（工程力学专业论文）柔性梁和板结构非线性振动实验研究.pdf

摘要 摘要 柔性梁和板结构无论是在大型空间站等航空、航天领域中，还是在船舶、汽车、 建筑等民用工程领域中都是非常重要的组成部分。随着工程结构的大型化、柔性化 和轻质化，以及对结构的高可靠性、高精度、高稳定性的要求越来越高，对柔性梁 和薄板结构的动力学与振动控制的研究日益重要。非线性因素对机械柔性结构的动 力学特性有非常重要的影响，因此，研究柔性梁和板结构的非线性振动具有非常重 要的理论意义和实际应用价值，能够为结构的设计和控制提供重要的理论指导依据。 本论文主要对具有方形截面的柔性悬臂梁、金属材料矩形薄板和碳纤维复合材 料层合矩形薄板进行系统的非线性振动实验研究。主要研究内容有如下几个方面： 1 研究了简谐参数激励作用下方形截而：悬臂梁系统非线性振动响应，主要内容 如下： 1 ) 通过理论计算、a n s y s 有限元模拟给出了方形截面梁的固有频率并同实验观 测到的共振频率对比，发现了超谐和亚谐共振等非线性现象； 2 ) 实验研究了共振区域悬臂梁模态阶次和振动方向的转变过程；绘制了频响和 力幅值曲线；讨论了系统受迫响应与初始振幅之间的关系： 3 ) 研究了由于模态相互耦合作用，梁的响应在倍周期、概周期和混沌之间转化 的非线性动力学行为；观察到了两类多模态组合共振的组合方式以及不同方 式所对应的混沌脉冲跳跃现象；发现了梁的大幅回转运动和阵发混沌运动； 4 ) 实验测定了梁对应不同模态的相对阻尼系数。 2 研究了几何尺寸、边界条件、激励等因素对金属材料矩形薄板和碳纤维复合 材料层合矩形薄板系统振动响应的影响。具体内容如下： 1 ) 通过理论计算、a n s y s 有限元模拟给出了矩形薄板的固有频率和模态； 2 ) 通过锤击法、扫频等方法给出了板系统的共振频率，分别讨论了几何尺寸、 边界条件、激励等因素对系统共振的影响；基于扫频结果，讨论了板的非线 性频响特性； 3 ) 实验发现了一类高阶激励频率激发起低阶非固有频率所对应的共振现象。 关键词：非线性振动，实验，混沌，悬臂梁，矩形薄板 北京y , l k 大学t 学硕十学位论文 a b s t r a c t f l e x i b l eb e a ma n dp l a t es t r u c t u r e sh a v eb e e ni n c r e a s i n g l yu s e di nf i e l d so fa e r o s p a c e a n dc i v i l e n g i n e e r i n g c o r r e s p o n d i n g l y , m o r ea n dm o r er e q u i r e m e n t s o fr e l i a b i l i t y , p r e c i s i o na n ds t a b i l i t yb e c o m ec o n s i d e r e dd u et o t h es p e c i a lc h a r a c t e r i s t i c so ft h e s e s t r u c t u r e ss u c ha sl i g h ta r o m a t i c sa n df l e x i b i l i t y r e s e a r c ho nt h ed y n a m i c sa n dv i b r a t i o n c o n t r o lo ft h e s es t r u c t u r e s ，t h e r e f o r e ，a r eo fg r e a ti m p o r t a n c e n o n l i n e a rv i b r a t i o n , b i f u r c a t i o n sa n dc h a o t i cd y n a m i c sp l a ya l li m p o r t a n tr o l ei nn o n l i n e a rs c i e n c e s p e c i f i c r e s e a r c h e so nn o n l i n e a rd y n a m i c so fm e c h a n i c a lf l e x i b l es t r u c t u r e sc a np r o v i d ee s s e n t i a l t h e o r e t i c a lg u i d a n c ef o rt h e i rd e s i g na n dc o n t r o li ne n g i n e e r i n ga p p l i c a t i o n s i nt h i s p a p e r , n o n l i n e a rd y n a m i cc h a r a c t e r i s t i c so ff l e x i b l ec a n t i l e v e rb e a mw i t h s q u a r es e c t i o n ，m e t a l l