（通信与信息系统专业论文）基于超结构光纤光栅的宽带波分复用信道滤波器设计.pdf

中文摘要 摘要：本文首次提出了基于超结构光纤光栅的宽带波分复用信道滤波器的设计方 案，以及超结构光纤光栅反射谱谐振峰间隔的精确公式 本文理论分析部分主要分成三步，第一步，从m a x 眦n 方程组出发，详细推 导了光波导中的幅度耦合模方程组，并具体应用到光纤光栅波导结构中，推导出 布拉格光纤光栅的幅度耦合模方程组，通过解这组方程，得到了布拉格光纤光栅 的反射光谱表达式。第二步，超结构光纤光栅的光波导结构是对布拉格光纤光栅 的纤芯折射率方波取样而得，在布拉格光纤光栅光谱分析的基础上引入折射率调 制的相移因子，用传输矩阵法计算出了超结构光纤光栅的光谱。第三步，通过用 傅立叶展开的方法对超结构光纤光栅的波导结构进行分析，推导出了光栅谐振峰 的位置的精确表达式，进而得到谐振峰间隔的精确表达式，这些具体的数学表达 对宽带波分复用信道滤波器的设计起到关键的作用。 利用上述的谐振峰位置和间隔的表达式，逆向求解出影响超结构光纤光栅光 谱特征的各项参数的值。本文依据i t u t 的建议，分别计算了o 4 n m ，o 8 n m 和1 6 n m 波长间隔的波分复用信道滤波器的设计参数，并利用这些参数计算出超结构光纤 光栅的光谱，通过测量，所得光谱特性( 谐振峰位置和谐振峰间隔) 与设计预期 精确相符。通过改变光纤光栅周期( 对应光纤光栅布拉格波长) 到适当的值，使 超结构光纤光栅谱位移一个或者多个波长间隔，级联多个波长精确定位的超结构 光纤光栅，实现了波分复用信道滤波器的宽带滤波。 关键词：光纤通信；耦合模理论；超结构光纤光栅；波分复用；宽带滤波器 a b s t r a c t a b s t r a c r b r o a d b 锄dw a v e l e n g t h d i v i s i o nm u h 啦l e x i n gm u l t i - c h 锄n e lf i l t e r sb a d o ns 锄p l c df i b 盯b m 髂妒a t i n g s 锄d 锄a c c 眦他w a v e l e n g ms p a c i n ge q u a t i o nh a v e b e p r o p o 辩df o rt l i ef i r s tt i m e f i r s t i y t a l 【i n ga d v 锄t a g eo f c 0 u p l e dm o d et h e o t h e n c c t i o ns p c c t n j mc x p 他s s i o no ff i b 盯b r a g gg r a t i n g 口b g ) c 锄b cd 谢v e d 丘o m m 瓢w e ne q u a t i o n s s 锄p l i n g0 nm cf i b c rc o 他i n d e xm o d u l a t i o no ff b gw i n ls q u 啪 w a v e ，s 锄p l c df i b c rb r a 鹊g m t i n g ( s f b g ) c 柚b cp r o d u c e df o rt 1 1 ea p p l i c a t i o no f c o m bf i l t e ls 0 n d l y ，t h e 柚a i y z i n g 印p r 0 hf o rt l l e 佗n e c t i o ns p e c t m mo fs f b g 眦 h 勰c d t h e n e c t i o ns p c c t r u mc x p r c s s i o ff b g s f b gc 锄b cp a n i t ；o n c di n t o v e m l g m e n t s 锄d 龆c hs e g m c n tc 觚b ce x p 他s s 舔o p t i lm a t r i xo f 岫i f o 咖f b g u s i n gp i e c c w i s e - u n i f o ma p p r o a c h ，t l l em n e c t i s p c c 觚l mo f s f b g c 锄b ec a l c u i a t e d 1 1 1 硼l y t h ea c c u r a t e 柚a 叭i c a le ) p r e s s i o n 矗”佗n e c t i o n p e a kw a v e l c n g t h so fs f b gc 觚 b ed e r i v e d b yf o u r i e ra 1 1 a l y s i sa p p r o a c h w i t i lt h i s “p r e s s i ，t h ed e 协i l so fr e f l e c t i s p e c 饥l mo fs f b gs u c h 勰t l l cl o c a