（市政工程专业论文）基于可靠性的城市雨水管网水力计算研究.pdf

西南交通大学硕士研究生学位论文第1 页 摘要 雨水管网是城市的重要基础设施之一，目前的设计方法是定值设计法，缺 乏对排水可靠性的考虑。而事实上，在设计过程中涉及的变量以及采用的计算 模型等具有不确定性，在设计时应当考虑这些不确定性因素，将设计变量看作 是随机变量，运用基于可靠性理论的概率极限状态设计法来设计。 城市雨水管网系统的任务就是及时可靠地汇集并排除降雨形成的地面径 流，从而给城市刨造一个舒适安全的生存和生产环境。但是，近年来诸多城市 ( 如北京、上海、南京、成都等) 都不同程度地发生了内涝灾害，给人们造成 了巨大的经济损失。造成内涝的原因除了排水设施和管理制度跟不上经济的发 展、城市化进程的步伐外，现有排水管网的可靠性低也是一个主要原因。因此， 研究雨水管网的可靠性，采取基于可靠性理论的概率极限状态设计法来设计雨 水管网有着重要的实际意义。 本论文首先分析了雨水管网设计中存在的不确定性，然后针对一个已经存 在的雨水管网，采用验算点法、蒙特卡罗法、遗传算法3 种方法计算出了各单 段管道的可靠度，采用界限估计法估计出整个雨水管网体系的可靠度，计算结 果显示了现有的用定值设计法设计的雨水管网可靠性低的结论。接着提出了雨 水管网概率极限状态设计的目标可靠指标建议值，并计算出与之相对应的分项 系数，最后举例运用目标可靠指标和分项系数表达式两种方法进行了雨水管道 的概率极限状态水力计算。 关键词可靠性；概率极限状态；雨水管网；水力计算 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 i 页 a b s t r a c t t h er a i n w a t e rp i p en e t w o r k so n eo f t h eu r b a ni m p o r t a n ti n f r a s t r u c t u r e s a n dt h e c u r r e n td e s i g nm e t h o di st h ed e f i n i t ev a l u ed e s i g nm e t h o d 1 a c k i n gt h ec o n s i d e r a t i o n o fr e l i a b i l i t yo fd r a i n i n g0 f rw a t e r i nf a c t 。t h ev a r i a b l e si n v o l v e di f lt h ec o u r s eo f d e s i g n i n ga n da d o p t i v ec a l c u l a t i o nm o d e l s ，e t c h a v eu n c e r t a i n t y i nt h ed e s i g n ，t h e s e u n c e r t a i nf a c t o r ss h o u l db ec o n s i d e r e d ，t h ev a r i a b l e ss h o u l db er e g a r d e da st h e r a n d o mv a i l a b l e s ，a n dt h ep r o b a b i l i t yl i m i ts t a t ed e s i g nm e t h o db a s e do f fr e l i a b i l i t y t h e o r ys h o u l db ea d o p t e d t h et a s ko ft h eu r b a nr a i n w a t e rp i p en e t w o r ks y s t e mi st og a t h e ra n dg e tr i do f s u r f a c er u n e f f c a n s e db yr a i n f a l li nt i m ea n dd e p e n d a b l y t h u se r e a t i n gac o m f o r t a b l e a n ds a f ee x i s t e n c ea n dp r o d u c t i o ne n v i r o n m e n tf o rt h ec i t y h o w e v e r ，i nr e c e n ty e a r s ， w a t e r l o g g i n gh a st a k e np l a c ei nv a r i o u sd e g r e ei n ag r e a td e a lo fc i t i e sr s u c ha s b e i j i n g ，s h a n g h a i ，n a n j i n g ，c h e n g d u ) a n dc a u s e dt h ee n o r m o u se c o n o m i cl o s s e s t o p e o p l e t h e c a u s eo