i cp l a t ea n dc o m p o s i t el a m i n a t e dp l a t eh a v eb e e ni n v e s t i g a t e di n d e t a i lu s i n ge x p e r i m e n t a lm e t h o d t h em a i nc o n t e n t sa r ea sf o l l o w ： 1 f o rc a n t i l e v e rb e a m ，t h ec a s ew i t hh a r m o n i cp a r a m e t r i ce x c i t a t i o nh a sb e e nm a i l y d i s c u s s e dw i t ht h ef o l l o w i n gd e t a i l s ： 1 ) n a t u r a lf r e q u e n c i e so b t a i n e dm a t h e m a t i c a l l yh a v eb e e nc o m p a r e dw i t ht h o s eo f e x p e r i m e n t s ，b yw h i c hs u b h a r m o n i ca n ds u p e rh a r m o n i cr e s o n a n c eh a sb e e nf o u n d ； 2 ) t r a n s l a t i n gp r o c e s s e sb e t w e e nd i f f e r e n tm o d eo r d e r sa n dm o d ed i r e c t i o n sh a v e b e e nr e s e a r c h e de x p e r i m e n t a l l y f r e q u e n c ya n da m p l i t u d er e s p o n s ec u r v e sh a v eb e e n d r a w nb a s e do nt h eo b s e r v e dp o i n t s n o n l i n e a rc h a r a c t e ro fs e n s i t i v i t yt o w a r di n i t i a l v a l u e sh a sb e e ns t u d i e da n dr e g a r e d e dt oc a u s et h ec u r v e s ； 3 ) c h a o t i cp h e n o m e n aa sar e s u l to fi n t e r a c t i o no fd i f f e r e n tm o d e sh a v e b e e ns t u d i e d i nr e s o n a n tz o n e s ，t w ok i n d so fm u l t i m o d ec o m b i n a t i o nh a v e b e e nf o u n d ；t w o c o r r e s p o n g d i n gk i n d so fp u l s ej u m p i n gp h e n o m e n ah a v e b e e no b s e r v e da sw e l l ； 4 ) r e l a t i v ed a m p i n gc o e f f i c i e n t sh a v eb e e nd e t e r m i n e de x p e r i m e n t a l l y 2 w i t hr e g a r dt or e c t a n g u l a rt h i np l a t e s ，i n f l u e n c e sf r o mg e o m e t r i cd i m e n s i o n ， b o u n d a r yc o n d i t o n sa n dk i n d so fe x c i t a t i o n sh a v eb e e ns t u d i e dw i t ht h ed e t a i l sa sf o l l o w ： 1 ) b ym e a n so f t h e o r e t i c a lc a l c u l a t i o na n df i n i t ee l e m e n ti m i t a i t o n ，n a t u r a l f r e q u e n c i e sa n dm o d e sh a v e b e e no b t a i n e d ； 2 ) r e s o n a n tf r e q u e n c i e sh a v e b e e no b t a i n e du s i n gh a m m e r i n gm e t h o da n df r e q u e