t i o no fr c n c c t i o n p e a kw a v e i e n g t h 锄dt h es p a c i n g o f r e n e c t i o n p e a kw a v e i e n g t h s ，c 锄b ci n d i c a t c d i nc o n c l u s i o n ，m e t h r s t e p sa 他t h e b a s i so f d e s i g i lo f b r o a d b a n d 、v e i e n g m - d i v i s i m u l t i p l “i n gm u m - c h 咖e lf i l t 啪 t a “n ga d v 锄t a g eo ft h e c u 伯_ 忙麟p s s i o n so ft t l e1 0 c a t i o no f f l e c t i o n p e a k w a v e l c n g t l ia n dt h es p a c i n go f f l e c t i 伽- p e a k 、a v e l e n g t t l s ，t l l ec o n c 豫t cp a r 锄e t c r s m a ti n n n c cm es p e c t m mp p e r t i e so fs f b gc a nb ec a l c u l a t e d t h ei o c a t i o no f r e n c c t 岫n p e a l 【w a v e l e n 垂h 柚dt h es p i n go f f l e c t i o n - p e a kw a v e i e n 舀h ss h o u i d s a t i s 分t h c1 1 1 j tr c c o m m e n d a t i o n n cl o c a t i o fr e f l e “o ns p e c 仉i mv a r i e sw i t ht h e g m t i n g 删o d ( c o 眦s p o n d i n gt ot l i eb h l g gw a v e l e n g t ho ff b g ) t l l u s b yc h 粕g i n gt h e 鲫i n gp e r i o d ，t i i e 他f l e c t i o ns p e c 仉l mo fs f b gc 觚b es h i 船db yo n ew a v c l 肌垂h s p a c i n go rm o 佗 1 皿y w o i m s ：o p t i c a lf i b c rc 伽m i c a t i o n s ；c o u p l e dm o d et l i l e o r y ；s 枷p l e df i b c r b m g gg m t i n g ；w 打e l e n g t h d i v i s i m u l t i p l e x i n g ；b m a d b a n do p t i c a lf i l t e r 致谢 本论文的工作是在我的导师宁提纲教授的悉心指导下完成的，宁提纲教授严 谨的治学态度和科学的工作方法给了我极大的帮助和影响在此衷心感谢三年来 宁老师在学习上对我的指导和生活上对我的关心 简水生院士、江中澳教授、王均宏教授、裴丽教授、王智教授、陈根祥教授、 简伟高工、娄淑琴教授、刘娟副教授和童治副教授悉心指导我完成了实验室的科 研工作，在学习上和生活上都给予了我很大的关心和帮助，在此向老师们表示衷 心的谢意。 在实验室工作及撰写论文期间，邸思、毛向桥、胡滨和王圻等同学对我论文 中的程序编写和理论研究工作给予了热情帮助，在此向他们表达我的感激之情。 另外也感谢我的父母和罗莹莹，他们的理解和支持使我能够在学校专心完成 我的学业 1 1波分复用系统技术概述 1 绪论 光波分复用系统原理( 图1 - 1 ) 是将两种或多种不同波长的光载波信号( 携带各 种信息) 在发送端经复用器汇合在一起，并耦合到一根光纤中传输到接收端，经解 复用器将各种波长的光载波分离，然后由光接收机作进一步处理以恢复原信号 这种在同一根光纤中同时传输两个或众多不同波长光信号的技术，称为波分复用。 x l 也 h 图1 1 波分复用系统原理 x l 地 轴 光波分复用系统中的关键器件是复用解复用器件，这些器件的解决方案【”有： 光栅型( 角色散型) ，干涉型，光纤方向耦合器型。 光栅型的解复用器是把复用的光信号通过传统透镜或者自聚焦透镜制作的准 直器件汇聚到光栅上，通过光栅对不同波长光的衍射作用，把复用的光解复用并 反射回准直器件中，通过准直器件的光路调整，输出到不同的光纤中。 干涉型的复用器件有多种，常见的有干涉膜滤波器型、m a c h - z a h n d c r 滤波器 型和波导阵列光栅型。