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山东大学博士学位论文 静态租集和动态粗集几个问题的研究 中文摘要 粗集理论是波兰数学家z p a w l a k 在1 9 8 2 年提出的一种新的处理模糊和不 确定性知识的数学工具，其主要思想是在保持分类能力不变的前提下，通过知 识约简，导出问题的决策或分类规则粗集理论与概率方法、模糊集方法和证 据理论等其他处理不确定性问题的理论的最显著区别是它无需提供问题所需处 理的数据集合之外的任何先验知识由于该理论未能包含处理不精确或不确定 原始数据的机制，所以与其他处理不确定性问题的理论有很强的互补性粗集 理论在数据挖掘、模式识别、决策分析等诸多领域取得了广泛的应用 本论文共分五章，分别研究了静态粗集( z p a w l a k 粗集) 和动态粗集( s 一 粗集) 的几个问题，内容涉及经典概念的粗交流，模糊概念的粗交流以及s 一粗集 副集的若干特性等 第一章介绍了粗集和s 一粗集的基本概念与基本结构 第二章讨论了经典概念粗交流中的若干问题本章主要结果如下： 定理1 设近似空间( u ，墨) ，( u ，r 2 ) ，( u ，r 。) 分别表示a g e n t l ，a g e n t 2 ， a g e n t n 伽2 ) 的知识，给定概念x u 在n ! 种不同的传递顺序下，所有的 粗交流传递结果为( r ，r 。r ：，r r 。巧) ，( r 月：r j ，月。r ：矸) ，则 鱼竺一：n n 生鱼尺c k x ( 1 ) 、- - - - - - - - - - - - - - - - - - - j - - - - - - - - - - - 。一 定理2 设”个近似空间( 己，r ) ( u ，r 。) 0 = 2 ，3 ) 分别表示a g e n t i ， a g e n t h 的知识，给定概念x u ( 1 x 怪n ) ，在 ! 种不同的传递顺序下，所有 的粗交流传递结果为( 生型：，鱼鱼群) ，( 生生月i 生鱼月i ) 若 c k x 矿，贝0 ( 生鱼群，鱼墨一：) n n ( 生型i ，生鱼矸) 山东大学博士学位论文 = ( c k ，u j p k x ) ( 2 ) 定理3 设h 个近似空间( u ，焉) ，( u ，r ：) ，( u ，r 。) 分别表示n 个a g e n t s 各自 的知识，原一粗交流传递序列：是s e q a = ( 爿i ，爿i ) ，( 4 ，爿i ) ，( 钟，所) ) 新一粗交 流传递序列是n s e q 。= ( m ，n a ) - ) ，( m ；，m 办，( m ：，删i ) ) ，则 俨a ；= n a t l - i - n u n a t ( 3 ) 【爿_ = 一 第三章讨论了经典概念粗交流的最优传递序列问题在一个有，个a g e n t s 参 与的粗交流中，传递序列共有 ! 个事实上，在不同的传递序列中，信息的丢失 量可能是不同的第二节，第三节分别提出使参与粗交流的各个a g e n t 获得信息 量最大的“整体最优”传递序列的概念，使参与粗交流的最后一个a g e n t 获得信 息量最大的“结果最优”传递序列的概念，分别建立了对应的粗交流传递序列 寻优问题的数学模型，并给出了求解两类寻优问题的模拟退火算法第四节提 出兼顾上述两种情况的租交流的a 一最优传递序列等概念，并建立了对应的粗交 流传递序列寻优问题的数学模型 第四章研究模糊概念的粗交流问题本章主要结果如下： 定理4 设( u ，r 。) ( u ，r 2 ) ，( 【，r 。) 分别表示模糊租交流中刀个a g e n t s 各自 的知识，对一给定的模糊粗交流序列f s e q , 4 = ( 彳j ，一l - ) ，( 墨，重) ，( 钟：拜) 及 其对应的口一截集的粗交流序列s e q a = ( 一，一i ) ：，( 鬈，巧) ：，( 群，巧) ： ， ( a t ，a t ) 。为( 爿? ，一i ) 的口一粗交流截集，口仨【0 ，l 】，则 ( 彳? ，4 ) 。= ( 一? ，彳i ) ：( 4 ) 第五章研究了单向s 粗集，双向s 粗集副集的某些数学特性本章主要结 果如下： 定理5 设砰( x 。) 是副集彳，( x 。) 的口一生成，r 为指标集，v t t ，口，( 0 7 1 ) 则 山东大学博士学位论文 l4 a 卵( 。) = 一罗5 ( 7 。) ； ( 5 ) ，e 1 2 。u 卵( y 。) r ( v 。) ( 6 ) ，e r 定理6 设舒“：( 。y 。) 是副集a 、( 。y ) 的口一生成，7 1 为指标集， v i ，v t t ，口，( 0 1 ) ，口，( - 1 o ) 贝u r 符爿，岫( ) ：f r a i n a。( ) ；( 7 )r n 爿，“。( ) = 。“4 ( 。) ；( ) t e l 2 。t u e t 爿，n t ( x ) ：一? “6 警“( x ) ( 8 ) 2 。