（控制理论与控制工程专业论文）时滞切换系统的稳定性及鲁棒镇定.pdf

摘要 摘要 时滞切换系统是一类同时存在切换和时滞的系统，它的动态特性极为复杂。根据 是否依赖于系统中的时滞，时滞切换系统的稳定性可分为时滞独立稳定和时滞依赖稳 定。 本文利用共同李亚普诺夫函数方法、多李亚普诺夫函数方法、平均驻留时间方法、 线性矩阵不等式方法及完备性条件等，研究了时滞切换系统时滞独立稳定、时滞依赖 稳定及状态反馈鲁棒镇定三个方面问题。全文概述如下： 首先研究线性时滞切换系统的时滞独立稳定性问题。利用多李亚普诺夫函数方法， 给出时滞切换系统时滞独立稳定的两个充分条件与两种切换律的设计方法，所得结果 可适用于具有多个子系统的时滞切换系统。最后通过数值仿真来验证结论的正确有效 性。 其次为了获得具有更小保守性和更一般性的稳定性结论，首先利用多李亚普诺夫 函数方法，研究了线性的常时滞切换系统的时滞依赖稳定性。给出线性时滞切换系统 时滞依赖稳定的充分条件及切换律的设计方法；然后利用共同李亚普诺夫函数方法， 研究一类时变时滞切换系统的时滞依赖稳定性，给出此系统时滞依赖稳定的充分条件 及切换律的设计方法。所得结果均可用线性矩阵不等式方法求解，最后通过仿真验证 了结论的正确有效性。 最后讨论两类不确定的时滞切换系统的鲁棒镇定问题。首先利用完备性条件与共 同李亚普诺夫函数方法，研究了一类不确定时滞切换系统的鲁棒镇定问题。此类系统 在结构和输入通道具有未知时变但有界的不确定性，还受到不满足匹配条件的外部扰 动。在各子系统不需满足镇定的条件下，设计了切换系统的无记忆状态反馈鲁棒控制 器及相应的切换策略，使不确定线性切换系统的状态在其平衡点处渐近稳定，得到了 切换系统可状态反馈镇定的充分条件。然后，利用平均驻留时间的方法，研究了另一 类不确定时滞切换系统的鲁棒镇定问题。此类系统在系统矩阵和时滞矩阵上同时存在 不确定性，还受到满足匹配条件的外部扰动。设计了无记忆状态反馈控制器，使得时 滞切换系统在满足给定的平均驻留时间条件下，可任意切换实现鲁棒镇定。最后通过 仿真验证了结论的正确有效性。 关键字：切换系统；时滞独立；时滞依赖。 a b s t r a c t a b s t r a c t s w i t c h e ds y s t e m sw i t ht i m e d e l a yi sat y p eo fs y s t e mw i t hs w i t c h i n ga n dt i m e d e l a y , s o i t sb e h a v i o rc h a r a c t e ri sv e r yc o m p l e x w h e t h e rd e p e n d i n go nt i m ed e l a y so ft h es y s t e m s ， t h es t a b i l i t yo fs w i t c h e ds y s t e m sw i t ht i m e d e l a yc a nb ed i v i d e dt od e l a y - i n d e p e n d e n t s t a b i l i t ya n dd e l a y - d e p e n d e n ts t a b i l i t y i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，w es t u d yd e l a y i n d e p e n d e n ts t a b i l i t y , d e l a y d e p e n d e n ts t a b i l i t ya n d s t a t ef e e d b a c kr o b u s ts t a b i l i z a t i o no fl i n e a rs w i t c h e ds y s t e m sw i t ht i m e d e l a y t h e s et h r e e p r o b l e m sc a nb es o l v e db ym e a n so fc o m m o nl y a p u n o vf u n c t i o nm e t h o d ，m u l t i p l e l y a p u n o vf u n c t i o nm e t h o d ，a v e r a g ed w e l lt i m em e t h o d ，l i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t i e sm e t h o d , c o m p l e t e n e s sc o n d i t i o na n ds oo n a l ls u m m a r i z ea sf o l l o w s ： f i r s t l y , t h ep r o b l e mo fd e l a y i n d e p e n d e n ts t a b i l i t yo fl i n e a rs w i t c h