fw a t e r l o g g i n g e x c e p t t h a t d r a i n i n ge q u i p m e n ta n d m a n a g e m e n ts y s t e mc a l ln o tc a t c hu pw i t hp a c e so fe c o n o m i cd e v e l o p m e n ta n d u r b a n i z a t i o np r o c e s s i ti sam a i nr e a s o f lt o ot h a tt h er e l i a b i l l t yo ft h ee x i s t i n g d r a i n a g ep i p e l i n en e t w o r k si sl o w s os t u d y i n gr e l i a b i l i t yo fr a i n w a t e rp i p en e t w o r k a n da d o p t i n gp r o b a b i l i t yl i m i ts t a t ed e s i g nm e t h o db a s e do nr e l i a b i l i t yt h e o r yt o d e s i g nr a i n w a t e rp i p en e t w o r kh a v ei m p o r t a n ta c t u a lm e a n i n g s t h eu n c e r t a i n t yi nt h er a i n w a t e rp i p en e t w o r kd e s i g ni sa n a l y s e di nt h i st h e s i sa t f i r s t t h o nt oa ne x i s t i n gr a i n w a t e rp i p en e t w o r k , j cm e t h o d ，m e n t a - c a r l om e t h o d a n dg e n e t i ca l g o r i t h m s ( g a ) m e t h o da r ea d o p t e dt oc a l c u l a t et h er e l i a b i l i t yo fe v e r y s i n g l es e c t i o no fp i p e l i n e s ，b o u n de s t i m a t i o nm e t h o di sa d o p t e dt oc a l c u l a t et h e r e l i a b i l i t yo ft h ew h o l eo fr a i n w a t e rp i p en e t w o r ks y s t e m t h er e s u l to fc a l c u l a t i o n s h o w st h a tt h er e l i a b i l i t vo ft h er a i n w a t e rp i p en e t w o r kd e s i g n e dw i t hd e f i n i t ev a l u e d e s i g nm e t h o di s l o w t h e nt h ee x p e c t e dr e l i a b i l i t yi n d e x e so fr a i n w a t e rp i p e n e t w o r ka r ep u tf o p , v a r d a n dt h ep a r t i a lf a c t o r so fc o r r e s p o n d i n gt ot h e ma f e c a l c u l a t e d f i n a l l y t h ep r o b a b i l i t yl i m i ts t a t eh y d r a u l i cc a l c u l a t i o no fr a i n w a t e rp i p e n e t w o r ki sc a r r i e do f fw i t he x p e c t e dr e l i a b i l i t yi n d e xm e t h o da n dp a r t i a lf a c t o r e x p r e s s i o nm e t h o df o re x a m p l e k e yw o r d sr e l i a b i l i t y ；p r o b a b i l i t yl i m i ts t a t e ；r a i n w a t e rp i p en e t w o r k ；h y d r a u l i c c a l c u l a t i o n 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 页 1 1 研究意义 第1 章绪论 通常所说的可靠性是指产品在规定的时间内，在规定的条件下，完成预 定功能的能力，度量产品可靠性的数量指标称为可靠度，是产品可靠性的概 率量度“1 。