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任意模糊子集上多值拓扑的邻域构造 摘要 本文试图在基于模糊子集的多值拓扑空间( 以下称之为广义多值拓扑空间， 其上的拓扑称为广义多值拓扑) 中研究拓扑的邻域构造及相关问题首先，在任 意固定的模糊子集上建立其子集之间的相对重于关系，它是刘应明院士原始重 于关系的推广形式；其次，基于新建立的相对重于关系，成功的引入了一般模糊 子集上广义多值拓扑的邻域构造：称之为广义多值重域系并证明了广义多值重 域系与相应的广义多值拓扑可以相互确定这种广义多值重域系的建立，不仅 有其合理性，同时也为以模糊子集为论域的广义多值拓扑空间的局部问题的研 究奠定了基础作为新建的广义多值重域系的进一步应用，以其为工具，研究了 广义多值拓扑空间的第一、第二可数性和分离性等有关结果进一步说明了新 建立的广义多值重域系是合理的最后，文中建立了广义多值拓扑空间的连通 性理论，对广义多值拓扑空间的连通性给出了程度描述 文章由五部分组成： 第一部分是前言作者介绍了拓扑空间中广义多值重域系的产生背景，格 值拓扑空间及其上的可数性，连通性的研究发展现状：给出本文主要的研究问 题 第二部分是预备本节引入了一些文中所用到的记号，对f u z z y 拓扑空间 和广义多值拓扑空间的一些基本知识进行了回顾 第三部分是关于广义多值拓扑空间中邻域构造及基的研究首先作者在任 意固定的模糊子集上建立其子集之间的相对重于关系其次，构造出了广义多值 拓扑空间的重域系，称之为广义多值重域系，并且证明了它与广义多值拓扑可以 相互确定最后，作者给出了广义多值拓扑空间中基的定义以及它的两个刻画 定理 第四部分是关于广义多值拓扑空间可数性的描述作者分别引入了广义多 值第一可数性，广义多值第二可数性以及广义多值可分性的概念并对广义多 值拓扑空间的第二可数性、第一可数性与可分性之间相互推理的关系给出了肯 任意模糊子集上多值拓扑的邻域构造 定性的描述 第五部分是关于广义多值拓扑空间中连通性的研究在这一部分里，作者给 出了广义多值拓扑空间连通性的两个定义：并证明他们之间的关系 关键词：多值拓扑：多值重域系；可数性；可分性；连通性 n e i g h b o r h o o ds t r u c t u r eo f ，一f u z z y7 r o p 0 1 0 9 yo n a n yf u z z ys u b s e t a b s t r a c t t h i sa r t i c l ea t t e m p t st os t u d yt h en e i g h b o r h o o ds t r u c t u r ea n di t sr e l a t e d q u e s t i o n si n ，f u z z yt o p 0 1 0 9 i c 以s p a c eo naf u z z ys u b s e t ( w ec 枷i tg e n e r a l ，- f u z z y t o p o l o 出c 缸s p a c e ，a n dt h et o p o l o g yo ni t i sc a u e dg e n e r 址l f u z z yt o p o l o g y ) f i r s t w ee s t a b l i s hal ( i n do fr e l a t i v e l yq u a s i c o i i l c i d e n tr e l a t i o n b e t w e e nt w o f u z z vs u b s e 七so fa 丘x e df u z z ys u b s e t ，i tc a nr e d u c e dt op r l m l t l v eq u a s 卜c o m c l d e n t r e l a t i o n0 fl i uy i n g m i n g ；n e 斌，b a s e do nt h i sn e wr e l a t i v e l yq u a s i c o i n c i d e n t r e l a t i o n ，w ei n t r o d u c et h en e i 曲b o r h o o ds t r u c t u r eo f ，一f u z z yt o p o l o g yo ng e n e r a l f u z z ys u b s e ts u c c e s s f l l l l y c a l l e dg e n e r a l ，一f u z z yq u a s i c o i n c i d e n tn e i 曲b o r h o o d s y s t e m a n dw e 丘n dt h a tg e n e r 