（基础数学专业论文）动力系统的稳定性与分支理论及其应用.pdf

摘要 y6 6 3 5 63 本文以动力系统理论中的定性、稳定性和分支理论为基础，研究了 它们在电力系统中的应用，发现系统参数对系统的稳定性及稳定域起到 重要作用，这为控制电力系统的稳定性提供了研究方法和参数范围 全文内容共分两章，第一章简单介绍了动力系统的基本概念，有关稳 定性的判定定理，给出了局部分支的一些基本类型第二章研究一类基本 模型一文所提供的带有励磁控制的发电机电力系统，重点研究系统参数 对系统的稳定性和分支的影响，应用不问于 6 的方法，对该系统的平衡 位置局部稳定性和分岔进行了定性分析，当o 。乓s 譬终掣或 z 疗 榫 己，= g 与掣且控制量“，。+ “，一e 。时，系统存在两类平衡点，其中一 以。 d 类是不稳定的平衡点，而男一类总是稳定的平衡点占越+ “r = g 触+ “自是 鞍结分岔值，相应于电力系统崩溃当e 。+ “，tg 。+ “。时，系统不存在任何 平衡点本文还用l y a p u n o v 函数对稳定域进行了估计，给出稳定平键 点的吸引域，这相当于电力系统的稳定运行区域并且用文 8 提供豹方 法，给出稳定区域的边界最后，本文用仿真算例验证说明理论分析结果 关键词：平衡点；鞍结分岔；稳定域：稳定边界 a b s t r a c t i nt h i s p a p e r ，w e s t u d y t h ea p p l i c a t i o n o fq u a l i t a t i v e l y ， s t a b i l i t ya n db i f u r c a t i o nt h e o r i e so fd y n a m i c ss y s t e m s i np o w e r s y s t e m s w ed i s c o v e rt h a tp a r a m e t e r sp l a ya ni m p o r t a n tr o l e i n s t a b i l i t ya n df e a s i b i l i t yr e g i o no ft h ep o w e r s y s t e m s t h er e s u l t s o r o v i d em e t h o d st od e c i d es t a b i l i t ya n d d o m a i no fp a r a m e t e r s _ t h ep a p e r c o n s i s t s o ft w oc h a p t e r s t h e f i r s tc h a p t e r i n t r o d u c e ss o m e f u n d a m e n t a l d e f i n i t i o n s a n dt h e o r e m s o f d y n a m i c ss y s t e m ss u c ha sb i f u r c a t i o na n d s t a b i l i t yt h e o r y i nt h e s e c o n dc h a p t e r w es t u d yt h ec o m p l e x n o n l i n e a rp h e n o m e n a i na f u n d a m e n t a lp o w e rs y s t e mp r o v i d e d b yp a p e r ，e s p e c i a l l y t h e e f f e c t so fp a r a m e t e r s o nb i f u r c a t i o n a n ds t a b i l i t y w ea p p l y d i f f e r e n tw a y sf r o m a r t i c l e 6 t oa n a l y z e l o c a ls t a b i l i t y a n d b i f u r c a t i o no fb a l a n c ep o s i t i o n i nt h ed y n a m i c ss y s t e m s w h e n 。c 匕s 掣o r 只，紫a n d w i hc 。n 。1 h ， f “+ 。