（基础数学专业论文）二阶hamilton系统同宿轨的存在性与多解性.pdf

艟 l 童 吨 x i i ， 目录 目录 摘要i a b s t r a c t i 第1 章 1 - 1 1 2 1 3 第2 章 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 第3 章 3 1 3 2 3 3 3 4 第4 章 4 1 4 2 4 3 引言1j - 仁j 研究的问题及其背景1 一些符号和定义3 论文的结构安排4 无( a r ) 条件的二阶h a m i l t o n 系统同宿轨解的存在性5 丰要结论5 定理2 3 和定理2 5 的变分框架7 定理2 3 和定理2 5 的证明8 定理2 7 的变分框架1 4 预备定义及引理1 6 定理2 7 的证明1 7 无强制条件的二阶h a m i l t o n 系统同宿轨解的多解性2 6 主要结论2 7 变分框架2 7 预备引理3 l 主要结论的证明3 2 无( a r ) 条件的非周期薛定谔方程解的存在性3 9 主要结论3 9 变分框架4 1 主要结论的证明4 4 参考文献5 3 致谢5 8 于， 西南大学博士学位论文 攻读博士学位期间发表的学术论文5 9 i i 吣 j 誊 土 囊? f l 摘要 二阶h a m i l t o n 系统同宿轨的存在性与多解性 基础数学专业 指导教师 博士研究生万莉莉 唐春雷教授 摘要 在本文中，我们首先研究下面的- 阶h a m i l t o n 系统： 我们做如下的假设： 西( ) 一l ( t ) u ( t ) + v w ( t ，u ( 亡) ) = 0 ，t r ( 0 - 1 ) ( a 1 ) l ( t ) 和( ，z ) ；关- y - t 是1 一周期的； ( a 2 ) l ( t ) 对于所有的r 一致正定； ( w 2 ) 当z - o 时，v w ( t ，x ) l i x f 一0 对所有t r 成立； ( w 3 ) 当蚓叶o 。时，w ( t ，z ) i z l 2 一+ 对于砌戎立； ( w 4 ) 存在常数a o 1 ，d l 0 ，如 0 使得 l w w ( t ，z ) i d l l x a o + 如对所有乏和z r 成立； ( w 5 ) 存在常数o l o ，d s 0 ，r i 0 使得 ( v w ( t ，z ) ，。) 一2 w ( t ，z ) 也f z 尸对所有的r 和i z i r l 成立； ( 睚) 存在常数q q o 一1 ，也 0 ，r l 0 使得 ( v w ( t ，z ) ，z ) 一2 w ( t ，z ) d 4 i x l 口对所有的r 和i 。i r l 成立； ( ) ( v w ( t ，z ) ，x ) 2 w ( t ，z ) o 对所有t r 和z r o ，成立； ( 联) ( v w ( t ，z ) ，x ) 2 w ( t ，z ) o 对所有的t r 和z r ( o 成立； ( ) 存在有界集bcr ，其中i n t ( b ) 国，和常数p 2 ，p 尚满足 ( i ) 0 t w ( t ，x ) ( v w ( t ，z ) ，z ) 对所有b 和z 掣 o 成立； i 西南大学博士学位论文 ( i i ) 0 2 w ( t ，z ) ( v w ( t ，z ) ，z ) ；( l ( 亡) 。，z ) 对所有tgb 和z 酞成立； ( w 8 ) 对任意0 a 0 ； ( w 9 ) 存在常数r 2 0 ，使得w ( t ，x ) 0 对所有t r ，l x i r 2 成立； ( m 2 ) w ( t ，z ) = w ( t ，一z ) 对所有酞和z 酞n 成立； 。 ( l ”) 存在常数，y 1 雠4 m e a s ( t i r l 一 l ( t ) 芝m o h ) o 成立； ( l 1 ) 对( ) 的最小特征值z ( 亡) 三i n f i z i ：t ( l ( t ) x ，z ) ，存在常数7 1 使得当_ o 。时 有2 ( 亡) 一，_ + o 。