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中北大学学位论文 c t 射束硬化校正算法研究 摘要 计算机层析成像技术( c o m p u t e r i z e dt o m o g r a p h y ，简称c t ) 是目前最先进的无损检 测技术之一，在很多方面都得到了广泛的应用。由于其特点是重建图像无影像重叠、空 间和密度分辨率高，因此在工业检测和医疗诊断方面应用更为广泛。 传统的c t 重建算法都是基于x 射线源为单色的假设，然而在工业和医用c t 中所用 的x 射线源通常是多色的，只能获得多色投影数据，若直接重建图像则会出现硬化伪影。 硬化伪影的校正是提高重建图像质量的一个方面。 本论文首先给出了基于原始投影数据的c ，i i 硬化校正算法的改进算法。针对噪声多 集中在高频部分，将投影数据分成高低频段，对低频用文中方法校正，再和高频部分叠 加，最后用滤波反投影方法重建。该方法不需要事先进行建模扫描和计算，校正程序简 单实时，校正结果具有更高信噪比，并且不受扫描条件限制。 其次，本文给出能谱估计算法，在此基础上提出了一种简单易行的校正方法。首先 根据得到的多色投影进行重建，即可得到物体相关信息；其次得到离散化情况下的模拟 单色和模拟多色投影，从而得到两者之间关系，用此校正实际多色投影。实验表明，该 算法能较好地消除重建图像中的射束硬化伪迹。适用于大批量物体检测。 最后，本文将硬件滤波器校正和软件校正方法相结合来对多色射线投影进行硬化校 正。利用和靶物质相同的材料( 选取合适的厚度) 作为前置硬化滤波器，使多色射线近 似单色化。同时用重投影的方法对射束硬化现象进行校正。研究表明，该方法能有效地 抑制射束硬化的影响。 关键字：计算机断层成像，射束硬化校正，能谱估计，重投影，伪影 中北大学学位论文 t h e a l g o r i t h m ss t u d y o fb e a m - h a r d e n i n gc o r r e c t i o n a b s t r a c t c o m p u t e dt o m o g r a p h yt e c h n i q u ew h i c hh a sb e e nw i d e l yu s e di nm a n yw a y si so n eo f t h em o s ta d v a n c e dn o n - d e s t r u c t i v ed e t e c t i o nt e c h n i q u e sa tp r e s e n t i ti se s p e c i a l l yu s e di n i n d u s t r yi n s p e c t i o na n dm e d i c a ld i a g n o s i sb e c a u s et h ei m a g er e c o n s t r u c t e db yc t a r eo fg o o d q u a l i t ya n dh i g hr e s o l u t i o n t r a d i t i o n a lr e c o n s t r u c t i o na l g o r i t h m sa s s n r f l et h a tt h ex - r a yi sm o n o c h r o m a t i cw h i l ei n f a c tx - r a yi sp o l y c h r o m a t i ce i t h e ri ni n d u s t r i a lo ri nm e d i c a lc t ，s oo n l yp o l y c h r o m a t i c p r o j e c t i o nd a t ah a v eb e e no b t a i n e di na c t u a lc ts y s t e m o n c et h i sk i n do fd a t ai su s e dt o r e c o n s t r u c tt h ei m a g ed i r e c t l y ，b e a m - h a r d e n i n ga r t i f a c t sa p p e a ri nt h er e c o n s t r u c t e di m a g e i ti so n ed i m e n s i o nt oi m p r o v et h ei m a g eq u a l i t yb yc o r r e c t i n gb e a m - h a r d e n i n g f i r s t l y , a ni m p r o v e da l g o r i t h mo fc ti m a g eh a r d e n i n g c o r r e c t i o nb a s e do no r i g i n a l p r o j e c t i o ni sp r e s e n t e di nt h ep a p e r a st