（机械制造及其自动化专业论文）6轴切削机器人运动与静态受力分析.pdf

摘要 摘要 本论文对并联机构的运动和受力情况进行了研究。在运动分析部分，研究 了著联机构豹位置逆解，并推导求解了嚣穗并联极构的封闭位置正勰，分捱了 各分支的被动关节的求解闫题，综合以上各方蟊，绘蹬算例。 在受力分析部分，本论文利用边界元法合成杆件系统，进而对其进行受力 分析，讨论了几种合成方式，并用图的方法对并联机构进行了数学上的描述。 最后，绘出了3 。r p s 并联机构的指定位姿下受力状态的运算实例。 关键词：并联机构位置正解位置逆解边界元合成方式 a b s t r a 奠、 a b s t r a c t 1 n 啦ep a p e tt h 聍娃n e m a t i c sa n dm e e h a n i c so fl h ep a f 蘸| e lm a n i p u l 8 0 ri ss t 嗣i e d 1 nt h ep a no fr e v e r s ed i s p j a c e m e n to ft h ep a r a l l e lm a n i p u l a t o ri sd i s c l l 8 s e d ，t h e f o r w a r dd i s p l a c e m e n to ft w ok i n d so fp a r a l l e lm a i l i p u l a t o ri sc a r r i e do u t ，t h e n ，t h e q u e s t 主o no fp a s s i v ej o i n t si sa n a l y z e d 。a l a s t ，s y n t 妇i s 王l e f e 呈n b e 奶揩p a r 晦也e e x a f n p l e sa r eg i v e n i nt l ep a r to fm e c h a n i c s ，t oc o m p o u l l dt 1 1 es t a f f ss y s t e m ，t h eb e a mm e t l l o di s u s e d 弧h ep a 滞r 如e n ，a n a l y s i sl k 矗m e c b 撼e si n s t a n e e 。s e v e f a lk i n do fm e 氆o d so f c o m p o m l da r ed i s c u s s e d ，a 1 1 dm a c h i n e so fp a r a l i e lm a n i p u l a t o ra r ed e s c r i b e di n m a t h e m 砒i c sb yc h a n ，f i 腿l l yo p e r a t i o ne x a m p l e so f3 - r p sm a c h i n eo fp a r a i l e l m a 娃i p 畦a t 。f 主n 穗em e c h a n i e si n s l a n e e sa td e s i 泓e dp o s 矗i 鳓a l 舀v e no u l k e yw o r d s ：p a r a l l e lm a n i p u l a t o r f o r w a r dd i s p l a c e m e n ti n v e f s ed i s p l a c e m e n t 毫l e 黼m e 趣o do f c o m p o u l l d 缘论 绪论 1 概述 自1 9 6 1 年荚国u m m a t i o n 公司推出世界上第一台实用型的工业机器人，到 2 0 年1 月，在全世界已蘩净镑售1 0 2 艿台】。机器入已广泛应用虱了技会 ，土产和生活的各个方面，如在工业生产中从事焊接、喷漆、搬运和装配等工作； 在服务行业、医疗卫生和家庭生活援助也有应用；在海底、太空和核工业等极 隈环境中佟效。钒器入的j “泛应j = | 绘入类社会带来了钣大豹影响，宅较大魏提 离了劳动生产率，提高了产品质量，降低了产品成本，还极大地减轻了人的势 动强度，改善了劳动效率。掰以，世界上许多国家郝在积极发晨机器人技术。 传统王渡秽i 器人一般怒串联结构，它肖缀多型式，典型的如p u m a 程s c a r a 锋。它具有工作空间大、灵活性与可操作性好等优点，但由于串联机构的内在 缺陷，导致了芟刚废差、定位精度低笛不足。 2 并联杌构及其特点 早在1 9 6 5 年，英国工程师d s t e w a r t 在进行飞行模拟器的研究中提出了 一秘并联枧誊驽，帮被机构学器褥为s t e w a r t 平螽翡税棱。但一直捌8 0 年代求 特别是9 0 年代以来，并联桃嚣人彳馓广泛注意，并成为新的研究热点。在桃械 制造业方面，1 9 9 4 年在芝加哥国际机床博览会上，荚图g i d d i n g s l e w i s ( h e x e l ) 公司和英国g d e t i c 公司营次矮出了称为“六足虫”氆e x a 妒d s ) 豹数控极寐和 加：j = 中心弗日 起轰动，同时被多家媒体称誉为“机床结构的重大蕈命”，“2 l 【 | = 纪纳新一代数控加工设备”。