； ( l 2 ) 存在常数 0 和矿 o 至少使得以下命题之一成立： ( i ) l c 1 ( r ，酞2 ) ，l l ( ) z l l ( ) z l 对所有 f 和z 1 r n 且i z i = 1 成立； ( i i ) l c 2 ( 豫，r 2 ) ，( ( ( 亡) 一三( ) ) z ，z ) 0 对所有川 f 和z r _ n i x l = 1 成 立，其中7 ( ) = ( d d t ) l ( t ) ，l ( ) = ( a r 2 d t 2 ) ( ) ； ( l 3 ) 存在常数f l 0 使得z ( ) ：= i n f i z i ：l ( l ( ) z ，z ) 一l l 对所有f 皂成立 我们得到如f 韵结果： 定理2 3假设c ( r ，i r 2 ) 和彬c 1 ( 酞则，瓞) 满足条件( a 1 ) ，( a 2 ) ，( ) 一 ( w 4 ) ，( w b m ( w ；) ，那么系统( o _ 1 ) 至少有一个非平凡的同宿轨解 定理2 5假设c o t ，i r 2 ) 和彬c 1 ( rx 瓞，r ) 满足条件( a 2 ) ，( ) ，( 鹏) ， 那么系统( 0 _ 1 ) 至少有一个非平凡的同宿轨解 。 定理2 7假设c ( 酞，酞2 ) 和c 1 ( 酞xr ，r ) 满足条件( 1 ) ，( l 2 ) ，( ) 一 ( ) ，( 联) ，( 眠) 和( ) ，那么系统( o - 1 ) 至少有一个非平凡的同宿轨解 定理3 2假设c ( r ，酞2 ) 和w c 1 ( rxr ，r ) 满足条件( ”) ，( 9 3 ) ，( ) 一 ( 眠) ，( m 2 ) ，那么系统( 0 _ 1 ) 存在无穷多的同宿轨解 接f 来我们考虑下面的s c h r s d i n g e r 方程： i i 一+ y ( z ) u = i ( x ，“) ，x 腿n ( 睢2 ) a 1 产 z f i 一 摘要 我们的主要结果如下： 定理4 1假设y c 1 ( r ，r ) 和，c ( r r r ) 满足 ( d 1 ) 存在常数m 0 使得y ( z ) - m 对所有z r 成立； ( d 2 ) 对任意r 0 和任意趋于无穷大的子列( z n ) cr 有 ，l i m i n f b 。( 酬2 + y ( z ) u 2 ) 如= + o 。， 其中肛n = u 础( b n ) l l l u l l l 。( b 。) = 1 ) r b n = b ( z n ，7 ) 表示以z 竹为心，7 - 为半 径的开球： ( d 3 ) 当h - 时，( x ，s ) so + o c 关于z 一致成立； ( d 4 ) 存在1 1 9 1 使得p 户( z ，s ) p ( x ，s ) 对所有( z ，s ) 酞r 和t 【0 ，l 】成立，其 中户( z ，s ) = ( x ，s ) s 一2 f ( x ，s ) ，f ( x ，s ) = 片f ( x ，z ) d z 另外，假设存在常数c 和函数k z o d c 0 ( r ，酞) ，其中k ( z ) c 0 对所有z 酞成 立，满足以下条件： ( d s ) 存在常数如 0 ，q 1 1 ，r 3 0 使得 k ( z ) d 6 ( 1 + ( m a x o ，y ( z ) ) ) 百1 ) 对所创z i 飓成立； ( d o ) 存在常数d 7 0 ，1 p 0 ，l 0 ，d 2 0s u c ht h a t i v 仉( ，z ) i d l i x l q 。+ d 2f o ra l lt 酞a n dx r ； ( w 5 ) t h e r ee x i s tp a o ，d 3 0 ，r i 0 s u c ht h a t ( v w 7 ( ，z ) ，z ) 一2 i t , ( ，z ) d 31 x l 口f o ra l lt r a n dl x l r 1 ； ( 吣) t h e r ee x i s to t o c 0 1 ，d 4 0 ，r l 0s u c ht h a t ( v w ( ，z ) ，z ) 一2 w ( t x ) d 4 1 x l qf o ra l lt ra n dl z i r l ； ( w 乞) ( v w 7 ( f ，z ) ，z ) 2 w ( t z ) 0f o ra l lt ra n dz r o ) ； ( w z ) ( v w ( ，z ) ，z ) 2 1 4 ( ，z ) 0f o ra l lt ra n dx r o ； 西南大学博士学位论文 ( ) t h e r ee x i s tab o u n d e ds e tbcrw i t hi n t ( b ) 仍，a n d 肛 2 ，0 尚s u c h t h a t ( t ) 0 p w ( t ，x ) ( v w ( t z ) ，z ) f o ra l lt ba n dz 匙 o ； ( i i ) 