n c y s w e e p i n gm e t h o d e f f e c t sf r o mb o u n d a r yc o n d i t o n sa n de x c i t i o n sh a v eb e e nd i s c u s s e d ； 3 ) a k i n do fl o wf r e q u e n c ym o d er e s o n a n c eh a sb e e nf o u n d k e y w o r d s ：n o n l i n e a rv i b r a t i o n ，e x p e r i m e n t ，c h a o s ，c a n t i l e v e rb e a m ，r e c t a n g u l a rt h i np l a t e 1 1 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经 发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得北京工业大学或其它教育机构的学位或 证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中 作了明确的说明并表示了谢意。 关于论文使用授权的说明 本人完全了解北京工业大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保 留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内 容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：兰鲁望蜜 导师签名：掰 歹 r 日期：兰多、 第1 章绪论 1 1 引言 第1 章绪论 由于系统物理、几何、运动、机电耦合或者这些非线性组合等方面的存在， 非线性因素普遍存在于动力系统中【l j ，因此，大多数力学问题的本质都是非线性 的，这些问题一般用非线性方程描述。不同于线性系统，非线性系统出现了一系 列特有的现象：单自由度系统有多解、跳跃、极限环、固有频率漂移、次共振、 倍周期分叉和混沌等；多自由系统的响应除了上述现象外，还有组合共振和模态 相互作mr 2 ) ( 使系统的模态相互耦合或能量在模态之间相互转移) ；当系统的某些 模态参数发生内共振或自参数共振时，耦合作用对系统的响应起主导作用。 内共振的类型取决于非线性项的阶数【3 j 。对于单自由度系统而言，组合共振 响应只能发生在多频激励条件下：而多自由度系统在单频激励下也可能发生组合 共振，其类型仍依赖于非线性项的阶数。内共振能产生许多异常的、危险的现象， 如在简谐激励作用下，弦或对称截面梁的平面外运动的不稳定性。内共振能够使 非线性系统产生饱和现象以及混沌调制运动的复杂响应。 随着现代数学理论的发展，非线性动力学研究领域逐渐形成了一些有效的解 析方法【4 】，从理论研究中发现非线性系统中一些特有的动力学行为。同时随着科 学技术的发展，高速计算机和大规模有效算法的出现，使得人们越来越多的采用 数值仿真方法进行非线性系统的研究。而数值方法、实验方法和现代数学方法密 切联系，相互促进p j 。 实验研究能够以比较直观的和精确的实例从宏观上展示非线性现象的存在， 是一种非常重要的研究方法。一方面它是检验理论的唯一方法；另一方面，它促 进研究人员发展新的分析方法来处理观察到的新现象。非线性动力学实验研究的 意义在于： 1 、验证理论分析结果，对理论上发现的复杂动力学行为给出直观解释，同 时发现一些新现象，从而促进非线性科学理论更深入更迅速的发展。 2 、模拟仿真实验结构的非线性振动响应，为实际工程应用提供有效支持。 3 、通过受参数作用的实验，确定梁的动力屈曲准则j 。 4 、通过实验观察验证共振区动力学现象而得到有价值的结论和数据。如实 验观察肯定了饱和现象在物理系统中的存在，这对减振领域产生了很大影响h 弗j 。 5 、确定的非线性系统中混沌运动的存在已经在理论上得到了证明。但至今 没有一个方便工程师应用的象“雷诺数”的临界参数。借助实验，可以给出在激 励频率和幅值一套参数下混沌运动发生的区域。 北京f q p 大学t 学硕十学何论文 6 、混沌的识别与控锖j j 9 , 1 0 】。混沌的行为可被控制和利用，如何控制混沌、转 化混沌，从而利用或者避免混沌是非线性领域一个重要的研究方向。例如，保密 通讯中使发送信号产生混沌以加强信号的安全性，工业上为避免金属疲劳，使金 属机械在混沌状态中度过空载期以延长使用寿命。 目前非线性振动与混沌现象的实验研究主要集中在三个方面：高速旋转机械 【】、机械柔性结构和非线性电路等方面【1 2 13 1 ，根据文献查阅情况来看，对于机械 柔性结构的混沌实验研究相对还比较少。 机械柔性结构在很多工程领域得到广泛应用，如航天飞机和大型空间站中的 柔性机械臂、太阳能帆板以及卫星天线等等。随着机械结构不断向大型化、高速 化和柔性化方向发展，对结构的精度、可靠性和稳定性的要求也越来越高，非线 性因素对结构的设计和控制的影响越来越突出，从而使得柔性结构的动力学振动 与控制问题的研究显得日益重要。