（电路与系统专业论文）基于多尺度小波域相关性的图像去噪与增强方法的研究[电路与系统专业优秀论文].pdf

西北大学硕士学位论文 摘要 图像去噪、增强是图像压缩、分割和识别的基础。因它们在获取和传输的过 程中，经常会有噪声附加及失真现象出现，为了改善视觉效果或者便于人和机器 对图像的理解和分析，图像去噪、增强是很必要的。本文着重对基于多尺度小波 域相关性的图像去噪和增强的方法进行了研究。 在对图像作离散小波分解的基础上，根据小波系数分布的特点，分别建立边 缘区和非边缘区的小波系数高斯概率模型，然后通过贝叶斯公式得出初始的收缩 因子。收缩因子的作用就是使与噪声有关的小波系数值变小；使与边缘有关的小 波系数值保留或增强。在此基础上，在保持交流功率不变的原则下，修正了收缩 因子。然后，考虑了尺度一致性和方向一致性，进一步改善收缩函数。从而达到 了更好的去噪效果。最后，在以上收缩因子的基础上，研究了一种具有很好的边 缘增强特性的增强算法，达到增强边缘的效果。 关键词多尺度分析，去噪，增强，小波收缩因子，尺度一致性 西北大学硕士学位论文 a b s t r a c t i m a g ed e n o i s i n ga n de i l l h a n c e m e n ta l et h eb a s i so ft h ei m a g ec o m p r e s s i o n ，i m a g e s e g m e n t a t i o na n di m a g er e c o g n i t i o n a d d i t i v en o i s ea n dd i s t o r t i o no f t e na p p e a ri nt h e p r o c e s so fi m a g eo b t a i n i n ga n dt r a n s m i s s i o n , s oi m a g ed e n o i s i n ga n de n h a n c e m e n ta r e n e c e s s a r yt oi m p r o v et h ev i s u a le f f e c to rm a k ei te a s yf o rp e o p l ea n dm a c h i n et oa n a l y s e a n du n d e r s t a n dt h ei m a g e i nt h i st h e s i s ，a ni m a g ed e n o i s i n ga n de n h a n c e m e n tm e t h o d b a s e do i lt h et h e o r yo fm u l t i s c a l ew a v e l e tt r a n s f o r mc o r r e l a t i o n s h i pi s e m p h a t i c a l l y r e s e a r c h e d t h i st h e s i sf o c u s e so ne s t a b l i s h i n gt h ew a v e l e tc o e f f i c i e n tg a u s sp r o b a b i l i s t i c m o d e lf o re d g er e g i o n sa n dh o m o g e n e o u sr e g i o n sr e s p e c t i v e l ya c c o r d i n gt ot h ew a v e l e t c o e f f i c i e n td i s t r i b u t i o nc h a r a c t e r i s t i c s ，b a s e do l ld i s c r e t ew a v e l e td e c o m p o s i t i o nt ot h e p i c t u r e a n dt h e n , w eo b t a i nt h ei n i t i a l i z a t i o ns h r i n k i n gf a c t o rb yb a y e sf o r m u l a t h e f u n c t i o no f s h r i n k i n gf a c t o ri st or e d u c et h ew a v e l e tf a c t o rw h i c hi sr e l a t e dt ot h en o i s e , a n dt oe l l h a n c ea n dp r e s e r v et h ew a v e l e tf a c t o rr e l a t e dt ot h ee d g e o nt h eb a s eo f t h i s ， w er e v i s et h es h r i n k i n gf a c t o ru n d e rt h ep r i