e ds y s t e m sw i t h t i m e d e l a y i s s t u d i e d b yu s i n gm u l t i p l el y a p u n o vf u n c t i o nm e t h o d ，t w o s u f f i c i e n t c o n d i t i o n so ft h ed e l a y i n d e p e n d e n ts t a b i l i t ya n dt w od e s i g nm e t h o d so ft h es w i t c h i n gl a w a r eo b t a i n e d t h er e s u l t sc a na d a p tf o rt h es w i t c h e ds y s t e m sw i t ht i m e d e l a yw h i c hh a v e s e v e r a ls u b s y s t e m s o n eo ft h er e s u l t si sp r o v e dt ob ev a l i db yu s i n go fd i g i t a ls i m u l a t i o na t l a s t s e c o n d l y , i no r d e rt og e tl e s sc o n s e r v a t i v ea n dm o r eg e n e r a ls t a b i l i t yc o n c l u s i o n ，t h e d e l a y - d e p e n d e n ts t a b i l i t yo fl i n e a rs w i t c h e ds y s t e m sw i t ht i m e i n v a r i a n td e l a y si sr e s e a r c h e d b yu s i n go fm u l t i p l el y a p u n o vf u n c t i o n m e t h o d t h es u f f i c i e n tc o n d i t i o no ft h e d e l a y d e p e n d e n ts t a b i l i t ya n dt h ed e s i g nm e t h o do ft h es w i t c h i n gl a wa r eo b t a i n e d t h e nt h e s t a b i l i t yo fac l a s so fs w i t c h e ds y s t e m sw i t ht i m e v a r y i n gd e l a y si ss t u d i e db yu s i n go f c o m m o nl y a p u n o vf u n c t i o nm e t h o d t h es u f f i c i e n tc o n d i t i o no ft h e d e l a y d e p e n d e n t s t a b i l i t ya n dt h ed e s i g nm e t h o do ft h es w i t c h i n gl a wa r eo b t a i n e d a l ls u f f i c i e n tc o n d i t i o n s o b t a i n e dc a nb es o l v e db yl i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t i e sm e t h o d o n eo ft h er e s u l t si sp r o v e dt o b ev a l i db ys i m u l a t i o na tl a s t l a s t l y , w ed i s c u s st h er o b u s ts t a b i l i z a t i o np r o b l e mo ft w ot y p e so fu n c e r t a i ns w i t c h e d s y s t e mw i t ht i m e - d e l a y f i r s t l yb yu s i n gt h ec o m p l e t e n e s sc o n d i t i o na n dc o m m o nl y a p u o v f u n c t i o nm e t h o d ，w es t u d yt h er o b u s ts t a b i l i z a t i o np r o b l e mo fat y p eo fu n c e r t a i ns w i t c h e d s y s t e m sw i t ht i m e - d e l a y t h i st y p eo