（电力系统及其自动化专业论文）基于互高阶累积量的间次谐波检测.pdf

东北电力大学硕卜学位论文 a b s t r a c t a l o n gw i t ht h ed e v e l o p m e n t o fe l e c t r i c p o w e rs y s t e m ，t h ep r o b l e m o f i n t e r h a r m o n i c sa n ds u b h a r m o n i c si ne l e c t r i cp o w e rs y s t e mi si n c r e a s i n g l ys e r i o u s i n t e r - h a r m o n i c sa n ds u b h a r m o n i c sa r ek i n do ft h eh a r m o n i c sw h i c ha r en o ta l l i n t e g e r o ft h ef u n d a m e n t a lf r e q u e n c y c o m p o n e n t n l ei n t e r - h a r m o n i c s a n d s u b h a r m o n i c s ，s a m ea st h ei n t e g e rh a r m o n i c s ，h a v es e r i o u si m p a c t so nt h ed e s i g no f h a r m o n i c sc o m p e n s a t i o ne q u i p m e n t s ，s oi ti si m p o r t a n tt om e a s u r ei n t e r h a r m o n i c s a n ds u b h a r m o n i c sa c c u r a t e l y an o v e ld a s so f a n a l y s i st o o li ns i g n a lp r o c e s s i n g - - c r o s s r h i g h e r - o r d e rs p e c t r a l ( c h o s ) i sp r e s e n t e di nt h i st h e s i s t h e nt h ec h o sm e h o d so fe s p r i ta n d m u s i ci nf r e q u e n c i e se s t i m a t i o na r ep r o p o s e d f i r s t ，t h eb a s i cc o n c e p ta n d p r o p e r t i e so fc r o s s h i g h e r - o r d e r - s p e c t r a li sp r e s e n t e d ，w h i c hi st h et h e o r e t i cb a s e t h r o u g h t h i s d i s s e r t a t i o n 、c r o s s - h i i g h e r - o r d e r - s p e c t r a l i sa b l et o d e p r e s s n o n - c o r r e l a t i v en o i s ea n dc o r r e l a t i v eg a u s sn o i s e s s e c o n d ，o n ei sf o r m i n gc u m u l a t e m a t r i x p e n c i l u s e di ne s p r i tt oe s t i m a t ep a r a m e t e r s ，t h eo t h e ri s s p e c t r u m e s t i m a t i o nm e t h o df o rp a r a m e t e r se s t i m a t i o nb a s e do nt h ec h a r a c t e r i s t i ca n a l y s i so f t h ef o u r t h - o r d e rc u m u l