这种机床通过改变并联驱动抒长度改变带有，j 具 蜓活砖，乎台豹位姿，可鞋l ；翔任传导孰与澎叛，觳薅羧称为并联秽t 藤，选称趱 拟轴机床，被誉为本世纪机床结构的最大变革。1 9 9 7 年在汉诺威国际机床博蘸 r 会上，参展的， ：联驱动原理机床已多达一l 台。近圣f 来，国内拍i 商许多单位对 这种并联搬构进行磅究。涛孥大学翻造工程磷究敷的v a m t ly 蹙并联裰霖鞭 型样机于1 9 9 7 年1 2 月完成。 与串联机构相比，并联机器人具静以下特点：第一，并联机构豹末端执行 辫函各枉事 二共同支承，辅我院串联式的懋臂缝稳豹潮菠大，结枣奄稳定；第二， 绪论 出于剿度大，稳对串联机构，在穗群鸯重帮体积下蠢觅赢静承载能力；第三， 在串联机榆中，末端执行器的误羞是由各个关节误差的积累和放大，因而精度 低，并联没有那样的误差积累和放大关系，误差小瓶精度高：第四，串联机器 人的驱动电机和传动系统大多放鬻在运动的大小髓上，增加了系统的惯性，恶 纯了其动力学性能，两并联式则缀容荔将电税嚣予静止的枧痤上，因覆躐小了 其运动负穗，优优了动力学髓隧；第五，在位姿求解上，串联视构疆解容易， 但反解十分困难，而并联机构琅解困难反解容易。由于机器人的在线实时计算 是要计算位嚣逆解的，这就对串联式十分不利，而并联式却很容易实现。 敲以上分耩可以看出，并联式和串联式确实形成了鲜明的对托，程饶缺点 上串联的优点侩是并联的缺点，露著联豹优点又恰惩串联豹缺点；肫外，系反 运动学求解的难易上也有明显的对比关系。由于串联、并联在结构上和性能特 点上的对偶关系，串联、并联在应_ | _ i 上不是替代而是互补关系，且并联机器人 有它的特殊应用领域。因此，司以说并联机构的出现，扩大了机器人的应用范 围。 3 并联机构运动分析简介 本论文研究的并联机构是种将并 联和串联的优点有机结合起束酌混合驱 动数控枫床的并联部分。该结构奄弱采 用了龙门式布岗型式。将并联静t 校l 的定 平台固定在龙门的顶盏板上，主轴箱斜 置固定在并联机构的动平台上。串联部 分雹于摊床翦藏篷上。帮瘫豹总体方案 乡 观图翔圈l 掰示。由予采耀了混合驱 动形式，觅服了六自由度虎拟轴机床与 物流可亲近性差的缺点。 刚l 出并麟港合式数榨机床总体前i 局 该捏合驱动数控机床豹并联部分为3 。r p s ，筒圈见圈2 。本文的圭簧工作裁 是对该势联撬构进行运动和爱力分棍。有很多礤究入员已经对各静黧式的并联 机构的运动情况进行了研究。文献o 2 】e4 1 应用连续法对平面和空闯上的各种 型式的并联机构进行了研究。连续法是一种具有垒局收敛性的数值方法，它的 绪论 基本思想是：方程组的参数的微小交往将弓| 起 其解的微小变化。对于方程a 和b ，若a 的解 已知，将a 的参数作微小变化，a 的解也发生 微小变化，跟踪a 的解，当a 的参数变化与b 的参数楣网捧李，便褥至lb 的躲。浚方法的优点 是：其存憋体收敛性，可以求褥全部位置正解。 缺点是：机构变量个数较多及方程组总次数较 高时，计算最太大，耗时太长。文献t 5 利用 嘣23 自由艘并联机构横型 w u - r i l t e 辩3 r p s 荠联狙构的求端事l ：的位移进行了分瓠，该方法是一种数学机 藏纯方法，不需要复杂骢逻辑推导，买有系统缳萋珏滤潮优等特点，缺点是：计 算量大，过大的余子式无法进行因式分解，进而影响一些问题的求解。文献卜 ( 73 对一般性和准一般性的6 6 型s t e w a n 平台的位鼹正解问题进行了研究。文 献83 提出了种新型的六自幽发并联机构，并对其逑行了位置分机。 4 。边界元法筒分 本文用边界元法对并联机构进行受力分析。边界元是继有限元之后发展起 来的一种别媳特色的新的数值方法，它是将描述弹性力学问题的偏微分方程边 值问题纯为边界积分方程并吸收鸯限元的离散他技术丽笈屣起柬的。将弹性力 学闷题归绣为求解一组边嚣羧分方程，若在边赛上融知3 个位移分爨釉三个力 分量中的三个分量，则由边界积分方程可以确定其余三个未知分鬣，弼任意内 点的位移和应力可山6 个边界分量通过边界积分来确定，这就是边界积分方程 方法。 边界元法只需将求孵域的边界划分单元，故使求勰闷题懿维数降低，翔三 维闷题w 转变为二维闷题。= 维翔题可纯为一维瀚遂。因而，输入数据大为减 少，计算时问缩短。由于它只对边界离散，所以其误差仅来源于边界，而域内 变量可由解析式的离散形式随接求得。因此，提高了计算精度。求解城内变量 对，只需改变其数量各坐拯位嚣即i 虿。出于边界露法采溺无凝域的纂本解，因 蓝乏，边器元霹以缀方便氇应惩予无限域闷题。对予边器闫题，奶边器裂纹相应 力集中，用边界元法也甚为方便。 5 本论文研究的主要内容 结论 本论文主要分为蕊部分，籀帮分为势联辊稳运动分桥，第二邦分为并联 机构静态受力分析。 运动分析部分包括如下方面： 1 ) 3 r p s 著联枕构的运动性质分析 在本节，建立了3 一r p s 并联秽t 穆动、静平台的坐标系，并在溉迩豹坐标 系上，分析了该并联机奉每的自由度个数和性质。 