fs w i t c h e ds y s t e m sn o to n l yh a su n c e r t a i n t yi ns t r u c t u r e a n di ni n p u tc h a n n e l ，b u ta l s oh a so u t s i d ed i s t u r b a n c ew h i c hd o e sn o ts a t i s f ys o c a l l e d 时滞切换系统的稳定性及鲁棒镇定 m a t c h i n gc o n d i t i o n t h es t a t ef e e d b a c kr o b u s tc o n t r o l l e r sw i t h o u tm e m o 巧o fs w i t c h e d s y s t e m sa n dc o r r e s p o n d i n gs w i t c h i n gs t r a t e g ya r ed e s i g n e do nc o n d i t i o nt h a te a c hs u b s y s t e m n e e d n tt om e e tw i t ht h er e q u i r e m e n to fs t a b i l i z a t i o n a n dt h es u f f i c i e n tc o n d i t i o no fr o b u s t s t a b i l i z a t i o nf o rs w i t c h e ds y s t e m sw i t ht i m e d e l a yi so b t a i n e d t h e nb yu s i n gt h em e t h o do f a v e r a g ed w e l lt i m e ，w er e s e a r c ht h er o b u s ts t a b i l i z a t i o np r o b l e mo fa n o t h e rt y p eo fu n c e r t a i n s w i t c h e ds y s t e m sw i t ht i m e d e l a y t h i st y p eo fs w i t c h e ds y s t e m sn o to n l yh a su n c e r t a i n t yi n s y s t e mm a t r i c e sa n di nd e l a yt i m em a t r i c e s ，b u ta l s oh a so u t s i d ed i s t u r b a n c ew h i c h s a t i s f i e s s o c a l l e dm a t c h i n gc o n d i t i o n w ed e s i g nt h es t a t ef e e d b a c kr o b u s tc o n t r o l l e r sw i t h o u t m e m o 巧o fu n c e r t a i ns w i t c h e ds y s t e m sw i t ht i m e d e l a yt og u a r a n t e et h es y s t e m sc a nb e s t a b i l i z e db ya n ys w i t c h i n gs t r a t e g yo nc o n d i t i o nt h a tt h es y s t e m ss a t i s f yag i v e nd w e l lt i m e t h er e s u l t sa r ep r o v e dt ob ev a l i db ys i m u l a t i o na tl a s t k e y w o r d s ：s w i t c h e ds y s t e m s ；d e l a y i n d e p e n d e n t ；d e l a y d e p e n d e n t 厦门大学学位论文原创性声明 兹呈交的学位论文，是本人在导师指导下独立完成的研究成果。本人 在论文写作中参考的其他个人或集体的研究成果，均在文中以明确方式标 明。本人依法享有和承担由此论文产生的权利和责任。 声明人( ：呼己妻 卜1 每主乒砩b 厦门大学学位论文著作权使用声明 本人完全了解厦门大学有关保留、使用学位论文的规定。厦门大学有 权保留并向国家主管部门或其指定机构送交论文的纸质版和电子版，有权 将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查 阅，有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索，有权将学位论文的 标题和摘要汇编出版。保密的学位论文在解密后适用本规定。 