（基础数学专业论文）具有阻抗边界条件的逆散射问题.pdf

硕士学位论文 m a s t e r st i i e s i s 摘要 本文主要讨论由时间调和声波产生的具有阻抗边界条件的散射问题的模型 u + 七2 t = 0 ，z 1 0 面 嚣盈。咖 舞+ i 七a 让= o ， z o d 、7 ，魄r ( 筹一i “5 ) = o ， r = h 其中d r s 为有界光滑区域且有单位外法向量u 入射平面波矿( 。) = e 琅”4 的入射方向为d ，波数g ( j m ( ) o ) ，a 为阻抗系数 对于上述问题正问题解的存在性和唯一性，d c o l t o n 和r k r e s s 在文献【1 】 应用位势理论作了很完备的阐述当今声波或电磁波的逆散射问题成为很多人 关注的焦点，它是一个很典型的数学物理反问题反问题研究由解的部分已知 信息来求定解问题中的某些未知量，如微分方程中的系数，定解问题的区域或 者是某些定解条件本文介绍在时间调和声波中由问题( + ) 产生的两类偏微分 方程的逆散射问题t ( i ) 给出边界条件、波数、入射方向d ，以及远场模u 。( 童，d ) 让我们来确定物体d 的形状( 即边界的形状) ；( 1 1 ) 给出波数七、入射方向d 、物 体d 的形状，以及远场模u 。( 圣，d ) 让我们来确定阻抗系数a ( z ) 这里，第( i ) 类 问题我们用牛顿迭代法来解决；第( i i ) 类问题用边界积分方程( 位势理论) 知识 及t i k h o n o v 正则化方法来求解 关键词t 阻抗边界条件，逆散射问题，远场模，牛顿迭代法，位势理论，t 汰h o n o v 正则化 硕士学位论文 m a s t e r st h e s j s a b s t r a c t i nt 1 1 i 8p 印e r ，w ed i s c u s 8t h es c a t 七e r i n gp r o b l e mo fa a c o u 8 t i ct i m e - h 锄n o n i c 谢t h i m p e d a n c eb o u n d a r y n d i t i o n s f u + 2 ”= o ， lt 上= t 上。+ t 。， 1 器+ f a u = o ， i ，骢r ( 筹一i m ) = o z r 3 面 a d ( + ) r = w h e r ed 舻i sab o u n d e dd o m a j i l 埘t hs u m c i e n t l ys m 0 0 t hb o u n d a r ya da n do u t w 缸d u n i tn o r m a l ，i n c i d e n tp l a n ew a ei s “( z ) = e 。w i t hi n c i d e td i r e c t i o nda n dw a v e n u r n b e r 七g ( ，m ( 七) o ) ，ai sc a l k ds u r f a c ei m p e d a n c e a 8t h ed i r e c t8 c a t t e r i n gp r o b l e mi n d i c a t e da b o v e ，t h e 醯t e n c e8 n dt h eu n i q u e n e s s o fas o l u t i o nh a v eb e e n 硼ue 8 t a b l i 8 h e db yd c o l t o na n dr k r e s sv i p o t e n t i a lt h e o 珥 l k c e n t l yp e o p kp a yr 眦c ha t t e n t i o nt oi n v e r s ea c o u 8 t i ca n de l e c t r o m a g n e t i cs c a t t e r i n g t h e o r y i ti sat y p i c a li n v e r s ep r o b l e mo fm a t h e m a t i c sa 1 1 dp h y s i c s t h ei n v e r s ep r o b l e m ， 舀v e nk n o w ns o l u t i o ni n f o r m a t i o n ，i st o 矗n ds o m em l l 【n d w n q u a n t i t yo fs c a t t e r i n gp r o b k m ， s u c ha 8t h ec o e m d e n to fd i 丘e r e n t i 日1e