（微电子学与固体电子学专业论文）多变量工序能力指数评价模型研究与应用.pdf

摘要 摘要 随着i c 工艺设计水平的提高，目前对单个工艺参数进行工序能力评价已不能 满足实际工艺生产的要求，必须考虑多个工艺参数共同对产品质量整体的作用。 为此目的，多变量工序能力指数的应用被提上日程。本文首先介绍了目前国际上 现有的基于工艺规范的多变量工序能力指数定义并对其优缺点作了分析和研究。 然后提出了基于成品率的多变量工序能力指数模型，并且根据概率乘法定理，利用 以条件数学期望和方差为参数的一维正态分布近似代替原来的条件分布，从而得 出计算二维标准正态分布函数值的近似公式。通过数值积分结果比较表明，近似公 式计算简单，应用方便，精度较好。从而保证了基于成品率的多变量工序能力指数 模型的可行性与精确度。在对二维正态分布的点估计研究基础之上，介绍了针对 该分布的优化拟合方法。其中介绍了样本数据的二维正态性检验方法及多维数据 经验分布函数的不同定义。最后，对基于主成分权重的多变量工序能力指数模型 作了改进，使之能够更为全面的表征工艺工序能力水平。同时提出了基于因子权 重的多变量工序能力指数模型。通过实例对比表明，基于工艺成品率的多变量工 序能力指数模型更为实用化。 关键词：工序能力指数；多变量：二维正态分布；成品率 a b s t r a c t a b s t r a c t w i t ht h er a p i dd e v e l o p m e n to fi cd e s i g nl e v e l ，u n i v a r i a t ep r o c e s sc a p a b i l i t yi n d e x p r e s e n t l ya d o p t e df o rs i n g l ep r o c e s sp a r a m e t e re v a l u a t i o nd o e sn o tm e e tp r a c t i c a l p r o d u c t i o nr e q u i r e m e n t i t i s n e c e s s a r yt o t a k ei n t oa c c o u n tf o rt h ee f f e c to f m u l t i - p a r a m e t e r su p o nw h o l ep r o c e s sq u a l i t y s om u l t i v a r i a t ec p ki sp u tf o r w a r d f i r s t l y , w cb r i e f l yd i s c u s sm u l t i v a r i a t ec p k b a s e do np r o c e s sr e g i o nw h i c hh a v eb e e n s t u d i e di n t e r n a t i o n a l l y , a n dc o m p a r em e i ra d v a n t a g e sa n dd i s a d v a n t a g e s s e c o n d l y , t h e m o d e lo fm u l t i v a r i a t ec p ki ss e tu po nt h eb a s i so fp r o c e s sy i e l d b a s e do n m u l t i p l i c a t i o nt h e o r e mo fp r o b a b i l i t y , a ne f f e c t i v ea p p r o x i m a t i o ni sp r e s e n t e dt ot h e b i v a r i a t en o r m a ld i s t r i b u t i o nw i t l ls u b s t i t u t i n gt h eo r i g i n a lc o n d i t i o n a ld i s t r i b u t i