n c i p l eo fk e e p i n gt h ee x c h a n g ep o w e r u n c h a n g e d c o n s i d e r i n gs c a l ec o n s i s t e n c ya n dg e o m e t r i cc o n s i s t e n c y , w ei m p r o v et h e s h r i n k i n gf u n c t i o nf o r w a r da n dt h eb e t t e rd e n o i s i n ge f f e c ti so b t a i n e d a tl a s t , w es t u d y a ne n h a n c e m e n ta l g o r i t h mt h a th a sag o o de d g ee n h a n c e m e n tc h a r a c t e r i s t i c ，a n d a c h i e v et h ee d g ee n h a n c e m e n tb a s e do nt h ea b o v es h r i n k i n gf a c t o r s 1 奶_ o r 血：m u l t i s c a l ea n a l y s e ，d e n o i s i n g , e n h a n c e m e n t , w a v e l e ts h r i n k a g e ，c o n s i s t e n c ya l o n g s c a l e s i l 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解学校有关保护知识产权的规定，即：研究生在校攻读学 位期间论文工作的知识产权单位属于西北大学。学校有权保留并向国家有 关部门或机构送交论文的复印件和电子版。本人允许论文被查阅和借阅。 学校可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以 采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时，本人保 证，毕业后结合学位论文研究课题再撰写的文章一律注明作者单位为西北 大学。 保密论文待解密后适用本声明。 学位论文作者签名：亟堑鬈!指导教师签名：望盔叠益 矽一7 年多月s 日御年月j 一日 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及 取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，本 论文不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得西北大 学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对 本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：孤缸。链、 7 叼年月r 日 西北大学硕士学位论文 第一章绪论 在图像获取和传输过程中，由于很多不可预测的随机因素影响，经常会附加 噪声，噪声对图象处理的输入、采集、处理的各个环节都有很大的影响，而且图 像的质量也会大大降低。为了后续更高层次的处理及得到良好的视觉图像，对图 像进行去噪预处理是很有必要的。要对图像进行去噪的方法很多，但通常的去噪 方法往往会使图像变得模糊，特别边缘信息容易丢失；另一方面，有些图像原本 对比度不够，例如监控录像、一些航拍图像等，这就需要对图像进行增强处理。 因此，我们需要寻求一种即可去噪又不使边缘模糊，甚至还能使边缘增强的图像 处理方法 1 1 研究背景 在固有的噪声图像及低对比度结构图像中，应用基于小波域的图像去噪和 增强方法特别有效。比如通过监控录像所拍图像及一些自然景物图像等。由于小 波变换在频域和时域都能给图像去噪和边缘增强提供很好的局域性，即当想对某 个区域进行操作时，别的区域不受其干扰，因而得到广泛应用。 现今，已经有一些基于小波域的去噪与增强方法。x u 利用连续空间之间小 波系数的相关性在滤波过程中把噪声从有用的信息中区别出来：m a l f a i ta n d r o o s e ”研究了一种去噪方法，即同时考虑两个因素( 局部的规则性和几何限制 性) ：s i m o n c e l l ia n da d e l s o n 咖，m i h c a k ，c h a n g 蜘和s t r e l a 嘲都提出了用概率密 度模型从对噪声的观测中来估计原始( 即不含噪声) 图像。但这些大部分方法都 需要先知道噪声方差，这在实际应用中是不可能的。其中，c h a n g 提出了从图像 中估计噪声的方法，但是这个方法只适用于特定的图像，对固有的噪声图像及自 然景物图像并没有去验证。同时边缘增强也是一种重要和困难的课题，比如直方 图均衡方法在许多文献中被提起，但这种方法对噪声特别敏感，即在增强图像的 同时，噪声也被同比例放大。