（计算机应用技术专业论文）基于变分水平集方法的多目标检测模型.pdf

摘要 多相图像分割是目前图像处理与计算机视觉等领域的研究内容之一，在医学图 像处理，遥感图像处理及机器视觉等领域具有重要应用。由于问题的复杂性，多相 图像分割的建设与计算方法引起了图像处理与计算机视觉等领域的广泛关注。通过 水平集方法可方便的建立多相图像分割的数学模型。本文采用变分水平集方法建立 了一种新的多相图像分割的数学模型，包括的工作主要有t 提出了一种新的基于变 分水平集方法的多目标检测模型。这种模型实现了用n 1 个水平集方程对n 1 个目 标和背景共n 个区域进行检测。其次，结合测地主动区域模型的概念，在测地主动 轮廓线模型的基础上增加了基于概率分布区域的表达，将模型推广到g a u s s i a n 分布， r a y l e i g h 分布和其他许多分段常值分布情形。然后，在模型中用h e a v i s i d e 函数定 义了水平集函数所划分的各个区域的特征函数，从而解决了分割过程中产生重叠和 真空的问题，并用符号距离函数对水平集函数进行约束，避免了水平集函数的重复 初始化。本文根据提出的模型设计了p d e s 并推导了对应的半隐式差分格式，并通过 一些具体算例对文中提出的观点进行了可行性验证。 关键词：多相；目标检测；变分法；水平集方法 a b s t r a c t m u l t i p h a s ei m a g es e g m e n t a t i o n o b j e c td e t e c t i o ni saf i e l do ft h ek n o w l e d g ei ni m a g e p r o c e s s i n ga n dc o m p u t e rv i s i o n , w h i c hh a sb e e nw i d e l yu s e di nb i o m e d i c a li m a g e p r o c e s s i n g , s c e n ei n t e r p r e t a t i o n , v i d e oi m a g ea n a l y s i sa n ds oo n i ti sp a i dg r e a ta t t e n t i o n i ni m a g ep r o c e s s i n ga n dc o m p u t e rv i s i o nd u et ot h ec o m p l e x i t yo nc o n s t r u c t i o na n d m o d e l i n g i ti sc o n v e n i e n tt os e tm a t h e m a t i c a lm o d e lb a s e do nl e v e ls e tm e t h o df o r i m a g es e g m e n t a t i o n an o v e lv a r i a t i o n a ll e v e ls e tm e t h o df o rm u l t i p h a s eo b j e c td e t e c t i o n i s p r e s e n t e di nt h i sp a p e r , w h i c hu s e s 刀一jl e v e ls e tf u n c t i o n sf o r 刀一jo b j e c t sa n d b a c k g r o u n d t h ec o n c e p to fg e o d e s i ca c t i v er e g i o n sa l eu s e dt or e g i o nb a s e da c t i v e c o n t o u rm o d e lw h i c hu s e s g e n e r a lp r o b a b i l i s t i c d i s t r i b u t i o nf u n c t i o n s g e n e r a l c h a r a e t 舐s t i cf u n c t i o n so fe a c hr e g i o n sa r ed e s i g n e db a s e do nh e a v i s i d ef u n c t i o n so f l e v e ls e tf u n c t i o n sw i t h o u to v e r l a p p i n ga n dv a c 置l u mp r o b l e m s t