u 爿，崛( ) = 一? “1 ( ) ( 8 ) ，e ， 定理7 设g r d ( a ( y6 ) ) 是副集一，( x 。) 的口一生成粒度，7 1 是一个指标集， v ，t ，口，( 0 ，1 ) 贝 r m i n ( g 月d ( 爿，( x 。) ) = g r d ( 。“( 。y 。) ) ： ( 9 ) 2 。吧 g r d ( 爿0 ( 。) ) = g r d ( a ? “( 。) ) ( 1 0 ) 定理8 设g r d ( 爿? 岫( 爿) ) 是副集爿。( x ) 的口一生成粒度，7 是指标集 v i ，v t t ，贝0 l。”grd(一，她(x)：grd(a了7rain g r d ( a4 4 册4 ( ) ) ；( 1 1 ) l 。 g r d ( 一，她( x ) ) ) = j “( ) ) ；( 1 1 ) 2 。品 g 尺d ( 一，越( ) ) ：g 尺d ( 一，r a w i n 刚警“( ) ) 0 2 ) 全文的创新点： 1 提出信息保真度，失真度，粗信息流量等概念，对粗交流过程中的信息 丢失问题从数值上进行量化分析；给出了在不知传递顺序的情况下，粗交流可 能传递结果的若干结论；给出粗交流的一种新的简化定义形式 2 提出使参与粗交流的各个a g e n t 获得信息量最大的“整体最优”传递序 列的概念，使参与粗交流的最后一个a g e n t 获得信息量最大的“结果最优”传递 序列的概念，提出粗交流的五一最优传递序列等概念，分别建立了相应的粗交流 传递序列寻优问题的数学模型，并给出了求解前两类寻优问题的模拟退火算法 3 提出模糊概念粗交流的概念，对模糊概念粗交流过程中的信息丢失问题 从数值上进行了量化分析：建立了模糊概念粗交流和经典概念粗交流的关系定 山东大学博士学位论文 理 4 提出s - 粗集的副集口一生成，副集口一生成粒度等概念，研究了单向s 粗集，双向s - 粗集副集的某些数学特性这些特性是动态粗交流研究的必备理 论基础 关键词：粗集，s - 粗集，粗交流，模糊粗交流，副集 山东大学博士学位论文 s t u d yo ns o m ep r o b l e m so fs t a 】1 1 i cr o u g hs e t s a n dd y n a m i cr o u g hs e t s a b s t r a c t r o u g hs e t st h e o r y , p r o p o s e db yp o l a n dm a t h e m a t i c i a nz p a w l a ki n19 8 2 i sa n e wm a t h e m a t i c a lt o o lt od e a lw i t hv a g u e n e s sa n du n c e r t a i n t y k e e p i n gt h ec l a s s i f i e d a b i l i t ya n du s i n gk n o w l e d g er e d u c t i o nt og e tt h ed e c i s i o no fp r o b l e ma n dc l a s s i f i e d r o l e si st h em a i ni d e ao fr o u g hs e t st h e o r y t h em a i na d v a n t a g eo ft h et h e o r y o v e r o t h e rt e c h n i q u e si st h a ti td o e sn o tn e e da n yp r e l i m i n a r yo ra d d i t i o n a li n f o r m a t i o n a b o u ta n a l y z e dd a t a t h i si st h eb i g g e s td i s t i n c t i o nb e t w e e nr o u g hs e t st h e o r ya n d o t h e rt h e o r i e sd e a l i n gw i t hv a g u e n e s sa n du n c e r t a i n t y , s u c ha s p r o b a b i l i t yt h e o r y f u z z yt h e o r y , e v i d e n c et h e o r y n o w , r o u g hs e t st h e o r yh a se x t e n s i v ea p p l i c a t i o n si n d a t am i n i n g ，p a t t e mr e c o g n i t i o n ，d e c i s i o na n a l y s i sa n ds oo n t h et h e s i sc o n s i s t so ff i v ec h a p t e r sa n ds t u d