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h a r d y 空间上的本质h a n k e l 算子y 6 5 4 4 4 2 专业基础数学 指导教师严从荃教授研究生郭酷 中文摘要： 因其特殊的结构以及应用的广泛性，人们对日2 上的t o e p l i t z 算子和 h a n k e l 算子进行了长期深入的研究，将这两类算子的定义域空间及其作用形 式加以拓展，还可以得到他们的各种推广形式。 本文在第一章中首先对这两种算子作以简介，在第二章中概述了他们的 研究推广情况，在文章的最后一部分中，对其中h a n k e 算子的一种特殊的推 广形式本质h a n k e l 算子做了进一步的研究，详细证明了它的一个相关结 论。 设k 为一个紧算子，s 是前位移算子，当s + t t s = k 时，称t 为本 质h a n k e l 算子，一般的h a n k e l 算子是本质h a n k e l 的，所有本质h a n k e l 算 子的集合称为e s s h a n k 。很明显可以看到，对于形式为“h a n k e l 算子+ 紧算 子”的算子来说，它必为本质h a n k e l 算子：但是否所有的本质h a n k e l 算子 都能够写成这种“h a i l k e l 算子+ 紧算子”的形式呢? 答案是否定的，在列举 了几个例子( 参见文献 1 】) 之后，本文通过反证以及构造的方法，对此结论 给出了一个完整的论证。 关键词：h a r d y 空间h a n k e l 算子t o e p l i t z 算子 本质h a n k e l 算子紧算子 t h ee s s e n t iaiiyh a n k el o p e r a t o r so nh a r d ys p a c e m a j o r ：b a s i cm a t h e m a t i c s di r e c t o r ：y a n c o n g q u a n s t u d e n t ：g u o z h e a b s t r a c t ： p e o p l et a k eg r e a ti n t e r e s t si nt h et o e p l i t zo p e r a t o ra n dh a n k e lo p e r a t o ro n h 2f o rt h e i r s p e c i a lc o n s t r u c t i o na n dw i d e s p r e a da p p l i c a t i o n ，o v e rt h ed e c a d e s y e a r s ，m a n yt h o r o u g h g o i n ga n dp a i n s t a k i n gw o r k h a db e e nd o n eb ys o m ef a m o u s m a t h e m a t i c i a n s g o i n gas t e p 如r t h e r , f o rt h e s et w o c a l s so f o p e r a t o r s ，w ec a r tg e t d i f f e r e n tk i n d so f g e n e r a l i z a t i o n s o ft h e m i nt h ef i r s tp a r to ft h i sp a p e r , w eg i v eab r i e fi n t r o d u c t i o no ft h et w oc l a s so f o p e r a t o r s w ea l s o i n t r o d u c e dt h e i rr e c e n tr e s e a r c ha n dg e n e r a l i z a t i o n si nt h e f o l l o w i n gp a r t g r a d u a l l y , a f t e rp r e s e n t i n g s o m ee x a m p l e so fe s s e n t i a l l yh a n k e l o p e r a t o r ( as p e c i a lg e n e r a l i z a t i o no f h a n k e lo p e r a t o r ) ，if o c u sm ym a i na t t e n t i o no n t h ep r o o f o far e l e v a n