0 2 w ( t ，z ) ( v w ( t z ) ，z ) ；( ( ) z ，z ) f o ra l ltg ba n dx r n ； ( ) f o ra n y0 a 1s u c ht h a tt ( t ) i t l 一1 _ + a s ( l 2 ) f o rs o m e 0a n df 0 ，o n eo ft h ef o l l o w i n gi st r u e ： ( i ) l c 1 ( 酞酞n 2 ) ，a n di l ( t ) x l l n ( t ) x lf o ra l li t l fa n dz r nw i t h = 1 ； ( i i ) l c 2 ( r 匙2 ) ( ( l ( 亡) 一( ) ) z z ) 0f o ra l li t l fa n dz r nw i t h l x i = 1 ，w h e r e ) = ( d d t ) l ( t ) ( t ) = ( d 2 d 于2 ) ( t ) ： ( l 3 ) t h e r ee x i s t sf l 0s u c ht h a tz ( ) ：= i n f i x l - - i ( ( l ) z ，z ) 一f lf o ra l lt 腿 w eo b t a i nt h ef o l l o w i n gr e s u l t s ： t h e o r e m2 3a s s u m et h a tl c o t ，匙2 ) a n d c l ( 骢r ，1 1 跫) s a t i s 黟( a 1 ) ， ( a 2 ) ，( ) 一( ) ，( 联) a n d ( w z ) t h e np r o b l e m ( 0 - 1 ) h a sa tl e a s to n en o n t r i v i a l h o m o c l i n i co r b i t s t h e o r e m2 5a s s u m et h a tl c o t ，酞a 。) a n dw c 1 ( 鼹酞瓞) s a t i s 够( a 2 ) ， ( ) ，( j ) ，t h e np r o b l e m ( o 一1 ) h a sa tl e a s to n en o n t r i v i a lh o m o c l i n i co r b i t s i i 哆子 ，、一， nj 【 饥 6 驴q nh 鑫l 夕 0 矿 a b s t r a c t t h e o r e m2 7a s s u m et h a tl c ( r 已 r 2 ) a n dw c 1 ( 酞r r ) s a t i s 6 - ( l 1 ) ， ( l 2 ) ，( w 2 ) 一( w i ) ，( 仇苫) a n d ( w r 8 ) ，t h e np r o b l e m ( 0 - 1 ) h a sa tl e a s to n e n o n t r i v i a l h o m o c l i n i co r b i t s t h e o r e m3 2a s s u m et h a tl c ( r r 2 ) a n dw c 1 ( r xr ，r ) s a t i s 母( l ”) ， ( l 3 ) ( ) 一( ) ，( 啊1 ) ，t h e nt h e np r o b l e m ( 0 - 1 ) h a si n f i n i t e l ym a n yn o n t r i v i a l h o m o c l i n i co r b i t s t h e n ，w ec o n s i d e rt h ef o l l o w i n gs c h r s d i n g e re q u a t i o n ： 一让+ v ( x ) u = f ( x ，u ) ， z r w eo b t a i nt h ef o l l o w i n gr e s u l t s ： ( 0 - 2 ) t h e o r e m4 1a s s u m et h a tv c 1 ( r ，r ) a n df c ( r r 瓞) s a t i s f y ( d 1 ) t h e r ee x i s t sa c o n s t a n tm 0s u c ht h a tv ( x ) - mf o ra l lz 酞； ( d 2 ) f o ra n y7 0a n da n ys e q u e n c e ( z n ) cr w h i c hg o e st oi n f i n i t y , ，l i m i n f b 。