ot h ec h a r a e t e r i s t i co f n o i s ei nt h eh i 曲f r e q u e n c y m o s t l y , w ed i v i d et h ep r o j e c t i o ni n t oh i g ha n dl o w 脚e n c ya n dm o r e o v e r , w ea d o p tt h e i m p r o v e dm e t h o dt h i sp a p e rr e s e a r c h e dt ot h el o wf r e q u e n c y t h e n , t h er e s u l ti sa d d e dt ot h e l l i g hf r e q u e n c ya n di m a g ei sr e c o n s t r u c t e db yf i l t e r e db a c k p r o j e e t i o nm e t h o d ap r i o rc t s c a n a n dc o m p l e xo p e r a t i o mw e r en o tn e c e s s a r yf o rt h i sc o r r e c t i o nm e t h o d s oi ti sm u c hs i m p l e r a n dq u i c k e r ，w i n lb e t t e rs i g n a l n o i s e - r a t i o ，a n dn o ta f f e c t e db ys c a nc o n d i t i o n s s e c o n d l y , am e t h o df o re s t i m a t i n gt h ex - r a ys p e c t r u mi sp r e s e n t e da n dab e a m - h a r d e n i n g c o r r e c t i o na l g o r i t h mi sg i v e nb a s e do nt h i si nt h ep a p e r f i r s t ，i m a g ei sr e c o n s t r u c t e db yt h e g a i n e dp r o j e c t i o na n di n f o r m a t i o na b o u tt h eo b j e c ti sc o l l e c t e d ；n e x t ，w ec o u l dg e tc o r r e l a t i o n b e t w e e nm o n o c h r o m a t i ca n dp o l y c h r o m a t i cp r o j e c t i o nw h i c ha r ed i s c r e t e ；t h e n , w em a k e c o r r e c t i o nw i t ht h i sr e l a t i o n t h ee x p e r i m e n ts h o w st h a tt h eb e a m - h a r d e n i n ga r t i f a c t sw e r e e l i m i n a t e de f f e c t i v e l ya n dt h i sm e t h o di sa p p l i c a b l et oal a r g en u m b e ro fo b j e c td e t e c t i o n s l 嘁i nt h i sp a p e r , b e a mh a r d e n i n g a r t i f a c t sa r ed i m i n i s h e do rr e m o v e db yt h e c o m b i n a t i o nm e t h o do fs o f t w a r ea n dh a r d w a r e t h r o u g hp r o p o s i t i o n e df i l t e rw h o s em a t e r i a li s t h es a m ea so n eo ft h et a r g e to nc t ，t h ea v e r a g ee n e r g yo fx - r a yw a si n c r e a s e d a tt h es a m e t i m e , t h em e t h o do fr e p r o j e c t i o ni su s e dt oc o r r e c tt h eb e a mh a r d e n i n g r e s e a r c hs h o w st h i s m e t h o d 啪e l i m i n a t eb e a mh a r d e n i n ga f f e c te f f e c t i v