（电力系统及其自动化专业论文）混沌理论在电力负荷预测中的应用.pdf

东南大学硕士论文 a b s t r a c t l o a df o r e c a s t i n gi so fg r e a ti m p o r t a n c ef o re c o n o m i ca n ds e c u r eo p e r a t i o no fp o w e r s y s t e mw i t ht h ed e v e l o p m e n to fe l e c t r i c i t ym a r k e t ，m o r ea n dm o r ea t t e n t i o ni sp a i dt ot h e p r e c i s i o no fl o a df o r e c a s t i n gt h e r eh a v eb e e nag o o dm a n ye f f i c i e n tf o r e c a s t i n gm o d e l si n t h ef i e l do fl o a df o r e c a s t i n g b u t , u n f o r t u n a t e l y , s o m ep u z z l e sa l s oe x i s tt h 。p r e c o n d i t i o n so f s o m ec l a s s i c a lm o d e l sa r eh a r d l ym e ti na p p l i c a t i o n s a n ds o m e t i m e st h ep a r a m e t e r so fs o m e m o d e l sh a v ef e wd e f i n i t ep h y s i c a im e a n i n g s c h a o t i ct h e o r yh a sb e e np r o v e d 幻b ea ni m p o r t a n ta n du s e f u lt h e o r ya l g o r i t h m i nt h i s a r t i c l e s o m ei m p o r t a n tt h a n d e so fc h a n sh a v eb e e ni n t r o d u c e di n t ot h ed o r a a i no fl o a d f o r c a s t i n g b a s e o nt h e s et h e o r i e s ，is y s t e m i cs t u d i e dt h ec h a o t i cn o n l i n e a rt i m es e r i e s f o r e c a s t i n gm e t h o d s b yu s i n gt h el o a dd a t ao fn a n j i n ga n dt h et h e o r yo ft h es t a t es p a c e r e c o n s t r u c tb vt i m ed e l a yc h a o t i ct i m es e r i e s c h a o t i cc h a r a c t e r i s t i c sh a sb e e ns t u d i e di nt h i s a r t i c l e t j m ed e l a yw a sc h o s e nb yu s i n ga u t o c o r r e l a t i o uf u n c t i o nm e t h o d a n dr e c o n s t r u c t d i m e n s i o nw a so b t a i n e db yg ps a t u r a t i o nc o r r e l a t i o nd i m e n s i o nm e t h o da n df a l s en e a r e s t n e i g h b o rp e r c e n t a g em e t h o d ，w h i l em a x i m a ll y a p u o n ve x p o n e n tw a sc a l c u l a t e db yt w o m e t h o d s n a m e l y w o l fm e t h o da n dr o s e n s t e i nm e t h o d 0 1 1t h es t u d yo ft h ec h a o t i c1 0 e a lf o r e c a s t i n gm e t h n d ，az e r ob a n dm o d e l ，ai i n e a r m o d e la n das e c o n dd e r i v a t i v e s