i e ss o m ei m p o r t a n tp r o b l e m so f s t a m i cr o u g hs e t s ( z p a w l a kr o u g hs e t s ) a n dd y n a m i cr o u g hs e t s ( s - r o u g hs e t s ) t h e p r o b l e m si n c l u d er o u g hc o m m u n i c a t i o no fc l a s s i c a lc o n c e p t s ，r o u g hc o m m u n i c a t i o n o ff u z z yc o n c e p t s ，a n ds o m ec h a r a c t e r i s t i c so fa s s i s t a n ts e to i ls - r o u g h s e t s ! e t c c h a p t e ro n ep r o v i d e st h eb a s i cc o n c e p ta n ds t r u c t u r eo fr o u g hs e t sa n ds - r o u g h s e t s c h a p t e rt w od i s c u s s e ss o m ep r o b l e m so fr o u g hc o m m u n i c a t i o no fc l a s s i c a l c i n c e p t t h em a i nr e s u l t sa r ea sf o i l o w s ： t h e o r e m1 l e t ( u ，r i ) ，( u ，r 2 ) ，( u ，r 。) b e ”a p p r o x i m a t i o ns p a c e s ， w h i c hr e p r e s e n tt h ek n o w l e d g eo fa g e n t1 ，a g e n t2 ，a g e n tn r e s p e c t i v e l y ( 疗2 ) g i v e nac r i s pc o n c e p tx u i nt h eh ! t r a n s l a t i o ns e q u e n c e a l lt h et r a n s l a t i o n r e s u l t so f r o u g hc o m m u n i c a t i o n a r e ( r i r 肛l r ：r i r 。一1 r d ( r 。只：r j ，r 。 鱼r i ) - t h e r em u s t b e v 些变查兰堡主兰竺笙苎 鱼墨盟r ：n n 堡。一r 2 r j 三c k r ( 1 ) k 。- - - - - - _ - _ - - - - - 、，- - - - - - - _ _ - - - - - - - - - - 一 t h e o r e m2 l e t ( u r 1 ) 一( u ，曰。) ( 玎22 3 ) b e n a p p r o x i m a t i o ns p a c e s w h i c hr e p r e s e n tt h ek n o w l e d g eo f a g e n ti ，一，a g e n t n r e s p e c t i v e l y g i v e nac r i s p c o n c e p tx u ( 1 喀h ) ，i nt h e 疗! t r a n s l a t i o ns e q u e n c e a l lt h et r a n s l a t i o nr e s u l t so f r o u g hc o m m u n i c a t i o na l e ( 月i r ，l 彤，r 1 r - z 8 2 ) ，( r 。r 2 r j ，r 。r 2 月i ) i fc k x ，t h e n 喳鱼群，一r i 垒巧) n n ( 生型，墨鱼r i ) = ( c kx ，u 一尸kx ) ( 2 ) t h e o r e m3 l e t ( u ，r i ) ，( 【，r 2 ) ，( u ，r 。) b e n a p p r o x i m a t i o ns p a c e s ， w h i c hr e p r e s e n tt h ek n o w l e d g eo f a g e n t1 ，a g e n t2 ，a g e n t n r e s p e c t i v e l y ( ”2 ) o l d r o u g hc o m m u n i c a t i o nt r a n s l a t i o ns e q u e n c ei s s e q a = ( 爿? ，一i ) ，( 一；4 ) ， ( 