（应用数学专业论文）几类时滞方程解的振动性.pdf

几类时滞方程解的振动性 摘要 本硕士论文由三章组成，主要讨论几类时滞微分方程正解的存在性 及时滞微分方程、时滞差分方程解的振动性 第一章讨论非线性中立型时滞微分方程 爰叭t ) 一如此一丁) 】+ m ) 坳( t 一训= 叭， 及线性中立型时滞微分方程 象叭t ) 一舢( t 一训+ m ) 卵一盯) = 叭南， 我们利用不动点理论来研究这些中立型时滞微分方程正解的存在性 第二章首先研究一阶线性时滞微分方程 圣( t ) + 鼽z ( 一瓦) = o t = l 的振动性，获得了新的振动性结果，对已有结果进行了改进其次研究 下面非线性中立型时滞微分方程 及 珈卜妾枷c 卅喜批c 舵札 n y 0 ) + 吼( ) ( t 一巩( t ) ) = o f = l 得到了其所有解振动的充分条件 湖南师范大学2 0 0 9 届硕士学位论文 第三章讨论方程 d ( z ( 佗) 一p ( 佗) z ( n 一后) ) + q ( 礼) nl ，( z ( 礼一吼) ) i 。t s 9 佗，( z ( 佗一吼) ) = o ，扎， = l m 其中d 1 奇数，是非负整数q o ，t = 1 ，2 ，m 且a i = l ， p ( n ) ， g ( n ) = l 是正实数列，且o p ( n ) l ，z ，( z ) o ( z o ) ，c ( 咒冗) ，且，是单调递 增的函数通过若干引理，得到了上面方程的所有解振动的几个充分条 件，并建立了其所有有界非振动解渐近零的判据，所获准则改进和推广 了相应文献中的结果 关键词：时滞微分方程；时滞差分方程；振动解；正解 几类时滞方程解的振动性 a b s t r a c t t h i st h e s i so fm a s t e ri sc o m p o s e do ft h r e ec h a p t e r s ，w h i c hm a i n l ys t u d yt h e e x i s t e n c eo fp o s i t i v es 0 1 u t i o 璐f o r8 e v e r a ll ( i n d so fd e l a yd i 髓r e n t i a le q u a t i o n sa n d o s c i l l a t i o no fs o l u t i o i l sf o rd d i a yd i 丑 e r e n t i a le q u a t i o i l sa n dd e l a yd i 丘e r e n c ee q u a t i o l l s i nc h 印t e ro n e ，b yu s i n gt h e 缶c i e dp o i n tt h e o m 、es t u d yt h ee 妃s t e n c eo fp o s i t i v e s o l u t i o 璐f o rn o n - l i n e a rn e u t r a l ld e l a yd i 丘h e n t i a l le q u a t i o 璐 丢抓) 一伽比一丁) 】+ m ) 坳( 舌一硼= o ，z 芝 a n dl i n e a rn e u t r a ld e l a yd i 任打e n t i a le q u a 上i o i l s 丢b ( t ) 一舶剪( 一丁) 】+ 以) 耖( 一盯) = 叫 c h 印t e rt w o 丘r s t l yc o 璐i d e r st h eo s c i l l a t i o no fs 0 1 u t i o n sf o rt h e 丘r s to r d e rl i n e a l r d e l a yd i 能r e n t i a le q u a t i o n 老( ) + 矶z 一兀) = o t = 1 w bi m p r o 、，es o m ek n o w nr e s u l t ，a n do b t a i nai l e wo s c i l l a t i o nr 髑u l t ，es e c o n d l y s t u d yt h ef o l l 伽n n gn o n - l i n e a u rn e u t r a ld e l a yd i 丑臼e n t i a le q u a t i o n s 扣 所( t ) z ( t 一乃( 洲+ j = 1 l = l 吼( ) z ( t 一巩( t ) ) = o ，t 如 a n d n 鲈0 ) + 吼( z ) ( 一仉( ) ) = o = l s o m es u 伍c i e n tc o n d i t i o n sw i l lb ee s t a b i s h e df o ro s c i l l a t i o no fe v e vs o l u t i o n i nt h el a s tc h a p t e r ，w ei i l 、髑t i g a t ee q u a t i o i l 8 d ( z ( 佗) 一p ( n ) z ( n 一七) ) + g ( n ) m n i = 1 厂( z ( 佗一c r l ) ) i 。s 9 n ，( z ( n 一巩) ) = 0 ，几， i i i 湖南师范大学2 0 0 9 届硕士学位论文 d l o n e o d d ，后n o n - n e g a t i v e i n t e g e r 吼 0 ，i = l ，2 ， m ma n d 啦= 1 ， p ( n ) ， g ( n ) ) l = l i 8ap o s i t i v er e a ls e r i e s ，a n do p ( n ) 1 ，z ，( z ) o ( z o ) ，c ( r ，冗) ，i s m o n o t o n i c a l l yi n c r e a s i n g b yu s i n gs o m el e m m a s ，s o m es u m c i e n tc o n d i t i o n sw i l lb e e s t a b i s h e df o ro s c i l l a t i o no fe v e r ys o l u t i o na n di t sb o u n d e dn o i 卜o s c i l l a t o r y8 0 1 u t i o 璐 a 8 y 哦0 t i cz e r oo ft h ec r i t e r i o ni 8e s t a b i s h e d ，w h i c hi m p r o v ea i l dg e n e r a l i z es o m e k n o w nr e 8 u l t s k e yw o r d s ：d e l a yd i 髓r e n t i a l le q u a t i o n ；d e l a yd i f 】e r e n c ee q u a t i o n ；o s c i l l a t i o n s o l u t i o n ：p o s i t i 、伦s o l u t i o n i v 几类时滞方程解的振动性 湖南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立 进行研究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不 含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果对本文的研究做 出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完全意识 到本声明的法律结果由本人承担 学位论文作者签名：项衫支肿月日 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，研 究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属湖南师范大学同意 学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论 文被查阅和借阅本人授权湖南师范大学可以将学位论文的全部或部分 内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段 保存和汇编本学位论文 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书 2 、不保密口 ( 请在以上相应方框内打“ ”) 一3 9 日期：峥乡月日 日期：咔6 月f p 日 几类时滞方程解的振动性 绪论 1 本课题的研究背景 微分方程是现代数学的一个重要分支，在众多科学领域有着非常广 泛的应用，如几何学、生态学、力学、光学控制、天文学、核物理、现代 生物学、电子技术、自动控制以及经济等尖端科技领域在考虑到事物 本身的复杂性和抽象性时，时滞通常是不可避免的，如电路信号系统、 