l u m ，l a i n e 埘，l e e 伽在基于小波域的基础上提出了图 像增强方法，但它们一样没有考虑上述一类图像。c l a u d i or o s i t oj u n g t l 川在上述基 础上提出了一种利用小波变换进行图像去噪和边缘增强的方法，利用极大似然估 西北大学硪士学位论文 计方法建立一种高斯概率密度模型，分别估计出噪声的先验信息、和边缘有关的 小波系数方差及和噪声有关的小波系数方差。但具体实现极大似然估计方法时， 易出现迭代次数很多，计算量大，收敛性较差，甚至有时不能收敛等问题。为 了解决这些问题，本文改进了一种更加简便易行的算法，根据图像的小波分解系 数的统计性质尝试区分出边缘区和非边缘区，在高斯概率模型条件下确定出基本 的收缩因子，然后又迸一步改进了基本收缩因子，为更好的去噪和边缘增强提供 有力的依据。因此，在小波变换域中研究图象去噪及边缘增强仍然是一个主要的 研究课题。 1 2 图像去噪、增强概述 1 2 1 图像噪声 图像的噪声i l ”可以理解为“妨碍人们视觉器官或系统传感器对所接收的图像 信源信息进行分析或理解的各种因素”。噪声一般是不可预测的，噪声对图像信号 相位和幅度的影响十分复杂，它一般用概率统计的方法去认识。有些噪声和图像 信号之间相互关联，从而增加了去噪的难度；有些是互相独立且没有关联性，这 样可以比较容易地从图像信号中去除噪声；还有一种情况，噪声本身之问就有很 大的相关性。因而要想减少图像中的噪声，必须考虑上述几种情况，根据不同的 情况采用不同方法来处理，否则很难达到令人满意的处理效果。 简单来讲，减少图像噪声的方法有空间域方法和变换域方法。图像空间域去 噪方法有很多，例如：邻域平均法，它是一种局部空间域处理的算法。图像经过 邻域平均处理后会变得相对模糊不清，造成这种情况的原因是：平均法是以牺牲 图像的模糊为代价来换取噪声的减少。空间域低通滤波方法也可以平滑、滤掉图 像中的噪声，它的实质是在图像空间域用一个低通卷积模板进行二维卷积来达到 去除图像噪声的目的。图像变换域去噪方法是对图像作某种变换，首先将图像从 空间域转换到变换域，再对变换域中的系数进行修改，然后再进行反变换将图像 从变换域转换到空间域，从而来达到去除图像噪声的。将图像从空间域转换到变 换域的方法也有许多，例如：傅里叶变换、小波变换等。本文主要内容就是研究 2 西北大学硕士学位论文 利用多尺度小波系数相关性及级间相关性设计合理的收缩因子从而达到图像去噪 和边缘增强的双重效果。 1 2 2 图像增强 图像增强方法也有很多，大体上可分为以下几类：空域变换增强，如灰度变 换等；频域变换增强等；近几十年来，为了达到改善图像的视觉效果，很多的研 究者相继提出了许多新的图像增强方法。一些经典的图像增强方法在实际应用中 已经得到了广泛的采纳，并且取得了令人可喜的成就，但这些方法都存在着一定 的弊端，在一定的条件下，这些增强方法的确改善了图像的增强效果，但有些方 面的实用性还有待改进。例如：有些方法在使图像增强的同时是以损失图像的很 多细节信息为代价等。如何解决这些问题并改善图像的视觉效果，变成了大家所 努力的方向。 1 3 图像质量评价方法 对图像质量的正确评价在图像处理的许多领域有着重要的意义，特别是在图 像去噪领域，它直接关系到去噪算法的设计、优化和性能评价【1 2 1 。 有两种失真测度作为图像质量的预测。第一种是纯误差测度，即原始图像与 重构图像之间的简单数学统计差别。尽管这种方法将误差量化表达，但并不能反 映观察者对误差的视觉感知。因此，第二种方法便是人的视觉感知，因为观察者作为 最终视觉信宿，他们对重构图象质量作出判断。这类方法主要是主观测试，观察者 通过观测一系列重构图像，再根据和原始图像差别的可见程度进行评级。 1 3 1 客观评价方法 在图像处理中，常用峰值信噪比( p e a ks i g n a l - n o i s er a t i op s n r ) 和均方误 差m s e ( m e a ns q u a r e de r r o r ) 来客观评价图像的改善效果。对像素为n x n 的图 像，其表达式如下 西北大学硕士学位论文 ，m - 1 一l m s e = 百b ( k 一) 2 n 肘x 急怎、” 一- l o l o g 【i 志萋2 篓5 5 。2 磊 ( 1 2 ) 其中，z 。，置唧分别是图像的第( 肼，功个像素的灰度值和图像去噪后的第( m ，力个 像素灰度值。这种评价方法，是目前公认的客观评价方法。它从数值上反映图像 的清晰度，峰值信噪比越高，图像越清晰。 1 3 2 视觉的主观评价法 客观评价方法是对重构图像和原始图像的纯误差数学统计。因此它对图像的 误差量化表达非常精确。但是，这种评价方法因人而异不能完全反映视觉差别。 例如：在图象去噪和传输过程中，可能导致的失真大致有：伪轮廓、边缘模糊、 振铃效应及以上这些失真的综合，这些失真所引起的视觉妨碍程度是不同的。 主观评价法是通过观察者对图像的视觉观察来对重构图像的优劣进行评价。 