u r f a c em o d e ih a v eb e e nu s e df o r l o n g t e r m f o r e c a s t i n g ，s h o r t t e r mf o r e c a s t i n ga n dt h e e r r o r a n a l y s i s i ni n t r o d u c i n gt h eb a s i so f c o n v e n t i o n a lc h a o t i cf o r e c a s t i n gm e t h o d s ，t h r o u g ho b s e r v a t i o nt h ei d e n t i t i e so fe l e c t r i c i t y l o a dt i m es e r i e s s o m em e t h o dh a sb e e ni n t r o d u c e di n t ot h ei m p r o v e m e n tt ot h ec o n v e n t i o n a l c h a o t i cf o r e c a s t i n gm e t h o d st h ee l e c t r i c i t y1 0 a dt i m es e r i e sh a sb e e na m e n d e df i r s t a n dt h e t e m p e r a t u r ep a r a m e t e r sh a sb e e nu s e dt oa m e n dt h et h ec o n v e n t i o n a lc h a o t i cf o r e c a s t i n g m o d e l st h r o u g ht h e s ei m p r o v e m e n t s t h ec h a o t i cf o r e c a s tr e s u l t st oe l e c t r i c i t yl o a dt i m e s e r i e sc a nb es u b s t a n t i a l l ye n h a n c e d k e y w o r d s ：l o a df o r e c a s t i n g ；n o n l i n e a rt i m es e r i e s ；t i m ed e l a y ；r e c o n s t r u c t d i m e n s i o n m a x i m a ll y a p u o n ve x p o n e n t ；t e m p e r a t u r ep a r a m e t e r s 1 1 1 东南人学硕士论文 东南大学学位论文独创性声明 本人声明所旱交的学位论文足我个人在导师指导f 进行的研究工作及取得的研究 成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发 表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构的学位或证书而使用 过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中作了明确的说明 并表示了谢意。 研究生签名 日期：加9 占，乒如 东南大学学位论文使用授权声明 东南大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留本人所送交学位论文的 复印件和电子文档可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人电r 文档的内 容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可 以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容。论文的公布( 包括刊登) 授权东南大学研 究生院办理。 研究生签名： 岛别穗名 日蜗：z 一乒j 如 山 向 东南大学硕十论文 第一章绪论 1 1 负荷预测的意义和作用 电力负荷预测是电力系统谰度，用电。计划，规划等管理部门的重要工作之一。 准确的负荷预测，有利于合理安排电网运行方式和机组检修计划。有利于节煤、节油和 降低发电成本，有利丁制定合理的电源建设规划，有利于提高电力系统的经济效益和社 会效益【i 】。电力负荷预测和电力系统生产计划和电力系统生产方式的安排息息相关，是 一项十分重要的工作。它对丁保证电力工业的健康发展，乃至整个国民经济的发展都有 着不可忽视的意义。尤其近年来随着国民经济的持续增长，对电能的需求不断增加，2 0 0 4 年全国有2 4 个省级行政区出现了电力短缺的现象，被迫重新启用一度停止的“拉闸限 电”的老做法。很多地区级大电网寒暑两季季节性缺电缺口极大，甚至有相当多的省市 伞年性缺电。