o nb y t h en o r m a ld i s t r i b u t i o no ft h es a m ee x p e c t a t i o na n dv a r i a n c e t h ec o m p a r a t i v es t u d i e s w i t ht h ee x a c ti n t e g r a t i o na n dt h ee x a m p l e sc o n s i d e r e di nt h ep a p e rs h o wt h a tt h e p r o p o s e da p p r o x i m a t i o no fc a l c u l a t i o nf o r m u l ai ss i m p l ea n dh a sag o o da c c u r a c y i n t h i sc o u r s e ，t h eo p t i m u mf i t t i n gm e t h o df o rb i v a r i a t en o r m a ld i s t r i b u t i o np a r a m e t e r si s i n t r o d u c e do nt h eb a s i so ft h er e s e a r c ho nt h ep o i n t se s t i m a t i o n m o r e o v e r , d i f f e r e n t d e f i n i t i o n so fe m p i r i c a ld i s t r i b u t i o nf u n c t i o nf o rt w od i m e n s i o ns a m p l ed a t aa r ep u t f o r w a r da n dt h en o r m a lt e s t i n gm e t h o df o rt h e mi sa l s oi n t r o d u c e d t h ew a yi st e s t i f i e d s u i t a b l eb ys i m u l a t i n gd a t ag e n e r a t e d i nt h ee n d ，d i f f e r e n tm o d e l so fm u l t i v a r i a t ec p k b a s e do nw e i g h ta r ed i s c u s s e d a tt h es a m et i m e ，w er e v i s et h em u l t i v a r i a t ec p km o d e l b a s e do i lp r i n c i p a lc o m p o n e n t s ，a n dp u tf o r w a r dt h em u l t i v a r i a t ec p km o d e lb a s e do n f a c t o rw e i g h t t h e na na p p l i c a t i o ne x a m p l ei sg i v e nt oi l l u s t r a t et h a tt h em u l t i v a r i a t e c p kb a s e do ny i e l di sam o r ep r a c t i c a lt e c h n i q u e k e y w o r d s ：p r o c e s sc a p a b i l i t yi n d e x ；m u l t i v a r i a t e ；b i v a r i a t en o r m a ld i s t r i b u t i o n ； y i e l d 西安电子科技大学 学位论文独创性( 或创新性) 声明 秉承学校严谨的学分和优良的科学道德，本人声明所呈交的论文是我个人在 导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标 注和致谢中所罗列的内容以外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成 果；也不包含为获得西安电子科技大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的 材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中做了明确的说 明并表示了谢意。