（基础数学专业论文）a型量子广义射影表示.pdf

d i s s e r t a t i o nf 研 m a s t e rd e g r e e ，2 01 1 c o l l e g ec o d e ： 10 2 6 9 r e g i s t e rn u m b e r ：51 0 8 0 6 0 1 0 2 9 e n s tc h i n 倪n o r m n l u n 如e r s 的 q u a n t u m g e n e r a l i z e d p r o l j e c t i v er e p r e s e n t a t i o no f t y p ea d e p 小m e n t ： m a t h e m a t i c s m a j o r ： s u b j e c t ： p u r em a t h e m a t i c s l i ea l g e b r a sa n dq u a n t u m g r o u p s s u p e i 、，i s o r ： p r o f n a i h o n gh u n a m e ： s h e n y o uw a n g m a y 2 0 1 1 s h a n g h a i 学位论文原创性声明 郑重声明：本人呈交的学位论文a 型量子广义射影表示，是在华东师范大学攻读谚z 博 士( 请勾选) 学位期间，在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果除文中己经注明引用 的内容外。本论文不包含其他个人已经发表或撰写过的研究成果对本文的研究做出重要贡献的个 人和集体，均己在文中作了明确说明并表示谢意 作者签名：壬- 1 琅奄 日期：矽i i 0 6 、d 7 学位论文授权使用声明 a 型量子广义射影表示系本人在华东师范大学攻读学位期间在导师指导下完成蚓 士博士( 请勾选) 学位论文，本论文的研究成果归华东师范大学所有本人同意华东师范大学根 据相关规定保留和使用此学位论文，并向主管部门和相关机构如国家图书馆、中信所和“知网” 送交学位论文的印刷版和电子版；允许学位论文进入华东师范大学图书馆及数据库被查阅、借阅； 同意学校将学位论文加入全国博士、硕士学位论文共建单位数据库进行检索，将学位论文的标题 和摘要汇编出版。采用影印、缩印或者其它方式合理复制学位论文 本学位论文属于( 请勾选) () 1 经华东师范大学相关部门审查核定的“内部”或“涉密”学位论文，于年月 日解密，解密后适用上述授权 ( l 形不保密，适用上述授权 学位论文作者签名：王- 陬右 日期：塑! ! ：翌6 ：! ! 导师 日期 幸“涉密”学位论文应是已经华东师范大学学位评定委员会办公室或保密委员会审定过的学 位论文( 需附获批的华东师范大学研究生申请学位论文“涉密”审批表方为有效) ，未经上述 部门审定的学位论文均为公开学位论文此声明栏不填写的，默认为公开学位论文，均适用上述授 权) 王慎有硕士学位论文答辩委员会成员名单 姓名职称单位备注 锖斌教授 繇、怖范爝 主席 霉确翟 吾l 敏 嫒繇7 税天学 苏光逞占1 教掩上海嫡博 摘要 本文首先将( s 厶+ 1 ) 实现为定义在) 上的毗( 2 n ) 的中的一些量子微 分算子其次构造出( s 厶+ 1 ) 在张量空间0 ) 固y 上的一个表示，即所谓的 ( s 厶+ 1 ) 的量子广义射影表示，其中y 为任意的有限维不可约q ，。) 模最后我 们在，l = 2 ，g 不为单位根的特殊情况下，给出这个表示不可约的一个充分必要条 件特别的，我们得到了乩( 5 f 3 ) 的一类新的无限维不可约模，它在一般情况下不一 定为最高权模。 关键词：量子包络代数，量子微分算子，量子广义射影表示，不可约性 a b s t r a c t t ob e g i nw i t h ，t h i sp a p e rr e a l i z e sm eq u a n t i z e du n i v e r s a le n v e l o p i n ga l g e b r a ( s 乙+ 1 ) a sc e r t a i n q u a n t u md i 肫r e n t i a lo p e r a t o r si n7 1 ( 2 n ) d e f i n e do v e rt h eq u a n m md i v i d e dp o