城市雨水管道是属于工程结构的范畴淄，要用结构可靠性理论来 研究，对于由多根管道组成的雨水管网系统来说，其可靠性的研究又涉及到 结构体系可靠性的问题。 工程结构可靠性理论的研究起源于对结构设计、施工和使用过程中存在 的不确定性的认识，是随着结构设计方法发展超来的。3 。目前，诸多工程结 构( 如建筑、桥梁、铁路、公路、港口、水利水电) 的设计都采用以可靠性 理论为基础以分项系数表达的概率极限状态设计法来设计，然而，作为城市 重要基础设施的排水管网设计方法仍然是定值设计法，对于雨水管网来说， 现行的设计方法是采用推理公式法计算降雨产生的径流量，明渠恒定均匀流 公式计算输水能力，计算过程中涉及的参数都是确定性的。而事实上，这些 参数均具有不确定性，例如：暴雨强度与降雨的重现期、历时、排水流域的 大小等有关，是不确定的：径流系数与城市的发展有关，也是不确定的；汇 流面积有边界的不确定性和计算面积的误差：由于制造误差和使用过程中的 沉淀造成的断面减少，所以管径是不确定的；由于管道不童、扭曲及沉降， 使得管道坡度是不确定的；由于管材质量和运行中的冲淤影响等，所以糙率 也是不确定的，而推理公式法本身是基于城市雨水设计流量与降雨同频率的 假设的近似计算公式，运用明渠恒定均匀流公式计算城市非恒定非均匀的雨 水径流量也是近似的，即存在计算模式的不确定性“1 。所以，在雨水管网设 计时，应把这些不确定性因素看作是随机变量，运用基于可靠性理论的概率 极限状态设计法来设计。 城市雨水管网系统的任务就是及时可靠地汇集并排除暴雨形成的地面 径流，防止城市居住区与工业企业受淹，以保障城市人民的生命安全和生产 生活的正常运行。但是，目前诸多城市都不同程度地存在内涝问题，例如北 京、南京、上海、成都等地一遇到暴雨就地面大面积积水，以至于交通瘫痪， 桥涵堵塞，严重影响了居民生活、交通运输和工业生产，由此发生的道路塌 西南交通大学硕士研究生学位论文 第2 页 陷，房屋倒塌，交通事故等带来了巨大的人员伤亡和经济损失；大量的积水 漫溢在街区，严重地污染了环境，损害了人们的身心健康。造成这些灾害的 原因除了排水设施和管理制度跟不上经济的发展、城市化进程加快的步伐 外，现行雨水管网的定值设计方法( 设计中不考虑安全系数和可靠性) 也是 一方面的原因，已有的一些文献证实表明：这种确定性设计方法设计的管网 的可靠性是很低的，即使是设计重现期内的暴雨，也不能及时地排除”“1 ， 因此，研究雨水管网的可靠性，采取基于可靠性的概率极限状态设计法来设 计雨水管网有重要的实际意义。 1 2 国内外研究现状 自2 0 世纪2 0 年代起，国际上开展了结构可靠性基本理论的研究，并逐 步扩展到结构分析和设计的各个方面，到2 0 世纪7 0 年代，可靠度方法在结 构设计规范中的应用成为可靠性研究的一项重要内容。国际标准化组织于 1 9 8 6 年颁布了结构可靠性总原则，1 9 8 8 年又颁布了该标准化的修订版本， 在推进世界各国结构可靠度设计方面起了重要作用。我国对结构可靠度理论 的研究始于2 0 世纪5 0 年代，曾讨论了数理统计方法在结构设计中的应用问 题，6 0 年代又提出用二阶矩模式分析结构的安全系数。自1 9 8 4 年起到现在， 我国先后完成了第一层次的工程结构设计可靠度统一标准和第二层次的 建筑、桥梁、港口、水利水电、铁路和公路工程结构可靠度设计统一标准的 编制工作，并完成了相应结构设计规范的修订”1 。但是。目前国内外还没有 基于可靠性的给排水工程设计规范。 在工程结构的可靠性研究中，主要有结构及结构体系可靠度的计算、目 标可靠度的确定、概率极限状态设计等问题。目前，工程结构可靠度的计算 方法有一次二阶矩法( 包括中心点法、验算点法、映射变换法、实用分析法) 、 高次高阶矩法( 包括二次二阶矩法、二次四阶矩法) 、蒙特卡罗法 ( m o n t e c a r l o ) 、优化法、响应面法、随机有限元法等”。结构体系可靠 度的研究内容非常丰富，成果也比较多，例如寻找结构主要失效模式的网络 搜索法、分支一约界法，体系可靠度计算有区间估计法、蒙特卡罗重要抽样 法等o ，。目标可靠指标的确定方法主要有校准法和类比法。概率极限状态设 计可以直接用目标可靠指标来设计，也可以采用基于可靠性理论的分项系数 表达式来设计。 西南交通大学硕士研究生学位论文第3 页 在基于可靠性的概率极限状态设计法成功而广泛应用的今天，给排水管 网的设计仍然是定值设计法，近年来，虽有一些学者在排水管网可靠性方面 有一些研究“”，但只是对一段管道进行简单的可靠度计算，在统计参 数的选取和可靠度计算方法上都很粗劣，并没有形成一种完整的水力计算体 系，即使在研究比较多的排水管网优化设计方面，其约束条件中也没有考虑 可靠度，使得投资虽然减少了，可靠度反而降低了。因此，我们应当建立一 种基于可靠性的排水管网水力计算方法，并运用到实际的工程设计中。 1 3 主要工作与技术路线 本论文研究雨水管网的可靠性问题，将目前盛行的工程结构设计方法一 一概率极限状态设计法运用到雨水管道的水力计算中，具体分为三个章节来 介绍。 