它是一种定性的评估，假设对一幅重构图像，由观察者对其总体印象估出优劣， 但会因人而异，因为对“外行”人来说，可能注意的只是图像的轮廓的大致优劣， 而对“内行”人并具有图像处理经验者来说，更多的是关注图像中细节的变化部 分及其退化程度。 因此，合理地评价图像质量应充分遵循人眼的视觉特性。在客观评价测试中 引入简单的视觉模型，便能导致与主观测试更符合的结果。目前已经有一些这样 视觉评价方法。由于国际上并没有统一规定这一标准，而已有几个视觉评价标准 又过于繁琐。所以本文只是定性的对图像的进行视觉评价。即提高峰值信噪比的 同时兼顾人眼的视觉特性。 1 4 本文主要内容及其组织 本文的工作主要是在小波变换基本理论的基础上，详细讨论了利用离散正交 小波的多尺度相关性的特点对图像进行去噪和增强的理论和实现方法，具体组织 4 西北大学硕士学位论文 如下： 第一章：绪论，主要介绍课题的背景及意义、图像去噪、增强概述以及图像 质量评价标准。 第二章：主要回顾了小波分析的基本理论，介绍了m a l l a t 提出的塔式多分辨 分解与重构算法。 第三章：对常用的去噪算法及多尺度离散小波域相关性去噪的方法、原理作 详细的介绍。同时又对常用的去噪算法进行了实验分析，通过实验结果给出各自 的优缺点。 第四章：改进的小波域相关性的去噪方法。结合第三章多尺度离散小波域相 关性去噪的原理，对边缘区、非边缘区进行划分，并进一步改进收缩因子，同时 对这些算法进行实验分析。 第五章：基于小波域多尺度相关性的图像增强方法。对图像的增强进行详细 的阐述，并在第四章的算法分析基础上，确定一种增强函数，结合第四章的去噪 算法使图像达到增强效果。 第六章：总结与展望，对全文进行总结并指出不足之处和今后的研究方向。 西北大学硕士学位论文 第二章小波变换理论 小波变换是当今应用数学中一个迅速发展的领域，是分析和处理非平稳信号 的一种有力工具，它是以局部化函数所形成的小波基作为基底而展开的，具有许 多特殊的性能和特点。作为一个数学工列1 3 1 ，小波变换是对人们熟知的傅里叶变 换与短时( 窗口) 傅里叶变换的一个重大突破；而小波分析作为一种崭新的分析 方法在应用数学和分析领域里于8 0 年代也蓬勃发展起来，又由于小波分析在频域 和时域都具有良好的局部特性，从而成为大家研究的前沿热点。经过几十年的发 展，小波理论已经趋向成熟，人们更关心的是它的应用，现在它已经成功地广泛 应用于数学理论、信号分析、图像处理与分析、计算机视觉、语音合成、模式识 别，尤其是在图像编码、压缩和去噪等领域取得了突破性的发展，并都已取得了 具有科学意义和应用价值的重要成果。 2 1 连续小波变换 所谓小波，其数学定义是：设5 c ，( ，) 为一平方可积函数，即伊( f ) l 2 ( r ) ，若其 傅里叶变换满足： 巴= ( 2 4 ) 从此式可知积分小波变换w ，f ( a ，6 ) 是厂( f ) 在函数虬。( f ) 上的投影。它将一个一维 函数八f ) 变换为一个二维函数。其中一维是a ，称为尺度因子；另一维是b ，称为 6 西北大学硕士学位论文 平移量。由于小波基具有尺度和位移这两个参数，因此将小波基展开意味着将一 个时间函数投影到二维的时间一尺度相平面上。而且由于小波基本身具有的特点， 函数投影到小波变换域后，有利于提取某些特征。 当所有小波的容许性条件成立时，其逆变换存在： 朋) 2 专j ( 力( 啪耽，( f ) 亨曲 2 专了籀帅a ，知等肋 眨s ， 2 2 二进小波变换 本节先讨论尺度因子口的离散化的问题。若口取离散值 q = 2 一 ，z ( 2 6 ) 则称为二进( d y a d i e ) 离散化。这时( 2 3 ) 式可改写为 乞j ( f ) = j ( f ) = 2 ) 2 y ( 2 ( f 一6 ) ) ( 2 7 ) 其中_ ，常被称为分辨率级别，这一概念会在第四节详述。对照连续小波变换的表 达式( 2 2 ) ，可定义 八2j 邝耽j ( ，弦= = 2j , 6 ) ( 2 8 ) 称为二进小波变换。 由以上定义可知，二进小波变换可被看作是连续小波变换的一种特殊情况，即 它只对尺度参数进行了离散化，较之连续小波变换中口取连续值来说，计算量就 大大减少了，但它在重构图像过程中花费时间要远远多于离散小波变换。 2 3 离散小波变换 对连续小波基函数进行离散化可以得到离散小波变换，从而减少小波变换的 冗余度。这一离散化是针对连续的尺度参数口和连续的平移参数b 的，而不是针 对时间变量t 的。 本节讨论对平移量b 的离散化问题。取 b j , = 多b o ，七： ( 2 9 ) 7 西北大学硕士学位论文 式中_ ，的含义与上节相同，而6 0 是一个常数。由此可见，( 2 7 ) 式可迸一步改写 为 ，。( f ) ；2 j 2 t f ( 2 7 f - 勋o ) ， j , k ： ( 2 1 0 ) 特别是当= l 时，有 m ( f ) ；2 s 2 ( 2 7 t - k ) ， j , k z ( 2 1 1 ) 这样把a 按( 2 6 ) 式作二进离散化，b 按( 2 9 ) 式作等问离散化，形成的小波函 数族 j ( f ) 称为离散小波 于是小波变换( 2 2 ) 式可进一步改写为 嘭 铽，” j , k z ( 2 1 2 ) 称之为离散小波变换。