( i v 札1 2 + 州u 2 ) d x = + o 。， w h e r e = u 础( 风) 怯( 如) = 1 ) a n db n = b ( x n ，r ) i st h eo p e nb a l l w i t hc e n t e r x na n dr a d i u sr ； f ( x ，s ) s _ + a sl s l 一u n i f o r m l yi nz ； ( ，) 4 ) t h e r ee x i s t sa9 1s u c ht h a tp 户( z ，s ) 声( z ，s ) f o ra l l ( z ，s ) 爬r a n dt 【0 ，1 】，w h e r ep ( x ，s ) = f ( x ，s ) s 一2 f ( x ，s ) ，f ( x ，s ) = 片f ( x ，z ) d z b e s i d e s s u p p o s et h a tt h e r ee x i s tap o s i t i v ec o n s t a n tca n daf u n c t i o nk l 磊( r ，r ) ，w i t hg ( x ) c 0 f o ra l lz r s a t i s 母i n g ： ( d 5 ) t h e r ee x i s tc o n s t a n t sd 6 0 ，q l 1 ，r 2 0s u c ht h a t f o ra l l r 2 ； k ( z ) 如( 1 + ( m a x o ，y ( z ) ) 古) ( d 6 ) t h e r ee x i s tc o n s t a n t sd r 0 ，l p 0 ，1 p 2 使得 0 0 使得当i t l _ o c 时有l ( t ) l t l 一7 - + 这两 个强制条件被广泛地用于后续的一些文章中，例如文献1 2 4 ，【2 5 】，【3 1 】，【3 2 1 等 另外，自然界中有很多自然现象不能用经典力学( t i p n e w t o n 力学) 来解释，特 别是核物理，粒子物理，电气力学，光学等领域中有很多这样的例子至, j 2 0 世纪初， a l b e r te i n s t e i n 相对论出现后，这些现象町以量子力学来处理n e w t o n 力学可看 作量子力学的极限情形在这种意义下，量子力学包含经典力学量子力学由相 对论和非相对论组成其后者就对应至u s e h r s d i n g e r 方程在第四章到中我们考虑 下面的s c h r 6 d i n g e r 方程解的存在性： 一a u + v ( x ) u = f ( z ，u ) ， z r 关于s c h r 6 d i n g e r 方程解的存在性或多解性结果在许多文献中都有研究是近年来 的热点问题例如文献【3 5 - 5 3 】同样闵为方程的定义域为无界区域，这使得s o b 】e v 空 间嵌入缺乏紧性，为克服该困难许多文献考虑周期方程自治方程或径向对称 方程，例如文献【3 7 】【4 0 】，【4 2 ，【4 3 【4 5 】，【 4 6 1 ，【5 1 【5 2 ， 5 3 】近年来，也开始有一 些文献考虑具有强制条件的方程例如【4 8 1 1 2一些符号和定义 为了对本文的结果作准确的说明，以下我们给出一些符号和定义 在整篇论文中，c ；将用来表示各种正常数在f 、= 同的行或段落中它们可以小 同 我们用n r 分别表示所有的正整数和实数集合 给定n n 的矩阵a ，我们称a o 当且仅当i n 岫：l ( a x ，z ) o 而4 座。当 且仅当a 0 不成立 。 ( ，) ：r g r 卜酞定义为r 空间中的标准内积 满足系统( 2 1 ) 的解t l 称为同宿轨解是指1 ，c 2 ( r 。r ) 且当一时u ( t ) - 0 序列( u n ) ce ( e 是个b a n a c h 空间) 称为泛函厂c 1 ( f 。r ) 的p s 序列是指厂( ) 有界并且当”_ 。