本学位论文属于 1 、保密() ，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密( ) ( 请在以上相应括号内打“”) 作者签名呷五。杪 导师签名：i 狼馆力 日期：知吵年期垢 日期：砷年，月留日 第一章绪论 第一章绪论 二十世纪六十年代，控制界开始对混杂动态系统理论进行研列1 1 ，并获得了许多成 果。随后，一类重要的混杂动态系统【2 l - - - t ：3 j 黼( s w i t c h e ds y s t e m s ) 的研究更是成为广 大控制工作者研究的焦点，在稳定性、鲁棒控制、最优控制等方面获得了重要成果。 1 1 混杂系统概述 混杂动态系统( h y b 耐d y n a m i cs y s t e mh d s ) 简称混杂系统。它是由离散事件动态 系统与连续时间( 或离散时间) 动态系统相互混和、相互作用而形成的统一动态系统【3 】 ( 它既包含连续动态也包含离散动态) 。连续时间动态系统用微分方程描述，离散时间 动态系统用差分方程描述1 4 j 。 传统上，为了研究的方便，混杂性质的系统总是被简单转化为一个纯连续的或者 纯离散的系统加以研究。在现代控制系统中，随着计算机应用的普及，特别是在航空、 过程控制、电能传输、通信等系统中的广泛应用，系统中连续动态和离散动态混杂在 一起，相互作用、密不可割，必须作为一个整体进行研究。对具有混杂结构的控制系 统单纯依赖常规的控制手段较难奏效，于是在理论上迫切要求能提供一套新的控制理 论来解决。 1 9 6 6 年，h sw i t s e n h a u s e n 在i e e e a c 发表的文章【l 】中首次提出了混杂动态系统 的概念，标志着混杂动态系统理论研究的开始。而此后的二十年间混杂动态系统的研 究没有多大进展，直到八十年代末，混杂动态系统理论才得到全面的研裂5 1 。1 9 8 6 年 由美国国家基金会和i e e e 控制系统协会召集美国控制界知名学者，在美国加州s a n t a c l a r a 大学举行了一次关于控制科学今后发展的专题讨论会，在会议报告对于控制的 挑战集体的观点【5 卅上，再一次提出了混杂动态系统。随后混杂动态系统理论研究 成为控制领域中的一个新的热点。二十世纪九十年代以来，世界上许多国家召开的关 于混杂动态系统学术会议【7 - 8 】论文集中都发表了有关混杂动态系统的文章【9 1 1 1 。几个主 要国际期刊，如 i e e et r a n s a c t i o no na u t o m a t i cc o n t r 0 1 ) ) 、 s y s t e m c o n t r o ll e t t e r s ) ) 等都出版了混杂动态系统的专刊【1 2 1 5 】。1 9 9 6 年，在第十三届i f a c 大会上由l a b i n a z ， b a y o u m i 和r u d i e 发表了一篇混杂动态系统的综述文章【1 6 】，1 9 9 8 年4 月i e e ea c 也发 时滞切换系统的稳定性及鲁棒镇定 表了一期混杂动态系统的专刊，这些都表明混杂动态系统的研究已取得丰富的成果。 随后十来年，许多控制领域的学者对混杂动态系统进行了更广泛、更深入的研究，取 得了大量的研究成果。 虽然我国对混杂动态系统的研究与国外相比，要晚一些。但是国内许多机构很快 就成立混杂动态系统研究团队，如清华大学、东北大学、中国科学院自动化研究所、 浙江大学、上海交通大学、东南大学等。 1 2 切换系统 1 2 1 切换系统概述 切换系统是一类重要的混杂动态系统，它是由多个子系统以及作用在其中的切换 规则( 切换律或切换策略) 构成的，并且每一时刻只有其中一个子系统在作用，其它 子系统是不起作用的。切换系统在切换过程中，切换策略起着重要的作用，它将决定 切换系统运行在哪一个子系统上。在工程系统中切换是普遍存在的，如工业制造、过 程控制、航空交通控制、电能传输、信号传送、网络控制等系统都普遍存在切换。“切 换”作为一种控制思想，很早就在控制理论中得到了应用。如经典控制中的继电器伺 服系统，工程上广泛应用的分区p i d 及模糊控制系统严格意义上也可归入切换系统。 切换系统已引起了国内外学者的广泛关注【1 7 彩】。切换系统基本结构如图1 1 所示。 图1 1 切换系统示意图 2 第一章绪论 由，1 个子系统构成的自治切换系统可由如下的微分方程来描述【1 7 】 戈( f ) = ( 石( ，) ) ( 1 1 ) 其中：m 是自然数，盯： o ，佃) 一t = 1 , 2 ，m 表示分段常值的切换信号， ：r ”一尺“表示充分光滑的非线性函数。 相应地，当以为线性函数时，系统( 1 1 ) 可描述成如下的线性切换系统 戈( f ) = 以x ( t ) ( 1 2 ) 例1 1 【2 4 之叼半导体技术中使用的调节器系统如图1 2 。调节器有两个模式。模式 1 ，我们称它为“o n 模式，此时跳是闭合的，s w 2 是断开的；模式2 ，我们称它为“o f r 模式，此时跳闭合是的，跳是断开的。保持模式l 的时间为a t , ，保持模式2 的时间 为疋。 