生态系统、化工循环系统、遗传系统、流行病传染系统、动物与植物的循 环系统、商业销售系统、运输调度系统、生产管理系统、自动控制系统都 普遍存在时滞现象，这使得对时滞微分方程的研究具有非常重要的实际 意义自上世纪6 0 年代以来，时滞微分方程的研究引起了人们广泛的兴 趣，并取得丰富的研究成果，参见【7 - 1 2 ，2 0 ，2 5 2 6 ，3 7 4 5 及其引用文献时 滞微分方程的振动理论作为泛函微分方程定性理论的一部分，在最近3 0 年有了迅速的发展一阶线性时滞微分方程是最基本的泛函微分方程， 许多复杂的泛函微分方程最终都归结为这种方程1 9 7 7 年以来连续出版 了有关时滞微分方程振动理论的专著9 本，广泛的应用背景是使这一理 论迅速发展的基础时滞差分方程的振动性研究始于1 9 8 8 年，这类方程 从时滞微分方程的差分近似中提出，也源于各种实际问题，生物模型中 就出现大量时滞差分方程 下面就本文研究的问题的研究概况作一些简要概述 一非线形中立型时滞微分方程正解的存在性 对非线形中立型时滞微分方程 爰叭旷舶卵一丁) 】+ 犯) 坳( t 一州= 叭 和 爰一p 似一丁) 】+ 抓) 如一口) = o ， 1 湖南师范大学2 0 0 9 届硕士学位论文 的研究已有许多文献，如文献【2 6 2 7 ，3 孓3 5 ，3 9 ，4 2 一删，但几乎所有文献都是 在下述三种情形 冗( ) + q ( s ) d s 三1 ， - ，一r + 盯 ，t r ( t ) + q ( s ) d s l ， ，t r + 口 ， o 刍 则方程( o 1 1 ) 振动；如果对充分大的t 厂p ( s ) d s l 0 t l 卜+ o 。_ o o 、。， 是方程( o 1 3 ) 所有解振动的一个充分条件 但是多时滞非自治中立型微分方程 珈) - 善班m 卜删】+ 善妣( 卜删姐。 研究还不够充分，据我们所知，关于上述方程的振动结果的工作目前还 很少 三高阶非线形中立型时滞差分方程的振动性 近年来，中立型时滞差分方程的振动性研究已有许多好的研究结果 【4 1 删，然而对高阶变系数中立型时滞差分方程的振动性研究成果很少 其中文献 4 5 4 6 】研究了中立型时滞差分方程 d ( z ( 钆) 一p ( 礼) z ( 几一七) ) + 口( 几) i 厂( z ( 佗一吼) ) l 。s 9 n ，( z ( 佗一吼) ) = 0 ，n ，( 0 1 4 ) 3 一 湖南师范大学2 0 0 9 届硕士学位论文 解的振动性问题 问题2 将方程( o 1 4 ) 修正为 d ( z ( n ) 一p ( n ) z ( 礼一七) ) + g ( 礼) ni ，( z ( 他一吼) ) i 。s 9 礼，( z ( n 一吼) ) = o ，佗， l = 1 其中d 1 奇数，尼是非负整数吼 o ，i = 1 ，2 ，m 且啦= 1 ，仞( 扎) ) ，伯( 扎) 】 是正实数列，且o p ( 竹) l ，z ，( z ) o ( z o ) ，( z ) g ( r ，r ) ，( z ) 是单调 递增，是差分算子，z ( 礼) = z + 1 ) 一z ( 佗) ，( 佗) = ( 纠z 一1 ) ) 令 m = m a x 似最，江1 ，2 ，m ) 那么，方程所有解振动的充分条件是什么? 问题3 假设下列条件成立： ( 1 ) l i ms u pp ( n ) o ，i ：1 ，2 ，仇且苎啦：l ，仞( 佗) ) ， 口( 礼) f = 1 是正实数列，且o p ( 佗) 1 ，z ，( z ) o ( z o ) ，c ( r ，r ) 且，是单调递 增，通过若干引理，利用反证法和某些分析技巧，得到了上面方程的所有 解振动的几个充分条件，并建立了其所有有界非振动解渐近零的判据， 所获准则改进和推广了文献【4 1 4 6 】中的相应结果 一5 一 几类时滞方程解的振动性 1 非线形中立型时滞微分方程正解的存在性 1 1 引言 近年来，非线性中立型时滞微分方程解的振动性已经被充分研究， 参看【2 1 3 1 】，我们来研究下面非线性中立型时滞微分方程 丢m t ) 一伽们一丁) 】+ 船) 坳( 卜州= o ，t t 。 ( 1 1 1 ) 和线性中立型时滞微分方程 象m 旷如绯一训十q 绯一口) = 叭亡。 ( 1 1 2 ) 本章的目的是研究方程( 1 1 1 ) 正解的存在性，通过使用巴拿赫压缩 映像原理，获得了一些新的充分条件 1 2 主要结果 为了研究方便，我们给出线性中立型时滞微分方程( 1 1 2 ) 的特征方 程 入一a 册e a r + g o e a 7 = 0( 1 1 3 ) 这里舶( o ，1 ) ，7 - ( o ，。) ，口【o ，) ，口c 【o ，o 。) ，r + 】且 c r ，r 】( 1 1 4 ) ( h ) 假设存在一个正数口0 = 熙q ( t ) 及盯使得o 口( t ) q o ，且 o ( 仳) 乱( 当o “口) 或者o 危( 让) 乱( 当一口t 正o ) 我们需要下面的引理： 一7 湖南师范大学2 0 0 9 届硕士学位论文 引理1 2 1 【4 7 】假设( 1 1 4 ) ，( h ) 成立，方程( 1 1 3 ) 有一个实根则方程 ( 1 1 1 ) 在【一r ，) 上有一个最终正解，这里r = m o z ( 丁，盯 引理1 2 2 【4 7 j 假设方程( 1 1 2 ) 在) ，( 1 t o ) 上有一个最终正解 则方程( 1 1 3 ) 有一个实根 现在给出本章的主要结论： 定理1 2 1 假设( 1 1 4 ) ，( h ) 成立，存在一个正数p 使得 p o p e p r + i 口( t ) i e 妒p ，t o ( 1 1 5 ) 则存在- t o ，使方程( 1 1 1 ) 在o 。) 上有一个最终正解 证明：令m = m a x 丁，矿) 定义下面的函数 a = a ：a ( t ) = o ，l m 1 ) 当a l ，a 2 a 定义 d ( a l ，a 2 ) = s u pj a l ( t ) 一a 2 ( t ) i e 一倒 2 t l m 这里7 7 充分大 等+ 扩咖 三，t 独 ( 1 1 6 ) 则( a ，d ) 是一个完备度量空间定义 c t 州牡 t l i ( 丁a ) ( ) i 伽p e p 7 + i g ( t ) i e p 4 肛， 这表明t 把a 映射到a 几类时滞方程解的振动性 下面，我们表明t 是一个压缩映射事实上，当入，入2 a 及t t - ， 运用中值定理我们发现 i 唧( 州s ) 删一e x p ( ( ，姒州s ) | e 旷唧( 仁r m ( s ) 一s ) l 删 有 ，t， l 入l 一f ) e x p ( a 1 ( s ) d s ) 一a 2 ( t 一7 ) e ) ( p ( a 2 ( s ) 如) i ，t r - ，t r = i a t 一7 ) f e x p ( 丘，a - ( s ) d s ) 一e x p ( 丘，a z ( s ) d s ) 】 + e x p ( 正，入2 ( s ) d s ) 【a 1 0 一下) 一入2 一1 - ) 】l p e p re ) c p ( 正，i a l ( s ) 一a z ( s ) i d s ) + e p 7 i a l ( t 一7 ) 一a 2 ( 一7 - ) i 因此a 1 ，a 2 a 且t 1 ， l ( 丁a 1 ) ( t ) 一( 丁a 2 ) ( t ) i 伽i a l ( t r ) e x p ( ：，入l ( s ) 如) 一a 2 ( t 一7 ) e x p ( 正，a 2 ( s ) 幽) i + ) f le x p ( 正，a l ( 8 ) 幽) 一唧( 正口a 2 ( s ) d s ) l 伽p e p 7 ( 丘，i a l ( s ) 一a 2 ( s ) i 幽 + 伽e 弘7 i a l ( t 一7 ) 一a 2 ( t 一7 ) i + i g ( ) i e 妒( 正。l a l ( s ) 一a 2 ( s ) i d 3 = p o p e p 7 正，( 1 a 1 ( s ) 一a 2 ( s ) i e 邓) e 7 8 如 + p o e p 7 ( 1 入1 ( 亡一7 ) 一a 2 ( 一7 - ) l e 一7 ( t 一7 ) e 呀( 。一r ) + l 口( ) i e 妒正，( i a l ( s ) 一a 2 ( s ) f e - 班) e 叩8 如 p o p e p 7 d ( 入1 入2 ) ：( e 讲一e 叶( 。一7 ) ) + 曰o e p 7 d ( a 1 ，a 2 ) e 叩( 一7 ) + i g ( t ) i e 妒d ( 入1 ，入2 ) ：( e 讲一e 叩。一4 ) j d ( a l ，a 2 ) e 讲加。肛e p 7 + 7 护o e 似一町) 7 + i q ( ) i e 叩4 】 湖南师范大学2 0 0 9 届硕士学位论文 从上面的不等式，通过使用( 1 1 5 ) ( 1 1 6 ) 我们发现t t 1 ， l ( 丁a 1 ) ( ) 一( t a 2 ) ( ) i e 一讲j d ( a 1 ，入2 ) + 卯o e p ( 。