a t e t h em e t h o d so fm e a s u r e ds i g n a ls h o wt h a t u s i n gt h e p r o p o s e dm e t h o dt h ei n t e r - h a r m o n i e sn e a rt h ei n t e g e rh a r m o n i c sc a l lb ed e t e c t e d u n d e rl o wn o i s el e v e l ，t h ee s t i m a t e di n t e g e rh a r m o n i e sa n di n t e r - h a r m o n i c sp o s s e s s h i g h e ra c c l l r a c ya n dc a nm e e tt h en e e do fm e a s u r i n ga c c u r a c yo fa c t u a lp o w e r n e t w o r ks i g n a l s t h es i m u l a t i o nr e s u l t ss h o wt h a tt h em o d i f i e d a l g o r i t h mn o to n l y h a s s u p e r - r e s o l u t i o na b i l i t y ，b u ta l s o c a l la c h i e v e h i g hf r e q u e n c yr e s o l u t i o n ，h i g h p r e c i s i o na n dh i g hs t a b i l i t yi nl o ws n rc o n d i t i o n s 。i tc a r lb eu s e di nt h ea c t u a l h a r m o h i ca n di n t e r h a r m o n i cm e a s l l r e m e n ti nt h ep o w e rs y s t e m k e y w o r d s ：c r o s s h i g h - o r d e r - s p e c t r a l i n t e r - h a r m o n i c sa n ds u b h a r m o n i c s c o l o rn o i s e f r e q u e n c ye s t i m a t o n i i - - 论文原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文系在导师指导下本人独立完成的研究成果。 文中依法引用他人的成果，均已做出明确标注或得到许可。论文内容未包含法 律意义上已属于他人的任何形式的研究成果，也不包含本人已用于其他学位申 请的论文或成果。 本人如违反上述声明，愿意承担以下责任和后果： 1 交回学校授予的学位证书； 2 学校可在相关媒体上对作者本人的行为进行通报； 3 本人按照学校规定的方式，对因不当取得学位给学校造成的名誉损害， 进行公开道歉： 4 本人负责因论文成果不实产生的法律纠纷。 论文作者签名： 淄是 日期： 塑2年上月型：日 论文知识产权权属声明 本人在导师指导下所完成的论文及相关的职务作品，知识产权归属东北电 力大学。学校享有以任何方式发表、复制、公开阅览、借阅以及申请专利等权 利。本人离校后发表或使用学位论文或与该论文直接相关的学术论文或成果时， 署名单位仍然为东北电力大学。 论文作者签名： 显垒日期：塑扯年上月旌! 日 导师签名： 骂么毕 日期： 璺2 年王月z k 2 - 日 第1 帝绪论 第1 章绪论 1 1课题研究的背景和意义 电力系统中各种扰动引起的电能质量问题主要可分为稳态和暂态两大类， 谐波问题就属于稳态电能质量问题的范畴。随着电力电子元件等非线性设备在 电力系统中的广泛应用，由此而产生的间次谐波对电网的污染也越来越严重， 此问题己引起广泛关注。谐波一般指频率为工频( 基波频率) 整数倍的成分。 电力系统分数谐波是由于负载电流的谐波分量和基波分量受调制( 即负载电流 的幅值、相位或波形发生变化) 而产生的，广泛存在于生产中分数谐波【1 卅 ( f r a c t i o n - h a r m o n i c s ) 是频率非基波频率整数倍的谐波分量，可分为间谐波( i n t e r - - h a r m o n i c s ) 和次谐波( s u b - - h a r m o n i c s ) 。