图1 2 调节器的电路示意图 r 2 在图1 2 所示的系统中，跳表示双极晶体管，$ w 2 表示二极管，屹表示电容器的 电压，它等于作用在负载r ：上的输出电压。，表示电感电流，在“o i l 模式，电感电 流等于电源的输入电流；在“o 行模式，电源的输入电流等于零。 选取两个状态变量x 。和x ：，其中茗。表示电容器的电压圪，x ：表示电感电流，。，此 系统可用如下模型来描述。 在“o n 模式，有 妻 = 一1 苫1 c 一芝，己 羔 + 。左 圪 c - 3 ， 在“o f f 模式，有 3 时滞切换系统的稳定性及鲁棒镇定 妻 = 一z 2 c 一苫c 羔 c - 4 ， 即在“o n ”，模式下，系统的运行方程为戈= a x + b i u l ：在“o 行 模式下，系统的运行 方程为戈= 彳2 x + 0 。 与一般的系统相比，切换系统具有一种特殊性质，即其子系统的稳定性不等价于 整个系统的稳定性。如果切换系统选择不同的切换策略，其系统稳定性可以得到截然 不同的结果。即存在这样的情形，切换系统的每个子系统都是稳定的，但是在某一切 换策略下进行切换，可能导致整个系统的不稳定；反过来，也存在这样的系统，尽管 每个子系统都不稳定，也可以通过某种切换策略使得整个系统稳赳1 7 1 。下面给出两个 切换系统的例子说明切换系统的这种特殊性质。 例1 2 【2 l 】【2 3 】考虑下面的线性切换系统 y c ( t ) = a ，x ( f ) ，矿 l ，2 ( 1 5 ) 其中， f 1 彳：= l 一2 a ( 4 1 ) = 一1 + 2 ，f f o i ，旯( 彳2 ) = 1 t - 2 x - 而i 两个子系统戈( f ) = a l x ( t ) 与y c ( t ) = a 2 x ( t ) 都是稳定的。但是在如下的切换策略下，切换 系统( 1 5 ) 是不稳定的。令石( f ) = k f 工；】r ，q = 扛ix x ： o ) ，设计如下的切换策略 jj：=a，lxax 三主曼 c - 8 ， 气ii o ， 【j = 2 x 石萑q 、7 同时选取初始状态= 【8 8 】r ，那么切换系统( 1 7 ) 在切换策略( 1 8 ) 下是稳定的。系统 运行的轨迹如图1 4 。 图1 3 状态响应曲线图i 4 状态响应曲线 由于切换系统的上述特性，研究切换系统不仅要考虑各个子系统的动态行为还要 考虑切换策略，这样才能达到控制的真正目标。因此切换策略对于切换系统来说最有 实用价值。 5 时滞切换系统的稳定性及鲁棒镇定 1 2 2 切换系统的研究内容和现状 近年来，切换系统的研究已成为控制界的前沿热点课题。其原因在于：切换系统在 实际系统中大量存在，如飞行器控制、交通管理、网络控制等系统。同时，切换系统 较易用数学模型来描述，便于理论分析和实际应用。其次，切换系统的分析和设计基 本方法与基本理论容易在一般的混合系统中获得推广。目前切换系统的研究主要集中 在：稳定性分析，鲁棒控制和优化设计方面。稳定性问题是控制理论中最重要的一个 基本问题，鲁棒控制一直是国际自动控制领域的研究热点，优化设计是控制的最终目 标。 稳定对于一个实际运行系统是最基本的要求，不稳定的系统是不可能付诸于工程 实施的。系统的稳定性是指：当实际系统受到各种偶然的或持续性的干扰后，系统自 动地回到预定的运动状态。切换系统的稳定性研究已受到极大关注，并且已经取得了 一大批研究成果( 2 3 4 1 。 1 9 9 9 年d a n i e ll i b e r z o n 和a s t e p h e nm o r s e 在i e e e 控制系统杂志上发表了一篇 有关切换系统的稳定性及其设计的综述性文章1 7 】，指出切换系统稳定性研究的三个基 本问题。 1 切换系统在任意的切换策略下的稳定性； 2 切换系统在一些给定的切换策略下的稳定性； 3 构造切换策略使切换系统稳定，即系统的镇定问题。 对于问题l ，切换系统要在任意的切换策略下稳定的充分必要条件是切换系统具有 共同李亚普诺夫( l y a p u n o v ) 函数。wpd a y a w a n s a 和j l m a n c i l l a - a g u i l a r 等人在文献 2 7 】【2 8 】给出了切换系统的逆李亚普诺夫( l y a p u n o v ) 定理，为切换系统在可在任意切换 下都稳定提供理论依据。文献 2 9 】【3 0 指出共同李亚普诺夫( l y a p u n o v ) 函数的具体形式， 可为二次型形式。文献 3 1 1 利用线性矩阵不等式方法研究了系统的共同二次型l y a p u n o v 函数的计算方法。 然而许多切换系统并不存在共同l y a p u n o v 函数，于是许多学者寻求系统在一定的 切换策略下的稳定性或者是构造切换系统的切换策略来镇定切换系统。解决这类问题 的一种比较有效方法是由m s b r a n i c k y 提出的多l y a p u i l o v 函数方法【1 8 】。其中完备性条 件、凸组合、平均驻留时间方法也是常用的方法。 a s m o r s e 和j p h e s p a n h a 分别利用驻留时间方法【3 2 1 和平均驻留时间方法 ”1 ，给出 6 第一章绪论 稳定的线性子系统在满足给定的驻留时间或平均驻留时间下，可经任意切换达到稳定 的结论。