干涉膜滤波器的虑光片由多层介质薄膜构成，可以通过介 质膜的不同排列构成不同波长的滤波器，基本原理是通过每层薄膜的界面上的多 次光反射和光折射来解释m h z a l l n d c r 滤波器是把输入的光功率通过3 d b 耦合 器分成两部分在不同长度的光波导中传播，然后通过第= 个3 d b 耦合器合波，输 出的光功率和输入光功率的比值( 透射率) 是一个随波长振荡的函数，通过不同 的m a c h z a l i n d c r 结构组合，可以得到需要的合波和分波效果。波导阵列光栅是由 输入波导、两个平面耦合波导、阵列波导和输出波导构成。多波长光信号进入输 入波导，在第一个平面波导中衍射而耦合进阵列波导，阵列波导是由长度依次递 增的路径构成，光经过这些不同路径时产生不同的相位延迟，最后在第二个耦合 波导中相干叠加，由输出波导输出 光纤方向耦合器有两种方法可以实现， 磨和抛光的方法使光纤的迅逝波发生耦合。 两路解复用器。 一是光纤拉成锥形熔融，二是采用研 利用这种方法可以制作多路复用器和 本文提出的光波分复用系统解复用器件是基于超结构光纤光栅( 取样光纤光 栅) ，采用超结构光纤光栅作梳状滤波器有很多文献有报道，但是把超结构光纤光 栅用作波分复用信道滤波的方案比较少，并且能做到满足l t u t 建议波长的方案， 本文是第一次提出。 1 2光纤光栅制备的发展历史与方法综述 光纤光栅是一种在光纤纤芯中引入周期性折射率调制的光纤器件，主要可以 根据纤芯折射率调制形式的不同而分成：光纤布拉格光栅( 或者称为短周期光纤 光栅) 、长周期光纤光栅、啁啾光纤光栅和取样光纤光栅( 或者称为超结构光纤光 栅) 等。针对不同的光纤光栅，多年以来科研人员研究开发出了多种制备光纤光 栅的方法。 最早的光纤光栅的制作要追溯到1 9 7 8 年，加拿大通信研究中心的k o h i l l 及 其合作者首次从锗掺杂光纤中观察到光子诱导光栅。k o h i l l 采用4 8 8 啪可见光 波长的氩离子激光器，通过增加或延长注入光纤芯中的光照时间而在纤芯中形成 了光栅。后来m e n z 等人利用高强度紫外光源所形成的干涉条纹对光纤进行侧面横 向曝光来产生该光纤芯中的折射率调制或相位光栅，1 9 8 9 年，第一个谐振波长位 于通信波段的光纤光栅研制成功 光纤光栅的制各主要需要考虑三个方面的问题：光敏光纤的制备、成栅的光 源和成栅技术。 1 2 1 光敏光纤的制备 如果直接用紫外光照射普通单模光纤，折射率增加仅为1 0 4 数量级便已经饱 和。光纤进行增敏处理嘲( 主要方法有：掺入光敏性杂质锗、锡、硼等；硼锗共掺： 高压低温氢气扩散处理；刷火) 以后加大折射率调制，使制作的光纤光栅具有较 高的反射率。 光敏光纤预制棒采用m c v d 法制作，在送料过程中掺杂入四氯化锗( q c ) 或三溴化硼( 舢) ，在原料沉积过程中通入氢气，以达到增敏效果p j 2 1 2 2 光纤光栅的成栅光源 光纤的光致折射率变化的光敏性主要表现在2 4 4 岫紫外光的锗吸收峰附近。 所以大部分的成栅所选用的光源为紫外光源，驻波法选用的是4 8 8 n m 可见光。目 前的成栅技术是利用激光束的空间干涉条纹，所以成栅光源需要选择空间相干性 良好的光源目前，主要的成栅光源有准分子激光器、窄线宽准分子激光器、倍 频a r 离子激光器、倍频染料激光器、倍频o p o 激光器等。其中，窄线宽准分子 激光器由于可以同时提供1 9 3 n m 和2 4 4 n m 两种有效的写入波长并具有很高的单脉 冲能量，可在光敏性较弱的光纤上写入光栅并可实现光纤光栅在线制作，因此是 用来制作光纤光栅最为适宜的光源 1 2 3 光纤光栅的成栅技术 短周期光纤光栅的制作方法【2 】主要有：内部写入法( 驻波法) ，全息成栅法( 外 侧写入法) ，单脉冲写入法，相位掩膜法和直接写入法。 ( 1 ) 内部写入法( 驻波法) ：如图1 2 ，锗掺杂光纤的一个端面耦合输入波长 为4 8 8 n m 的基模氩离子激光，光纤的另一端面放置反射镜，反射基模氩离子激光， 使光纤中的入射和反射激光相干涉形成驻波由于纤芯材料具有光敏性，其折射 率发生相应的周期变化，于是形成了与干涉周期一样的立体折射率光栅。这样制 得的光栅反射率可达9 0 以上，反射带宽小于2 0 0 m h z 这种方法要求高光纤锗含 量和小光纤芯径，并且这种方法只能够制作布拉格波长与写入波长相同的光纤光 栅，因此，这种光栅几乎无法获得任何有价值的应用，现在很少被采用 图1 2 光栅内部写入法 ( 2 ) 全息成栅法( 外侧写入法) ：如图1 3 ，这种方法是m e l 乜等人首次提出 的横向侧面曝光的制作技术。用两束相干准分子激光紫外光束在掺锗光纤的侧面 相干，形成干涉光改变光敏光纤的纤芯折射率，从而形成光栅。栅距周期由公式 a = 锄，2 s i n 护给出。由公式可见，通过改变入射光波长或两相干光束之问的夹角， 可以改变光栅常数，获得所需要的光纤光栅。这种光栅制造技术采用多脉冲曝光 技术，光栅特性可以精确控制，但是对机械震动或温度漂移的要求较高，并且不 易制作具有复杂截面的光纤光栅，目前这种方法使用不多 芝戈 可以得到电 磁场纵横分量的关系式： e l - ( 毒v ，x n 。 