tc o n c l u s i o nt ot h ee s s e n t i a l l yh a n k e lo p e r a t o r h e r eki sac o m p a c t o p e r a t o r , si st h eu n i l a t e r a lf o r w a r ds h i f t ，w ed e f i n et i sa ne s s e n t i a l l yh a n k e lo p e r a t o r , w h e ns + t t s2 k f o ra no p e r a t o rw h i c hh a s t h ef o r m “h a n k e lo p e r a t o r + c o m p a c t o p e r a t o r ”，w ec a n s e eo b v i o u s l yt h a ti ti s h a n k e li n d e e d ，t h e nan a t u r a lp r o b l e ma r i s e ：d o e sa l lt h e e s s e n t i a l l y h a r d ( e l o p e r a t o r c a nb er e p r e s e n ta st h ea b o v ef o r m ? t h ea n s w e ri s n e g a t i v e ，a f t e r p r e s e n t i n gs e v e r a lt y p i c a le x a m p l e s ( r e f e r e n c e 1 ) i nt h i sp a p e r ，i naw a yo f r e d u c t i o nt oa b s u r d i t ya n dc o n s t r u c t i o n ，w ep r o v et h ec o n c l u s i o ni n e x t e n s o k e y w o r d ：h a r d ys p a c e h a n k e lo p e r a t o r t o e p l i t zo p e r a t o r e s s e n t i a l l yh a n k e lo p e r a t o rc o m p a c to p e r a t o r 致谢 衷心感谢我的导师严从荃教授这些年来对我学习和生活上的关怀和帮助， 在他的指导和帮助下，我才能顺利完成学业。 并且，在研究生学习期间，曹广福教授也给予我很多的指导和帮助，在此， 对于数学学院老师们的关心和爱护，以及各位同学的关心和帮助，我表示衷心 的感谢! 刖昌 h a r d y 空间上的本质h a n k ei 算子 在近几十年的研究和发展中，h2 上的t o e p l i t z 算子和h a n k e l 算子吸引了 人们诸多的注意力，对于它们的结构与性质，已经有了成熟的理论成果。对于 它们的一些推广形式，现在也有所研究。这篇文章就是对h a n k e l 算子的一个具 体的推广形式本质h a n k e l 算予做以研究，对于形式为“h a n k e l 算子+ 紧算 子”的算子来说，根据紧算子的性质，我们很容易可以看到，它必为本质h a n k e l 算子：但是否所有的本质h a n k e l 算子都能够写成这种“h a n k e l 算子+ 紧算子” 的形式? 答案是否定的，在列举了几个例子( 参见文献【i ) 之后，本文通过反 证以及构造的方法，对此结论给出了一个完整的证明。 对于t o e p l i t z 算子和h a n k e l 算子，人们为什么会有持续不断的兴趣和热 情? 就其重要性而言，它包含了一类非常重要的非自共轭算子，它们在算子理 论、函数论、调和分析以及算子代数之间起着纽带的联系作用，它把这些理论 有机地联系在一起。而h a n k e l 算子是与t o e p l i t z 算子紧密联系着的，它也有 着实际的应用，比如在h 2 控制理论中，对于模型匹配问题，就是由n e h a r i 定 理将其转化为相应的h a n k e l 算子的范数的计算( 或估计) 。 从近年来的文献资料中可以看到，t o e p l i t z 算子与h a n k e l 算子的推广主要 是从两个方面来进行的：一个是将定义域空间扩大，由原来h a m y 空间到 b e r g m a n 空间、d i r i c h l e t 空间：此外就一些特殊空间上的算子也进行了研究， 如本质t o e p l i t z 算子集中的h a n k e l 算子( 见参考文献f 7 1 ) 等等。