h ec o n s t r a i n t so fl e v e ls e t f u n c t i o n sa s s i g n e dd i s t a n c ef u n c t i o n sa r ee n f o r c e di nt h ef u n c t i o n a lt oa v o i d r e - i r a t i a l i z a t i o n t h ec o r r e s p o n d i n gs e m i i m p l i c i ts c h e m e sa r ed e f t v e da n du s e dt os o m e e x a m p l e st ov a l i d a t et h em e t h o ds u g g e s t e di nt h i sp a p e r k e yw o r d s ：m u l t i p h a s e ；o b j e c td e t e c t i o n ；v a r i a t i o n a lm e t h o d ；l e v e ls e tm e t h o d 声明 学位论文独创性声明 本人声明，所呈交的学位论文系本人在导师指导下独立完成的研究成果。文中 依法引用他人的成果，均已做出明确标注或得到许可。论文内容未包含法律意义上 已属于他人的任何形式的研究成果，也不包含本人已用于其他学位申请的论文或成 果。 本人如违反上述声明，愿意承担由此引发的一切责任和后果。 论文作者签名： i 1 一乃日期：2 7 年彳月手日 学位论文知识产权权属声明 本人在导师指导下所完成的学位论文及相关的职务作品，知识产权归属学校。 学校享有以任何方式发表、复制、公开阅览、借阅以及申请专利等权利。本人离校 后发表或使用学位论文或与该论文直接相关的学术论文或成果时，署名单位仍然为 青岛大学。 本学位论文属于： 保密口，在年解密后适用于本声明。 不保密a 。 ( 请在以上方框内打“4 ) 论文作者签名：许若 刷噬轹1 护 日期：矽d 7 年g 月争日 醐：1 年月夕日 ( 本声明的版权归青岛大学所有，未经许可，任何单位及任何个人不得擅自使用) 概述 概述 多相图像分割和目标检测是计算机图像处理和计算机视觉的一个重要内容，广 泛应用于卫星图像分析，生命医学图像处理，场景分析，视频图像分析，基于内容 的图像数据库检索等许多领域。 ， 水平集方法自从由o s h e r 和s e t h i a n 提出后n 1 ，已经逐步成为图像分割和目标 检测领域的一种重要方法口1 。1 9 9 6 年，z h a o ，c h a n ，m e r r i m a n 和o s h e r 口1 提出变分 水平集方法。这种方法结合了变分技术和水平集方法，成为多模型成分集成和处理 拓扑变化的有效工具，应用于基于简化m u m f o r d - s h a h 阻1 模型的图像分割中，在图像 处理和计算机视觉领域受到了广泛关注口h 盯。根据变分水平集方法，c h a n 和v e s e 提 出了著名的c h a n v e s e 模型n 引，适用于分段常值和分段光滑情况，用n 个水平集函 数划分出2 项，并且克服了多重水平集函数存在的重叠和真空问题。s a m s o n ， b l a n c f e r a u d ，a u b e r t n 2 1 用n 个水平集函数划分n 相，利用 2 中的理论对多相图像 进行分段，其中包含了水平集函数避免重叠和真空的约束条件。l i e ，l y s a k e r ，t a i n 3 3 提出了两种对于分段常值多相图像分割的模型。第一种模型使用n 个值为1 或一1 的 离散水平集函数，第二种模型使用一个取n 个离散常值的水平集函数，通过l a g r a n g e 多项式差值建立区分多个不同相的基函数，建立了分段常值图像分割的变分水平集 模型。这两种模型都需要增加避免水平集函数重叠和真空问题的约束条件。c h u n g a n dv e s e u 钔用1 个连续的水平集函数，采用 1 1 的区域竞争策略，对分段常值情形 提出了一种分层的变分水平集模型，无需增加约束条件。 区域划分策略和基于区域的轮廓线模型表达是基于变分水平集方法的多相图像 分割中的两个重要方面。原先的一些区域划分策略n 町吖1 5 3 根据相来划分区域，但并没 在水平集方程和目标区域之间建立一种明确的关系。 1 2 使用了一个水平集方程表 示包括背景在内的每一个区域，因此可以使用不同的水平集函数来检测每一类目标。 由于水平集函数约束条件的存在，能够认定用n 个水平集函数划分n 个区域是多余 的，使用n 1 个水平集函数就可对n 个区域进行划分。