h ，= 妇v 一旭 l 珊5 二盯一 2 1 2 理想波导中场的分解 ( 2 8 a ) ( 2 8 b ) 正规光波导，也即纵向均匀的光波导有两个特点【1 6 l 【1 7 】：一是可以把把场的时 间因子e x p ( 甜) 和空间因子分开；二是由于纵向折射率分布的均匀性，波导中存在 传输模，也就是场的空间因子可以分解成模式场和波动项。 ( 鞘： 唧c 一伽州励， ( 2 9 ) 时间因子项c x p ( w ) 在波动方程的每一项都会带有，为公式的表达简洁，可以 省略。模式场( ： 表示光场( ：) 在波导横截面的分布波动项为e x p c i 卢的数学 形式是因为( 三 的表达式必须满足黼棚方程以及其推出的波动方程，方程中 1 0 含有纵向坐标艟的微分算子言，作用于( b ) ，得到昙( 守邓睁州胁 也即昙= 谚，可以满足方程两边相等，一般假设含有波动项既p ( 一f 芦的模式场 沿+ z 方向传播，含有波动项p ( + f 毋) 的模式场沿一z 方向传播。 由公式( 2 2 ) 和公式( 2 3 ) ，类似的模式场( e 也可以写成纵横分量相加的形 式。横向的电磁场可以分解为 e 。= e c ) “一伫) ( 2 1 0 a ) h 。= h 。c x “彳肛) ( 2 1 0 b ) 波导中有多个模式，这些模式叠加构成总的光场分布，而且假设波导中的模 式都是离散的嘲【1 3 】，那么总的横向光场分布为： e 。= q e 。 ( 2 1 l a ) h 。= 讪。 ( 2 1 l b ) 波动项e x “一讽z ) 包含在q 和丸中，脚标”表示模式序数。关于光波导中的场 的展开更加准确的描述可以参见【1 2 】，这里的推导作了所有都是离散模式的假设。 2 1 3m a 珊e l l 方程组的横向场分量表达式 公式( 2 3 ) 代入公式( 2 1 a ) 得 蛔岛h 2 e t = v h 一蛔岛”2 e 。 把公式( 2 5 ) 代入公式( 2 1 2 ) 得，其中i 。里当项为零， f 氏h 2 e ：v ，h 。+ i i 里芸+ v ，h 。一f n 坫。疗2 e 。 也 由公式( 2 6 b ) 和公式( 2 1 a ) 得 一h i = ( 甲x h ) l = 觑岛2 e 。 把公式( 2 8 b ) 、公式( 2 1 4 ) 代入公式( 2 1 3 ) 得 - ( _ b v 。( v ，。e 。) + ( i ；。曼马：蛔岛n z e 。 ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 a ) 同理得 ( 土) v 。畦) v ，。h 。】+ ( i 。：一缸弛h 。 ( 2 1 5 b ) l 埘s 行1 公式( 2 1 5 ) 是由2 1 1 节的结论推导出的，表示的是折射率任意分布 = h ( x ，弘z ) 的介质里的电磁场表达式 假设理想波导中：方向的折射率不变化，理想波导的折射率分布为 = 月似力，并由公式( 2 1 0 ) 和上一节鲁= 。p ，公式( 2 1 5 ) 可以写成第“个模式 场的表达式； ) v ，( 审，e _ ) 一岛( i 。h 。) = ，口陋；届e 。 ( 2 1 6 a ) ( _ - l - ) v 。【( 二7 ) v ，h 。卜谄( i l e 。) = 一缸l 鳓h 。 ( 2 1 6 b ) i 岛。 2 1 4 理想波导模式耦合幅度方程 把公式( 2 1 1 ) 代入公式( 2 1 5 ) ，井卤公式( 2 1 5 ) 日j 得 ；( 哆+ 碱州i l h 小肠岛( 矿帕嘛) = 。 ( 2 1 7 a ) 莓 【( + 诡屯”。e 。) + 去) 屯v ，【( 矿一莳) h 洲) = 。 ( 2 1 7 b ) 把公式( 2 1 7 a ) 标量乘。公式( 2 1 7 b ) 标量乘h ：，然后在无穷平面上积分， 并利用正交条件： i 。( e 。x h ；) 螂，= 2 碱 积分的结果为： + 诅q = 2 ；以q ( 2 1 8 a ) ( 争+ 礁巩- 2 ；磁瓦 ( 2 1 8 b ) 其中 0 、j 薯分别为第“个和第v 个模式之间的横向、纵向耦合系数，之所以 如此命名，是因为j 0 、砾的表达式分别只含有模式场e 的横向、纵向分量，如下 具体表达式： 砭= 等亡( 瑶：e ：螂 磁= 等事( ”2 一瑶) e ：e ：螂 ( 2 1 9 a ) ( 2 1 9 b ) 其中月和，都表示纤芯的折射率，前者是三元变量玎( x ，弘：) ，表示任意折射率 分布；后者是二元变量，力，表示没有纵向折射率的变化。 