w e ra l g e b r a 舅目( 玎) n e x t ， t i l ep a p e rg i v e sac o n s t l l j c t i o no far e p r e s e n t a t i o no f ( s 厶+ i ) o n ：0 ) oy ，t h a ti s ，m es oc a l l e dq u a n t u m g e n e r a l i z e dp r o j e c t i v er e p r e s e n t a t i o no f ( 5 k1 ) ，w h e r eyi sa na r b i t r a 巧f i n i t ed i m e n s i o n a li 玎e d u c i b l e ( g 厶) 一m o d u l e f i n a l l y ，w eg e tan e c e s s a r ya n ds u 伍c i e i l tc o n d i t i o nf o rt h em d u c i b i l 时o f t l l i sr e p r e s e n t a t i o ni nt h es p e c i a lo f ，l = 2 ，qi sn o tar o o to fu n i t y i np a r t i c u l 玑w eo b t a i nan e wf a m 订yi n f i n i t e d i m e n s i o n a li 玎e d u c i b l e 乩( s f 3 ) 一m o d u l e s ，w h i c ha r ei ng e n e r a ln o th i g h e s tw e i g h tm o d u l e s k | e yw o r d s ：q u a n t i z e du n i v e r s a le n v e i o p i n ga l g e b r a ，q u a n t u md i 骶r e n t i a lo p e r a t o r s ，q u a n t u mg e n e r - a l i z e dp r o j e c t i v er e p r e s e n t a t i o n ，r e d u c i b i l i t y l 前言 目录 2 基本知识 2 1 量子包络代数( g ) ( g = 5 厶，g 乙) 2 2 g 一博内系数 2 3 映射p 2 4 量子除幂代数 2 5 q 一导子，量子w 缈，代数 2 6 a 。一l 型量子包络代数的量子微分算子实现 2 7 广义射影表示的构造 3 ( 5 厶+ 1 ) 的量子微分算子实现 4 量子广义射影表示的构造 l l o 1 5 5 ( s f 3 ) 一模oy 不可约的等价条件 2 7 5 1 ( p ) ( 1o ”是( s f 3 ) 一贝q 圆y 的一个不可约子模 2 7 5 2 ao ，= ( p ) ( 1od 的等价条件 2 9 参考文献3 5 致谢3 6 3 3 3 4 5 6 7 8 华东师范大学硕士论文a 型量子广义射影表示 1前言 2 0 世纪8 0 年代中期，源于求解量子愕一砌射p r 方程的需要，俄罗斯数学家d ，胁加腽和日 本物理学家，咖6 d 分别引入量子群的概念量子群作为李代数的普遍包络代数的形变，是一类重 要的非交换非余交换的舶p 厂代数，对于量子理论的发展有着非常重要的意义 本文首先给出以( j 厶+ 1 ) 的一种量子微分算子实现；其次具体构造出所谓的量子广义射影表 示：最后给出这个表示不可约的一个等价条件 第一步：用定义在量子除幂代数舅g ) 上的量子w 缈f 代数毗( 知) 给出( s 0 1 ) 的一种量 子微分算子实现，这等价于构造了一个( 5 k 1 ) 一模贝q ( ，z ) 问题来源：盯( ，1 ) 可以自然地嵌入到型李代数w ( 门) 中，1 9 9 9 年胡乃红将以( 订( ，1 ) ) 实现为 定义在贸4 ( n ) 上的1 ( 知) 中的一些量子微分算子( 参考定理2 3 ) ，而“研+ 1 ) 也可以嵌入到w 型李代数w ( 咒) 中( 参考命题2 5 ) ，于是我们自然提出( s 厶+ 1 ) 是否可以实现为定义在孔( ，z ) 上 的毗( 2 ，1 ) 中的一些微分算子? 处理方法：由于有胡乃红的结果，即定理2 3 ，前，z l 组生成元慨，五，1 1 s 远。