群，巧) ；n e w - r o u g hc o m m u n i c a t i o n t r a n s l m i o ns e q u e n c e i s n s e q a = ( m ? ，m l - ) ， ( 删；，m ；) ，( m ：，m ：) t h e r em u s tb e f ：m 4 7 一j ：u ：删i 1 逛疗 ( 3 ) c h a p t e rt h r e ed i s c u s s e st h ep r o b l e mo fo p t i m a lt r a n s l a t i o ns e q u e n c eo fr o u g h c o m m u n i c a t i o no fc l a s s i c a lc o n c e p t t h e r ea r e 月! t r a n s l a t i o ns e q u e n c e si n r o u g h c o m m u n i c a t i o n ，w h i c hna g e n t st a k ep a r ti n i ti sc l e a rt h a tw i t hd i f f e r e n tp a t h st h e a m o u n to ft h em i s s e dk n o w l e d g ei sv a r i e d i n 3 2 ，t h eg l o b a lo p t i m a lt r a n s l a t i o n s e q u e n c e ，i nw h i c he v e r ya g e n tt a k i n gp a r ti nr o u g hc o m m u n i c a t i o ng e t sm a x i m u m i n f o r m a t i o n ，i sd e f i n e d i n 3 3 ，t h er e s u l to p t i m a lt r a n s l a t i o ns e q u e n c e ，i nw h i c ht h e l a s ta g e n tt a k i n gp a r ti nr o u g hc o m m u n i c a t i o ng e t sm a x i m u mi n f o r m a t i o n ，i sd e f i n e d m a t h e m a t i c a lm o d e l so ft h eo p t i m a lp r o b l e mo fr o u g hc o m m u n i c a t i o nt r a n s l a t i o n s e q u e n c ea l ec o n s t r u c t e d i no r d e rt og e tt h ea n s w e r , s i m u l a t e da n n e a l i n ga l g o r i t h mi s v 坐奎查兰堡主兰生堡苎 u s e d i n 3 4 t h ed e f i n i t i o no fa - o p t i m a lt r a n s l a t i o ns e q u e n c ei sg i v e n w h i c h c o n c e r n sb o t hg l o b a lo p t i m a la n dr e s u l to p t i m a l a n di t sc o r r e s p o n d i n gm a t h e m a t i c a l m o d e li sa l s oc o n s t r u c t e d c h a p t e rf o u rs t u d i e st h ep r o b l e mo fr o u g hc o m m u n i c a t i o n o f f u z z yc o n c e p t t h e m a i nr e s u l t sa r ea sf e l l l o w s ： t h e o r e m4l e t ( ( ，r 1 ) ，( u ，r 2 ) ，( u ，r 。) b e ”a p p r o x i m a t i o n s p a c e s ，w h i c h r e p r e s e n t t h ek n o w l e d g e o f a g e n t1 ，a g e n t2 ，a g e n t 疗r e s p e c t i v e l y ( n 22 ) g i v e n a f u z z yr o u g hc o n l m u n i c a t i o nt r a n s l a t i o ns e q u e n c ef s e q j = ( o i ，a i - ) ( 一；，爿；1 一 ( 群，a ：) a n di t sc o r r e s p o n d i n gr o u g hc o m m u n i c a t i o nt r a n s l a t i o ns e q u e n c es e q ： o f 口一r o u g hc o m m u n i c a t i o nc u t ，s e q ：= ( 一j ，爿i ) ：，( 爿；爿i ) ：，( 爿：，爿i ) ： ， w h e r e ( a , + ，一f ) 。