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切的法律责任。 本人签名：日期z 丝! 签 西安电子科技大学 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西安电子科技大学有关保留和使用学位论文的规定，即：研究 生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属西安电子科技大学。学校有权保 留送交论文的复印件，允许查阅和借阅论文；学校可以公布论文的全部或部分内 容，可以允许采用影印、缩印或其它复制手段保存论文。同时本人保证，毕业后 结合学位论文研究课题再攥写的文章一律署名单位为西安电子科技大学。 ( 保密的论文在解密后遵守此规定) 本学位论文属于保密，在一年解密后适用本授权书。 本人签名： 导师签名： 日期型号l 隧 日期j 竺堡燮 砍一 、一褰 奄虫 第一章绪论 第一章绪论弟一早三百了匕 随着微电子技术的迅猛发展，集成电路的规模不断扩大，生产工艺越来越复 杂，基于i c 技术的各种新产品层出不穷，而且越来越呈现出高集成、高智能、高 技术综合化的新特点。从经济规模效益和全寿命周期费用成本出发，人们对产品 质量和可靠性的要求也不断提高；在经济行为中，大型整机生产厂家不但要求元 器件提供方的产品是来自统计受控状态下的工艺生产过程，而且还要求工艺线具 有很高的工序能力，以期保证整机的高可靠性和长寿命周期。 目前电子元器件生产的工艺不合格品率已降至p p m ( p a r t sp e rm i l l i o n ) 水平，一 般集成电路的失效率也将降至0 1 f i t 数量级，在这种情况下，评价元器件产品质量 和可靠性的传统方法或因失去效果或因成本太高已明显不能满足微电子行业的发 展。比如目前在国际上已达到几乎每一批产品都能通过批抽样检验的程度，这种 传统的“事后”批抽样检验方法已无法区分不同厂家、不同批次产品之间必然存在的 质量差别，其结果是生产厂家认为其产品质量已无懈可击，缺乏进一步提高产品 质量的动力，同时元器件使用单位也无法确定哪个厂家生产的产品质量更高。所 以整机厂家在批量采购元器件时，不再追求元器件失效率的具体数值，转而使用 工序能力评价技术对工艺设计水平进行评价，通过数据证明元器件产品是出自高 水平的工艺生产线，从而保证元器件具有很高的“内在质量”。 现代工艺线质量管理强调以预防为主，认为可靠性是靠设计、制造出来的， 可以通过对设计和工艺的评价来评价可靠性，要求“事先”控制工艺过程，做到在产 品质量形成的整个阶段，尽量少出现或不出现不合格品，为此需要研究如何使生 产过程具有保证不出现不合格产品的能力，以及如何准确有效的对其进行质量评 价，使工程人员尽早发现工艺过程中的异常情况，及时得到信息，查明原因，采 取措施，使保证不出现不合格产品的能力继续稳定保持下去，真正做到防患于未 然。其中的一个有效手段就是采用工序能力指数评价技术，视实际情况分别采用 单变量工序能力指数和多变量工序能力指数。 1 1 1 国内外研究现状 1 1 研究背景及选题 为了在制造过程中贯彻预防原则，贝尔实验室的沃尔特休哈特州a s h e 、) v h a r t ) 在2 0 世纪2 0 年代末创造了基于控制图的统计过程控制( s p c ) 理论，随着 2 一 多变量工序能力指数评价模型研究与应用 质量管理中统计理论应用的发展，朱兰博士在质量控制手册第三版中论述了 工序能力与产品公差的关系及工序能力指数的概念，并且定义工序能力指数为公 差范围与工序能力的比值。