这已经到了影响电网安全经济运行的程度。限电措施对企业生产，居民的 生活的负面影响也很大。长期以往对地区经济发展，人民生活质量的提高很不利。在这 样的形势下，研究电力系统负荷预测的现实意义更为重要。 1 2 问题的提出 通过观察，我们可以得知，电力负荷的外在表现形式为一组非线性的时问序列。时 间序列定义如卜：随时间连续变化的随机变量称为随机过程。经等距采样而得的随机过 程的离散序列，是按照时间次序排列的一系列被观测的数据系列称为时间序列。确定 一| 生变量也可以组成时间序列，是随机变量的特倒口】。以时间序列作为模拟对象的研究方 法称为刚间序列方法。 时间序列的研究经历_ 传统时间序列分析和现代时间序列分析。传统时间序列分析 方法主要是频域的谱分析方法，定常的参数模型( 如a r m a 模型，自同归滑动平均) 。 f o u r i e r 方法对时间序列进行周期性分析和周期外推的方法进行预测，属于简单的确定性 方法；y u l e 首先提出的a r 模型，及其进一步发展的b o x - j e k i n s 法的a r m a 和a r i m a 将时间序列作为随机过程，是一种概率统计的方法。这两类传统的时间序列分析方法本 质上都是线性的，在实际应用中，通过提取趋势项，周期项和随机项，分别加以处理和 迭加进行预报，本质上仍然是线性的”】。在卡尔曼滤波技术产生后，时间序列方法取得 突破，可以过滤噪声而估计真值。传统时间序列方法逐步发展，与现代控制论交叉，产 生了现代时问序列分析( 如c a r m a 模型。带有控制项的a r m a 模型) ，在8 0 年代逐 渐成熟。 但是实际上很多时间序列是复杂的非线性状态，对丁非线性时间序列分析的研究， 仅在近二十年里才逐渐重视，非线性时间序列方法类型很多，直u 较有名的汤加豪提出的 门限自回归模型( t a r ) ，非线性自【旦| 归滑动平均模型【4 】。但是这些模型不是从动力学 m 发口1 ，不同于当代的非线性科学。 2 0 世纪6 0 年代混沌现象的发现，大大推动了非线性科学的发展。非线性科学是一 r j 研究非线性共性的基础科学，是在各门以1 r 线性为特征的分支学科的基础上逐步发展 起来的综合性科学。一般认为非线性科学的主体包括：混沌( c h a o s ) ，分形( f r a c t a l ) ， 孤子( s o l i t i o n ) 。时间序列分析和这些新必的动力系统理论方法融合，必然焕发新的生 机，开拓新的领域。基丁混沌动力系统的时间序列分析便在r t a k e n s 和g r a s s b e r g p 等 的努力下有了良好的开端，并逐渐向传统的时间序列分析方法鼹示其优越性。将时间序 列和混沌理论联系起来，便发生了本质的飞跃，从而得到全新的混沌时问序列分析方法。 东南大学硕士论文 混沌时问序列分析与传统的线性统计模型有一定差异。对统计模型，只在简单模型近似 下用外在随机因素来解释模型偏差作出的预测只能是在概率意义下的等可能预测，阁 时预测趋于平滑：而混沌理论建立一个很小或几乎没有随机误差的非线性复杂模型，在 预测时主要考虑模型本身对时间序列未来值的影响，能预测时序微小的起伏波动等精细 程度。 混沌时间序列分析方法已经在众多领域取得成果，把该分析方法引入电力负荷预测 中，并加以改进，将是一件值得期待的事情。 1 3 本文的研究思路和研究方法 负荷预测是电力系统一个重要的研究对象，很多其他领域的廊用比较成功的预测方 法很快就能融入到电力负荷预测方法的大家族中来，再加上本领域自身发展起来的一些 预测方法，各种预测方法具有各自不同的特点。但美中不足的是，许多方法在应用过程 中出现了些忽略电力负荷预测和其他领域预测差别的问题，各个领域预测技术，背景本 身有一定差别，很容易就容易犯背离假设前提的火误。本文试图从混沌这一新兴的理论 入手，深入讨论、改进混沌学在电力负荷预测方面的运用，以求获得一套符合电力系统 负荷自身特点的混沌时间序列预测方法。在研究方法层面上，本文突出的是混沌预测理 论在电力系统的运用，同时以定量的分析作为研究的基础，由于混沌序列的“蝴蝶效应” 存在，本文讨论的是电力负荷的短期预测。 1 4 本文的主要工作 本文除了对时间序列预测方法在电力负荷预测实际应用中存在的一些问题提出了 看法外，还做了以f 的工作。 ( 1 ) 对混沌学理论以及由此引出的混沌时间序列分析方法做了详述。 ( 2 ) 对相空间重构中所必须的j l 个重要参数( l y a p u r o v 指数，嵌入维数m 时问延 迟f ) 的计算方法进行了比较和改良，以求获得更精确的参数。 ( 3 ) 以电力整点负荷序列为研究对象比较了不同混沌时间序列预测方法，分析了 误差产生的原因，并针对电力负荷序列的特点对方法进行了改进。 东南大学硕士论文 第= 章负荷预测概述 2 1 负荷预测的概念 负荷可指电力需求量或者用电量，而需求量是指能量的时间变化率，即功率。也可 以说，负荷是指发电厂、供电地区或电网在某一瞬时所承担的工作负荷。对用户来说， 用电负荷是指连接在电网的用户所有用电设备在某一瞬时所消耗的功率之和。