2 ) 3 _ r p s 并联机构的位罱逆解 本节推导了3 一r p s 并联机构的位置逆解，出于所用的方法具有较强的通 蹋牲，该方法也适用予一般性3 3 型平台并联瓿鞠的位置逆解戆求熬。 3 ) 3 - r p s 并联机构位盖正解瀚数值解法 相对于串联机构，并联机构的位置正解较为复杂。它最后可以归结为一 组非线性方程组的求解，本节简要介绍了非线性方程组的几种数值解法。 出于数馥解法的屈缀性，本文没旨瓣其进零亍详缨的讨论。 4 ) 3 - r p s 劳联枫鞠的位最正解豹群析鳃法 出于数值解法的效率低、稳定性差等缺陷，本文主要用解丰斥方法求解出 了3 一i 冲s 并联机构的位置m 解的封闭解。 5 ) 被动关节求解 为了优纯辍掏兹结稳设计，论文分撰了并联钒捣的被动关节的求瓣 6 ) 算饿 结合上述各节的内容，本章给山一个完整的算例。 第二部分静态受力分析部分主鼗包括如下内容： 1 ) 边器元法求勰狰孛| ：闷越鏊本过程 本文秘羯边界元对并联秽 榴避行受力分聿露。所瑷，首先奔绣一一f 边辩元 法对柑件问题的求解过程。 2 1 市i ：什系统合成 在用边界元法求孵出了柑明二豹掏翻：方程的基础上，利用这些构件方程， 对各嵇合成方式静合成公式遴行了推导。 3 ) 并联机构杆件系统合成 利用台成公式，推导了当合成点连接杆件数大于2 的情况下的台成公式。 4 绪论 4 ) 荠联机构豹图表示及其邂历 若要对并联机构进行合成，必须遍历并联机构的所有边和结合点。本文 用图的概念表示并联机构，并用深度优先搜索法对图进行遍历。 5 ) 算倒。 第一枣3 。r p s 并联飘器人避动性威 第一部分3 。薹潆s 并联机器人运动分析 在对并联机构的运动分析部分，首先分析3 ，r p s 并联机构的运动性质，然 后对箕遴行了位嚣分橱。冀中，着重对并联飘梅中位置分疆中豹难点，即位鼍 j f 解进行了详细的论述。为了更好地进行结梅设计，优化结构布鼹，提高各构 件的刚魔求解了该并联机构的全部被动关节的运动。最后，给出了一个完整 的算例。 第一章3 求p s 并联机器入运动性质 在这一章，主要分析3 - r p s 并联机构的的自幽度个数及性质。其机构简图 见图1 i b 酗1 圈1 2 其中，z 瓯和瓯分别为动平台和静平台坐标系。为了分析该机构的运动性质， 首先耿出单个分支，见图1 2 ，每个分支均是由个转动副r 、一个移动副p 和 6 第一章3 r p s 并联机 人运动性质 一个球面副s 组成的串联运动链。在分析其运动时，可以将与动平台相连的球 面副s 用三个转动副来代替。这样，每个分支相当于有五个运动副组成，办即 具有五个自由度。由于机构的约束与运动 具有一一对应互斥的关系，因此，各分支 对动平台的约束见图1 3 ，在约束力f 、f ， 和f ，的共同作用下，限制了动平台在其轴 线x 、y 方向的移动和绕动平台z 。轴的 转动。因此，该并联机构的自由度个数为 3 。在图l 一1 所示的坐标系下，它们分别 是：沿z 轴方向的移动、绕动平台平面内 的轴线的两个转动。 f i 图l 一3 第二章位置分析 第二章位置分析 2 1概述 机构的位置分析是求解机构的输入与输出构件之间的位簧关系，这是机构 分析的最基本的任务，也是机构速度、加速度、受力分析、误差分析、工作空 间分析、动力分析和机构综合等的基础。由于并联机构的结构复杂，对并联机 构进行位置分析比串联机构要复杂的多。机构的位置分析包括位置正解和位置 逆解。 在串联机器人的位姿分析中，位置逆解十分复杂，而在并联机器人中则很 简单。位置正解是已知主动关节的输入量，求解动平台的位姿描述。串联机器 人中，位置正解很简单，仅用各关节的位姿变换阵和运动阵顺序相乘即可。而 在并联机构中则 分复杂。 2 2 位置逆解 位置逆解是已知输出求输入，或者蜕已知动平台空间位姿( 位蓠和姿态) ， 求解主动关节的输入值。并联机构动平台的空间位姿是设计者期望得到的。一 般说来，设计首先确定动平台位姿，接着根据动平台位姿计算应该给予每个电 机的位移量和速度，控制电机运动，不断重复这一过程，动平台就在空间按照 设计要求运动起来。位置逆解在并联机构实时控制中频繁使用。值得庆幸的是 并联机构的位置逆解要比串联机构简单的多，而且位置逆解只有一个，不象串 联机构有多个。所以，并联机构相对串联机构来讲便于控制。并联机构位置逆 解是位移分析的一部分。研究高速、方便的位置逆解方法对并联机构控制具有 重要的实际意义。 下面是3 r p s 并联机器人的位置逆解的求解过程。 动、静平台坐标的建立见图1 - l ，动平台坐标系0 。在静平台坐标系p 。下 ( 2 1 ) 第- 二章位置分析 lz ，豫l 式中：r 2 1 2 ：z j ( 2 。 p = 阮圪z 。】， ( 2 3 ) 式中的r 为动乎台姿势弱方囱余弦距痒，第l 、2 、3 列分裂为动燮挺系g ，戆 五，、k ，和z 。轴在静坐标系z 瓯中的方向余弦r p 为动坐标系原点在静坐标系 毛= k 砖瓦 l ，2 ，3 ) ( 2 4 ) 瓦= 阪魄y i = ( 1 ，2 ，3 ) ( 2 5 ) b 。