如果对机械结构的动力学行为和稳定性机理不 清楚，控制方法达不到工程应用的要求，则结构的精度、稳定性和可靠性都得不 到保证，从而容易导致重大事故的发生，造成对国家财产、人民生命安全和国民 经济的重大损失。因此我们必须用非线性科学的方法深刻揭示和掌握系统的本质 特性，对机械柔性结构的非线性动力学特性进行深入研究，能够为实际工程应用 中结构的设计和控制提供非常重要的理论指导。通过了解和掌握机械柔性结构的 分叉和混沌动力学特性，将理论结果应用于工程实践，对工程结构参数进行修改 或施加控制，改变系统产生混沌运动的条件，从而达到消除或抑制系统的振动， 对于解决实际工程问题中的非线性振动具有非常重要的意义。 近几十年来非线性动力学在理论领域发展很快，然而柔性机械结构特别是板 壳结构的混沌实验研究相对有限；非线性动力学的一些理论结果还有待实验的验 证。本课题一方面从实验方面论证了内共振、模态组合共振、多脉冲跳跃等理论 成果，另一方面也发现了诸如调频机制下引发低频共振的新现象。 1 2 梁、板结构非线性动力学实验研究进展 1 2 1 柔性梁结构非线性动力学实验研究现状 国内外很多学者通过实验方法对很多机械系统的非线性动力学特性进行了 研究。1 9 7 1 年，m o o n 和h o l m e s 】研究了铁磁梁在两块磁铁间进行强迫振动的 情况，通过实验发现，对于固定的阻尼和频率，屈曲梁在小幅激励下运动是周期 的，但对于大幅运动，梁将从一个平衡点的运动跳跃到另一个平衡点，首次验证 了机械模型结构中奇怪吸引子的存在。m o o n l l 5 】在1 9 9 3 年用该装置进一步研究了 该类混沌运动的特征。1 9 9 5 年，c u s u m a n o 和m o o n 1 6 】对简谐激励作用下的悬臂 2 第1 章绪论 粱进行了实验研究，实验结果发现面内运动在一定共振条件下会失稳导致非平 面、混沌、扭转振动。1 9 9 8 年，k x e 4 d 盯和n a y f e h 1 1 对固支一固支梁进行了非线 性单模态响应的研究，结果发现系统产生了2 倍周期运动，5 倍周期运动。同一 年，l a c a r b o n a r a 和n a y l 融h i ”1 也对固支一固支粱进行了实验研究，并把实验结果 与理论结果比较，得出了较一致的结论。1 9 9 9 年，y a s u d a 和k a m i 一唧也是对固 支一固支梁进行了振动实验，并把实验结果与理论分析进行了比较，得到了比较 一致的结果。2 0 0 4 年，e m a m 和n a y 曲叫对文献【1 6 】的改进模型进行了实验，发 现了h o p f 分叉、倍周期分叉以及混沌运动。 此外n a y f e b z 1 - 2 3 1 分别用实验方法研究了主参数激励作用下的悬臂粱、外激 励作用下两端固支粱的混沌运动和多自由度粱结构非线性问题。数值模拟和实验 结果表明：通过调频和调相机制的作用，高阶主振型共振能够激发起低阶模态的 大幅共振。实验装置圈如图1 1 所示。 。 一 m 【 图1 - 2 陈予恕等人集实验装置图 f i 9 1 - 2 c h e r t sc x p e d m e n m ls e t u p 北京工业大学= l 学硕士学位论文 张伟和曹东兴【脚1 分别从理论和实验方面研究了矩形截面悬臂粱、方形截面 悬臂梁、l 型梁和弦梁耦合模型的非线性动力学特性，通过波形图、相图和频谱 旷确定了系统周期运动和混沌运动的振动形式，给出了实验条件下产生混沌 廷列的参数条件。首次在方形截面悬臂梁非平面振动实验结果中发现了脉冲跳跃 轨线，实验装置如图1 0 所示。 雹怂、鬻蕊慧器 总结以上实验，可以发现实验中对方形截面梁的动力学行为以及多脉冲跳 跃、多模态组合共振等现象研究的还很少，有待进一步研究。 1 2 2 薄板结构非线性动力学实验研究现状 1 9 9 2 年m a e s t 托l l o ”i 从理论和实验两方面研究了航行器面板在共振区和远离 共振区声波垂直作用下的动态响应，首次从实验中观察到扳的混沌运动现象。 2 0 0 1 年口”又从实验角度研究了外激励以垂直和倾斜方式作用时板的非线性响应 问题。 1 9 9 9 年r o b e r t s 3 2 l 研究了柔性板和加强板分别在两边固支两边简支边界条件 下的振动情况。 2 0 0 0 年t u r v e y i 冽，首次研究了不同边界条件下带孔的各向异性玻璃钢板的非 线性振动问题，实验确定了板的自激振动频率和模态，如图1 - 4 所示。 图1 4 t u r v e y 玻璃钢板振动实验装置图 f i g 1 4 t u r v e y se x p e h m e n t a l 蛐o a m a b i l i l 3 5 3 9 对不同边界条件下受集巾外激励作用n 口矩型薄板( 壳) 的非线性 振动进行了研究，考虑了几何缺陷及附加质量的影响。实验装置如图1 - 5 所示。 