e l y 中北大学学位论文 k e yw o r d s ：c o m p u t e dt o m o g r a p h y ，b e a m - h a r d e n i n gc o r r e c t i o n ，s p e c t r u me s t i m a t i o n ，r e p r o j e c t i o n a r t i f a c t s h i 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在指导教师的指导下，独 立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含 其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研究作出重要贡 献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明的法律责任由本人 承担。 论文作者签名：延至骛日期：塑乞丛 关于学位论文使用权的说明 本人完全了解中北大学有关保管、使用学位论文的规定，其中包括： 学校有权保管、并向有关部门送交学位论文的原件与复印件；学校可 以采用影印、缩印或其它复制手段复制并保存学位论文；学校可允许学 位论文被查阅或借阅；学校可以学术交流为目的，复制赠送和交换学位 论文；学校可以公布学位论文的全部或部分内容( 保密学位论文在解密 后遵守此规定) 。 签名： 矗蔓鏊 日期： 塑乞。! 导师签名： 隅上一 中北大学学位论文 1 1 研究背景及意义 第一章引言 计算机断层成像技术( c o m p u t e r i z e dt o m o g r a p h y ，简称为c t ) ，是目前最先进的无 损检测技术之一，广泛应用于医学、工业、生物学、材料学等学科领域，c t 的理论与方 法还可应用于物探、地球物理、射电天文学等学科领域。c t 是用x 射线束对物体的某一 断层面进行扫描，由探测器接收透过该断层面的x 射线，所测得的信号经过模数转换， 转变为数字信息后由计算机进行处理，从而得到该断层面的各个单元面积的x 射线吸收 值即c 1 数，并排列成数字矩阵。把数字矩阵中的每个数字转为由黑到白不等灰度的小 方块，即象素( p i x e l ) ，并按矩阵排列，即构成c t 图像。所以，c 1 i 图像是重建图像。 x 射线c t 在工业无损检测、医学、安检等领域发挥着重要作用。目前国内c t 研发 面临的主要问题之一是如何提高c t 设备的成像质量，以满足医学及工业高精度检测的 需求。降低c t 图像质量的主要因素有：硬化伪影、散射伪影、环状伪影、机械误差伪影 等等n 嘲。这些伪影大大影响了c t 图像的空间分辨率和密度分辨率，其中硬化伪影是由 于x 射线源的多色性导致的。实际的工业c t 或医用c t 中所用的x 射线源是多色的，即 x 光机发出的x 射线具有不同能量，对于一般物质，低能射线比高能射线衰减得厉害， 从而使透过物体的射线能谱发生了变化，光子的平均能量升高，这就是射束硬化现象 m 1 。传统的c ，i 重建算法如滤波反投影算法、代数重建算法，都基于x 射线源是单色源 的假设1 ，并忽略了散射的影响。然而实际x 射线c t 获得的是多色的投影数据，直接用 多色投影数据进行图像重建就会出现硬化伪迹，降低图像质量，影响c t 值标定，从而 影响医学诊断或工业诊断检测件口吲。因此对x 射线硬化现象的产生机理及校正算法研究 具有重要意义。 自1 9 7 5 年起硬化校正一直是国内外研究的热点田】，己有许多相关工作。目前己有的 校正方法主要分单能和双能两大类。双能法以两次不同出射谱下的投影来近似单色投 影，从而达到校正的目的n 州。由于这种方法需要扫描两次，无疑要增加辐射计量延长 扫描时间，因此在工程及医学当中很少被采用m 。单能法只需要一次扫描，工程上容易 实现，因此单能的校正方法得到了广泛的研究。常用的校正方法有：( 1 ) 预处理方法，即 中北大学学位论文 在x 射线源的出射端加装滤波片。滤波片的材料、厚度、层数等均需要选取适当。虽然 这种方法在物理上容易实现，但单位时间的有效x 射线总量减少，导致信噪比降低。而 且这种方法只能在一定程度上减少硬化现象，并不能消除该现象n 刿。( 2 ) 多项式拟和法， 自从1 9 7 9 年g t h e r m a n 推导了单色射线衰减和多色射线衰减之间存在着近似的一一对 应关系，并用拟合的二次多项式建立了从多色投影获得单色投影的关系，取得了较好的 结果，使得拟合校正算法被广泛应用n 羽。但当被测物质密度大的时候则需要用高次多项 式拟和多色投影n4 | ，且多项式次数的选择也是一个较难的问题。( 3 ) 后置迭代校正方法， 主要是利用重建后未校正的图像结合射线与c t 图像像素的相交情况，对灰度值进行加 权修正或对投影数据进行修正，然后重建图像，直到图像满意为止n 引。 以上关于减小射束硬化伪影的研究对c t 的发展起到了一定的作用，但目前在国内 还存在着很大局限性。因此硬化校正算法还需要进行深入的研究。 1 2 国内外研究现状 从1 8 5 9 年伦琴获取了第一张掌骨x 射线图像后，立刻引起了人们的关注。