第二章介绍工程结构的可靠性理论和概率极限状态设计方法。 第三章介绍传统的雨水管网水力计算方法，分析计算中涉及的各随机变 量的不确定性。 第四章建立基于可靠性理论的雨水管道概率极限状态设计的功能函数， 举例进行单段管道可靠度的计算及由多根管道组成的雨水管网系统可靠度 的计算，然后探讨目标可靠指标，并计算与其相应的分项系数，建立基于可 靠性的雨水管道概率极限状态水力计算体系。 本文的研究技术路线见图1 1 。 工程结构可靠度及概率极限状态设计 传统雨水管网水力计算方法及不确定性 雨水管网可靠度及概率极限状态水力计算 雨水管网的可靠度计算l1 雨水管道的概率极限状态水力计算 单段管道的il 管网体系的l1 用目标可靠il 用分项系 可靠度计算l1 可靠度计算ll 指标计算il 数计算 图1 1 研究技术路线框图 西南交通大学硕士研究生学位论文第4 页 第2 章工程结构可靠度与概率极限状态设计 2 1 工程结构设计方法的历史演变 随着科学研究和实践认识的不断深入及计算技术的不断发展，工程结构 的设计理论和方法不断演变和更新。从1 9 世纪末到现在，工程结构设计方 法经历了定值设计法一半经验半概率极限状态设计法一概率极限状态设计 法的过程。 定值设计法包括容许应力设计法和破损阶段设计法，其原理是在结构设 计时，将涉及的所有变量作为定值，仅用一个凭经验确定的统一的、单一的 安全系数来考虑结构的安全性，这种方法不能真实地反应结构的安全程度。 半经验半概率极限状态设计法即多系数极限状态设计法，是将结构设计 中的部分变量进行概率统计分析，并与工程经验相结合引入某些经验系数来 设计结构，与定值设计法相比，其安全系数的选取从纯经验性发展到部分地 采用概率统计值，但是还没有脱出定值设计法的框架。 概率极限状态设计法是用统一的、数量化的结构可靠度指标代替传统的 安全系数来设计结构，应用概率意义上的可靠度、可靠概率或可靠指标将结 构的可靠程度明确地揭示出来，是工程结构设计思想和设计方法的一大进 步。按照可靠指标中是否考虑基本变量随时间的变化特性，将概率极限状态 设计法分为近似概率法和全概率法，近似概率法是运用随机变量来描述结构 设计中的基本变量，全概率法是运用随机变量和随机过程来描述基本变量， 由于目前对基本变量的概率统计信息的不足，全概率法的应用还不现实，国 内外编制的各种结构设计准则都采用近似概率法“”1 。 2 2 工程结构可靠度的有关基本概念 2 2 1 可靠性与可靠度 工程结构可靠性是结构的安全性、适用性和耐久性的总称，可靠度是其 数值量度，定义为：结构在规定的时间内，在规定的条件下，完成预定功能 西南交通大学硕士研究生学位论文第5 页 的概率。这里所说的“规定时间”是指结构的设计基准期；“规定条件”是 指结构正常设计、正常施工和正常使用的条件，即不考虑人为过失的影响； “预定功能”就是指结构的安全性、适用性和耐久性“。 2 2 2 功能函数与结构状态 针对工程结构所要求的功能，把影响结构可靠度的有关因素作为基本变 量并。，x ：，x 。，由这些基本变量组成的描述结构功能的函数： z = g ，( 一，五，以) ( 2 1 ) 称为结构功能函数。若把影响结构作用方面的基本变量组合成综合作用效应 s ，抗力方面的基本变量组合成综合抗力r ，从而结构的功能函数为 z = r s 。 结构在使用过程中可能出现3 种状态：可靠状态、失效状态、极限状态。 可靠状态是指结构能够完成要求的功能，失效状态是指结构不能完成要求的 功能，结构由可靠状态到失效状态需有一个界限，这界限称为结构的极限 状态。若利用结构功能函数描述各状态，各状态可表示为 可靠状态： z = g _ ( 五，z 2 ，以) 0 ( 2 2 ) 失效状态： z = g f ( 工i ，x 2 ，工。) 0 ) ( 2 5 ) 一= p ( z o ) ( 2 - 6 ) 亘童至堕奎兰堕主堕塞竺兰焦堡窒塑! 垂 显然有只+ 0 = 1 ，基于计算和表达上的方便，常用失效概率_ p ，来度量结构 的可靠性，若已知结构功能函数z 的概率密度函数z ( z ) ，则 02 p ( z o ) 2 z o 泣 ( 2 7 ) 而实际中z 的概率分布很难知道，一般情况下只能知道其表达式中各随机变 量的概率分布，设式( 2 1 ) 的中基本变量的联合概率密度函数为 正( 一，：，。) ，则结构的失效概率表示为 弓5j j 。j 工o ，x ：，) 出- d x z 出。( 2 - 8 ) 若各基本随机变量相互独立，则 p ，2j l 。j 矗( - ) 六：( x ：) 矗( h ) 出- 出：出。( 2 9 ) 式中工( x ，) 为基本随机变量z 的概率密度。 2 2 4 结构可靠指标 由式( 2 8 ) 和( 2 9 ) 可见，当基本变量比较多时，计算结构的失效概率需要 计算一个高维积分，将是比较困难的。因而引入了计算简便、精度满足要求 的可靠指标口。 假定z 服从正态分布，其平均值为以，标准差为盯：，则结构的失效概 率为 b 2 肚= 击e x p 【_ 簪挑( 2 _ 1 0 ) 作变换z = ：+ 仃：t ，即将z 标准正态化后，式( 2 1 0 ) 变为 。