e 肚 t h e r ea r et w os o r t so ff i x e dp o i n t s ，o n ei ss t a b l e ，w h i l et h e o t h e r i sa l w a y su n s t a b l e + “，；e 。，+ “p i ss a d d l e n o d e b i f u r c a t l o n v a l u e c o r r e s p o n d i n g t ob r e a k d o w no f t h ep o w e rs y s t e m a s e m 十“， o ，存在占= o ，使得对( 1 2 ) 的其他任意满足悻( f 。) - y ( t 。) l t 。t r 时，有l 雄) 一_ y ( r ) l 0 ， 使得若1 膏( f 。) 一y ( t 。) 1 o ( j = 1 , 2 一) 其中硝是下列矩阵的主子式： 三，三：三，三。j i 卦 鼽旷i a l l “= i ：叫，a a = a n a , 。_ 1 定理1 1 1 0 设i 为( 1 2 ) 的平衡点，u 是i 的某个邻域若存在矿c ，【玩晨一】， 满足 i ) y ( i ) = 0 且当z i 时矿( 工) 0 i i ) 在u 一上，矿( x ) s0 ，则夏是稳定的 而且，若i i i ) 在u 一国上，矿( x ) 0 ，则i 是渐进稳定的 1 2 动力系统的分支理论 考虑含参变量的微分方程 夕= g ( y ，1 2 ) ，y r “，卢e r 9( 1 3 ) 其中g ：r “r p r ”是c 7 的设点( 儿，。) 是方程( 1 3 ) 的平衡点即 g ( y 。，1 2 。) - - 0 在点( y 。，几) 的线性化方程为 f = d ，g ( y 。，。) f ( 1 4 ) 称平衡点( y 。，1 2 。) 是双曲的，若a = d ，g ( y 。，1 2 。) 的所有特征值实部都不为零 由h a r t m a n g r o b m a n 定理 1 知，方程( 1 3 ) 的双曲平衡点附近的动态可 由方程( 1 4 ) 决定因此，系统( 1 3 ) 在双曲平衡点附近是局部结构稳定的 而对于非双曲平衡点( 儿，心) ( 即a 存在一些实部为零的特征值) ，当在 风的附近时，就会有许多新的动态出现，如平衡点的个数变化，出现周 期轨、拟周期轨( 准周期轨) 、混沌轨道等分支理论就是考虑参数的变 化时，系统的动态有些什么变化本文将在第二章研究一个电力系统模型 随着参数变化时，平衡点的分支的发生情况下面，介绍几种常见的局部 分支 我们假定将方程( 1 3 ) 的平衡点( y 。，) 平移到点( 0 ，0 ) ，并且应用中 心流形定理，得到决定( 0 ，0 ) 附近轨道结构的相应的中心流形方程，我们 考虑带一维参数的中心流形方程在点( 0 ，0 ) 处的局部分支 1 ( 1 )s a d d l e n o d e 分支 考虑如下方程 j = f ( x ，1 2 ) ，x r 1 ，e r l ( 1 5 ) 足理1 2 1 如果 1 ) f ( 0 ，o ) = 0 ， 2 ) 竽( o ，o ) ：0 ， 盘 3 ) 善( o ，o ) 0 ， 4 ) 警( o 0 ) 。， 那么，在平衡点( 0 ，0 ) 处发生s a d d l e n o d e 分支 注：1 对于s a d d l e n o d e 分支，在t = 0 的一侧系统没有平衡点；当= 0 时，系统有一个平衡点；在= 0 的另一侧，系统存在唯一的一条平衡点 曲线t = ( x ) ，对应于每一个有两个平衡点； 2 粤( o ，o ) ，墨( o ，o ) 的符号决定平衡点曲线芦( 功在i = o 的哪一侧 o x o u ( 2 ) t r a n s c r i t i c a l 分支 定理1 2 2 考虑系统( 1 5 ) ，如果 1 ) f ( 0 ，o ) = 0 ， 2 ) 霎( o ，o ) ：o ， 【肌 3 ) 罢( o ，o ) ：0 ， a 1 t 4 ) 擘( o ，o ) o ， o x 0 1 t 5 ) 等( o o ) 。， 那么，在平衡点( 0 ，0 ) 处发生t r a n s c r i t i c a l 分支 注：1 对于t r a n s c r i t i c a l 分支，在爿= 0 两侧同时存在两条平衡点曲线x = 0 和卢( x ) ，并且当它们穿过卢= 0 时，其平衡点的稳定性会发生改变： 2 磐( o ，o ) 昙二( o ，o ) 的符号决定其中一条平衡点曲线卢( 工) 的位置 d x 。 