间谐波是介于工频谐波之间的频谱 分量，次谐波是频率低于基波频率的频谱分量。随着各种半导体变流装置在电 力系统中的应用，谐波于扰和无功增加的问题日益严重，电力谐波治理已成为 一个广泛关注的课题，而对谐波进行准确的检测和分析是实现谐波治理的前提 条件。 1 1 1 间谐波的产生 阃谐波的来源十分广泛，间谐波形成归纳起来主要有以下几个方面【4 】： 1 变频装置变频器的广泛应用正在取代传统的直流调速装置。交一直一交 变频器和交一交变频器。这两种变频器在使用中及在其供电电流中均有谐波成 分。 2 波动负荷工业电弧炉、晶闸管整流供电的轧钢机都是快速变化的冲击 负荷，其电气量( 电压或电流) 的变化在几毫秒或十几毫秒内就能观察到，于 是就产生了连续和离散成分的间谐波。 3 铁磁谐振当出现浪涌电流时，铁芯有可能饱和，感抗值随之减小，当 减小到满足串联谐振条件时，则发生铁磁谐振。铁磁谐振是电网中间次谐波的 东北电力大学硕卜学位论文 主要来源。 4 同步串级调速装置低同步串级调速主要用于绕线式异步电动机，它在 转子回路中加一整流器取代传统的串电阻，把转差功率变为直流功率，再用逆 变器反馈回电网，改变转差功率进行调速。该调速方法效率高、损耗小，调速 范围宽，性能好，但在逆变器和定子回路中会产生谐波电流，其中包括间谐波。 5 感应电动机感应电动机定子和转子线槽因铁芯饱和产生不规则的磁化 电流，从而在低压电网中产生间谐波，正常转速下电动机干扰频率范围为 5 0 0 h z 2 0 0 0 h z ，启动时则更宽。这种电动机装在较长( i k m ) 低压架空线末 端时会干扰电网，间谐波电压可达到1 。 1 1 2 间谐波的影响 自j 谐波对电力系统的影响主要有以下几个方面b - 2 ： 1 波形畸变间谐波既会使波形过零点偏移，又会使正负半波幅值发生变 化。 2 闪变( 闪烁)只要间谐波频率接近谐波或是基波频率，闪变就会发生， 谐波是工频的整数倍，所以谐波总是与基波频率保持同步变化，但间谐波与谐 波和基波不是同步变化。 3 对测量仪表的影响间谐波因改变电压过零点而易使采样数据或过零工 作的数字继电器产生误差，甚至误操作造成事故，而且还会影响传统谐波测量 的结果和准确度，以及使计量仪器产生计量误差。阆谐波电压还会引起电视机 图像滚动以及无线电收音机或其他音频设备的嗓音。 4 对电动机的影响自j 谐波对电动机的噪声和振动影响很大，气隙磁通和 转予电流因间谐波而相互作用产生的力可分解成多频分量。 5 对功率因数的影响由于间谐波引起波形畸变，从而降低负荷的功率因 数，增加各种能量的损耗。 因此间谐波电压必须限制到足够低的水平“”，i e c 6 1 0 0 0 3 - 6 中建议将问谐 波电压水平限制到0 2 以下“1 。 第1 章绪论 1 2 研究现状 在间谐波检测方面人们已做了很多研究工作【5 培】，常见的检测方法有： f f t i - 1 2 】、小波变换 1 4 - 1 5 】、扩充的p r o n y 方法、p i s a r e n k 0 方法【2 9 j 、o f t 、s v d 3 ”、 自适应窗技术、自校正技术、人工神经元网络等，它们都有各自的优缺点。如； i 在运用f f t 分析谐波和间谐波时，f f t 算法存在频谱泄露的现象，因此 f f t 算法直接用于电力系统间谐波分析时存在较大误差。为了抑制频谱泄漏和栅 栏效应，通常采用加窗插值f f t 算法，以提高检测精度，但同时分析窗的宽度 多达几十个信号周期，计算运算量大，无法满足实时性要求。 2 小波变换的谐波分析方法是近年来发展起来的一种新的谐波分析方法， 但当用离散小波对谐波信号进行频带划分时，由于小波函数的频域混频现象严 重，因而谐波检测结果不是很理想。 3 d f t 对间谐波无能为力，且在非同步时会产生严重的泄漏，一般不能用 来估计频率。 4 p r o n y 方法需要求解两组奇次方程和一次多项式，且对噪声敏感。 5 g a l l o 提出了分两步处理间谐波的方法，但此方法需要预先比较精确地估 计出频率，并且还假设问谐波在第一次d f t 运算时对各次谐波分量的影响可以 忽略不计。 