q u a t i o n ，t h es c a t t e r i gd o m a i no rs o i n ec o n d i t i o i l s i nt h i 8p a p e r ，w ec o n 8 i d e rt w oi n v e r s es c a t t e r i n gp r o b k i 璐o f 出f f 白e n t i “e q u a t i o np a r t i 出 d i 艉r e n t j a le q u a t i o nw h i c ha r eo b t a i n e db yp r o b i e m ( ) ：( i ) g i v e nb o u n d a 珂c o n d i t i o n ， w a r en u m b e r 七，i n c i d e n td i r e c t i o nda n df 盯6 e l dp a t t e r nu ( 壬，d ) ，w ew a n tt od e t e r m i n e 0 b s t a c l ed ( i et h es h 印eo fa d ) ；( i i ) g i v e nw a 忧n u m b e r 七，i n c i d e n td i r e c t i o nda n d o b 8 t a c l ed ，w ew a n tt of i n dt h e8 l l r f a c ei m p e d a n c ea ( z ) h e r e ，w ew i us o l v et h ep r o b l e m ( i ) w i t hn e w t o ni t e r 矗t i v em e t h o d s ；t h ep r o b l e m ( i i ) w i l lb et a c k l e dq u i t e8 u c c e s s m n yb y i n t e g r a le q u a t i o nm e 七h o d s ( p o t e n t i a lt h e o r y ) a n dt i k h o n o vr e g u l a r i z a t i o nm e t h o d 8 1 ( e y 、v o r d s ：i m p e d a n c eb o u n d a r yc o n d i t i o n s ，i n v e r s ea c o u s 七i c8 c a t t e r i n gp r o b l e m 8 ，t h e f a rf i e l dp a t t e r n ，n e 讯o ni t e r a t i v em e t h o d s ，p o t e n 七i a lt h e o r y t i k h o n o vr e g u l a r i za t i o nm e t h _ o d s i i 华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作 所取得的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 作者签名：王啸确日期：跏b 6 年6 月6 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅。本人授权华中师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 作者签名： 日期：年月 日 锄签名：多f 扯 日期：旅军石月1 日 本人已经认真阅读“c a l i s 高校学位论文全文数据库发布章程”，同意将本人的 学位论文提交“c a l i s 高校学位论文全文数据库”中全文发布，并可按“章程”中的 规定享受相关权益。回重迨塞坦壅卮溢蜃i 旦堂生；旦= 生 旦三生筮盔! 作者签名： 日期：年月 日 锄叛萝扯 ， 目虮 彰年6 月1 日 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 一引言 声波的散射与逆散射问题的研究已经有相当长的历史，早期的研究结果可 见参考文献卧f 2 j 5 】和f l o 】等该问题的具体内容可简单地概述为：假设在一 种均匀的媒介中( r 3 空间中) 有一个有限的物体( 假设为d ) ，如果用一种声波 去探测它，当入射的声波碰到该物体时，必然会产生散射，我们可用一种设备 在较远处接收到散射波的信息根据物理学的知识，声波的运动可由速度位势 u = u ( ，t ) 0 r 3 百) 来决定，而u = c ，( z ，t ) 满足波动方程 霎娶：c 2 矿 丽2 。