比如背景图像可被标注为第 n 个区域，其余n 一1 个区域可以被当作n - 1 个目标分别用n 一1 个水平集函数来表达。 m a n s o u r i ，m i t i c h e 和v a z q u e z 皿还有a y e d ，h e n n a n e 和m i t i c h e 暖扣在研究中做了这 方面的工作，但是他们都没在变分水平集方法的架构之下处理曲线演化和水平集函 数的演化。 另一个扩展是基于区域的主动轮廓线模型，适用于超越分段常值假设的图像噪 声分布n 伽d h l 。事实上不同的图像获取方式和不同的概率分布是对应的，比如m r i 图 像与g a u s s i a n 分布相对应，u l t r a s o u n d 图像和r a y l e i g h 分布相对应，p e t 图像和 青岛大学硕士学位论文 p o i s s o n 分布相对应，s a r 图像和g a m m a 分布相对应口刚n 引。分段常值图像是标准差为 1 2 的高斯分布的特例。其他工作还有p a r a g i o s n 钔以基于区域的主动轮廓线模型 为基础，增加了基于概率分布的区域模型，创建了测地主动区域模型。此外，在泛 函设计过程中，可以将符号距离函数作为一种约束应用于水平集函数当中，避免了 水平集函数重复初始化的问题。 本文的组成部分如下：第一章介绍水平集函数的一些基本概念和一些基于变分 水平集方法的边缘和区域检测的图像分割模型。第二章介绍了几种主要的基于变分 水平集方法的多相图像分割模型。第三章提出一种新的多目标检测模型，这种模型 用n 1 个水平集函数分割n - 1 个目标和背景共n 个区域，这部分也是整篇论文的核 心。而后在第三章后半部分对这种新模型的半隐式差分格式进行表述。第四章针对 新模型给出了一些多相分割算例。 第章水平集方法 1 1 水平集方法概述 第一章水平集方法 水平集方法的核心思想早在1 9 8 7 年就已经初步形成，由s e t h i a n 与o s h a r 联合 提出并在1 9 8 8 年正式以论文形式发表。这种方法被用于解决图像分割问题，并体 现出数字鲁棒性，曲线演化随意性等优点。水平集方法不仅在图像科学中有极大的 意义，在与之相关的其他科研领域内同样可以取得成功，一经出现就引起了计算机 图像各界的强烈关注，并与p d e ( 偏微分方程) 相结合侧嘲1 ，取得了不少新的应用 成果。 水平集方法在涉及图像边界演化的图像处理问题上起到了很重要的作用。这些 曲线多数是按照固定物理定律或者特有的轮廓模型来进行演化的。演化过程中，形 状随着时间进行碎裂，合并和消失。同时水平集方法在对于处理无规律拓扑变化问 题上，也有显著进步。 1 2 水平集方法应用于图像分割的基本原理 如图1 1 给出了一幅典型的矩形数字图像，图像强度为“( 工，) ，) ：口- - d ，图像边 界为加。通过水平集方法对其进行分割，通过零水平集厂( f ) 分割成为不相互重叠的 不同类的两个区域目，恐。分割必须满足以下条件力= 墨u 恐，墨n 恐= o ，其中零水 平集就是区域焉的边界，即厂( f ) = 竭。 图1 1 水平集函数的表示 水平集函数定义为如下形式： 青岛大学硕士学位论文 i 嘶，五力 0i f 伉力i si n s i d e 川) 卿，五力= o f 阮力i so n 厂( f ) 卜( 1 ) i t d ( t , x , y ) 0 而且是固定的参数，用来衡量各项的能量。为了使似，c ) 的能 量最低，需设定为一个最优值，这个值要通过初始物体“和噪声来确定。而c 起 到不断逼近u 边缘的作用。在c 外保持平滑。这个最小值的存在性和规律性在 m u m f o r d 和s h a h ( 1 9 8 9 ) 嘲原文中都已给出。 通过对进行分段常值约束，, - t p a 得到一个较为精简的模型。比如对应每个部 分q ，把设为常值坼，得到分段常值情形下的简化m u m f o r d s h a h 模型： 昱船( c ，) = ；j ( “一) 2 妫+ v l c i l 一( 1 8 ) 1 3 3c h a n - v e s e 模型 水平集方法研究早期所形成的模型都有一个共同的缺点，以测地主动轮廓线模 型为例，就是要依赖于边缘检测函数e ( i v i ) ，对于边缘计算参数l v “l 的计算理论上 需要趋于无穷大的时候才可判定为曲线到达图像的边缘。但是在实际计算过程中， f v u i 很难达到无穷大，总是一个有限值。所以容易导致判定不准确从而使零水平集 越过图像实际的边缘。如果图像中目标的边缘比较光滑，那么在这种情况之下，边 缘也识别不好。