6 l o b o s 等人提出的s v d 方法因为不要求同步采样而优于d f t ，但是s v d 方法是对采样序列在时域上进行的奇异值分解，这样做有两个问题：一是对噪 声敏感；二是在采样时闽比较短的情况下，对低频谐波检测的精度很差。 7 p i s a r e n k o 方法需要求解更复杂的方程，而且在不准确信号个数的情 况下，会产生虚假信号。 本文提出了基于互高阶累积量的m u s i c 和e s p r i t 算法，估计间次谐波的 幅值和频率，仿真结果表明，在混合噪声和低信噪比情况下，有良好的谱分辨 率和谱估计的稳定性。 1 3 本文的研究内容及创新 实际上，对于电力系统的间谐波和次谐波，需要检测的参数不外乎是幅度、 相位和频率，其中频率的检测是其他参数检测的基础。 在文献【1 6 】和文献 2 2 提到高阶谱中的自高阶谱的m u s i c 和e s p r i t 方法， 而自高阶谱仅能抑制高斯噪声，对非高斯噪声无能为力。但电力系统中的间，次 谐波，不仅含有高斯噪声，还含有非高斯噪声。本文提出的建立在互高阶累积 量基础上的互高阶谱m u s i c 方法和e s p r i t 方法，能够有效地抑制电力系统 间次谐波中的高斯和非高斯噪声，并且估计出其幅值和频率。互高阶谱m u s i c 方法从采样数据估计出互相关函数，对互相关阵进行特征值分解，划分成信号 特征子空间和噪声子空间，在分别求解一个特征多项式及一组线性代数方程组 来计算出各谐波分量的频率和幅值。而对于互高阶谱的e s p r i t 法在通过空自j 旋 转后保持了x 和j ，对应的信号子空间的不变性，然后分别对自相关矩阵和互相 互矩阵进行特征值分解，求解问次谐波的幅值和频率。 本文的主要研究工作如下：7 1 查阅和收集国内外关于间次谐波检测的有关论文及有关资料。在导师兰 华教授的指导下，对资料进行认真的分析研究，摸清了间次谐波检测方面现状 及主要研究方向。 2 学习了谱估计理论中的难点互高阶谱理论，在互高阶累积量的基础上 提出互高阶谱的m u s i c 方法和e s p r i t 方法。m u s i c 方法根据矩阵特征分解的 理论将信号空间分为噪声子空间和信号子空间，利用两个空间征交的性质，构 造空间谱函数并进行谱峰搜索，从而估计出信号的参数。e s p r i t 方法，通过空 间旋转后保持了x 和y 对应的信号子空间的不变性，然后分别对自相关矩阵和 互相关矩阵进行特征值分解，估计间次谐波的幅值和频率。 3 在导师的指导下，在吉林大学通信学院利用先进的同本进口仪器c f 一 9 2 0 信号检测和分析系统进行试验研究，验证本课题方法的有效性和精确性。 4 在以上理论分析的基础上，为了验证上述两种方法的有效性，进行计算 机仿真研究。在电力系统中，含有间次谐波的电压或电流信号都可以模拟成含 基波在内的各次谐波分量加混合噪声，该混合噪声是通过四阶带通滤波器产生 的。再通过互高阶累积量对信号中的相关和非相关噪声进行抑制，最后通过上 述两种方法估计出信号的幅值和频率。经仿真结果证明上述两种方法，在精度 和分辨率等方面具有优良的性能，对混合噪声具有很强的抑制能力，该方法有 一d 第1 帝绪论 一定的工程应用前景。 东北电力大学硕士学位论文 第2 章高阶统计量的基本理论 2 1 高阶统计量的概念 本章内容是全文研究的理论基础，首先介绍特征函数，然后由特征函数引 出高阶统计量，特别是高阶矩与高阶累积量的定义。并且还将介绍一种特殊的 随机过程一高斯过程的高阶矩与高阶累积量的有关概念以及特点。 2 1 1 特征函数 特征函数方法是概率论与数理统计的主要分析工具之一，在本文中，我们 利用特征函数来导出高阶统计量的定义以及性质。 1 单个连续随机变量的特征函数研究累积量与高阶矩中，使用特征函数 有其特殊方便之处。随机变量j 的概率密度函数为p ( x ) ，则其特征函数为积分 m ( m ) = p ( x 弘7 “d x ( 2 一1 ) 特征函数实际上是概率密度函数p g ) 的f o u r i e r 逆变换。因为p ( x ) 0 ，所 以特征函数在原点处有最大值，即 | ( 甜) b m ( o ) = 1 ( 2 2 ) 利用概率论中熟知的公式 e g ( x ) = g ( 石p ( x ) 出 ( 2 3 ) 得特征函数的最常见形式 西( 国) = e e ”。 ( 2 4 ) 如善一( ，盯2 ) ，而且 o ，可以解得其特征函数为 中，( 国) = e x p j ( o 。