负荷按物 理性能划分，可咀划分为有功负荷和无功负荷：按电能的产、供、销生产过程可以分为 发电负荷、供电负荷和用电负荷；按时间来划分，可以划分为年、月、日、时、分负荷 ”1 。电力负荷预测是指在正确的理论指导下，在调查研究掌握大量详实资料的基础上， 运用可靠的方法和手段对电力负荷的发展趋势作出的科学合理的推断 s l 。 2 2 负荷预测的分类 负荷预测按时间期限进行分类，通常可以分为长期，中期，短期和超短期负荷预测。 负荷预测按行业类型进行分类，通常可以分为城市民用负荷、商业负荷、农村负荷 以及其他负荷的负荷预测。 根据负荷预测表示的不同特性，常常又可以分为最高负荷、最低负荷、平均负荷、 负荷峰谷差、高峰负荷平均、低谷负荷平均、平峰负荷平均、全网负荷、母线负荷、负 荷率等类型的负荷预测”】【。 2 3 负荷预测的影响因素 电网负荷的行为受许多因素的影响，这些影响一般可以分为四种类型：经济，时间， 气候，随机干扰。理解每一种影响对电力负荷作用，有助于我们更好地理解电力负荷的 一些变化特征。 ( 1 ) 经济因素 电力网络运行地点的经济环境对电力负荷需求模式有显著影响。比如，供电区域、 人口、工业生产水平、电气设备数量变化及饱和水平和特性、政策发生影响。这些因素 对负荷影响的时间是比较长的，一般至少长于周时间。在负荷预测时，在季节变化及 年度变化时根据这些因素对负荷预测值进行相应的修正是非常重要的。 ( 2 ) 时间因素 对负荷模式有重要影响的时间因素主要有三种：季节变化、周循环、法定及传统节 日。一般随着温度及日照小时数等季节变化，负荷模式逐渐发生变化。季节事件会导致 负荷需求模式显著及结构性的变化。电网的高峰负荷是在夏季还是在冬季，主要取决于 季节影响。常见的季节事件有：日照时间的变化、季节需求比率结构的变化、学校学年 开始、假期中生产大幅度减少( 如新年期间) 等。负荷的周循环是供电区域人口j 二作 一休息模式作用的结果。 对丁不同的典型季节周，其相应典型负荷模式也是不同的。法定及传统节日的影响， 体现在这些日负荷水平比正常值降低，以及假日前或后的一些天，由丁趋向丁一个长的 “周末”，电力需求模式也发生明显变化。 ( 3 ) 气候冈素 山于许多电网有大量的气候敏感负荷。如空间电热器，空调及农业灌溉等存在，气 候条件对负荷模式变化有显著的影响。对于许多电网而言，根据其对负荷的影响，温度 是最重要的气候变量。对于任给定r ，温度对正常值的偏莘，：瞎引起负荷的显著变化， 东南人学硕士论文 有时甚至需要对机组投入计划进行大的修正。另外，过去温度对负荷特性也有影响，比 立u 持续高温将引起整个电网负荷持续j 二升，可能会产生新的系统负荷高峰。对于地理分 布较广而气候分布又不均匀的电网一般在系统负荷变化中，应考虑多个温度变量。湿 度是另外一个可以影响电网负荷的因素，特别是在高温或湿度大区域，其形式同温度相 似。同样，由于雷暴雨引起温度变化，也对负荷有显著影响。其它对负荷行为有影响的 因素有：风速、降雨量、云遮或日照强度。 ( 4 ) 随机干扰 这里把所有能引起负荷模式变化，而又未包括上面_ = = 类中的其它因素均算在此类 中。由于系统负荷是由大量分散的单独需求组合而成，系统负荷_ _ i _ f ：断受随机干扰因素影 响。除了大量小干扰外，轧钢厂、同步加速器及风洞等大负荷的运行将引起电力负荷大 的波动。由于这些大设备运行时刻通常对丁系统调度人员来说足未知的，它们代表了大 的不可预测的干扰。还有一些特殊事件如工业设备损坏、特殊电视节目，事件发生时刻 可以预先知道，但对负荷影响程度是未知的。 总之，电力负荷是一个非平稳随机过程它由成千上万个单独部分分晕组成，而每 个部分分量又蛆不符合任何已知物理定理的不稳定形式变化着。 2 4 负荷预测常用方法 负荷预测是上世纪下半叶发展起来的研究课题，随着计算机技术的发展，预测的精 度和速度都在不断提高，我国自上世纪八十年代以来，负荷预测研究一宦1 分活跃，新 的方法不断涌现。 负荷预测是一个相当复杂的问题，不同电力系统由于负荷特性不同，适用的预测方 法就不同。即使同一电力系统，根据预测时间的远近及负荷特性的变化，不同时期也可 能采用相同方法。 常用的负荷预测技术一般可分为： ( 1 ) 定性预测技术 当与负荷预测相关的定量信息不存在或很少，但却有足够定性知识存在时，通常采 用定性预测技术。常用的定性预测技术有：d e l p h i 法、用户调查法、形态研究法、类比 法等。定性预测不是建立数学模型，而是依赖人的直观思考、判断和知识积累。这些方 法的预测结果，与其说是某种估计值，还不如说成是人们的一种期望值因此误差显然 较大。但是与定量模型相比，也有其独自的优点，就是可咀利用人们的经验，从而可计 入诈多非量化的因素影响。 随着负荷变化模式越来越复杂，影响负荷的因素也越来越多，定性预测技术已不再 适用，需要采用定量预测技术。 ( 2 ) 定量预测技术 府用定量预测技术有两个基本假设，一是负荷及相关因素可以定量表达，_ 二是负荷 过去模式将来也要继续存在。 