由于通过 射线可以无损地获取检测对象的内部结构的两维投影图像，人们可根据图像信息实现对 检测对象诊断和评估，因而在医学和工业领域获得了广泛的应用，己成为当今无损检测 的主要方法之一。 c t 技术的数学基础( r a d o n 变换及逆变换) 由德国数学家r a d o n 建立( 1 9 1 7 年) 。 透射式x 射线计算机层析成像技术的理论则由美国的a m c o r m a n k 首创，7 0 年代世界上第 一台医用c t 机由英国人c n h o u n s f i e l d 研制成功，他由此获1 9 7 9 年诺贝尔医学和生理学 奖。自7 0 年代第一台c t 机问世以来，计算机层析成像技术一直是国内外研究的热点之一， 其研究可分为硬件和软件两方面。硬件方面发展出具有低、中、高或超高能的y 射线、 x 射线、电子束、直线加速器的c t 机，近年来西方发达国家已先后研制出具有高分辨率 的螺旋c t 、可超高速成像的电子束c ，i - 等设备。软件方面出现了许多结合检测系统从数学 模型、数据采集、成像方法、软件实现等角度，提高成像分辨率和检测速度的应用软件。 特别值得注意的是一些通过软件方法替代部分硬件功能的技术，由此达到降低成本，提 高效率等目的。 此外，康普顿散射检测成像技术研究也是一个重要的研究方向。康普顿散射检测可 2 中北大学学位论文 将源与检测器布置在被检测目标同一侧，具有对缺陷空间位置敏感、信号探测对比度基 本保持衡定等特点，可用于检测通常手段( 如透射成像等检测设备) 难以检测的火箭弹药 脱粘、蜂窝状结构多层胶接脱粘等问题，可与透射式c t 检测设备互补。美国等少数发达 国家还开发了一些专用散射成像技术( c s t ) ，成功地应用于国防军事领域。 我国有关单位花费巨额外汇先后进口数十台国外工业c ，r 机用于军事工业和民用工 业关键材料、部件的无损检测。发达国家在工业c t 关键技术( 包括成像软件) 上对中国一 直采取技术封锁和保密，以保持其在工业c t 上的垄断地位。出口给中国的工业c t 机的数 据采集和成像系统被固化加密，无法二次开发和改进，维修也依靠国外厂家。此外，还 限制对华出口某些类型的高分辨率工业c t 机。因此发展具有自主知识产权的国产高分辨 率工业c t 机( 包括成像软件) 非常迫切和必要。 8 0 年代中期，国内一些大学、研究所开始从事c t 理论与应用试验的研究，其中有清 华大学、中科院高能所、重庆大学、中国计量科学院、上海交通大学、北京信息工程学 院、东北大学、浙江大学等单位。9 0 年代初我国自行研制成功第一台透射式y 射线工业 c t 样机，清华大学等单位研制成功x 射线微焦点i c t 机，打破了国外在工业c t 方面对我国 的封锁局面。 多色x 射线的研究现在主要用于安检设备的研制，公安部第一研究所的多能量x 射线 安全检查设备，简称e 扫描系统或m e x 材料分辨系统，是在单能量x 射线安全检查设备的 基础上开发的新型安检设备。它大大优于传统的x 射线检查设备，不仅能提供被检物的 形状和内容，还能提供反映被检物品化学成分的信息。它能探测出被检物的元素组成， 从而区分出被检物是有机物还是无机物，并用不同的颜色在彩色监示器上显示出来，帮 助操作人员进行判别。公安部第一研究所f i s c a nc m e x - 5 1 7 0 型多能量x 射线安全检查设 备是最新型的x 射线安全检查设备n 。该设备采用了世界上先进的技术，使得分辨率更 高，图像更为清晰、鲜明，更便于对被检测物品的识别。该设备的通道尺寸较小，占地 面积很少，是用于机场、海关、车站、政府机关、邮局、法院等地方的理想检查设备。 另外还有f i s c a nc m e x - b 6 5 5 0 - 1 型、f i s c a nc m e x - 1 5 0 1 5 0 型等都是最新型的多能量x 射线 安全检查设备。还有f i s c a nc m e x - d 8 3 8 0 型双通道多能量x 射线安全检查设备，f i s c a n c m e x - d b 6 5 5 0 型双视角多能量x 射线安全检查设备，和f i s c a nc m e x t 8 0 6 5 c z 多能量x 射线 安全检查车。 3 中北大学学位论文 m e x 系列产品无论在性能指标和功能上都赶上或超过了国外同类产品的水平，公安 部第一研究所的产品不仅满足了国内市场的需求，而且远销香港、东南亚、英国等地， 我们己成为生产安检设备的三大厂商之i ，另外两家是美国的天体物理公司和西德海曼 公司。目前，m e x 是最受欢迎的x 射线安全检查设备。 1 3 本文的主要工作 本论文首先给出了基于原始投影数据的c t 硬化校正算法的改进算法。针对噪声多 集中在高频部分的特点，先将投影数据分成高低频段，采用本章研究的硬化校正方法对 低频部分作校正，再和高频部分进行相加。与原方法相比，该方法计算量小，速度更快。 其次，本文给出能谱估计算法，在此基础上提出了一种简单易行的校正方法。主要 是得到离散化情况下的模拟单色和模拟多色投影之间的关系，用此校正实际多色投影。 实验表明，该算法能较好地消除重建图像中的射束硬化伪迹。适用于大批量物体检测。 