文献 3 4 】利用平均驻留时间方案与多l y a p u n o v 函数方法，对线性切换系统的加 权扰动衰减问题进行了研究，此时并不要求所有的子系统都是稳定的。 鲁棒控制是当今控制理论中比较活跃并获得丰富结果的领域之一。由于数学模型 的近似性和不确定性，非线性对系统的效应、测量的不准确性，同时由于系统元器件 的老化及各种偶然的或持续性的外部干扰，人们在设计控制系统时，只能在近似和简 化的基础上进行，得到一个存在不确定性的简化数学模型。正是这些不确定因素的存 在，造成系统不稳定及系统性能变差，使得对系统的控制变得困难，鲁棒控制理论是 处理以上各种不确定性问题的有力工具。目前，切换系统的鲁棒控制受到了较大的关 注，取得了许多成果【2 0 - 2 3 】【3 5 1 。 文献 2 0 】考虑了一类标称系统存在共同l y a p u n o v 函数的非线性不确定切换系统的 鲁棒镇定问题。此类系统的外部干扰不满足匹配条件，分别设计出了经过状态反馈和输 出反馈鲁棒控制器。文献 2 l 】考虑了一类标称系统存在共同l y a p u n o v 函数的不确定线性 切换系统的鲁棒控制器设计问题。此类系统不仅受不满足匹配条件的干扰的作用，而且 在输入通道上也具有不确定性，分别设计出了经状态反馈和输出反馈的鲁棒控制器， 并设计出了切换律。文献 2 2 】研究了一类扰动项不满足匹配条件的不确定切换系统的鲁 棒镇定问题。在每个子系统均不能镇定的情况下，利用完备性条件和l y a p u n o v 函数方 法，分别得到了不确定切换系统可镇定的充分条件。文献 3 5 】研究了一类非线性切换系 统的反馈镇定性。利用多l y a p u n o v i 函数递推设计方法设计了反馈控制器使切换系统在 任意切换策略下都能达到稳定。文献 3 6 】研究了一类不确定时滞切换系统的玩意义下 渐近稳定性问题，利用l y a p u n o v 函数和凸组合技术及线性矩阵不等式( l m i ) 方法，给出了 这类系统切换策略的设计方案。 控制系统的优化问题一直是控制领域研究的重点，是控制的最终目的。与一般的 系统相比，切换系统的最优控制方法较多。切换系统的运行要达到最优，其中一个行 之有效的方法就是选择适当的切换策略，同时还可以设计多个控制器来达到最优控制 的目的。对于切换系统来说，由于包含多个子系统，系统的动态行为比单一模型的系 统要丰富得多，所以切换系统应该具有更好的鲁棒性和可控制性。 目前切换系统优化问题也取得了很多成梨3 ”9 1 。文献 3 7 】考虑了一般的切换系统的 鲁棒最优控制问题，把求解此类问题转化成寻找值函数满足的拟变分不等式的粘性解 7 时滞切换系统的稳定性及鲁棒镇定 问题。文献 3 8 】研究了周期切换的线性切换系统的最优化问题，给出基于范数最优切换 律设计的具体步骤。 1 3 时滞系统 1 3 1 一般时滞系统概述 时滞系统是由泛函微分方程来描述的。二十世纪五十年代末以来，泛函微分方程 和微分差分方程发展非常迅速。在许多方面都取得了重要成果。二十世纪七十年代以 后，无穷时滞和无界滞后量的泛函微分方程也跟着兴起，进一步促进了时滞系统理论 的发展。我国学者在时滞系统的研究方面也取得了一些成果。如秦元勋、刘永清、王 联在1 9 6 3 年出版了专著带有时滞动力系统的运动稳定性。后来，这个领域没有取 得多大进展。直n - 十世纪九十年代，时滞系统研究才逐渐热门起来。时滞系统的控 制问题随之也受到学者们的广泛关注。 自然界中时滞现象是普遍存在，如机械传动系统，信号传输系统，大型电网系统、 网络控制系统等，都存在着时滞现象，特别是在动力系统中总是不可避免存在滞后现 象。一般地，时滞现象表现为事物的发展趋势不仅与当前的状态有关，而且还依赖于 事物的过去状态。在工程系统当中，时滞往往是系统不稳定和系统性能变差的主要原 因，因此对时滞系统进行研究显得十分重要。由于时滞系统有广泛的应用背景，它受 到了许多学者的关注。 目前，时滞系统研究结果主要分为两类：时滞独立( 时滞无关) 和时滞依赖( 时 滞相关) 。在进行时滞系统稳定性或其它性能研究时，不考虑时滞的影响，这样所得到 与时滞没有关系的结论我们称之为时滞独立的( 时滞无关的) 。如果在研究时滞系统时， 考虑了系统时滞的影响，并得到与时滞大小有关的结论我们称之为时滞依赖的( 时滞 相关的) 。在实际系统中，大部的系统中时滞都是有界的，无穷时滞很少出现。那么时 滞独立的相关结论对于那些时滞有界或时滞比较小的系统来说，显然是很保守的。但 是，时滞依赖问题的研究较之时滞独立问题研究要困难些，复杂些。在二十世纪九十 年代以前，所得到的时滞系统的结论基本上都是时滞独立的1 1 。此后，时滞依赖稳 定问题已引起了许多学者的关注，成为控制理论研究中的一个前沿问题。 时滞系统的一般模型可用如下的微分方程来描述 8 第一章绪论 文( f ) = ( 工o ) ，x ( t f i ) ，x ( t 一乃) ) t 0i 1 , 2 ，)( 1 9 ) 其中乃为时间滞后量，x ( f ) 表示系统t 时刻的状态，x ( f 一乃) 表示系统相对于f 时刻第f 个 滞后状态，即为系统t 一0 时刻的状态。