而且该指数在日本和美国的企业当中先后逐步加以应 用以进行工序能力分析。在拟订制造计划期间用以预测现有工序能否符合设计公 差的要求并且用于分析这一工序为什么不能符合规定的产品公差的要求。1 9 8 4 年 福特汽车公司的质量专家l p s u l l i v a n 在参观研究了日本企业的质量保证体系之 后，公开发表了关于工序能力指数作为减少工序质量波动的一种新方法在日本的 应用状况。并在随后的有关该文章答读者的一封信中提到了一系列工序能力指数： c p 、c 肚、cp l | 、c 。1 9 8 5 年，日本质量专家田口玄- - ( g e n i e h it a g u c h i ) 在美国国 家标准学会的年会上介绍了工序质量损失函数和基于质量损失的能力指数。1 9 8 6 年，福特汽车公司的质量经理v e k a n e 在公开发表的文献中系统地介绍了工序能 力指数c ，、c 砖、c 形、c ：并且指出指数c p 是一个无单位量纲的量，能够很好 的评价和分析工序能力的潜力，但是该指数不能很好的解决质量特性值的均值与 所期望的目标值之间不致的问题，因而不能很有效的进行工序能力分析；而指 数c 。的定义充分考虑了质量特性值的均值与所期望的目标值之间不一致的问题， 因此，在工序质量控制的实践当中更多地采用此指数进行工序能力分析【l - 9 。 从1 9 9 2 年至u 2 0 0 0 年的八年间，工序能力指数取得了飞速的发展。在这期间， 出版了四本英文著作( k o t z 和j o t m s o n ( 1 9 9 3 a ) ，b o t h e ( 1 9 9 7 ) ，k o t z 和 l o v e l a c e ( 1 9 9 8 ) ，w h e e l e r ( 1 9 9 9 ) ) t l o 1 3 1 和一本德文著作( r i n n e 和m i t t a g ( 1 9 9 9 ) ) t 1 4 1 ，并且 有1 7 0 多篇关于工序能力指数的论文发表，从理论数学期刊到实用的质量控制期 刊，他们涉及的领域非常广泛【l5 1 。 1 1 2 研究背景与选题 l 、工序能力指数的优点 在实际的生产过程中，人们已经越来越多地认识到研究和应用工序能力指数 的必要性，其使用的优点也得到很好的体现【1 每1 9 】： a 、能够合理、全面地反应系统因素、随机因素对工序能力的影响； b 、提高产品的合格率； c 、监控工序的生产过程，有助于查找影响产品质量波动的因素； d 、为推进连续质量改进、提高利润，提供科学的量化指标； e 、由于工序能力指数是无量纲的简单数，不仅对生产过程的状态提供了简洁 明了的指示，同时也方便操作员及时发现问题、解决问题，使生产处于较高的工 序能力状态，减少损耗，节省开支。 2 、工序能力指数评价技术所遇到的新问题 第一章绪论 随着工序能力指数的广泛使用和工序水平本身的提高，遇到了一些关键问题 直接关系到能否正确评价工艺水平： a 、工艺过程涉及多个工艺参数时，工艺产品的质量由这几个参数共同决定， 单一采用某个工艺参数来描述工艺过程质量水平时，往往会得出片面的结论。在 现实世界中，产品质量由多个特征参数决定的例子很多，这些特征参数描述产品 的质量特性、几何形状和产品设计等。比如，在微电路生产中的扩散再分布工序， 往往要采用氧化层厚度和方块电阻两个参数共同表征该工序的质量，有些工序可 能还会采用3 个甚至更多个参数共同表征该工序的质量，对每一个工艺参数均有相 应的规范要求。一件产品的设计制造在由许多相关的特征参数制约的情况下，产 品的性能不应当只由单个的特征参数来表示。又比如，汽车喷漆需要测量对光反 射力的大小和粘贴强度，只符合一项标准而不符合另一项标准的油漆并不满足质 量要求。因此，很自然的要综合考虑所有相关的质量特征参数。 微电路生产加工过程是多工序的工艺过程。特别是在超大规模集成电路的生 产中，工艺的加工过程整个工序已达到上百之多，生产过程中同道工序的工艺参 数之间存在相关关系，进行工序能力分析时，常需要表征或评价基于一个以上工 程规范或质量特征参数的工序( 或产品) ，在此情况下，目前用于评价元器件产 品质量的单变量p c i ( p r o c e s sc a p a b i l i t yi n d e x ) 已不能全面反映一道工序的能力水 平，为解决这个问题需要提出新的思路和解决方案。