- ( ) 矿仃2 ( 2 - 5 ) 一6 一 2 多个连续随机变量的特征函数随机变量x 和y 的联合特征函数 m ( c o l ，埘2 ) 定义为积分 西( q ，哆) = ，( 五y ) e x p ，( q x + ：0 2 y ) d x d y ( 2 6 ) 由式( 2 - 6 ) 及二维f o u d e r 逆变换公式可得 厂( 五y ) = 嘉( q ，哆) e x p 一，( q x + 吐y ) d c o l d a ，2 ( 2 7 ) 同理可以将式( 2 - 6 ) 写为如下形式： 中( q ，哆) = e e x p ，( q x + 他j ，) ( 2 8 ) 更般地，对随机向量工= k x n 】7 而言，有如下定义： 对n 维随机向量x = h 石。r ，而且国= 【q ( - o n r ，则定义随机向量x 的特征 函数为 m ( q ，q ，) = e e x p ，( q 4 - ( ) z x 2 + + 一) ( 2 9 ) 2 1 2 高阶统计量及其谱的定义 所谓高阶统计量，通常理解为高阶矩、高阶累积量以及它们的谱高阶谱 和高阶累积量谱这四种主要统计量( 此外还有倒高阶累积量谱即倒多谱) 。本主 要讨论高阶矩和高阶累积量，然后引出高阶矩谱和高阶累积量谱的定义。 1 单个随机变量的高阶矩和高阶累积量将单个随机变量的特征函数定义 式( 2 4 ) 写成l a p l a c e 算子形式 甲( j ) = q s + 吉色j 2 + + 古q ，+ ( 2 1 0 ) 此外m ( 珊) = e x p 甲( ) ，所以有 中( ) = 、壬，( ) p 甲。 m ”( ) = 甲。( ) + 甲( m ) 2 p 甲( 。) ( 2 1 1 ) 令t o = 0 ，则得 ( ( o ) = 甲( o ) = 一 中。( o ) = v ”( o ) + 甲7 ( o ) 2 = m ： ( 2 一1 2 ) 由式( 2 1 0 ) 和式( 2 - 1 2 ) 可以知道 - - 7 - - 东北电力大学硕卜学位论文 c l = m ic 2 = m 2 - m ? ( 2 一1 3 ) 那么将上述情形作适当推广，得到多变量的情形。 2 随机向量的高阶矩和高阶累积量同样，对随机向量x = 【而】7 的特征 函数 o ( q ，( 0 2 ，) = e e x p _ ，( q 一= 1 - o j 2 x 2 + + 矗) ( 2 1 4 ) 求，= y l + 乃+ + 以次偏导，可以得到 旦裂o c o = ，e f 砷x p “q 一吐雄) ( 2 1 5 ) , r , 国 。 i 1 j 显然，若令q 一= o j 。= o 则可以得到随机向量x = h _ y 的川j 介矩的定义： 聊。= e 砷彬) = c 一- ，y 旦 ； ：； 掣l 一嘶，。 c z 一。， 类似的，x = k r 的y 阶累积量可以由其累积量生成函数 甲( q ，0 ) 2 ，峨) = i n 中( q ，吐，鸭) 得到 。= h ) 7 p 魄柚 ( 2 1 7 ) 如果令，= ，尼，以】是一向量，其分量是非负的整数，那么实际上，随机变 量x = h 吒】7 的，= 门+ 托+ + 以阶矩和累计量分别是其矩生成函数和累积 量生成函数的t a y l o r 级数展开式中国，项的系数。 特别地，令n = 乃一一以= 1 ，便可以得到最常见的k 阶矩累计量，并记为 册i = 所u 。l = l r l o m ( x 1 ，) ( 2 1 8 ) q = q 1 ，。i = c l g m ( x i 9 o ，以) ( 2 1 9 ) 3 随机过程的高阶矩和高阶累计量设 工( ”) 为零均值的k 阶平稳随机过 程，则该过程的后阶矩和k 阶累计量分别为 - - 8 - - 第2 章高阶统计量堆本概仑0 珲论 ，k ( ，r k 。) = ，a o 坍 工( 一) ，j ( ”+ f i ) ，x ( n + t k 一，) ) ( f l ，“一) = c u m x ( 打) ，工( + ) ，x ( n + z k 一。) ( 2 - 2 0 ) ( 2 - 2 1 ) 比较式( 2 1 6 ) 式( 2 1 9 ) 可以知道，平稳随机过程扛0 ) 的七阶矩和k 阶累 计量实质上就是取五= x o ) ，而= x ( f i - i - z 1 ) ，气= x ( r t + t k 一) 之后的随机向 量1 0 ) ，x ( ”+ f 1 ) ，x ( ”+ t k 一。) 