o x o j ( 3 ) p i t c h f o r k 分支 定理1 2 3 考虑系统( 1 5 ) ，如果 1 ) 厂( o ，o ) = o ， 2 ) 霎( o ，0 ) ：o ， 3 ) a - - s f ( o ，o ) ：o ， 4 ) ( o ，o ) o ， 5 ) 0 2 f ( 0 ，o ) 0 ， o x o l t 6 ) o 次3 _ _ i ，( 。，o ) o 那么，在平衡点( 0 ，0 ) 处发生p i t c h f o r k 分支 注：1 对于p i t c h f o r k 分支，一条平衡点曲线x = o 在t = 0 的两侧存在但 平衡点的稳定性不同，另一条平衡点曲线( x ) 只存在于t = 0 的一侧，且 ( x ) 上的平衡点的稳定性相同； 2 警( 。o ) ，篆( 0 ，0 ) 的符号决定的p ( 工) 位置 ( 4 ) h o p f 分支 如果d ，g ( _ y 。，盹) 仅有一对纯虚根，其余特征根无零实部，则系统( 1 3 ) 在中心流形上可简化为二阶方程 主= f ( x ，) ， x r 2 ，r ( 1 6 ) 定理1 2 4 考虑系统( 1 6 ) ，如果 1 ) f ( 0 ，o ) = 0 ，d ，f ( 0 ，o ) 有一对纯虚根 2 ) d r c a ( 坚c h ) ) 。：d o ， a z 那么，在( 0 ，0 ) 处发生h o p f 分支，且在= o 的小邻域内至少产生一个周 期轨，如果周期轨是稳定的，称此h o p f 分支为s u p e r c r i t i c a l h o p f 分支： 若周期轨是不稳定的，称此h o p f 分支为s u b c r i t i c a l h o p f 分支 第二章一类电力系统模型的复杂动态 2 1 背景介绍 近年来，电力系统的动力学行为已引起了很多电力工程师的注意， 许多研究动力系统的方法，如；非线性分析，奇异摄动等方法已被应用 到电力系统中去研究电力系统的动力学行为而且，有很多文献是关于电 力系统的分支与混沌方面的，因为众所周知，由于参数的变化而出现的 分支与混沌总会引起系统结构的变化 在电力系统的研究中，研究者投入大量的精力讨论电力崩溃的问题， 而其中又很关心电力崩溃的闽值如何确定。或者说，人们试图确定一个可 行域，当电力系统运行在可行域的时候，系统是稳定的，或者说，即使系 统受到扰动也会很快吸引到平衡状态而当系统的运行点跳出这个可行 域时则系统电压发生崩溃在运行的过程中，操作员也可以随时观察运行 点，如果运行点在吸引域内，则系统处于正常状态，所以研究一个电力系 统运行点的吸引区域是一个有意义的问题 5 本章根据文献 6 给出的一个简单的电力系统模型，对该系统进行了 定性分析，包括平衡点的求解及其稳定性的分析，以及可能存在的分支 本文研究的系统在相应的条件下有两个平衡解，其中一个是稳定的平衡 点，另一个是鞍点刻画出鞍点的稳定流形即意味着确定了一个吸引区域 的边界，从而该吸引域可作为稳定平衡点( 运行点) 的吸引区域 2 2 一个电力系统模型 考虑发电机励磁控制的简单电力系统 6 ，如图1 所示，它由下面的 三阶微分方程表示： 占= 西= i 1 ( r - d t o - a e q s i n ( 吼 应。，；l ( 一b e q + cc o s ( 5 ) + e 肚+ “，) 1 d n ( 2 1 ) 其中，。：善，6 ；粤，。：垡e 箬监6 为发电机的转子角，。发电机的转 止 拧 以 子角速度，e - 。为q 轴的瞬时电势，一为终端电压，e 曲为励磁绕阻电压，“，为 励磁绕阻电压的控制量，d 为阻尼系数，l 为发电机的惯性常数，如为 励磁绕阻时间常数，只为发电机输入的机械功率，以为d 轴的同步电 抗，。为轴瞬时电抗，x 。为发电机的同步电抗与线路电抗之和，即 x 。：x 。+ x 。，x 。为发电机的瞬时电抗与线路电抗之和，即x 。：x 一。+ 丘， 。为线路的电抗 图1 单机无穷大电力系统 2 3 模型分析 2 3 1 平衡位置的存在性及其分支 系统( 2 1 ) 的平衡位置j d = ( d 删e 。，) 满足方程 l = 0 ， 只一d 一a e q s i n ( 8 ) = 0 ，( 2 2 ) l 一掘。