多个工艺参数共同对工艺产 品质量起决定作用时，产品的质量就要用多个质量特性的联合结果来描述。多变 量问题由于涉及到多个变量，它们对最终的工艺参数都有影响，要区分是那个变 量或那些变量之间的相互影响导致工艺水平低下，从而采取正确的调整措施，是 一个比较复杂的问题。如果分别考察各质量特性的工序能力，必然忽视诸质量特 性可能存在的相关性，丢失信息太多，就应当采用多变量统计技术来进行多变量 工序能力分析。此外由于用户对元器件可靠性的要求越来越高，生产厂家为了降 低成本、提高元器件产品的成品率和可靠性，仅仅对关键工艺过程节点的单个工 艺参数作定量分析就来评价该道工序的能力水平具有片面性。多变量p c i 技术应用 显示出它的优越性，但是由于多变量p c i 技术尚处于发展阶段，技术还不太成熟， 应用也不太广泛，许多生产厂家对工艺线的操作仍停留在依赖经验和人工判断的 水平，缺乏对生产过程的定量分析，所以国内外的质量控制专家们正在积极研究 多变量p c i 技术。近年来，随着我国微电子产业的发展，我国微电子产业已经与国 际接轨，参与国际竞争与合作，为提高我国微电子产品在国际市场上的竞争力， 改变我国微电路生产线落后的局面，采用先进的微电路生产和管理系统，势在必 行。 可见评价的变量已经从一个变量扩展到多个变量的情形，这种情况下，无法 使用已有单变量工序能力指数进行评价，需要提出新的思路或模型。这时就要考 4 一 多变量工序能力指数评价模型研究与应用 虑多变量情况下的工序能力指数计算问题。 多变量p c 臌术和可靠性评价新方法的应用对于保证元器件产品的质量、提高 产品的成品率和可靠性有着极为广泛的意义，我们国家已经加入w t o ，元器件生 产厂家为了生存和发展，必须参与国际市场的竞争，为此目的，元器件产品质量 的评价技术要采用更准确的评价标准，从而能够与国际同行竞争。在此背景下， 多变量p c i 技术的研究与应用就具有非常重大的现实意义。 目前，多变量工序能力指数的研究是一个热点。学者们做了大量的研究工作， 提出了不同的模型与算法：如c h a r tc ta l e 2 0 】考虑数据的目标值建立多变量工序能力 指数模型；p e a r nc ta l t 2 1 1 的多变量工序能力指数模型；w i e r d a l 2 2 】从不合格品率角度 建立的多变量工序能力指数模型；c h e r t 2 3 】以区域的比值建立的多变量工序能力指 数模型；t a a me ta l t 2 4 1 提出修正区域比值多变量工序能力指数模型，s h a h r i a r ie ta l t 2 5 】 则引入了多变量能力矢量；v e e v e r s 2 6 】和w a n g 和h u b e l e 2 7 】引入几何距离的概念； w a n g f f l d u t 2 引使用数理统计中的主成分分析方法；y e h 和c h e r t 2 9 1 建立非参数多变量 工序能力指数模型等等，这些模型要么需要数据满足正态假设，要么无法实现高 维计算，要么原理晦涩难以应用到实际中【3 0 】。目前还没有形成完善的模型与算法 可以应用到实际中，本论文则结合实际应用，对多变量工序能力指数模型与算法 做了进一步的研究工作。 b 、在现代先进工序水平特别是p p m ( p a r t sp e rm i l l i o n ) 水平下，对各种工序能 力指数的进一步分析，包括单变量工序能力指数和多变量工序能力指数分析，都 面临正态分布函数计算的精度问题，函数运算结果的精度直接关系到单道工序的 工艺成品率的精确范围，目前所提供查询的函数值不能满足要求，因而需要建立 新的准确的高精度计算函数值。 以上提到的两个方面是随着技术的进一步发展，在使用工序能力指数实际中 遇到的问题，因常被大家所忽视，鲜有相关的文献发表。本论文对这两个问题做 了相关的研究并得出结论。 