定量预测技术有多种，下面介绍几种比较常用的定量预测方法 ( i ) 回归分析 7 1 【8 1 回归分析方法是研究变量和变量之间依存关系的一种数学方法，根据回归分析涉及 变量的多少，可以分为单元回归分析利多元回归分析。在回归分析中，自变量是随机变 量，因变量是非随机变量，由给定的多组自变量和因变量资料，研究各自变量和囚变量 之间的关系，形成回归方程。回归方程确定后。求得相应的参数，拟合一条虽佳的曲线， 然后将此曲线外延至未来的适当时刻，在己知自变量取值时得到因变量的预测值。 ( i i ) 时间序列预测法 9 1 1 0 1 l 东南火学硕士论文 时间序列预测方法预测一个变量变化时，_ i 使用一组与之有因果关系的其他变量， 只是使用该变量的过去行为预测未来。 a r m a 模型是一类常用的随机时间序列模型，由博克斯( b o x ) 詹金斯0 e n k i n s ) 怠o 立，亦称b j 方法它是一种精度较高的时序短期预测方法，其基本思想是：某些时间序 列是依赖于时间，的一族随机变量，构成该时序的单个序列值虽然具有不确定性，但整 个序列的变化却有一定的规律性，可以用相应的数学模犁近似描述。通过对该数学模型 的分析研究，能够更本质地认识时间序列的结构与特征达到最小方差意义下的最优预 测。 a r m a 模型有三种基本类型：自到归( a r ：a u t o r e g r e s s i v e ) 模型、移动平均m a ： m o v i n g a v e r a g e ) 模型以及自回归移动平均( a r m a ：a u t o r e g r e s s i v em o v i n ga v e r a g e ) 模 型。 ( i i i ) 灰色预测方法”】【”】1 1 4 灰色系统理论是我国邓聚龙教授提出的，它研究的是贫信息f 建模，提供了贫信息 下解决系统问题的新途j ! ! = 。它把一切随机过程看作是在一定范同内变化的、与时间有关 的灰色过程，对灰色量采用数据生成的方法，将杂乱无章的原始数据整理成规律性强的 牛成序列再作研究。将它应用于电力系统负荷预测就是通过对负荷序列进行变换，使其 变化为有规律的生成数列再建模进行预测。 ( i v ) 神经网络法 神经网络法通过对人脑神经系统的结构模拟来实现负荷的预测。人t 神经网络的优 点是刈以模仿人脑的智能化处理，对大量非结构性、非精确性规律具有自适应性功能， 具有信息记忆、自主学习、知识推理和优化计算的特定。在人丁神经网络的研究领域 中，有代表性的网络已达数十种。人j 二神经网络目前在国内外主要应用于电力系统短 期或超短期负荷预测。 ( v ) 专家系统 1 9 1 专家系统法通过将规划人员的经验用计算机口j 识别的产生式规则等形式表达，从而 可模拟专家进行预测。该方法可以将人的经验同统计方法相结台，对于异常负荷模式的 预测特别有效。采用该方法的主要局限在丁专家经验提炼困难。专家系统单独使用比较 困难，很多文献将神经网络和专家系统结合使用。一般先用神经网络得到出负荷的预测 值，如果事先知道了些负荷投切的信息，只是可以借助专家系统的原理埘原预测值进 行修改，可以期待能有更佳的预测结果。 ( v i ) 模糊预测法”j ( ”j 2 t 1 扎德教授创立的模糊集合的概念奠定了模糊数学的基础。随后模糊集理论在自动控 制等工程领域取得了一系列引人注目的成功。刘一时期专家系统在电力系统应用也开始 广泛起来，电力系统的工程师们将模糊集理论应用到专家系统中来，可直接根据不确定 的数据进行决策，形成了电力系统短期负荷预测的新思路。常用的方法有：模糊回归分 析，模糊聚类分析等。 东南大学碗士论文 第三章混沌学时间序列分析方法的若干理论 3 1 混沌学的兴起 混沌学的研究熟潮仅始于7 0 年代初期但这门新学科的渊源却可以追溯到上个世 纪。公认为真正发现混沌的第一位学者，是伟大的法国数学、物理学家h ，p o i n c a r e ，他 是在研究天体力学。特别是在研究三体问题时发现混沌的。他以太阳系的三体运动为背 景。证明了周期轨道的存在。他发现了二体引力相互作用能产生惊人的复杂行为，确定 性动力学方程的某些解有不可预见性。这就是我们现在讲的动力学混沌现象。他明确地 提出了偶然性的客观意义。认为某些系统对初值具有敏感依赖性和行为不可预见性，这 些描述实际上已经蕴涵了“确定性系统具有内在的随机性”这一混沌现象的重要特性。 【2 2 】 混沌学渗透和影响着现代科学的几乎所有学科体系。现代数学使混沌理论成为严密 的科学，同时混沌的研究也成了现代数学发展的重要动力。 3 2 混沌学相关理论及重要特征 3 2 1 混沌的定义俐 一般地，混沌现象是非周期的具有渐近自相似有序性的现象，是确定性非线性系统 由于系统内部非线性相互作用所产生的貌似无规则的，类似随机运动的现象混沌有时 又被称为确定性混沌。混沌这种情况只发生在非线性系统巾。根据混沌理论，某些确定 性系统自身就可阻产生内在随机性，但并不是纯粹的随机性和偶然性。混沌不是简单的 无序，虽然没有明显的周期和对称，但是却是具有丰富的内部层次的有序结构，蕴涵着 深层次的结构和秩序，在一定条件下以菜种方式显示出来。