出j f u z z vq u a s i c o i n c i d e n tn e 逗h b o r h o o ds y s t e m a 工l dg e n e r a l ，f u z z yt o p 0 1 0 9 yc a i lb eo b t a i n e do n e 丘o mt h eo t h e r t h ee s t a b - l i s h m e n to fg e n e r a l f u z z yq u a s i - c o i n c i d e n tn e i 曲b o r h o o ds v s t e m ，n o to n l yh a d i t sr a t i o n a l i t y b u ta l s ol a i dt h ef o u n d a t i o nf o rt h er e s e 缸c ho fl o c dq u e s t i o n so f l f u z z vt o p o l o 酉c a ls p 舵ew h i c ht a k et h ef u z z ys u b s e ta st h eu n i v e r s eo fd i s c o u r 争e a st h e 胁h e ra p p h c a t i o no fg e n e r a l ，f u z z yq u a s i c o i n c i d e n tn e i g h b o r h o o ds y s - t e m ，w es t u d yt h e 丘r s tc o u n t a b i l i 蚵，t h es e c o n dc o u n t a b i l i 乞ya n d t h es e p 缸a b i h 乞y i ng e n e r 2 l lj f i l z z yt o p 0 1 。g i c a ls p a c e a n do fc o u r s e ，t h er a t i o n 以i 锣0 fg e n e r a l ，一f u z z yq u a s i - c o i n c i d e n tn e i 曲b o r h o o ds y s t e m so ft h ep a p e ri ss u p p o r t e db yt h e r e s u l t so b t a i n e d f i n 8 l l l y ，r eg i v et h et h e o r yo fc o n n e c t e d n e s si ng e n e r a lj f l l z z y t o p 0 1 0 9 i c 2 l 1s p a c e ，a n di t sd e s c r i p t i o no fd e g r e e a tt h es 2 旺n et i m e ，w eg e1 t s e q u i v 出e n tc o n d i t i o nt o o t 1 l i sp a p e ri so r g a n i z e da sf 0 u a w s ： 。t h e 丘r s ts e c t i o ni sp r e f e t h ea u t h o ri n t r o d u c e sb a c k g r o u n da b o u tg e n e r - a 七i o no f ，f u z z yq u a s i c o i n c i d e n tn e i 曲b o r h o o ds ”t e m si nt o p o l o 甑s t a t u sa b o u t t h er e s e a r c ho f1 a t t i c e - v 出u e dt o p o l o g i c a ls p a c e sa n dg i v e st h em a i np r o b l e 1 st o b es o l v e di nt h i sp a p e r t h es e c o n ds e c t i o ni st h ep r e p a r a t i o n t h ea u t h o ri n t r o d u c e ss o m en o t a t i o n s x 任意模糊子集上多值拓扑的邻域构造 a n dr e v j e w ss o m ef u n d a m e n t a 】k 】0 w l e d g e g e n e r a l ，一f u z z yt o p o l o 酉c 出s p 2 u c e ss i m p l y a b o u t ，一f u z z yt o p 0 1 p 舒c 甜s p a c e ；s 