= r b 。h 年p 见图2 1 三抒长矢麓，在静平台下的袭示为： 丘= 瓦，一瓦净( 1 ，2 ，3 ) ( 2 # 7 珏网一锰：箍：镌麓二乏j i k h 瓦+ 致醵+ 魄城+ z 。一壤j ( 2 。6 ) 第二枣位置分析 主要优点之一。 2 3 位置正解 位鬣正解是已知输入求输出，或者说给定各主动关节的输入量，求解动平 台的空剃位姿( 位置和姿态) 。并联扭构的位鬟正鳃比逆解要复杂褥多。扶数学 角疫来羲，并联帮穗的约束方程是关于输出交爨静多元菲线性方程缀，勰出方 程组中的输出变量的全部解就等于获得了并联机构的位嚣正解。令人遗憾的是， 到目的为止，数学上尚无完备的方法求并联机构的解析解。所以如何根据机构 特点，将约束方程组中的中间变量消去是机构位移分析的核心闯趱。中间变元 清去蜃掰获褥的一元方程成为壤秘的输入输懑方程，著联枫构的位鬣j f 解是并 联机秘的位置分析的主要都分。 并联机构的位置正解是一个世界性的难题，目前常用的方法有数值解法和 解析解法。 2 3 1 数谯解法 它对菲线性方程组邋行空间搜索。该方法数学模型简单，没有颓璞的数学 公式推导。其中较为成功的方法有迭代法、区间法、牛顿法，这些方法对机构 位置难解的分析都起了一定的作用，但是它们不能求出机构位嚣的全部正解， 算法不稳定，求勰速度幔。延辆法和连续法可以求缮所有并联机搀的位姿正鳃。 毽诗葵工馋量大，速魔幔，效率 爰。因此，数壤辩法主要适瘸予渴泰爝解援解 法求出封闭解的荠联机构。本文对数值方法不作深入介绍。 2 3 2 解析解法 鉴于数值解法速度慢、效率低和稳定性藏等缺点，我们希塑利用解析解法 求出并联襁鞫的位姿撼嬲的瓣闼解， 下积介绍蹲= f l | 封闭解竣。 a ) 直接写出动平台位姿阵。利用上述逆解求解过程中方程组( 2 9 ) 来求解。 写出动平台位姿阵，见式( 2 。1 ) 、( 2 2 ) 和( 2 3 ) ，在阵r 中欺有九个元素， 各元素之闽豹关系式冤下列备式 窖+ f ：+ g 竺l ( 2 l o ) 所；+ 聊：+ m ；= 1 ( 2 一1 1 ) 打2 ，+ f 。肌，+ ，：州；= o ( 2 一1 2 ) 繁二章位置努析 = f ，豫一，：聃， 门，= m ，一卅： n ：= ；黻v i 渺i ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) 因此，r 阵虽然有九个元素，毽其中只有三个是独立昭。t 就裔六个独立变 量，对应着六个自由度。对于既定的并联机构，其自由度个数与其位姿阵t 的 独立变量个数相等。其他变髓可以通过各分支对动平台的约束方程中求出。 下西3 。r p r 、t p s 、t p 8 为例介绍一下该方法。该并联机构篱图及动、静平 台坐标系的建立觅图2 4 稻2 5 。其中，动平台弱静平台三角形均为一般三角形。 b 3 陶2 4图2 5 该并联机构的自由度数为3 ，在图中的坐标系下，其自出度为；一个绕动i f 台沿x 。轴的转动、沿y 靼z 辘瓣移动。动、静平台三角形各顶患在各垂坐标 系的黛鞠；为： 毛：阪 覆，= 陋。 6 jo f 氐o ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) 其中，反，、菝，和置一蜀，的谴均为零。 根据备分支对动平台运动的限制，动平台的位姿阵可以化简到如下形式； 第一章位置分折 州= looo oc s ，王，i o 瓯c z i ooolj 式中：s ，= s i n ( 或) ( i = c o s ( 色) ( 2 1 8 ) 瓦橼 协 l 2 = y 2 十z 2 2 2 = ( 如，一曰2 ，) 2 + ( 6 ：，c ，+ ，一嚣2 ，) 2 + ( 6 ：，s ，+ z ) 。 ( 2 2 0 ) ( 2 2 1 ) 岛2 = ( 6 i ，一岛， 2 + ( 瓦，c ，+ y 一露。) 2 + ( 莓，s ，+ z ) 2 ( 2 2 2 ) 上三个方程中共有三个未知鬃o 。、y 和z 。旃方程式( 2 2 1 ) 、( 2 - 2 2 ) 展开 并将( 2 2 0 ) 式代入得到： 6 ：，c ；y 一6 ；，嚣2 ，e 一马，y + 坟，s ，z = d 2 ( 2 _ 2 3 ) 珠，c y 一瓦，玛，e 一马，】，+ 6 ；，蔓z = d 3 ( 2 _ 2 4 ) 式中d 。和d 2 是数值常曩，其表达式如下： d j = ( 2 2 一( 6 ；，一口2 ，) 2 6 ：，2 一致，2 一上1 2 ) 2 ( 2 2 5 ) d 3 = 如2 一( 毛，一忍，) 2 一医，2 一岛，2 一互1 2 ) ，2 ( 2 - 2 6 ) ( 2 - 2 3 ) 式乘以b ；，藏去( 2 2 4 ) 式乘数b ；，褥剐魏下方程式： 6 ，6 ；，( 岛，一口：，) f ，一( 6 i ，露。