另外一种情况就是当图像本身较模糊，或存在许多噪声的情况下， 用高斯卷积将整个画面光滑化时容易把目标的边缘也模糊化，从而影响水平集函数 本身的逼近和准确性。因此，早期的基于水平集方法的图像分割模型普遍对边缘要 求较高，不利于某些图像的收敛。而且对于初始零水平集函数要求比较苛刻( 一般 要求该水平集闭合曲线包含所划分的目标) ，这就会引起许多实用过程中的不完善 性，需要进行改进。 c h a n 和v e s e n 伽针对上述问题进行了改进，结合水平集方法和简化m u m f o r d s h a h 模型，引入了不受边缘限制的主动轮廓线边缘识别方法n 训。 青岛大学硕士学位论文 n l 一 圈13 简单韧始轮廓线 如图1 3 所示，q 表示整个开放的二维平面，c 是初始曲线设c 内部的分段 常值逼近近似值( c 内部的灰度平均值) 为4 ，c 外部的分段常值逼近近似值( c 外 部的灰度平均值) 为如，瑶，啦分别表示c 内外的灰度逼近值，瑶，瑶随着c 不断靠 近目标边缘有瑶斗，以呻“：，用巨( c q ) ，岛( c ，“：) 分别表示c 内外的逼近程度。 由此可得到如下泛函： 与( c m ) = ( 醒一屿) 2 如咿 岛( c 虬) = “一叱) 2 出毋 卜( 1 9 ) 耳( c ，畸) + 县( c ，如) = l ( 瑶一h ) 2 蚴+ ( 以一如) 2 t 6 西， 对于1 一( 1 9 ) ，如果要使c 逼近目标边缘，存在如下最优问题： 警瞩( c ，) + 巨( c ，叱) ) 初始曲线c 与目标之间存在五种相对位置如图1 4 所示 第章水平集方法 厂弋 l n l 一 ( 0 圈14 ( y a a n - y e s e 模型中曲线与目标物件的五种相对位置 如图1 4 所示，( a ) ( e ) 对应于曲线c 和目标的五种相对位置，同时由卜( 2 0 ) ， 可以将其分为四种情况，口，。，其中情况f r 实现了对目标的逼近： i ：( d ) 巨( c ，q ) q 巨( c u 0 * 0 ：秭，且( c “1 ) z 0 ，岛( c ”2 ) 0 1 1 1 ：( d ) 五( c ，m ) o ，最( c ) 0 i v ：( 0 气( c q ) * o e 2 ( c ，“：) * 0 c h a n v e s e 模型“”，根据上述四种情况，结合水平集方法和简化m u m f o r d s h a h 模型，引入规整化的h e a v i s i d e 函数和d i r a c 函数，对水平集函数口的内外两个区 域定义了特征函数，表示如下： 其中 e ( c q ，“：) = ( 一q ) 2 z , a x a y + ( “一u 2 ) 2 x 2 d w l y + v i c l 卜( 2 1 ) 青岛大学硕士学位论文 y ：j 日( 咖) ，f = l 矿o ，y ) 妇刀s 胁厂( 1 一( 2 2 ) 川 1 1 一h ( 驴) ，i = 2 矿o ，y ) 妇o u t s i d e 厂o ) 用水平集函数口取代曲线集合c ，用1 - ( i l ) 和卜( 1 2 ) 所表示的周长和面积取代 v l c l 得到： e ( 谚l l t ，屹) = l 一l l i ) 2 石西毋+ l 一) 2 厄西咖+ l 日( 斜山咖+ 8 ( 矽) l v 叫d x d y l 一( 2 3 ) 根据具体情况对每一项增加了控制系数，得到c h a n y e s e 模型的标准能量泛函 聃恍：躲= 篇1 。删触 h 2 4 ， 叩l 矾例l d 砂+ 7 l 烈卿i v 叫d 砂 其中u 1 , 1 4 2 分别为零水平集内、外的平均图像强度，对应的最优模型为： i n fe ( 咖，魄，吻) 口，l i 屹 卜( 2 4 ) 在多( o ，x ，力= 岛瓴力条件下，满足： 1 一( 2 5 ) 丝! ! ：垫：丝2 ：0 丝! ! ：垫：竺2 1 二o 1 一( 2 6 ) 龇优 由卜( 2 6 ) 很容易求得参数u 。，“：分别为： 岣=两iu h ( t p ) d x d y ，屹= 可iu ( 1 丽- h ( ) ) d x d y 1 俐 零水平集多移动时根据曲率求周长最小化，根据恒定速度求面积最小化。对于 能量泛函的长度项和面积项对时间求偏导数，得到： 竿刊卵福i v ) a f 、。、 西r 1 一( 2 8 ) 第一章水平集方法 掣：缈( 驴) a 。 、 其中尚表示国的一个水平面上曲线各点的单位法向量， 上曲线的曲率。 