c 时有厂印) _ 0 3 两南大学博士学位论文 我们称厂满足( p s ) 条件是指厂的任何( p s ) 序列都有收敛子列 1 3 论文的结构安排 我们将整篇论文分为四章在第二章我们用讨论无( a r ) 条件的：二阶h a m i l t o n 系 统同宿轨解的存在性在第三章我们讨论无强制条件的二阶h a m i l t o n 系统同宿轨 解的多解性在第四章我们讨论无( a r ) 条件的非周期s c h r 6 d i n g e r 方程解的存在 性 4 4 ， 一 第2 章无( a r ) 条件的_ 阶h a m i l t o n 系统i j 宿轨解的存在性 第2 章 无( a r ) 条件的二阶h a m i l t o n 系统同宿轨解的 存在性 2 1主要结论 ， 在这一章中，我们研究下面的二阶h a m i l t o n 系统： 乱( f ) 一l ( t ) u ( t ) + v w ( t ，( t ) ) = 0 ，t r ， ( 2 - 1 ) 同宿轨解的存在性 r a b i n o w i t z 在文献 2 6 j 中证明了以下结果 定理2 1 ( 2 6 】定理1 ) 假设c ( r 瓞2 ) 和w 7 c 1 ( rx 瓞。酞) 满足以下条件： ( a 1 ) l ( t ) 年h w ( t ，x ) 关于f 是l 一周期的； ( a 2 ) l ( t ) 对于所有的f r 一致正定： ( w ，1 ) 存在常数肛 2 使得 0 1 使得当川_ 时有l ( t ) l t l 一1 _ + 。： ( l 2 ) 存在常数f 0 和f 0 至少使得以卜命题之一成立： ( i ) l c 1 ( 酞，r 2 ) ，i 印) z i l l ( t ) x l 对所有 f 和z r 且= 1 成立； 5 西南大学博十学位论文 ( i i ) l c 2 ( i t 。r 2 ) 。( ( f ( ) 一e ( ) ) z ，z ) 0 对所有i f i f 和z 酞且l z f = 1 成立，其中l 他) = ( d d t ) l ( t ) ，( ) = ( c 2 d t 2 ) ( ) ； ( w 3 ) 当蚓_ 时，w ( ，x ) i x l 2 _ + 。c 对于亡r 成立； ( ) 存在常数a o 1 ，d l 0 d 2 0 使得 i v w ( t ，z ) l d l 川伽+ d 2 对所有r 和丁r n 成立： ( w 毛) 存在常数口q o ，d 3 0 ，r l 0 使得 ( v w ( t ，z ) ，z ) 一2 w ( t x ) d 3 1 x l 口对所有的t r 和r l 威z t r ； ( w 6 ) ( v w ( t ，z ) ，z ) 2 w ( t ，z ) o x e n 育t 豫和z r o ) 成立 那么系统( 2 1 ) 至少有一个非平凡的同宿轨解 在该文章的启发下，我们也考虑在无( a r ) 条件下研究超一次_ 阶h a m i l t o n 系 统同宿轨解的存在性从而证明了以下结果 定理2 3 假设c ( r ，瓞2 ) $ 0 w c 1 ( 酞r 酞) 满足条件( 4 1 ) 。( 月2 ) ，( ) 一 ( 矾) 和以下条件： ( w 苫) 存在常数q q o l ，c f 4 0 ，r 1 0 使得 ( v w ( t ，z ) ，z ) 一2 1 4 , 7 ( 亡x ) 幽h 。对所有的t r 和r l 成立： ( 联) ( w v ( t ，z ) z ) 2 w ( t ，? ) o 对所有t r 和z 瓞 o 成立 那么系统( 2 1 ) 至少有一个非平凡的同宿轨解 注记2 4 存在满足定理2 3 条件而不满足( a r ) 条件的函数彤例如，令l ( t ) ： i n ，w ( t ，z ) = i x l 2i n ( 1 + l x l 2 ) q o = ；，d = 2 接着我们研究了超二次非周期系统同宿轨解的存在性，同样是存非( a r ) 条 件下考虑，具体结果如下 定理2 5 假设l c ( 瓞瓞2 ) 和w c 1 ( 酞琏r ) 满足条件( a 2 ) 。( 1 坨) 和以下 条件 ( ) 存在有界集厅cr 其中i n t ( b ) 仍，和常数p 2 p 盘满足 ( i ) 0 1 ，h l ， li x l 2 ，t 1 ， 2 另外，条件( w j ) 是受文献 5 4 】中的条件( 9 3 ) 启发而来 定理2 7 假设l c ( r ，酞2 ) 和w c 1 ( 碱x 取，r ) 满足条件( 1 ) ，( l 2 ) ( w ) 一 ( w r 4 ) ，( w 苫) 和以下条件 。 ( w ，8 ) 对任意0 a b 。令 c 。