最后，本文将硬件滤波器校正和软件重投影技术相结合来对多色射线投影进行硬化 校正。用滤波器尽量使射线单色化的同时运用软件的方法对投影数据进行校正。研究表 明，该方法能有效地抑制射束硬化的影响。 1 4 本文的结构安排 第一章引言，主要介绍了该课题的研究背景和意义；简述了国内外研究现状及发 展前景；最后列出了本文的主要工作和结构安排。 第二章x 射线c t 成像的有关基础，首先阐述了x 射线c 1 成像的有关物理基础；然 后介绍了x 射线c 1 i 成像的数理基础，包括c 1 基本原理和r a d o n 变换、逆变换及滤波反 投影算法，为后续章节的实验做准备。 第三章射束硬化问题及其校正方法，首先描述了射束硬化问题及其产生的原因， 其次介绍了目前射束硬化校正的一些方法。 第四章基于原始投影数据的c t 硬化校正方法的改进，在基于原始投影数据的c 1 i 硬化校正方法的基础上研究了改进算法，并通过实验分析算法得到的数值结果。 第五章能谱估计及理论校正方法，首先给出了能谱估计算法，并在能谱估计基础 上提出了一种简单可行的硬化校正方法。实验证明该方法具有一定的可行性。 4 中北大学学位论文 第六章硬件软件相结合的硬化校正方法，首先阐述了滤波片的选择问题，其次结 合了硬件滤波方法和软件重投影技术来进行射束硬化校正，实验结果表明取得很好的效 果。 第七章总结与展望，对本文所作的工作做了大致的总结，并对以后的研究方向做 了展望。 5 中北大学学位论文 第二章x 射线c t 成像的有关基础 本章主要介绍x 射线c 1 成像的有关基础。首先阐述了x 射线成像的物理基础，主 要是x 射线与物质相互作用的机理：然后介绍x 射线成像的数学基础，包括c t 基本原理、 r a d o n 变换、r a d o n 逆变换以及经典的滤波反投影算法。 2 1x 射线成像的物理基础 x 射线c t 成像系统是由硬件和软件两部分组成的。硬件部分主要包括系统的探测 器、电子学及机械转动装置：软件部分主要包括数据采集、图像重建、及应用分析部分。 x 射线c 1 是目前最先进的无损检测手段之一。其原理是用x 射线从不同角度的某一 断层面进行扫描，用探测器接收透过该断层面的x 射线。探测器把接收到的x 射线转换 成模拟信号，再经过a d 转换器把模拟信号转变为数字信号。然后利用得到的数字信号， 通过一定的重建算法( 如用经典的滤波反投影算法) ，计算出各个单元面积的x 射线衰减 系数，此衰减系数的分布函数就是c 1 所要重建的图像n 小峥驯。 x 射线本质上是一种电磁波，是高速运动的电子打到靶上所产生的。x 射线与物质 相互作用，有很多种方式。当射线能量在3 0 m e v 以下时，最主要的有三种形式：光电效 应、康普顿效应( 康普顿散射) 和电子对效应。而且上述三种作用是同时发生的，但是 三者不一定都起主要作用。 ( 1 ) 光电效应 光电效应的原理是，当x 光子与物质原子中的束缚电子作用时，光子把全部能量转 移给原子中的某个束缚电子，使其发射出去( 称为光电子) ，x 光子本身消失。这一过程 称为光电效应。如果外来x 射线的能量全部传给内层电子使该电子飞出，则其带有能量 为光子能量减去k 层电子的结合能，即x 射线全部被吸收了。光电效应发生在束缚得最 紧的内层电子上。 一般情况下，l 层电子向k 层填充放出一个光子，然后m 层向l 层填充放出一个光 子。由原子结构知，这些光子的总能量为k 层电子的结合能，但每个光子的能量都较小。 实验证明低能段的x 射线与物质容易发生光电效应。由光电效应生成的自由电子称 为光电子。而当入射的光子能量增高一些，原子内层的核外电子也会被激发出来，同时 6 中北大学学位论文 伴随着x 射线的发射。由于每一种元素用这种方式产生的x 射线的能量是一定的，因此 把这种x 射线称为特征x 射线。 ( 2 ) 康普顿散射 康普顿散射是当一个具有足够能量的入射光子打到原子中的一个电子，入射光子和 电子之间的相互作用好像我们很常见的2 个小球之间的弹性碰撞。在碰撞之前入射光子 具有能量7 和动量，碰撞之后，光子将一部分能量转移给电子后以偏离原来的方 向0 角度方向散射出去，从光子那里得到能量的电子沿着与光子入射方向成矽角度运动。 散射光子的能量变为，动量变为。这个现象是首先由美国物理学家康普顿发现 的，因此称为康普顿散射。 康普顿效应与光电效应不同。光电效应中光子本身消失，能量完全转移给电子；康 普顿效应中光子只是损失掉一部分能量。光电效应发生在束缚的最紧的内层电子上；而 康普顿效应总是发生在束缚最松的外层电子上。 实验表明，在中间能量段康普顿散射占主导地位。 ( 3 ) 电子对生成 电子对生成是x 射线与原子核附近的电子云发生强烈作用突然消失，产生正一负电 子对，但电子对生成只有在x 射线能量超过h v 2 m 。c 2 = 1 0 2 2 m e v 才占主导地位。能量 2 m 。c 2 是电子对效应的阈值能量。 x 射线与物质相互作用的三种效应与吸收物质的原子序数和入射光子能量有关，三 种效应的相对重要性如图2 1 所示。 7 中北大学学位论文 z 琢 子 穿 数 - 8 裂 8 ， o o 0 1o 1101 0 0 e 。