= 謦去唧( 一争州一争 ( 2 设生= 声，则 只= o ( 一历( 2 - 1 2 ) 盯。 结构的可靠度为 只= 1 一只= l 一中( 一所= 中( 历( 2 - 1 3 ) 西南交通大学硕士研究生学位论文第7 页 这里的口就称为结构的可靠指标。 式( 2 1 2 ) 和( 2 1 3 ) 是在功能函数z 服从正态分布的条件下建立的，当z 不 服从正态分布时，需将z 等效或近似为正态分布来计算，但这时求得的可靠 指标与可靠度、失效概率间不再具有( 2 1 2 ) 和( 2 1 3 ) 的精确关系，如果采用 比较好的近似计算方法，仍能求得比较好的结果。 下面讨论可靠指标卢的几何含义： 1 单个正态随机变量z 的情形 图2 - l ( a ) 是正态随机变量z 的概率密度曲线，图2 - 1 ( b ) 是标准正态化z 的概率密度曲线，图中阴影部分面积表示失效概率，可以看出芦的几何意义 就是坐标原点o 到失效边界的距离“。 图2 - 1 ( a ) 正态概率密度曲线图2 - 1 ( b ) 标准正态概率密度曲线 2 两个正态随机变量r 和s 的情形 对于用两个综合变量表示的功能函数z 一只一5 ，设尺和s 均服从正态分布， 平均值为如，心，标准差为，则z 也是正态分布，且心一风， 吒一2 + 2 ，可靠指标为 卢- 丝， 等磐( 2 “) 盯z 、，盯r 2 + 仃5 2 两个正态随机变量r 、s 表示的极限状态方程为 z r s 一0 ( 2 - 1 5 ) 在直角坐标系r o s 中是一条直线，r o s 是r o s 经过平移后的坐标系，如图 2 2 和图2 3 ，其两坐标关系为 袅。生盟，毒坠丝 ( 2 1 6 ) 西南交通大学硕士研究生学位论文第8 页 从式( 2 - 1 6 ) 中解出r 和s ，代入式( 2 - 1 5 ) 得坐标系r o s 中的极限状态方程表 达式 r 口r s 仃s + “r h s = 0 t 2 - 1 7 ) 式( 2 1 7 ) 还n 用直线的法线式表示： r c o s o r + s c o s o s o p = 0 ( 2 - 1 8 ) 式中c o s 8 rc o s 8 s 为法线o p 与各坐标向量的方向余弦 c 。s 靠5 丽- - o a ，c o s 驴焘 f 2 1 9 ) 将式( 2 1 7 ) 中各项除以一2 + 2 ，并把式( 2 一1 9 ) 中各项的值代入，整理后 得： “。+“铅一半手等=(2-20)rcos0 s c o s 0 。+ 铅一兰每告= 、盯r + 盯s 比较式( 2 - 1 8 ) 和( 2 2 0 ) ，并对照式( 2 - 1 4 ) 得： o p = 口( 2 - 2 1 ) 所以可靠指标口是新坐标原点6 到失效边界的最短距离，p 是与结构最大 可能失效概率对应的点，称为设计验算点。 实际上，式( 2 1 6 ) 是随机变量r 和s 的标准正态化过程，得到的变量胄、 ；的均值都为0 ，标准差都为1 ，新坐标系k b 是标准正态坐标系，所以， 可靠指标口的几何意义是：在标准正态坐标系中，原点到极限状态面的最短 距离。 对于功能函数是由多个正态随机变量组成的情形，分析方法类似于以上 两个正态变量的情形，这时可靠指标卢的几何意义是标准正态空间坐标系中 西南交通大学硕士研究生学位论文 第9 页 原点到极限状态曲面的最短距离。图2 - 4 表示3 个正态变量的情况，图中6 到曲面的最短距离o p 即为卢值，而j p 就是设计验算点“”1 。 ( o ，一 们c 。s 州= 。 、t 飞，訾朋 7 7p ( s ：r + ) 图2 2 新坐标系中b 位置图 图2 - 3 变换坐标系后的失效边界图 j j x3 图2 _ 4 标准空间坐标系中3 个正态变量时卢位置图 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 0 页 2 3 工程结构可靠度的计算方法 目前，工程结构可靠度的计算方法有一次二阶矩法( 包括中心点法、验 算点法、映射变换法、实用分析法) 、高次高阶矩法( 包括二次二阶矩法、 二次四阶矩法) 、蒙特卡罗法( m o n t e c a r l o ) 、优化法、响应面法、随机有 限元法等“。一次二阶矩法是指以基本随机变量相对独立为前提，只考 虑随机变量的前一阶矩( 均值) 和二阶矩( 标准差) 及功能函数的泰勒级数展 开式的常数项和一次项来求解结构可靠指标；m o n t e - c a r l o 法是种统计实 验法，是随着计算机的发展而逐步发展起来的一种直接求解失效概率的数值 方法，计算结果精度高，常用来检验计算的准确性；优化法是从可靠指标的 几何意义出发，采用可靠指标的优化数学模型来求解的，该方法可避免极限 状态函数对基本变量的偏导数和基本变量的独立变换问题，下面就介绍一下 这3 种方法。 2 3 1 验算点法( j c 法) 验算点法是一次二阶矩法的一种，国际标准结构可靠性总原则以及 我国第一层次和第二层次的结构可靠度设计统一标准，都是采用这种方法。 其特点是：将随机变量中不服从正态分布的变量在设计验算点上以与正态分 布等价的条件当量化为正态分布；功能函数为非线形时，要用泰勒级数展开 式在设计验算点处展开，经过不断迭代来求解结构的可靠指标。 