一1 的实现方式 已经知道，所以我们只需要凑出最后一生成元 ，五， 的实现方式 作为乩( s 厶+ 1 ) 的一种量子微分算子实现，第一步的结果有其本身存在的意义，同时它在第二 步构造乩( s k + 1 ) 的量子广义射影表示时也起到重要的作用 第二步：根据第一步和沈氏混合积，( 参考【3 ，4 ，5 】) 给出( s 厶+ 1 ) 在张量空间贸日固y 上的一 个表示，我们称之为( s 厶+ 1 ) 量子广义射影表示其中贸q ( n ) 为量子除幂代数，y 为任意的有限维 乩( g z ( ，z ) ) 模 问题来源：设舅( 刀) 为除幂代数，y 为任意有限维g ，( 刀) 模，则沈氏混合积给出了w ( 聆) 在 舅( n ) oy 上的一个表示丌，由于订铆+ 1 ) 可以嵌入到w ( ，1 ) 中( 参考命题2 5 ) ，所以丌限制到 “研+ 1 ) 上即可得j z m + 1 ) 在舅oy 上的一个表示，即所谓的广义射影表示于是我们自然地提 出( s 厶+ 1 ) 是否在张量空间贸goy 上的有一个对应的( j + 1 ) 表示? 处理方法：这一步相当于是把经典情形下的模结构量子化因为y 为q f ( ，z ) ) 模，所以y 自然的有一个( j 厶) 模结构，又由定理2 - 3 知量子除幂代数上也有一个( j 厶) 模结构，所 以由( s k ) 的余乘法，我们可以得到贸口oy 上的一个( 5 k ) 模结构，这样前，l l 组生成元 p f ，五，代) l s 渤一l 在舅qoy 上的作用已经知道，我们只需要构造最后一生成元 ，五，l 在oy 上的作用 第三步：当y 为任意不可约的( g f ) ) 模时，给出第二步构造的( s 厶+ 1 ) 的量子广义射影表 示不可约的一个充分必要条件 华东师范大学硕士论文a 型量子广义射影表示 问题来源：徐晓平和赵玉凤在经典情形下给出了这个结果，即：当y 为任意不可约的窖z ( 咒) 模 时，给出了j f ( n + 1 ) 模贸( n ) oy 不可约的充分必要条件于是我们自然地提出在量子情形下是否 应该有对应的结果? ( 至少当鼋不为单位根时，应该会有个对应的结果) 处理方法：我们首先证明( j 如+ 1 ) 一贸g ( ，z ) y 的一个特殊的子空间是它的一个不可约子模； 其次找到这个特殊的子空间是整个空间的等价条件 注记：这一步本文目前只对，l = 2 ，g 不为单位根的特殊情况，给出了一个结果，对一般的，z 及 口不为单位根的情况，还在进一步的计算中 2 华东师范大学硕士论文a 型量子广义射影表示 2 基本知识 2 1 量子包络代数( g ) ( g = s 乙，g 乙) 量子包络代数( s 厶) 是一个由矸，p f ，五( 1 fs ，l 一1 ) 生成的结合代数，并且满足以下关系式： 矸1 = 矸1 = l ， 代p ，= 矿- p ， = ， 1 ( t l 涨p = 百n k k 棚嘞筹， e ；p ，一( q + 矿1 ) 日p j 白+ p j p ；= o( | f 一= 1 ) ， p f p j = p j 旬 ( 忙一卅 1 ) ， 斤乃一( q + 旷1 ) 五乃五+ 乃= o ( | f 一卅= 1 ) ， 五乃= 力五 ( i f 一 1 ) 其中9 旷，玎) 是a 。一1 的国砌，z 矩阵 ( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) ( 2 4 ) ( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) 令p 为她的权格它是以 ( 岛 l f 如为基的，z 秩自由模，并且 嘶= s f 一鼽l i l f ，z l l 是g 厶 的单根集固定一个对称双线性型 ：p 尸一z 使得 = 曲现在( g 厶) 可以如下定义： 保持剩下的不变 薛1 = 每1 岛= 1 ，七f 巧= 幻岛( 1 f 玎) ， = 岛足晶( 1 f ，z 一1 ) ， 岛p j 岛一1 = 留日一p j ，足f 乃岛一1 = g 一岛。户乃 2 2 q 一博内系数 令z ，旷1 】为 ，的洛朗多项式环 3 a 型量子广义射影表示 整数组，定义 华东师范大学硕士论文a 型量子广义射影表示 特别的 定义一个映射： 特别的 a 木够+ y ) = 口辜p + 口+ y 印卢= 压( 1 i n ) ， ( 句一研+ 1 ) 木卢= _ 臃 ( 1 f f 卢木( 蜀一日+ 1 ) = 卢“l ( 15i n ) 明显的，映射9 具有如下的性质： 2 4 量子除幂代数 乘法： 9 ：z ”刃一矿 p ( 口，卢) = 矿俨伊口 烈句，q ，= i 。