锄d t h et h i r ds e c t i o ni st h er e s e a r c ha b o u t e i g h b o r h o o ds t r u c t u r ea 工1 db a s e o fg e n e r 越，一f u z z yt o p o i o g i c a ls p a c e t h ea u t h o ru s i n gt h er e d e ：f i n e dq u 幽 c o i n c i d e n tr e l a t i o n ，e s t a b h s h e sal 【i n d0 fg e n e r 2 l 1j - f u z z yq u a s i c o i n c i d e n tn e i 曲 b o r h o o ds y s t e mo na n yf u z z ys u b s e ta se 印e c t e d a n ds h o w st h a tag e n e r 缸 ，一f u z z yt o p o l o 影a n dag e n e r 越，一f u z z yq u a s i c o i n c i d e n tn e i 曲b o r h o o ds v s t e mo n a yf l l z z ys u b s e tc a nb ei n d u c e do n e 矗o mt h e0 t h e r a tt h ee n d0 fs e c t i o n3 ，o n ag i v e nf u z z ys u b s e t ，t h ea u t h o rg i v e st h ed e 丘n i t i o no f b a s eo fg e n e r a lj f u z z y t o p o i o g ya n de s t a b l i s h e si t st w oc h a l r a c t e r i s t i ct h e o r e 塔 t h ef o u r t hs e c t i o ni st h er e s e a r c ha b o u tg e n e r a l ，- f u z z yc o u n t a b i l i 七yo fg e n e r a l ，一f u z z yt o p o l o 舀c a ls p a c e t h ea u t h o ri n t r o d u c e st h ec o n c e p t so fg e n e r a 1 j f u z z yf i r s tc o u n t a b i l i 溉g e n e r a lj f u z z y8 e c o n dc o u n t a b i l i 妣g e n e r 2 l 1j f u z z y s e p 缸a b i h t y a n dg i v e nt h e 施r m a t i v ed e s c r i p t i o n t h em _ u t u a u yi n f e r r 醯r e - l a t i o n so fg e n e r a l ，一f u 2 z y 丘r s tc o u n t a b i l i 瓴g e n e r a l ，一f u z z ys e c o n dc o u n t a b i l i t y a n dg e n e r a l ，一f u z z ys e p a r a b i l i t yi ng e n e r a l ，一f u z z yt o p o l o 舀c 2 l ls p a ce t h e 矗触s e c t i o ni st h er e s e a r c ha b o u tt h ec o n n e c t e d n e s si ng e n e r 出，f u z z y t o p o l o g i c a ls p a c e i nt h i ss e c t i o n ，t h ea u t h o rg i v e 8t w od e 五n i t i o n so fc o n n e c t e d n e s si ng e n e r a l ，一f u z z yt o p o l o g i c 出s p a c e ，a n ds h o wt h er e l a t i o no ft h e m k e y w o r d s ：，一f u z z yt o p o l o g y ； ，- f u z z yq u a s i c o i n c i d e n tn e i g h b o 卜 h o o ds y s t e m ；c o u