q + c c o s ( 5 ) + e 肺+ u 2 0 于是有 o ，s t 吣，= 击，c o 啪小掣， 其中，e ，满足方程 口2 e 渺b - ( e 加+ “，) 】2 + e 2 c2 一口2 c 2 e ：= 0 记 。) = a 2 e t ： b e q - ( e 肛+ “，) 】2 + 露c 2 一口2 c2 e 。：，则有 d h ；4 口2 6 2 ( 占，一e 。) ( ，一，) ( e 。一e t q + ) ，d e 口 、 口q qv 、 y 鼽虬0 _ 0 一矿塑业辱互至 ( i )当e 抽+ “，t c 时，有f 。一c 。c e 。+ 易得， f 。是 的极小值点，e ，。是 的极大值点 ( i i ) 当e 。+ u = c 时，有f 。一= e 扣c f f 。+ 是 的唯一极小值点 ( i i i ) 当e 。+ ”，c 时，有，。t f 。c e e 。f 。+ 是 的极小值点， f 。是 的极大值点 根据实际意义，要求f r z 鲁且兰掣s f 矿s 尘掣因此 系统( 2 1 ) 的平衡点存在的必要条件是生型型掣 记印m x 鲁竺警型矿掣怫= 二掣 易得，当e 舳蜘，s c 时，e q 3 e _ 一 0 e g + c 时，0 e p e 们 e 1 口+ e _ 2 我们在区间 f f 们 上找 ( f 。) = 0 的解 ( 1 ) 当o 。生。e t 。+ 时，易验证e 柙 e 。 e 。+ f q 2 此时，是 在 区间 f f 。： 上的唯一极小值点 ( 2 ) 当f 。+ s 生。：时，易验证e g + e 口1 e 。2 此时， 在区间 e f 。： 上单调增加 注意到，h ( e 。：) = 忙庐) = 焉c ：，o ， ( 鲁) = 焉 等一( e 扣+ “，) 】2 o ，因此，当 e 。+ 生。e 。：时， 在区间 e f 。： 上无零点 下面仅在。t 鲁c f 。时，即伸+ “，2 3 。_ b p 一j c 2 + 等一时，考虑 在区间 e f 。： 中的零点 h 在区间 e e 。 中的最小值 k ( 白“+ “，) = ( e 。) = 焉c 2 + 妾矗 ( 巳“+ “，) 4 - - 8 c 4 - ( + ”，) 3 水瓦i i 历虿 _ 8 c 2 ( + “，) 扣i 瓦了雨一2 0 ( + u f ) 2 c 2 考虑k ( + “，) 的符号，因为当e 肚+ u f ( o ，悯) 时霞( + 二，) t o ，所以k 关 于e l , a + u 在( o + m ) 上单调减少，且善已一j c 2 + 告曙z 。的充要条件是己z 薏 ( 1 ) 当。t 只c 老时，五3 b p 。一厣c 。，仅考虑e # a + u i e ( 。抽) 时，k 的符号k ( o ) = c 2 ( 露一丽a 2 c 一2 ( i ) 若o c e s 嚣，有k ( o ) s o 此时，在区间( o 栅) 上，k ( e 肛+ ”，) o ( i i ) 若盖c 尸_ c 意，有k ( o ) ，o 那么，存在唯一的e 肚。+ “斥( 0 一) ， 使得k ( e * + “ ) = 0 ：而当o 十“ 时，k 0 ( 2 ) 当匕老时， 即， 旦2 ap m j c 2 + 等砟2 o 时，仅考虑 一，e ( 芸巴一j c 2 + 告焉，一) 时，k 的符号令q = 差只一j c 2 + 杀碍 ( i ) 若k 仁) 0 ，则在区间( o 一) 上，k ( e m + u ) o ，则存在唯一的e 肌+ “一( o ，佃) ，使k ( e a 。+ u f r ) = o ：而 当口l e 肚+ “止时，k 0 ，则 ( i ) 当e 肚+ “， e 触+ “扛时，系统( 2 1 ) 存在两个平衡点只( 6 1 o ，e 州) 和b ( 占2 ，0 ，e q 2 ) 其中，e 口。【e 。，e 。+ ) ， e 。，2 ( 层。+ ，e 。：】分另0 是 ( e ，。) 在区间 e e 。： 中的两个零点氐，l - 1 , 2 ，满足方程( 2 。2 ) ( i i ) 当层加+ ，= 占肚+ 时，系统( 2 1 ) 的两个平衡点只和b 重合为 一个平衡点p ( a 0e 。