由此得到能量泛函卜( 2 4 ) 的最优解为如下p d e 的稳态解： 卜( 2 9 ) 阢( 尚) 表示水平面 警叫纠p 伪h ”吲产 叭小口 黑罂；0 i v 中i 锄 咖( 0 ，毛y ) = 嘞“y ) 0 i 加 卜( 3 0 ) 切口 其中参数嘶心分别为：t t = 筹篙筹，屹= 甓 1 3 4 测地主动区域模型 p a r a g i o s n 鲫提出了测地主动区域模型，该模型在测地主动轮廓线模型基础上增 加基于概率分布的区域模型。后者基于如下最大后验概率： p ( 尸( r ) l “) ：p ( u l e _ ( r 一) ) p ( 尸( 尺) ) 口p ( “i 尸( 尺) ) ；p ( “i 尸( 马) ) p ( 材ip ( r 2 ) ) 1 一( 31 ) p t u ) 卜( 3 1 ) 式基于墨，恐内的概率分布独立性的假设。如果假设每个区域内各像素概 率分布是独立的，则有： 从而： p 似i 尸( 马) ) = 兀胁o o ) ) ，i = l ，2 1 一( 3 2 ) p ( p ( 尺) i “) = 兀朋( “( s ) ) 兀见( “( s ) ) 卜( 3 3 ) 上述后验概率最大化问题卜( 3 1 ) 可转化为如下能量泛函的最小问题： 青岛大学硕士学位论文 其中： e ( p ( r ) i “) = 丘g 出妙+ k q 2 删) ， l 一( 3 4 ) q ；= 一l n 暑，i = 1 ，2 1 一( 3 5 ) 通常日= 日( “，岛) ，其中岛为概率密度函数中包含的参数，从而有q = q f ( “，岛) 。因 此，测地主动区域模型可由如下能量泛函的极小值问题进行构建： e ( 咖，岛，岛) = 嘶l g 日( 科出砂+ 啦l 奶( 1 一( 少) ) 出砂+ ，l g 万( 卿i v 咖i 出妙1 一( 3 6 ) i n fe ( 咖，岛，0 2 ) 的最优解为如下p d e 的稳态解： 掣硒曲 警叫卿翮嘲岫 i n ( o , o o ) x 口 g 黑娑：0 伽加 1 一( 3 7 ) g 丽面2 伽出7 1 一l j7 ， 驴( q 五夕) = 岛( 毛y ) 纫口 第二章基于变分水平集方法的多相图像分割 第二章基于变分水平集方法的多相图像分割 2 1 用n 个水平集函数分割n 相的模型 s a m s o n 等人n 2 1 提出了基于z h a o 等人乜1 的变分水平集方法的多相图像分割，用1 3 个水平集函数划分n 相。图2 1 表示一个六水平集函数的实例： 图2 1 六个水平集函数分六相 令咖= t e l ，哆，嚷) ，且也( 面) ，疋( 口) 由卜( 9 ) ，卜( 1 0 ) 定义。必须引入如下约束条 件使水平集函数避免重叠和真空问题： h a 中) - i = o 2 一( 1 ) i = 1 泛函表示如下： 即劫2 喜嘶与q 州) d x _ d y 言届l 州姜乃l 阳2 吨， + 詈l 喜h 卜 一 在泛函中口= 岛，岛，吒 是联合概率分布参数。 i n f e ( 痧，p ) 的最优解是如下p d e s 的一个稳态解： p f 青岛大学硕+ 学位论文 警吲田，m g 尚 嘲丹a 阻c 州 i n ( 0 , o o ) x g 禹等- o 彻加啡，一2 _ ( 3 ) 嘭( 0 ，工，y ) = 啕。( 工，y ) 2 一( 2 ) ，2 一( 3 ) 是在n 2 1 中届= 。，奶= 可( u - u i ) 2 条件下的结果。 2 2 用n 个水平集函数分割2 相的模型 v e s e ，c h a n n 针对分段常值多相图像分割，提出用n 个水平集函数表达2 个相 的多相图像分割变分水平集方法。该方法可自然避免水平集函数间的重叠和漏分问 题。图2 2 表示3 个水平集函数的情形。 啦_ ( 0 龟 0 岛( 0 呜 盯 吗 0 磊 0 啦 0 如 ：一 篙0 磊 ! ：! q 能量泛函如下： 图2 2 三水平集函数分割八相 第二章基于变分水平集方法的多相图像分割 e ( 中，d2qlq l ( 1 一日( 田) ) ( 1 一日( 呜) ) ( 1 一h ( 呜) ) d x d y + a 2 i a q 2 0 一日( 嘲) ) ( 1 ( 嗖) ) 日( 呜) 出妙 + a 3b 珐( 1 一是( 乌) ) 碍( 岛) ( 1 一嚣( 乌) ) 出妙 + lq i ( 1 一日( 田) ) 日( 啦) 日( 呜) 出妙 + 呜l 幺日( 田) ( 卜日( 呜) ) ( 1 一h ( 呜) ) d x d y 2 一( 4 ) + a 6l 幺日( 国) ( 1 一日( 呜) ) 日( 呜) 出妙 + 嘶l q 7 日( 田) 日( 嘎x 1 一h ( 呜) ) d x d y + a sl g 日( 