, b ：- - i n f 0 使得w ( t z ) 0 对所有t r r 2 成立 那么系统( 2 一1 ) 至少有一个非平凡的同宿轨解 注记2 8 ( 瞧) l 七( w 5 ) 更弱，因为( w 苫) 中的口比( 眠) 中的启范围更广注意这 里q 不必大于1 ，而这个条件在定理2 2 的证明中发挥了霞要的作用( 见 2 5 1 ) 2 2 定理2 3 5 d 定理2 5 的变分框架 我们将用变分法证明我们的结果为了应用临界点理论我们设h = 日1 ( r ，r n ) ， 这是一个h i b e r t 空间，其范数和内积分别定义为 ( 眠t ，) = ( ( 也，移) + ( u ， ) ) d t i l u l l = ( f ( i 扑ii 呐i ( f ) 吾 我们都知道可以连续地嵌入到驴( 瓞r ) 空间中去，其中p 【2 ，o o 因此存在 常数饰 o 使得对任意的p 2 ，o c 】有 il l ，| 1 7 西南人学博十学位论文 令 1，一 ，( “) = 去 ( 1 u 1 2 + ( l ( t ) u ，u ) ) d t 一w ( f ，u ) d t 按照一个标准化程序可以证明厂c 1 ( 日r ) 并且厂在h 的临界点即是系统的同 宿轨解另外，根据条件( a 1 ) 和( a 2 ) 知存在常数r l 和r 2 使得 c t i l u l l 2 三上( 衅i + ( 邵) u ) 班c 2 i i 啦 2 3 定理2 3 和2 5 的证明 定理2 3 的证明： 根据条件( ) ，对任意 o 都存在p 7 o 使得 i v w ( ，z i 2 z l x 对所有j d 7 和t r 成立，这说明 w ( x l 2 ( 2 - 2 ) 对所有i x i p 7 和f r 成立，令e = 是 0 ，p = 鲁 0 且6 = 华 0 那么根 ， 0 c 据( 2 - 2 ) 有 ，( “) c l 1 2 一w ( t u ) d t j r r 1 1 2 一e 川2 d t c 1 1 2 一镌i = 锄u i l 2 = 6 ( 2 - 3 ) 对所有u “h i l u l l = j d 成立另外，对任意的u h o ) 。由( 2 2 ) ，( 联) ， f a t o u 引理和( 仇j ) 有 8 1 窭掣掣如i l u l l 2l i m i n f ：掣出 = r 2 llttll2一l。im+inf，：i。1dj。rilu。，j：。，掣l 出 5 _ 十r m i _ ln ， 胄i l r z | | ? 川2 一 ，l。i+ra+infdrtrllu(t)l=o掣疵 8 - 十 s l 札r ch 满足当n 时有 ( u n ) _ c ，( 1 + lj u n i i ) l l f 7 ( 乱n ) 1 1 。0 ( 2 - 4 ) 接下来我们仿照文献f 1 8 】中的一些方法证明 u n 有界利用反证法，假设 u n 无 界不失一般性不妨假设当n _ o c 时有i i u nj l 一o 。对所有n n ，t r 和z r ，令 2 尚和风= ( 则n 矿2 w ( 协 一方面，由( 2 - 4 ) 这里存在常数( 3 使得 c 3 2 f ( u n ) 一( 厂。( u 竹) ，u 几) = 小v w 7 ( ) 让竹) 一2 1 4 ( t ，u n ) 冲( 2 - 5 ) r 、 = w ( t ，u n ) d r 另外，由( 2 _ 4 ) 和 n 控忆洲2 ( 2 c - 一上掣d t ) ， 可推知 。a i mf ：警i t n 蛇2 蕾 ：| ll l 另一方面。对所有7 0 定义 九( ， ) = i n f 可f ( 七) it 廷且z 已， z i 7 】- 由( 联) 知当r 一+ 时忽( 7 ) j + 。对任意o a b ，定义 q n ( o ，b ) = t 酞la i u n ( ) i 6 以及 曲f 鬻睢r 且n l 枢6 ) ( 2 - 6 ) 9 西南大学博士学位论文 显然，对所有t ( n ，6 ) 我们有 w ( t u n ( t ) ) g 6 l u 。( f ) 1 2 由( 2 - 5 ) 和( 2 - 7 ) 有 c 3 i万( t ，钍竹) d t + 雨( t ，“几) d t + 雨( t ，u n ) 疵 ，3 1 n ( o ，n ) ，q 。( 口，6 )t ，q 。( 6 。) 上棚谚( u 。) 出+ g 函z 小击) j “n 1 2 d t + h ( 6 ) m e a s ( q n ( 6 。) ) 这表明当6 - - - + + x 时 ( 2 - 7 ) ( 2 - 8 ) m e a s ( q n ( 6 ，) ) 丽c 3 _ o ( 2 - 9 ) 对所有n n 一致成立对任意的o o b 注意到由( 1 1 ) 和( i t ：；) 有g 。