，一玩，岛，) y = d z 玩，一皿如， 即o c = w + g 其中： f = ( 玩，曰孙一6 0 岛，) ( 6 ：，6 3 ，( 田一曰2 ，) ) ( 2 之7 ) 第一帝位嚣分辑 g = ( d z ，一b 6 ：，) ，( 6 z ，6 3 ，( 岛，一日：，) ) 对( 2 2 3 ) 式遴幸亍移项，势将( 2 2 0 ) 秘( 2 2 7 ) 式代入，然赢方程式两边同列 平方； 6 ；，2 ( 1 一( f y + g ) 2 ) ( 1 2 一y 2 ) = ( d 2 一臣，( f y + g ) y 十坟，玩，( f y + g ) + 疗却l ，) 2 ( 2 2 8 ) 展开得： d 3 r 3 + 稃2 y 2 + q y + a o = o( 2 之9 ) 其中口，i = ( o ，l ，2 ，3 ) 为数值常量。 解高次方程( 2 2 9 ) ，求出y 值。然后代入式( 2 - 2 0 ) 和( 2 。2 7 ) 即可以求出 寒翔量o ，和z 。 由以上推导过程可以看出，当动平台位姿阵形式比较简单，尤其转动自由 度较少时，该方法比较适合。 b ) 转亿求解对象 在3 - r p s 并联机构中，待求动平台位姿阵中的独立未知最个数是3 ，分蹦 代表着两个转动和一个移动自由度。将这三个变量转化到三个分支上与静平台 襁连的r 关节的转角，然螽求出魂平台三个顶点在静平台坐标系下魏表示，最 后求出动平台位姿阵。求解过程如下： 动、静平食三角形顶点在备自坐标系下的 坐标觅式( 2 * 5 ) 帮( 2 。6 ) 潋分支l 为铡，觅 阑( 2 6 ) 。图中的r 为静平台外接圆半径，l ， 为顶点b ，到b ，之矧的g 廷禹，即已知相。长。 在如图所示的坐标系下，利j | = | 坐标交换法，砸 以写出动i f 台顶点b 。在静s f 台坐标系下的坐标 淹： o 显lc l s 叫o c 、l oo00o ol | | oo o o l 附2 6 第一章健嚣分辑 l s l i + r i | i l j 式中： 冀= s i n 最) 按以上方法， 示形式如下： 阡 琵 6 口 6 。 l ( 2 。3 0 ) c 。= e o 最) 可以写出动平台顶点b 2 和b ，在静平台搬标系下的嫩标，其一般液 ( 2 3 1 ) 上式包括三个方程，未知鬣个数i ： l 为三三，它们分别怒各分支中r 关节的转角 6 i ，、岛和岛。 动平台三惫形边长固定不变，出此可以霹爨如下三个约束方程： ( 6 h 一6 2 ，) 2 + ( 6 h 一6 2 ，) 2 + ( 岛。一6 2 ：) 2 = 6 1 2 2 ( 2 - 3 2 ) ( 岛，一魂，) 2 + ( 办l ，一趣，) 2 + ( 6 l ：一魂：) 2 = 旗，2 ( 2 - 3 3 ) ( 6 z ，一毛，) 2 + ( 6 2 。一6 ) 2 + ( 6 2 ：一6 k ) 2z6 2 3 2 ( 2 3 4 ) 在上三式中，6 6 ，、和序：，为动平台三熊形边长，来知量为g 、拶：萃日岛。 展开方程维研敷得到如下超越方程组： a i s i + 曰l s 2 + d l s l s 2 + e l c l c 2 + f = o ( 2 3 5 ) 一2 s + 露2 s 3 + d 2 s s ，+ 誊2 e l ( 鼍+ 曩= o ( 2 - 3 6 ) 爿j s 2 + 口3 s 3 + 岛s 2 岛+ e 3 c 2 c 3 + e = o ( 2 3 7 ) 蒸孛，、d ，、蜀秘曩均为已知蕊数嬗鬻攮。 令：五：t a n ( 喜) 有魏下三角黼数等式： 第二章托鬻分辑 s j n ，= 卷c o s c 咖蔷t 2 s ， ，鼬 将( 2 3 3 ) 式代入式( 2 3 5 ) ( 2 - 3 7 ) ，并进一步能简得翔： 吼x 22 + 6 j x 2 十。1 = 0 ( 2 - 3 9 ) 爵2 墨2 + 6 2 盖j + c 2 = o ( 2 0 0 ) 4 3 3 2 + 6 3 3 十。3 = 0 ( 2 4 1 ) 其中，呜、岛釉岛为未舞：| 鬃五的不高予二次鳆多项式，“，、玩和e ，( 1 一l ，2 ) 为来 知量置的不高于二次的多项式，多项式的各系数为机构的几何参数和输入量。 为了将上述三个方程化简为只合个未知量的方程，需要对方瑕组进行消 元，采用懿1 f 步骤，从式( 2 4 0 ) 和( 2 4 1 ) 中消去寒知量置 1 ) 式( 2 4 0 ) 乘以码减去式( 2 4 1 ) 乘以d 2 得到： ( 6 2 疗j 一如d 2 ) j 十c 2 d 3 一c 3 d 2 = 0 ( 2 4 2 ) 2 ) 式( 2 3 5 ) 蘩 三l 岛减去式( 2 3 6 ) 乘阻岛褥至i ： ( ( “2 q 一日3 c 2 ) ，+ 6 2 c 3 一屯c 2 ) 爿3 = o ( 2 4 3 ) 当x ，不为零融，缀容易褥到麴下等式： ( 6 2 a 3 一岛2 ) ( 6 2 c 3 一毛c 2 ) 一( f 2 吼c 3 抒2 ) ( 盯2 c 3 一日3 c 2 ) = o ( 2 w 4 4 ) 该方程式含商未知量五和曷，且次数都不高于4 ，将该方程式写为未知量x ：驻 示方程式： 意4 2 4 + 也23 十七2 x 2 2 + 毛2 + = o ( 2 。