另一种推广形 式是将t o e p l i t z 算子及h a n k e l 算子本身的定义作以改动或推广。象 h a n k e l 算子，本质h a n k e l 算子以及渐近t o e p l i t z 算子与渐近h a n k e l 算子等，人们对此 都进行了研究。为了后面更好地展开，首先我们介绍一些预备知识： 定义t 上的函数p ”) = e ”，其中n z ，t 是c 上的单位圆周。 对于p = 1 ，2 ，。，定义h 9 = ( ，r ( t ) ：f 4 ，( e 8 ) 丸( e 。) d 口= 0 ，n o ) l 2 是单位圆周t 上的平方可积函数构成的h i l b e r t 空间。 则有圩2 = ( ，l 2 ( t ) ：f 。，( e 。8 ) 而( p ) d o = 0 ， o ) ， 易知，h2 是l 1 中的由解析函数形成的空问。 p 是由上2 到日2 上的正交投影。 ，2 是通常的h i l b c r t 序列空间，l 2 2 ( x = ( x k k o ：x k c ，k 20 ，l 蜥l - 0 若t 是h i l b e r t 空间a 上的一个算子，则的t 伴随算子r 指的是满足 ( 驴，g ) = 杪，t + gj 的空间a 上唯一的算子r + ，f ，g 。 若有t - r ，则称t 为自伴算子。t 称为酉算子，当t t = t t + = i 时。 第一章：h 2 空间上的t o e p li t z 算子和h a n k e i 算子 1 1 关于t o e p ii t z 算子 定义1 1 1t o e p li t z 算子：设p r ，v = p ( 妒厂) ，则称弓是h 2 上的 t o e p l i t z 算子，f h 2 。 关于t o e p l i t z 算子，还有另一定义也被广泛应用： s + t s = t t 是一个t o e p l i t z 算子。( 这儿s = l ) 定义1 1 2t o e p | i t z 矩阵：考虑日2 空间上的一组正规正交基( 厄：n z + ) 对于一个t o e p l i t z 算子，我们可以得到这个算子关于这组基的一个矩阵： 6 oq a l2 0 口一2a 一1 口一3 口一2 ： ： d 2 口l玎2 口0口l 口一i6 0 - ： 可以看到，它的对角线上元素是相等的，这样的矩阵我们称为t o e p l i t z 矩阵。 对于t o e p l i t z 算子最初的研究是t o e p l i t z l 9 11 年在他的一篇文章中所涉及 到的一种特殊的有限维矩阵，后来几十年中，d o u g l a s ，w i n t n e r ，h a r t m a n 等人就 这个问题作了许多工作，使得人们对这种的算子的许多性质，包括有界性、紧 性、谱性质、可逆性、具有特殊符号的t o e p l i t z 算予以及t o e p l i t z 算子的代数 性质等都有了深入的认识。 下面我们将t o e p l i t z 算子的几个常用结论作以介绍 结论1 1 3 ( 可逆性) ：若妒l 。( t ) ，a t l a n t a ，则妒在r ( t ) 中可逆。 推论( h a r t m a n w i n t n e r ，谱包含定理) ：若妒l 。( t ) n 有- 9 1 ( 妒) c 盯( l ) cd ( 己) 结论1 1 ，4 ( 有界性) ：有界一则妒r ( t ) ，且有l 卜，i - k 结论1 1 5 ( 紧性) ：若妒在t 上有界，则l 是紧的一妒= o 映射亭指的是：亭：妒一l ，它是r ( d 到 过( h2 ) 的同构。 对于t o e p l i t z 算子与其符号之间的关系，我们有以下的结论： 结论1 1 6 ：若，和g 在t 上有界，a 是个复数，则有 ( 1 ) t ，+ 船= t ，+ 仉 ( 2 ) t 厂= t _ 若更进步f h 。，则有 ( 3 ) k t ，2 t g ( 4 ) 弓弓2 t 7 9 结论1 1 7 ：( b r o w n h a l m o s ) ：若，g ”，t ，k = k t ，与下列条件分别 等价：( 1 ) f ，g h 。 ( 2 ) ，岳h 。 ( 3 ) 存在两个常数a 和b ，ln | + 川z o ，使得a f + b g 是常数。 1 2 关于h a n k e l 算子 2 1 是h 2 在2 ( t ) 上的正交补。 定义1 21 h a n k e l 算子：垆l 2 ( t ) 义： h 。，= ( i p ) ( 妒厂) 对于符号为妒的h a n k e l 算子h 。