2 1 5 理想波导模式耦合行波幅度方程 - 无微扰情况 理想波导情况下万2 = 届，公式( 2 1 9 ) 所表示的横向和纵向耦合系数均为零， 此时模式耦合幅度方程( 2 1 8 ) 变为： ( 鸟+ 碱q ；o 甜 o + 泡以= o ( 2 2 0 a ) ( 2 2 0 b ) 通过解这组方程可以得到理想波导中的不同传输模式的幅度情况，把公式 ( 2 2 0 ) 变换成电报方程的形式，然后可以解得： q = = e 姒一讽z ) ( 2 2 l a ) q = 毋= z 一e x p ( + f 鼠：) ( 2 2 l b ) 岛= 睇= 0 ”e x p 力；西” ( 2 2 2 a ) 屯= e 叶= _ e x p ( + 诅：) = 一矿 ( 2 2 2 b ) 波动因子e x p ( i 成z ) 表示相位，代表了模式场的传播方向。公式( 2 2 0 ) 的 解是由正反向传输的波组合而成： q = + 呻= 0 c x p ( - 讽z ) + c 5 似p ( + 诅= ) ( 2 2 3 a ) 以= 群+ 二，+ 唧- ) ，、 ( 2 2 3 b ) = 毋一毋= 正”e x 睁幄力一寸c x p ( + 假z ) q 和瓯是公式( 2 1 1 ) 中第v 个模式场的系数，是表征振幅值大小的量。由公 式( 2 2 3 b ) 可见，磁场的系数巩是可以由电场的系数q 来表示的，这是因为同一模 式中的电场和磁场的幅值是相互关联的。 讨论不同电场的系数q 、q 之间的关系， 把公式( 2 2 3 ) 代回到公式( 2 1 8 ) 中得到： ( 垡璺+ f 鼠，一【( 鱼刍一徂毋】 龙出 = 2 砖+ 露) ( 譬3 m + ) + 【一讽西- ) 】 ；2 磁( 甜一酊) 把公式( 2 2 4 ) 相加和相减，得 在讨论不同模式之间的耦合时，只需要 就可以得到不同模式之间的耦合关系。 ( 2 2 4 a ) ( 2 2 4 b ) 譬；讽+ ； 砧”+ 碟一蠢) 】 ( 2 2 5 a ) 譬= 假才+ 军【球+ 彬+ x 西) ) 】 ( 2 2 5 b ) 这里的耦合系数砖、砧一、j 喀+ 、j 喀一可以用砖舯表示，p 、口代表 + 、一 k 2 瑚= p k l 计+ q x 0 ：p ( 争( 疗：一瑶) 心，础+ 嘻姥一吨协砂 q 2 6 由上式可见j 0 神包含横向耦合系数j 匕和纵向耦合系数 篡，j 0 和j 咯由公式 ( 2 1 9 ) 表示，e 。、。矿e 。，、气的右上角的( 力和( g ) 也代表( + ) 和( - ) ，即正负向 传输的模式场横向和纵向分量。对于理想波导模式，横向和纵向模式电场的关系 为，其中v 可以取任意存在的模式序数。 e 譬= e = e 。 ( 2 2 7 a ) e ：；- e 2 = e l r ( 2 2 7 b ) 公式( 2 2 5 ) 中，无衰减时，毋1 、毋的振幅是常数，波动项麟p ( - ，鼠z ) 包含 在正匐中表示相角，正向传输模式的传输常数为鼠，负向传输模式的传输常数为 一尼。有耦合时，除相角随z 变化外，振幅华也随：变化。公式( 2 2 5 ) 中的无限 求和项就是代表耦合，包括正向传输模式，负向传输模式和正负向传输模式之间 1 4 j e 塞窑逼盔堂亟土主焦监塞题结趋发红出趟敛熬堂建搓 的耦合 b 有微扰f 膏况 有耦合的情况下，口p 的振幅和相位都随：变化，参考公式( 2 2 1 ) 表示为 ”= 0 ) e x p ( 一诅力 ( 2 2 8 a ) 叶= ( 力e x “f 展z ) ( 2 2 8 b ) 由于有麟p ( 礁：) 项的存在，不论z 却( z ) 如何变化，总是快变的量，直接 对征劫做运算不容易。如果波导有几何结构和折射率分布的微小畸变或者缓变，那 么可以采用微扰近似，认为0 ( 力与快变振荡的指数因子e x “礁力相比，是：的 缓变函数，可以把公式( 2 2 5 ) 改变成毋( ：) 的耦合方程。 ，厶【+ j 气 。军“露+ 砾) 0 e x p 【f ( 屈一鼠) z 】 ( 2 2 9 a ) + ( x 0 一j 咯) 蠢白【p 【k 鼠+ 危) ：】 警= ；“k 品一联) 毋c x p 卜“屈+ 尼吲 ( 2 2 9 b ) 一( 砭+ 篡) 0 “p 【一f ( 鼠一成) z 】) 上式是微扰存在的耦合行波幅度方程，j 已、j 咯满足公式( 2 1 9 ) 2 2光纤光栅的耦合模理论 上一节假设有微扰存在，得到了耦合行波幅度方程( 2 2 9 ) ，光纤光栅的纤芯 有折射率的调制，可以视作为微扰，把光纤光栅的微扰条件代入公式( 2 2 9 ) ，并 作一些简化，可以得到光纤光栅的耦合模方型1 4 j 【1 5 】。 2 2 1 光纤光栅耦合模方程的完整形式 对公式( 2 1 9 ) 以及公式( 2 2 9 ) 做进一步的整理。 由折射率的定义玎2 = 一毛，行为介质折射率，和氏分别为介质中和真空中的 介电常数，当光纤纤芯受到紫外光照射，引起介电常数的改变，视为微扰占，那 么公式( 2 1 9 ) 中2 一砖和( ( 疗2 一瑶) 项可以重写为 一唏。一i 2 百 甫 伽蒹 公式( 2 1 9 ) 可以重写为 砭= 詈卵：e ：出方 ( 2 3 0 a ) 聪= 詈善备：c 螂 2 瑚6 上式中应带有的虚数符号一写到幅度耦合模方程( 2 3 1 ) 中。 