“ 在时间调和情况下，也就是声波速度位势的形式为u ( z ，) = 只e u ( z ) e “) ， 其中u o 为频率，m ( ) o ，女e 为波数，这时只与空间变量有关的u ( z ) 满 足h e l r i l l l o l t z 方程 钍+ 南2 让= o ， 。r 3 西，j m ( 七) o 现在我们考虑入射波为平面波的情形，在时间调和情形下，入射波即可简 单地表示为矿( z ) = e “。( 其中。r 3 ，女为波数，d 为入射方向且d q ，q 为r 3 中的单位球面) ，那么这里的整场u ( 。) 就为入射场u i ( z ) 和散射场矿( 。) 的叠加， 即u ( 。) = u 1 ( 。) + u 。( z ) ，其中散射波在无穷远处要求满足s o m m e r f e l d 辐射条件 鲰r ( 等以吩钮r = i 圳 所谓的正散射问题是指：已知物体d 和边界条件，寻找u ( 。) c z ( r 3 面) ng ( r a d ) 使其满足h e l m h o l t z 方程，这里我们讨论具有阻抗边界条件，即： 是( z ) + 枞( 咖( z ) = o ， z 姐 可简单地归纳为：寻求这样的u ( z ) g 。( r 。面) n g ( r 3 d ) ，使得满足 让+ 七2 乱= 0 ，r 3 西 = t + “3 ， 嘉+ a ：o ， z a d ( 1 ) 规r ( 筹一e 矿) = o ， r = h 根据参考文献【1 】的定理33 7 及r e l l i c h s 引理可知：如果假设阻抗系数 满足 r 以o ，则问题( 1 ) 有唯一解u ( z ) 这时称u 8 ( 。) 是h d m h o l t z 方程的辐射解，我 们可得到散射波矿( 茁) 的渐进状态( 见参考文献 5 】的( 1 1 0 ) 式) ，即： 州垆寄d ) + 。( 却h 一，扣啬 ( 2 ) 矿( z ) 2 请 u 。( 士，4 ) + 。亩) ) ih 。0 。，圣2 亩 ( 2 ) 其中，u 。( 岔，d ) 称为矿( z ) 的远场模，即由散射波矿( ) 当一o 。时得到的，d 为入射方向，且仝和d 都在单位球面q ：= ph = l ，z r 3 ) 上再根据参考文 献 2 】中的定理2 5 知： 此d ) _ 去厶需 ( 3 ) 所谓的反问题是指t 由远场模u 。( 圣，d ) 或者解u ( z ) 出发，在一定条件下反过来 去确定边界0 d ，或者相关的重要参数，比如阻抗系数 ( z ) 一般来说，传统的数学物理方程的定解问题( 通常称为正问题) 是由给定的 数理方程和相应的定解条件来求定解问题的解数学物理反问题是一个新兴的 研究领域，有别于传统的定解问题，它的研究由解的部分已知信息来求定解问 题中的某些未知量，如微分方程中的系数、定解问题的区域或者某些定解条件 而声波的逆散射理论是一个典型的数学物理反问题，它可应用在医学成像、无 损探伤、地震预测、远程传感和天气预报等技术上( 见参考文献 2 和 1o 】) ，因 此逆散射理论及计算方法的研究有着广泛的应用前景 本文主要介绍在时间调和声波中由问题( 1 ) 产生的两类逆散射问题： 问题( i ) ：给出边界条件、波数、入射方向d 以及远场模u 。( ，d ) ，让我们来 确定物体d 的形状( 即边界a d 的形状) ； 问题( i i ) ：给出波数 、入射方向d 、物体d 的形状以及远场模u 。( i ，d ) ，让 我们来确定阻抗系数a ( z ) 下面看问题( i ) ：观察( 3 ) 式，对同一入射波“t ( 。) ，边界a d 与“o 。( 圣，d ) 有种对 应关系，因此我们可以建立映射f ：g ( a d ) 一驴( q ) 即f ( a d ) = u o 。这样可得到 硕士学位论文 m a s t e r st l i e s l s 未知量为a d 的方程 f ( a d ) 一u = o ， ( 4 ) 此方程是非线性非适定的，用常规的解法会遇到很大的困难，对于外d i r i d d e t 边值条件和外n e u m 一边值条件的逆散射问题，文章【3 】利用迭代正则化方法 已经解决这里我们用牛顿迭代法来解由问题( 1 ) 所产生的方程( 4 ) 首先，对d 的边界a d 进行估计，不妨记估计初始值为a d 0 ，作第一次迭代 得到边界为a d l = z + ( z ) lz a d o ( 其中 ：a d 0 一r 3 ) ，令u - 为散射问题 ( 1 ) 相应于区域d 。的唯一解，n 是区域d 。