这样定 ，h2 ( t ) 。 关于h a n k e l 算子，还有另一定义也被广泛应用： s8 t = t s t 是一个h a n k e l 算子。 ( 这儿s = z ) 如果，在t 上有界，因为忙p i i 怕忆，则很明显可知符号为妒的h a n k e l 算子h 。是有界的。 更广泛一点来说，一个h a n k e l 算子指的是从一个序列空间x 到另一个序 列空间y 的映射：f ：x - - y ，使得对应的矩阵元素满足y ! 2 a i + ， i ，j o 可以看到，对于h 2 上的h a n k e l 算子与t o e p l i t z 算子来说，它们之间具有如下 的联系：l ，= p ( 妒厂) h 2 ，h c f = ( i - p ) ( 妒f ) h 2 上，则有h p = m 妒一弓。 定义1 ，2 2h a n k e l 矩阵：具有如下形式的矩阵称为h a n k e l 矩阵 【r 】= 口2盯3口4 q“40 5 4 4d 5d 6 口s口6d 7 吼a 7a b 最初的h a n k e l 算子理论是建立在，2 上的，在h a n k e l 算子的研究中有一个 重要定理为n e h a r i 定理，说明了如果h ：日2 斗h 2 1 是一个有界的h a n k e l 算子， 那么存在p p ( t ) ，使得h = h p ，并且i l hp i l - i | 妒0 。= d i s t ( o ，h 。) 。 对于h a r d y 空间上的有界h a n k e l 算子，n e h a r i l 9 5 7 年给出它的一个刻画： 妒( t ) ，h p 是有界的曹存在t 上的一个有界函数厂，使得h p = hr 。 对于h a r d y 空间上h a n k e l 算子紧性的研究，h a r t m a n l 9 5 8 年也给出了类似的结 论：h r 是紧的存在t 上的一个连续函数g 使得hr = h 。 对于有限秩算子，也有一个刻画，称为k r o n e c k e r s 定理，他指出一个h a n k e l 算子是有限秩等价于这个h a n k e l 算子可以写成h ：玎的形式，其中厂h 。， z f 是一个有限b l a s c h k e 积。 关于h a n k e l 算子谱的研究，m a r t i n e z a v e n d a n o 及其合作者在1 9 9 9 年也做 出一个新的结果：对于复平面上的一个紧子集盯，则存在一个h a n k e l 算子r ： h 2 _ h 2 ，使得仃( f ) = j r u 0 ) 。 另外：关于h a n k e l 算子与t o e p l i t z 算子的关系，有下面结论： q吒q吼q：巩如鳓m， 零易一锄一h 妒* h t l j 。 第二章：t o e p | i t z 算子与h a n k ei 算子的研究与推广 2 1概述两类算子的研究推广 上一章中我们主要介绍了h a r d y 空间上的t o e p l i t z 算子与h a n k e l 算子，在 参考文献【2 】中，一些特殊类型的t o e p l i t z 算子与h a n k e l 算子被研究。 对于这两类算子，改变其符号的取值空间，就得到不同类型的t o e p l i t z 算 子与h a n k e l 算子，如f p ( z + ) 上的t o e p l i t z 算子、转到h 2 ( c + ) 上的t o e p l i t z 算子 与h a n k e l 算子、符号在h 。+ c 或o c 中的算子、具有确定谱的h a n k e l 算子、 具有分段连续符号的t o e p l i t z 算子等等。( o c = ( h 。+ c ) f - ) ( h 。+ c ) ) 另外，根据函数本身的性质，人们还研究了自伴t o e p l i t z 算子与自伴h a n k e l 算子、积分h a n k e l 算子、向量值h a n k e l 算子、s c h a t t e n 类h a n k e l 算子、迹 类h a n k e l 算子、t o e p l i t z 与h a n k e l 矩阵以及与瞬时问题相联系的t o e p l i t z 算 子与h a n k e l 算子等。 对于一些特定的t o c p l i t z 算子与h a n k e l 算子的条件以及结论，也有人进行 了研究，见参考文献 5 】。 