n t a b i l i t y ；s e p a r a b i l i t y ；c o n n e c 七e d n e s s 弛 前言 0 1 格值拓扑的发展 格值拓扑一般包括l 拓扑学，f u z z m n g 拓扑学及f u z z y 拓扑学等，以研究 拓扑对象的不确定性为本质三一拓扑学作为格值拓扑早期的理论成果源于1 9 6 8 年c l c h a n g 的历史性论文f 1 1 紧接着，国外学者h 强l e f 2 1 在1 9 8 0 年，k u b i a k 及s o s t a l l c 3 】在1 9 8 5 年从不同角度但都基于拓扑概念多值化的考虑分别独立地提 出了l f u z z y 拓扑空间的概念为了不引起混淆，我们把c l c h a n g 提出的拓扑 称为l 一拓扑，并且我们知道以上提到的l 拓扑和l f u z z y 拓扑都是建立在经典子 集上的，或者等价地说，都是以它们的特征函数作为支集的 在模糊子集上考虑z y 拓扑或者l f u z z v 拓扑是一个非常有趣的问题 1 9 8 0 年，e r c e g l 4 】最早提出了模糊子集上l 拓扑这一术语，并且被r o d a b a u 曲应 用在文献 5 中分离公理的研究中在文献 6 中，j 苞g e r 在模糊子集上建立了满层 的三一拓扑结构，并且证明了在此拓扑结构上紧性和连通性是一种绝对性质与 此同时，在 7 - 1 0 1 中分别介绍了模糊子集上许多更为一般的模糊拓扑值得一提 的是，c g u i d o 意义下，f u z z y 拓扑f 1 0 1 ( 这里，是实数单位区间) 不是满层的最 后：他评价说“因为支集和空间上的拓扑都是模糊子集，我们确实可以说这种拓 扑空间才真正是模糊子集上的模糊拓扑空间 0 2 问题提出 在分明拓扑学中，邻域工具是最常用的即使是从开集族入手来建立拓扑 也还是要引出邻域这个概念，并用它来刻画许多其它的基本概念这样做的原 因在于邻域方法是古典分析中传统方法的自然推广，符合于人们长期以来的使 用习惯而更重要的原因应当归于由邻域概念引出的几个基本概念之间的和谐 与统一在l 拓扑学发展的初期，很多学者认为l 拓扑学就是一般拓扑学简单的 推广但是，很快人们就发现拓扑学要比一般拓扑学复杂的多邻域工具在拓 扑学中用起来已经不像它在分明拓扑学中那样得心应手了当然，模仿的引进 邻域概念是可以的，用它来定义内点和内部，定义某种形式的覆盖以及描述分 任意模糊子集上多值拓扑的邻域构造 离性等可能会有一定的作用：但如果用它来刻画触点，闭包与收敛等概念，则会 引出许多病态的结果，这一点早在文 1 1 1 中就有所发现正是针对于此，1 9 7 7 年， 蒲葆明与刘应明在分析了c k w o n g 【1 1 】的模糊点及邻域系思想的弊病后，引 入了重要的重域概念，使得开集，重域，触点，收敛，闭包等概念又得到了和谐 与统一关于重域在f u z z y 拓扑学中的地位，刘应明又从建立f u z z y 邻域构造应 该遵循的几个原则的角度给予了肯定最近，方进明f 1 2 1 又在厶f u z z y 拓扑空间中 提出了多值重域系的定义，并且证明了它可以与j r f u z z v 拓扑相互确定 最后值得指出，史福贵 1 3 】利用邻域工具建立了网的o 一收敛理论这从另外 一个角度恢复了邻域工具的作用 可数性是拓扑学中一个基本的概念，它来源于对拓扑空间本身的更深人 的研究，它包括第一可数性，第二可数性，可分性和l i n d e l 6 f 性在一般拓扑学 中，我们都知道第二可数性意味着其它可数性随着l 拓扑学的发展! 许多学 者在l 拓扑中研究可数性：并且做了大量的工作王国俊在f 1 3 1 中利用远域工 具研究l 一拓扑学中的可数性，提出了厶拓扑学中的第一可数空间、第二可数 空间、可分空间和l i n d e l 6 f 空间的概念，同时，也证明了第二可数空间蕴含第 一可数空间、可分空间和三i n d e l 6 f 空间，并指出第一可数空间是f r e c h e t 空间，又 是序列式空间1 9 9 5 年，s r t k u d r i 在 1 5 1 中研究了l 拓扑的可数性问题，提 出了厶f u z z y 可数性、序列紧、三i n d e l c 5 f | 生等一系列定义，这里的是f u z z y 格 后来，李清华与方进明f 1 6 1 给出了f u z z y 拓扑空间中的若干可数性的定义，包 括，f u z z y 第一可数性，j f u z z y 第二可数性，一f u z z y 可分性，f u z z y i n d e l c j 牲， 研究了它们之间的关系，并在第一可数的，f u z z y 拓扑空间中用多值序列的收敛 对映射的连续性进行了等价刻画得到了重要的，f u z z yl i n d e l c 5 f 定理，最后，还 