萎三至 吠口+ 卢，y ) = 耿口，y ) 臼仍，) ，) ， p ( 口，卢+ y ) = 伙口，卢) 日( 口，y ) ， 文口，0 ) = 1 = 口( 0 ， p ( 口，卢) p ( 卢，口) = l = 9 ( 口，口) 令巩研) = 为以f | 口l 位z ：) 为基的一个七一向量空间在其中如下定义一个 。口) ) = q 。叩【a 三1 = 联仉卢，工| ， 华东师范大学硕士论文a 型量子广义射影表示 其啦附辫吁 _ 耥艉咀。 我们通常记= | 钏 显然，舅口( 咒) 在上述乘法下构成一个结合代数，称之为量子除幂代数( 参考【1 】2 4 ) 2 5 鸟一导子，量子w 倒z 代数 为了方便起见，我们简记( ，z ) 为曩定义贸口的代数自同态如下： ( ) = 矿( 妒) ，v 妒孔 当口= l 时，= 以显然，矿j = q 叽 定义贸q 的q 一导子老如下： t 老( 妒) = 矿妒( 烨) ) ，咿) 为了方便起见，我们简记老为岛 对口刃，定义死的代数自同态o ( 口) 如下： o ( a ) ( ) = 联叱卢) ( ) ，v 妒死 命题2 2 f 参考，j 7 命题3 j ，( 1 ) o ( 口) e 够) = o 缸+ 卢) ，特别的，o ( 一) = 叽矿f + l ，其中嘶是一个单 根 ( 2 ) a f 是舅q 的一个( o ( 一句) 时，矿；) 导子，也就是 研( y ) = a f ( ) 西( ) + o ( 一研) 盯( ) a f ( ，) ( 3 ) a f a j = p ( 句，勺) 由a f ( 4 )( 妒) 扣) = ( 0 。) 妒) | y ) = 臼( 口，卢) ( 。) | y ) = ( a ) ( 妒) ( 0 a ) ) ) ( 5 )矿f ( j 舻) 0 y ) ) = 盯f ( 工妒) ) ( 厂f ( | y ) ) ， o ( a ) ( j 妒) y ) ) = o ( 口) ( 妒) ) 0 ( 口) ( | y ) ) ( 6 ) 引a 是羁的一个( o 一研) 畔，矿；) 导子，也就是 a ( 工够) = j 口a ( ) 矿( y ) + o 陋一句) 矿；( ) 0 。a ( ) 6 华东师范大学硕士论文a 型量子广义射影表示 令毗( 2 ，1 ) 为忌上由 ( 士s f ) 盯；，而，a ( 1 f 以) 生成的结合代数，并且满足以下关系式( 参 考 1 】定义3 5 ) ： o ( 句) e ( 千s f ) = 1 = 酊旷；， o ( 一句+ 日+ 1 ) = 矿f 旷“i ， 0 ( 研) o ( 勺) = o ( 岛+ q ) = o ( 唧) o 皤) ， a j2 叮j 仃t ， 矿f o ( q ) = ( 勺) 听， o ( 研) 即o ( 一s f ) = 9 ( 句，勺) 而， o ( 研) 白o ( 一s f ) = 9 ( 勺，日) a j ， 盯i x j 吒1 = 苛| j x j ，盯i x j 吒l = q c “x j ， 盯p j 吒1 = f i i 8 j ， x i x j2e q i ，s 参x j x i ， a f a j = 9 ( s f ，勺) a ，a f ， a i x j = 9 咕j ，a x i 8 tq 季n ， 夙麓一g 土工f a f = 矿；， 最后一个关系式等价于以下两个关系式 嘶：丝掣 9 一9 1 埔= 鲁 2 6 a 甩一1 型量子包络代数的量子微分算子实现 下面定理将( j 厶) 实现为定义在量子除幂代数及g ( ，1 ) 上的毗( 2 力) 中的一些口一微分算子 定理2 3 f 参考，j ，定理4 jj 对任意的单项式拶， p f ( ) = 工f a “l 矿f ( ) ， 五( j 妒) = 矿f 一1 而+ i a f ( j 妒) ， ( ) = 旷f 吲l ( ) ， 研f 1 ( ) = 盯_ 1 盯f + l ( ) 1 华东师范大学硕士论文a 型量子广义射影表示 其中l f ，l 一1 下面的推论( g 厶) 实现为定义在量子除幂代数孔上的毗( 2 ，1 ) 中的一些口一微分算子 推论2 4 f 参考，j _ 7 推论4 2j 对任意的单项式贸g ， p f ( ) = 置a “l ( _ ( 】印) ( 1 f ，l 一1 ) ， 五( j 妒) = 旷f 一1 而+ 1 a f ( ) ( 1 f ，l 1 ) ， 岛( ) = 矿f ( 工 )( 1 f ，z ) ， 巧1 ( ) = 矿_ 1 ( ) ( 1 f ，1 ) 2 7 广义射影表示的构造 令贸= f x l ，南】，众所周知，w m 代数 w c 行，= 。