从近年来的文献资料中可以看到，t o e p l i t z 算子与h a n k e l 算子的推广主要 是从两个方面来进行的：个是将定义域空间扩大，由原来h a r d y 空间到 b e r g m a n 空间、d i r i c h l e t 空间：另外就一些特殊空间上的算子也进行了研究， 如本质t o e p l i t z 算子集中的h a n k e l 算子( 见参考文献 7 】) 等等。另一种推广形 式是将t o e p l i t z 算子及h a n k e l 算子本身的定义作以改动或推广。 这儿我们就简要介绍几种此类t o e p l i t z 算子及h a n k e l 算子的推广形式。 a h a n k e l 算子 t o e p l i t z 算子及h a n k e l 算予也可以看作是包含前位移算子s 以及它的伴随 算子s + 的线性方程的解。我们已知一个算予h 是h a n k e l 算子等价于s + h = h s ， 一个算子h 是t o e p l i t z 算予等价于s4 t s = t 在参考文献 3 中，若x 满足 s + x x s = a x ( a 是复数) ，则x 被称为a h a n k e l 算子。文中研究了此种算 子的一些性质，指出其有许多性质都与经典h a n k e l 算子( 即0 - h a n k e l 算子) 类似，并且将h a n k e l 算子的个已知的结果推广并对于特定的旯有所应用。 本质h a n k e l 算子 在参考文献 1 】中，h a n k e l 算子被推广为本质h a n k e l 算子，( 定义见下节) ， 文中研究了所有本质h a n k e l 算子组成的集合的性质，并指出不是所有的本质 h a n k e l 算子都可以写成“h a n k e l 算子+ 紧算子”的形式，即使是缩小范围对具 有平凡( f r e d h o l m ) 指标函数的h a n k e l 算子来说也不能全部表达成如上形式。 c a l k i n 代数中渐近t o e p i i t z 算子及渐近h a n k e l 算子( 详见参考文献【6 】) 对于满射t o e p l i t z 算子的一些条件及结论，在参考文献【9 中也进行了研究。 当t o e p l i t z 算子的符号从单复变函数拓展到多复变函数时，我们可以得到其他 类型的t o e p l i t z 算子的一些性质，例如在参考文献 8 】中丁宣浩先生就对此类算 子进行了研究。 2 2 关于本质h a n k ei 算子的研究及结论 定义2 ，2 ，1 有界算子t 被称为本质t o e p l i t z 算子当s + t s t 是紧算子时，对于 所有本质t o e p l i t z 算子所组成的集合记为e s s t o e p ，很显然可以看到， e s s t o e p 包含所有的t o e p l i t z 算子，并且也包含所有的紧算子。 定义2 2 2 有界算子x 被称为本质h a n k e l 算子当s + x x s 是紧算子时，对于 所有本质h a n k e l 算子所组成的集合记为e s s h a n k ，所有的h a n k e l 算子都 是本质h a n k e l 的。在由h 上的所有有界线性算子所组成的空间中，可 知e s s h a n k 是埝其中的一个向量子空间，( 关于范数是闭的) ，并且 它也是自伴的，但e s s h a n k 不是一个代数，在下面结论将有具体说明。 结论：若有妒+ ；妒l 。，使得0 一z 2 扫硭h 。+ c ，则h z 妒2 不在e s s h a n k 中。 若h ，g e e s s h a n k ，t e e s s t o e p ，则h t e s s h a n k ，t h e s s h a n k ，h g e e s s t o e p 。 e s s t o e p + e s s h a n k 是一个c + 一代数。 若a e e s s h a n k ，则a 不是一个f r e d h o l m 算子，即o e o e s j ) e s s t o e p ne s s h a n k 是一个没有单位元的c + 一代数，并且e s s h a n k 不包括 非零的t o e p l i t z 算子。 设a 是一个指标集， h 。匕a 是包含在e s s t o e p 中的h a n k e l 算子的集合 那么由 h 。k a 生成的c + 代数不包含非零的t o e p l i t z 算予。 第三章：本质h a n k ei 算子不一定是h a n k ei 算子加紧算子 3 1 相关概念及结论 上面一章中我l f 已经将本质h a n k e l 算子的一些概念和结论作了介绍，对于 形式为“h a n k e l 算子+ 紧算子”的算子，它和本质h a n k e | 算子之间有什么关系 呢? 