它的定常状态不是通常概念 的确定性运动的二种状态：静止( 平衡) 、周期运动、准周期( 拟周期) 运动。而是 种始终局限于有限吒域，并且轨道永不重复的，性态复杂的运动。混沌性是非线性系统 中的新的存在形式。 混沌的定义方式有很多种，给出一种比较容易理解的直观的定义。 闭区间，上的连续白映射f ( x ) ，如果满足下列条件，便可确定它有混沌现象： ( 1 ) f 的周期点的周期无上界； ( 2 )闭区间，上存在不可数子集s ，满足： ( i ) 初值敏感性 ) 拓扑传递性： m i ) ，的周期点集在，中稠密： 第一条：初值的敏感性是指，无论x ，y 距离多相近，在，的作用下两者的轨道都 可能分开较大的距离，而且在任意点x 附近都可以找到开始离它很近，而在，作用下分 离，距离变远的点。第二条：拓扑传递性意味着任意点的邻域在的作用下将遍布整个 度量空间v ，说明，不可能细分，或者不能分解为两个在，下相互影响的子系统。这 两条一般说来是随机系统的特征。第三条：周期点的稠密性，却是表明系统具有很强的 确定性和规律性，形似混乱实则有序。 接下来引入混沌理论的一个基本要素，即相空间的概念。描述系统状态的各个状态 变量，张成的空间称为相空间( 又称状态空间) 。( 在非线性动力学中的相空间不同于理 论力学中的传统定义。力学中的相空间由成对的广义坐标和广义动量构成，因此总是偶 数维的。非线性动力学中对各个状态变最不加区分，冈此相空间的维数可偶可奇。) 许 东南大学硕士论文 多重要的演化方程有无穷多维的相空间。 各个控制参量张成参量空间。其实，状态变量和控制参量的划分也是相对的。通常 把那些变化缓慢，在一次观测过程中保持不变，但又可在一定范围内调整的量取为控 制参量。如果一个参量本身在观察过程中发生显著变化，那就需要把它归入状态变量， 增加状态空间的维数。 状态变量在不断互相作用之中发展，形成演化过程。在参量空间中固定一点，即固 定一组参量值，再在状态空间中给定一个初始点，即选定初始状态，然后考察系统的演 化，看最终归宿如何，并茸对这种极限状态进行分类和刻划。参量空间的某些区域往往 对应同一类、定性行为相同的极限状态。系统跨越区域边界时，行为发生突变。许多本 质极为小同的系统，在突变点附近表现出深刻的相似性。趋向极限状态的过渡过程，往 往也有丰富的内容，而且在实践中不易与晟终的定常状态区分。这些都是非线性动力学 要研究的问题。 区别于其它复杂性运动。一般认为混沌府具有i 个定性特征：内随机性；分维性质； 普适性。 ( 1 ) 内随机性：在一定条件下，如果系统的某个状态既可能出现，也可能不出现， 该系统就被认为具有随机性。外在随机性是动力系统由于受到外界因素的影响而产生 的，这种特性并非是动力系统本身所固有的，是通常意义下的随机性。而对某砦确定性 的系统进行数学模拟发现，它们能自发产生随机性。把完全确定的非线性系统( 可用确 定的微分方程描述) 内部产生的随机性称为内随机性，它足动力系统本身所固有的，并 小是由于外界的干扰引起的。外在随机性表示系统在任何时刻。即使是很短的时间内， 其状态也是不确定的，因而是不可预报的，只能对系统的状态进行统计描述，给出它的 概率分布规律。而内在随机性是系统在短期内按确定的规律演化月有一个可预报期限， 在足够长的时间后系统才变为不确定。因此，内在随机性指的是系统在足够长的时间后 的行为。这种内在随机性存在丁大量的保守系统和耗散系统中。它与外在随机性不同， 它是在完全确定性的方程中，不需要附加任何随机网素就可出现类似随机行为，导致混 沌的结果。内在随机性使得混沌系统具有局部不稳定性，即系统运动的某些方面( 如某 些维度上) 的行为强烈地依赖于初始条件( 混沌一般是整体稳定，稳定性是指系统受到 微小扰动后保持原状态的属性和能力) ，初始条件的微小变化即可导致结果的巨大差异。 ( 2 ) 分维性质：混沌态具有的非整数维不是用来描述其系统的几何外形，而是_ f j 来 描述系统运动轨道在相空间的行为特征。系统的变化在相空问中可描述成一条轨道线。 混沌运动产生的轨道线在相空问中的某个区域内无限次折叠，构成个有无穷层次的臼 相似结构。这便是奇怪吸引子。采用箱维数定义法( 维数还有很多种其它的定义法，下 面还有详细叙述) ，对于不规则的几何图形，维数和测量密切相关。当测量单位g 在不 断缩小过程叶】，随之而改变的测量结果( s ) 将增大，如果有极限存在 d ：l i m 竺! 型 ( 3 一1 ) ；+ o i n ( 1 e ) d 便是所讨论的几何对象的容量维数。而当求得d 为分数时，称为分维数。混沌的吸引 子具有分维数的特征，称为奇怪吸引子。 ( 3 ) 普适性：混沌是一种无周期性的“高级“有序运动。如果数值的或者实验的分 辨率足够高，可以发现混杂在小尺度混沌中的有序运动花样。所谓普适性，足指在趋向 混沌时所表现出来的共同特性，它4 ；依具体的系数以及系统的运动方程而变化。 3 2 2 l y a p u n o v 指数( 李雅谱诺夫指数) l y a p u n o v 指数用来定量刻划混沌运动。对初值条什敏感 ! ! 是混沌的基本特点。