一叼】 = d ( a l ，a 2 ) 等+ 伽e p ( 一，7 】 d ( a 1 ，a 2 ) 即 d ( t 入l ，t a 2 ) 吾d ( 入1 ，a 2 ) 因此存在一个解a a 使得t a = a 为完成证明，我们说明正函数 们) = e x p ( 一r ) d s ) ，t 独一丁 是方程( 1 1 2 ) 在o o ) 上的一个解事实上当t 。时， 秒0 ) = 一入( t ) 可( ) 另方面，当t t 时， y ( t 一丁) = e x p ( 一管”a ( s ) d s ) = e x p ( 一入( s ) d s ) e 印( 丘，a ( s ) d s ) = 可( t ) e x p ( 正，a ( s ) d s ) 同理 ( t 一口) = 耖( ) e x p ( a ( s ) d s ) ，c ，t 一盯 因此，当t l ， 匆秒( t ) 一删( 一丁) 】+ g ( t ) y ( 一盯) = 一a ( t ) ( t ) + p o a ( 一7 - ) 可( 一7 - ) + 口( ) 秒( ) e x p ( 正，入( s ) d s ) = ( ) 一a ( ) + ( t a ) ( t ) 】 一1 0 几类时滞方程解的振动性 使用引理1 2 2 和引理1 2 1 ，定理得证 定理1 2 2 假设( 1 1 4 ) ，( h ) 成立，且g ( t ) 在 幻，o o ) 上是完全有界的 令m = m a x 丁，盯) ，且假设当t t 时，存在一个正数p 使得对每一个函数 入a ，a = 入：a ( t ) = o ，当t l m t t l 时， o ( 丁a ) ( ) p ，这表明丁把a 映射到a 1 1 一 湖南师范大学2 0 0 9 届硕士学位论文 下面我们证明t 是一个压缩映射事实上入。，九a 且t t l ， l ( 丁a 1 ) ( t ) 一( t a 2 ) ( t ) i p o l 入l ( 一7 ) e x p ( 一正，a l ( s ) d s ) 一a 2 ( t 一丁) e x p ( 一丘，入2 ( s ) d s ) i + i g ( t ) i ie x p ( 一丘口a 1 ( s ) d s ) 一e x p ( 一正。a 2 ( s ) d s ) l 伽p 正，l a l ( 8 ) 一a 2 ( s ) f d s + 伽i a l ( t 一7 - ) 一a 2 ( 一7 i ) + i g ( t ) i 丘口i a l ( s ) 一a 2 ( s ) i d s ：d ( 入l ，入2 ) 印。p + 衲e 一耵+ 1 9 0 ) i 】 d ( 入l ，入2 ) e 小【鲁+ 舶e 一耵】 由引理( 1 1 7 ) 我们看到： d ( 丁a l ，丁a 2 ) 去d ( a l ，a 2 ) 因此存在一个解a a 使得丁入= a 为完成证明，类似定理( 1 2 1 ) 的 证明，可得 可( t ) = 唧( 入( s ) d s ) ，t l ，l 是方程( 1 1 2 ) 在o o ) 上的一个正解使用引理1 2 2 和引理1 2 1 ，定理 得证 一1 2 一 几类时滞方程解的振动性 2 非线性中立型时滞微分方程解的振动性 2 1 引言 近年来，振动的时滞微分方程已被广泛的研究，参看文【1 5 】考虑时 滞微分方程 z ( t ) + 纯z ( t 一几) = o ， ( 2 1 1 ) 这里鼽r ，瓦矿，l = 1 ，2 ，佗它的特征方程为： a + p t e 以矗= o ， ( 2 1 2 ) 及非自治中立型时滞微分方程 珈) 一善种m 卜删】+ 善舯( 卜俐= o 舵幻 ( 2 ”) 和非中立型时滞微分方程 ( t ) + 哝( t ) 秒( t 一矾( t ) ) = o ( 2 1 4 ) 。关于非自治方程( 2 1 4 ) 已经被充分研究，看 2 1 0 】但方程( 2 1 3 ) 研究不够 充分这里 纺，勺，彩，乃c 如，。o ) ，兄+ 】，歹= 1 ，2 ，z i = 1 ，2 ，绍， ( 2 1 5 ) 及歹= l ，2 ，f 和i = 1 ，2 ，n ， s u p 乃( t ) 0 ，i = 1 ，2 ，n 则 ( 血p i ) 眺。垡州 三 是方程( 2 1 1 ) 所有解振动的一个充分条件 证明：使用算术平均几何平均不等式 c 妒丢鲁 再由 e 。