p 明= 妻五划五舅) 记算子胁= 置而氏，则 f - 1 厶+ ，= 耽屯+ 峨+ 即， f = l f 1f - l 构成w 以代数m 7 ( ，1 ) 的一个子代数并且我们有 啪，= 墨墨五豁 u a x i ，p d = 6 j k p hu i 8 x i ，8 x 0 = 一6 i k 8 x i ，u i a x i ，x k 8 x = 6 j k x i 8 x l 一6 i l x k 8 x r 注意g f n 兰f 丕l 眠屯，从而，s k 可以嵌入到w 以代数w ( ，1 ) 中 容易验证： 命题2 5 f 参考，2 ，号理3 7 j ) j k l 通过以下的方式同构于w ( n ) 的子代数厶+ l 中： f = 而a 墨一毪+ l 氏+ l ，( 1 f ，l 一1 ) ， 8 华东师范大学硕士论文a 型量子广义射影表示 毋= 置a 讯l( 1 f ，l 一1 ) ， 五= 墨+ i a 鼾( 1 f ，l 1 ) ， p n2p n ， 厶= 一九 对任意的以= 1 ，m ) 为最高权的有限维g 乙一模y ，利用沈氏混合积( 参考 3 ，4 ，5 】) 我们 可以定义w ( n ) 的一个表示( 丌，贸 ”： 丌【善回功j2 荟。如力。知+ 善回毋。讥f = l， ，= 1 f _ l 由于s k l 通可以嵌入到1 矿( _ r 2 ) 中，从而我们得到j k + l 的一个表示( 丌i “。，舅。叻，称之为s 厶+ l 广义 射影表示 命题2 6 f 参考，2 ，3 jjj k lj k l 一模贸固y 的具体结构如下： p 疋厂固，) = 民+ l u ov ) + ，固e t “l ， ( 1 f n 一1 ) ， 五( 厂ov ) = 嚣+ i a 蔚u 圆1 ，) + 厂 局+ l j ， ( 1 f n 一1 ) ， i l z f 盯ov ) = ( 置a 墨一墨+ l 九+ 1 ) uov ) + ，o ( f ，f 一亡“l + 1 ) v ， l l ，l lj ， 岛盯。v ) = 肌u 。v ) 二而蜀民。 ，+ 而厂圆历+ 。己j ， 厶u pv ) = 一a 而o v ， 。u 。v ，= ( 喜葺a 墨+ 而a 粕) ，。v + 厂。( 喜e “+ e 。) v ， 其中，舅，v v 注记：之所以称( 丌i ，小贸oy ) 为5 k l 的广义射影表示，是因为当y 取g 厶的平凡表示时，此即 为s k l 的射影表示 9 h a + 墨 ax 。 ： 以 h 口 口 q ( s 厶+ 1 ) 堡叁堕堇奎兰堕主论文a 型量子广义射影表示 其中l f ，l 1 c 妒，= ( 垂一) 卜喜置夙 c 鳓) ( 一) ， 肭= 卜酬( 叫， 厶( 帕= 卜兀盯1 ( 妒) ， f - i ， c 雕毋， 注记：当g 趋向于l 时，此即为s k + 1 的微分算子实现( 参见命题2 5 ) 让明：由引理2 3 ，前n 一1 组生成兀 p “五， l f s 。一l 的实现方式已经知道，所以我们只需要给 出最后一生成元 ， ， 的实现方式 我们先写出生成元( p f ，五， 勤在妒上的作用效果： “柳甜帆廿钔r + 卜粕， = 昭f + 1 + 日一“， 肭可卿铲驴叶一三二鼾1 卜训 = 暇+ l + l 】一研+ ， 岛c ，= 慨+ - ，( 喜口c 句脚唧) 喁) ，活l， 厶( 工) = 一一酬， ( 妒) - 口郭崛) 下面我们证明p 。- 1 ( 妒) = 产( 妒) f 五 当f 百不可时。 岛。1 俨，= 严邗慨州( 喜伏研脚跏) 塥， = 聋m 呻iq b i 邓舶i a 6 一e n l p 、 = 矿抽啸，一岛( 工) = q 口抽( 妒) 当f = n 时 一1 ) ：口一嗝且铂 渤) 华东师范大学硕士论文 a 型量子广义射影表示 = g - 耋晟慨眵。+ ，( 喜8 c 蜀，卢，咿以) 妒+ 岛) = ，善届邛。