i s t h e 口一r o u g hc o m m u n i c a t i o nc u t o f ( 爿? ，4 _ ) ，口【0 ，i ，t h e n ( 爿，爿_ ) 。= ( 爿j ，爿i ) ： ( 4 ) c h a p t e rf i v e s t u d i e ss o m ec h a r a c t e r i s t i c so fa s s i s t a n ts e to no n ed i r e c t i o n s - r o u g hs e t sa n dt w od i r e c t i o ns - r o u 曲s e t s t h em a i nr e s u l t sa r ea sf o l l o w s ： t h e o r e m5s u p p o s e 爿? ( x ) b e 口- g e n e r a t i o no fa s s i s t a n ts e t sa ，( r 。) ： t i sa t a r g e ts e t ，v ，t ，口，( o ，1 ) ，a n d t h e n 1 。n 卵( x ) = 爿? ( x 。) ； ( 5 ) t e l 2 。u 行( 。) ：爿罗5 ( x 。) ( 6 ) l e r t h e o r e m6s u p p o s e 爿，6 。，( ) b eo r 一g e n e r a t i o no fa s s i s t a n ts e t s 爿，( ) ，t a r e t w o t a r g e ts e t s ，v i ，v t t ，口，( 0 ，1 ) 口，( 一i ，o ) 一a n d t h e n 。“7a1 n a 垮( x ) ：a i 学臀4 ( 。r ) ： ( 7 ) 。 “r ( ) = 等”( 。r ) ： ( 7 ) 2 2 。”u 7a 7 加吖x ) ：爿罗。6 学“( x ) ( 8 ) 。 t “r ( ) = p 一：矿( x ) ( 8 ) ，e ， t h e o r e m7s u p p o s eg r d ( a 。 ( 。) ) b e 口一g e n e r a t i o ng r a n u l a t i o nd e g r e eo f 山东大学博士学位论文 a s s i s t a n ts e t sa ，( a ”) ：ti sat a r g e ts e t ，v t t ，t 2 ，( 0 a ) ，a n dt h e n 1 。m i n g 尼d ( 爿，( 。) ) = g 尼d ( 爿? m t a r x 珥( x4 ) ) ： 【9 ) 2 m 心a x g 足d ( 爿，( x 。) ) ) = g 兄d ( 一j m t m ，q ( 。) ) ( 1 0 ) t h e o r e m8s u p p o s eg p ( a 7 她( x ) ) b eg - g e n e r a t i o ng r a n u l a t i o nd e g r e eo f a s s i s t a n ts e t s a ，( x ) ；，ta l e t w o t a r g e ts e t s ：v i ，! v t t ：a n d t h e n l 。f 暑 g 足d ( 爿，越( x ) ) = g 肋( 4 m t a ，x 刚嚣q ( _ ) ) ； ( 11 ) 2 。”。 g 肋( 彳p ( x ) ) ：mm2 m a x o r d ( a f 4 4 警4 ( x ) ) ( 1 1 ) 。 一 g 尼d ( 彳? 。( x ) ) = ：；一( x ) ) ( 1 1 ) f e i ， t h ei n n o v a t i v ev i e w p o i n t so f t h i sd i s s e r t a t i o na r ea sf o l l o w s ： 1 i tm a k e ss o m eq u a n t i z a t i o na n a l y s i sf o rt h ep r o b l e mo fi n f o r m a t i o nl o s si n r o u g hc o m m u n i c a t i o nb yd e f i n i n gt h ec o n c e p t so ft h ed