（流体力学专业论文）船行波速度场问题的研究.pdf

摘要 ， 7 当物体在水上或水下运动时，会在水面上形成“v ”形水波，我们称之为船 行波。近年来，海洋遥感技术得到了迅速的发展，人们可以通过卫星图片来分 析船舶和潜艇的运动状态因此对船行波的兴趣也越来越火。然而，由于船行 ， 波问题的军事背景，公开发表的文献并才i 多木文对船行波速度场和波高作了 研究，其结果可以用代数表达式来表示。 本文主要的工作包括： 在第二章中，指出了t i m m a n 等 8 在分析水上运动物体的船行波时的错误， 按照他们的方法求得的定常船行波不能满足在船的前方无波的要求。 按照 7 的数学模型，利用人工粘性方法求得了水上运动物体船行波的波高 和水平速度，对第二章中的问题作出了合理处理。 在第四章中，按照 3 的数学模型，利用瞬态船行波，一0 ( 3 的极限，求得稳 态船行波，从而得到运动物体船行波的波高和水平速度卜 人工粘性法和瞬态波求极限法是处理由水上或水下运动物体所引起的表面 波的两种方法。在这两种方法里，主要采用两步法来求解，即第一步应用j o r d a n 引理来计算留数，第二步应用驻相法把解的积分表达式化成代数表达式。第三、 四章的结果可用于海洋遥感技术中构造b r a g g 后向散射截面。 关键词：船行波，驻相法，两步法，人工粘性法 a b s t r a c t w h e a lt h eo b j e c t sm o v eo nt h ew a t e ro ru n d e rt h ew a t e r , t h e r ew i l lb e v l i k es u r f a c ew a v e s ， w h i c ha r ec a l l e ds h i pw a v e si nr e c e n ty e a r s ，w i t hr a p i dp r o g r e s so ft h er e m o t es e n s i n go f o c e a n ， p e o p l ep a ym o r e a t t e n t i o nt os h i pw a v e sa st h i sp r o b l e mh a sm i l i t a r yb a c k g r o u n d ，t h e r ei saf e w a r t i c l ep u b l i s h e dp u b l i c l y w eh a v es t u d i e dt h es o l u t i o no ft h ev e l o c i t yf i e l da n dt h ew a v eh e i g h t ， a n dg i v ea l g e b r ae x p r e s s i o n s m a i nw o r kw eh a v ed o n ei sa sf c l l l o w s w e p o i n to u t t h e m i s t a k e s i n t h e t i m m a n s 8 w o r ki nw h i c hh et r yl og i v et h e s h i pw a v e sg e n e r a t e db yt h eo b j e c t sm o v i n go nt h ew a t e r t h e r es h o u l d b ew a v e sb e f o r et h es h i pifw eu s et h e i rm e t h o d w e u s et h ea r t i f i c i a lv i s c o s i t ym e t h o da n dt h em o d e l i n 【7 1t os o l v et h ep r o b l e ma b o v ea n d g i v ea l g e b r ae x p r e s s i o n si nt h ee n d w h e ntoo 。