1 2 本论文主要研究工作 1 、基于工艺规范的多变量工序能力指数模型 本论文介绍了目前国际上已有的基于工艺规范区域的多变量工序能力指数模 型，通过实例对它们的不足之处进行了说明。 2 、基于成品率的多变量工序能力指数模型与算法研究 多变量工序能力指数模型与算法的研究目前是质量控制与评价领域的一个研 究热点。本论文在c h e r tk s e ta 1 ( 2 0 0 3 ) t 3 1 和c h a om t e ta 1 ( 2 0 0 5 ) 3 2 研究理论的基 础上，改变单变量工序能力指数表达式，建立了基于成品率的多变量工序能力指 第一章绪论 数计算模型。该模型不要求工序的单个质量特性数据分布必须满足正态分布，并 在一定程度上简化了计算过程，其理论基础对应用人员更容易理解。 3 、二维正态分布的高精度近似计算 分布函数值计算结果( 成品率) 的精度直接关系到基于成品率的多变量工序 能力指数的计算精度，但它的计算一般涉及数值积分，工程不便应用。本文根据概 率乘法定理，利用以条件数学期望和方差为参数的一维正态分布近似代替原来的 条件分布，从而得出计算二维标准正态分布函数值的近似公式。通过数值积分结果 比较表明，近似公式计算简单，应用方便，精度较好。 4 、基于权重系数的多变量工序能力指数模型与算法研究 对现有的基于权重的多变量工序能力指数模型做了一些探讨和改进。其中对 于基于主成分权重的多变量工序能力指数模型进行了扩展，将原来选取部分主成 分的方法改进为考虑所有主成分，使得模型更为全面和可取；并在此基础上提出 了基于因子权重的多变量工序能力指数模型。 第二章工序能力指数 第二章工序能力指数 7 一 工序能力指数因其能够对生产过程的工序能力给出简洁直观的信息，所以在 工业生产中沿用了许多年。但在超大规模集成电路高速发展的今天，微电路生产 中加工单道工序的工艺不合格品率已达到p p m 水平，如何用工序能力指数准确全 面的反映工序的生产能力，就对工序能力指数的计算方法和应用提出了新的要求。 在多变量情形下，工艺整体质量水平与每个工艺参数的工序能力指数大小存在密 切关系，因此在本章中，我们先介绍一些常用的单变量工序能力指数概念，然后 在此基础上引出国际上已存在的基于工艺规范的多变量工序能力指数模型，并通 过实例对其在应用中存在的问题作了总结。 2 1 单变量工序能力指数概述 对于稳定受控的工艺，由于不可避免地存在各种随机因素的作用，工艺参数 总呈现一定的分散性。一般情况下，工艺参数遵循正态分布( ，仃2 ) ，其中为均 值，o 为标准偏差。仃的大小反映了参数的分散程度。仃越小，工艺参数的均匀 程度越高，也就是说，包括原材料、设备、工艺技术、操作方法等因素在内的该 工序的工艺参数在集中性方面综合表现好。对正态分布，绝大部分参数值集中在 士3 仃范围内，其比例为9 9 7 3 。这就是说，士3 t 3 r 一方面代表了工艺参数的正常波 动范围幅度，同时也反映了该工序能稳定生产合格产品能力的强弱，因此通常将 6 0 - 称为工序能力。6 0 - 范围越小，表示该工序的固有能力越强，也就是生产出成 品率高、可靠性好的产品的能力越强。因此，工序能力是指工序在一定时间内处 于统计受控状态下的质量波动的经济幅度。 2 1 1 潜在工序能力指数c 。 6 0 - 表示的工序能力只是用参数分散程度反映了工序自身的固有能力。显然该 工序的实际工艺成品率高低还与工艺规范的要求密切相关。为了综合表示工艺水 平满足工艺参数规范要求的程度，工业生产中广泛采用( 2 1 ) 式定义的工序能力指 数： 下甲 q = 丝_ 2 ( 2 1 ) o o 式中乃、正分别为工艺参数的上、下规范限，( 2 1 ) 式适用于工艺参数同时具有上、 下规范限的情形，且认为工艺均值与工艺参数规范中心r 0 重合( 即 多变量工序能力指数评价模型研究与应用 = 瓦= ( 巧+ t l ) 2 ) 。但在实际的工艺生产中，工艺参数的规范中心值r o 和参数的 目标值丁并不相同。 在i c 生产中，有些工艺参数只规定了下限值。例如，键合工序的内引线拉力 强度参数只要大于某一下限值互，无上限要求。这时工序能力指数应按( 2 2 ) 式计 算： = 兰生 ( 2 2 ) 若 乃，则取c a 为零，说明该工序完全没有工序能力。 