矿) 其中，e 旷= e 占满足方程( 2 2 ) 此时，系 统( 2 1 ) 发生鞍结分岔( s n b ) ( i i i ) 当口 e r 出+ ”， o ， q 循一= 赢陋f 和州枷胪一6 c d 】， q ( f r ) = ；2 乃a b 2 叫e 一。) ( e q , - g q + ) 显然，n ，( e 卅) o ，不管口：忙。+ ) 的符号如何， a 。，口：，q 的符号变号次 数为1 ，由笛卡尔符号法则，只所对应的特征方程有且仅有一个正实根， 又三根之和为一n 国。+ ) 0 注意到，口( 辨) = f d + 告 o ，口，( 非) ) o 这样，在e n 处，口i 0 ，l ：l ，2 ，3 用r o u t h h u r w i t z 条件判定b 的稳定性 片i ( f 矿) = a l 0 ， h z ( e e ) = a l ( e ：) d 2 ( e 矿) 一口，( e 旷) 2 i 1i i d + i b i b d + 彘【c 2 一( 巳。+ “，) 2 】 + 增一争申( 争z 争“ ” 3 ( e 口) = 口3 ( 旷) 胃2 ( e r ) 考察h z ( f 旷) 在e q , 2 处的符号当号一去t 。时，仃：( e 矿) 是关于f 一的二次 多项式，其判别式为 2 筹( + 2 一等( 争i b ) 【( 号+ i b ，i b d + a c ， ( 1 ) 当 o ，显然( f 。) o j 1d 0 ( 2 ) 当a = 0 时，有导一，o ，此时，何：( f r ) 有唯一的零点 o j d o 耻d 鏊b 导 2 “亏一毒 易验证e 。t c q ：，所以：( ：) 0 ( 3 ) 当，o 时，月：( f ，) 有两个实根 印芷a d 磊b 等堂， 了i i 铲鬻a db 特别地，( i ) f d 一，o 时，h i ( f ，) 为开口向上的抛物线，且e 。e 。易验证 d o e 2 “e 。 0 ( i i ) 鲁一告= o 时，：( f ，) 为f ，的单调增加的线性函数，其零点 j d o 驴一eh,+uf一喾cdd b c 2 显然“硝因此，岬。 ( i i i ) 詈一手co 时，：( f ，) 为开口向下的抛物线，且bc 易验 ，d o 证e 2 0 又a ，( f 非) 0 ，故，( f n ) 0 由r o u t h h u r w i t z 条件知，相应于只的三个特征值都具有负的实部，b 是稳定的 于是有下面的平衡点的稳定性定理： 定理2 - 3 2 在定理2 3 1 的条件下，所给的两个平衡点中，只是不稳定的 b 总是渐近稳定的系统( 2 i ) 不会发生h o p f 分岔 系统( 2 1 ) 的分支示意图如2 3 4 节中的图3 2 3 3 稳定平衡点的稳定区域及不稳定平衡点的稳定边界的估计 ( 1 ) 我们用文献 7 中的方法估计平衡点只的稳定区域将系统( 2 i ) 的平衡点b 移动到坐标原点，即令 瞄= 8 - 8 z , ， p 口= e q - e 水 此时，系统( 2 1 ) 化为 j = ，z + g ，( 2 3 ) 其中，j = ( 占，击，钆) 7 ，j 。= j i ，g = ( g l l 6 2 9 ，9 3 ) 7 ，g 。= 0 ， g 2 = 詈【e 口2s i n ( 反2 ) 一( 童口+ e 口2 ) s i n ( 彦+ 正2 ) + e q 2c o s ( 8 2 ) 占+ s i n ( 鼠2 ) 应口】， 9 3 = 【c o s ( 占+ j 2 ) 一c o s ( 8 2 ) + s i n ( 占2 ) 占】 d 0 注意到s i n ( 5 + 6 ：) = s i n ( 8 ：) + c o s ( 6 ：弦一l 2 s i n ( 6 ：谚2 ， c 。s ( 占+ 最：) = c 。s ( 民：) 一s i n ( a ：) 彦一1 2 c 。s ( 反：) 彦2 。 其中f 和口分别是介于6 ：和i + “之间的常数 于是，有 g ：= 导【l 2 ( 言。+ 。柞) s i n ) 占2 一c o s ( 民：) 应。彦】， 自= 卜l ，2 c 。s ( _ ) s2 】 d o 由定理2 3 2 知，系统( 2 3 ) 在其平衡点b 处的线性化矩阵- ，的特征 值具有负的实部因此，l y a p u n o v 矩阵方程：p j ，+ , i r e ：一，存在正定对称的 解矩阵p ，经计算得到p ；( 几) 。