e z ，z o ， 我们可以知道，当a o ，口( t ) 口( t 1 ) 坐# 1 i m s u p 【銎l 砘( s ) 1 如 二二= 二 ，一口( t ) 7 、 这里入是方程a ：e o a 的一个很小的解，则方程( 2 1 4 ) 的每一个解振动 引理2 3 6 3 嘲假设轨( ) ，吼( ) c ，o o ) ，肘】，且恕( t 一吼( ) ) = 。o ，i = 1 ，2 ，n 则下面两种情形的任何一种成立，方程( 2 1 4 ) 的每一个解振动 ( a ) 假设存在一个后使得 t i 卿厶( s ) 】e x p ( 仁小舭 三 一1 6 一 几类时滞方程解的振动性 成立，这里盯( t ) 2 悲吼( t ) ，t2 蕊【一以( t ) ，知( 。) = o ，。t k m ，= 器曼掣厶以 。矽s ，垃如 ( b ) 假设存在一个七，m l ，2 ，扎一1 使得 ：- 鬯掣l ，p h 炒三 这里定义 机 ) _ 。嘉，烈功吲l ) k ( s ) d s ) ，k o l ， n ，t i = m + l 。一o l ， d 1 问( t ) ：鼽( t ) e x p ( 厂2 叫( s ) d s ) t ，一以( t ) 球+ 1 捌( 幻= 毋纠e x p ( 仁础) 硪2 + 1 ( s ) d s ) 歹= 1 ，2 ，m ，t = 1 ，2 ，仇一歹+ 1 ，七= 0 ，l ， 2 主要结果 定理2 3 1 假设( 2 1 5 ) ，( 2 1 6 ) ，( 2 1 7 ) 成立且 l t 墨擎 忠【州t ) 【跏( s ) ) 三， 则方程( 2 1 3 ) 的每一个解振动 证明：用反证法，假设方程( 2 1 3 ) 有一个最终正解z ( ) ，由引理2 3 2 ，t ，( ) 最终为正，且z ( ) ( t ) 因此( 2 1 9 ) 变为 可0 ) + g t ( t ) 口( t 一巩( ) ) o 由引理2 3 3 ，方程( 2 1 4 ) 也有一个最终正解再由引理2 3 4 ，这是一个矛 盾，定理得证 湖南师范大学2 0 0 9 届硕士学位论文 定理2 3 2 假设( 2 1 5 ) ，( 2 1 6 ) ，( 2 1 7 ) 成立，令 盯( t ) 2 璁吼( ) ， 1 1 罂擎【勘( s ) 】如= j 三， l i ms u p 厂t 【翟。张( s ) 】d s 丝瓮旦1 i ms u p 【翟l 张( s ) 】d s 竺二；j 二 。 t ，t 一口“) 这里a 是方程a = e z a 的一个很小的解，则方程( 2 1 3 ) 的每一个解振动 证明：用反证法，假设方程( 2 1 3 ) 有一个最终正解z ( ) ，由引理2 2 1 ， ( t ) 最终为正，且z ( t ) u ( t ) ，因此( 2 1 9 ) 变为 t ，0 ) + 吼( ) u ( t 一仉( ) ) o 由引理2 3 3 ，方程( 2 1 4 ) 也有一个最终正解再由引理2 3 5 ，这是一个矛 盾，定理得证 定理2 3 3 假设( 2 1 5 ) ，( 2 1 6 ) ，( 2 1 7 ) 成立，则下面两种情形每一种情 况成立，方程( 2 1 3 ) 的每一个解振动 ( a ) 假设存在一个七使得 t t 墨擎仁翟。a ( s ) 】e x p ( ：三州u ) 砒油 三 成立，这里 盯( 。) 2 恕以( t ) ，丁。氍 一吼( 。) ) ，a 。( 。) = o ，。z 沁m ，= 嚣曼掣如k ( s ) d 引独 ( b ) 假设存在一个七，m 【1 ，2 ，礼一1 ) 使得 i 墨笋l ，p m 州s 几类时滞方程解的振动性 这里定义 蛾o ) - ；互，p i ( d e x p ( l ) k ( s ) d s ) ，梏0 1 ，扛：m + 1 。p d t ， d 1 明( t ) = 鼽( t ) e x p ( 虮( s ) 如) ，t 一几( t ) + 1 1 ( ) = 嘲( t ) e 印( 垲+ l ( s ) 幽) ，t 一以【” j = 1 ，2 ，m ，i = l ，2 ，m j + l ，七= 0 ，l ， 证明：用反证法，假设方程( 2 1 3 ) 有一个最终正解z ( t ) 则由引理 2 3 2 ，u ( t ) 是最终为正的且z ( t ) t ，( t ) ，因此( 2 1 9 ) 变为 u ( t ) + 岱( ) ( t 一吼( t ) ) o 由引理2 3 3 ，方程( 2 1 4 ) 也有一个最终正解又由引理2 3 6 ，这是一个矛 盾，定理得证 1 9 几类时滞方程解的振动性 3 高阶非线形中立型时滞差分方程的振动性 3 1 引言 