公式( 2 2 9 ) 中令0 = e ，毋= 4 ，4 、口分别表示+ z 、q 方向传播的模式 幅度，脚标“表示模式序数。 第“个模式的幅度耦合模方程为【1 2 】 警= 7 军( 琢+ 磁m e x p 【f ( 屈一屈瑚( 2 3 1 a ) + 匹( e ，一碌) e e x p 卜h 屈+ 屈) ：】 警= 一7 军( 砭一足二) 4 e x p 【f ( 屈+ 尾) 引 ( 2 3 1 b ) 一f ( 琢+ 磁) 耳e x p h ( 展一尾) z 】 上式是光纤光栅中完整的幅度耦合方程，砖、聪满足公式( 2 3 0 ) 2 2 2 光纤光栅的耦合系数 公式( 2 3 0 ) 中耦合系数可以做简化，考虑到光纤光栅中纵向电场幅度比横 向电场幅度小1 2 个数量级，那么聪比如小2 4 个数量级，纵向耦合系数磁 可以忽略 横向耦合系数表达式中占反映了纤芯中光致折射率调制，折射率加上脚标 表示纤芯折射率，具体表达式为 1 6 占= 岛( 圮) 兰2 岛，k 折射率的改变量可以描述为 = 瓦国卜酬等州】) 上式中五- 叩表示纤芯折射率改变的平均量， ( z ) 表示光栅啁啾【1 4 l 【15 】【1 酊 ( 2 3 2 ) ( 2 3 3 ) 条纹清晰度，a 表示光栅周期， 砭= 宾舞 挣叫 眨 = + 靠e x n ，警z + 矽c z ， + 麟p 卜詈：一矽c ：) 怕。到 = 毕瓦e ：e ：姗 ( 2 3 5 ) 2 2 3 布拉格光纤光栅的幅度耦合模方程 对于布拉格光纤光栅，主要是正反向纤芯模式( 三昂。模) 之间的耦合，耦合模 方程中只存在一种模式，所以4 ；4 = 彳”，色= 鼠= 口。，直流耦合系数为描， 交流耦合系数为磷署。把公式( 2 3 4 ) 公式( 2 3 6 ) 代入光纤光栅的完整幅度耦合 方程( 2 3 l a ) 得 1 7 等2 “”口器c x p 【织一尼) z 1 + “。镒? c x p f 警抖枇) + f ( 鼠一肚 + 翻”霞嚣= “p 卜詈z 一矽( 力+ ，( 展一成弦 ( 2 3 7 ) + 扩罐器c x p f 警：+ 矽( 加“屈+ 成) z + 谗。瑶篇e x p - ，詈z 一矽( z ) 一f ( 屈+ 屈) z 屈+ 危；2 芦舅。快速振荡的项对方程贡献很小，单独或者同时含有同，“等z 和 f ( 屈+ 成弦项的指数函数都是高频振荡项，因为角频率都在1 0 6 量级以上，可以忽 略只有e x p f 等z + 矽( z ) 一f ( 屈+ 屈弦 为z 的缓变函数可以留在方程中定义 p = 屈+ 成一等，那么对于布拉格光纤光栅有筇= 2 露一警公式( 2 3 7 ) 简化 以后的方程为 警甜榴搿e x p 【一“纰叫砌】 ( 2 3 8 a ) 类似的把公式( 2 3 4 ) 公式( 2 3 6 ) 代入公式( 2 3 1 b ) 得 皇：二：“。，；：嚣。x “f ( 屈+ 尾) ：】 韶 计搿唧 ，等州+ f ( 尼堋刁 钟瞄“一 一，警州+ k 屈堋刁 一扩描e 坤 ，警州一，假例刁 一僭。：嚣c x p 一f 詈：一矽( ：) 一“屈一鼠) ： 1 8 警= 一矿搿计搿e x p 【f 纰咧z ) 】 ( 2 3 8 b ) 公式( 2 3 8 ) 为布拉格光纤光栅的幅度耦合模方程，描述的是布拉格光纤光栅 正反向纤芯基模( l 昂。模) 的电场幅度( 4 ”和口”) 相互之间的耦合 2 2 4 布拉格光纤光栅的幅度耦合模方程的解 求解布拉格光纤光栅幅度耦合模方程l l ”1 可以得到光栅的反射谱特性。首先 对公式( 2 3 8 ) 作一下数学替换分别定义前向传输模式r ( 力( 参考模式，e 居糟加p ) 和后向传输模式s ( z ) ( 信号模式s 谚耐) ，z 为光栅长度范围，取值范围为 z o 剀。 一“= 肥) 唧( 一言( 舡叫：) ) ) ( 2 3 9 a ) 曰。叫力唧( 主( 纰叫砌) ( 2 3 9 b ) 把公式( 2 3 9 ) 代入布拉格光纤光栅的幅度耦合模方程公式( 2 3 8 ) 中，得到 争 描+ 圭( 筇一掣肛础s 眨t 警+ ，陋+ 圭( 印一乌剀嘏。r 亿t 做一下数学替换得 塑：诗r + 埘 ( 2 4 l a ) 皇兰= 一j 谚s j k r ( 2 4 1 b ) 其中 毋= 嘏+ 三( 筇一刳 亿t z ， r = 矿= 搿 ( 2 4 3 ) 公式( 2 4 2 ) 和公式( 2 4 3 ) 中的直流耦合系数：嚣和交流耦合系数瑶篇满足 公式( 2 3 5 ) 和公式( 2 3 6 ) ，在布拉格光纤光栅中，这两个耦合系数可以简化为 瑞；挈瓦 ( 2 4 4 ) 描；要石。 ( 2 4 5 ) 解方程( 2 4 1 ) 【2 0 】得布拉格光纤光栅的反射系数，其中工为光栅的长度 p = 器= 邳看篙蔷丽 组 - - | ，s i n h 2 ( 佰虿工) ，- p 1 22 面罐 ( 2 4 7 ) 根据公式( 2 4 7 ) 可以计算布拉格光纤光栅的反射谱，如图2 - l 中实线是参数 为五瓦= 6 l o ，三= l 绷，o ；1 4 5 ，人= 5 3 4 4 6 0 6 ”明的布拉格光纤光栅反射谱， 点划线是a = 5 3 4 7 4 6 4 以m 的布拉格光纤光栅反射谱，虚线是a = 5 3 4 1 7 5 1 m l 的布 拉格光纤光栅反射谱。