，其中， p 1 2 = k l k 2 ， k 1 = 一乃卜b 2 d ( d t # o + 6 l ) 一c d ( c d t , , o 一口f 二+ 6 c l ) s i n 2 ( 占2 ) 一a 2 c 2 瓦os i n 4 ( 5 2 ) + a b e 川l oc o s ( 6 2 ) ( 一d l o + a c s i n2 ( 反2 ) ) 】， k 2 = 2 a ( b e 栉c o s ( 万0 2 ) 一cs i n 2 ( 尻2 ) ) ( 蛐瞎l o + 62 d t + o d e _ 2 瑶c o s ( 8 2 ) ) + 乃。乃s i n2 ( 鼠2 ) ：t d o ( t j - _ 2 a - e q j ac o _ s ( 8 一2 ) p 1 ：) ，p = 墨垫立旦， n ，2 夏币雨万一，p ：z2 2 铲 一：，= ! 盖1 三“：j j = ! 掣，p ”= ! j e 三。二三! ；产， 口一i d 口一i a e q 2c o s ( 釉如+ 毒s i n ( 蚴p ：， 构造l y a p u n o v 函数v ；x t p x ，显然，v 吣o ) ，。 计算y 沿系统( 2 3 ) 的轨线对时间的导数，有 旷= z 7 ( i + j i p 批+ g p x + x 7 p g = x 7 ( 一j h + 2 ( x ，p g ) 一删2 + 2 i p g 这里( ) 表示向量之间的内积 注意到p 为正定矩阵，设工是矩阵p 的最大的特征值 于是，1 1 心忙o g l s ；l 峙1 k 瓜 其中弘【号( 4 宫小阱z i ) i s 蚓忏2 l c o s ( 甜川) 】2 + 【毒| c o s ( 口胖i 1 1 2 ， 由于# i 喇) i s 啊n l ，娜s i n i n l 斟+ 1 8 ：1 ，i c o s 刚s l ，有矿s 一斟趣一、f 百) ， 其中，耻【号( 4 量- l + | 叫m i 娜：| ) | 占i + 2 l c o s ( 甜i 言艚+ 喙附 于是，当心s 古时，p so 定理2 1 3 3 假设a ，b ，c ，d ，l ，k ，已，e 辟，和u ，均为正数则当 系统( 2 3 ) 的平衡点只和b 存在时，稳定的平衡点b 的吸引域为 n = 晒，啦川s 古 ， 其中，k 4 = 号( 4 言i - i + 阱z 岫洲ii 眠忡h i 。s 蚓川) 】2 + 【毒附， 是l y a p u n o v 方程的解矩阵p 的最大特征值 系统( 2 3 ) 的平衡点只的吸引域n 的示意图如2 3 4 节中的图5 ( 2 ) 我们用文献 8 中的算法求过鞍点只的稳定流形的二次近似的解 析表达式选取文献 1 3 例1 3 2 中的单机无穷大系统所给定的参数 值：x j = l8 1 ，x d = 0 3 0 ，= 1 0 ，正= o 7 7 5 ，x 以= 2 , 2 8 5 ，乃。= 8 l = o 0 2 2 ， d ；o 1 r ：1 e 仲+ u = 2 ，在上面的参数下，电力系统模型( 2 1 ) 变为： 此时，系统( 2 4 ) 的两个平衡点为p , o 4 0 8 1 1 ，0 ，0 7 8 5 3 - 0 和p 2 ( o 7 2 0 2 , 0 。1 1 7 5 1 ) 系统( 2 4 ) 在只处的j a c o b i a n 矩阵为 扣m - 0 , 2 4 0 3 3 ，3 “：剖2 l 。7 舢7 7 “：；淼j 相应于只的特征值为 ，一2 8 6 2 1 1 2 3 6 2 6 7 j ， ；o 8 1 0 2 2 6 尢对应的特征向量为 构造 取 由 得 厂一5 3 5 5 6 8 叫岛2 8 8 3 a 。= 只= q ，= l - 。0 ：8 。1 7 0 s 2 s 2 s 5 ：1 ； 一5 78 7 6 6o 、 一0 3 6 8 5 4 801 0 0 8 1 0 2 2 ；j n ，一爿，) q ，：= - a ： n f - u 00 6 1 8 1 8 6 1 均2 一i 一0 0 1 0 6 9 2 3 j 6 = ( ( 2 4 ) 蛾卿 潍洲 裟 似挎 葛 譬 黝 m rl 、j叫 5 8眦呲m o o ， m、 = 岛 构造 取 令 作 取 = ( 差： q = q l q 2 ：- 0 0 1 0 6 9 2 3 l o 0 5 9 6 3 8 6 1 o 8 1 0 2 2 5 0 2 0 3 8 8 f 1 b = q 2 = l 0 0 6 1 8 1 8 6 l o 0 1 0 6 9 2 3 尸= 只只= q = l - ：0 三8 嚣1 0 ；2 ；2 ；5 ：誓：1 ：；薹 ( p p p ”) = ( o 9 9 1 3 3 7 0 0 1 0 6 9 2 3 0 ) 其中 ( x ) = z ， 一：= i l 。