的i 阶矩和七阶累计量。由于扛( 门) 是阶平稳的， 所以| i 阶矩和k 阶累计量均只有肛j 个独立的变元，它们仅仅是滞后f i ，f ：，f 。 的函数，而与时间r t 无关。 4 高阶矩谱和高阶累积量的定义对于零均值的线性平稳随机过程伍o ) ， 它的功率谱密度定义为其自相关函数的f o u r i e r 变换。类似的，我们也可引出对 应于高阶矩和高阶累积量的谱的定义。 设高阶矩m 。( f ，靠一，) 是绝对可和的，即 - i ( l ， “一i 。o ( 2 2 2 ) 则七阶矩谱定义为k 阶矩的舡，维f o u r i e r 变换，即 吮( q q 一。) = ，( f l 一。) e x p i 一- ，q ti ( 2 2 3 ) 广 i i = o一i - 1l，= 1 j 设高阶累计量c h ( ，吒一。) 是绝对可和的，即 则k 阶累计量谱定义为后阶累计量的缸j 维f o u r i e r 变换，即 ( 2 2 4 ) ( q 嘶，) ：艺妻( i 靠一。) e x p 一j 芝q ， ( 2 2 5 ) f 1 2 ”h 1 lt = l j 通常用高阶累积量谱作为分析非高斯随机过程的主要数学工具，最常用的 3 ( 2 4 3 ) ( 3 ) 零均值的高斯随机过程对于零均值的高斯随机过程 x ( ”) ，我们可令 五= f ( 疗) ，而= 工( _ ，f + _ ) ，吒= x ( 盯+ ，) ( 2 4 4 ) 由随机过程高阶累积量的定义式( 2 2 5 ) 知，扛o ) 的各阶累积量为 钆( r ) = 五 x ( n ) ) = o c ：，( r ) = e 工( n ) x ( ”+ r ) = ，( r ) ，r 3 ( 2 - 4 5 a ) ( 2 4 5 b ) 东北电力太学硕十学位论文 ( f 】，乇，r k i ) ；o ，k - 3 ( 2 4 f i e ) 利用等式( 2 4 5 ) 和c - k 公式不难推出，只有奇数阶的高阶矩才等于零，而偶 数阶的高阶矩不等于零，即 砒矿川甾譬 3 , a 删n d 篇o d d 聆( 2 - 4 6 ) 2 2 高阶累积量的性质 根据前几节的结果，推导出高阶累积量的几个重要性质( 1 ) ( 6 ) ： ( 1 ) 设磊p = l ，2 , - - - , k ) 为常数，墨( f = 1 ，2 ，七) 是随机变量r 则 i、 c u m ( ；q x , ，如而，五) = i 兀丑i c 甜棚( 毛，墨，砟) ( 2 4 7 ) t - i ( 2 ) 累积量关于它的变元是对称的，即 c u m ( x , ，恐，t ) = 渊( 气，气，气) ( 2 4 8 ) 其中，( ，如，) 是( f = 1 ，2 ， ) 的一个排列。 ( 3 ) 累积量相对与其变元具有可加性，即 c u m ( x o + y o ，z l 一，缸) = c 堋( 如，z v j - 毛+ c u m ( y o ，毛，气) ( 2 4 9 ) 这一性质意味着，和的累积量等于累积量的和，“累积量”因此而得名。 ( 4 ) 如果口是常数，则 c u m ( f l + z t ，z 2 ，气) = c t d m ( z 1 ，= 2 ，气) ( 2 5 0 ) ( 5 ) 如果随机变量t ( f = 1 ，2 ，七) 与随机变量y ，( i = 1 , 2 ，t ) 相互独立，则 c u m ( x i + 咒，恐十咒，五十儿) = 蝴如，毛，而) + 删燃( 弗，乃，n ) ( 2 5 1 ) 这一性质反映了一个极为重要的事实：两个统计独立的随机过程之和的累 积量等于各个随机过程累积量的和。而且，根据高斯过程的高阶累积量恒等于 第2 章高阶统计量摹本j 既念与理论 零的事实，可以推导得知，如果一个非高斯信号是在与之独立的加性高斯有色 噪声中被观测，那么观测过程的高阶累积量将与非高斯过程的高阶累积量恒等。 因此，应用高阶累积量作为一种分析工具在理论上可以完全抑制高斯有色噪声 的影响。 ( 6 ) 如果随机变量t ( f = 1 ，2 ，k ) 的一个子集与其它部分独立，则 c u m ( x i ，而，) = 0 ( 2 5 2 ) 2 3 互高阶累积量对相关和非相关噪声的抑制 传统的空间谱估计方法【2 i l 大多是在二阶统计量基础上提出的，而高阶累积 量及对应的高阶谱具有更加丰富的信息，且对于未知谱特性的相关和非相关噪 声都有很好的抑制能力。 