w eg i v et h ea l g e b r a e x p r e s s i o no f s u b m a r i n e ss h i pw a v e su s i n gt r a n s i e n t w a v e sm e t h o d a r t i f i c i a lv i s c o s i t ym e t h o da n dt r a n s i e n tw a v em e t h o da l et w om e t h o d st os o l v et h es u r f a c e w a v e sw eu s et w o s t a g es c h e m e i nt h i st w om e t h o d sf i r s t l y ，w eg i v et h er e s i d u e n u m b e ro f t h e e x p r e s s i o n ；s e c o n d l y , w eu s es t a t i o n a r yp h a s em e t h o d t ot r a n s f e rt h ei n t e g r a le x p r e s s i o nt oa l g e b r a e x p r e s s i o nt h e r e s u l t so b t a i n e d b y u sc a nb e u s e di nb r a g g b a c k - s c a t t e r i n g c r o s ss e c t i o n k e y w o r d s ：s h i pw a v e s ，s t a t i o n a r yp h a s em e t h o d , t w o - s t a g es c h e m e ，a r t i f i c i a lv i s c o s i t y m e t l l o d 第一章概述 第一章概述 1 1 引言 1 1 1 船行波研究的历史与发展 当水上或水下物体运动时，在水面上会出现v 型水波，这种波通常称为船行 波( s h i pw a v e ) 。关于船行波的研究可以追溯到上世纪末和本世纪初，但是当 时主要只是对波态( w a v ep a t t e r n ) 进行分析 1 2 ，例如波峰的分布图，v 型波的张角( a n g l eo fa p e r t u r e ) 。虽然船行波的产生要消耗运动物体的能量， 但运动物体的阻力主要从物面上的压力分布，即近场信息求得，故造船界对船 行波这种远场信息兴趣不大，在船舶和海洋工程的文献中，通常只对船行波做 轻描淡写的介绍。只有在一些物理学百科全书中，因为其内容包罗万象，才对 船行波也做详细的介绍 3 。 但是目前由于可以用星载或机载s a r 海表图象中的船行波来识别运动物体， 因此研究船行波的兴趣越来越大。图1 1 显示了船在水面上运动时的照片。 1 1 2 海洋遥感技术背景情况 以前船行波的研究没有涉及到有价值的应用，然而近年来利用合成孔径雷 达( s a r ) 进行海洋遥感时，可以根据船行波来发现海面上的船舶及其速度 1 1 。 而近年来人们对船行波研究的兴趣增加正是源于海洋遥感技术的迅速发展。 海洋遥感技术简单地说就是利用星载或机载雷达，向海面发射一定频率的无线 电信号，并接受从海面反射回来的信号，然后对这些信号进行分析处理，得到 船行波速度场的研究 第一章概述 海洋表面的信息。 图11 船舶运动产生的船行波 海洋表面的遥感技术为海洋表面波谱以及近表面海洋特征的测量提供了新 的方法。这种技术不必经过海上现场测量，就能够提供大范围内的海洋信息， 从而给出海洋表面温度分布、海冰特征以及海洋表面风速分布等 1 2 。 海洋遥感技术在军事上有着重要的应用背景，一方面，可以观察水面船只 的运动；另一方面可以探测水下潜艇的运动。通过遥感图象可以看到潜艇和船 只的尾迹，从尾迹状况可分析出潜艇和船只的速度、方位等信息。对潜艇的探 测一直是军事领域的一项关键技术，常规的声纳探测技术往往难以进行大范围 ，迅速、机动的搜索，这正是海洋遥感技术的优势所在，由于其重要的军事背 景，公开发表的资料很少。在民用方面，可以用来测定海洋表面的海浪谱、风 船行波速度场的研究 2 第一章概述 速、以及大的鱼群等 1 3 。 