= 二誓羔；，l 一。- 1 ；1 5 7 3 ， 由：( ，一2 a ，) = 一g 得 即匕淼苫 因此，我们得到： 定理2 3 4只的局部二次近似稳定流形是 31 9 f l x l 0 。、 5 0 8 x 1 0 4 1 0 2 6 3 7 1 6j v = “7 h 2 “= 一2 , 5 2 5x 1 0 _ 6 “l2 1 7 5 1 0 4 “i 2 + 9 6 6 6 1 0 一l f 2 2 ( 2 5 ) 1 7 叭u o l o 6 3兰兰藿；。m 0 o ，c = 为 、il叫 叭叫叫 、j0p ， = 、jb 5 们 群 i 瓯 、j 1 r 0 x o 34c j0 d l o1 9 x曲躬 3 s 一 ，l = g 、0 4 4 m 吣 x酡酯 l 69 2 3 4 仿真与分析 为了验证我们所得的理论结果，我们进行仿真选取文献 1 3 例 1 3 2 中的单机无穷大系统所给定的参数值：x 。- 1 8 1 ，。：0 。3 0 ， _ - 1 0 ，x d = 0 7 7 5 ，x n = 2 2 8 5 ，乃。= 8 ，巧；0 0 2 2 ，d = o 1 若取p 卅和e 肚+ “，为参 数，则在参数空间中，平衡点的存在性如图2 分支图如图3 图2 在参数平面第一象限上，区域i 中存在两个平衡点：区域i i 中存在一个平衡点：区域i i i 中无平衡点 图3 己和s 。+ u i 为参数时。系统( 2 1 ) 的分支曲面图 若取只= 1 显然，只，嚣 e m + u i 作为分支参数，可以得到分支曲 线如图4 ，鞍结分支值为+ ”，= 1 6 5 图4 分支曲线图 若取分支参数e 肚+ “，= 2 1 6 5 ，可以求得两平衡点只( 1 4 0 8 1 1 , 0 ，0 7 8 5 3 7 ) 和尸2 ( o 7 2 0 2 ，0 ，1 1 7 5 1 ) 只不稳定，尸2 渐近稳定只的特征值为 且”= 一2 3 3 6 8 5 j ，t = 一0 2 4 6 l y a p u n o v 矩阵方程的解矩阵 f5 6 4 6 9 0 0 0 2 8 4 0 0 8 2 p = l 一0 0 0 2 8 0 1 0 9 40 0 4 5 4 3l i4 0 0 8 20 0 4 5 4 36 1 2 5 6 它的最大特征值l = 9 9 0 1 6 8 平衡点p 2 的吸引域 n = 晒亩，钆) 1 0 0 5 9 3 2 62 + 3 4 3 9 9 1 1 5 0 3 椒i + | * 1 7 5 1 + 川) m i n o ，0 7 2 0 2 + m 2s o 0 1 0 2 o ，衙 。 4 “” l “”1 7 玑 “ - 口 图5 平衡点b 的吸引域 9 在b 的吸引域n 内取一点( i ，西，乩) ；( o 肿l ，一1 ，o 0 0 0 5 ) ，即，取初始值 ( 民，。，f 。) ：( o 7 2 1 2 ，一1 ，1 1 7 5 6 ) ( 这里m 。可以任意选取) 用m a t l a b 得到积分曲 线图6 和相图7 从这两个图中可看到状态变量6 ，m ，f 。随时间的稳定 过程 图6 初始值( d 。，f 。) = ( o 7 2 1 2 ，一l ，1 1 7 5 6 ) 时，状檄5 ，m ，e 。随时间变化图 图7 初始值( 占。，珊。，f 。) = ( o 7 2 1 2 ，一1 ，1 1 7 5 6 ) 时，状态变量5 ，。，p 。的相图 舢1 、， 、。