图i 5 a m a b i l l 主要实验装置图 f i g , 1 - 5 a m a b i i i s t y p i c a l e x p e r i m e n t a ls e t u p s 2 0 0 1 年，i 铆s z t o f w o z n i c a 卅通过高伏电压持混合气体引爆，以此做为冲击 载荷，研究了冲击载荷作用下金属结构的粘弹性动力行为，装置如图1 - 6 所示。 图i 西w o z n i c a 实验装置图 f i g 1 - 6 w o z n i c a 眈d 嘶m c m 毗s e t u p ：耋王竺查耋士耋2 老：鲨兰 k e s s i s s o g l o u e “删从理论和实验两个角度研究了板振动的主动控制和传感器 的优化问题，通过“z ”型铝部件来模拟简支边界条件。实验装置如图1 - 7 所示 图i 母s c h l e y e r 的实验装置图 f i 9 1 - 9 s c h l e y e r se x p e f i m e n t a l 加d 同年，s d l l e y 】研究了不同边界条件，受脉冲压力作用的方形软钢板的振 动情况。实验在一密闭腔室中进行，均布载荷力由气压提供。实验装鹭如图1 - 9 所示。p a i k 嗍验研究了钢板受纵向载荷作用下的极限强度问题。实验采用“v ” 型槽支撵的方法模拟四越简支的情况2 0 0 4 年，p a r k a 叼院了枯弹性支撑的矩形 铝扳在外激励作用下的振动和声辐射作用下的响应。实验装置如图1 1 0 所示。 图1 - 1 ic h a u c m u r i 实验装置图 f i gl 一1 lc h a u d l l u r i s a 盯i n 瑚t a is e t u p 研究了有机 2 0 0 7 年n a g a i 啊研究了四边简支浅球壳在周期惯性力作用下的混沌报动。简 支边界条件通过贴韧性薄粘片实现，首先通过实验钡4 得其线性固有频率和恢复力 得到球壳的几何、物理参数，然后通过对壳体旌加周期激励来获得非线性响应。 分别用功率谱、p o i a e a r e 截面、l y a p u n o v 指数验证混沌的存在，结果发现在l ，2 亚谐共振区和2 3 驱谐共振区发现明显的混沌响应实验装置如图1 1 2 所示。 j ：奎王= ：銮：王：叠圭：兰兰吝 图1 - 1 4 b o a i 实验装置图 f i g1 - 1 4 b o n i s h 妇谢s e t u p 2 0 0 7 年b f 删研究了横向载荷作用下简支矩形层合板的力学行为，实验中通 第1 章绪论 过板与固定支架间的轴连接实现简支边界条件，实验装置如图1 1 4 所示。 2 0 0 7 年，k u r p a 晦订研究了铝板复杂边界形状下的几何非线性振动问题，利用 “v 型槽夹支方式模拟简支边界条件。同年，s m e t a n k i n a 晦胡研究了椭圆板受冲 击时的振动响应。 袁尚平瞄3 删等人主要研究了简支矩形薄板受到参数激励时的非线性振动问 题，实验采用“v ”型槽支撑方式模拟简支边界条件，由激振台提供简谐形式参 数激励，实验装置如图1 - 1 5 所示。 洳磁囊 图1 1 5 袁尚平实验装置图 f i g 1 1 5y u a n se x p e r i m e n t a ls e t u p 2 0 0 0 年，张宇飞7 1 等人对两端固支的弯曲薄板在支承简谐运动激励下的振动 特性进行了实验研究，重点考察了在不同的初始曲率下激振频率的变化对弯曲薄 板振动响应形态的影响规律，实验装置如图1 - 1 6 所示。 应变片 被测薄板 1 专用夹具 d l o ( ) 型 振动台 电桥和垃 变放大器 s r 8 型二踪示波器 r & k 2 0 3 4 信号分析仪 带g p i b 卡的计算机 图1 6 张宇飞实验装置图 f i g 1 16z h a n g se x p e r i m e n t a ls e t u p 2 0 0 1 年，李银山【5 8 5 9 就轴对称圆板在简谐载荷作用下的非线性动力学行为进 行了研究，实验装置如图1 1 7 所示。2 0 0 3 年，董卓敏f 6 0 1 采用压电陶瓷作为传感 器和执行器，对二维柔性板的振动抑制进行了实验研究。 9 北京丁业大学t 学硕十学位论文 图1 1 7 李银山实验装置图 f i g 1 - 1 7l i se x p e r i m e n t a ls e t u p 下面分别从激励方式、边界支撑方式两方面对国内外板( 壳) 结构非线性振动 实验进行总结。 ( 1 ) 目前的振动实验大多由激振器、激振台做为激励源。外激励通过机械机 构与被测物件刚性连接，优点是结构简单、易于操作：不足之处在于外激励传递 激励力的同时也传递了运动形式。理论上，能够作为均布载荷且不传递运动形式 的有：重力、电磁力、气压力、惯性力。重力不宜采用，在实验中常用的为惯性 力。即：通过支架的往复运动带动被测板的运动，因为惯性力的存在，被测板实 际上可以近似看成受到简谐力的作用。当然，因为每一点的加速度不同，面内每 一质点的惯性力也不同，因此此种方法只能近似模拟均布载荷。电磁力也属于非 接触力，只传递作用力，且可通过调节电磁线圈的电流对力的大小进行调控。改 进铁心结构或者增加电磁铁可以弱化力的集中程度，使实验更加接近理想的均布 载荷。