潜在工序能力指数c ，能直接反映出工艺成品率的高低，因此就定量的表征了 该工序满足工艺规范要求的能力。工艺成品率作为表征工艺设计水品的另一指标， 与工序能力指数呈正相关关系。假定工艺参数x 服从正态分布且与兀重合，则 工艺成品率为： 刁= ( ，仃2 ) = 以弦一i 力= p 啦一l 3 0 c p ) = 攻等 9 9 9 9 9 9 7 1 c 既 1 6 7 5 5 仃 p 0 - 6 5 盯 9 9 9 9 6 8 3 1 9 9 9 9 9 9 71 1 3 3 c 腓1 6 7 4 5 0 - p 仃5 5 仃 9 9 8 6 5 r 9 9 。9 9 6 8 3 i c 豫1 3 3 3 5 盯 p 0 - 4 5 0 - 9 7 7 2 5 d _ ：仁) ，则否定原假设日。，否则 接受原假设h 。 柯尔莫哥洛夫检验在每一点上都考虑了经验分布与理论分布的偏差，它不像 z 2 拟合优度检验只在各个分点上考虑原假设是否成立。但k s 检验只适合于理论 分布完全已知的连续型分布的情况，如果理论分布中包含未知参数，未知参数用 其估计量代替，极限定理不成立。它同z 2 拟合优度检验一样几乎能检验各种分布 类型，具有“通用性”。 三、a d 检验 k s 检验使用经验分布函数c g ) 和总体分布函数f b ) 差的上确界作为二者差 别的一种度量。从函数空间的观点来看，用下面的量来度量二者之间的差别更加 自然，即 z = ，z 亡阮g ) 一，g ) y g ) 旷g 协 ( 3 1 2 ) 这里总体的分布是连续型的，厂仁) 是其概率密度函数。若总体是离散型的，则( 3 1 2 ) 式变为： z ：玎艺k g ：) 一，g ：) 】2 y g ：b 。 ( 3 1 3 ) 两式中的少g ) 是某个适当的函数。令y g ) 垒p g x l 一，g ) ) 一，则相应的统计量为a 2 统计量，即： 彳2 = ，z 亡kg ) 一，g ) 】。p g x l 一，g ) ) 一f ( x ) d x ( 3 1 4 ) 或 彳2 = n 艺k g ：) 一f g ：) p g ：x 1 一f g ：) ) r 1 p 。( 3 - 1 5 ) k = 1 但是用这两个公甍计算彳2 并不方便，为此需导出易于计算的简便形式。 令x ，g ) ，z = v ( x ) ，若，g ) 为单调升函数，则得到： 多变量工序能力指数评价模型研究与应用 如一去喜1 m n z ) 1 n ( 1 一z 。】 ( 3 - 1 6 ) 或 如一吉喜陋1 ) l n z _ ( 2 n + 1 - 2 i ) l n 0 一z 瑚 ( 3 - 1 7 ) 若计算出的统计量数值大于口置信水平，则拒绝原假设日。，否则接受日。 3 2 2 二维正态数据的的图形检验 一、二维数据散点图 已知二维正态分布的等概率密度线呈椭圆状，工艺参数观测数据应是不同概 率水平下一系列同心椭圆上的一些点，因此，二维数据的散点图在矽) ，平面大致呈 椭圆状，根据这点可以大概判断工艺参数是否服从二维正态分布。下面是用m a t l a b 的l d v n r n d 函数产生的1 0 0 0 个二维正态随机数绘s u - 维数据的散点图。 图3 2二维数据散点图( 1 0 0 0 个点) 二、z 2 一图检验 定义平方距离： d ；= g ，一；) i s 一1 g ，一；) j ：1 ，2 ，刀 其中x 。，x ：，x 。为样本观测值，当总体服从多元正态分布，且当n 和n p 都同 时大于2 5 和3 0 时，其平方距离d ? ，d ；，d ：就是近似服从z 2 分布的随机变量，尽 管这些距离不是独立的，也不是精确的z 2 分布，但是它们的图还是可以近似作为 正态性检验。 绘制z 2 一图的步骤如下： 步骤1 ：对所有的工艺观测数据点计算广义平方距离，并将其从小到大排列， 即d ( 2 1 ) d ( 2 2 ) d 加2 ) 。 第三章基于成品率的多变量工序能力指数模型塑 步骤2 ：作数对p 南，z ；始一0 s ) 龙) ) 的图，其中z ；如一0 5 矽嚣) 是自由度为p 的 z 2 分布的l o o ( j 一0 5 f n 百分位数。 