设k 为一个紧算子，记h 为一个h a n k e l 算予，对于算子x = h + k 来说， s + x x s = s + ( h + k ) 一( h + k ) s = ( s + h h s ) + ( s4 k k s ) ，根据紧算子 的性质，st k k s 也是一个紧算子，根据定义，算子x = h + k 为本质h a n k e l 算 子；但是否所有的本质h a n k e l 算子都能够写成这种“h a n k e l 算子+ 紧算子”的 形式? 答案是否定的，这章就这个结论给出一个具体的证明。先给出一些涉及 到的相关概念及定理。 定义3 1 l ：定义一个酉算子u ：l 2 一l 2 ，u 0 一) ：仁) “，n 为整数。 定义3 1 2 ：定义h 2 上具有符号妒的h a n k e l 算子h 。： h2 一h2 ， h 。( ，) = p 知u ( ，) ) ，驴是r 上的本质有界可测函数。 从上面定义我们可以看出，s + t = ts t 是一个h a n k e l 算子； 且有h 嘶= h 9 ，这儿t i ( z ) = ，7 ( 三) 定义3 1 3 ：设，e h o i ( d ) ，厂0 ，若( a 。) 。：l 是厂在d 上满足 ( 1 一i a 。i ) 。的零序列，则( a 。) 。：i 称为b 1 a s c h k e 序列 n z o ( 这儿h o l ( d ) 指的是d 上的解析函数。) 条件( 1 一l a 。h t * 被称为b i a s c h k e 条件。 n 0 定义3 1 m 无穷积b = 。1 7 d 叹称为b l a s c h k e 积其中h ；掣1 专n 2 i 7 l 一， ( 。) 。：1 是d 上的b l a s c h k e 序列。 定义3 1 5 ：h 。上满足i 妒i = 1 口卫的函数妒被称为内函数。易知b l a s c h k e 积是一 个内函数。 下面这个定理讲的是紧h a n k e l 算子的一个充分必要条件，在后面的证明中将被 使用，具体证明见参考文献 2 p a g e 2 1 2 - - p a g e 2 1 4 。 定理3 1 6 ：妒尸，h 口是紧算子甘妒h 。+ c 3 2 几个相关例子 在文中主要定理的证明之前，我们先举出几个例子( 参考文献 1 】) ，来说 明并不是所有的本质h a n k e l 算子都可以写成“h a n k e l 算子+ 紧算子”的形式， 存在这样具体的例子，它是本质h a n k e l 算子，却不可以被写成任何h a n k e l 算 子的紧扰动形式。 对于形式如下的无穷维矩阵r ， r = a 0 0000 日ia l 000 吃口2a 2 00 毋“3 毋a 3 0 8 48 4d 4a 48 4 若其中复数序列 口。) 器o f 2 ，则r 称为r h “y 矩阵。 若r 为一个有界的r h a l y 矩阵，则有r e e s s h a n k 当且仅当r e e s s t o e p a 定理a ( 参考文献【1 ) ：c 是一个c e s a r o 矩阵，即是序列为 + 1 ) j 丞。，2 的r h a l y 矩阵，则有c e s s h a n k ，并且c 不是一个有界h a n k e l 算子的紧 扰动形式。 令a h 为具有如下无穷维矩阵的算子： 具体说来，在这个矩阵中，除去位置为( n ，m ) 的元素外，其余元素都为零， 其中行+ m = 2 。，( ”，m = o ，1 ，2 ，3 ，4 ，) ，k z + ，并且位置为( ”，m ) 的元素的值为1 一一i n - - 7 2 i 。 2 5 可知a h 是某个有界算子所对应的矩阵( 具体证明参考文献【1 ) 。 定理b ( 参考文献【1 1 ) ：设a h 是具有如上矩阵的有界算子，那么则有 a h e s s h a n k ，a h 的指标函数是平凡的，并且它不是一个h a n k e l 算子 的紧扰动。 在这一节中，我们简要列举了参考文献 1 】中提出的两个例子，若要更进一步详 细了解这些结论及例子的具体证明，请参看文献 1 】。在前面所有关于本 质h a n k e l 算子的研究中，对这个命题只是给出了几个反例，并没有理论 上严密的证明，在下面的一节中，我将对这个命题给出完整的证明。 3 3 主要结论及其证明 定理3 - 3 ：记e s s h a n k 为所有本质h a n k e l 算子的集合，将所有形式为“h + k ” 的算子的集合i 己为a ，其中k 为一个紧算子，h 为一个h a n k e l 算子。则有 ace s s h a n k 且e s s h a n k 旺a 。 