的单位外法向量，根据格林公式和 单双层位势的跳越关系得 u 心) 地协) + 2 肺垡掣枷州州喇蛐) ，z a d l ，( 5 ) ( 参考文献 6 引理2 4 的( 2 1 9 ) 式) ，这样由( 3 ) 和( 5 ) 式可得到f 的表达式如果 我们知道了算子f 的f t e c h e t 导数f 即d ) ，再利用牛顿迭代公式可以得到迭代式 f 7 ( a d o ) 一t 乞o + f ( a d o ) 一u 。，o = o ( 6 ) 我们就可以得到第一次迭代的边界值a d 。，用同样的方法作第二次迭代，可以得 到a d 。，依次类推可以得到一列近似的边界 a d 。) 甚。当我们迭代的次数充分大 时，在i 充分小的情况下，若 a d 。) 黑。是收敛的，不妨设 a d 。) 是。一a r ，那 么迭代法具有有效性在误差允许的范围内，我们规定卯就是所求的a d 因 此迭代法的收敛性是很重要的；另外观察( 6 ) 式发现研究算子f 的n e c h e t 导数 f ( a d ) 也是非常必要的 对于问题( i ) ，我们有如下两个主要结论， 定理1 1 设dcr 3 为有界区域，a d e 2 一则上述算子f ：g ( a d ) 一驴( n ) n e d l e t 可导，即 丽蒜咿( 溉) 一即。) _ 耿m 一。，一。， ( 7 ) 3 且导数f ( a d ) = 地，这里u 。，。为问题 z r 3 西 z a d ( 8 ) 一r = i z l 的辐射解的远场模 其中 g 2 ，1 ( g ) = 妒i 毋c 2 ( g ) ，d 8 毋g o ，1 ( g ) ，l p l = 2 ) ， g 0 1 1 ( g ) = li ( z ) 一毋( y ) i g 。一口i 。，o o ， 存在正整数，使得当m 一 时，有0 a 风一加训 o 的球使得面，在 n r = 面中利用格林定理得：对于v u 日1 ( f 2 r ) 有 上。( v “v ”+ 牡叫如= 厶。舅w a s = 上。象”d s z 。器w d s 再由问题( 1 ) 的方程和边界条件得 上。( v 棚”卅叫出一厶凇删s = 上。岩础 定义d i r i c h l e t t o n e u m a n n 映射l ：日 ( a b r ) 一h 一( a 凰) 一 d ” 山：9 ”面 其中w 为 f w + 女2 = o 1 b b 。= g ， 的唯一解因此我们可以定义算子 r ( u ，”) ：= 五。( v u ，v 可一2 u 西) 如 由( 9 ) 式可得 又因为 r ( 叩) ：f 祟西如 a j 轴d v 祟i 一：豢州。i 一“)瓦l 一2 面。十l l “l 一一j ( 此式参见参考文献 3 引理1 1 的证明) ，其中+ ，表示从外或内逼近边界，所 以有 脚，”) = z 。( 筹州啦“) ) 可d s _ ( 地啪。 5 硕士学住论文 m a s t e r l s t h e s i s 其中对于v ”日1 ( n r ) ，( u ，”) r = 丘俐s ，( r 为区域d 或球b n 的边界) ，由m * z 表 示定理可知存在这样的，日1 ( n n ) 使得( 1 1 ) 式成立 引理2 1 设a d g 1 ，舶a o 而且，h 1 ( q r ) ， 则对v ”日1 ( n r ) 存在唯一的u 日1 ( n r ) ，使得r ( t ，口) = ( ，口) 成立 证明详见参考文献【4 j 的引理2 1 引理2 2 若定义微分同胚妒：一昧两，妒( z ) = z + ( z ) ，且山为妒的 j a c o b i a n 矩阵，妒为妒的逆，且妒的j a c o b i a 矩阵为如，五为妒面积分的j a c o b i a n 矩阵则有以下估计式： | ld e t ( 山) 一1 一d i i i 。= d ( | | 0 各- ( 弧) ) ， 山巧d e t ( 0 ) 一出 j 一，+ + 嚣i i 。= o ( 0 i i 吾( - 。) ) ， d e t ( 五) 一1 一d u m i l o o = o ( 0 0 刍- 国。) ) ( 1 2 ) ( 1 3 ) ( 1 4 ) 证明。由引理的已知条件得山= j + 和山= 拓1 。妒= j 一以+ o ( l 言。( _ 。) ) 所以( 1 2 ) 式成立因而 j ；巧d e t ( 0 ) = ( ，一 ) ( j 一露) ( d 向 + 1 ) + o ( 1 i 0 各- ( 五。) ) = 出 ，+ ，一 一西+ d ( | i i | 各。) ) ( 1 5 ) 即( 1 3 ) 成立 下面我们证明( 1 4 ) 式：事实上，固定卸a d 令参数函数中( z ) ( 其中z 譬) 满足条件垂( ) = 且满足 l 筹( 瑚i = i 差( 硎= l ，( 嚣( 砒差( 硼= 。 