近年来，关于中立型时滞差分方程的振动性的研究已取得了许多好 的研究结果【4 1 4 4 】然而对高阶变系数中立型时滞差分方程的振动性的研 究成果很少本文讨论方程 d ( z ( n ) 一p ( 佗) z ( 佗一七) ) + g ( n ) nl ， ( n 一巩) ) p s 夕佗，p ( n 一吼) ) = o ，n ，( 3 1 1 ) i = l 其中d 是大于或等于1 的奇数，七是非负整数，啦 o ，( t = 1 ，2 ，m ) 且曼啦：1 ，妇( n ) ) ， g ( n ) 是正实数列，且o p ( n ) 1 ，z ，( z ) o ( z t = l o ) ，c ( r ，r ) ，是单调递增的，是差分算子，z ( n ) = z ( 礼+ 1 ) 一z ( n ) ， d z ( n ) = ( d 一1 z ( n 1 ) ) 令m = m a x 七，m ) ，o = 1 ，2 ，m ) 方程( 3 1 1 ) 的解z ( 佗) 是振动的，指z ( 死) 既不是最终为正，也不是最 终为负否则称解z ( n ) 为非振动的 本章利用反证法，得到了方程( 3 1 1 ) 的所有解振动的几个充分条件， 并建立了方程( 3 1 1 ) 所有有界非振动解渐近零的判据，所获准则改进和 推广了文献 4 5 4 9 】中的相应结果 3 2 引理 引理3 2 1 【4 却( 离散k n e s e r 定理) 设可( n ) 满足可( n ) o ，4 可( n ) o 且不 恒为o ，那么存在一个非负偶数口d l ，使得： 竺；基乏。：i ：二：ij ：，d 一1 c 3 ，2 ， i ( 一1 ) i y ( 佗) o ，j = n + 1 ，d 一1 、 湖南师范大学2 0 0 9 届硕士学位论文 引理3 2 2 设 y ( 扎) ) 是正实数列且有界， d 1 是奇数， 勺( n ) o 且不恒为o ，则有 ( 一1 ) 3 ，( 礼) o ，i = o ，1 ，d 一1 ( 3 1 3 ) 证明：由引理l 知，有偶数8 ：o 8 d l ， 。y ( 孔) 0 ，i = o ，1 ，2 ，口，( 3 1 4 ) ( 一1 ) 。4 可( 扎) o ，i = n + l ，d 1 ( 3 1 5 ) 如果n 2 ，则可( 礼) o 可推得 y ( 佗) 是无界数列，这与 ( n ) ) 有界矛 盾因此o = o 故有( 一1 ) 岔y ( n ) o ，i = o ，1 ，d 一1 引理3 2 3 4 9 】假设t l 是整数，且 秽( 住) ) 是实数列， ( 1 ) 如果1 i m i n f 。可( n ) o ，则l i m 可( n ) = + 。o ， ( 2 ) 如果l i ms u p ( 扎) l 是奇数， 可( 礼) 】是负实数列， ( 2 ) d 剪( 礼) o 且 d y ( n ) 不恒为零，则有可( n ) o 当扎充分大时 一2 2 几类时滞方程解的振动性 证明：由 z ( n ) ) 是方程( 3 1 1 ) 的最终正解，则存在n - o ，使得z ( 礼一 m ) o ( 佗n 1 ) 由方程方程( 3 1 1 ) 有 d y ( 佗) = 一q ( 礼) l ，( z ( 佗一吼) ) l 。o ，n 礼1 f = 1 由引理3 2 5 知， 鲈( 礼) ) 单调且最终定号，故最终有剪( 礼) o 或y ( 纯) o 如果( n ) o ，由引理3 2 4 知衄( 礼) o ，江o ，l ，d 。为此先证 d 一1 秒( 札) ) 为正用反证法，若不然则 d 一1 可( 佗) 】存在非正的子列又勺( n ) o ， 从而 扣1 可( n ) 最终严格单调下降，从而必有l i m i n f 秽( n ) o 可知d 一1 ( 一秒( 礼) ) l 时， ( 一1 ) 秒( n ) = ( 一1 ) 一1 卜1 拶( 礼) 一( 一1 ) 扣1 卜1 秒( 佗+ 1 ) ( 一1 ) 一1 一1 y ) ( 2 d ) 一2 3 。 