0 善角弗j “( ) = 口扛1口信ip n t 工r j = 矿( )= 矿( 工”j = 矿”( ) 下面我们证明p f = 白f l ，l 一2 所c 妒，= 嘛+ ，( 喜耿鼠国别) 硝 = 慨删m ，( 喜w 叫肛竹钆1 )括l， = 慨圳附t ，( 喜肿m 盼一m ，) 册竹七= l ， = 眵f + 1 ( 柏一) = p f ( ) ， 其中最第3 个等式是由引理3 2 得来的 下面我们证明p ：一l 岛一( 鼋+ 矿1 ) 一1 p 。一l + 一l = o 靠。以妒，= 慨+ ，慨一+ ，慨一- + 2 ( 喜邝鹏 ) + 绯l - 酬， 掣砌妒，= 慨，慨一- + ，嘛一，+ 2 】( 喜烈句别) + l - 钏， 岛p 乞= 慨一- 慨一+ ，慨一+ 2 ，( 喜9 c 励够f 】) + 绯1 制， 其中最后一个等式是由引理3 2 得来的 由于【m + 1 】一( 口+ 鼋一1 ) 咖】+ 陋一1 】= 0 知上式成立 类似可证p ：岛一l 一( q + 矿1 ) 岛一l 岛+ p 。一l = o 下面我们证明厶一1 = g n 抽厶f 而 当f r 万玎时， 厶一1 ( ) = 一+ - 书曰呐+ t 怕撕一靠 = 矿m 一厶( ) = r 厶( ) 1 2 华东师范大学硕士论文a 型量子广义射影表示 当f = ，l 时， 厶一1 ( 妒) ：一，善届叩”口善届砺( ) = q 4 删厶( 工卿) 下面我们证明五厶= 厶五f 1 ，疗一2 五五( ) = 一叩“l + l 】芦一岛一句+ 日+ 一 = 厶正( ) 下面我们证明最l 厶一( 口+ r 1 ) 五一1 厶厶一l + 厶丘l = o 扉1 五( 拶) = 一慨 慨+ 1 】一硫t 塥， 厶一l 厶厶一l ( 0 所) = 一慨+ l 】慨+ l 】尹一- + 岛) ， 厶丘l ( 妒) = 一慨+ 2 】慨+ l 】妒砩隅 由于【历+ 1 】一( 口+ q 一1 ) 叻】+ m l 】= 0 知上式成立 类似可证拜厶一l 一臼+ q 一1 ) 五厶一l 厶+ 厶一l 七= o 下面我们证明 乃】= 西等等f ，而 先证【，五】of 。而 ，五 ( ) = 正( ) 一五( 妒) 娟时，慨慨川，睡眠卢一m 邶一句慷m ，) 一i + 蹦七= l ， 一慨州t 慨川，( 喜船脚】) 烨怖l + 啪f - l ， = 0 其中第3 个等式是由引理3 2 得到的 再证h 厶】= of 丽 【白，厶】( ) = p f 厶( 工仰) 一厶p f ( 工够) = 一够f + 1 】+ 句一s f + 1 一岛) 一( 一1 ) 鼢+ l 】+ 品田+ i 一晶) = 0 1 3 华东师范大学硕士论文a 型量子广义射影表示 最后证 厶 = 争 五( 妒) 一厶( 妒) 一嘛】( 喜啪邝一岛，r 够一岛m ) 妒一c t ，+ ，( 喜文励川) 妒 = 一【詈q “岛，卢，慨，c 卢。，+ 9 c 岛，卢，慨一，慨， 工c 国 一l q d 慨( 郇) 慨- 1 】圳妒 f = l， + ( 薯9 c 岛，国眵月眵。+ ，+ 联岛，卢，嘛，够。+ t ，) 妒 + l 脚引慨+ 1 】+ 历嘛】慨+ 1 】l 妒 f _ 1， = ( 喜鸟呐日c 励眵d + 严9 c 岛棚慨】) = f ( 喜9 呐啪邝妒+ 矿“伏岛脚一喜g 响烈研脚g 啦一p c 岛脚一 妒 = 寿p 怕一，叫妒 ：等箸妒， 其中第6 个等式是由引理3 1 得到的 1 4 口 华东师范大学硕士论文a 型量子广义射影表示 4 量子广义射影表示的构造 下面定理给出了( s k l ) 的量子广义射影表示的具体构造，即对量子除幂代数凡及任意 的有限维( g 厶) 一模e 我们可以具体构造出一个( 5 厶+ 1 ) 一模ov 定理4 1 p f u o v ) = ( 工f a f + 1 矿f o 岛足晶+ 1o p m ) ( 厂o ，) ， 五( 厂圆，) = ( 町1 蜀+ 1 国ol + 耳1 札l 固五。) ( 厂 v ) ， 代u ov ) = ( 盯f lo 岛j 2 晶) u p v ) ， 岛u 。v ，= ( 昏c 厂_ 1 ) ( 而喜置a ，。c f ) ) 。k 密岛u 。v ， + 咖p 固掣， 叫尊町1 一簖1 孵m ， + 巧i 几町1l 矿j 1 。丘簖1n 足 甚。硅磅。u 。v ) ， 五( 厂。v ) = l 一以几矿r 。li u 。v ) ， ( 厂。v ) = l 矿n 兀毋圆“兀足，i ( 厂。