令丕( 。) = 圣( z ) + h ( 垂( z ) ) ，则在如点有 d e t ( 五h 器蓑h 川i + 0 州训) 6 硕士学住论文 m a s t e r st h e s i s a 圣a 圣a a 西a 西a h 两。面忙面。瓦+ 砑瓦 再由切向量的正交性可得 ( a 问= ( 鲁，差) + ( 差，差) = d 伽 所以 d e t ( 五) 一1 一。i ”也= 兰觜一1 一( b ，n ) + 。( 1 l i i 苔。( ) ) = 筹蹦( 6 ，卅。川惦( ) 2 + 0 ( g 1 ( _ r ) ) p 川v 、”c 1 ( n r ) 2 o ( 喜( - r ) ) 引理证完 定理1 1 的证明： 对于充分小的向量场 g 1 ( a d ) ，由( 1 0 ) 和( 1 1 ) 式及引理2 ，1 知 ”日1 ( b n 玩) ，散射问题( 1 ) 相应于区域现的解“ 满足 ：、而( v v 豇一七2 豇) 如一“七a 缸 ，u ) a d h 一( l 札 ，计) a 口r j b r d 、“ ( 1 6 ) 对所有的 ( 1 7 ) 作 的延拓，仍记为 ， g 1 ( 蕊) 满足：面，当 譬时 ( z ) = o ，且 i g - ( - 。) sc i c ( a d ) ，c o 不依赖 由引理2 2 定义的微分同胚可以将上式中在哪 中的积分转化为标准区 域n r 中的积分即有变分方程：对于v u 日，( ) 有 幻筹山。蛳= 晰，) 2 上。( v 诹如露v 口一女2 i h 可) d e t ( 如) 如一( z 从诹d e t ( 五) ， ) a 。一( l 诹，”) a 鼬( 1 8 ) 7 其中砜= u 。妒， 因为。和u 为具有相同入射波的散射问题的解，再由( n ) 及( 1 8 ) 式知：对 所有的 h - ( q 。) 有式子r ( “，”) = 风( 砜，”) 成立 由胁c h e t 导数的定义和渐进性( 2 ) 知要证( 7 ) 式成立，只要证明： i i f ：孟8 u n u 一”o 日女( 。) 。， i l i i 。 ( 1 9 ) 由于我们假设a d a 。r ，利用正则性结果可得t h 2 ( n r ) ，因此问题( 8 ) 有 唯一解1 n r 定义叫：= ”1 + v u ，因为当h 譬时 ( z ) = o ，所以 i a b 。= 1 伽。 如果对v h 1 ( ) ，当i o 时， 1 两亡i 磊r “一u 一”，”) _ 。， ( 2 。) 成立，则( 1 9 ) 式就成立事实上，( 2 0 ) 式是在整个上成立，限制在边界上 的时候就是( 1 9 ) 式 根据风( 讥，”) 和r ( 诹，”) 的定义，计算可得； r ( “一豇 ， ) = r ( u ，u ) 一r ( i ， ) = r ( h ，口) 一r ( 面 ， ) = v 诹( 山露d e t ( 山) 一，) v 可一2 ( d e t ( 如) 一1 ) n 一】出一( 让 ( d e t ( 元) 一1 ) 商 ， ) a d 再由( 1 2 ) ，( 1 3 ) 和( 1 4 ) 式可得在h 1 ( n r ) 中矾一，因此证明( 2 0 ) 就相当于要证 明：对于v w h 1 ( 如) ，有 月( w ，”) = 二。( v 札( 珂+ 厶一出” ，) v 可+ 2 师d 伽州如+ 上。 a 丽d i ”饥d s ( 2 1 ) 下面我们来证明( 2 1 ) 式 8 顽士学位论文 m a s t e r st h e sr s 事实上，将w = ”。+ v “代入( 1 0 ) 式，根据格林公式，又因为。是问题 ( 8 ) 的解，因此可得： r ( 叩) = 上。( v 珊一舻删出一( 虢 刚) a d 一( 工) = 上。【v ( n - v u ) 一职九- v “) 1 如+ 厶。斋谢s 一上口。她础 上。姒唧d s 一厶枞( t v u 灿一上。她可+ 砌- 溉 ( 2 2 ) 根据”- 满足h e l m h o l t z 方程和问题( 8 ) 中的边界条件及在a b r 上有乩= 鬻可 以得到 | r ( 刚) = 正。v u ) 册矿( v ”) _ 】如 z 。i 触f ( h v “) 一k 等】可d s z 。限2 豇。u + d 曲( b ( v u ) ) 】面d s ( 2 3 ) 利用格林公式及 b 。：o 得 上。( 胂小v 础一上。( 胂“) 雾d s 一上。( v u ) _ 如， ( 2 4 ) 由向量叉乘运算知 z 。泓v u ) 一虬嘉阳s = z 。泓( v 咄d s ， ( 2 5 ) 再根据公式d l ”( ” ) = 一”r 沁，得 上。撕( h 。( v 似) t ) 可d s = 一z 。