在研究水下及水上物体运动，确定接收得到的雷达波后向散射信号与真实 海面状况之间的b r a g g 后向散射截面( b a c k s c a t t e r i n gc r o s ss e c t i o n ) 时， 需要了解船行波波高和表面的水平速度，所以本文研究了船行波的波高和速度 场这一问题。 1 2 船行波研究概况 1 2 1 研究方法 研究船行波的方法大致有两种：一种是利用色散关系从运动学角度来研究 7 ，另种与研究其他水波问题一样从动力学角度来研究f 8 。但 7 和 8 只 给出了船行波的波态，指出船行波由横向波和扩散波两个波系构成，没有给出 水上运动物体船行波波高和速度场。 从模型来看，水下潜艇运动和水上船只运动采用的模型一般是不一样的。 在研究水上物体运动时，我们把船简化为作用在自由面上的一个集中压力。在 研究水下物体运动时，水下运动物体要用一个点源来表示。 如果假设为理想流体，那么最后船行波的稳态解会出现一个问题，即船或 潜艇前方也会有波，我们有两种方法进行修正：一，采用r a y l e i g h 人工粘性的 方法；二，考虑瞬态解。经过这样的处理后，可以保证运动物体的前方无波。 1 2 2 有关研究的简况 九十年前，k e l v i n 首先得到关于船行波的较为严格的结果：在深水中船 行波的张角为3 8 05 6 。就产生船行波的机理来说，1 4 】和【5 】分别在9 6 年和9 7 船行波速度场的研究 3 第章概述 年把介质从无粘流体推广到粘性流体。粘性使船行波衰减，但是在波态方面 不论无粘流体还是粘性流体，结果都是一致的。 参考文献 3 给出了一些重要结果：给出了水下运动物体的船行波波态，在 v 型波两侧，发散波和横向波不相交；随水下物体下潜深度增加，这两种波的 波幅以指数衰减；波远离物体，波幅也衰减；船行波波幅与水下物体的运动速 度成比例。尤其足最后一点有着重要的现实意义。 在上述文献中都把点源作为运动物体来处理，点源和集巾压力的运动就产 生了船行波，但9 4 年的文献 6 研究了另一类已经由s a r 观测到的有短波组成 的窄v 型尾迹( n a r r o w v 一1 i k e w a k e ) ，其中短波由船舶螺旋桨后方的紊流 和尾迹边界激发，而不是有恒定强度的点源产生，这种窄v 型尾迹和经典的船 行波有相同之处，但也有区别。 1 3 本文的工作 无论水上或水下物体运动时，在水面上都会出现v 型的船行波。 本文主要工作包括： ( 1 ) 在第二章中，指出了t i m m a n 等 8 在分忻水上运动物体的船行波时的 错误，按照他们的方法，求得的定常船行波不能满足在船的前方无波的要求。 ( 2 ) 在第三章中，按照 7 的数学模型，利用人工粘性方法求得了水上运 动物体船行波的波高和水平速度。对第二章中的问题作出了合理处理。 ( 3 ) 在第四章中，按照 3 的数学模型，利用瞬态船行波t 寸0 0 的极限， 求得稳态船行波，从而得到运动物体船行的波高和水平速度。 ( 2 ) 和( 3 ) 是处理由水上或水下运动物体所引起的表面波的两种方法。 船行波速度场的研究 4 第一章概述 在( 2 ) 和( 3 ) 中，主要采用两步法来求解，即第一步应用j o r d a n 引理来计 算留数，第二步应用驻相法把解的积分表达式化成代数表达式。第三、四章的 结果可用于海洋遥感技术中构造b r a g g 后向散射截面。 船行波速度场的研究 第二章水上运动物体船行波问题 第二章水上运动物体船行波问题 2 1 1 引言 我们在本节中讨论水上运动物体的船行波问题，根据t i m m a n ( 文献 8 1 5 的数学模型，利用驻相法求得了波商的代数表达式。原文中【8 】的波离表达式在 求解过程中有明显的错误，本节指出其错误的原因并给予改正。但是，根据【8 】 得到的结果表明物体的前方依然有波存在，这是不对的。水上运动物体的引起 的波动不能这样简单的分析，迫使我们要采取有效的方法来处理这个问题。 2 2 数学模型 根据 8 ，当船舶在水上运动时，我们把实际问题做一下简化设无粘水体 占据了下半个空间，即无限水深，船在水面上以恒定速度”。 0 向前运动。