不足之处在于电磁铁的磁滞和磁化现象使实验不灵敏，很大程度上限制了 其在高频区的应用。气压力可以提供非常理想的均部外激励，但是气密性要求很 高，而且实现气压的规律控制有一定难度。 ( 2 ) 从支撑方式上看，板的振动实验一般模拟简支和固支边界条件。固支边 界条件容易实现，只需将边界固定使其同时不能发生移动和转动。而简支边界条 件实现相对困难。通常采用的方法为“v ”型槽支撑方式和刀口支撑方式。 k e s s i s s o g l o u 在实验中采用“z ”型支撑法，把板固连在可以旋转的轴上，而转 轴连在固定支架上也可以实现简支形式。n a g a i 将实验模拟简支边界条件的理念 进一步发展，采用粘贴粘性薄片的方式。 总结以上文献，结合边界条件方面的理论，得出实验模拟简支的原则为：支 撑边不能发生位移，但要保证可以转动。同时从上面的综述还可以看到简支的实 现形式正经历从刚性向柔性发展的过程。 1 0 第1 章绪论 1 2 3 纤维层合板动力学理论研究现状 目前，国内外学者对复合材料层合板结构的非线性动力学行为进行了研究， 并且取得很多成果。l i t 6 1 】用一种新的层压板理论，研究了集中载荷引起的矩形复 合层合板的非线性动力学特性，这种方法是用层间方式和闭合形态模式把沿厚度 方向位移变化描述为闭合形式的函数，用相应的分析方法确定了压力域特别是载 荷的应用范围。i h c h i c 】【i 【6 2 】用一种新的二尺度变化方法讨论了由周期性变化的 不同成分组成的层合板的渐进分析，证明了这种方法适用于两维非线性隔膜模 型。c a o 6 3 】等人用一种新方法即利用分数维标准和最大l y a p u n o v 指数描述了受 到热电耦合作用的矩形板产生大偏转时可能发生混沌的运动，利用功率谱，相 位图，最大l y a p u n o v 指数等方法刻化了矩形板在不同激励条件下的动力学特性。 k i t i p o m c h a i 6 4 】等人研究了带有初始缺陷的剪切可变形层合矩形板的非线性振 动，用半分析方法得到了板在各种边界条件下的振动频率。用数值方法做了硅氮 层合板和不锈钢层的无量纲列表和图形，得到了振动频率依赖于振幅和初始缺陷 的形状和大小。2 0 0 4 年c h i e n 【6 5 】等人用了一种称为振幅波形电子成斑模式干涉测 量光学系统，研究了一种方形板在不同边界条件下的振动特性，并且用实验的方 法得到共振频率和响应，用有限元方法进行数值计算，结果与实验一致。 1 3 本课题的主要内容 1 3 1 本课题来源 本课题来源于国家杰出青年科学基金项目( 1 0 4 2 5 2 0 9 ) ，国家自然科学基金重 点项目( 10 7 3 2 0 2 0 ) 。 1 3 2 本课题主要内容 本文对柔性方形截面悬臂梁、金属矩形薄板和碳纤维层合板的非线性振动特 性进行研究。分析方形截面悬臂梁在基础简谐激励作用下的响应，金属方形薄板 不同边界条件下受定点横向外激励和参数激励作用下的响应以及碳纤维层合板 在不同边界条件下受定点横向外激励和参数激励作用下的响应。 论文内容安排如下： 第一章：绪沦。首先介绍了本课题研究的研究意义；重点综述了国内外关于 北京t 、f k 大学t 学硕十学何论文 柔性梁和板( 壳) 的研究现状特别是相关实验装置，并对研究现状进行了总结和归 纳；最后介绍了课题来源及本论文的主要研究内容。 第二章：方形截面悬臂梁在基础简谐激励作用下非线性振动响应分析。首先 给出了悬臂梁横向运动和空间运动的动力学方程。实验研究中，首先介绍了实验 装置，实验过程；利用理论计算、有限元数值模拟和实验的方法给出了悬臂梁系 统的固有频率；讨论了悬臂梁的频响和幅响过程；分析了初始振幅对运动响应的 影响；考察了内共振关系下，系统共振时模态的转变和耦合；给出了高阶模态激 发起第l 阶模态的现象；展示了实验中观察到的大幅回转振动现象；分析了多脉 冲混沌跳跃运动；列出了实验中观察到的具有代表性的阵发性混沌运动；实验测 得了不同主振型对应的相对阻尼系数。 第三章：方形金属薄板非线性动力学行为实验研究。通过理论和有限元计算 得到了不同边界条件下系统的固有频率及模态；介绍了实验装置及实验过程；用 锤击法测得了定点横向外激励作用下被测板的共振频率，在各共振区用波形图、 相图和谱分析的方法刻画了混沌运动。研究了在分布横向激励作用下被测板的响 应情况，用扫频的方法测得了系统的共振频率并分析了边界条件对系统响应的影 响；考察了四边简支无参数预紧力、四边简支有参数预紧力、四边固支三种情况 下薄板的混沌响应。 第四章：研究了四边简支边界条件下碳纤维复合材料层合薄板的非线性动力 学行为。首先给出了横向分布力和参数激励联合作用下层合薄板的动力学方程； 通过有限元和理论计算得到了四边简支边界条件下系统的固有频率和模态；在共 振区研究了层合板受带预紧力的参数激励的非线性振动特性。 第五章：对四边固支边界条件下碳纤维复合材料层合薄板的动力学行为进行 了实验研究。通过有限元模拟得到了系统的线性固有频率和模态；通过扫频方法 获得了实验下系统的共振频率；分别对定点集中横向激励作用下层合板的响应、 参数激励作用下层合板的响应做了详细分析。 论文最后对本文的研究成果进行了总结，并提出了进一步研究的方向。 