对第一可数的，f u z z y 拓扑空间的可乘性进行了讨论与此同时，连通性作为拓 扑空间中的一个重要性质，许多学者也分别在三一拓扑中从不同的角度去研究 它1 9 8 8 年王国俊 1 3 在l 拓扑空间中给出了连通性理论，并且证明了刻划连通 性的樊畿定理1 9 9 8 年j 趄e r 6 1 在其所建立的模糊子集上的拓扑空间中从取值 到两点离散拓扑空间的连续函数为常值函数这一角度出发给出了连通的定义， 并且证明了在此拓扑空间上连通性是一种绝对性质在，一f u z z v 拓扑学中，首先 应明生【1 7 1 从集之间分离的角度出发给出了连通度的定义随后，2 0 0 4 年，方进 明 1 8 】在，一f u z z y 拓扑学中利用樊畿定理给出了连通度的定义：并且证明了它与 任意模糊子集上多值拓扑的邻域构造 应明生 1 7 】给出的连通度等价紧接着，岳跃利 1 9 】在l f u z z y 拓扑学中分别利 用集之间的分离和樊畿定理给出了连通度的定义并对它们做出了合理性解释 o 3 主要研究内容 本文主要解决c g u i d o 提出的广义多值拓扑空间中的邻域构造及其相关问 题首先我们在任意固定的模糊子集上建立其子集之间的相对重于关系其次， 利用这种相对重于关系，我们在广义多值拓扑空间中建立了广义多值重域系， 并且证明了此广义多值重域系可以与相应的广义多值拓扑相互确定，从而也说 明了我们所建立的重域系是文献f 1 2 1 和文献f 2 0 1 的一种好的推广紧接着，作为 广义多值重域系的进一步应用，我们研究了广义多值拓扑空间的第一、第二可 数性和可分性等有关结果进一步说明了新建立的广义多值重域系是合理的 最后，文中建立了广义多值拓扑空间的连通性理论，对广义多值拓扑空间的连通 性理论给出了程度描述这为广义多值拓扑空间的更深入的研究提供了有用的 理论依据，丰富了广义多值拓扑的内容 独创声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含未获得 或其他教育机构的学位或证书使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所 做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：郭盘舻字日期：瑚。7 年上月舻日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，有权保留 并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。 本人授权学校可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可 以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。同时授权中国科学 技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并通过网络 向社会公众提供信息服务。( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：薨远蝗 导师签字： 签字日期：硝年j 月谚日 叼年r 月力j 日 i 第1 章预备知识 在研究广义多值拓扑空间中的邻域构造之前，我们有必要介绍文中所用到 的记号和符号表示，并且对有关l f u z z y 拓扑空间，广义多值拓扑空间，j 耗e r 型 拓扑空间的一些基本知识作一简单回顾 1 1一般记号 在本文中，我们令，= 0 ，1 1 ，即实数单位区间，它是本文涉及到的主要 逻辑值格论域x 上的模糊子集全体记作p ，即p = a ：a 是x 到，的映射 p 上的模糊子集记为4 ，b ，g p 对于常值函数a ：x - 呻，( 其中任 意z x ，入( z ) = 入) 和数入，我们不加以区分任意的模糊子集a p ，我们 记厅( a ) ：= b p ：b a ) 任意的男及( a ) ，b 关于a 的伪补( a b ，定义 为任意的。x ：( a b ( z ) ：= a ( z ) 一b ( z ) 6 】记s m 印( a ) = z x ：a ( z ) o ， 模糊子集a 上的全体模糊点记为彤( a ) 这里模糊点z a p z ( a ) ( 等价于，z a a ) 是某模糊子集b 厅( a ) ，其意义如下： x ，b c y ，= l ，记为z a 香a ；我们称在z 点a 重于b 或者a 与b 在z 点是相重的当且仅当a ( z ) + b ( z ) 1 ，记为a 百b ；若存在z x 使 得a ( z ) + b ( z ) 1 ，则称a 重于b 或者a 与b 是相重的，记为a 香b 用，4 表示“不 相重”或者“不重于” 口 方进明在文献 1 2 和 2 6 中给出了多值重域系的公理体系，它为我们研究，一 f u z z y 拓扑空间提供了有利的工具 定义1 2 7 ( 方进州1 2 ，2 6 ) 论域x 上的多值重域系是集合q = q 工。