我们 把船简化为作用在自由面上的一个集中压力，其强度也为常数，把坐标系原点 放在船上。这样问题就化为水以速度u = 一。关于船体的定常绕流。 船行波速度场的研究 图2 1 水上运动物体的模型 第二章水l 运动物体船行波问题 如图2 1 所示，y 轴在垂直面上，x 2 平面为自由面，工轴为水流方向，因此速 度势妒和波高印满足： 缈捌+ 妒一+ 妒= 0 ( 一0 0 x ，z 1 时( 叩远离船只时) ，我们使用驻相法。先导出驻点应满足方程 妒= 墨( - - a c o s 0 + 口( 口2 一1 ) 1 ，2s i n 口) ：0 融口 即 4 t a n 2 岛货4 一( 4 t a n 2 护+ 1 ) 口2 + t a n 2 0 + i = 0 故 船行波速度场的研究 第一童水上运动物体船行波问题 a 2 ：( 4tan20+1)+：j1-8tan2一0 8 t a n 2 0 为使上式有意义的话，显然可得 b 1 8 t a n 20 0 即 i t a n o l 上口为1 9 。2 8 ，上下对称。 。 2 4 2 我们也可算出船行波的张角y 为 厂= z a r c t a n 壶= s s 由( 2 - 1 2 ) 式可得 口一( ( 4 t a n 2 0 + i ) + 1 正- - 8 t a n 2 0 ) ，2 驻点有四个，我们分别记为口。，当0 0 时，满足 而且因为 2 一+ 口 0 0 时有： 若口= 口+ + ， 因为l 一8 t a n ：0 0 ，所以! 又因为0 0 ，s i n 0 0 ，故 一8 t a n 2 0 + f 1 - 8 t a n2 0 4 t a n 2 0 0 ：塑弩笋口孝知如 妒”2 磊矿一“石2 二1 ) ” 同理当口= 口一时， 0 口= 口一或口= 口一+ 时，矽 o 当0 o ) ( 2 - 1 6 ) 因为有四个驻点所以在( 2 - 1 5 ) 式中共有四项。虽然各项都为复数，但因两两 共轭，故其和是实数。但在 8 中，波高玎的表达式只给出一项。 虽然不够完整，可以验证，( 2 1 6 ) 式是0 的偶函数，因此当p 0 也适用。 最终我们有 卵= 妒，( 工，0 ，：) 2 4 结果 从( 2 1 6 ) 易见，不论在船的上游0 0 ) 都能从该式确 定波高叩，但实际上在上游 0 ) 应该是无波。其原因是因为在 8 中所讨论的 定解问题( 2 1 ) 到( 2 - 5 ) 是齐次的，故其解不唯一。而上游无波的解是一个 特定的解，需要采用某些措施来找出这一解。 船行波速度场的研究 第三章用人工粘性方法解决水上运动物体的船行波问题 第三章用人工粘性方法解决水上运动物体 的船行波问题 3 1 引言 如一j j 一节所述，把水看成理想流体后，从最后的结果来看，物体的上游也有波 浪的存在，这从物理意义上看，这是不合理的。为解决这一问题我们可以采用 人工粘性的方法，这种方法是r a y l e i g h ( 1 8 7 6 ) 首创的，我们对压力项引进 人工粘性项s ，最后令s = 0 则能得到正确结果。另一种方法是引进时间变量 求解瞬态波，最后也可以得到正确结果。e n g e v i c 在1 9 7 5 年对一个简单问题， 应用l a p l a c e 变换终值定理证明了这两种方法是等价的。本章只采用人工粘性 法来处理。 3 2 数学模型 根据【7 】，对上节提出的问题用人工粘性来处理。设在自由面上 p - p o ：厂( j ，z ) p “( y ：0 ) ( 3 1 ) p 可以认为在很长时间以前压力分布为零，然后逐渐增加，直到，- 0 时达到 f ( x ，：) 。速度势满足 妒= 队一三u 2 t + 其中中为扰动速度势，l 中i 0 和x o 的积分路径 船行波速度场的研究 第三章用人工牯性方法解决水上运动物体的船行波问题 心 图3 2 z 0 的情况，被积函数有一个枝点t = i ik ：j 和两个一阶极点 ，= - ，关于女，的积分只须计算在 】j 处的留数，最后 厢j 姥雨杀南雨2 瓜可蒜蒜 斗涮乎( 3 - 1 8 ) 所以 警竿嘲手州，。