当式( 1 9 ) 中的f 1 时，此时系统称为单时滞系 统。当式( 1 9 ) 中的f l 时，我们称系统为多时滞系统。 下面给出时滞系统的一些实际应用例子。 例1 4 4 2 1 在近代核物理中用计数器测量质点源强度，引出的方程： 后( f ) = 一a r c ( t ) - x ( t r ) e 一酊】 例1 5 t 4 2 1 考察信息网络中的无损传输线路，导出如下的方程 f 4 ( t ) 一k f 4 ( t 一三) ：他( f ) ，甜( f _ 与】 ss 例1 6 4 2 1 考虑麻疹传播的l o n b o n 与y o r k e 模型。以s ( f ) 表示在时刻f 无免疫力的 个体数目，厂为这种个体在人口中所占的比例，f l ( t ) 为人口特征函数。医学统计表明， 麻疹传染的潜伏期上、下限为1 4 1 2 天，因而得到有滞后量的微分方程 j ( f ) = f l ( t ) s ( t ) s ( t 一1 2 ) - s ( t 一1 4 ) 一2 7 】+ ， 这里有两个滞后量1 2 和1 4 。 1 3 2 时滞切换系统研究概况 具有时滞的切换系统称之为时滞切换系统。它可以用如下的数学模型来描述 考虑具有m 个子系统时滞切换系统 戈o ) = 力( x ( f ) ，x ( t 一 c o i ) ，x ( t 一勺，) ) ( 1 1 0 ) 其中仃t = 1 , 2 ，m ，j f f = 1 , 2 q ， 0 为系统的时间滞后量，x ( f ) 表示系统在t 时刻的状态。x ( t 一白) 表示第盯个子系统相对于f 时刻第，个滞后状态，即为系统，一 时刻的状态。当式( 1 1 0 ) q b 的= l 时，此时系统称为单时滞切换系统。当式( 1 1 0 ) 中的 j l 时，我们称系统为多时滞切换系统。 线性的时滞切换系统可用如下的模型来描述 9 时滞切换系统的稳定性及鲁棒镇定 量( f ) ：4 x ( f ) + 羔x ( f - 乃) j = l 其中j ，丁，乃 o ，a ，和坞为适当维数的常数矩阵。 时滞切换系统同时存在连续系统动态、离散动态以及时滞状态，这些状态之间交 互影响，难以分开，给研究带来了一定的困难。到目前为止，对时滞切换系统的研究 报道【4 3 - 4 6 并不多见。文献 4 3 研究了时滞切换系统的可控性问题。文献 4 4 】研究一类 具有时滞摄动的切换系统的稳定性问题，分别利用单l y a p u n o v 函数和多l y a p u n o v 函 数方法给出了此切换系统稳定的充分条件。文献 4 5 】利用共同l y a p u n o v 函数给出时滞 切换系统时滞独立稳定的相关结果。文献 4 6 】利用共同l y a p u n o v 函数给出时滞切换系 统时滞依赖稳定的相关结果。总之，目前关于时滞切换系统的结论大多是时滞独立的， 时滞依赖的相关结论还相当少。 1 4 本文主要工作 本文研究了时滞切换系统的时滞独立稳定、时滞依赖稳定及鲁棒镇定三个方面问 题，概述如下： 第二章研究自治的线性时滞切换系统的时滞独立稳定性。利用多李亚普诺夫函数 方法、矩阵分解方法，给出了时滞切换系统时滞独立稳定的充分条件与切换律的设计 方法。最后进行数值仿真。 第三章研究自治的线性时滞切换系统的时滞依赖稳定性。与时滞独立稳定相比， 时滞依赖稳定具有更小保守性。本章分别研究了常时滞切换系统与时变时滞切换系统 的时滞依赖稳定性，分别给出线性时滞切换系统时滞依赖稳定的充分条件，并设计相 应的切换策略。所得充分性条件均能用线性矩阵不等式方法求解，最后进行仿真来验 证结论。 第四章研究存在不确定的时滞切换系统的鲁棒镇定问题。首先研究一类不确定时 滞切换系统的鲁棒镇定。此类系统不仅在系统矩阵和输入增益矩阵上存在不确定性， 还受不满足匹配条件的外部扰动。设计了切换系统的无记忆状态反馈鲁棒控制器及相 应的切换策略，得到了切换系统可状态反馈镇定的充分条件。然后，研究另一类不确 定时滞切换系统的鲁棒镇定。此类系统的系统矩阵和时滞矩阵同时存在不确定性，还 受到满足匹配条件的外部干扰。利用平均驻留时间的方法，设计了无记忆的状态反馈 1 0 第一章绪论 控制器，使得时滞切换系统在满足给定的平均驻留时间条件下，可任意切换实现鲁棒 镇定。最后通过仿真验证了结论的正确有效性。 第五章对全文进行了总结，并指出本文存在的一些不足及今后需深入研究的一些 问题，展望了切换系统下一步的发展。 时滞切换系统的稳定性及鲁棒镇定 2 1 引言 第二章线性时滞切换系统的时滞独立稳定 在工程系统中，时滞现象是普遍存在的，如电力系统、通信系统、机械传输系统 等。时滞切换系统同时存在连续状态、离散状态和时滞，使得时滞切换系统的分析与 综合变得复杂和困难。此外时滞的存在往往是系统不稳定和系统性能变差的重要原因 之一。因此怎样在具有时滞的情况下，来保证系统的稳定性和其它的性能是一个非常 重要的问题。目前关于时滞切换系统的研究结果【4 3 4 8 】相对较少。 时滞系统研究的结论分为两类：时滞独立的结论和时滞依赖的结论。时滞独立的 结论是指：在进行时滞系统稳定性或其它性能研究时，获得与时间滞后量没有关系的 结论。