2 3 1 1 非正态随机变量当量正态化 根据r f ( 拉科维茨一菲撕莱法) 当量正态化方法，将非正态随机变 量在验算点处当量正态化的条件有两个： ( 1 ) 在设计验算点x ? 处，当量正态变量x j ( 其平均值为：，标准差 为o 。j ) 的分布函数值砭( x ? ) 与原非正态变量x ，( 其平均值为r 标准差 为盯。) 的分布函数值以，( j ? ) 相等，即：，( x j ) = 以，( x ? ) ，或 矍亘窒望查兰堡主堑壅圭兰堡堡塞篁! ! 墨 o ( 净) ：( x ? ) ( 2 - 2 2 ) 盯。 由式( 2 - 2 2 ) 可求得当量正态分布的平均值芦：，为 芦i ，= x j 一西。f & ( z ；) 1 盯量 ( 2 2 3 ) ( 2 ) 在设计验算点x ? 处，当量正态变量x ? 的概率密度函数值矗( x ? ) 与原非正态变量石，概率密度函数值矗( # ) 相等，即：兵，( x j ) = 矗( x d ，或： 诃尘荨】 车一= 厶， o v 掣：矗( 蚋 ( 2 2 4 ) 口， 由式( 2 2 4 ) 可求得当量正态分布的标准差盯- 为 略铲 任z s ， 盯z2 万蕾广 ( 2 。2 式中，o ( ) 为标准正态分布函数，中。1 ( ) 为标准正态分布的反函数，声( ) 为 标准正态分布的概率密度函数“”。 2 3 1 2j o 法求解可靠指标 将功能函数式( 2 1 ) 在验算点p + ( z ? ，x ：，) 处用泰勒级数展开为 z l = g x “名2 ，p 喜掣( 昂f ) ( 2 - 2 6 ) 其平均佰利标准尊为 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 2 页 可靠指标口为 心嘞w ，矗z ) 嘻警( 缸哟 ( 2 - 2 7 ) 仃缸=雨,l,。y x t 一) 嘻警( 小蚋 i窆。1。o19。1x。a。1lx。,。2 r 2 2 s ) f 2 2 9 ) 式中，对于心和盯名，当x ，为正态随机变量时，1 2 * ，盯毛2 仃五。 由于实际上验算点是未知的，只由式( 2 2 9 ) 并不能直接求得可靠指标的 结果，还需要其它条件，由2 2 4 节介绍的可靠指标的几何意义并结合图 2 - 4 可知验算点坐标和可靠指标之间具有如下关系： x ：= u i e + p 仃：jc o s o x j q 一3 0 ) 式中，角目为图2 4 中所示，c o s o * 为方向余弦，并令c o s o x , = 玎置，则： 口 = 丝! 竺：! 盯j o x “。 ( 2 - 3 1 ) 可以看出，式( 2 2 9 ) 、( 2 3 0 ) 及式( 2 3 1 ) 是相互耦含的，可靠指标和验 算点需要迭代计算。综上所述，j c 法计算可靠指标的步骤为： ( 1 ) 假定初始验算点x 哪= ( 工，x y ，x ) 7 ，一般可取 工。= ( 置，j ：，一，x 。) 7 = 堕 卢 要喁 敏蠢_ = 卑晡 - 西南交通大学硕士研究生学位论文 第1 3 页 ( 2 ) 对于非正态变量z ，由式( 2 2 3 ) y t l l ( 2 2 5 ) 计算：和盯。t ( 3 ) 由式( 2 2 9 ) 计算口； ( 4 ) 由式( 2 - 3 1 ) 计算口z ( f = l ，2 ，- ，n ) ； ( 5 ) 由式( 2 3 0 ) 计算新的验算点x 哪= ( z ，x 2 ( i ) 9 t 1 1 ) 7 ： ( 6 ) 若忙m z 啦! l g ，占为规定的允许误差，则停止迭代，所求卢即 为所要求的可靠指标。 可以看出，j c 法对于极限状态方程是线性且各随机变量都服从正态分 布的情况，求得的可靠指标和可靠度是精确的；否则就要采用泰勒级数展开 线性化和非正态变量当量正态化，这样求得的结果是近似的“1 “。 2 3 2 蒙特卡罗法 蒙特卡罗法( m o n t e c a r l o ) 又称为统计实验法或随机模拟法，其理论 基础是概率论中的大数定理，是随着电子计算机的发展丽逐步发展起来的一 种直接求解失效概率的数值方法，基本原理如下“2 ： 对基本变量相互独立的情况，设基本变量x 。，：，x 的分布函数分别 为氏( x - ) ，( z z ) ，( x 。) ，令( x ，) = 0 ，0 是由蒙特卡罗法产生的 随机序列中的一个数，由此得到x ，= 吲( ，) ，i = 1 , 2 ，n ，对于每个r ，值可 产生每个基本变量的相互独立的子样x ，将这些值带入失效函数g 。( z ) 得 出一个取值。若g 。( x ) 0 ，则在计算机程序中记入一次失效函数的实现； 若g ，( x ) 0 ，则不记入，这样就完成了一次计算，再产生下一随机数，重 复上面的计算，直至完成预定的试验次数为止。此时失效概率为 。= p ( z 鲫= ! 受告( 2 - 3 2 ) 式中，肝是试验的总次数，k 是试验中g ，( x ) 0 的次数，比值k 是统计变 量。当模拟次数”很大甚至趋于无穷大时，得出的失效概率值是精确的；当 ”很小时，得出的失效概率值有相当大的不定性。