e g r e eo fi n f o r m a t i o nf i d e l i t y , t h ed e g r e e9 fi n f o r m a t i o nd i s t o r t i o n ，a n dr o u 曲i n f o r m a t i o nf l o w t h ec o n c e p t t r a n s l a t i o nr e s u l tu n d e rd i f f e r e n ts e q u e n c e so fr o u g hc o m m u n i c a t i o ni sd i s c u s s e d a n e wd e f i n i t i o nf o r mo f r o u g hc o m m u n i c a t i o ni sp r o p o s e db ym e a n so f t h ec o n c e p t so f l o w e ra p p r o x i m a t i o na n du p p e ra p p r o x i m a t i o n t h er e l a t i o nt h e o r e mb e t w e e n o l d r o u g hc o m m u n i c a t i o na n dn e w - r o u g hc o m m u n i c a t i o ni so b t a i n e d 2 t h eg l o b a lo p t i m a lt r a n s l a t i o ns e q u e n c e ，i nw h i c he v e r ya g e n tt a k i n gp a r ti n r o u g hc o m m u n i c a t i o ng e t sm a x i m u mi n f o r m a t i o n , a n dt h er e s u l to p t i m a lt r a n s l a t i o n s e q u e n c e ，i nw h i c ht h el a s ta g e n tt a k i n gp a r ti nr o u g hc o m m u n i c a t i o ng e t sm a x i m u m i n f o r m a t i o n ，a n d 五一o p t i m a l t r a n s l a t i o n s e q u e n c e ，w h i c hc o n c e l t i s b o t h g l o b a l o p t i m a la n dr e s u l to p t i m a l ，a l ed e f i n e d c o r r e s p o n d i n gm a t h e m a t i c a lm o d e l so ft h e o p t i m a lp r o b l e mo fr o u g hc o m m u n i c a t i o nt r a n s l a t i o ns e q u e n c ea l ec o n s t r u c t e d i n o r d e rt og e tt h ew 1 s w e r , s i m u l a t e da n n e a l i n ga l g o r i t h mi su s e d 3 t h ec o n c e p to fr o u g hc o m m u n i c a t i o no ff u z z yc o n c e p ti sp r o p o s e d t h e q u a n t i z a t i o na n a l y s i sf o rt h ep r o b l e mo fi n f o r m a t i o nl o s si nar o u g hc o m m u n i c a t i o n o ff u z z yc o n c e p ti s d i s c u s s e d b yu s i n gs o m ec o n c e p t s s u c ha s 口一r o u 【g h c o m m u n i c a t i o nc u t ，t h er e l a t i o nt h e o r e mb e t w e e nr o u g hc o m m u n i c a t i o no ff u z z y c o n c e p ta r i dt h a to f c l a s s i c a lc o n c e p ti so b t a i n e d v 山东大学博士学位论文 一一 4 t h ec o n c e p t so f 口一g e n e r a t i o na n d 口一g e n e r a t i o ng