基于高阶统计量( h o s ) 的计算方法多利用信号的四阶累积量，这是由于 许多信号具有对称概率分布，它们的三阶累积量恒为零。因此本文采用互四阶 累积量： c 4 ，( r 。，乇，f 3 ) = e 工( f ) j ( f + ) z ( f + 吒) 工( ，+ 屯) 一墨( q ) b ( 弓一2 ) 一墨( f 2 ) 置( 弓- - , t - i ) 一足( f 3 ) 足( 2 一1 ) ( 2 - 5 3 ) 而工程实际中，常常用已知的数据样本估计各阶累积量。 若n 维高斯随机变量x 的第二联合特征函数为 q ，q ，) = h 妒( q ，哆，) = ，q q 一言勺q q ( 2 5 4 ) 而互r 阶累积量为 气t 乞2 ( ) 7 。搿l q = 呸= = = 。 ( 2 5 5 ) 因此，当，3 ，由于“神是关于自变量的二次多项式，所以( 国) 关于自变 量的三次或三次以上导数等于零，即 东北电力大学硕卜学位论文 c k 。b ki 。h + 虹+ 2 3 = 0 ( 2 5 6 ) 可得高斯过程的高阶累积量：c 0 ( 码，m 2 ，鸭) = c 州“地“t + ) 灭+ 鸭) j ，( 女+ 鸭) ) 】 也必为零。 因此c 。作为随机过程的统计量可以有效抑制高斯噪声。 若x ( ) ，y ( n ) 为非相关零均值随机过程，根据互高阶累积量可知 c w ( 啊，r n 2 ，) = “t ) ，“+ 啊) ，灭+ 鸭) ，义七+ ) 】 2 e x ( k ) ，“+ 碍) ，久+ m 2 ) ，烈七+ ) ( 2 5 7 ) 一e f x ( k ) ，必+ 胍) 】研“霓+ 鸭) ，y ( + 鸭) 】 一2 9 x ( k ) ，灭女+ 鸭) 】e 砂( 七+ m ) ，以| | + 鸭) 】 又由于工伽) ，y ( n ) 为非相关随机过程，必有 e 【x ( f ) ，y ( f ) 】= 0 ；e 工( 七) ，y ( k + m 1 ) ，y ( 七+ ，屯) ，y ( k + m 3 ) 】= o ( 2 5 8 ) 因而c 。( m ) = 0 可知互高阶累积量( c 。) 对非相关噪声具有抑制作用。 由本节的理论推导可以得出互高阶累积量可以抑制相关和非相关噪声。 2 4 互高阶累积量的y u i e - w a i k e r 方程 设x ( ) 为均值为零平稳随机过程，则其互四阶累积量c 4 ，( 肼，m ：，m 3 ) 的四阶 谱即 s 。，( q ，哆，) ：妻妻妻c 4 ，( 强，珊：，鸭) e x p 卜_ ，( q m + 吐+ 鸭) 】 2 5 9 啊2 4 “2 2 1 鸭= “ 此式是建立y u l e w a l k e r 方程的基础【2 4 】。 设时间序列x ( k ) ，y ( k ) 均为带附加有色噪声的零均值平稳可逆的a r 过程， 即： 2 南咄动坛 卜纵助 - 6 第2 市高阶统计量摹本概念弓珲论 y 2 南啪k 吲) 式中：“l z - , l - 1 + a t z 。+ i + 靠z 一； b i z - i - - 1 + 6 , z 一+ + 玩一； ，蛾一一一为白噪声。 玑，玑一一一为高斯噪声； 六，六为非相关噪声。 则其对应的互四阶累积量序列的y u l e w a l k e r 方程为 c ( o )c ( - 1 ) c ( 1 )c ( o ) 窜)c ( q 一1 ) c ( 一q ) c ( 一q + 1 ) “o ) 1 6 l ； 0 ： o ( 2 - 6 1 ) ( 2 - 6 2 ) 式中；c ( i ) = c , r a ( i ，毛，七2 ，岛) = c 啪【缸n 灭f + 毛) ，y ( i + k 2 ) ，y ( i + l q ) 】 证明：因为： 墨。( q ，a 2 ，鸭) ：妻主妻c 4 ，( ，掰：，鸭) e x p 卜，( q 鸭+ 吐鸭+ 他) 1 2 6 3 所以： ( 与，如，k 3 ) = l 剖3 蜀q ，伤，毡弦如i + 缈+ 妙岫鸭d 呜( 2 - 6 3 ) = 吼簿 奶出：电 东北屯力人学硕卜学位论文 因为羽1，羽1 都为最，j 、相位系统所啡一1 l 的所有零点都在单位圆内，为了 使b l z 一l 的零点落在单位圆内，必有毛+ g 一1 0 ，k 2 + q - l o ，k a + q - l o 又出于 君i 一 = l + 岛z - 1 + 魂z - 2 + + b q z - q ，所以： ，( 岛，屯，b ) + 6 i c 。