这样的结论对具有任意时间滞后量的系统都是成立的，它允许系统的时滞是不 确定的或是未知的，从而无需知道系统时滞的精确信息，但这样的结果往往保守性大。 时滞依赖的结论是指：在进行时滞系统稳定性或其它性能研究时，获得与时间滞后量 大小有关的结论。一般来说，这样的结论保守性较小。因此时滞切换系统的稳定性可 分为：时滞独立稳定和时滞依赖稳定。目前时滞切换系统所获得的稳定性结论大部分 都是时滞独立稳定的。 文献 4 4 1 研究了一类具有时滞摄动的切换系统的时滞独立稳定性问题，分别利用共 同李亚普诺夫( l y a p u n o v ) 函数方法和多李亚普诺夫函数方法得到时滞切换系统稳定的 充分条件及切换律的设计方法。但只把时滞作为一种有界的摄动来研究，只适用于具 有小范围时滞摄动的切换系统，且利用多李亚普诺夫函数方法所得结论也只适用少于 三个子系统的切换系统，对具有三个及三个以上子系统的时滞切换系统就不适用。文 献 4 5 】利用共同李亚普诺夫函数与凸组合方法给出时滞切换系统的时滞独立稳定性充 分条件。但没有考虑不存在共同李亚普诺夫的时滞切换系统的时滞独立稳定性问题。 本章研究了时滞切换系统的时滞独立稳定性问题。利用多李亚普诺夫函数方法， 给出时滞切换系统时滞独立稳定的两个充分条件与两种相应切换律的设计方法，所得 结果可适用于具有多个子系统的时滞切换系统。最后通过数值仿真来验证结果的正确 有效性。 、 1 2 第二章线性时滞切换系统的时滞独立稳定 2 2 系统描述 考虑f 面具有m 个子系统的线性时滞切换系统 搿d t 等1 - 粕0 ( 2 t ) 【x ( f ) = 矽( f ) f j 、7 其中m 是自然数，i = 1 , 2 m ，常数f 0 为时间滞后量，x ( t ) r “为系统的状态， x ( t - ) r ”为系统t f 时刻的状态，定常矩阵a i r 删”为系统矩阵，定常矩阵 m 1 r 肘”为时滞矩阵，( f ) 为系统的初始状态。 为了方便书写，将系统的状态石( f ) 写成x ，x ( t r ) 写成x ，1 1 4 a 的二范数。 同时，为了得到系统( 2 1 ) 时滞渐近独立稳定的有关结论，需要引入一个引理。 引理2 1 设孝和卵为两个相同维数的实数列向量，则对于任意的标量力 0 下式成 立 2 善r 刁_ 1 孝r 善+ 名刁r ，7( 2 2 ) 证明：对于任意的标量见 0 ，由于 ( 击善一疡) r 喷1 善一而) 0 由上式可得_ 1 孝r 善一2 ：r r + 五r r r 0 ，即( 2 2 ) 式成立。 对于系统( 2 1 ) 中的定常矩阵m 总是可以分解为两个适当维数的矩阵之积，即存在 两个适当维数的定常矩阵e 和只使 m t = e i f l( 2 3 ) 注2 1 ：这一点是十分容易做到的，例如可取易= ，c = ，或e = ，e = m 。 一般地，将m 分解为列满秩矩阵巨和行满秩矩阵e ，因为矩阵的满秩分解总是存在的， 而且有利于矩阵运算，减少所得结果的保守性。 2 3 时滞独立稳定 定理2 1 如果存在正定矩阵和q ，且同时存在非负或同时存在非正的实数勺， 1 3 时滞切换系统的稳定性及鲁棒镇定 r = i 彳_ 只+ 4 + q + 否占i f ( 一弓) 只m ，i 。0 ( 2 5 ) 其中函数a r g ( ) 表示满足括号内的表达式条件的下标值。 证明情形一：当白o 时，对系统( 2 1 ) 选取切换策略( 2 5 ) ，对于帆r ” o ，比 较x r e x 值之间的大小( t ) ，不妨设其中最大的一个为x t p , x ，则 x r p , x - x7 e j x = x r ( 一p j ) x 0 令0 ，：x er u o i x r ( 一弓p o ，w r ，显然有0 0 ，= r u o ， 设 t - i m - i 否，= o 。，o ，= o ；一u o j ，否辨= o 。- u o j ，则否，n 苟，= 矽，i c j 。 _ ，= lj = i 当工否，切换到第f 个子系统，构造l y a p u n o v 函数 l ( x ) = x r p ，x + ，x r ( s ) o ) a s 对李亚普诺夫函数求导得 坑( x ) = y c r p , x + x r p , i + x q x x ； ， 将式( 2 1 ) 代入上式易得 嘶h “r 只焉一q 笔 ix p 拶划牝吲翻 1 4 ( 2 6 ) ( 2 7 ) 第二章线性时滞切换系统的时滞独立稳定 即 胡p 搿q 地p 母蝴亿8 ， n n x r 只x 一工r p j x = x r ( 只一乞冷o 那么 一k r 石；t 善白：一弓翻 主 。 c 2 9 ， 由式( 2 8 ) 、( 2 9 ) 司得 酽胡p 糍一qp 罨i m 计。 即 攻( z ) 0 情形二：当白0 时，与情形一相似，易得哆o ) t i 时，有 匕( 订( x 回) 吃( “) ( 石( 气) ) 由多李亚普诺夫函数方法知系统( 2 1 ) 是时滞独立稳定。 当定量2 1 中所有的只= p 时，可以得到如下的推论。 推论2 1 如果存在正定矩阵尸和a