论4 5 。，( q 1 主乏；q ，q ) = 哿c 口6 ，d ”喜! 堡i 弓嬲 ，妒zr 圳g 豫，口劣等孙q ) 证? 由上述定理可写成： ，驴z ( q 一 主兰；g ，g ) = ! 三号毛芋鲁竽c n 6 ，c 尸，妒z ( q n ；兰，c ? ；q ，q ) 砉笪等尝謦c 蹦：机= c 曲肋”毫笪气象嵩导芷气象瓣 用- 妒。 三冯巾) 作用上式两端，其巾d 是自变量，则可得到： 4 ，( q 卅耋兰：；q ，q ) = c 口6 ，c ，“豁 q 一”g 。口芝兹d 孙留) q 卜n | f ，曲q 卜n | c d 一”1 令c 一工厂- c ，再令c p p 即得到上述定理。 口 娩 警 他五 些酬吖一g叫二 国一 。脚 第四章留一c “一y 册d p 册d 砒公式的应用 定理4 6 3 zr 三殛蚓曲) - 鬻，矽z r 茹p ；吼9 证? 由( 1 3 ) 式令口_ l 口，可以得到 用 - 九( 盟掣c 矿埘。= 器 三 ；g ，一加】作用上式两端，其中口是自变量，则可得到： 亡( 矿，叼h ，抛q h ；q ) 女( c 矿) ( 一1 ) q ( ：) 台 ( q ，c ，幻卜；q ) t 嚣，妒z ( c ；g h ”l ， 厶l 加 l 易， q l 一一口c ；留q 令以l 易_ l 易且结合( 1 ) 式可得到： ，2r ：警冲c 训n ) - 等，妒z r ：伽孙寸 令6 p _ d ，再令扫- d ，d _ 易，c p ，则上式可得剑此定理。 定理4 7 口 ，妒z ( 曰嘲三；鼋，d p 矿，口易) = ! 三i 等，妒z ( 口叫弓：；三：n ；! 影p ；q ，口q ，d 征由( 1 3 ) 式令c _ l c ，可以得到： 用 ! ：! ! 巫鲨! 型生! 兰! ：生 台 ( g ；q ) 咖( ( c q l 一；q ) 。 ：口叶：! 丝：坐 ( c n 留”，c q l 一“；日) m 舌 ；毋易。】作用上式两端，其中c 是自变量，则可得到： ( 穹一，口；g k ( 矿口) ( 一l 严g 一( ! )( 扫叼1 ；譬) ( q ；q ) i( c q 一，6 q 1 一；q ) 。 等掣篑，晚r i 。豫口幻) 2 l 脚 仃脚 第四章口一c i l h 一砒册伽如公式的应用 再令6 l 6 ，c _ l c ，再结合( 9 ) 式可得到： ；矿锩警，妒：r 芝兹川。二郫叫 再令6 p d ，6 _ d ，d 6 ，c e ，整理即得到上述定理。 口 定理4 8 薹篙等警矿，+ ：舡t ( ：l ，：【；仍材) = 笔掣m 饥l ( ：芑# c q ，字) 证? 由式( i ) ( 1 3 ) 可得到： 薹锱羰= 七= 0 、1 一1 ，、一1 17 田 ( 一c ) 一q ( ；) ( 口g l 一一c ；q ) 。 ( f ；g k( 口g c ；留) 。 用( 1 ) 作用上式两端，其中口为自变量，可得到上述定理。 2 2 口 广一 肛一矿一 紫 竺坟等 邗 一 一 。脚 参 考 文献 参考文献 【1 】g 。e a n d r e w s o n t l l ef o u n d a t i o no fc o m b i n a t o r i a l t h e o r yv e u l e r d i 仃e f e n t i a l o p e 氍i t i a 稿s t h a p p l m n t h l 1 4 ) ：3 4 5 3 7 5 1 9 7 l 【2 】1 k1 h e o r yo fp a n i t i o n s a 础f s 册- 切r 蹦妫f 馏l ，唧哆y j ，9 瓶 【3 】g e a n d r e w s q s e r i e s ：t h e i rd e v e l o p m e n ta n da p p l i c a t i o ni na n a l y s i s ，n u m b e r1 1 l e o c o m b i n a 鲥c s ，p h y s i c s ，柚dc o m p u t e ra l g e b 豫c 狲狐脚托 船，o 咖朋钟毙蹴j i nm n t h e m 口t i c s 。6 6 a m s 。p v i d e n c e ，r 1 19 8 6 【4 】g e a n d r e w s ，r a s k e y ，a n dr r o y s p e c i a lf u n c t i o n c 锄b r i d g eu n i v e r s i t y p r e s s ， c 口m b r i d g e i9 9 9 【5 】r a s k e ya n dj 晰l s o n s o m eb a s i ch y p e 唱e o m e t r i co r d h o g o n a lp o i y n o m i a l st h a tg e n e r - a l i z ej a c o b ip o l y n o m i a l s ，1 a m 彻咖勋c ，5 4 f f v + 5 5 ) ? 3 j9 ，j 9 酊 【6 】w n b a i l e y g e n e r a l i z e dh y p e 唱e o m e t r i cs e r e i e s c a m b r i d g eu n i v e r d i t yp r e s s ，c 锄一 b r i d g e l 9 3 5 【7 】w y c c h e na n dz 一g “u p a r a m t e rs u g u m e n t a t i o nf o rb a s i ch y p e 唱e o m e t r i cs e r i e s i ，i n ：b e s a g a n ，r p s t a j l l e y ( e d s ) ，m a t h e m a t i c a ie s s a y s ，i nh o m o ro fg i a n - c a l l o r o t a j c 小6 跏历d 馏ms 缸，6 衲叻西