4 s ) 戏c 氐系数露，为只古存来知爨置的多项式，其次数曩：懑子4 。 将( 2 4 1 ) 和式( 2 4 5 ) 联立，用如下方法求出仅含有一个未知爨x 。的方程式。 用x 3 乘以式( 2 4 5 ) ，再用五，盖，2 ，如3 分别乘以式( 2 3 6 ) 可以得到四个方 程，连列式( 2 4 1 ) 和( 2 4 5 ) 共六个方程式，把它们焉成矩眸形式如下： 鳞一二章位鬻分析 o t七2 瓤妻2岛 龟魄e 3 o 吒如 0o玎， ooo 七3七4 缸如 o0 吼 0 也岛 吼趣蘩 = o ( 2 。4 6 ) 根据线性代数的知 ，浚方程组中x 。有非零解的充分必要条件是蕊数矩阵行列 式为零，即： 匡 k skk s 七4屯 o ooo oo 魄龟 o 嘞如c 3 = 0 ( 2 4 7 ) 上式只含有未知量x ，该式是关于x ；豹次数不高予1 6 的代数方程式，在已知 x 。情况下，相应的x ：可以出下式求出： ：也一如 岛丸 o “oo 良c i o q6 i o 毛七2 如如 6 l q q鼠 o“ 毛织 七4 热 0o c to 6 iq 铡穰式( 2 4 3 ) 或( 2 4 4 ) ，_ 露戳很容易求 i ! 葛： 弘矧= 揣 ( 2 4 8 ) ( 2 4 9 ) 将求出的交鬟x ；( 扛l ，2 ，3 ) 代入方程式( 2 3 8 ) ，袋 基e ；，然嚣穆e ；代入式 ( 2 3 1 ) ，求出动平台三角形各项点在静平台下的坐标。 - 下面介绍一下已知空潮上任意三点在动、静坐标系下的坐标，求解动坐标 系褶鼹予静坐标系的位姿降。 数学描述 血u 下： 已知： b t = k 。r l l ，2 ，3 ( 2 ，5 0 ) 6 如岛如如出0 龟k以吃o o 觑如反讲0 o赶唾o o l 2 譬 第二章位鬻分析 ( 2 。5 1 ) ；pp 1 沼5 2 ) l ol j 求解过程如f ： 对每一点均有如下方程： k ，】。= 最k ，k + p ( 2 5 3 ) 对每一个点均戢r 阵中第一 r 如。卜_ ： fr “1 ，+ 埘j i ，+ 珂j d l = 。+ x = d 1 j ( 2 5 4 ) f ，越2 ，+ 埘。群2r + 辩，掰2 ：+ 篇d 2 ， ( 2 5 5 ) ? 。甜3 ，+ ，3 。+ h d 3 ：。+ x 篇d 3 ( 2 - 5 6 ) f ，2 + m ，2 + 辑2 = l 2 5 7 ) 其中式( 2 5 7 ) 为t 阵元索关系式。将式( 2 5 4 ) 、( 2 5 5 ) 和( 2 5 6 ) 用消元法 进行化简，即可求出f ，、删。和 ，表示为x 的函数，见一f 式： z ，= f l x + f o ( 2 5 8 ) m ，= + ( 2 - 5 9 ) 聍，竺蚌 支7 + 露o ( 2 6 0 ) 其l p ，f 0 、f j 、州仆、m i 、和啊均为常数。 由此，求 _ l 舅、，。、朋，和撺，。t 簿中其它嚣行的解法垮之稠嗣。 山以上分析i 盯以看出， ：联机器人的位置正解特别烦琐，尤其足对超越方程 缀的求鳃。这瞧是并联戡器入位置分褫的难点。 上述位蠢j f 解中，需要求解高次方程，因此，位鬻j f 解便存在多解闯题。 通过避丌机器人奇异形位，进丽确定机器人工作空删，可以唯一保留位置正解， 当辊器入缝子奇异形位融，祝擒失去控制，所以，在设计搬器人时，应该 避丌奇异形位。通过分析t 玎以知道，对于3 一r p s 并联机构，当任意一朴位于动 ， 童y z ， 卫 川 取o j ， 触胁肌o jtl。od，l p 阵 k 姿 1 m m 解 b 求 第二章位鬻分析 平台所在平面时，该机构便处于奇异形位。实践证明，当设计结构时避，1 ：这些 形位，对应一缀辕入量，仅有一组谴嚣i f 解。 8 撼兰章被动关节求解 第三章被动关节求解 3 。l概述 在并联桃器a 的结稳设计中，为了满是枧器太输出 孛的自由痰数，必须有 足够多的主动关节，这些关节醚有驱动电桃，主劝关节支配着动平台的其体的 位置和姿势。其余的关节为被动关节，并联机嚣人的被动关节很多。由于大量 的被动关节的存在，由于它们的误差、刚度等特性的影响，使得现实中的并联 梳器入往往达夺到其理论上的离精度、商刚度等嚣莘中性能。因此，对被动关节 的刚度、运动和误差豹礤究笼为重要，瓶被确关节的求解是研究被劝关节的嘲 度、运动和误差等的基础。被动关节的求解就怒在已知动平台的位姿阵和机构 的结构尺寸的条件下，求解备被动关节的位移。 3 2求解过程 选取3 r p s 并联 t 构的三个p 关节为主动关麓，下瑟介绍一下它瀚被动关 节的求解。 我们把并联机器人每个分支视为一个串联机器人，只不过是该串联机器人 的动平台位姿陴受到各并联分支的约束。因此，对每一个分支而畜，其被动关 节豹求懈藏司。数理解为该串联枕器人静位姿逆孵。 3 - 鬏p s 并联视构动平臼嫩标系z 0 。， 在静平台坐标系d f ，下的位姿阵及机构 的结构尺寸见篇2 章。 