m e v射线娩鼙 图2 1 按光子能量和原子序数来表示的三种效应的相对重要性 f i g2 1t h ei m p o r t a n c eo f t h r e ee f f e c t s a c c o r d h i gt op h o t o ne n e r g ya n da t o m i cn u m b e r 由此可知： i ) 对于低能x 射线和原子序数高的吸收物质，光电效应占优势。 i i ) 对于高能x 射线和原子序数低的吸收物质，康普顿效应占优势。 i i i ) 对于高能x 射线和原子序数高的吸收物质，电子效应占优势。 因此在分析x 射线的衰减时。在满足一定精度要求下，考虑主要效应，忽略次要效 应，简化问题的讨论。 在工业和医学c t 成像中所用x 射线的能量段范围为0 k e y 一4 5 0 k e y ，此能量范围的 光子与物质相互作用时所发生的物理过程主要为光电效应和康普顿散射。因此在数学上 可以把线性衰减系数写成 从e ) = 以( d + 段( d 其中( d 为总线性衰减系数，纬( d 为光电效应引起的衰减系数，段( e ) 为康普顿散射 引起的衰减系数。这些过程依赖于物质的原子序数、密度及x 射线能量，而且在一定的 能量范围内，可以用下面的公式来近似。 4 e ) = a ( e ) p z 么 其中e 表示能量，尸是吸收体的密度，z 是原子序数，a 是原子质量，m 、刀均为依赖 8 中北大学学位论文 于原子序数和能量的常数。 2 2x 射线c t 成像的数学基础 本节主要介绍x 射线c t 的正过程、r a d o n 变换、r a d o n 逆变换，并在此基础上介绍 图像重建算法中的滤波反投影算法。 2 2 1c t 基本原理 c t 图像重建所需的投影数据是根据射线穿过被测物体断层时的衰减得到的。如图 2 2 所示，直线l 为射线穿过物体断层时的路径，夕为射线与水平坐标轴的夹角，p 为 扫描区域中心到直线的距离。 l 堪，y ) 图2 2 射线投影示意图 f i g2 2t h ed i a g r a mo f p r o j e c t i o n 设x 射线是单色的( 即x 射线是由单一能量的光子组成的) ，x 射线源的强度为 厶，x 射线穿过物体后的强度为，被测物体由衰减系数为的均匀物质组成，且 物体的厚度为h ，则，与l 服从比尔定律( b e e r s 肠w ) 嘲 i = z 0e x p ( 吖历) ( 2 1 ) 若构成物体的物质是非均匀的，如图2 2 所示，设k y ) 为被测物体某断面的线性衰减 9 中北大学学位论文 系数的分布函数( “y ) 与物质的种类及x 射线的能谱有关) ，则此时，与厶满足下式嘲： i = i oe x p ( - i u ( x y ) d 1 ) ( 2 2 ) 其中三= l ( p ，夕) 是x 射线所经过的直线，d 为直线l 上的积分微元。将( 2 2 ) 式改写为 一吒) = 王鹏彬 ( 2 3 ) 又因为的方程为 x c o s # + y s i n # = p ( 2 4 ) 因而可将( 2 3 ) 记为 g ( p ，力= i 从w 矽 ( 2 5 ) 若己知似y ) ，贝l j g ( p ，夕) 可由上式得到，我们称此问题为正问题，称g ( p ，力为( 五y ) 的 投影数据。而c t 问题为上述问题的反问题，即已知g ( p ，痧) ，求“y ) 。在实际问题中， 通常是由g ( p ，夕) 的一组采样值，来计算似y ) 的近似值。 2 2 2r a d o n 变换及滤波反投影算法 本节主要介绍r a d o n 变换、逆变换以及滤波反投影重建公式( f b p ) 等。 1 ) r a d o n 变换 设厂( x ) 为二元函数，x = ( x l ，工：) r 2 ，厂( x ) 在r 2 中任意直线上三可积， 歹( ) = p ( 了地，v l cr 2 ( 2 6 ) 工吐 则称映射r ：f 一歹为r a d o n 变换，即矽：歹。其中以是直线的弧长。 一r - - 扔：嘉玎拦譬卜 厂( 石) = 。1 = 击0i i 毛- 一p 缈 lj 其中西= ( c o s 仍s i i l 力。 ( 2 7 ) 由上一节我们知道c t 成像的正过程即为r a d o n 变换，逆过程为r a d o n 逆变换。 i o 中北大学学位论文 事实上r a d o n 逆变换可以看作是如下三个算子的复合： 对p 的偏导数 a ，：“( p ，力- - - - u p ( p ，纠 矗l b e r t 变换 日：“( g ，劝专三，蛐：l ( 叮) 五g ，力 g r 二q p刃 反投影变换 b ：“( 石，力专i 1p ( x m ，州矽 z g t 5 由于a 。对噪声具有放大作用，特别是数值导数；日是在无穷区间的奇异积分；口会 将噪声扩散，所以c t 重建中通常不使用r a d o n 反演公式求厂( 柳，而是采用滤波反投影 重建算法等n 司。下面我们将介绍x 射线c t 成像经典的滤波反投影( f b p ) 算法。 3 ) f b p 算法 滤波反投影算法是建立在傅立叶变换理论基础上的一种空域处理技术，它是目前重 建速度最快的算法。