：z 钟( 1 x ) ，其中映射乳、：p _ ，满足如下公理： ( i f q l ) q 、( 1 x ) = l ，q 。( o x ) = o ； ( i f q 2 ) q z 。( u ) o = 争o a 香v ； ( i f q 3 ) q 。( u 八y ) = q 正。( 矿) q z 。( y ) ； ( i f q 4 ) q z 。( u ) = v t 。u 八札q 札( y ) 口 设t ：，誓_ ，是集合x 上的j f u z z y 拓扑任意的z a 砧( 1 x ) ，u p ，令 于是我们有 q 夏c 矿，= v 茜4 y u 丁( y ) z a 辱阢 z a ，4 矿 定理1 2 8 ( 方进明 1 2 ，2 6 】) 集合q t = q 炙：z a 钟( 1 x ) ) 是x 上的多值重域 系，称为由t 诱导的多值重域系 由定义1 2 1 和定义1 2 3 ，我们可以知道满层的，f u z z y 拓扑空间是本文中 的广义多值拓扑空间的特例为了方便研究广义多值拓扑空间的邻域构造及其 性质，下面我们列出，f u z z y 拓扑空间中一些已知的定义及引理 4 任意模糊子集上多值拓扑的邻域构造 定义1 2 9 ( 方进明和岳跃利【2 7 】) 设丁为集合x 上的j - f u z z y 拓扑映射召：j x - j 满足召t ( 序取点态意义) ，并且 v 矿，x ，z a ( 1 x ) ，q 炙( u ) v召( y ) ， z 4 y s c ， 则称召是丁的基，我们简记为召qt 口 定义1 2 1 0 ( 应明生 17 】) 设a p 如果a 的支集s 聊( a ) = z x ：a ( z ) o 】 是可数的，则称a 是可数的，记为c ( a ) 映射f c ；p 一，定义为 w ，x ，f c ( a ) = 1 一入vi a ( z ) 一b ( z ) j ， b ，x ，e ( b ) z x 则称f c 为l f u z z y 可数性 口 定义1 2 1 1 ( 李清华和方进明【1 6 ) 设( x ，丁) q 定义映射g j ：q j 使得 v ( x ，丁) q ，研，( x ，t ) = vf c ( 召) ， 召+ t 则称研，为j f u z z y 第二可数性：其中对( x ，t ) q ，g ，( x ，丁) 表示( x ，t ) 是第 二可数，- f u z z y 拓扑空间的程度若研f ( x ，t ) = 1 ，则称( x ，t ) 为第二可数的，- f u z z y 拓扑空间 口 定义1 2 1 2 ( 李清华和方进明 1 6 】) 设( x ，t ) q ：q 丁= q 炙：z a 皿( 1 x ) 是( x ，t ) 上的j f u z z y 重域系定义玩。：p _ ，使得玩。sq 乏且满足 w ，x ，q 乏( a ) v 统。( b ) ， b s a 则称磁。是z a 处的j f u z z y 局部基，记为玩。qq 羡 口 定义1 2 1 3 ( 李清华和方进明 1 6 1 ) 设( x ，丁) q 映射口：q _ ，定义为 v ( x ，t ) q ，c ，( x ，t ) = 八v f c ( 玩。) ， 王 p t ( 1 x ) 如 一q 5 任意模糊子集上多值拓扑的邻域构造 则称q 为，一f u z z y 第一可数性，其中对任意( x ，t ) q ：o ( x ，丁) 表示( x ，t ) 是第 一可数的，f u z z y 拓扑空间的程度若o ( x ，t ) = 1 ：称( x ，t ) 为第一可数的， f u z z y 拓扑空间 口 引理1 2 1 4 设b 厅( a ) ，我们有 f c ( b ) = 1 一饥， q ，a o ，1 】：c ( b a ) ) = 1 一i 佗， a ，q o ，1 】：c ( b 【a 1 ) ) ， 这里b a = _ z x ：b ( z ) q ，b = ( z x ：b ( z ) 口 证明此引理是 1 7 】中引理3 1 的等价形式口 引理1 2 1 5 设b ，c 厅( a ) 并且b c ，我们有f c ( c ) f c ( b ) 证明此引理是 1 7 j 中引理3 4 的等价形式口 作为本章的结束，为方便读者，最后我们给出连通性的一些研究结果 定义1 2 1 6 ( 应明生e l7 】) 设( x ，丁) 为f u z z i 蛳n g 拓扑空间定义映射s ：2 x 2 x i 炎 v 4 ，口2 x 2 x ， s ( a ，b ) = 八( 1 一a ( z ) ) 八( 1 一雪( z ) ) ， x ao b 则称s 