酋宠我 | 、j 来看一下分支l ； 各个关节的坐标系的建立如图3 一l 所示，为了增强程序予模块的通用性， x ，溉 方便分支2 和3 的被动关节的求解，先 求出关节l 到5 的位姿变换阵热下 x ， p 玉= q l f 2 l 嘞1 0 ( 3 h 1 ) x y 鞠3 j y 。 籀三= 雩c 被动关节求瓣 式中 q l = 一c i c 3 瓯s s s c 4 s 5 一c i 禺c 5 d 1 2 = 一c i c 3 s 4 c 5 一s i c 4 c 5 + c l s s 5 “1 3 = 一c l c 3 g + s 量 q 。= s 8 n = s i c 3 s4 s3 + c s l s s s i s ，c s 口：= 一s 。c 2 墨g + q q c ，+ s g q c i & d 2 3 = 一s i c 3 c 4 一c l s 4 “2 4 = 一c l 上l 拉3 l = 一邑s 4 s 5 + c 3 已 口= 一s 3 s 4 c s c 3 s 5 球”= 一墨e 4 疗“= o 式中q = c o s ( 够) s ，= s i n ( 只) 扛( 1 ，2 ，3 ，4 ，5 ) 根据络构尺寸，狠容易可以写出关节l 坐梅券g 到静平台坐标系9 ， 下的坐括转换”嗲】l 和动平台坐栋系，到关节5 坐标系g 下的坐标变换 5 p 】可以樗到下式： 。口】。= 。p l 留】，5 p l ( 3 2 ) 其中阵”f l 翻5 扩k 由荠联机擒的结构尺寸而定，为已翔阵，对( 3 。2 ) 式进行 转化如下： ”p 】。“”p 】。5 p 】。一= 1 p 】， ( 3 3 ) 泼力+ 裂式是鲻为已知，求知数集中在右蠲，令方程式左右_ 掰鲻题簿列瘦顶 稿等，馁霹以求出分支l 静艇有被动关节骢运动鬣。 在分支2 中，同样也可以写出如下方程式： “口1 ”口1 r 【7 1 f 。= 6 叭。 ( 3 4 ) 关节的序号接分支i ，只戮令分支2 中各关节的坐标系鲍建立方式与分支l 租同，刚( 3 4 ) 式的约求解过程与( 3 3 ) 式谗完全穗围，分支3 求解与分支 2 相同。 由咀上可以看出，该方法将各被动关节的运动麓与机构的结构尺寸分离， 笫量章被动关节求解 都未知量与已知量进行分离，侵褥在求解不同分支辩，未知量黪表达形式不缱 机构的结构尺寸的变化和分支的不同而发生变化，只是改变已知量的大小。反 映到程序中就是，不同分支及不同结构尺寸的并联机构的被动关节的求解可以 利用同一予模块函数，只要改变输入参数，就可以得到相应的被动关节的运动 量。 笫期章算铡 第四章算例 4 1输入 下露戳3 。r p s 为铡，出一个完整豹算例。动、静乎台均为等边三角形，它 稍瀚外援圈j 毫径分别为f 和r 。出藤谣的论述可知，3 础，s 弗联祝襁的动5 圭台位 姿阵中6 个未知量中只有3 个为自变量，其余3 个为前3 个自变量的函数。因 此，给定动平台坐标系的z 轴在静平台坐标系下的方向矢量置，及动平台原点 在静平台下鞠z 轴方囱豹坐标瓦，利用这3 个输入量就可以求出镅痘钓劫平台 位姿阵。利用该位姿阵求出备输入量厶( 净l ，2 ，3 ) ，都位置求解孛的逆解目题。 再将各厶作为输入量，求出动平台位姿阵，即位鬣求解中的正解问题。所得结 果应该是所输入的动平台位姿阵t 与正解求出的位姿阵一致。 注：在下鳓备式中，长度荦寝为涞( m ) 。角度擎挝为废。 静平台三角形外接圆半径： r = o 7 5 m 动平台三角形岁 接圆半径： f = o 。2 2 m 动平台坐标系z 轴方向矢鬃： 只= 【l l 2 】 动平台坐标系原点z 方向坐标： z 。= 。1 0 0 m 相应的动平台位姿阵如下： ，= 0 9 0 8 2 4 8 一o 0 9 1 7 s 2 一o ，4 0 8 2 4 8 0 o 4 0 8 2 4 8 o 4 0 8 2 4 8 o 。8 1 6 4 9 7 o o 0 0 0 0 0 0 o 0 2 0 1 8 5 1 1 0 0 0 0 0 l 。2遂解 利，玎并联机构逆解求法，所得备秆杆长的结果： 三l = 1 。1 5 0 2 9 5 三2 = 1 1 8 4 9 9 5 岛= 1 3 5 5 4 9 5 一一一。 -! 辩州章算铡 4 3正瓣 将各厶扣( 1 ，2 ，3 ) 作为输入量，并对式( 2 - 3 0 ) 的1 6 次方程式求根，得到如 下1 6 个解： 3 。2 8 7 6 9 7 o 0 4 3 9 3 f 一3 2 8 7 6 9 7 o 。0 4 3 9 3 j 2 。5 7 7 7 2 5 2 3 4 4 1 7 8 主l ，6 8 3 3 8 5 1 5 9 9 1 7 l 1 4 8 2 4 2 9 士1 6 8 3 3 8 5 1 4 8 0 8 9 5 对应变量x 1 各实根，可以求出其它两个变量x 2 和x 3 ，各分支对应馥，进而 得到动平台三角形各项点坐标巩和动平台继姿阵t 阵翔下： x l = 2 5 7 7 7 2 5 x 2 = 1 5 4 8 7 5 9x 3 = 。