锗，秀匾矾u m 关于t ：的积分利用驻相法，先求驻点 孤t ， 茁_ + x 2 0 利用( 3 一】7 ) ，上式即为 蟛l ：- t a n o 4 2 m k 2 】l + m k 2 】 设该代数方程的根为k ：，+ ，则 船行波速度场的研究 ( 3 - 2 0 ) ( 3 一1 9 ) 第三章用人_ t 粘性方法解决水上运动物体的船行波问题 k ，1 斗妒“以半尸2 t a n 口，( 小而) 洚2 1 ) 由j ：式可导出关于2 的一兀三次方程，其中一个根为 m = 扣1 瓣) ( 3 _ 2 2 ) 把( 3 2 2 ) 式代入( 3 2 1 ) ，就可从某一口值求得t 2 ，1 的值。 我们已经求得 鱼：一 蔓 一 ( - 0 。4 5m k ：】耵丽 故 这样 蔫一霈2 ( m k ( 州h ) _ 一 m l k 1 一 ( 一1 ) 2： ) ” 上rik,i错掣=,cos0 2 m k 1l ：】 2 2 r er 1 + m k 2 】、5 ，4 m k 2 】 r i c o s 纠、 2 7 研：1 - 2 而上式中最后一个根式在利用( 3 2 2 ) 后可简化为 下面再分析相位 尺( t t , jc o s 目+ 七2 ，+ s i n 口) + 三s g n 女l ”( t 2 ，) 叫h ，孚c o s 叫棚川棚乒莩圳叫川丢 其中在( 3 - 2 1 ) 中取正号时，m = 1 ，否则m = 一1 。由此可见当j = 1 , 2 时，相 位恰巧互为复共轭。因此在( 3 1 3 ) 中的4 n 2 r u 4 g p 当r 1 时有渐近表达式 等竿一殍棚鼯警 船行波速度场的研究 第三章用人工枯性方法解决水上运动物体的船行波问题 则 e x p ( i r ( k l , jc o s 臼+ 如，s i n 臼) + ，三4s g n k t “( 如j ) ) = 4 z ，a ( 坚) 5 ，。 蚓啦半尸2 ( c 。s 州竺瑚呐一百7 】+ m - 2 + 1 尸4 s i n 旧1 l + m 一- 广2 ( c 。s 目一了m - 1 ) s i n 叭和 p 篙隔”s t a n 2 盯t c 半尸4 蛹郴( 半尸2 ( c 伽( 字脚呐一手y z + ( 掣广4 s i n 半) l ，2 ( c o s 叫了m - n | ) s i n 叭争) ( 3 2 3 ) 在上式中已设y = 0 ，即是r ，口的函数，其中的m 2 见( 3 - 2 2 ) 式。 我们再来看看速度场，将f = p 4 2 2 代入( 39 ) ( 3 - 1 0 ) ，分别有 扩嘉e “揣e f i ；+ 抄d i v 吨：2 嘉矿端抽藏 分别无量纲化 红旁h = u 2 _ ( f = 1 ，2 ) “吨一石g ：2 矿p “d k 。d k ：而杀删”屿： v 矿一立4 zz z u 4e “d k ，d k ：雨丽k l 面k 2 巧删坼喁： 利用同波高相同的二步法，可以看到，当y = 0 时最后有 船行波速度场的研究1 8 笙三! 塑三整丝查鲨坚盗查点垩垫塑堡塑塑! ! 鎏囹矍 。：墨= ( ，5 ) z -( 1 - 8 t a n 2 矿4 ( 半) 5 ，4 s i 邮( 半2 ( c o s 0 - ( 字) s i 呐一孙竿) 5 ，4 s 郴( 丁l + m - ) ( c 。s 护一 再来考虑v ，先求留数 丁m - - i ) s 枷) + 和 k ，l i m 。赫2 逛1 - 2 压l j 2 + k 2 2 一一谢 浯z 。， 则 等等嘲莩仁班：艺剿碲嘱如 ( 3 2 3 ) 第二步按照驻相法求解，过程类似于( 3 2 0 ) 一( 3 2 3 ) ，当y ：0 时，有 v = 熊弦舞 e x “艘( k l jc o s 目+ 女2 , js i n 臼) + f 丢s g n k 。( 女：棚 一分p u5 石 7 2 t a n 目 ，4 ( - 竿尸4 m + ( 半2 t a n p s i 郴( 半) j ，2 ( c o s o - t 9 * - - 1 ) s i 呐一孙竿) 3 ，。 m 一【丁l + m - ) 2t a l l 侧凡( 半尸2 ( c o s o - 丁m - - 1 ) s i n 叭和 船行波速度场的研究 ( 3 2 5 ) 1 9 互例厂恫 半 弋 。 