由此可见，一维信号( f ) 经离散小波变换得到的是一个二 维数组。很显然，离散小波变换的计算工作量较之二进小波变换又大大减少了。 对此引出我们所关心的问题：能否有( 2 1 2 ) 式的离散值d ，j 来重构八f ) 。对 此分以下几种情况加以讨论【1 4 】： ( 1 ) 如果 竹 ( f ) ；七，_ ，e z 2 是r ( r ) 的一个框架，即满足框架条件 爿。川厂，) | 2 b i i d 2 ( 2 1 3 ) 则称y ( f ) 为抽样率6 0 = 1 的框架小波。这样至少在理论上证明了重构是可能的，但 此式给出对偶框架的具体方法。并可以进一步指出，如果妒，j ( f ) 满足框架条件， 则它一定满足“稳定性”条件。 ( 2 ) 如果 竹 ( f ) 满足r i e s z 条件 爿4 勺，i n 2 _ 8 莓勺。5 2 口k q ， 0 2 c 2 - 4 ， 则称( f ) 为一个r _ 小波。这时存在唯一对偶小波妒( f ) ，使重构公式： 厂( f ) = ( 邝) ，蚧 k j ( f ) = t ( f ) ( 2 1 5 ) 成立。 。 ( 3 ) 如果m ( f ) 满足正交规范化条件 ( ，蚧j ) = 4 ，瓦， ( 2 1 6 ) 则称 f ，( ，) 为正交小波。显然正交小波的对偶就是其自身。重构公式为 厂( f ) = ( ，( f ) ，) 1 1 j ( f ) = 办 ( 2 1 7 ) 8 西北大学硬士学位论文 从以上讨论可以看出，从容许小波，二进小波，框架小波，rd 、波，直到正 交小波，条件是逐步严格化的。也就是说，后一类小波可以看成是前一类小波的 特例。 2 4 多尺度分析和m a l l a t 算法 多尺度分析是m a l l a t 在8 0 年代提出来的，可用于正交小波的分解与重构， 也称为金字塔算法。其基本思想是将原始信号分为不同分辨率的几个信号，然后 选择合适的分辨率或者在各级分辨率上处理此信号。 2 4 1 多尺度分析 通过上一节的讨论，我们知道，如果有一个正交小波，它的二进尺度伸缩平 移函数族 ，j ( f ) ；2 i n 妒( 2 。t 一七) ，j , k = ( 2 1 8 ) 构成r ( r ) 中的正交规范基，即l 2 ( r ) 由，j ( ，) 线形张成： f f ( r ) = s p a n v j t ( ，) ；工k e z 2 ( 2 1 9 ) 从而任何函数厂( f ) r ( 月) 可以展开为二重求和的小波级数： 巾) = 嘭 ( 2 2 0 ) 式中 屯= ( ，) ( 2 2 1 ) 为小波分解系数。 现将( 2 2 0 ) 式改写为 厂( f ) = 毋( f ) j 式中 毋( f ) = 嘭 竹j ( ，) ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) 则可以看出；g ，( ，) 是信号厂( f ) 中含有的第j 级分量。于是可以定义由 j ( f ) ，七z 线形张成的空间 形= 跏 ( r ) ；i z ( 2 2 4 ) 为第_ ，级小波空间。根据以上公式表明r ( r ) 空间可分解为各级小波空间的直接 和： 9 西北大学硕士学位论文 r ( r ) = 一+ + + 彤+ ( 2 2 5 ) 然而从信号分析的实践来看，仅采用小波空间分解是不方便的，造成这一困难的 原因是由于小波函数是以不含直流成分为其主要特征的基函数。而实际信号总可 以认为是频带有限的，即信号中的最高频率取有限值，所以对实际信号而言，用 来表征信号的频率范围，在正整数域中取值的上限总是有界的，但一个实际信号 可以含有任意低的低频成分，直至直流成分。为了获得厂( ，) 中的低频信息，我们 必须有一类含有直流成分的基函数。并由此定义一个新的子空间：从a o 到- ，一l 级 小波空间的直接和 巧= + 一l ( 2 2 6 ) 成为，级尺度空间。并将( 2 2 0 ) 式重新表达为 厂( f ) = 4 ( f ) + 毋( ，) ( 2 2 7 ) j = j 式中 4 ( f ) = g j ( t ) ( 2 2 8 ) j - 甘 它表示的是所有低于，级分辨率的信号分量的总和。其中4 ( ，) 也就是，( f ) 在巧空 间中的分量，因而它可以用尺度空间巧的基函数直接表达出来。为此，我们引出 如下定义：如果一个函数烈f ) 的平移族是空间的r i e s z 基，即 = c l o s e 烈f 一| ) ，七z ) ( 2 2 9 ) 则称烈，) 为一个尺度函数。显然，如果一个函数( f ) ，即，( r ) = a , c , ( t - k ) 么由于q 烈2 ，一七) = ，( 2 f ) k 可知仍 = 4 姒z t 一七) 是k 空间的基函数。