上面定理可以这么理解，对于所有形式为“h a n k e l 算子+ 紧算子”的算子 都是本质h a n k e l 算予：但却并不是所有的本质h a n k e l 算子都能够写成这种 “h a n k e l 算子+ 紧算子”的形式。 证明的思路比较清晰，先假设结论不成立，并作出一个本质h a n k e l 算子， 9 o o o o o o o朋o o ； o 0 0 o o o o o l o ； o“o o o o o o o肛； o o朋o o o o o o o ； o o oo o o o o o ； o o o o 1 o o o 0 o ； oo o oo o o o ； o o 1 o o oo o o ： oo胆o o o朋o o o o 0 0 o o 0 o 0 o 通过t o e p l i t z 算子与h a n k e l 算子之间的关系、算子与符号之间的关系以及已知 结论，得到一个命题“对任意妒e r 以及任意内函数叼，h 妒( i b 弓) 是一个 紧算子”，后面证明这个命题是错误的，由此知假设不正确，则定理得证。 证明：( 1 ) 结论“a c e s s h a n k ”的证明很容易看出，并且在前向3 1 相关 概念及结论中已经给出。 ( 2 ) 下面来看对于结论“e s s h a n k s a ”的证明。 假没在如上定理中，“e s s h a n k 旺a ”不成立，则有e s s h a n k c _ a ，即任意 的本质h a n k e l 算子都可表示成“h + k ”的形式，其中k 为一个紧算子，h 为 一个h a n k e l 算子。 首先，我们来构造一个本质h a n k e l 算子 对于任意的厂，g r ，我们能得到一个h a n k e l 算子h ，由定义知 t + h ，= h ，l t z + h ，t g h ：t g t 2 。h ，t z 弓一h ，t g l 2 h f ( t z t g t g t z ) 2 k i ( 这儿k j 是指一个紧算子，i = l ，2 ，3 ，4 ) 根据定义，很容易看出算子h f t g 是一个本质h a n k e l 算子 因为e 面的f , g 是r 中任意的函数，所以取r 中的一个任意函数， 及一个任意的内函数，7 ，则存在g r ，使得h 所畸；h g + k 2 ， ( 这儿矗( z ) = ( 习) h 所2 h ， 耐b2 h g b + k 35 h g 日+ k 4 - h ( 一g ) i 是紧的。 出于已有结论当妒r 时，h 。是紧算予等价于妒h 。+ c ， 1 0 存在 e h 。+ c ，使得( ，一g ) 彳石 ( 厂一g ) = 石希，_ gz ，一石方 可以看到，对于r 中的一个任意函数，及一个任意的内函数町，存 ：窿h e h 。+ c ，使得h ，d 弓= h ，一厅才+ k 2 ；h f h i 方+ 紧算子 ( 把g = ，一厅矛代入上面式子“h 所弓= h g + k 2 ”即可。) 曳因为对于任意伊r ，而h 妒= h f ，所以可得到 弓h 历t _ 2 h 抑弓弓 b h ， 弓2 t 4 ( h i h 碲) = h 所一h i 亏b = h ，开一h f i 联合上面两式，则有h ，开t 叩畸= h 两一h f i ? 奄h 厅是一个紧算子，h f 一h b 畸是紧算子 即对于任意的厂及任意的一个内函数叩，h f ( i 一1 ；7 畸) 是个紧算子 现在把，取为，= 妒希，则对任意妒r 以及任意内函数珂， h 9 ( i r 砖) 是一个紧算子 很明显可以看出，h q ，( i - l 暗) 不可能是紧的 我们可以简单说明如下： 取妒芒h 。+ c ，由已知结论知h 不是紧的，因此存在一个b i a s c h k e 序 y 0 ( z 。) n ；1 ，使得j 睁p 女 | | o 。 将由b l a s c h k e 序列( n ) h ：l 生成的b l a s c h k e 积记为b 己知b i a s c h k e 积是一个内函数，所以根据前面的推导，h 妒( i 一丐) 是 一个紧算子，那么则有 l | h 妒( - 一b 丐) - = i p 妒h 1 1 - o 上面两式矛盾，所以对前面得到的命题“对任意印r 以及任意内函数 叩， h 妒( i 一t - ) 是一个紧算子”，已知其不正确，所以假设不成立，即有 e s s h a n k 旺a 。# 1 2 参考文献 13 r u b e nam a r t i n e z a v e n d a 0 “e s s e n t i a l l yh a n k e l o p e r a t o r s