1 2 第2 章基础激励作用下悬臂粱1 ：线性振动研究 第2 章基础激励作用下悬臂梁非线性振动研究 2 1 引言 工程中许多问题都可以简化为悬臂梁模型，如机器人柔性机械臂、卫星天线 等，随着工程结构的大型化、柔性化、轻质化，以及对结构的高可靠性、高精度、 高稳定性的要求越来越高，对柔性结构动力学与振动控制问题的研究显得愈发重 要。梁的运动可以分为平面运动和非平面运动，近十几年来对梁的非线性动力学 的研究取得很大的发展，但是大多数研究局限于平面运动的研究，而对于梁的非 线性非平面运动的研究还不是很多，尤其是利用实验方法系统研究柔性梁的非线 性非平面运动的论文还不是很多。本章主要对方形截面悬臂梁的平面和非平面动 力学行为进行研究，首先简单介绍悬臂梁平面运动和非平面运动的理论研究模型 及其动力学方程的建立，然后主要介绍方形截面悬臂梁非平面运动非线性振动实 验系统组成及实验结果。 2 2 悬臂梁动力学理论研究 2 2 1 平面运动悬臂梁动力学方程的建立 如图2 1 所示，长为，的悬臂梁受到基础垂直方向的参数激励，把悬臂梁作 为欧拉伯努利梁来处理。建立惯性坐标系o x y z ，其原点置于初始静态下的基座 上，同时引入随动的弹性轴坐标s 。 y v l , - 图2 1 轴向参数激励悬臂梁平面运动动力学模型 f i 9 2 - lp l a n a rd y n a m i cm o d eo fac a n t i l e v e rs u b j e c t e dt ob a s ee x c i t m i o n 根据振动理论，悬臂梁系统拉式算子可以写成如下形式 - l t 尿i 、l 匕灭亍1 予坝十彳：何化义 上= r 呈( 瓦o u + 誊) 2 一p 。+ ”+ 号) g 一三凹( 窘) 2 ，+ ( 塞) 2 + 扣c ，+ 2 一c 翻卜 p ， 式中p 为线密度，e 为抗弯刚度，九为拉氏乘子，g 为重力加速度，亏为基础位 移并用如下公式表示 亏= a 6c o s f 2 t ( 2 - 2 ) 利用哈密顿原理，得到系统轴向和横向运动方程为 p 窘一瓤t + 洳一o ， 陋3 ， p 窘+ l - s ) 面0 vc g + 警卅尉 窘+ 裂o 丽o v 西oc 妄窘， - 丢c 九塞，一o ( 2 4 ) 边界条件为 揶+ 孰，= 岫地 窘b = 安b = v b = o ， 萨b5 瓦b 刮b 刊 日 壕a v ) 2 + c 2 乳，= 九瓢 p 5 ， 论文研究的臂梁为轴向不可伸长梁，从而有 ( 娑) 2 + ( 1 + _ 0 u ) 2 ：1 ， ( 2 6 u s u s 式中u ( s ，f ) 、v ( s ，f ) 分别表示悬臂梁沿x 、y n ：- i b _ 标轴方向因弹性变形引起的位移。 通过式( 2 6 ) 将式( 2 3 h 2 5 ) 中甜、九消去，得到轴向激励悬臂梁横向振动非 线性动力学方程 p 矿0 2 v + 昙h 烛+ 警，塞，+ e i ：弦a 4 v + 昙c 塞昙c 謇窘，】 + 矧甜矿0 2 【r ( 加- - 劣- - ) 2 d s d s = 0 ( 2 - 7 ) 边界条件变为 研 窘【l + ( 面a v ) 2 】+ ( 窘) 2 斗，= o ， 窑l耐：堡b：1，b：o(2-8)o 1 = 一i = v i = s 2 i5 5 7 o s l 5 。o l 2 0 。 1 4 第2 章基础澈励作用f 懋臂粱 r 线性振动酊f 冗 分别用，、p 4 ( e 1 ) 、，对y 方向位移y 、时间，以及广义位移s 进行无量纲变 换，并分别记做，+ 、，、s ：同时引入无量纲参数g + = p 1 3 ( e i ) g 、= a 6 l 、 u = 4 p 1 4 ( 尉) q ，为书写方便带入后将“幸省去，则公式( 2 - 7 ) 、( 2 - 8 ) 变为 娜m ”- _ 【v 和v 7 卜扣f 5 ( p 凼泔 一 v ”( s 一1 ) + v 7 】( u 2c o s o t g ) 一c i 砂i 移， ( 2 9 ) ( 1 + v 2 ) v ”i ，：i = = 0 、v ”l ；：l = = ，7 l 。：o = = 1 ，i ，：o = = 0 ( 2 1 0 ) 式中t = o v o t , 1 ，7 = o v + o s ：，c h 廿为阻尼项。 2 2 2 非平面运动悬臂梁动力学方程的建立 本小节主要介绍具有方形横截面的不可伸长梁的非平面运动，动力学模型如 图2 2 所示。其中s 为弹性轴坐标，x 、y 、z 为惯性轴坐标，毛、卟为运动变 形后距离底座s 处梁截面的主轴坐标。假设梁在静止平衡状态下x 轴和善轴重合， 另外两个主轴”和弓分别与y 和z 平行。材g ，r ) ，v ( s ，f ) 和w ( s ，f ) 分别为中心相对 于惯性轴x ，y ，z 的弹性位移；巾( s ，r ) 为梁截面绕专轴的转角；m 为单位质量； ，、了。、以分别为对应轴的主惯性矩；4 为抗扭刚度；d n 、破为柔性刚度；尉 为抗弯刚度；c 为粘性阻尼系数。 