2 8 9 4 9 9 l q = 一1 3 7 s 9 3 5 7 3 口2 = 一1 1 4 3 0 1 0 8 l 岛= 一1 4 1 8 8 7 6 9 4 吼= 【_ o 0 9 9 3 5 4 o o 7 7 5 7 4 2 】 4 2 = 【- o 1 3 1 1 6 9o 2 2 7 1 9 l i 0 7 9 9 9 9 】 8 3 = 1 5 8 2 5 3 o 2 7 4 1 0 3 一o 8 3 6 6 1 8 】 l o 3 4 2lllo 7 5 9 5 3 6o 5 5 2 3 2一o 0 2 4 0 9 0 r = l o 7 5 9 5 3 6 一o 1 2 3 1 1 2一o - 6 3 8 7 0 9 o 1 6 7 0 9 8 o 5 5 3 2 3 2 一o 6 3 8 7 0 9 一o 5 3 4 7 7 7一o 8 9 7 4 5 3 oool x l = 2 5 7 7 7 2 5x 2 = 1 5 毒8 7 5 9x 3 _ 2 。8 9 4 9 9 l g = 1 3 7 5 9 3 5 7 3 晚= l1 4 3 0 1 0 8 l 哦= 1 4 l 。8 8 7 6 9 4 q = 【_ o 0 9 9 3 5 4o o 7 7 5 7 4 2 】 啦= 【- o 1 3 1 1 6 9 o 2 2 7 1 9 l 1 0 7 9 9 9 9 】 群，= 15 8 2 5 3 o 2 7 4 1 0 3 o 8 3 6 6 1 8 】 l o 。3 4 2 l l lo ，7 5 9 5 3 6一o 5 5 2 3 2一o 6 2 4 0 9 0 ，：卜o 7 5 9 5 3 6 _ o 1 2 3 2 o 6 3 8 7 0 9o 1 6 7 0 9 8 i 一0 5 5 3 2 3 2 由6 3 8 7 0 9一o 5 3 4 7 7 7 o 8 9 7 4 5 3 l ooo1 x l = 2 3 4 4 1 7 8x 2 = ，4 9 8 8 0 3x 3 = 。l ，6 6 i 3 6 5 g ：一1 3 3 7 9 唾8 9 9 以= 一l1 2 5 7 7 6 2 0 或= 一l1 7 9 l1 2 8 l 2 3 1litij 第聃章算鲥 氆= 卜o 汹6 够5o o 。8 3 0 8 j 口2 = 【_ o 1 4 7 5 2 0o 2 5 5 5 1 2 一1 0 9 4 7 6 8 l 3 = 卜o 0 5 7 7 4 4 一o 1 0 0 0 1 5 1 1 9 7 8 1 5 】 ro 1 7 1 3 2 4 一o 2 3 5 6 0 lo 9 5 6 6 3 0 o 。0 8 3 7 8 6i | 一o 2 3 5 6 0 l o 9 3 3 0 1 60 2 7 1 9 7 多0 0 5 1 8 3 2l 1 一| o 9 5 6 6 3 0o 2 7 1 9 7 9o 。t 0 4 3 4 l1 毛1 4 0 7 6 7l i oo ol j x 1 = 2 3 4 4 1 7 8 x 2 = 1 4 9 8 8 0 3x 3 = 1 6 6 1 3 6 5 毋i = 1 3 3 7 9 4 8 9 9 毋2 = 1 1 2 。5 7 7 6 2 0 联= l 7 9 1 1 2 8 l 抒l = o 0 4 6 0 9 5 o o 8 3 0 3 8 8 j 口2 = f o 。1 4 7 5 2 0 o 2 5 5 5 1 2 1 0 9 4 7 6 8 】 口3 ；卜o 0 5 7 7 4 4 一o 。l o o o l 51 1 9 7 8 1 5 】 o ，1 7 1 3 2 4 一o 2 3 5 6 0 1o 9 5 6 6 3 0 卸- 0 8 3 7 8 6 j i o 。2 3 5 6 0 l o 9 3 3 0 1 6o 2 7 1 9 7 9o 0 5 1 8 3 2i l 一0 9 5 6 6 3 0一o 2 7 1 9 7 90 1 0 1 4 3 4 l1 0 4 0 7 6 7l l oo。l x l = - 1 6 8 3 3 3 5x 2 = 1 5 9 3 2 6 9x 3 一i 5 8 7 1 9 2 拶i = 一1 1 8 5 7 4 3 9 2 以= 一1 1 5 7 7 1 9 lb = 一1 1 5 5 7 4 5 7 a ；= 和一1 9 9 8 l so l 斌0 1 8 5 】 d 2 = 卜o 1 1 7 3 8 8o 。2 0 3 3 2 2 一1 0 6 7 1 2 6 j ，= 卜o 0 8 2 4 2 6 一o 1 4 2 7 6 6 一1 2 2 2 6 8 9 】 o 9 0 8 2 4 8 枷0 9 1 7 5 2 枷4 0 8 2 4 8 o _ o o o o o o 丁：l - o 0 9 1 7 5 2 0 9 0 8 2 4 8枷一0 8 2 4 8 o 0 2 0 1 8 5 l | o 4 0 8 2 4 8 o t 4 0 8 2 4 8 o - 8 1 6 4 9 7 一l l o | |oo0l| x l = 1 6 8 3 3 3 5x 2 = 1 5 9 3 2 6 9x 3 = 1 5 8 7 1 9 2 日l = 1 1 8 ，5