这种方法的特点是：它在反投影前对每一分度下的投影进行卷积处 理，从而能够消除反投影算法的模糊和点扩展引起的g i b b s 现象，图像质量较好；同时 可以与扫描并行执行，因而重建速度快。这是迄今为止最常使用的重建算法，为c t 设备 普遍采用，因为它兼顾了图像质量和重建速度。 f b p 算法( f i l t e rb a c kp r o j e c t i o na l g o r i t h m ) 的表达式是： f霈+ 的 厂( x ) - r g ，叫矽= ff ( ，力b 】h ( r o ) g 圮蒜神d c a d 簪, ( 2 8 ) 其中( 石，矽矽为反投影算子，( c 夕) 【织】是夕b ，西】关于第一个变量p 所作的 f o u r i e r 变换。f b p 算法可解释为： 夕囟，叫( 投影数据) j 坐坐塑塑_ f 夕k 叫塑墼，夕b 】 ( 功 j 麴熊b g ( 加) 马j g ( 加) l 脚却= 厂( 抑 中北大学学位论文 第三章射束硬化问题及其校正方法 上一章中，介绍了x 射线c t 成像的有关基础，其中一个最基本的假设就是x 射线 是单色的，但在工业c t 和医用c t 中实际所用的x 射线源一般为宽能谱多色射线源。当 多色射线穿过物体时，低能光子由于光电效应被优先吸收，因此使得射线能谱变窄。如 果用上章介绍的滤波反投影算法对多色x 射线的投影数据进行重建，则重建出的图像会 出现射束硬化伪迹( 也就是我们常说的杯状伪影) 。本章介绍射束硬化伪迹产生的原因 及现有的校正方法。 3 1 射束硬化问题 在c t 系统中，所用的x 射线是多色的，即x 射线由具有不同能量的光子组成的。 因为对于低能量的光子来说，当其穿过物体时，在固定点上的衰减量一般比高能量的光 子的衰减量大。这样，当x 射线穿过物体时，它的能量谱改变了瞰1 ，其中高能量的光子 所占比例变大，于是称x 射线束发生了硬化。 当x 射线为多色时，被测物体中的物质对x 射线的线性衰减系数不仅依赖于空间 坐标x ，而且还依赖于入射光子的能量e ，即有= ( 石，e ) 。设厶和，分别为x 射线的 入射光强和出射光强，则有 讹m 广鼬，d 一弘调讲 d e 慨l ， 上 其中e 一为x 射线中光子能量的最大值，s ( 曰为x 射线源的能谱分布，并r s ( e ) 具有 如下性质嗍： s ( 司 o ，且，r 。s ( 点3 a e = 1 ( 3 2 ) 这样，对于多色x 射线源，多色投影值彳p 为 2 p = - i n 丢= 一l i l ( 广d 一弘调讲h 3 ) 而对于单色x 射线源，单色投影值厶为 厶= f 么毛毛) 讲 ( 3 4 ) 1 2 中北大学学位论文 其中& 为单色x 射线源中光子的能量。 可见，对单色x 射线源，厶与从x ，e o ) 是线性关系，这使得在进行重建时可以直接 应用滤波反投影算法就可以得到从五e o ) 的较为精确的值( 按灰度量化即得从而岛) 的 重建图像) ；而对多色x 射线源，名，与“司是非线性关系，若由名p 用滤波反投影算法 重建，则由于其中的非线性关系，使得重建所得到的并不是( 工，d 近似值( 或, a c x ，d 的 图像) 而是d 按一定意义的某种均值。重建图像与理想图像之间会有偏差，产生一 种在重建图像中可观察到的射束硬化伪迹。 3 2 射束硬化伪迹产生的原因 由3 1 可知，对于能量为e o 、入射强度为，。的单能射线，投影数据厶- 与4 x ，磊) 成 线性关系。通过r a d o n 逆变换，便可求解得到从而e o ) 。实际c t 扫描过程中所应用的x 射线是多色的，对于x 射线谱为s ( d 、入射强度为厶的多能x 射线，投影数据 4 ：一l n 墨尘与似目的关系是非线性的，没有解析求解公式。该问题的最大难点在 1 0 于它是欠定的。对于c t 重建图像的每一个断层来说，( x ，句是三元函数，其中 x ：( 毛，屯) ，而4 = 一1 1 1 冬尘是由两个参数决定的，即是一个二元函数。试图由二元函 1 0 数一1 n 墨尘，通过( 3 3 ) 式确定三元函数似d 的问题在数学上是欠定的。人们希望 0 求得某个4 x ，凰) ，其中磊是服从分布s ( d 的能量层的某种均值，或求得 及功= s ( e 掀五e ) d e 。但是通过一i n 与 按r a d o n 反演公式或滤波反投影公式得到的 并非从而反) 或及功，而是某个从功。由均匀圆柱断层的扫描数据重建的从功呈现杯状 分布。通常人们所说的硬化校正，实际上就是将及功校正为从x ，毛) 或- ( 功。由于前面 所提到的多色x 射线穿过被测物出现射束硬化现象，所以导致了重建图像出现硬化伪影， 通常表现为中间暗，边缘亮的杯状或环状伪影。 1 3 中北大学学位论文 3 3 校正方法 自1 9 7 5 年以来，射束硬化校正一直是人们研究的重要问题。目前己有许多种射束 硬化校正方法，包括硬件和软件校正方法n 5 m 蝴1 。硬件方法有：水浴器补偿方法、滤波片 预滤波方法、拟单色射线( 窄能谱射线) 等，这些方法可在一定程度上减轻硬化伪迹，但 都有较大的局限性。下面重点介绍软件校正方法。 