数值分析的结果可见，光纤光栅周期能影响布拉格光纤光 栅反射峰的位置。 圈2 1 布拉格光纤光栅的反射谱 参数为五；。= 6 l o ，工= l c 搠，k = 1 4 5 ， a 分别为5 3 4 4 6 0 6 m ( 实线) ，5 3 4 7 4 6 4 h m ( 点划线) ， 5 3 4 1 7 5 1 一脚( 虚线) 2 2 5 相位匹配条件和布拉格波长 公式( 2 3 8 ) 的波动项e x p 【f ( 肛一矿( z ) ) 】中p 取值直接影响了正反向模式之 间耦合的大小。如果令口= o ，那么有 展+ 鼠= 鲁 ( 2 4 8 ) 公式( 2 4 8 ) 为光纤光栅的相位匹配条件， 令公式( 2 4 。) 耦合模方程中项篙+ 三( 一鱼笋 = 。，并且根据公式 ( 2 4 4 ) ，p 的定义公式= 展+ 危一竿，布拉格光纤光栅的正反向传输常数表 a 达成：尾：厢，光纤中传输常数的定义p ：车，以及假设布拉格光纤光栅是 均匀的，即光栅没有啁嗽! 望旦：o ，可以得到 如= 2 k + 瓦) a ( 2 4 9 ) 九定义为布拉格波长，这是布拉格光纤光栅反射谱峰值波长 相位匹配条件和布拉格波长也可以由光学衍射理论推导出，可以参考【1 5 】【2 1 1 。 2 3超结构光纤光栅的理论分析 2 3 1 超结构光纤光栅的传输矩阵分析 超结构光纤光栅的光谱分析方法有多种，一是可以直接计算耦合模方程的数 值积分，二是可以分段传输矩阵求解嗍，三是可以采用勘嬲耐方法唧。 超结构光纤光栅的传输矩阵分析，是把整个光栅分成等长度小段，每一小段 光栅视为均匀布拉格光纤光栅，并用一个2 2 的矩阵描述。整个光纤光栅的的矩 阵描述是把所有小段的矩阵相乘得到一个新的2 2 的矩阵，再乘以输入光矩阵， 2 l 输出光矩阵的矩阵元比值模方就是超结构光纤光栅的反射谱嘲i 把超结构光纤光栅等分成膨段，并且定义r ，( 力和s ，( 力第_ ，段小光栅输出光 矩阵，：为光栅长度范围，取值范围为：【o 工】整个光栅的输入光矩阵为 阡豳埘椭输叫州料 其中每一小段的均匀布拉格光纤光栅的2 2 传输矩阵可以根据公式( 2 4 8 ) ， 并令，= r 2 一彦2 得到 f j =砌( y 劫一，事s ；曲( y 劫 一，爹s m ( ，劫 ，净( ，劫c o 妯( ，爿+ ，知( y 寺) ( 2 5 0 ) 超结构光纤光栅是由布拉格光纤光栅取样形成，两段小光栅之间的光纤会引 起光谱相移，在进行矩阵描述的时候需要在第段和第，+ l 段布拉格光栅矩阵之间 加入一个相移矩阵，如下公式 娶p “= ( 2 5 1 ) 超结构光纤光栅的矩阵描述可以表示为 幽蛳睹，咿即哼母旷f i 嘲 ( 2 - 5 z ) 其中相移矩阵元的具体表达为 唧( 誓 一( ，孕劫 。眨 在参数光纤的有效折射率= 1 4 4 6 ，每一小段布拉格光栅的长度 厶= 5 1 0 4 聊l ，布拉格波长厶= 1 5 5 0 m ，一个空间周期内光栅的占空比s = o 0 5 ， 光栅周期a = 5 3 5 7 7 6 0 硎，光纤芯区的折射率调制量五赢= 5 l o - ，光栅的空间取 样周期数吖= 1 5 的条件下，利用传输矩阵分析得到的超结构光纤光栅的反射谱( 图 2 - 2 ) 为 s 即c t 憎o fs a m p i e df i b e rb r a g gg r a t i n g w a v e l e n g t h ( n m ) 图2 2 超结构光纤光栅的反射谱 参数为锄= 1 4 4 6 ，厶= 5 1 0 4 ，聊， 九= 1 5 5 0 ，聊， s ：o 0 5 ，a ：5 3 5 7 7 6 0 ”埘，五；乙= 5 l o 。4 ，肘= 1 5 2 3 2 超结构光纤光栅的光谱特性的傅立叶分析 超结构光纤光栅可以看作均匀布拉格光纤光栅的等间隔取样，本质上是布拉 格光纤光栅的纤芯折射率调制的等间隔取样，如图2 3 所示。 嗽讹懒懒州 圈2 - 3 超结构光纤光栅纤芯折射率分布示意图 超结构光纤光栅纤芯折射率分布 每一段小光栅的长度为厶，取样方波的周期为厶，取样方波的幅值为l ，根 据公式( 2 3 3 ) 超结构光纤光栅纤芯折射率调制屹( = ) 的数学表达式为洲 屹( z ) z ( 力，( z ) = 瓦卜酬和抛扣 q 巧4 其中取样周期方波( 力的数学表达式为 胁 ：，彘= “知也小“忍跏 ( 2 5 5 ) 取样周期方波( = ) 作傅立叶级数展开1 ，写成振荡叠加形式，以利于做数学 变换 胁s + 瞽专笋c o s ( 等乜 亿 其中上式令j = 笔，把公式( 2 5 6 ) 代入超结构光纤光栅纤芯折射率调制 砣( z ) 的表达式( 2 5 4 ) 得 城= 而。( c o s ( 等州) ) 化石。