湖南师范大学2 0 0 9 届硕士学位论文 当d = l 时，显然 勺( n ) 8 可( n ) ) 故有( 一1 ) d 勺( n ) ( 一1 ) d 一1 d _ 1 ( n ) ( 一1 ) 彭( 恐) ，即有勺( 扎) 甜( 札) 引理得证 3 3 主要结果及例子 定理3 3 1 假设下列条件成立： ( 1 ) 存在入 o 使得她华 入 ( 2 ) l i m i n f g ( n ) 圭 n + 一 则方程( 3 1 1 ) 的所有解振动 证明：用反证法，设方程( 3 1 1 ) 有非振动解扛( n ) ) ，可设 z ( n ) 是最 终正解，最终负解的情形可类似证得 由引理3 2 6 知， y ( n ) ) 最终为正，其中可( n ) = z ( 礼) 一p ( 礼) z 一七) 且 d 可( n ) s ( n ) c o ，n 佗l ，贝l j m 8 可( 礼) = 一g ( 佗) i ，( z ( n 一以) ) l 一口( 礼) ，( c ) ，n n l + m 令礼2 = 礼l + m ，对上式两边礼从仡2 到佗一1 求和有 n 一1 如1 掣( n ) 一，( c ) q o ) + d 。( n 2 ) ，n 扎2 j = n 2 由条件( 3 1 2 ) 有量g ( n ) ：十。，因而d t 可( n ) 一一。，n _ + o 。) 由于 扎= l 矽( n ) o 且秒( n ) o 由引理3 2 2 知，这是矛盾因此l i m ( n ) = o 故 可( n ) ) 是有界数列 一2 4 几类时滞方程解的振动性 由引理3 2 2 知( 3 2 3 ) 成立令z ( 佗) = ( 一1 ) 扣1 i - 1 y ( n ) o ，由方程 i = 1 ( 3 1 1 ) 有 m d y ( 礼) = 一口( 凡) n ( ，( z ( 佗一仃；) ) ) n l = l m 一g ( 佗) n ( ，( 秒( n 一以) ) ) 伽 t = 1 m 一g ( 佗) 丌( ，( 可( 佗) ) ) 啦 = l = 一口( 佗) ，( y ( 佗) ) o ，则伽( 礼) a ， ( 2 ) l i m s u p g ( 佗) 女， 则方程( 3 1 1 ) 的所有解振动 证明( 反证法) 设方程( 3 1 1 ) 有非振动解 z ( 礼) ) ，可设 z ( n ) ) 是最终正 解，最终负解的情形可类似证得 由引理3 2 6 知， y ( n ) ) 最终为正，其中y ( 礼) = z ( n ) 一p ( n ) z ( 他一七) 且 d 可( n ) 可( 礼) c o ( 他n 1 ) 则 d y ( n ) = 一口( n ) i ，( z ( n 一吼) ) l 。一口( 礼) ，( c ) ( n 几l + m ) i = 1 令( 锄= n 。+ m ) ，对上式两边n 从n 2 到n 一1 求和有 n 一1 d 一1 可( 佗) 一，( c ) 乏二口o ) + d 一1 可( n 。) ( n n z ) j = n 2 由条件( 2 ) 有g ( 佗) = + o o ，因而d 一1 1 ，( 佗) _ 一。o ，一+ 。) 由于耖( 佗) o 且勺( n ) o 由引理3 - 2 。2 知，这是矛盾的因此熙可( 札) = o ，则【妙( 强) ) 有界且最终严格单调下降 由引理3 2 7 知，d 可( 佗) 匈( 竹) 由( 3 1 2 ) 得出存在2 ，当n 2 时， ，( 秽( 他) ) 入爹( 珏) ，存在 q ( 他) ) 的子列 g ( 唧) ) 满足垡( 唧) 圭，即l 一抽( 勘) 2 ) ，当i ，时， ( ) d 可( 吩) m = 一g ( 码) n ( ，( z ( 嘞一吼) ) ) 越 i = 1 m 一g ( 他) n ( ，( 剪( 吩一吼) ) ) 啦 t = 1 m 一口( 吩) 兀( ，( 可( 吩) ) ) 啦 扛= l = 一g ( 码) ，( 秒( 嘞) ) 即 y ( 吩+ 1 ) 一秒( 码) 一口( ) 厂( 剪( 唧) ) 可( 码+ 1 ) y ( 嘶) 一口( 心) ，( 可( 吩) ) ( 吩) 一入g ( ) y ( ) = ( 1 一a 口( ) ) ( 啦) 0 一2 6 凡类时滞方程解的振动性 这与 3 ，( n ) 最终为正矛盾，定理得证 定理3 3 3 假设下列条件成立： ( 1 ) l i m s u p p ( 佗) l ( 2 ) 佗d 一1 9 ( 几) = + 。o 则方程( 3 1 1 ) 的有界非振动解 z ( 钆) 渐近于零 证明：不失一般性，设【z ( n ) ) 为最终正解，关于 z ( 佗) 为最终负解 的情形可类似证得 由引理3 2 6 知 可( 佗) ) 也最终为正，由于 z ( n ) ) 有界且o p ( n ) 1 ， 则 可( n ) ) 有界正实数列，应用引理3 2 2 知( 3 1 3 ) 成立 将方程( 3 1 1 ) 两边n 从扎。到+ 求和d 次，其中n 。的定义如定理 3 3 1 并应用( 3 1 3 ) 式得 咖2 ) 薹虹高掣如) 鼽”坩如独) ( 3 拍) o 。十， 注意到n 扣