l 参考文献 1 s w i g g i n s ，a ni n t r o d u c t i o nt oa p p l i e dn o n l i n e a rd y n a m i c s a n dc h a o s ，s p r i n g e r v e r l a g ，n e wy o r k ，1 9 9 0 2 y a k u z n e t s o v ，e l e m e n t s o f a p p l i e d b i f u r c a t i o n t h o r y ， s p r i n g e r v e r l a g ，n e wy o r k ，1 9 9 8 3 j o h ng w e b s t e r ( e d i t o r ) ，w il e ye n c y c l o p e d i ao fe l e c t r i c a l a n de l e c t r o n i c se n g i n e e r i n g ，j o h nw i l e y s o n s ，i n c ，1 9 9 9 4 j g u c k e n h e i m e ra n dp j h o l e m e s ，n o n l i n e a ro s c i l l a t i o n s ， d y n a m i c a ls y s t e m s a n db i f u r c a t i o n so fv e c t o r f i e l d s ， s p r i n g e r v e r l a g ，n e wy o r k ，1 9 8 3 5 y x u e ，q u a n t i t a t i v es t u d yo fg e n e r a lm o t i o n s t a b i l i t ya n d a n e x a m p l e o np o w e rs y s t e ms t a b i l i t y ，j i a n g s up r e s so f s c i e n c ea n dt e c h n o l o g y ，n a n j i n g ，1 9 9 9 6 卢强等著，输电系统最优控制，科学出版社，1 9 8 4 。 7 井竹君，王进良，汽轮发电机组轴系扭振平衡位置的稳定性和分 岔的分析及稳定区域的估计，电力系统自动化，2 0 0 1 ，2 5 ( 4 ) ： 6 - 1 0 8 v v e n k a t a s u b r a m a n i a na n dw j j i ，n u m e r i c a la p p r o x i m a t i o n o f ( n 一1 ) 一d i m e n s i o n a ls t a b l em a n i f o l d si nl a r g es y s t e m ss u c h a st h ep o w e r s y s t e m ，a u t o m a t i c a v 0 1 3 3 ，n o i 0 ，p p 1 8 7 7 1 8 8 3 ， 1 9 9 7 9 c h i a n g ，h d ，m h i r s c ha n df w u ( 1 9 8 8 ) s t a b i l i t yr e g i o n s o fn o n li n e a ra u t o n o m o u sd y n a m i c a l s y s t e m s i e e et r a n s a u t o m a t e c o n t r p l ，3 3 ( 1 ) ，p p 1 6 2 7 i 0 f o u a da 。a 。a n dv 。v i t t a l ( 1 9 9 1 ) 。p o w e rs y s t e mt r a n s i e n t s t a b i l i t ya s s e s s m e n tu s i n gt h et r a n s i e n te n e r g yf u n c t i o n m e t h o d i nc o n t r o la n dd y n a m i cs y s t e m s ：a d v a n c e si nt h e o r y a n da p p li c a t i o n s ，v 0 1 4 3 ，p a r t3 ，a c a d e m i cp r e s s ，n e w y o r k ， p p 1 1 5 1 8 3 1 1 j i w a n dv v e n k a t a s u b r a m a n i a n ( 1 9 9 5 ) c e n t e rm a n i f o l d c o m p u t a t i o ni nb i f u r c a t i o