r a n u l a t i o nd e g r e eo f a s s i s t a l l ts e t sa t ep r o p o s e d s o m em a t h e m a t i c a lc h a r a c t e r i s t i c so fa s s i s t a n t s e t so fo n e d i r e c t i o ns - r o u i 曲s e t sa n dt w od i r e c t i o ns r o u g hs e t sa r es t u d i e d t h o s em a t h e m 8 i c 8 l c h a r a c t e r i s t i c si st h eb a s i cs t u d yo f d y n a m i cr o u g hc o m m u n i c a t i o n k e y w o r d s ：r o u g hs e t s s - r o u g hs e t s ，r o u g hc o m m u n i c a t i o n f u z z yr u n g h c o m m u n i c a t i o n ，a s s i s t a n ts e t s 山东大学搏士学位论文 【叫。 k = ( 己，r ) 莎( u ) l j 1 j f f 。擘 曰彳 r a 彳+ 一 c a r d 0 ) a l x 有限非空论域 等价关系 x 的r 一等价类 知识库 u 的模糊幂集 元素迁移 元素迁移族 空集 下近似 上近似 正域 负域 符号说明 经典集合a 的基数 模糊集合a 的基数 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进 行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何 其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研究作出重要贡 献的个人和集体，均己在文中以明确方式标明。本声明的法律责任由本人 承担。 论文作者签名：王逛盐， 日 z 一6 争ib 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保 留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅 和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关 数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文和汇编本 学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：王逛盐2 导师签名：期：! ! i 生! l 了 山东大学博士学位论文 第一章绪论 1 i 引言 经典逻辑中只有真、假二值，但实际上有大量含糊现象存在于真和假之间 因此，长期以来许多逻辑学家和哲学家就致力于研究含糊概念早在1 9 0 4 年， 谓词逻辑的创始人gf r e g e 就提出了含糊( 德文v a g u e ) 一词，并把它归结到边 界线区域，也就是说在全域上存在一些个体既不能在其某个子集上分类，也不能 在该子集的补集上被分类例如，“高个人”概念，在人类全域的某个子集一中 国人的集合上不能被分类出究竟多高的人才归于“高个人”? 同样，在中国以外 的其他国家的人的集合上也不能被分类出“高个人”的类集于是“高个人”是 含糊概念 2 0 世纪6 0 年代初，l a z a d e h 提出了模糊( 用英文词f u z z y 翻译德文v a g u e ) 集【l l ，不少理论计算机科学家和逻辑学家，试图通过这一理论解决gf r e g e 的含糊 概念，但遗憾的是，模糊集是不可计算的，没有给出数学公式描述这一含糊概念， 故无法计算它的边界线上的具体的含糊元素数目例如，模糊集中的隶属函数和 模糊逻辑中的算子都是如此时隔2 0 年后的8 0 年代初，z p a w l a k 针对gf r e g e 的边界线区域思想提出了r o u g h ( 波兰人对v a g u e 的译文) 集”j ，他把那些无法 确认的个体都归属于边界线区域，而这种边界线区域被定义为上近似集和下近似 集之差集由于上近似集和下近似集都可以通过等价关系给出确定的数学公式 描述，所以含糊元素数目可以被计算出来，即在真假二值之间的含糊程度可以计 算，从而实现了gf r e g e 的边界线思想r o u g h 集理论主要兴趣在于恰好反映了 人们用r o u g h 集方法处理不分明问题的常规性，即以不完全信息或知识去处理 一些不分明现象的能力，或根据观察、度量到的某些不精确的结果而进行分类数 据的能力 3 1 在经济，金融，管理，工程等若干领域中，人们经常接收到这样的信息，这 类信息不能用精确的集合表示，从它们的特征上看，这类信息是粗糙的，即粗信 