6 0 ，因 此再由( 2 8 ) ，当佗寸o c 我们有 乞础，i v 1 2 出2 赤t i u n l 2 以高浠训- 令0 0 ，对所有a e 满足 j v w ( t ，x l 与i x l ， 那么则有 上。口；，! 三! 气 ：三= ! 生立i u n l 2 d t 上。n 。，丢i t ，n 2 d t 1 满 ( 2 1 2 ) 对所有c 5 成立所以由h 6 l d e r 4 等式，( 2 1 2 ) ( 2 5 ) 和( 2 9 ) 知存在正常数以 满足 厶侧掣h 阳 1 0 ( k d f ) 孑1 ( 。，。，l f n i z 盯7 出) ， ( 上c 4 形c t “n ，d t ) 吉( z 。，。，i t k l 2 a d t ) 乡 c 3 c 4 ) 吾( m e a s ( q 胍。c ) ) 7 2 a 7 ) 专 o ( - 与n 无关) 使得i v ( f ，牡n ) l , 7 1 u n i 对所有q n ( 口。，以) 成立由此结论及( 2 1 0 ) 有 上。n。，。，掣itkl2d亡叼上。口。，。，iv12dt： ( 2 1 4 ) 对所有足够的的礼n 成立现在结合( 2 - i i ) ，( 2 - 1 3 ) 和( 2 一1 4 ) 我们有 上警叫厶i i u n l iit 则删叫卑掣h 阳 0 ，万 0 使得 f l s 6 ， 1 l 西南火学博士学位论文 其中s = 趾打| | i = 事实上由( ) 有，对任何 o 都存在p ，：p f e ) 0 使得 l v w ( t ，z ) l 2 z l x l 对所有川p 7 和酞都成立，这说明 1 w ( 亡z ) i 2 对所有h p l 和f 酞成立令e = c l 2 - ； 0 ，p = ，y 0 和巧：c l p 2 2 0 ， 则我们有 f ( u ) c 1 1 1 让1 1 2 一w ( t ，u ) d t i ，r c l 1 2 一肝d t c ll l u l l 2 一镌i l u l l 2 = 百c ljj 1 1 2 =占 对所有u s 成立 第二步要证存在h 满足i i 钆。| i p 和厂( 。) 0 ，都相应地存 在? = r ( e ) 0 满足 l i ms u p ( 1 2 + ( l ( t ) u n ，u n ) ) 出 e ，( 2 2 3 ) n o 。，r b ， 1 3 西南穴学博士学位论文 其中既是以0 为球心，r 为半径的开球因为b 有界，我们总可以选择充分大的，使 得bcb 善现在令聃是一个截断函数，满足 一主 并n o r r 1 ，i 7 7 r i 譬根据( 2 一1 9 ) 和( 2 2 2 ) 有 ( ，( u 竹) ，协u n ) = d ( 1 ) ， 即是， ( ( 1 也n 1 2 + ( l ( t ) u n ，u n ) ) ) 啪d t + ( 也n ，u n ) 枷d t = ( v w ( t ，u n ) ，u 7 1 r ) d t + d ( 1 ) ， j r j r，r 再结合条件( w 7 ) ( t i ) 则有 ( ( i 也n 1 2 + ( l ( t ) 仳n ，乱竹) ) ) 啊d t r= 一上也n “n 啊班+ 上f v 仇弋，) ，孔n 聃) 出+ 。( 1 ) 一f ri l u 稿万1 上( 邵沁耙n ) r l r d t + d ( 1 ) ( 2 - 2 4 ) 现在由( 2 2 4 ) ，h s l d e r 不等式和( 2 2 2 ) 可得 ( 1 一吾) o 1 2 + 咖洲川妪铷川l 2 i 忆( 1 ) 华州 这说明( 2 2 3 ) 成立因此u 是系统( 2 一1 ) 的一个非平凡同宿轨解，命题得证 口 2 4 定理2 7 的变分框架 我们用变分法证明定理2 7 令4 为算子一( d 2 d t 2 ) + l ( t ) 在其定义域d ( a ) c l 2 ( r ，r ) 中的自伴延拓令 e ( ) ：一 0 使得 l l u l i l ，i 对所有孔e 和p = l ，2 ，届，。c 成立 引理2 9 ( 【1 7 】，引理1 3 ) 假设满足( l 1 ) 和( 2 ) ，那么d ( a ) 连续嵌入到w 缇2 中， 且当i t l _ 时有 l 札( f ) l o 且l 也( 亡)