图2 2 参数激励作用下悬臂梁非平面运动动力学模型 f i 9 2 - 2n o n - p l a n a rd y n a m i cm o d eo fc a n t i l e v e rs u b j e c t e dt ob a s ee x c i t a t i o n 变形前弹性轴上任意一点可以表示为r 0 = s e ，；变形后则可表示为 r = 0 + 甜) e + v e l l + w e ，则沿弹性轴的应变为 北京i 、i p 大学】等：帧十字何论文 p ：( 宴宴) m 一( 要孕) ：打习汀而一1 ，( 2 1 1 ) o so so so s 对于不可伸长梁，有e = 0 ，即 而i 丁再百万：1 ( 2 1 2 ) 定义如下的拉氏算子 l ( ，) = 如岫，( 2 - 1 3 ) 式中拉氏算子密度粤( s ，f ) 由下式给出 忙- z lm ( z i 2 + 移2 + w 2 ) + 乏1 ( ，l ；2 + ，n n 2 + 2 ) 一互1 ( 4 p 2 + d r i p 2 + d p 2 ) 一丢剧p z + 丢m l - ( 1 + ”) z v “一w z 】( 2 - 1 4 ) 其中，c o e 、( o n 、e 为对应各主轴的角速度，p 、p 。和p ；为曲率半径a 假设梁是 均质各向同性的；v ( s ，f ) 和l 矿g ，) = o ( 0u ( s ，) 和巾( j ，) = o ( s 2 ) ，这里 1 。 将( 2 1 4 ) 式展开，保留二次项得到 z = j 1 脚( u 2 + 9 2 + 伽2 ) + 吉以( $ 2 + 2 2 ) + d o i “一2 z i7 w 伽- 2 v 廿7 w 访7 2 巾t f i , - 2 w 2 谛7 2 - 2 u f i , “一v 2 w 2 ) + i 1 ( 廿“一2 t i ，- 2 u f - 2 v 7 2 2 一帝2 + 2 巾口7 伽) 一去d 芎( 巾眨+ 2 巾v ”w 7 + v 柁w 以) - l m ( w ”2 - 2 u ”w 7 w ”- 2 d ? v ”w - v 7 2 w 2 - 2 v 1 ，”w - 2 w 2 w ”2 - 2 u 7 w ”2 ) 一i 1 ( v 砣- 2 u ”v 1 ，”- 2 u v 砣+ 2 d ? v ”w 。- 2 v 心v “一v 砣w 圯) 一三幽( “，2 + 甜，2 + 甜，w ，2 + 1 1 ，4 + ! ，2 w ，2 + ! w ，4 ) 2 、 424 + 三九 1 一( 1 + “) 2 一2 一w 砣】 为简化分析，引入如下无量纲变换 s + 一l ，= 培+ 一l ， s2 一，2 1 茄l v2 一， 得到无量纲化的拉氏算子 1 6 ( 2 1 5 ) w + = 弘= 每旷爰川舶， 第2 审愿 i j 激动仟h j 卜悬臂梁1 f 线性振动研咒 l = s i i l i s z tj o1 i ( v 2 + w 2 ) d s 2 + 谚2 + 访2 ) - ( 1 - f s y ) ( v w ，i ”w 凼， 一丢( w 。2 + w 2 w ”2 ) 一i 1p y ( v n 2 j r v r 2 v n 2 + 2 v t v w r w w ) 一百( i - 1 3 , ) 2 【( p 科+ ( 2 v ”w ”ff w d s d s ) 卜 ( 2 1 7 ) 为表述方便，略去了“幸 号。考虑阻尼和参数激励，引入无量纲虚功项 8 w = i ( 娥6 v + q ：a w ) d s ，0 ：一f 1 缸v o 一1 ) + v 7 】g q zc 。s ( q f ) + c 移扣诎 一f 1 叭川) + w g f 2 2c 。s ( d t ) + c c v s w d s ( 2 - 1 8 ) 利用哈密顿原理可得 影+ 西+ p y v ”= ( 1 一p ，) w ”j y ”凼一扩f ”w 凼】7 f 一1 ( 1 - 1 3 _ y ) 2 【w ”f i v w d s d s - w ( v v + w w 】7 一- 2 1f ”j f i 5 0 a t 2 r a f 0 5 ( v 2 + w 2 ) d s 】出 一 ，”( j 一1 ) + 1 ，7 】g q 2 c 。s ( q ，) ， ( 2 - 1 9 ) 谚+ 嘶川”一( 1 也渺”p w 饥v ”p 州 一1 ( 1 - i b _ y ) 2 川。 w d s d s - v ”州w 7 】 一如f 等小qw ，2 ) 蛐_ m 川m g 2 2 c o s c ( 2 2 0 ) 边界条件为 1 ，= w = v = w = 00 = o ) ， v ”= w ”= y ”= w ”= 0 ( s = ，) ( 2 2 1 ) 众多学者对上述平面运动和非平面运动悬臂梁的动力学方程经过了理论研 究并发现了混沌、脉冲跳跃、高阶模态共振激发起低阶模态共振等一系列非线性 现象。本文主要对悬臂粱进行非线性振动实验研究，对理论研究不过多叙述。 1 7 ：j ：土：銮：；! ：鉴：箸：三 2 3 方形截面悬臂梁振动实验研究 2 3 1 实验设备及原理