息因为不能用精确的数学方法表示这类信息，使得人们对它的认识能力与对它 开发使用能力降低，人们为此而丢失了这类重要的信息资源在计算机与计算技 山东大学博士学位论文 术广泛使用的今天，因为没有合适的数学方法描述这类信息，利用计算机去识别 这类信息遇到了困难，一些重要的应用研究因此而搁浅波兰数学家z p a w l a k 教授1 9 8 2 年提出粗集( r o u g hs e t s ) ，给出粗集的一般性研究：z p a w l a k 教授的工 作给人们研究粗信息和它的特性提供了理论支持；由此，对租信息的理论研究与 应用研究得到广泛地开展并取得了很多优秀的成果粗集理论已成为粗系统理 论与应用研究的基石 1 2 租集理论发展概况 粗集理论作为一种处理不精确、不确定与不完全数据的新的数学理论，最初 是由波兰数学家z p a w l a k 于1 9 8 2 年提出的由于最初关于粗集理论的研究大部 分是用波兰语发表的，因此当时并没有引起国际计算机界和数学界的重视，研究 领域也仅限在东欧一些国家，直到2 0 世纪8 0 年代末才逐渐引起国际学者的注意 近几年来，由于它在机器学习与知识发现、模式识别、数据挖掘、决策支持与分 析等方面的广泛应用，研究逐渐趋热1 9 9 1 年z p a w l a k 的专著粗糙集一关于 数据推理的理论( r o u g hs e t s - t h e o r e t i c a la s p e c t so f r e a s o n i n ga b o u td a t a ) 的问 世，标志着粗集理论及其应用的研究进入了活跃时期1 9 9 2 年在波兰召开了关于 粗集理论的第一届国际学术会议，1 9 9 5 年，a c mc o m m u n i c a t i o n 将粗集列为新 浮现的计算机科学的研究课题，1 9 9 8 年，国际信息科学杂志( i n f o r m a t i o n s c i e n c e s ) 还为粗集理论的研究出了一期专辑：第一届中国r o u g h 集与软计算学 术研讨会于2 0 0 1 年5 月在重庆召开后，相继在苏州，舟山，鞍山等地召开系列 会议 近年来，粗集理论在模式识别h 。3 1 ，决策分析 1 4 - 1 8 l ，经济系统1 1 9 - 2 2 1 ，医疗 系统 2 3 - 2 6 1 ，控制系统 2 7 i 等诸多领域得到了广泛的应用；粗集理论与模糊集理论 2 8 - 4 2 1 ，证据理论m 4 ”，人工神经网络 4 6 - 5 2 l ，遗传算法m 。7 等方面结合获得了 不少丰硕的成果 粗集模型的几个主要推广： 变精度粗集在数据集中存在噪音等干扰情况下，经典理论会由于对数据 的过拟合而使其对新对象的预测能力大为降低而在实际应用中，噪音是在所难 山东大学博士学位论文 免的为增强粗集模型的抗于扰能力，z i a r k o 教授提出了变精度粗集模型”，它 、 是在基本粗集模型的基础上引入了p ( 0 口 o 5 ) ，即允许一定程度的错误分类 率存在这一方面完善了近似空间的概念，另一方面也有利于粗集理论从认为不 相关的数据中发现相关数据变精度粗集模型在知识约简、数据挖掘等方面得到 了广泛的应用 5 9 - 6 4 基于相似关系、相容关系等二元关系的粗集模型经典粗集模型是建立在 等价关系基础上的，等价关系的要求是比较苛刻的但在数据中经常会存在缺少 属性值的情况，等价关系对这种情况无能为力为了扩展粗集的应用能力，一些 学者提出了用相似关系、相容关系等二元关系来代替等价关系作为粗集理论的基 础1 6 5 “l ，这些推广的粗集模型在不完备信息系统的属性约简和规则提取等方面 取得了广泛的应用【6 5 “1 s 一粗集和函数s 一粗集在z p a w l a k 粗集中，集合x c u 一旦选定，x 是 不变的，是静止的；这个事实限定了租集理论的应用范围，特别是利用粗集理论 研究一类动态系统，或者说利用z p a w l a k 粗集研究一类动态系统时遇到了困难 根据这个事实，2 0 0 2 年史开泉教授在 7 0 q h 提出s 粗集( s i n g u l a rr o u g hs e t s ) ， 给出了s 粗集的一般性讨论，在文献 7 1 1 0 0 1 中，对s 粗集又给出了进一步讨论， 给出了一些重要的结果作为s 一粗集的推广，2 0 0 5 年史开泉教授在 1 0 1 ，1 0 2 1 中提 出了以口一函数等价类阻o ) 】构成的函数s 粗集( f u n c t i o ns i n g u l a rr o u g hs e t s ) 使得s 粗集具有了更广泛的应用如果函数s 粗集存在我们能够获得这样的认 识：在集合的静态动态，点一点构成线的双重条件下，z p a w l a k 粗集是s 粗集的 特例，s 一粗集是函数s 粗集的特例s 一粗集，函数s 粗集理论得到了广泛的应用 1 1 0 3 - 11 7 l 1 3 褪集理论基本概念 1 3 1 乙p a w l a k 租集与它的结构 、 设u 是一个有限非空论域，