3 3 1 多项式近似 对于单成分物体，假设所有质量衰减系数具有相同的能量依从关系心( d 时，可 把形状问题推广使之包括密度变化，例如，研究内容包括大量与水等效的软组织时，此 时假设线性衰减系数是可分离的脚1 ： 从而d = 从功( d ( 3 5 ) 式中b i n ( e ) 为物质的质量衰减系数，从力是物体的物理密度分布。将( 3 5 ) 代入( 3 3 ) 并整理，得到 乃= i 厶= 一1 n ( 广s c 。d 一以c 。p 功司司 c 3 现在，非线性关系存在于测量投影名p 与物理密度分布众力的线积分之间。可是，由于 s ( 司和服( 目被假定为已知量，故根据给定的以可以比较容易地确定f 众功刃。这样， 可以定义一个校正后的投影4 ： t = 厂( 以) ( 3 7 ) 一般，利用如下形式的多项式近似： ( 以) = 口。+ 口l 以+ 口2 名+ 。+ 口+ 口。群 ( 3 8 ) 这样校正后的投影值乞可以作为单色投影值的一个近似，再用滤波反投影算法进行重 建，便可以减少射束硬化伪迹。 多项式逼近的优点在于：系数容易计算，并且一旦计算出它们之后，公式( 3 8 ) 也容易计算，尤其是对于刀值较小的情况。可是，利用多项式来校正“杯状 伪迹是不 可能的，因为它仅能相等地“提高所有的密度值嘲。 1 4 中北大学学位论文 3 3 2 迭代法 当截面中有大量骨骼存在时，前面的校正方法是不合适的，有害的图像伪迹依然存 在，问题在于骨的吸收谱与软组织的吸收谱不同。低能x 射线因骨内钙质的光电吸收强 而被大量吸收掉。迭代校正法在于先确定那些含骨的物体部分，然后进行投影校正以考 虑这些区域不同的频谱吸收特性。先用( 3 7 ) 一( 3 8 ) 提供的投影进行初步重建。然后， 把所得图像进行一次域值测试或其它测试以识别骨所在区域。现在可把原始投影按存在 骨骼的情况进行校正，即可重建出射束硬化伪迹较轻的图像啪1 。 3 3 3 双能量扫描 物质的吸收谱取决于它的原子结构。对于达到诊断能量水平的x 射线，衰减由下列 两个过程之一引起：光电吸收和康普顿散射。这些过程与能量的关系是己知的。 此时，线性衰减系数可被分离成随空间变化的分量和随能量变化的分量幽1 ： 从五d = 口，( x ) ( ，) + a c ( x ) f r m ( e ) ( 3 9 ) 式中，a p ( x ) 是一个与光电吸收有关的系数，由下式给出： 口，( 力= k 军掣 ( 3 1 0 ) 其中z ；，4 和局( x ) 分别是吸收体内第i 类原子的原子序数，原子量及密度分布。a c ( 曲 是与康普顿散射有关的系数，由下式给出： 吒( x ) - - 0 c 军孥( 功 ( 3 如( e ) 是k l e i n - n i s h n i a 函数： 厶( d = 1 i + e r 2 降等一丢螂+ 2 e ) + 西11 n ( 1 + 2 d 一丽l + 3 e ( 3 1 2 ) 这样可把线积分的一般表达式分解为两部分： f , u ( x , 毋a t = 古卜p ( 删+ 厶( e ) p 。( x ) d l ( 3 1 3 ) = 3 + 4 如( e ) ( 3 1 4 ) 其中 1 5 中北大学学位论文 彳p = p p ( 功刃，a c = 口。( x ) d t ( 3 1 5 ) 要找“励的重建，就是找口p ( x ) ) f i t a 。( 力。为此，需要就所有穿过物体的投影来计算a v 及如。对于每个投影需要两项信息，这些信息可在两种不同的能谱s ，( d 与s 2 ( 日下进 行测量而得到： = 广蹦句州一，一a , f 删) a e l = 广足( 句州一仫，一4 厶) 扭 ( 3 1 6 ) 可由这些积分方程解出a v 与如，只要雅可比行列式 j = ( 3 1 7 ) 不等于零即可。这个条件在实用上不难办到，墨( d 和s ：( 刃差异愈大，方程就愈能满 足求解条件。 上述方法的变型是将( 3 1 6 ) 的测量表达式展开成如下形式： 1 1 1 厶= + 6 1 4 + 6 2 4 + 岛彳；+ 钆彳+ 6 5 4 4 + b 6 a ；+ 岛4 l n 厶- c o + c i a p + c 2 4 + c 3 a ；+ c 4 a ；+ c 5 彳，4 + c 6 群+ c 7 彳 ( 3 1 8 ) 式中系数岛及q 1 3 f = 0 , 1 ，oo 9 7 ) 由源谱确定。给定测得数据厶及厶后，可从这些联立的三次 方程解出a ，及如嘲。 3 3 4 单能方法 目前的单能方法n 5 一1 中最常用的方法是“骨硬化和“水硬化 校正。单能法是 早期研究比较多的方法。单能法是假设了x 射线的衰减系数要么与水的衰减系数相同， 要么与骨的相同。在此假设的基础上先经过一次重建得到对应每一条投影线上的物质分 布情况，再对每一条射线进行处理获得处理后的投影数据，重建后得到校正后图像。下 面仅介绍一下“骨硬化校正方法剀： 假设扫描区域中仅含有骨( b o n e ) 和软组织( s o f tt i s s u e ) 。对于己知的x 射线源谱， 1 6 中北大学学位论文 构成被测物体的物质的线性衰减系数与x 射线穿过物体的长度之间的关系可以通过查表 得到。设有一条给定的与单色射线等价的能量为e 的射线束，每一个投影的校正项p 一 为： p 嘲= 弘b 两xb + 强r ( 一e )