嚷) 日( 哆) 日( 呜) 由咖 + 屏l 日( 嘭) 出渺+ 乃l g 万( 嘭) i v 嘭i 出砂 水平集函数岛的演化方程为： 譬：a ( a t ) a 府( g 罱卜鲫叫哆) x i - h ( 删+ 屹鲫圳呜煳呜， + 吩q 3 日( 哆) ( 1 一日( 呜) ) + q 4 日( 哆) 日( 呜) 一a s q s ( 1 一日( 哆) ) ( 1 一日( 呜) ) 一a 6 q 6 ( 1 一h ( 4 l i x ) ) h ( 呜) 呜q 7 日魄一日鸭) ) 一a s q s h ( 晚) h ( 也i ) 一层】 2 一( 5 ) v e s e ，c h a n n 针对分段常值多相图像分割不受水平集函数数量的限制。无论有 多少个水平集函数，都可以将能量泛函2 一( 4 ) 归纳为一个通用的表达式，为了便于 计算，当q f = 0 一蜥) 2 , g = 1 时表示如下： 其中， 互( 哦d2 砉嘶l q 日( 嘭) 新蛐+ 喜岛l 日( 嚼) 血砂+ 姜所l 万( 嘭) i v 田i d x d y2 一( 6 ) 嘶= 百f 蛤u x 面i d x d y 2 一( 7 ) 2 一( 7 ) 中石是区域的特征函数。对i = l 2 ”，2 ，i - 1 的二进制表达为吐l 雏l 硝，从 而，第j 个区域的特征函数可表示为： 1 5 青岛大学硕士学位论文 b ：石= 舒一, h k ) + ( 妒如粥) 2一(8)k= ll j i n f e ( 痧，口) 的最优解是如下p d e s 的一个稳态解： 口f 警叫纠 苘，+ 善n 俐棚2 + 黔n 峨h 删1 + 锄嚷，h i n ( 0 , o o ) x 0 黑娑：0 o 刀加 2 一( 9 七1 一= 刀优? z l v ， i v 函i 葫 一 中( o ，x ，y ) = 嘞o ，力 切口 其协”舻且岣= 苗。 对于分段常值的多相图像分割，l i e ，l y s a k e r 和t a i n 3 1 提出了如下离散水平集 函数： 呜( 毛力= 二l 矿f “( x , y y ) ) 括i s 。i n 姚s i d 池er 墨，( f - l ，2 ，忉 2 一( 1 。) 这个函数的约束条件是： 墨( 研暑砰一1 = o 2 一( 1 1 ) 1 3 还提出了另一种用n 个水平集函数分割2 多相图像分割模型。简单的说， 令咖= 确，呜，略) ，k = 隔，局，昂 ，五= ，如，知) 对于区域r ( i = l ，2 ，2 ) ，将 f 一1 的二进制数表示成6 f 一1 碜1 砖1 ，妒1 = o v l 并且对不同的区域定义如下基本函数： 其中， 彤：学鱼( 叫一2 6 ：；t ) 二 ，= i 2 一( 1 2 ) 第二章基于变分水平集方法的多相图像分割 ， j ( f ) = 6 ：；- 1 ，专i 那么分段常值图像可表达为如下形式： 2 r “= j = l 在这里c f 表示一个分段常值。 对于区域足，零水平集的周长和被其包围的面积可表示如下： l e n g t h ( a l ) = l i v 鬈i 蛐 4 ，p 口( 墨) = l 彬d x d y 提出的扩散泛函如下所示： 2 一( 1 3 ) 2 一( 1 4 ) 2 一( 1 5 ) 2 一( 1 6 ) 聊 川。小妒一薹屏l 彤蛐+ 驯2 m v 鬈2 m 7 ， + 姜 l 墨蛐+ 詈砉l 砰蛐 一 i n fg p ，c ，无声) 的最优解是如下f d e s 的一个稳态解。 驴，c ，丑， - 警t = a ( u - u ) 凳勺普一薹咿f ，翌i w s l 恒j 彻, 2 枷2 ( 酬嘭 2 加8 ， 在这里，= 2 k - l + 肿( ) ，c ：f 是竽；o 的解。 2 3 用1 个水平集函数分割n 相的模型 基于c h a n 和v e s e 的多相分割的策略n ，c h u n g ，v e s e 提出了一种新的多相图像 分割的变分水平集模型。该模型用一个分层水平集函数划分n + l 相。l = ，2 ，) 包 1 7 青岛大学硕士学位论文 含了n 个常值，在此 = o ，i t 2 t 3 。水平集函数中( 工，y ) 是一个连续函数，如 图2 3 所示。其中的n + 1 个区域定义如下： 墨= “y ) ：烈五力 ) 恐= “y ) ：，l 卿，y ) 如 弓= 伍) ，) ：0 l ( 多k 力 厶) 图2 3 用一个分层水平集函数进行多相分割 这种模型的能量泛函如下所示： e ( 或d 2 嘶l q 日( m 训) ) 蛳。