这一结 k 论可推广到，为任何整数，即 伊，j ( f ) - - 2 1 2 烈2 7 t 一七) ；j , k z ( 2 3 0 ) 是巧空间的r i e s z 基 匕= c l o s r t s ) ( f ) 肛z ( 2 3 1 ) 由一个尺度函数伊( f ) 的平移伸缩函数族张成的空间序列 _ j 称为由烈f ) 生成的 r ( 胄) 空间中的一个多分辨率分析( m u l t i _ r e s o l u t i o n a n a l y s i s ，m r a ) 。由上可知， 在尺度函数烈f ) 已经确定的情况下，为了使( 2 2 7 ) 式成立，我们需要构造一个与 烈f ) 相配的小波函数 f ，( f ) 。 1 0 西北大学硕士学位论文 由此一来，f ( t ) 中所有，级以下的低频成分就可归结为一项。而，级以及高 于，级的频率成分则分别表示为白勖+ ，从而( 2 2 7 ) 式成为有限项的和。 2 4 2m a l l a t 算法 m a l l a t 在著名的用于图像分解的金字塔算( p y r a m i d a l a l g o r i t h m ) 的启发下， 结合多分辨分析，提出了信号的塔式多分辨分解与重构算法，常简称为m a l l a t 算 法。 m a l l a t 塔型算法的基本思想如下：我们已经计算出一函数或信号厂( f ) l 2 ( r ) 在分辨率2 一下的离散逼近4 厂，则厂( f ) 在分辨率2 可“的离散逼近4 + ，厂( f ) 可通 过用离散低通滤波器对a s f ( t ) 滤波获得。 1 分解算法 如果已知信号八f ) 在，+ l 级分辨率一+ 。中的分量为 4 + 。( ，) = q w 哆。 ( f ) ( 2 3 2 ) 将它分解为巧和空间的两个分量之和的问题就是希望由系数 巳小 求出系数 q 和 t 。 以使 4 + 。( ，) = ( f ) + 叱( f ) ( 2 3 3 ) 成立。其中认r ) 和( ，) 分别是函数厂( ，) 在2 7 分辨率逼近下的尺度函数和小波函 数，口业和叱分别为2 - + 分辨率下的粗糙系数和细节系数。首先，根据二尺度关系 知 哆 ( f ) = 2 肌妒( 2 t 一七) = 2 肌压吃烈2 ( 2 7 t 一七) 一s ) = 吃纺+ l , 2 k + s ( ，) ( 2 3 4 ) 同理 ( r ) = 舅仍删+ ，( ，) ( 2 3 5 ) 而系数口n 为 = ( 巾地) ) = ，莩饥弭。州( 2 k ) 晓s 6 ， 式中 噬= k ( 2 3 7 ) 西北大学硕士学位论文 同理 嘭 = q + l 。g ( 2 七) ( 2 3 8 ) 式中 或= 茧i ( 2 3 9 ) 由( 2 3 6 ) 和( 2 3 8 ) 式，我们看到系数序列 和 嗽 可分别由序列 q 椰 通 过数字滤波器 矗 和 g 的输出并作偶数点抽样得到。这一过程可用图2 1 表达。 图中的分解低通滤波器和分解高通滤波器分别是由序列 惋 和 & 作镜向反射并 取共轭得到。 4 h 如 图2 1 分解算法 2 重构算法 当序列 q j ) 和 t 为已知时，重构信号巾) 在一+ 。空间中的分量4 + 。( f ) 的 问题就是如何利用这两个序列来计算序列 巳椰 的问题。由( 2 2 3 ) 式及( 2 3 3 ) 式 q + u = q j ( 哆j ，仍+ 。，) + 办( ，哆+ 聃) ( 2 4 0 ) 利用( 2 3 4 ) 式及同级尺度函数的平移正交性，可得 ( 纺，仍+ j ) = 吃( 伤“甜+ ，纺+ 。，) = 噍一。 ( 2 4 1 ) 同理类似的推导可得 ( 妒，矿+ l i ) = g k 一2 ，(242)gk 4 2 ) i j ，仍椰，2 2 f ( 2 将以上两式代入( 2 4 0 ) 式得 q 小= 噍一。+ 办。 ( 2 4 3 ) 现定义两个新的序列 q ， 和 ， 分别是由 q ，) 和 t ， 每两点之问补一个零 所形成的。这样可更好的诠释这一重构算法，由( 2 4 3 ) 式的口，+ l j 可改写为 口j + u = 蛎吃一。+ 形g k = 口j i l ( 七) + d g ( 七) ( 2 4 4 ) 于是重构过程可用图2 2 表示，图中的重构低通滤波器的脉冲响应为 ，而重 构高通滤波器的脉冲响应为 g k 。 1 2 西北大学硕士学位论文 图2 2 重构算法 采用滤波器级连的方法可以实现多级小波分解和重构，a ，每经过一次分解， 近似序列 q 小 分解成低一级的近似序列 q 和细节序列 嘭 ，但两者的长度 均为 巳。 的一半，即数据总量保持不变。 在实际应用m a l l a t 算法时，由于实际信号都是有限的，存在如何处理边界的 问题。比较常用的方法是周期扩展和反射扩展。主要目的是要降低边界不连续性 所产生的边界上变换系数衰减慢的问题。为了将小波变换应用于图像处理，我们 需要有二维小波函数和二维尺度函数。采用分离变量方法可以由一维小波函数和 尺度函数构造所需要的二维函数，它们是 唾l ( 毛j ，) = “工) 烈力1 v ：o ) = 烈工渺 ( 2 4 5 ) 甲( y ) = y ( x ) 烈y ) l 甲3 o ，力= ( j 渺( y ) j 由于它们的分离变量性质，二维分解过程可以通过行处理和列处理两步完成， 即首先将4 ( 埘，n ) 的每一行( r l 取定值) 看成是一个一维信号，分别通过低通滤波 器 7 和高通滤波器 g ，然后将这两个中间结果的每一列看成是一维信号，再 次利用滤波器 h 和高通滤波器 g ) ，这样最后得到四个二维数据q 。