d 6 ) 图3 3 二维数据z 2 一图 z 2 一图应该近似于一条直线，如果图形呈系统性的曲线类型，这就表明数据缺乏正 态性，否则认为输入数据呈正态分布。 3 3 二维正态分布参数的拟合计算 在工程实践中，工艺参数的观察值大部分都服从正态分布，即使存在例外情 况，当样本量很大时，根据大数定律和中心极限定理，所考虑的随机变量可以表 示成几个独立的随机变量之和，它们往往近似服从正态分布。因此不失一般性， 本节以两个工艺参数数据服从二维正态分布为例，讨论二维正态分布参数的拟合 问题。 3 3 1 相关系数对二维正态分布的影响 二维正态分布函数包含5 个参数“、q 、，、仃，、p 。前4 个参数的意义和 一维情形相同，相关系数p 表示了两变量之间的线性关系的密切程度。相关系数 的绝对值接近1 ，就说明两变量之间的联系紧密，即一个变量的变动必然导致另一 个变量发生近似于线性状态的变动。而相关系数愈接近于0 ，则说明两变量之间的 联系松散，在实际工艺过程中，相互制约的不同工艺参数共同对整个工序质量输 出起作用，因此，有必要考察相关系数对工艺成品率的计算以及工艺数据分布形 态的影响。 相关系数对分布函数形态的影响由下面几个二维正态概率密度函数的曲面图 可以得到较为直观的理解，下面4 个图中p 分别等于0 、0 4 、o 7 、0 9 。相关性的增 丝 多变量工序能力指数评价模型研究与应用 大使得概率沿着一条线更加集中。而且，每一个等密度椭圆的轴都在- 1 的特征向 量方向上，且其长度与- 1 的特征值方根的倒数成正比。每个椭圆的方程为： 伍一) 以( 芦一u ) - c 2 椭圆中心在，且其轴为 以l e t ，i = 1 ，2 。丑和p ，是的特征值和对应的特征向 量【5 l 】。 图3 4 p = 0 时二维正态分布密度函数图像 图3 5 pf f i o 4 时二维正态分布密度函数图像 第三章基于成品率的多变量工序能力指数模型 丝 1 5 3 6 p = o 7 时二维正态分布密度函数图像 图3 7 p = o 9 时二维正态分布密度函数图像 由图3 4 、图3 5 、图3 6 、图3 7 可以看出，当p = 0 时，二维正态分布的概率密度轮廓 椭圆的长、短轴分别平行x 、y 轴，当p 0 时，椭圆的位置发生偏离，长、短轴 不再平行z 、y 轴了，另外，曲面的坡度也随着p 的增大逐渐变得陡峭。 现在讨论相关系数对二维正态分布函数值的影响，由上面图可以看出，随着p 的增大，二维正态密度曲面变得更为陡峭，但是当p 接近1 时，两变量之间近似呈 线性关系，积分值增量加剧。如下图3 8 所示，横坐标表示相关系数，纵坐标表示 二维正态分布在第三象限l 一，0l l 一，0i 的积分值。 i ： 毒。 汁 + 一t - l - 十 薰 ；一；4 毛彳- i - j * 一；菇j 。? ： ：j ： 卜 一 卜 一- - +- i - 1 - + 4 - i - - t - - t - - - + -r - i - 一o 呻” ： ： t：。 +卜1 - + 小 。j + 十- i - + - h - - i - 4 - ，? j 。 * 上 + o 十t - i ” 4 - - + - - - h - 嫠 i - 4 - 一卜 + - i 。 卜 “ ：j ： ：j ： 焉， ? 。? ： 臻- - 1 - 4 - j 十i - i - d - ! , - j j 。 + 4 - - i - 。? 。 。? ：。 瓣 t ；： 。一寸r 量： ” + 卜步髟。 ：j 彳曩。 上 茹辱。 三 一件* ：j z； 毒 0 野件一 * 势 ：j ： 相关系数 图3 8 相关系数对二维正态分布函数值的影响 3 3 2 二维正态分布参数的提取 从观测得到的二维工艺参数数据出发，确定这些正态分布的参数值大小有以 下两种方法： 方法一：对所有的参数采用点估计法： p - 2 墨2 专善 p ：2 五2 吉善锄 o - 1 ：s 。：士查g 。，一i ) 2 s l2 _ 己f l ，一工1 n 一1i o 2 毡：士窆g ：，一夏1 = s 2