喜 专笋c o s ( 纠 c z s ， 一赢姜专笋m 爷她州等幻) 公式( 2 5 7 ) 逐步代入公式( 2 3 3 ) 和公式( 2 3 2 ) ，得到超结构光纤光栅中占的 具体表达式，代入公式( 2 3 0 a ) ，得到超结构光纤光栅的横向耦合系数的具体表达 式，然后采用类似2 2 3 节的过程，可以把表征超结构光纤光栅纤芯折射率调制结 构的量引入到耦合模方程，最后影响光栅谱结构由公式( 2 3 4 ) 以及图2 1 可以 看出表征超结构光纤光栅纤芯折射率调制结构的量是含光栅周期a 的表达式，并 日光栅周期 是影响光栅谱反射峰位置的量由此可以判断公式( 2 5 7 ) 中影响超 结构光纤光栅中心反射峰的项是第一项s j 瓦( 1 + 研c o s ( 警= + ( z ) ) ，影响别的反 射峰的项是第现一面。砉专笋m 和北， c o s ( 等舷 ，对此项作进 一步的数学变换。 公式( 2 5 7 ) 中的三角函数乘积项忽略初始相位( ：) ，可以作进_ 步的数学变 换 c o s ( 刳c o s 巨刁 = 圭卜s ( 警：+ 等拓 + c o s ( 警：一等舷) c z s s ， 斗s 临z 卜o s 隅z 其中 a ( j | ) = z ；糸，七= o ，1 ，2 ，3 ， ( 2 5 9 ) 不失一般性，可以定义埘1 m ) = 乏，扣o l ，2 ，坍一 ( 2 6 。) 根据图2 1 的数值计算结果，光栅周期作微小变化，光纤光栅反射谱的反射 峰位置相应位移。计算公式( 2 6 0 ) ，可以发现a ( 七) 是在光栅中心反射峰对应光栅 周期a 左右作微小变化，定义a ( 女) 为第七级光栅周期，表征第t 个强烈反射峰。 根据公式( 2 4 9 ) ，写出第七个强烈反射峰的波长位置公式，其中j = 乞为超结 构光纤光栅一个空间周期内光栅的占空比。表达式的纤芯折射率调制量五瓦需要 做一修正，乘以j 因为超结构光纤光栅的纤芯折射率调制成周期性变化，表达式可 以写为【2 4 1 纠叫。( + 刳， 两个波长之问的间隔为 七= o l ，士2 ，3 ， ( 2 6 1 ) ：啦“x ( t + 引丽唰丽 亿e z ， 相邻的波长之间有旧一岛l - l ，那么 旯：斓，七；。，士。，士乙， 。， 3 超结构光纤光栅的光谱特性分析 3 1影响超结构光纤光栅光谱特性的参数 影响超结构光纤光栅光谱特性的参数见表3 1 表3 - l 影响超结构光纤光栅光谱特性的参数 影响超结构光纤光栅对应的符号 光谱特性的参数 光纤的有效折射率 刀谚 光纤芯区的折射率调制量 玎 布拉格光栅的b r a g g 波长 厶 布拉格光栅的长度 厶 一个空间周期的长度 l 一个空间周期内光栅的占空比 占 光栅的空间取样周期数 肘或珂 3 2上述参数之间的相互关系 这些参数之间有如下相互关系： b r a g g 波长与光纤折射率之间的关系为公式( 2 4 9 ) ： 厶= 2 ( + 瓦) a 图3 - l 超结构光纤光栅结构图 式中a 是布拉格光栅的周期，一般光纤的有效折射率，、光纤芯区的折射率 调制量血。和布拉格光栅的周期a 都是在制作光纤光栅前设计好，光栅制作完成 以后疗和压。是不能改变的，那么想要改变光纤光栅的b r a g g 波长九只有改变布 拉格光栅的周期a 。而这通过在光纤光栅轴向施加压力很容易达到。 超结构光纤光栅空间结构参数之间的关系： j = 厶，l ( 3 1 ) 光栅的空间取样周期数n 的取值为光栅数减l 。 由于这些参数之间的相互关联性，那么在分析这些参数对超结构光纤光栅光 谱特性的影响时，只需要改变部分参数，如光纤芯区的折射率调制量月。，布拉 格光栅的长度厶，一个空间周期内光、栅的占空比j ，光栅的空间取样周期数珂，。 3 3幽变化对超结构光纤光栅光谱的影响 固定布拉格光栅的长度厶，一个空间周期内光栅的占空比s ，光栅的空间取样 周期数玎，分析光纤芯区的折射率调制量面。的变化对超结构光纤光栅光谱的影 响。 仿真所采用的参数为= 1 4 4 6 ，厶= 5 l 矿h 肼，厶= 1 5 5 0 m ，j = o 0 5 ， h ：1 5 ，光纤芯区的折射率调制量面。分别取面。= 5 1 0 。，面。= 9 1 0 4 ， 面。= 2 1 0 4 。根据公式( 2 4 9 ) ，五不变的情况下，对应的光栅周期分别为 a = 5 3 5 7 7 6 0 聊l ，a = 5 3 5 6 2 7 9 棚卵，人= 5 3 5 2 2 1 0 珂埘。 s p e c t 怕o fs a m p i e df i b e rb 隋g gg 怕t i n g w a v e i e n g t h ( n m ) 图3 1 面。= 5 1 0 4 ，a = 5 3 5 7 7 6 0 h 册的超结构光纤光栅谱 谐振峰的间隔为o 8 h 肼 s p e c t 怕o fs a m p i e d f i b e rb r a g gg 怕t i n g w a v e i e n g t h i n m ) 图3 - 2 五- 舶= 9 1 0 4 。a = 5 3 5 6 2 7 9 h 的超结构光纤光栅谱