( b g ) ， d ，( d ( 、- ，g ) ，巧2 ) o ，孽) 及d 当( p ，g ) 。这过程可以用图2 3 表示。 r w i c o l ( 易d ( 易 ( 易 ( 只 图2 3 二维分解过程 由于经过两次下采样，每一数组中的元素总数都减少到原数组q ( 所，疗) 的数据 西北大学硕士学位论文 总量的l 4 ，因而全部数据总量保持不变。如果需要，可以再对巳一。( p ，口) 进行二 维小波分解，以此类推。在可分离变量的情况下，二维重构算法也可通过行处理 和列处理的两个步骤进行，图2 4 表示出一级重构过程。它也同样可推广到多级 重构的情况。 2 4 3 边界处理 勺- 吖d j ( - 1 ) 码 鹤 图2 4 二维重构过程 上面几节叙述了小波变换理论，特别着重介绍了小波的分解和重构，但在实 际进行分解和重构时要考虑到边界问题。由于小波变换是对无限长的信号作处理， 而在实际处理图像时，图像是一个有限长的二维信号，也同样涉及到对图像的边 界问题，解决图像的边界问题就是使边界延拓，通俗的讲就是使其从一个有限长 的信号变成一个无限长的信号，同时还要保证图像能完全进行重构。如果不对边 界进行延拓，就会产生边界效应，边界效应就会使图像失真。为了更好的理解边 界效应，这里着重介绍三种边界延拓1 3 1 ，1 1 5 】，【1 6 1 方法：零延拓、周期延拓、对称延 拓。 设输入信号为f ( n ) ，长度为，滤波器长度为m ，则其具体表达式如下： 1 补零延拓是一种最简单的处理方法。即假定边界之外的信号全部为零， 一f o 州2 + l 如 o ( 疗) = 厂( ，哆0 聆 n ( 2 4 6 ) l o n ；n n + m 2 一l 2 周期延拓 l ，( 疗+ ) 一肘2 + l 疗 0 厂( 疗) = ，( 玎) 0 l l n ( 2 4 7 ) i 厂( 万一) n 行蔓+ 肘2 一l 1 4 西北大学硕士学位论文 i 厂( 一 ) 一 ，2 + l 疗 0 ，( ，1 ) = 厂( ) 0 一 r 时，q j 与会之间总存在恒定的偏差，这将直接影响到重 构图像与原始图像的逼近程度。并且从我们按硬阈值算法得到的实验结果图3 3 ( f ) 可以看到，用硬阈值方法可以很好地保留图像边缘等局部特征，但图像也因 2 l 西北大学硬士学位论文 此会出现振铃、伪吉布斯效应等视觉失真，而用软阈值方法处理结果则相对平滑 很多，但是软阈值方法可能会造成边缘模糊等失真现象。因此，用阈值法去噪时， 阂值的选择对去噪效果有着重要的影响。阈值的选择方法有很多种，在实际应用 时应根据具体情况来选择合适的阈值。 为了克服软阈值法和硬阈值函数的缺点，b r u c e 和g a o 提出了另一种闽值函 数，即半软阈值( s e m i s o f ts h r i n k - a g e ) 函数，并在此基础上推导出了基于半软阈 值法的m i n i m a x 阈值，它不仅保留了较大的系数，而且具有连续性。 = s g n ( ) 霉挚x x c t , i o , i ，)f = l 2 。n ( 3 1 9 ) 最佳的阚值选择可以通过最小化风险函数得到，公式如下： t + = a r g m i n e r ( t ) ( 3 2 0 ) 西北大学硕士学位论文 详细的对s u r e s h r i n k 介绍参考文献【3 1 1 ，在实际应用中，s u r e 阈值偏于保守，特 别是在信号小波系数非常稀疏、信噪比很小的情况下，其效果不是很好。 3 b a y e s s h r i n k 阈值 b a y e s s h r i n k 阈值【3 2 j 在小波系数服从广义高斯分布的假设下，c h a n g 等人得出 了阈值 = 盯2 ( 3 2 1 ) 式中，盯为噪声标准方差，为广义高斯分布的标准方差值。 本文对一幅加高斯噪声o r = 2 0 的l e n n a 图像按硬、软阈值算法及常见的阈值 估计方法进行图像去噪，实验结果如图3 3 所示。 分析：通过图3 3 ，我们可知，以上介绍的几种阈值估计方法都是没有考虑原 始图像( 或信号) 小波系数的先验信息，阈值计算简单，但它们对小波系数有“过 扼杀”的趋势，从而导致较大的重构误差。如果能在考虑了图像( 或信号) 的先 验信息的基础上再对某风险函数求最优阈值势必会使去噪效果更好，也就是使去 噪误差更小。 3 3 利用多尺度离散小波域相关性的去噪方法 通过3 2 节，我们了解到阈值的选取对小波阈值的重要性，本文主要以3 2 节的小波阈值收缩为基础，采用离散小波来分解图像。结合小波域图像多尺度相 关性来处理噪声图像，小波基采用d b 7 。