v ) 其中厂ov 贝口 k 1 f n 一1 注记：当q 趋向于1 时，此即为j 厶+ l 的广义射影表示( 参见命题5 7 ) 证明：因为y 为 ，( ，z ) ) 模，所以y 自然的有一个( s k ) 模结构，又由定理2 3 知量子除幂 代数贸g 上也有一个( s 厶) 模结构，所以借助( s k ) 的余乘法，我们可以得到py 上的一个 ( s 厶) 模结构，这样前，l 一1 组生成元 p f ，五， l 勘一l 在矗圆y 上的作用已经知道，我们只需要 构造最后一生成元 ， ， 在贸。圆y 上的作用 为了简化证明过程，我们将量子包络代数中的元素与它在相应表示下的像等同并且记 = ( 昏旷i 1 ( 翰喜国。c 岛，) 。k 密足， 华东师范大学硕士论文 由定理3 3 。 p n 62 p 船= p n d2 翰静卜掣 咖) 2 盯f 一1 而+ l 岛 矿f 盯晶 七f 硝 a 型量子广义射影表示 町t 】2 町。屯簖t 密盯- 磋。硅节。， ( 1 f ，l 1 ) ， ( 1 f ，l 一1 ) ， ( 1 f n 一1 ) ， ( 1 f ，l 一1 ) ， ( 嵇町1 k 和。 一a 。叫 f - l， n 听1 ， - l ， 址足f ) = 卜鬣一璐 满足( j k l ) 的定义关系式 f 1 ，z 一2 f = ，l l l p f l ，五l ，1 l s 远n l ，l ，五l ，l 下面我们证明厶蹿1 = q a m f 而 巧 。兀烈 簖k 0 一肛 旷 j，-il-一， 岛 五 岛 厶 砭 华东师范大学硕士论文 其中第二个等式是由( 2 2 ) 得来的 = 矿如p m ， a 型量子广义射影表示 删砥而m l p 础警 町1 = 而l 几町1i 矿：1 赈1 。等 f - l， 11 巧缈p 。驸= 2 e ：赈1 l = ，l f = _ ，= n l f = ，l 一1 ，sn 一2 f ，l 一2 ，f _ _ f n 一2 ，i = ，一1 计为加p 。赢脚乩 下面我们证明五孵1 = 留一4 “五f 而 类似可证研厶p f 孵1 = 矿m 白 正孵1 = l 五1 1o1 + 赈1o 2 矗唰 = q 一4 m 正lo1 + 留一4 “1 固矗 = 9 1 “五 下面我们证明五厶= 厶五f 1 ，l 一2 魄，五】_ 【五l 。1 ，正l 。1 + 1 。厶】 = 魄i ，五l 】o1 + 瞧l ，衢1 】o 五 = o 其中最后一个等式是由( 2 2 ) ，( 2 7 ) 得来的 1 7 矸 一町 边 一听 兀斟 ，1 扩 碟 憾 喇州州洲 ，_，7，卜 协一协啦 ，k， 矿 一咋 矿 n d * 册蝣世州 华东师范大学硕士论文a 型量子广义射影表示 华东 所以 从而 华东师范大学硕士论文 下面我们证【，五】= o f l ，n 一1 类似的 p 。，正 = 【l0 7 厶2 ， = l ，五1 圆 lo 2 一1 唰 g 一日一1 一孵1 q q l 石lo1 + 赈1o 矗，】 2 + l 赈1o 2 厶 f 1 ，l 一2 f = ，l l 棚尚删 当_ ，l l ，f n 一1 工橱町p 。，巧【珥叫州， a 型量子广义射影表示 一1 岛1o 丘i 2 f 1 n 一2 f = n l 卜( 魏町1 ) 2 矿矿_ 1 墨+ - a 一町1 置捆t 即( 昏町1) 2 ，1； 叫严 + 巧( 彝矿i ，) 2 町妊p 矗一秭_ ( 盆町一) 2 町- 。矗 0 一“。( 直町) 2 旷_ 。五加唰足：。七孟 0 0 0 0 确渔“叫。氏唰即璐 0 ，墨f + 1 ，2 l - ，= f + 1 ，f + 2 ，f 1 ，2 f ，= f + 1 ，f + 2 o 五且唰磋l 璐 = f ok 唰磋。璐 0 _ ，= f + 1 ，l f + 1 o o ，ii_，_i 矿 丐 k 一七 一 吒 一k ，n学，兀叫 m w m 惜 嘶 j 辜 华东师范大学硕士论文 综上。 = o 。 【“，五】= o f ，l 一1 下面我们证 靠，p f 】= of s 扎一2 【p m ，p d = 岛lo = l = 0 研已2 ，白lo 2 + 1oe 口，】 a 型量子广义射影表示 p f l 】o z 厶2 口g + p n l0 。z ( ；2 ，口，】 k 扣阳町1 p 。 当_ ，l 一1 ，f ，l 一2 时， 旧一 2 一唰 g 一日一l 一卅 恂一p 川m 矿，】。