如果基本随机变量相关， 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 4 页 应利用条件概率密度，把多维问题化为一维问题来解决。 蒙特卡罗法计算可靠度的基本步骤为“： ( 1 ) 建立功能函数z = g ，( z ) ； ( 2 ) 用数学方法产生随机向量工，进行随机抽样； ( 3 ) 将随机向量工代入功能函数，若z 0 则结构失效； 0 ( 4 ) 若试验总次数为”，失效次数为女，则失效概率为p t = l i m 三。 。h 蒙特卡罗法的优点是应用范围广泛，计算结果精确，模拟的收敛速度与 基本随机向量的维数无关、极限状态函数的复杂程度与模拟过程无关、无需 将状态函数线性化和随机变量当量正态化、能赢接解决问题。缺点是在计算 中需耗费大量机时，而且蒙特卡罗法只能计算出结构的失效概率，并以此换 算出可靠度指标，而无法得到验算点。因蒙特卡罗法计算结果精确，所以常 用来验证其它计算方法的准确性。 2 3 3 优化方法 p l l i u 和a ，d k i u r e g h i a n 详细研究了结构可靠度计算的各种优化 算法，包括梯度下降法、罚函数法、序列二次规划法、l a g r a n g e 乘子法、 t t - l 法及其改进h - l 法等，并对各种优化进行了验证，提出了适合可靠度分 析的优化方法”“。b k l o w 和w h t a n g 利用m i c r o s o f t e x c e l 中的规划求解 器进行了可靠度指标的优化求解，可避免求极限状态函数对基本变量的偏导 数和相关变量的独立变换这两个问题。“。但这些优化方法求解非常复杂，有 时需要用到功能函数的二阶偏导数或者逆矩阵，有时还会陷入局部极小值， 并且对初始值的设置相当重要，而采用遗传算法( g a ) 进行优化，可以有效地 解决这些难题。 2 3 3 1 遗传算法 遗传算法是模拟生物在自然环境中的遗传和进化而形成的一种自适应 全局优化概率搜索算法”“。它将生物进化原理与最优化技术和计算机技术完 美结合起来，与传统优化算法相比，主要有以下优点”： ( 1 ) 遗传算法阻决策变量的编码作为运算对象。这种对决策变量的编码 处理方式，使优化计算过程中可以借鉴生物学中染色体和基因等概念，模仿 自然界中生物的遗传和进化等机理。 西南交通大学硕士研究生学位论文 第1 5 页 ( 2 ) 遗传算法直接以目标函数值作为搜索信息。这特性对很多目标函 数无法或很难求导的函数，或导数不存在的函数优化问题极为方便。 ( 3 ) 遗传算法同时使用多个搜索点的搜索信息。它从由很多个体组成的 一个初始群体开始最优解的搜索过程，这是遗传算法特有的一种隐含并行 性。 ( 4 ) 遗传算法使用概率搜索技术( 一种自适应概率搜索技术) 。其选择、 交叉、变异等运算都以一种概率的方式进行，时间和理论都己证明在一定条 件下遗传算法总是以概率l 收敛于问题的最优解。 对一个需要进行优化计算的实际应用问题，一般可按下述步骤来构造求 解该问题的遗传算法。”： ( 1 ) 确定决策变量及其各种约束条件，即确定出个体的表现型z 和问 题的解空间。 ( 2 ) 建立优化模型，即确定出目标函数的类型( 是求目标函数的最大值 还是求目标函数的最小值) 及其数学描述形式或量化方法。 ( 3 ) 确定表示可行解的染色体编码方法，也即确定出个体的基因型五 及其遗传算法的搜索空间。 ( 4 ) 确定解码方法，即确定出由个体基因型到个体表现型x 的对应关 系或转换方法。 ( 5 ) 确定个体适应度的量化评价方法，即确定出由目标函数值厂( 耳) 到 个体适应度f ( x ) 的转换规则。 ( 6 ) 设计遗传算子，即确定出选择运算、交叉运算、变异运算等遗传算 子的具体操作方法。 ( 7 ) 确定遗传算法的有关运行参数，即确定出遗传算法的初始种群 似) 、终止迭代次数仃) 、交叉概率( p o ) 、变异概率( 己) 等参数。 2 3 32 运用遗传算法计算可靠度 1 优化模型的建立 根据可靠指标的几何意义，即在标准正态坐标系中，可靠指标口是原点 到极限状态曲面的最短距离，而验算点即为原点到极限状态曲面距离最短的 点，则可以建立以下可靠度指标计算的约束优化数学模型。： r ，、1 ， 舰卢z ：争i 掣1 ( 2 3 3 ) 智i 盯 j 西南交通大学硕士研究生学位论文 _ _ 。- _ _ - 。1 。_ _ - 。- - _ 。_ _ _ 。_ _ _ - - - _ 。- 。_ _ _ 一 s t z = g x t x ：，x ：，x 0 = 0 第1 6 页 f 2 3 4 ) 上面给出的优化模型是有一个约束的非线性规划模型，而遗传算法一般 对无约束的优化模型比较方便。同时为了使验算点落在失效边界上，可以令 第个变量用其它一1 个变量表示，一般选择变异较大的那个变量，由式 ( 2 - 3 4 ) 可得 杉= g ：( z ：，墨，z 二，z ；。，：) ( 2 3 5 ) 则可以转化为如下无约束优化模型： m i n f 1 2 = 。， 钭2 + ( 塑堡等型型 ( 2 - 3 6 ) 设华：r ，则r 为服从标准正态分布的随机变量，无约束优化模 o j 型式( 2 3 6 ) 变为 m i n 声2 = 窆i 2 + f 2 ( g 。