从第二章2 4 节对多尺度分析的描述我们 知道，它可以将原始图像信号分为不同分辨率的几个图像信号，然后选择合适的 分辨率或者在各级分辨率上处理此图像信号1 3 3 1 ，这样可以更方便、快速的处理图 像的某部分细节信息；相关性主要是指基于信号在各层相应位置上的小波系数之 间往往具有很强的相关性，而噪声的小波系数则具有弱相关或不相关的特点。例如 x u 等人提出的s s n f ( s p a t i a l l ys e l e c t i v en o i s ef i l t e r ) 方法“”，该方法就是 利用相邻尺度小波系数的相关程度来进行去噪的。 同时由3 2 节我们还知，小波收缩1 1 0 1 1 3 4 1 1 3 5 1 是一种大家都颇为熟悉的使噪声减 少的方法，其中收缩系数是非线性的，其收缩过程是减小或压制低幅度值而保持 高幅度值。目的是减小由噪声产生的小波系数值，尽可能保留或维持与图像边缘 西北大学硕士学位论文 信息有关的小波系数值。其原理可用下式表达： n w z j f ( n ，肼) = 阡f ( n ，研) g ：( 陟f ( n ，小) ) f = l ，2 ，3 ，_ ，= 1 , - - m ( 3 2 2 ) 其中，m 嘭八打，坍) 是被更新的小波系数，g ：( 嘭f ( n ，m ) ) 是一收缩因子。，是指 所分解图像层数，i 指被分解图像的每一尺度上水平、垂直、对角三个方向分量。 为了获得合适的收缩因子，文献【l o l d 6 1 分析了图像小波系数w f ( n ，坍) 的分布 特性，并根据贝叶斯定律得到如下公式： g ( v ) = p ( e d g e v ) = 面而( 1 - 而w n ) 忑p ( v 丽e d g 面e ) i 3 2 3 ) 式中，p ( v i e d g e ) 表示边缘类小波系数的类条件概率密度函数，p ( v n ) 表示噪声 类小波系数的条件概率密度函数，嵋是噪声类的先验概率。 从公式( 3 2 3 ) 可知，求出p ( v l e d g e ) 、p ( v n ) 、后，就可得到初始的收 缩因子g ( v ) 。但分析小波系数的分布可知，所求的收缩因子g ( v ) 并不充分，因为 在最细尺度上噪声分布最多，很难分出哪些小波系数是和边缘有关的，哪些小波 系数是和噪声有关的，因此考虑了尺度一致性，即如果在连续的尺度上，如果相 同位置的g ( v ) 都接近于1 ，就大致认为它是和边缘有关的小波系数，反之，如果 随着尺度j ( 图像分解层数) 的增大，g ( v ) 的值在逐渐变小，属于和噪声有关的 小波系数的概率就变大。为了更好的区分出边缘和噪声，又同时考虑了方向，即 根据梯度矢量算法确定收缩因子，然后用更新的收缩因子结合原小波系数得到新 的小波系数，最后进行重构图像。 可见为了得到初始收缩因子，关键在于对一幅给定的图像如何估计两类条件 概率密度函数：p ( v e d g e ) ，p ( v n ) 及先验概率，文献【1 0 l d 6 1 建议在高斯分布的 假定下采用最大似然估计来获得相应的参数吒，吒和先验概率。 最大似然估计【3 7 1 是常用来估计参数的方法，最早是由高斯( c e g a u s s ) 所提 出的，它是建立在极大似然原理的基础上的一个统计方法，并且所得到的极大似 然估计被广泛应用，有很好的性质，在进行极大似然估计时，依极大似然估计的 方法，必须构造出相应的似然函数，而似然函数的构造要依据总体的分布。因此 根据最大似然估计的原理，设总体小波系数的分布密度( 或分布律) 为厂( x ；力， 其中口= ( 矿，c r i ，盯) 为未知参数，其中以为第七层同噪声相关的系数分布的先验 概率，露为第k 层同边缘相关的小波系数的标准方差，为第k 层同噪声相关的 西北大学硕士学位论文 小波系数的标准方差。又设“，而，) 是小波系数的一个样本值，如果似然函数： 三( p ) = 兀( ；力 ( 3 2 4 ) j - i 在参= ( 钟，彭，钟) 达到最大值时，则称( 磷，彰，群) 分别为( ，t ，露) 的最大似然 估计值。由于 i n l ( e ) = h 厂“易 ( 3 2 5 ) j l l 而i n t ( o ) 与三( 国有相同的最大值点，因此，e 为最大似然估计的必要条件为： = 0 i = l ，2 ，3 ( 3 2 6 ) 称它为似然方程，其中p = ( ，露，露) 。 求最大似然估计的一般步骤为： ( 1 ) 写出似然函数三( 口) 。 ( 2 ) 求出h a l ( o ) 及似然函数方程( 3 2 6 ) 式。 ( 3 ) 解似然方程得到最大似然估计0 ，( f = l ，2 ，珊) 即得到三个参数吃、 s f 2 删j 2 。 这种方法具体实现时，由于迭代次数很多，需要设计一个搜索算法，要先分 别给出三个参数的取值范围和搜索步长，然后再联立方程求解。 从上述求解步骤可明显看出，求解最大似然估计最重要的是求解其似然函数 方程，而似然函数方程是非线性的方程，求解困难，计算量大，收敛性较差，如果 设计的取值范围过小，甚至有时不能收敛。 西北大学硕士学位论文 第四章改进的小波域相关性的去噪方法 我们在第三章利用多尺度离散小波域相关性的去噪方法的基础上提出了某些 改进，形成了一种更加简便易行的算法。 4 1 边缘区与非