竺拼 第三章用人工粘性方法解决水t 运动物体的船行波问题 3 4 结果 本节主要的工作是解决了上节遗留下来的问题，现在得到的结果表明在上游无 波。应用人工粘性方法，我们在求留数的过程中，很明显可以看到极点在实轴 上方，当上 0 时，对 的积分路径从上半平面选取，所以积分表达式不为零，这和物 理现象是吻合的。如果不采用人工粘性法，极点位于实轴上，那么无论z 0 还 是石 0 ，我们很难从数学角度解释上游无波的现象。 此处为使( 3 2 5 ) 中的( 1 8 t a n 2 口) 。“有意义，故 1 一s t a n 2 舱o ， 诅n 郎去 即v 形船行波的张角y 为 ，观a r c t a n 去q s o s s 船行波速度场的研究 墨婴兰垄坐! 堡垫塑笪塑塑! ! 鎏! 塑矍塞堑堕窒 第四章在水下运动物体的船行波中的速度 场研究 4 1 引言 当潜艇在水下运动时，会不会也出现类似的船行波? 文献 3 已经指出在这 种情况下，也会出现类似的船行波，该波系也是由横向波和扩散波构成，张角 也为3 8 05 6 。但是随着潜艇下降深度的增加，波幅指数减弱。 近年来利用合成孔径雷达( s a r ) 进行海洋遥感时，可以根据船行波来发现 海面上的船舶及其速度 11 。很自然的，人们会想起通过海洋遥感的方法来发 现在水下运动的潜艇。我们借用 5 中的数学模型求得在无粘流体中水下运动物 体引起的波高和水平速度场，这在在确定雷达波回收散射信号与真实海面状况 之间的关系时，能够给出b r a g g 后向散射截丽。 4 2 数学模型 根据 3 ，如图4 1 所示，水下运动物体要用一个点源来表示。假设源位于 p 处，p 的坐标为( a ( t ) ，b ( t ) ，c ( t ) ) ，其中b ( t ) ( 0 当f 0 时，点源强度为 r e ( t ) ：当， 0 时，r e ( t ) ；0 。该点源在具有自由面的无限深流场中运动时，扰 动速度势西q ，y ，z ，f ) 应满足下面的定解条件 1 a c b = 0 ， y 0 ，( 工，y ，z ) ( 口( f ) ，6 ( f ) ，c ( ，) ) 2 中w ( j ，0 ，z ，) + g 中，( o ，2 ，) = 0 3 m ( ，y ，= ，t ) = 所( f ) ，+ e p o ( j ，y ，：，f ) 船行波速度场的研究 2 l 第四章在水下篓垫塑笪塑塑! ! 鍪! 塑望壅堡塑窒一 i 一 ： 巾。当y o 时为调和函数 ；p ( a , b ，c ) b o 图4 1 水下运动物体的模型 4 1 i r a g r a d 西= 0 ， 5 1 i r a g r a d 巾= 0 ， o 6 m ( ，0 ，z ，o ) = 巾，( ，0 ，= ，o ) = o 以上统称方程( 4 一1 ) 其中 如再假设 即 其中 一 0 r 2 ：( 工一d ) 2 + ( y 一6 ) 2 + ( z c ) 2 ，r 2 = ( 工一盘) 2 + ( z c ) 2 ( 4 2 ) m 。= 一m r l 一1 十m l 西= m r 一， 一1 + 1 r , 2 ：( j 日) 2 + ( _ ) ，+ 6 ) 2 + ( ：一c ) 2 币、当y 0(4-3) 船行波速度场的研究 y 一 墨婴塞垄垄：! 壅垫塑箜堕塑! 型墅型望墨童堑旦垄一 对于( 4 1 ) 中l 式来说m ，场内不再有奇点，求解更为方便一 设l a p l a c e 燹挟为 三【中l ( 工，y ，毛，) 】；。( 工，j ，z ，s ) = f g 一“巾l ( x ，y , z , t ) d t 于是占。对每一个s 当y o 时也是调和函数，且满足( 4 1 ) 中的4 5 两式， 利用( 4 1 ) 中的6 式，自由面条件经l 变换后为 s ：。( 工，0 , 2 。s ) + g 或。，( x ，o ，z ，s ) = - 2 9 f g 一“研( r ) 6 ( ，) f ( x - a ) 2 + 6 2 + ( z c ) 2 】一3 7 2 d t ( 4 4 ) 因为函数 s ：茹。