v 一f ( h ( v u v ) ) 讹， ( 2 6 ) 利用散度定理和条件 i a ：o 得 z 。2 k 呖d s = 一厶。2 d 抛( 呖) 出， ( 2 7 ) j a d j q 8 9 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 由式子( 2 3 ) ，( 2 4 ) ，( 2 5 ) ，( 2 6 ) 和( 2 7 ) 得 r ( ”，w ) = 二。【2 击”( “_ ) 一- v u ) 面一2 ( v u ) _ 】如 一厶泓( v “) t _ d s + 厶v “r f ( 札( 孔v ) ) - d s 一! ( v 。) 宴如 j a b 由向量乘积的散度的计算公式和u 满足h e l m h o l t z 方程得到 二。2 出 ( 删= 上。女2 呖出” + 2 ( v ) 豇一( v - ) u 出 因此得 r ( 刚) = 五。 七2 僦 一( - 踟乱一( v 仳) - 】如 厶漱( v ”) e 可如+ 厶v m 州( k ( v u ”) ) _ d s z 。( 胂“) 嘉d s 因为对于在有界区域g r 3 中的向量w 伊( g ) 和函数”h z ( g ) 有公式 ( v r l u ) 粥= ( “州彬v u ) l = ( g ) = ( 彬乳) 桕 ( 见参考文献【4 】的( 2 1 5 ) 式) ，所以有 z 。”一r z ( ，( v ”v ) ) 砒= z 。 ，( v u ) 。v 可d s ( 2 8 ) ( 2 9 ) 再由散度定理和。：。得( 3 0 ) 和( 3 1 ) 式 z 。v “) 挚= 一正。执m v 妒讹 ( 3 0 ) z 。v 面) v u 一 v u v _ 】刊s = 一点。出w v 可) v “一 ( v u v 可) ( 3 1 ) 1 0 所以由( 2 8 ) ，( 2 9 ) ，( 3 0 ) 和( 3 1 ) 式得 r ， ) = d i 【( v 札) v _ + ( v 可) v 牡一 ( v “1 铲苛) 】 v - ) t 一( v u ) 订+ 七2 u 面l 出射 ) d 凇- ( v “) t 础+ 厶v 可) 巩一 v - v - 】刊s + 虬( v “) t v _ d 8 j 8 d 利用公式 v u ( + 堙一d ，) v 可 ( 3 2 ) = d 抛 ( 九v “) v 可+ ( h v 豇) v 一 ( v u v ) 】一( v _ ) u 一( v u ) 可， ( 此公式见参考文献【4 的( 2 1 6 ) 式) ，可以得到 兄( ，口) = 上。【v ( + 卵一出 ，) v 可+ 女2 出 捌d z z 。弛a ( v u ) i - d s + 厶 ( v 可) v u 一 v u v _ l 删s + z 。k ( v u ) t v - d s ， ( 3 3 ) 其中 因而 正。【( v 西) v 一九v uv _ 】刊s + 正。 ，( v u ) t v 前d s = z 。( v 面一b 嘉) d s = 上。( v 砘d s r ，u ) 2 五。【v “( 厶+ 珂一d u ) v 豇+ 女2 d 西 晒】如 ( 3 4 ) z 。枞( v 吡_ d s + 厶( v _ ) 。笔d s ( 3 5 ) 又因为u 满足问题( 1 ) 的边界条件，所以 上。沈a ( v u ) c 可d s z 。( v - ) 。嘉d s = 上d 饿a ( v ( “可) ) 。d s 1 l 厶厶 硕士学位论文 m a s t e r st h e s j s 再由等式 知( 2 1 ) 式成立 厶娩a - ( v ( “功) t d s = 一z 。i a “可d 抛( 也) d s 定理得证 定理1 2 的证明： 对于所有的敬a d i ，a 功我们定义 | | a d 一a d 0 f i ：= s u p l z i q 0 i i ：= s u pi ( z 。) 1 因为我们假设算子f ，( a d l ) ，t = o ，l ，2 是严格强制的，由l * m i l 耵a m 定理知 f 即n ) ，待o ，1 ，2 一存在有界逆根据迭代式( 6 ) 得 a d l = 【f ( a d o ) 】一1 阻毛。一f ( a d o ) + u o 。，o 】+ a d o 同理可得 a d 2 = f 7 ( a d l ) 】一1 乱乞1 一f ( a d l ) + 札。，l 】+ a d l a d 3 = f ( a d 2 ) 】一1 u ：2 一f ( a d 2 ) + t ，2 】+ 0 上) 2 所以 a d m = ( a d m 1 ) r 1 u 乞m 一1 一f ( a d m 一1 ) + “，m 1 + a d m 一1 a d 。