为( x ，f ) 上的分离度函数，s ( a ，b ) 表示a ，b 构成分离的程度，其中a ，雪分 别代表ab 在x 中的闭包口 定义1 2 1 7 ( 应明生【17 】) 设人为f u z z i 舭n g 拓扑空间的全体定义映射，：人一j 为 v ( x ，丁) a ，j r ( x ，1 ) = 八 1 一s ( a ，x a ) ， a 2 x 一 0 ，x ) 则称，为f u z z i 研n g 拓扑空间上的连通度函数，( x ，丁) 表示f u z z i 驰g 拓扑空 间( x ，丁) 连通的程度口 6 一任意模糊子集上多值拓扑的邻域构造 _ 二= = 二二二i 二二二二二二= 一 定义1 2 1 8 ( 方进明 1 剐) 设( x ，丁) a 映射p ：x x _ ，定义为对任意 的( z ：可) x x ， 以础卜，金x 蛐o 1 卅“门+ 嚣6 全吲钳】) ，2 x xt z t - 卜；兰1 t = l 则称尸为点态连通度函数，其中p ( z ，y ) 为点z ，可关于r 连通的程度这里 a ( z ) ，记为b 亘c ；若存在z x 使得b ( z ) + c ( z ) a ( z ) ，则称b 相对a 重于c 或 者b 与c 相对a 是相重的，表示为b 盆c 用，香表示“不重于”或者“不相重口 注2 1 2 如果模糊子集a = l x ，这时任意两个模糊子集b ，c 厅( 1 x ) ，在定 义1 2 6 意义下b 重于c 当且仅当b 相对1 x 重于c 因此，在下文中，我们说一 个模糊子集重于另一个模糊子集都是指定义2 1 1 中的相对重于关系口 为研究方便，下面我们列举出了相对重于关系的一些基本性质 命题2 1 3 设a p ，拟讲( a ) 我们有下列结论， ( 1 ) 任意b ，c 尺( a ) 并且b c ，如果z a 盆b ，则孤孕c ； ( 2 ) 任意b ，c 厅( a ) ，瓢香b 并且z a 口c 当且仅当纵口( b 八c ) ； 任意模糊子集上多值拓扑的邻域构造 ( 3 ) 如果 如：歹j ) 厅( a ) 并且z a 香( ，如) ，则存在如j ，使得z a 香如 证明( 1 ) 易证于( 2 ) 充分性由( 1 ) 显然，必要性由z a 口b 并且z a 香c 可知，入+ b ( z ) a ( z ) 且入+ c ( z ) a ( z ) ，则b ( z ) a ( z ) 一a ，c ( z ) a ( z ) 一a 进而( b 八c ) ( z ) = b ( z ) c ( z ) a ( z ) 一入，即入十( b c ) ( z ) a ( z ) ，所以z a 香( b 八c ) ( 3 ) 因为瓢香( ja ) ，所以a + v j ，如( z ) a ( z ) ，故v j ，鸟( z ) a ( z ) 一a ，进 而存在如z 使得如( z ) 4 ( z ) 一a ，所以a + 如( z ) a ( z ) ，即以香如 口 基于以上的准备，下面我们建立任意模糊子集上的邻域构造，并且研究它 与广义多值拓扑的关系 定义2 1 4 模糊子集a 上的广义多值重域系( 简言之，g ，f q n ) 是一个集合= 虬。：z a ( a ) 】，其中映射虬。：民( a ) _ j 满足对任意b ，c 厅( a ) ， ( g ，- f q l ) 当q o ，1 并且q o 兮z a 香b ； ( g ，一f q 3 ) 虬。( b c ) = 虬。( b ) 虬。( c ) ； ( g j - f q 4 ) d k ( b ) = v z 。筘b 八掣。筘j ( c ) 口 注2 1 5 对任意的z 讲( a ) ，b 及( a ) ，虬。( b ) 解释为b 为。 的广义多值重 域系的程度口 注2 1 6 ( 1 ) 当a = 矗( 1 x ) 时，广义多值重域系可退化成方进明的多值重域 系 1 2 】 ( 2 ) 如果虬。是一个从1 x 到2 ( = o ，1 】，) 的映射，并且满足( g ，- f q l ) 一( g ，一 f q 4 ) ，则g f 姐退化成蒲葆明和刘应明 2 0 的重域系口 我们知道在( 1 2 中- f u z z y 拓扑和多值重域系是可以相互确定的，那么，在本 文的广义多值拓扑空间中，广义多值拓扑和广义多值重域系是否也具有类似的 性质呢? 