两 东南大学硕士论文 个很靠近的初值所产生的不同轨道，随时间推移按指数方式分离，这种指数便是 l y a p u n o v 指数。 对一维映射 矗。= 厂( 矗) ( 3 2 ) 来说，一维映射只有一个拉伸或压缩方向。考虑初值点矗和它的临近点气+ a x ， 用f ( x 1 作一次迭代后，他们之间的距离为 厶= f ( x o + x ) 一f ( x o ) z f ( x o ) a x ( 3 - 3 ) 经过月次迭代后会指数分离。l y a p u n o v 指数就是量度这种分离性。 三。：l ，一( + 。x ) 一n ( x o ) i ：d f i ( x o ) 。；8 ( ) 一6 ( 3 - 4 ) 式中五( x ) 就称为l y a p u n o v 指数。 对于一般的”维动力系统，定义l y a p u n o v 指数如下：设f 是r “ r “上的”维映 射，某离散动力系统具有下面关系；虬+ 。= f ( ) 。设该系统的初始条件用一个无穷小 的 维的球表示，随着时间的演变，球体将变为椭球。将”维椭球的h 个主轴按其长度 顺序排列， 如t 2 “，那么第i 个l y a p u n o v 指数根据第f 个土轴的长度( 一) 的 增加速率定义为 ：l i m k 缨i - l ，2 ，” ( 3 刚 hl f 0 1 个l y a p u n o v 指数表示了系统在相空间的n 维方向的收缩或者扩张的性质。在 l y a p u n o v 指数小于零的方向上轨道收缩，运动稳定，对于初始条件不敏感：在l y a p u n o v 指数大于零的方向上轨道分离，运动对初始条件敏感。椭球的主轴艮度按p 增加，前i 个c y a p u n o v 指数的和表示了前f 个主轴定义的i 维立体体积按指数增加的长期平均速 率。最大的l y a p u n o v 指数决定了轨道发散覆盖整个吸引子的快慢，最小的l y a p u n o v 指 数决定了轨道收缩的快慢，而所有l y a p u n o v 指数大体表征了轨道总的平均发散快慢。口q 3 2 3 分形与分维 如果说混沌是在时间尺度内反映了世界的复杂性态，那么与它密切相关的分形则重 在空间尺度上反映了世界的复杂性态。 一般地认为称集合f 是分形，它应该具有下列典型的性质： ( 1 ) f 具有精细的结构，即在任意小的尺度之下，它总有复杂的细节； ( 2 )f 是不规则的，它的整体与局部都不能用传统的儿何语言来描述： ( 3 )f 通常有某种自相似形式，这种白相似可以是近似的或是统计意义下的： ( 4 ) 一般地，f 的某种方式定义下的分形维数大于它的拓扑维数； ( 5 ) 在火多数令人感兴趣的情形f ，f 以非常简单的方法确定，可能有迭代过 程产生。 比如图3 - 1 的k o c h 曲线，就具有以上几种欺型的性质： 东南大学硕士论文 、 、八八 图3 1k o c h 曲线 维数足几何对象的一个重要特征量，其概念源于经典的欧几里德空间( 简称欧氏空 间) 。在欧氏空间里，如果要确定一个点的位置，则需要引入确定的坐标系。要确定物 体或几何图形中任意一点的位置，所需要的独立坐标数日，就是该物体或几何图形的维 数，称这种维数为经典维数或欧氏维数，记为d 。 然而经典维数d 是独立的坐标数，而坐标数必定是整数。但足自然界中更多的是一 些极不规则极不光滑的研究对象，无法用经典维数度量，为了突破这种整数维的局限性， 别物体和几何图形的维数进行扩展，引入定量刻划分形的分形维数。 ( 1 ) 相似维数 1 d 。( f ) = 一i n i n ( 二) ( 3 6 ) c 式中m 是组成f 的相似了集的个数，c 为相似比例系数。相似系数对具有，一格自 相似性质的结构是十分好用的，如果生成分形的各个阶段( 不同的级) 生成元，则相似 维数便失去丁意义。 ( 2 ) 容量维数 设，是平面上的一个有界点集，根据f 的有界性，总町以找到个矩形，使f 包 含在这个矩形之中。将这个矩形分割成若干个边长为s 的小方格，于是必有某些数目为 忙1 的小方格落在，的容量维数为： 1 d r ( ，) = i j m i n n ( t ) l n ( 二) ( 3 - 7 ) s 实际上集f 并不限于平面点集。如果f 是一条直线上的点集则定义中所说的小 方格应理解为长度为s 的小区间。如果f 是彤中的一个有界点集，则小方格应理解为 r ”中边长为占的立方体。上述定义提供了计算机上近似计算点集f 容量维数的方法， 以平面点集为例，计算的准备工作是任意选定个矩形，使之完全覆盖集f 。然而， 任意给定的一个正数s ，以s 为边长将覆盖，的矩形分割成若干个小方格。通过对矩形 内所有象素的扫描，记录含有f 中点的小方格数目，记为n ( e 1 ，那么比值 i n n ( 5 ) i n ( 1 s ) 可阻看成是d e ( f ) 的近似值。当加细矩形的分割，例以s 2 代替s 时， 重复计算过程，算出新的比值。如两次比值接近，则町以认为得到了t ( f ) 的较准确的 近似值。 ( 3 ) 信息维数 在上述容量维数的定义中，为了求z ( ，) 需知道包含f 中点的方格数，但这样的 方格包含多少个，中的点并未加以考虑。这就是说，以( f ) 只表示了f 的几何尺度的 信息，而没有反映f 在平面上分布疏密的信息。为了能反映点集在分布上的信息，定 义信息维数： 1 d t ( f ) = 1 i m i ( 2 ) i n ( 二) ( 3 8 ) 东南大学硕士论文 其中 ( s ) = p ，l n ( 1 只) ( 3 - 9 ) 净l 式中p ，是，中的点落在第i 个方格的概率。假若所有方格以相等的概率包含f 中的点， p i = 1 n ( s ) ，于是i ( 8 ) = i n n ( e ) 。这样，信息维数与容量维数便是一致的。计算概率b 的简单方法是用落在第一个方格中的点的频率代替概率，因此为了求得p 的较好的近似 值，计算的点数将会很大的。 ( 4 ) 关联维数 分形的子相似结构往往表现在统计意义上，而非线性系统的相空间可能维数比较 高，甚至无穷，有时还不清楚维数是多少，而吸引子的维数一般都低于相空间维数，对 于时间序列 一 ，我们构造一批m 维矢量，支起一个嵌入空间。只要嵌入维m 足够高 ( m 2 d + 1 ，d 是吸引子维数) ，就可以在只相差拓扑变换的意义下恢复原来的动力系统。 构造m 维矢量的办法常采用时间差法，( 这种方法成为将一个时间序列恢复成原确定系 统所表示的运动空问向量轨迹的重要方法，在后章将详细介绍) 即按间隔p 从时间序列 h 中取数+ 作为分量： 咒2 ( 一，誓+ ，t + 2 ，x i + f 。_ 1 1 。) ，( i = 1 ，2 ，) ( 3 ，1 0 ) 构造好矢量”之后，要定义它们之间的距离 1 y i y j i = m l “a x 。i y * 一i ( 3 一1 1 ) 凡是距离小于给定数s 的矢量，称为有关联的矢量。若一共构造了 彳个矢量y ，m 与为同量级的大数，数下有多少对关联矢量。它在一切可能的m 2 种配对中所占的 比例称为关联移 分： c ( 沪万1c ( 加萨1 毳mh ( 叫m 1 1 ) ( 3 _ 1 2 ) 其中 脚，： 毓翌 俘 如果s 取得太大，任何一对矢量都发生关联，c ( s ) = 1 ，取对数后为0 ；如果占取 得合适，原始数据客观地反映出相应的标度性质，就可以定义关联维数； d = l i m i n c f 占、i n 6 -( 3 1 4 ) 如果占取得太小，低于环境噪声和测量误差造成的矢量差别，则上式算得的就不 是关联维数，而是嵌入维数卅。实践中往往改变一批m 值，看能否得到不变的d ，即 双刘数关系l o g c ( e ) l o g e 中的直线段。这样即可以检验标度性质，又可以有效地区分 噪声和动力学讯号。( 这种确定关联维数d 和嵌入维数m 的方法将在后文的具体计算中 运用到) f 5 ) h a u s d o r f f 维数【“】 h a u s d o r f f 维数对任何点集都有意义，它建立在测度概念的基础上，是研究分形维 数的最基本工具。 东南大学硬士论文 设u 是n 维欧氏空间彤中任意非空子集，它的直径是指u 内任意两点，x ，y 的距 离lx y l 的上确界l u i ，即 “i = s u p i x - y l ，j x ，y u ( 3 1 5 ) 如果u i 是有限多或可数无穷多个点集构成的点集序列，说u 是点集f 的一个占覆 盖，那是说有 f c u ， j ；1 ( 3 1 6 ) 且对每一个i 都有0 0 ，设 h ；= i n f 1 u , u i 为f 的占覆盖 ( 3 - 1 7 ) 考虑f 的所有直径不超过j 的覆盖，并使上式右端出现的和式达到最小，当占减 小，h 5 ( f ) 随之增加，当占_ + 0 时，极限值为 ( f ) 2 烛h j ( f ) ( 3 1 8 ) 称为集f 的s 维h a u s d o r f f 测度。h a u s d o r f f 测度是对长度、面积、体积概念的推广。 长度、面积、体积具有比例性质：当比例放大五倍时，线的长度放大兄倍，平面面积放 大 2 倍，空间物体的体积放大五3 倍，而对于j 维h a u s d o r f f i | 0 , l j 度的放大倍数为五5 。 从上面的定义可以看山，对任何给定的点集f 和占 j ，且 u ) 为f 的j 覆盖，则有 j u 。降i u 1 5 ( 3 1 9 ) 取下确界之后得 蟛( ，) 1 i u1 5 ( 3 - 2 0 ) 令d 一0 ，由于r s ，若( f ) o o ，则有h ( f ) = 0 ，即存在s 的一个临界值 使日5 旧) 在这个值处从无穷大跃变至0 ，这个临界值就称为集f 的h a u s d o r f f 维数，记 为d 。( f ) 。即 如( f ) = i n f s f h 。( ) = 0 ) = s u p s l h 5 ( f ) = o 。) ( 3 2 1 ) 如果有s = d ：( f ) 成立，那么，h 5 ( f ) 剐以为零，无穷或满足o 0 ，系统总存在些我们无法认识的侧面。 k o h