7 ) ( 2 3 7 ) f ；l ， 2 编码和解码方法 遗传算法的编码方法有二进制编码、浮点数编码、符号编码，本论文选 用二进制编码方法，编码原理如下； 由文献 2 6 可知，对于其累积概率分布函数为毋( x ) 的随机变量x j 可 以由下式产生： f = 圪1 ( 一) ( 2 - 3 8 ) 式中，为 0 ，1 区间内的均匀随机数。 由当量正态化方法可将服从概率分布函数b ) 的随机变量x ? 当量正 态化为r + 即 vli， 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 7 页 中( 芝粤) ：_ ( 舶 d 量 ( i ) = f - ( x ? ) 将式( 2 3 9 ) 变换为另一种形式为 r = 中。( 矗( 盖? ) ) 由式( 2 - 3 8 ) 和( 2 - 4 0 ) 可得如下关系： z + = 中- 1 ( 只) f 2 3 9 ) f 2 4 0 ) ( 2 - 4 1 ) 即优化模型式( 2 3 7 ) q h 的变量r 可以由服从 0 ，1 区间内的均匀随机数 产 生，而y 可以用一个m 位的二进制串表示，下面以l o 位二进制串为例来说 明，1 0 位二进制编码串可以表示从0 到1 0 2 3 之间的1 0 2 4 个不同的数，故将 o ，1 离散成为1 0 2 3 个均等的区域，包括2 个端点在内共有1 0 2 4 个不同的离 散点。从离散点0 至离散点1 ，依次让它们分别对应于从0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( 0 ) 至 1 1 1 1 1 1 1 i 1 1 ( 1 0 2 3 ) 之间的二进制编码，又因为模型中有 一1 个变量，所以在 0 ，1 区间内可以得到1 0 2 4 ”个离散点，再将盯一1 个随机变量的l o 位二迸 制编码串连接在一起，组成一个i o ( n 一1 ) 长的二进制编码串，它就构成了这 个优化问题的染色体编码方法。 解码时需先将l o ( n d 位的二进制编码串切断为n 1 个1 0 位长的二进 制编码串，然后分别将它们转换为对应的十进制整数代码，分别记为 y l , y ：，y 。，依据前述个体编码方法，将代码y ，转换为随机变量z 的解码 公式为 r = 中1 ( ) = 中。( 蠢亩) ( 7 = 1 ，2 ，j - 1 , ，+ 1 ，帕( 2 - 4 2 ) 3 确定个体评价方法 由于优化目标是求函数的最小值，所以需要建立个体适应度f 与其对应 的目标函数值卢的转换关系，其转换关系可用下式实现： ，( r + ) = c 。一声 ( 2 - 4 3 ) 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 8 页 式中，c 一为一个较大的数，因为一般工程的可靠指标声肯定小于1 0 ，所以 c 可取为l o 。 4 设计遗传算子 遗传算法的选择运算可以使用适应度方法、最佳个体保存方法、期望值 方法、排序选择方法，交叉运算可以使用单点交叉、两点交叉、多点交叉、 均匀交叉，变异运算可以使用单点变异、自适应变异、均匀变异、非一致变 异算子1 。 5 确定遗传算法的运行参数 遗传算法中需要选择的运行参数主要有个体编码串长度，群体大小 m ，交叉概率只；变异概率只，终止迭代数r 等，这些参数对遗传算法的 运行能有较大影响，需认真选取。 ( 1 ) 编码串长度上，使用二进制来表示个体时，编码串长度工的选取与 问题所要求的求解精度有关。 ( 2 ) 群体大小肘，群体大小。表示群体中所含个体的数量，当m 取值 较小时，可提高遗传算法的运行速度，但降低了群体的多样性，有可能会引 起遗传算法的早熟现象，而当m 取值较大时，又会使遗传算法的运行效率 降低。 ( 3 ) 交叉概率只，交叉操作是遗传算法中产生新个体的的主要方法，所 蛆交叉概率一般要取较大值，但若取值过大的话，它又会破坏群体中的优良 模式，对进化算法反而产生不理影响，若取值过小的话，产生新个体的速度 较慢 ( 4 ) 变异概率巴，若变异概率只取值取值较大的话，虽然能够产生出 较多的新个体，但也有可能破坏掉较好的模式，使得遗传算法的性能近似于 随机搜索算法的性能；若变异概率己取值太小的话，则变异操作产生新个 体的能力和抑制早熟现象的能力就会较差。 ( 5 ) 终止迭代数r ，终止迭代数r 是表示遗传算法运行结束条件的一个 参数，它表示遗传算法运行到指定的进化代数之后就停止运行，并将当前群 体的最佳个体作为所求问题的最优解。 一般选择初试种群数量肼= 5 0 3 0 0 ；终止迭代次数t = 2 0 0 5 0 0 ；交 叉概率只= 0 2 5 1 ；变异概率只为0 0 0 1 o 1 ，目前尚无合理选择它们的 理论依据，在应用中往往需要经过多次试算后才能确定出这些参数合理的取 值大小或取值范围”“。 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 9 页 2 4 结构体系可靠度的计算 2 4 1 结构体系的基本类型 结构体系的最基本类型有串联体系和并联体系两种，串联体系是指结构 中每一个构