筹z + j n = 0 、2 j 叮b ， 白】= 町l 】2 一。 2 一唰 口一g l 】 而( 露町) 2 町t 置弧。矿，。： 一椭一l 几町1 f 一、 、f 1 + _ 缈h ( 蕲“) 一( 亘矿i - ) 2 町。氐帅唰足：。 2 1 0 _ ，f 1 ，2 l 一足晶= f + 1 ，f + 2 p 厂扭，-_l 磷2 p q、 矿 幢1 0 0 华东师范大学硕士论文a 型量子广义射影表示 综上， + = 0 o g 蜀饵町- ) 2 p k m 唰曙。蠕 o 0 【，白】= 0 f n 一2 下面我们证明p ：一1 一( g + 矿1 ) p 。一1 p 。一l + 岛靠l = o 当e = ao 丑时 已：一l e = p 乙一1 ) l a 。欠磊一1 ) 2 b + a 。p ：，l b + ( 矿+ 1 ) p ( ”一1 ) 1 a 圆已锄一l 甄n 1 ) 2 b ， p n l e p n l 2 p 一1 ) l a p ( h 1 ) 1o n 1 ) 2 b 代 一1 ) 2 + aop 口，卜1 晚口，l + p ( 刀一i ) l ao 贩n 1 ) 2 鼬i + a p ( 一一1 ) l 固p l 眠 一1 ) 2 ， ，f 1 ，21 ，= f + 1 ，f + 2 吒- l j l 。瞬1 ) 2 ， 华东师范大学硕士论文a 型量子广义射影表示 可得g l = g 2 = g 3 = 0 2 已一l 唰= 口。1 。i ， 甄。一1 ) 2 川欠芒1 ) 2 = 矿川， 从而一l p 。一( g + q 一1 ) 一l p 。p 。一l + p 。一1 = o 下面我们证明 靠。一 掣剃场罐r 导旧町- 一。舶删 此时e = 粕( 豆盯_ - ) 2 t 。：，也即a = 而( 亘旷_ ) 2 矿 b = ： 由于 枘= 融1 p c 册 ：，善屈慨+ 1 】+ 制， p 伽一1 ) l ( ) = 慨一l + l 】+ 1 一制， 吃一1 ) l a ( ) = g 一善肪慨+ l 】帆一l + 1 慨一l + 2 + 硫- 一制， e 。一l a p 九- l ( 0 印) ：留一善届眵。】咿。一l + 1 慨一l + 2 】+ t 一“) ， a p 乙- 1 ) l ( ) ：g - 善届慨一1 够川+ l 】慨一t + 2 】+ 硫- 一驯， 并且陋+ 1 】一( g + 鸟一1 ) 沏】+ 叻一l 】= 0 ，我们得到g l = 0 类似上一种情形，知g 2 = g 3 = 0 当e = h ( 豆町) 2 听t 。唰，也即a = 而( 亘町) 2 畈- ，口= 唰时， 由于此时的g 。，g ：与e = 而( 亘矿i - ) 2 町- 。：的情形完全相同，所以我们有g 。= g ：= 。下面 考虑g 3 由于 p 。一。，。a = j k 一。p 。矿。一，工k ( f j 口7 ) 2 c - 2 3 华东师范大学硕士论文 所以 从而 a 型量子广义射影表示 一种，( 昏町t p 。 鼋一a p 。一。，+ 工k 一。( 1 三i 。- ) 2 矿：。， g 3 = ( 9 2 + 1 ) p ( n 1 ) 1 ao ，1 n 1 ) 2 召+ ( q 2 + 1 ) a p ( n 1 ) lob p i n 1 ) 2 一( g + g _ 1 ) ( p ( n 1 ) l a 圆n 一1 ) 2 b p 口，l + a p ( n 1 ) l p 口，i 眠n 一1 ) 2 ) = ( 1 一矿) p 伽一1 ) l a 。，。吒! 1 ) 2 唰一( 矿一日一1 ) a p ( 。一1 ) l p 。，。! 圳叮。叫酚一 唰 p ：一l p ，6 一( g + q 一1 ) p n l p ，1 6 一l + 6 p ：一l = 一 下面我们证明 p ：一l p 肼一( g + g - 1 ) 一1 p ，l c p p l + 已m p ：一l p 乙_ 1 ) l a ( 妒) p n l a p n l ( 工够) a 元_ 1 ) l h 一2 一日一2 酗慨一l ，f - 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- ) p 。一。e p 。一。+ e 已：一。： o ( n 一2 ) 成立 综上。我们证得了 类似可证 p i l 已n 一( g + 9 1 ) p n l p