= f ( a d 。一1 ) 】一1 u 乙，。一1 一f ( a d 。一1 ) + u ，。一l 】+ 0 d 。一1 a d 。一a d m | | = i i f ( a d m ) 】一1 【钍厶m f ( a d m ) + u ，m l + 【f ( a d m + 1 ) 1 阻毛m + 1 一f ( a d m + 1 ) + “。，m + 1 】 + 一+ ( f ( a d 。一1 ) 一1 u 毛一1 一f ( a d 。1 ) + 。m 1 1 2 ( 3 6 ) 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 因为迭代的i 充分小，所以对于任意的e o ，k z + 存在o p 时 证完 a d 。一a d m 8 o ) 且满足 i i 札毛一u 。o | | 由扰动数据“求方程( 3 9 ) 解的稳定近似值的正则化方法化为求极小化问题 啊n 厶( 妒) = 扣l p u 钟+ 和妒一 ( 4 0 ) 的极小元妒。由参考文献【2 的定理4 1 4 知：对任意给定的正则化参数a o ， 存在唯一且满足 口妒。+ a + a 妒。= a + u 生，( 4 1 ) 其中小为 的伴随算子，且 ( ”9 ) ( ) ：= 去尹v g ( ) d s ( ) ，v 姐 当误差水平6 o 已知时，存在n = n ( j ) 的一种选取方法使得6 一。时 n ( 6 ) 一。且一妒因此确定这样的正则化参数a = a ( d ) 是非常关键的 i i ) 求最小模解时确定正则化参数的方法称为m o r o z o v 相容性原理一般地， m o r o z o v 相容性原理用 1 1 月妒。一“1 1 2 = 6 2 ， 1 5 来确定正则化参数a ( d ) 由于o ( d ) 一。不失一般性，这里我们假定o o ，记为妒( 。) ，且问题( 4 0 ) 的极小值为f ( a ) ，即 f ( a ) ：= 厶( 妒( a ) ) = ；l i a 妒( a ) 一u 生1 1 2 + 詈i i 妒( a ) 0 2 = 嘤n 以( 妒) ( 4 4 ) 再定义 f ( o ) ：= ；i 删 妒一吨1 1 2 ：= ； 则这样定义的f ( o ) 在 0 ，。) 上是连续的且有下列性质 引理2 4 f ( n ) 是无限次可微的，并且满足下列性质： 1 ) 。f ( a ) 2 扣姗 2 ) 对一切的n o ，f ( 口) 的一阶，二阶导数表达式为 f ( a ) = 扣妒( a ) 悒f ，( a ) = ( 妒( n ) ，妒( 。) ) 1 6 硕士学位论文 m a s t e r l s t h e s l s 3 ) 对u 譬琶e r ( 4 。) ，非负函数f ( o ) 是严格单调增加且严格凸的，即 f 7 ( 口) o ，( a ) o 证明t 由引理2 3 可知，f ( n ) 是无限次可微的在式( 4 1 ) 两边用l p ( a ) 作内 积得 d 1 1 妒( a ) 1 1 2 a l i 妒( n ) 0 2 + 0 a 妒( ) 4 2 = ( a + “生，妒( n ) ) i i a + 让是i 川妒( a ) ， 由此知熙| | 妒( a ) i i = o ，从而由此估计和上式得 墨臻刮l p ( n ) 1 1 2 = o ，墨恐i i 却( 酬i = o 再根据f ( n ) 的定义得结论1 ) 将( “) 式两边关于n 求导并用式( 4 1 ) 得到 f ，( 。) ：( j 4 _ p ( 。) 一。2 ，a i p ，( 。) ) + n ( 妒( 。) ，( n ) ) + ：o l p ( a ) o 。：；l l 妒( n ) 。， 从而结论2 ) 得证 另一方面式( 4 3 ) 的两边取n = 1 并用( o ) 作内积得 i l a ( o ) 1 1 2 + o i i 妒7 ( 。) 0 2 = 一( _ p ( a ) ，( o ) ) ， 再由结论2 ) 知 f ”( 口) = 一1 | a ( n ) 1 1 2 一0 0 ( ) 1 1 2 o ，f ( d ) o 我们可以证明该式中的等号都不能成立否则，若存在矗 o 使得f ”( a ) = o ，则 ( a ) = o ，在式( 4 3 ) 的两边取n = 1 即得妒( a ) = o ( 如f 怕) = o ，同样得妒( 画) = o ) 故由式( 4 1 ) 得小u 毛= o ，与“幺琶耳e r ( a + ) 矛盾，从而结论3 ) 成立 引理证完 由引理2 3 和引理2 4 我们可以讨论求解( 4 2 ) 式的迭代法，借助于f ( n ) 的 表达式，式( 4 2 ) 变为 g ( 。) ：= f ( 。) + ( 。