荟嘶l 1 2 i h ( 蜘h ) 日( m 训) 脚2 删 + + ll g + 1 日p ( x ，y ) 一，一) 出妙+ ， z 闰i j v n ( 毋一，i ) i 出妙 i n f e ( 西，刃的最优解是如下p d e 的一个稳态解。 毋0 1 8 ，第二章基于变分水平集方法的多相图像分割 警= 刚删g + 苕坝叫- 1 ) 矾卅q 埘，f 叫胛4 1 ) q ：f 】 叫_ 帅如叫( 蒯 翌竺丝：。 l v 多i a ：i i 中( o ，工，力= 岛“j ，) 伽( 0 ，) 2 o n8 q f 以口 2 一( 2 0 ) 对于类似的用一个分层水平集函数进行多相图像分割的问题，n 3 1 提出了另一类 水平集函数如下： 中= i n 碍，i = 1 ，2 ，刀 不同区域的基础函数定义如下： 耻去l - i ( 皿观q2 n ( h ) - 分段常值的图像可如下表示： 疗 “= 嘞巧 i = l 2 一( 2 1 ) 2 一( 2 2 ) 2 一( 2 3 ) 区域玛的零水平集的周长和零水平集所包围的面积表示方法同2 - ( 1 1 ) ，2 一( 1 2 ) 。 水平集函数驴必须满足下面的约束条件才能避免重叠和真空问题。 k ( 函) = ( 多一1 ) ( 咖一2 ) ( 中一刀) = l - i ( 中一d - - 0 2 一( 2 4 ) 1 3 提出的扩散泛函表示如下： 脚恕伽口驴一”1 2 蛐+ 姜l i l v 鬈。蛐+ l 2 k ( 痧) 蛐+ 詈班( 刮2 蛐2 一( 2 5 ) i n fe ( u ，中，a ) 的最优解是如下p d e 的一个稳态解。 ”掣 青岛大学硕士学位论文 警= 叫c 小”，嚣+ 夕砉v ( 尚) 等一a 丽o k 一肚丽o k 2 一c 2 6 ， 其中五= 五一1 + ，后( 砂) ，嘶是_ o e ：o 的一个解。 c i l | 2 0 第三章一种新的多目标检测模型 第三章一种新的多目标检测模型 在这部分中，提出了一种新的多目标检测模型，该模型实现了用n - 1 个水平集 函数对1 1 个目标区域进行检测。首先对于多相区域划分进行推导，归纳出区域特征 函数石的通式，然后结合概率分布函数和基于符号距离函数的约束项，设计了此种 新模型的能量泛函。通过变分法获得该模型的p d e s 并通过半隐式差分格式得到了最 终的迭代格式。 3 1 多目标检测模型通式的推导 图3 1 一水平集函数分割两个区域的情况 如图3 1 所示，平面q 是开放的二维平面，水平集函数哆将整个平面分割为两 个部分墨和r 。其中墨表示被水平集函数分割的区域，足表示背景区域。根据 c h a n v e s e 模型n 0 1 ，对墨和足定义区域特征函数如下： = 。黑葛参曷： 3 m ， 如果增加一个水平集函数，那么情况如图3 2 所示： 图3 2 两水平集函数分割三个区域的情况 青岛大学硕士学位论文 由图3 2 可以看到，在平面q 内，水平集函数嘭，哆将整个平面分割为三部 分墨，恐和恐。其中墨，是表示被水平集函数分割区域，马表示背景区域。由一 个水平集划分两个区域的情况，由3 一( 1 ) 可以得到如下特征函数表示： 墨的特征函数为： 墨：石= 日( 留) 定义墨之外的区域，用墨表示，由3 一( 1 ) 可知墨的特征函数为： 墨：缸，= l 一日( 留) 3 - ( 2 ) 3 一( 3 ) 定义恐，由于是c 墨，因此可以通过墨的特征函数一。对恐的特征函数进行 定义，可将是的特征函数定义为如下形式： r ：筋= 一。日( 哆) = 【1 一日( 田) 】日( 哆) 3 一( 4 ) 同理可以通过墨的特征函数对墨，恐外共同区域( 背景) 的特征函数进行定义， 这个区域可以用置是来表示，不过对于这种情况，可知墨恐= 毛。则墨的特征函数 可以定义为： 忍：筋= 一。【i - h ( ( ：p 2 ) 】 = i f - 日( 哝) 】【l 一日( 哆) 】 3 一( 5 ) = 1 一日( 噜) 一日( 呜) + ( 噜) h ( 鸣) = l 一石一筋 如果将水平集函数的数量增加到三个，将整个平面分割成四个区域，那么情况 如图3 3 所示。 第三章一种新的多目标检测模型 图3 3 三水平集函数分割四个区域 由图3 3 可以看到，在平面q 内，水平集函数嚷，哆，嚷将整个平面分割为 四个部分墨，是，恐和r 。其中墨，足，恐表示被水平集函数分割区域，r 表示 背景区域。由前面两种情况的分析和类推，可以很容易的表示出r ，是，墨和心的 特征函数分别为： 墨：筋= 日( 哝) 足：筋= 屁一。日( 哆) = 【l 一日( 田) 】日( 哆) 3 一( 6 ) 民：筋= 一：日( 呜) = 一。