下面的定理2 1 7 和定理2 1 8 回答了这个问题 1 0 任意模糊子集上多值拓扑的邻域构造 设( a ，丁) 对任意的瓢彤( a ) ，b 厅( a ) ，我们令 础) = 唧7 ) z 入辱b ， z a 1 香b 则r = 吆：z a 彤( a ) 】恰为a 上的广义多值重域系( 见下面定理2 1 7 ) ，本 文称之为由丁诱导的a 上的广义多值重域系 定理2 1 7 7 = 吆：z 入彤( a ) 为a 上的广义多值重域系 证明由定义2 1 4 ，我们需要证明7 i 满足( g ，- f q l ) 一( g ，- f q 4 ) 这四个条件即 可 ( g ，一f q l ) ：设z a 彤( a ) ，满足任意的q o ，l 】，口 a ( z ) a 我们有z a 香( ( a ( a a ) ) 于是 幺( ( a ( a 口) ) =v 7 - ( c ) 7 - ( ( a ( a 人q ) ) = 1 ， 也就是说，当q o ，1 】并且q a ( z ) a 时，吆( ( a ( a 八仅) ) = 1 ( g ，一f q 2 ) ：由f 的定义显然 ( g ，一f q 3 ) ：由f 的定义，对任意的b ，g 氏( a ) ，b c 兮吆( b ) 吆( e ) 成立因此：易证 幺( b c ) s 袅( b ) 玉( g ) 下面我们证明相反的不等式，不妨设p 吆( 口) 吆( c ) ，这里p o ，1 ) 则p 妮、( b ) 并且弘 吆( c ) 因此，存在y 使得。a 口矿b ，弘 丁( u ) 并 且。a 毒y e 弘 丁( y ) 进而：由( g 二f 0 2 ) 推得， 芦所以由p 的 任意性，我们可得 羡( b 八c ) 吆( b ) 幺( c ) 综合上面两个方面可得， 吆( b c ) = 吆( b ) 五( c ) 1 1 任意模糊子集上多值拓扑的邻域构造 ( g ，一f q 4 ) ：任取c ，( a ) 满足z 入昏c 冬b ，我们有 因此， 7 - ( c ) 入吆( c ) 吆( c ) 夏( b ) 札4 e v 羡( b ) = vr ( c ) v五( c ) i ( b ) z 口e s b 口c s bj “4 c 玑吆( b ) = v z 。4 c b 八分。筘吆( c ) 综上所述，r 是a 上的广义多值重域系口 定理2 1 7 说明了对于g j f t s ( a ，丁) 而言，我们总可以得到一个g ，f 啦 r = 吆：z a 讲( a ) ) 下面我们考虑相反的方面设= 虬。：z a 彤( a ) ) 是a 上的g ，f 砸则有下列定理 定理2 1 8 对任意的b 及( a ) ，我们定义7 - ( b ) = 八z 。徊虬。( b ) ，则丁： 及( a ) 一j 是a 上的广义多值拓扑 证明我们验证丁：只( a ) _ j 是广义多值拓扑如下： ( g ，f 0 1 ) ：对任意的z a 彤( 4 ) 满足z 入圣( ( a ( a 0 f ) ) 时，我们有q a ( z ) 八入又 由( g ，一f q l ) 可得，札。( ( a ( a 八q ) ) = 1 所以， ( ( a ( a 八0 f ) ) = 帆。( ( a ( a 八0 f ) ) = 1 这就证明了( g ，一f 0 1 ) ( g ，一f 0 2 ) ：对任意的b ，c 及( a ) ， 丁( b c ) 叠 入 霉 辱( b c ) 虬。( b c ) = 入 虬。( b ) 入 虬。( c ) 2 4 ( b c )卫 4 ( b c ) 入帆。( b ) 八入札。( c ) z 4 b o 口c = 丁( b ) 八丁( c ) 1 2 任意模糊子集上多值拓扑的邻域构造 ( g ，一f 0 3 ) ：对任意的 岛：歹j ) 厅( a ) ，由推论2 1 3 ( 3 ) ，我们有， 一( v 岛) =亿。( v 马) = 入虬。( v 岛) j j z 、4 j jb 如 j j j jz x 日b j j j 八入也。( 马) = 一( 岛) 口 j jt 、4 b jj j 注2 1 9 定理2 1 8 说明了任意模糊子集a 上任意的广义多值重域系可以确定一 个广义多值拓扑综合定理2 1 7 ，我们可以知道任意模糊子集a 上的广义多值拓 扑和广义多值重域系是可以相互确定的从而也充分说明了定义2 1 4 的合理 性口 2 2拓扑基 这一节我们给出广义多值拓扑空间中基的定义，以及它的两个刻画定理 旨在为后续内容中研究此类拓扑空间的其他性质打下基础 定义2 2 1 设( a ，丁) 为广义多值拓扑空间，召7 - 如果映射8 ：厅( a ) 一，满足 v b 厅( a ) ，z a p t ( a ) ，羡( b ) v召( c ) ， ， z 、矗c s b 则称召为7 的基，我们简记为召q7 - 口 下面，我们给出广义多值拓扑空间中基的两个刻画定理 定理2 2 2 设( a ，7 - ) 是广义多值拓扑空间，召：厅( a ) 一，为一个映射并 且召丁则召是a 上7 的基当且仅当丁= ，这里是查德型并扩张，也就是说， 对任意的b 及( 4 ) ， 1 3 g斟 八 b = v 局 也 = o o 任意模糊子集上多值拓扑的邻域构造 证明必要性：假设b 是( a ，丁) 中7 - 的基我们需要证明对任意的b 矗( a ) ， 丁( b ) = v召(