( j ，y , z , s ) + g 嘁，( 工，y , z , s ) + 2 9 e e - s t m ( r ) ( 比) + y ) ( ( x - a ) 2 + ( y + 6 ) 2 + ( 2 - - o ) 2 r ，2 d t 当y 1 时，两个导数的量级均为0 ( r 。) ，我们将其忽略掉。对于单位强度的 点源( m = 1 ) ，速度势仅为( 4 - 1 1 ) 所示 吣舭忙量d o 。f ，出而舢l ( 4 1 2 ) 长度用1 v = 2 g ，速度势用甜。3 g 来无量纲化，则由( 4 一1 2 ) 可得无量纲速度 势为 叩舭归妻j = ：r d 町啬兰而帅m 1 ( 4 - 1 3 ) 船行波速度场的研究 第四章在水下运动物体的船行波中的速度场研究 则水平方向的速度u 和v 分别为 “吨c w 矗帖考d 秽f 者：岛删州删刚 忙州w 归妻d 口f t l 瓮c 戋o s 踟彤“椰”嚣”一k。h 而波高r l 为 叩( z ，z ) = 一巾，= m ， 4 3 求解 ( 4 一1 4 ) ( 4 1 5 ) r 4 1 6 ) 很明显只须把西，t 西：写成代数表达式即可，在此也使用 5 中的二步法来处理， 在( 4 2 ) 中的r 1 时，求得( 4 - 1 4 ) 和( 4 1 5 ) 的渐近表达式。为此把极坐标 ( t ，0 ) 转换成直角坐标系( k l ，k ：) k t = k c o s 0 ，k 2 = k s i n 0 n ( 4 1 4 ) 和( 4 - 1 5 ) 分别化为 币x ( x , y , z , t ) = 喜旅- 哦南腑8 呐忡咖”训( 4 _ m m 小棋纠) = 妻施- 矾南厢叭一川州) ( 4 - 1 8 ) 当j 一甜 0 或j a 0 ，我们先来讨论( 4 1 7 ) ，设七l = 屯( 也) ，则在 厢k ，2 = 0 即铲( 严掣，( 讹】= 厅醇，川，2 ) m 1 9 ) 时，被积函数有两个一阶极点k 。= k l ，并且都在实轴上。此外还有一个枝点 k 。= | 如i ，。关于k 。的积分只须计算在k ，处的留数： 船行波速度场的研究 第四章在水下运动塑堡塑些! ! 堕! 塑望鏖堑堕窒一 _ 一一 t 一k 一 一 叫l i r n 存，屿i 一 伊吣。j ， ， 七t ，k ， “i2“1 、l i 7 ； 渺 最后 1 + 聊【七2 】 2 m k 2 】 图4 2x a 0 的积分路径 图4 3 工一a 1 时有渐近表达式 舻莩；罱詈e x 烈半 船行波速度场的研究 堡盟兰塑丛! 堡垫塑堡塑塑堑堕! ：塑垄堕些竺窒 e x p ( i r ( k l jc o s 目+ 七2 2 s 咖) + 弓s g n k l ”( t 1 2 ，棚 = 2 气( 半脚3 4p t 丁l + m + 6 ) 舭( 半) l ，2 ( c o s 0 - 丁m + - 1 瑚呐一孙竿尸一 e x p 【a 竿+ m 6 ) c o s 尺( 半) 2 ( c o s 目丁m - - 1 ) s 咖) + 和( 4 - 2 3 ) 在上式中已设j ，= 0 ，中，是凡，0 的函数，其r p 的m t 见( 4 2 2 ) 式。 再来讨论( 4 1 8 ) ，l j ( 4 1 7 ) 式相比在计算，处的留数时要修正： 瓦k 2 。1 骝 k l k 1 ，j 如2 + ：2 一屯2 由( 4 1 9 ) ( 4 2 0 ) 和( 4 2 1 ) 可得 1 + m k 2 】 2 m k 2 】 等一肌c 字广2 由此在( 4 1 8 ) 中的中：当月 1 时有渐近表达式 ”z 。z u 2 z 咖ll ：+ 万m + ( 搴) 2 唧( 竿6 ) ) e x p ( i r ( k l jc o s 0 + t + 2 , j s i n 臼) + ，署s g n 女。”( 女5 2 j ) 卅j 南( 1 _ 8 t a n 2 - 1 4 m ：+ 矿- 1 ) 2 1 + m + 、，3 4e x l l + m + 嘲 职( 半) 1 ，2 ( c o s 0 - ( 丁m + - i ) 2s i n 0 峥( 等广： ( 竿) 3 ，4 e x p ( 半6 ) c o s 【只( 半) l ，2 ( c o 妒( 竿广2s i n m 壬 船行波速度场的研究 r 4 2 4 ) 3 0 第四章在水下运动物体的船行波中的速度场研究 当( z 一“) c0 时可同样处理。