【1 一日( 鸣) 】日( 呜) = 【1 一日( 田) 】【l 一日( 哆) 】日( 呜) 蜀：厄= 缸：【1 - 日( 呜) 】 = 【1 一日( 田) 】【1 一月( 哆) 】【l 一日( 呜) 】 = 1 一日( 哝) 一日( 哆) 一日( 呜) + 日( 田) 日( 哆) + 日( 瞬) 日( 呜) 3 一( 7 ) + 日( 哆) 日( 呜) 一日( 留) 日( 鸣) 日( 呜) = l 一石一筋一筋 由此可以推得n - 1 个水平集函数的情况： 对于n 一1 个水平集函数划分l q 个区域的情况，平面上的目标区域和背景区域分 别用墨，足，r 兄来表示。其中墨到兄一。表示由水平集函数所划分的目标区域，民表 示背景区域。所用的n 一1 个水平集函数可以简化的表示为：痧= 哆，哆，哦一。 。 对应不同区域的特征函数从数值上可以近似表示成： 石= 三荔 二：；主鬟 声，z = t ，2 。刀 3 一c 8 ， 青岛大学硕士学位论文 通过对3 一( 6 ) ，3 一( 7 ) 的观察可以发现，前n 一1 个区域蜀，足，弓兄一。和背景兄的 特征函数的表达各具规律性，但形式不同： 根据3 一( 4 ) ，3 一( 6 ) 可归纳得到水平集函数所划分的前n 一1 个区域的特征函数为 如下通式： n - i 石= 兀 1 一日( 哆) p ( 嘭) f o ，i = i ，2 刀一1 3 一( 9 ) ，= l j 村 根据3 一( 5 ) ，3 一( 7 ) 可归纳得到背景区域的特征函数为如下通式： n - i z t = i - z j f o r i = n j = l 3 一( 1 0 ) 定义石是为了确保当f 的时候q = u 足且足n 弓= o 。根据3 一( 9 ) ，3 一( 1 0 ) 对 i = 1 水平集函数划分的n 一1 个区域和背景区域的特征函数的归纳，并对特征函数石求水 平集函数嘭的偏导数得到： a z i a 嘭 兀n - i 1 一日( 哆) p ( 哆) 万( 哆) i f ，f j = l j * i , j 1 f o r l ：1 ，2 。f 3 一( 1 1 ) n - - i 兀 1 一日( 嘭) p ( 鸱) fl = i j = l “ 3 一( i1 ) 可表示为如下形式： 其中， 盖叱舻坝嘭) 3 一( 1 2 ) 第三章一种新的多目标检测模型 彤( 痧) = 讨 1 一日( 哆) p ( 哆) i 7 r ，f = i ，“ 3 一( i 3 ) n - lp _ 兀 1 一日( 哆) i fl = i 3 2 基于区域概率分布函数的表达 以测地主动区域模型为基础，对基于区域的图像分割公式卜( 3 1 ) 到卜( 3 5 ) 进行 扩展，得到对n 个区域概率分布函数的表达如下： 其中， 即( 驯加姜丘幺蛐 q = 一l n 毋，i = 1 , 2 。j l 3 3 符号距离函数表达及p d e s 设计 3 一( 1 4 ) 3 一( 1 5 ) 由前面几部分推导得到的特征函数表达通式和区域概率分布函数表达式3 一( 1 4 ) 将对n 一1 个目标和背景的检测定义为如下泛函，其中增加的最后一项来确保水平集 函数具有符号距离函数的特性。 e ( 函) ：芝q ，q 石西砂帆，q 乞函砂+ n - i 属，石西吵 + 艺乃| l 蚴+ i z ”1f ( f v 哆i - 1 ) 2 螂 31 6 忙1 力口 扭1 口 一() i = i 口y = lj 。 根据扩展后的概率分布函数表达式3 一( 1 4 ) ，3 一( 1 5 ) 对不同区域的概率分布函数 进行计算，并将结果q 引入3 一( 1 6 ) ，使该模型具备识别概率分布图像的特性。 以归整化后的h e a v i s i d e 函数表示各区域的特征函数石，并用石来表示长度项 和面积项有助于进一步避免分割中区域产生重叠和真空的问题。同时3 一( 1 6 ) 增加了 符号距离函数项譬n - i ，( iv 哆i - 1 ) 2 出砂对水平集函数的演化进行约束，有效的解决 。，2 i 口 青岛大学硕士学位论文 了演化过程中水平集函数的重复初始化问题。 将3 一( 1 0 ) 代入3 一( 1 6 ) 将3 一( 1 6 ) 整理得到新的多目标检测模型的能量泛函： ( 西) ：，q c i j c 咖+ n - i ( q q a 。q , ) x , d x d y + 芝届，石蚴 n i = lni = i n + 芝乃j 1 i 出咖+ 等芝，( i v 哆l - 1 ) 2 出咖 j = l 口。= l 力 彤可少) 的最优解是如下p d e s 的一个稳态解。 中 等叫嘭， 耖( 苇铲挎噼咖隅c 痧) ) + a c , , - v ( 禺) i n ( o , o o ) x d 陆娣铲+ 嘭( o ，z