，一) f ( q ) 一；d 2 = o ( 4 5 ) 1 7 硕士学位论文 m a s t e r l s t h e s i s 记a ，i ，：。= o ，则对一切的1 1 ，。o ，a ( o ，1 ) 有 g ( n ) = f ( 。) + ( a ，一a ) f ( a ) 一；铲，g ( n ) = 1 d ，一1 f ( a ) + ( a 1 一a ) f ”( a ) ， ( 4 6 ) 引理2 5 如果u o e r ( a + ) ，f ( o ) 6 2 o 故 g ( n ) 在( o ，1 ) 上严格增加的，再由g ( a ) 在【0 ，1 上连续性及g ( o ) o 知 引理成立引理证完 i v ) 这里我们用拟n e w t o n 迭代法来求解( 4 5 ) 式由( 4 1 ) 式可求出l p ( a ) ，再将 ( 4 1 ) 式关于。求导得 口妒( d ) + a + 妒7 ( d ) 一一妒( q ) ， 可计算出( “) 再观察引理2 4 中的2 ) 和( 4 6 ) 式可得 1 g ( q ) = 妄7 吐，一1 i i 妒( q ) 1 1 2 + ( o 一一n ) ( 妒( o ) ，l p ( d ) ) ， 7 1 ，0 0 1 ( 4 7 ) 我们将妒( a ) 和妒7 ( n ) 代入上式，则对于给定的a ( o ，1 ) 可计算出g 7 ( a ) 给定a 。就可以得到迭代式； 吣- 一一器一一面而丽等丽而丽( 4 8 ) 讯+ 12 毗一葫葫”磊开丽面两i 万乏丽不丽币丽h 剀 此式可产生迭代序列去逼近( 4 5 ) 的根矿但是该序列中用到的( o * ) 还需要解 一个积分方程，计算量较大我们用差分来代替妒协t ) ，即 m 妇a h ) ：= 鼍 则式( 4 8 ) 产生下述拟n e w t o n 迭代法。给定a o ，m 有迭代式 吣，t 一怒t 一面砸厕雨蔷笺丽瓦石面( 4 9 ) o 。+ 12 。2 一石可i 寿2o 一弓五手j 可；i 五了i f ；j 百i f 二i 蕞i 瓦i 五：f i i 五厕l 4 9 j 1 8 硕士学住论文 m a s t e r st h e s l s 可以证明，由上式产生的序列在初值a 。，“，选取较好时，超线性收敛于矿因 此我们可以得到重要的结论t 结论如果“毛毛e r ( 小) ，f ( o ) o 满足 皤n 掣 1 9 ( 5 4 ) 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 其中n 是待定的常数 考虑 = 1 注意到g ( a + ) = o 并令 a 1 = 一；h 口7 1 l l _ p ( 口- ) 1 1 2 + 2 ( 口7 一口- ) ( 1 p ( a - ) ，妒- ( a - ，。劬) ) 】， ( 5 5 ) 由迭代序列( 4 9 ) 式可得到 。一a = 。- 一n + + 鱼丛掣 其中7 7 。介于o - 和a 之间，且 首先由t a y l o r 展式得 b 1 ：= a 1 + g 7 ( 叩1 ) 却“) 象， ( 5 6 ) 妒( a 。) = 妒协) + ；矿( 洲蛳一。- ) 这里，介于a ，和咖之间从而 。= ( 。一( 咖1 ) ，妒( 鳓) 一；7 田- 1 怕( 酽 = ( 。一嵋) m a ) ，妒( a - ，a 。) 一( 。- ) ) + ( 妒( a ) ，( 。) ) 卜；，y n 一 妒( a - ) 1 1 2 。i ( a 一。z ) ( a 。一。- ) ( 妒( a t ) ，妒”( 一g ，( 。- 再由( 5 7 ) 知 ( 5 7 ) ( 5 8 ) b l = ；( a - 一a z ) 一a - ) ( 妒( 。- ) ，( f ，) ) + g ”( ：) ( 1 - 一。- ) ， ( 5 9 ) 其中介于n 。和”。之间 下面来估计a 。，b ， 硕士学住论文 m a s t e r st h e s l s 显然对o o ，o 。【o + 一，o + + e ，】有l q l n t ise ，i “o a l i 墨2 q ，且i n t q j l 2 对，y 【l ，。】成立 利用上述事实和( 5 0 ) 一( 5 4 ) 式可得 a ，i ；lg ，( n ) l 一2 q ；峭2 ( ；一；n ) i g ，( 矿) b 。i ；巩ig ，( a 刊+ ；嵋q q ( ；+ ；q ) n l g ，( 矿) 由这两个估计式得到 ( 6 0 ) 该关系表明只要= 钉，其中旬满足( 5 3 ) ，( 5 4 ) 和( 6 0 ) ，则由d o ， 矿一，矿+ e