这说明在水下运动物体的上游 一日) 0 和下游 似一口) o h = 10一a 0 其中为波高、水平速度，h 为队：求得相戍的物理量的值。 这样一来，我们就求得了当物体在水下运动时船行波的波高和水面上的水 平速度。我们在图4 4 及4 5 中给出波高和速度场。 4 4 结果 首先从( 4 2 2 ) 可见，只有当1 _ 8 t a n 2 口0 时，才能形成船行波，故船行波的 张角应为 闩a r c t a n 店划 其次用无量纲表示的话， 甜= 中t ”o，7 ：中，o _ g 其中“。为水下运动物体的速度，随着 。的增大，速度和波高都增大。包含在 ( 4 - 2 3 ) 和( 4 - 2 4 ) 中的6 0 是物体的下潜深度，速度和波高都随下潜深度指数 衰减。 最后，我们给出根据代数表达式所作图形。 船行波速度场的研究 第四章在水!垩垫塑竺塑塑!i蕉!塑望壁堑竺窒一 x 图4 4 水下运动物体波高图 图4 5水下运动物体速度场分布图 船行波速度场的研究 3 2 叁耋奎鳖一 参考文献 1 t h o m s o n ，w ，( 1 8 8 7 ) ，0 ns h i pw a v e s ，p r o c i n s t m e c h e n g h n g 3 ( p o p u l a r l e c t u r e s ，i i i ，4 8 2 ) 2 l a m b ，t 1 ( 1 9 1 6 ) ，o nw a v e p a t t e r nd u et o at r a v e l l i n g d i s t u r b a n c e ，p h i l m a y ( 6 ) x x x i ，5 3 9 3 w e h a u s e n ，j ，v a n dl a i t o n e ，e v ( 1 9 6 0 ) ，s u r f a c ew a v e s ，e n c y c l o p e d i a o fp h y s i c s ( e d it e db ys f l f i g g e ) ，3 1 卜7 7 8 4 c h a n ，h t a n dc h w a n g ，h t ( 1 9 9 6 ) ，i n t e r a c t i o no fl a m i n a rf a rw a k e w i t haf r e es u r f a c e ，p h y s f l u i d s ，8 ( 2 ) ，4 2 1 4 2 9 5 c h a n ，h t a n dc h w a n g ，a t ( 1 9 9 7 ) ，s h i pw a v e so nav i s c o h sf l u i d o ff i n i t ed e p t h ，p h y s f l u i d s ，9 ( 4 ) ，9 4 0 9 4 4 6 g u ，d a n dp h i l l i p s ，0 m ( 1 9 9 4 ) ，o nn a r r o w v - 1 i k es h i p w a k e s ，j f l u i d m e c h ，2 7 5 ，3 0 l 一3 2 1 7 w h i t h a m ，g b ( 1 9 7 4 ) ，l i n e a ra n dn o n l i n e a r w a v e s ，j o h nw i l e y & s o n s 1 n e n e wy o r k 8 t i m m a n ，r ，h e r m a n s ，a j a n dh s i a o ，g c ( 1 9 8 5 ) ，w a t e rw a v e sa n ds h i p h y d r o d y n a m i c s ，d e l f tu n i v e r s i t yp r e s s 9 c u m b e r b a t c h ，e ( 1 9 6 5 ) ，e f f e c to fv i s c o s i t yo ns h i p w a v e s ，j f l