( 毛- i ，也，毛) + 6 2 c 。( 皇一2 , k 2 ，也) + + q 。( 屯一g ，如，b ) = b 2 c _ ( 毛一2 ，k 2 , k 3 ) + + 6 q c y ( 毛一口，k 2 ，女3 ) 3 斟k 簿丽蓑蔫网晰烨感 = 乩i 塑。鞴d z 2 d z 3 h f h 志奶 撕曼一孝箱鹕 浯鲫 因为叫= 一1 l 的零点都在单位圆内， 南总嗡专规。 一i 毛z k 2 ；k 3 ；0 1 0 其它 于是可得方程组： 所以根据留数定理上式等于 c ( o )c ( - 1 ) c o )c ( 0 ) c ( q ) c ( q 一1 ) 专蛾 1 岛 j 气 锄 0 ： 0 至此y u l e - - w a l k e r 方程得证。对于a r m a 过程也可得到类似的方程。 ( 2 - 6 5 ) ( 2 - 6 6 ) 丁可一耳 ，、一i 刊： “巾 。 第2 章高阶统计藿苹本概念理论 2 5 本章小结 在实际中，我们应用高阶累计量作为分析工具而不用高阶矩，究其原因， 包括以下几个方面： 1 理论上，使用高阶累积量可以避免高斯有色噪声的影响，而高阶矩不能 ( 除奇数阶矩) 。 2 据性质( 5 ) ，两个统计独立的随机过程之和的累积量等于各个随机过程 累积量之和。这一性质使得累积量非常适合于作为一种算子来使用，而该结论 对于高阶矩却不成立。 3 累积量问题的解具有唯一性，这是因为特征函数唯一地确定一概率密度， 即随机变量的概率密度函数与累积量一一对应，而高阶矩却无此性质。 东北电力大学硕+ 学位论文 第3 章m u s i c 算法 3 1m u $ l c 算法的提出 作为最经典的空问谱估计方法，m u s i c ( m u t i p l es i 舭a 1c l a s s i f i c a t i o n 多重 信号分类) 算法是由s c h r n i d t 博士于1 9 7 9 年提出，并于1 9 8 6 年重新发表的一种 高分辨算法。它在所估计的信号为互不相干的窄带信号和模型准确的前提下， 能以较高的计算效率实现对信号参数的渐进无偏估计，但对于相关特别是相干 信号以及相隔比较近的小信噪比信号，m u s i c 算法的分辨能力则受到限制甚至 完全失效 1 8 - 2 0 。解决小信噪比的主要途经是充分利用目标信号的信息，但经典 的m u s i c 算法并没有充分利用这些信息。虽然，经典的m u s i c 方法谱估计是 基于对信号在时域上的随机采样一快拍，但快拍的目的是通过各念历经假设用 时间平均代替集合平均从而构造出阵列协方差矩阵，因而仅仅具有统计意义并 未涉及信号时域处理这一实质。 时频分析方法是一种在低信噪比下识别目标的有效手段。这是一种从一维 ( 时域或频域) 到二维的变换，由于这种变换体现了信号参数随时间的二维变 化特征，有利于充分利用目标信号的信息。同时由于经过一维到二维的变换后， 信号和噪声或其它干扰处于不同的区域，从而有效抑制噪声或干扰的影响。时 频交换特别适合于描述信号功率( 或能量) 谱随时间变化的规律。该方法具有 良好的噪声抑制特性、更好的分辨能力。 针对实际中经常存在的有色噪声环境，近年来人们尝试采用基于高阶累积 量的阵列信号的处理方法 2 s 3 0 。由于高阶累积量对任意高斯噪声有自然盲性，基 于累积量的算法使原有的参数估计算法所适应的观测噪声扩展到高斯空阃有色 噪声或对称的非高斯空间有色及自噪声。 m u s i c 算法i t g l 是基于特征结构分析的空间谱估计方法，是空间谱估计技术 的典型代表。其原理是根据矩阵特征分解的理论，对阵列输出协方差矩阵进行 特征分解，将信号空间分解为噪声子空间碟和信号子空间e ? ，利用噪声子空间 与阵列的方向矩阵4 的列矢量正交的性质，构造空间谱函数j p ( 力并进行谱峰 搜索，从而估计出信号的参数。 3 2 基于互高阶累积量的m u s i c 方法及仿真 互高阶谱的m u s i c 算法中，在采用互高阶谱理论的基础上，对信号进行奇 异值分解，将观测空间分成两个正交子空间，即信号子空间和噪声子空间。并 且利用整个噪声子空间的基来估计信号的参数。这样就部分平滑了噪声的影响。 因此，它的性能优于现在的其它方法，并且能够分辨出相关的信号源。 设时间序列x 向) 矛吵抽) 分别为