（机械设计及理论专业论文）电渗流泵的流体动力学分析.pdf

东南大学硕士学位论文 摘要 微机电系统( m e m s ：m i c r o e l c t r o m e c h a n i c a ls y s t e m s ) 的研究始于上个世纪的 八、九十年代，目前已经成为一股潮流。与此同时，液体在微系统中的流动问题 也就成了工程界所面临的一个难题。早期的微泵研究始于上世纪七十年代，当时 的微泵都是机械式的一一都有一个往复运动的机械部件。这种微泵所能承受的背 压不超过一个大气压，且液体的流动方式是脉动的，流量也不大，每次脉动大约 1 2 2 n l ，构造相对复杂。随着研究的深入，出现了没有机械运动部件的微泵，以 这类微泵为动力源的流动方式是连续的。按原理它们可以分为电流体驱动 ( e l e c t r o h y d r o d y n a m i c s ) 微泵，超声波( u l t r a s o n i c ) 微泵，磁流体驱动 ( m a g n e t o h y d r o d ”a m i c s ) 微泵等。但是这些微泵要么对液体的传导率要求过严， 要么耐背压能力有限，且流量都很小，这使得它们的应用受到很大限制。 电渗流( e o f ：e l e c t r o o s m o t i cf l o w ) 微泵是基于界面化学、静电场、流体力学 等理论开发出的微泵。它有效地克服了流量小、承栽( 背压) 低等难题，且它结构 简单，流动方式是连续的。正因为这些优点我们有理由相信基于电渗流机理的微 泵必将成为微机电系统中主导型的微泵。而且它的应用不局限于微机电系统，它 在医疗中的药物输送，2 1 2 、民用的两相流制冷，甚至宇航科技中都有着广阔的应 用前景。 本文中详细叙述了关于外加垂直电场的l a p l a c e 方程、关于z e t a 电势的 p o i s s o n b o l t z m a r m 方程和关于整个液体的n a v i e r s t o k e s 方程的建立过程。对 于这些方程用数值方法求解。其中离散的方法是无网格 法( m e s h l e s s m e s h f r e e ) ， 而对p o i s s o n b o l t z m a n n 方程用残值最小法构造非线性算法，对n a v i e r s t o k e s 方程用二步法一一用时间离散把非线性方程转化成各步线性的，然后各步再作空 间离散。在数值实现时，用c 十+ 和m a t l a bc + + 数学库去编程，从而使两者优势 互补。最后讨论了e o f 的流型、驱动过程、z e t a 电势对流速的影响、外加垂直 电势对流速的影响、管径对流速的影响、背压问题以及p h 值和浓度对e o f 的 影响。 关键词：微泵，电渗流，纳维一司托克斯方程，微流体，无网格算法，有 限云 东南大学硕士学位论文 a b s t r a c t t h er e s e a r c ho fm i c r o e l e c t r o - m e c h a n i c a ls y s t e m s ( m e m s ) n o wi s at r e n ds i n c e i tw a si n i t i a l l ys t u d i e di nl a t e r19 8 0 s m e a n w h i l e ，h o wt h ef l u i df l o wi nm i c r o s y s t e m s b e c o m e sac h a l l e n g ef o rt h e e n g i n e e r s i n 19 7 0 s ，s o m er e s e a r c h e r s d e v e l o p e d m i c r o p u m pw i t h ar e c i p r o c a t i n gp a r t h o w e v e rt h i sk i n do fm i c r o p u m pc a no n l y h o l dl o wb a c k p r e s s u e r t h a ti sn om o r et h a n1a r mp e rp u l s ef l o w , l o wf l o wr a t ea n d m o r ec o m p l e xs t r u c t u r e a st i m ei sg o n e ，m i c r o p u m pw i t h o u tr e c i p r o c a t i n gp a r tw e r e d e v e l o p e d a c c o r d i n g t ot h e p r i n c i p l e o fo p e r a t i o n ，t h e yc a l lb ec l a s s i f i e di n t o e l e c t r o h y d r o d y n a m i c sm i c r o p u m p ，u l t r a s o n i cm i c r o p u m p ，m a g n e t o h y d r o d y n a m i c s m i c r o p u m p ，e t c h o w e v e ls of a r ，n o n eo ft h e mf i n d sw i d ea p p l i c a t i o nb e c a u s et h e w o r kf l u i ds h o u l db ew i t hh i g he l e c t r i cc o n d u c t i v i t ya n dt h ef l o wr a t ei st o ol o wt o m e e tt h ei n d u s t r yd e m a n d s e l e c r o o s m o t i cf l o w ( e o f ) m i c r o p u m pi sd e v e l o p e db a s e do nt h et h e o r yo ff l u i d d y n a m i c s ，o f e l e c t r o s t a t i cf i e l da n do fi n t e r f a c ec h e m i s t r y t h es t r u c t u r eo ft h i sp u m p i s s i m p l e o p e r a t e du n d e rt h eh i g he l e c t r i cv o l t a g e ，t h ec o n t i n u o u sf l o wa n dh i g h b a c k p r e s s u r e a r e e x p e c t e d f o rt h e p o l a r w o r kf l u i d w i t ht h e a d v a n t a g e o fn o m e c h a n i c a lm o v i n gp a r t sa n ds m a r ts i z e ，t h i sp u m pc a l l s a r i s f yt h er e q u i r e m e n to f i n t e g r a t e dc i r c u i to c ) a n d m e d i c a ld e v i c e s i nt h i sa r t i c l e ，t h eg o v e r n i n ge q u a t i o n sa r ec o n s t r u c t e df r o m l a p l a c ee q u a t i o nf o r t h ef l u i da c t e du n d e re x t r ae l e c t r o s t a t i c sf i e l d ，p o i s s o n - b o l t z m a n ne q u a t i o nf o rt h e w o r kf l u i da c t e du n d e rz e t ap o t e n t i a la n dn a v i e r - s t o k e se q u a t i o n sf o rt h ew h o l ef l o w f i e l d w es o l v et h e s e e q u a t i o n sb y n u m e r i c a lm e t h o d d i s c r e t i o nm e t h o di s m e s h l e e m e s h f r e em e t h o d t h en o n l i n e a ra l g o r i t h mo fp o i s s o n b o l t z m a n ne q u a t i o ni s e s t a b l i s h e db ym i n i m u mr e s i d u a lm e t h o d t h en o n l i n e a r a l g o r i t h mo f n a v i e r - s t o k e s e q u a t i o n si s t w os t e p sm e t h o d f i r s td i s c r e t i z i n gt i m e t h e nd i s c r e t i z i n gs p a c e i n n u m e r i c a li m p l e m e n t c + + a n dm a t l a bc 十+ m a t hl i b r a r ya r ec o m p i l e dw i t ho u t s o u r c ec o d e s b a s e do nt h en u m e r i c a lr e s u l t st h ef l o ws h a p eo fe o f , d r i v ep r o c e s s ， t h ei n f l u e n c eo fz e t ap o t e n t i a l ，t h ei n f l u e n c eo fe x t r ae l e c t r o s t a t i cf i e l d ，t h ei n f l u e n c e o fp i p ed i a m e t e r , b a c k p r e s s u r ea n dt h ei n f l u e n c eo fp ha n dc o n c e n t r a t i o nf o re o f 东南大学硕士学位论文 a r ed i s c u s s e d k e yw o r d s ：m i c r o p u m p ，e l e c t r o o s m o t i cf l o w , n a v i e r s t o k e se q u a t i o n ，m i c r o f l u i d m e s h l e s s m e s h f f e em e t h o d ，f i n i t ec l o u d s 东南大学学位论文独创性声明及使用授权的说明 一、学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。尽我所知，除了丈中特别加以标注和致谢的地方外，沦丈中不包含 其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构 的学位或证书而使用过的材料。与我一同3 - 作的同志对本研究所做的任何贡献均 已在论丈中作了明确的说明并表示了谢意。 签名缝塞 f、 日期：盖! 堕应二脸 二、关于学位论文使用授权的说明 东南大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留本人所送交学位 论文的复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人 电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文外，允许论 文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容。论文的公布( 包 括刊登) 授权东南大学研究生院办理。 签名 导师签名：一l 坌主曼一一日期：2 1 竖么蔓厶箩 东南大学硕士学位论又 1 绪论 1 1应用前景 目前1 t 及相关产业遇到了前所未有的挑战：随着芯片制造向纳米级挺进，单位体积芯 片的发热量大幅度提升，如果不把这些热量散掉，则芯片的运算是不稳定的，甚至可能出现 “烧”斯线的危险。l t 及相关产业停滞进而萎缩，人类经济的“火车头”熄火? 这是所有 人都不愿看到的。 有需求就会有人去寻找解决需求的方法。用半导体材料把芯片内部的热量导出到表面 进而散掉，这是最理想的方法，但这种方法尚有很多理论难题没有解决，变数很多，有“远 水不解近渴”之嫌。好在两相流制冷是人类已经掌握的成熟技术，把它用到芯片的降温所遇 到的难题仅传统的压缩机( 泵) 体积显然过于庞大。这样，问题就转变成微泵的研发上来了。 事实上，既然开发的微泵是要用于两相流制冷的，那么民用的冰箱、空调若用上这种 微泵会是什么样呢? 目前的冰箱，多门是一种趋势，但是人们的苦恼是各个对温度要求不同 的部分却在使用同一个压缩机，由于体积和造价的问题，一台冰箱拥有多个压缩机是不可能 的事情。目前的空调( 分体的) 都有一个大而重的室外机安装它是一件危险很大的事情。但如 果有了能用于两相流制冷的微泵，这些问题都将解决：冰箱可以有多个泵去分别满足不同部 分的需求，空调室外机的体积、重量将大为减轻。 微泵的应用远不止此。它在医药领域也有着广阔前景，譬如药物输送，无针头注射， d n a 、蛋白质的分离等等。传统的泵作为流体的动力源有着非常广阔的应用领域，而微泵 研发的目的是为了解决传统泵所无法解决的问题，拓宽泵的应用领域。可以相信，作为一种 新的流体动力源，它的应用将会超出人们现在所构想的范围。 电渗流泵是一种全新的微泵，它的特点是耐背压能力强，流量提升容易，且直接把电 能转化为液体能，能源的利用率也相对较高。在本篇论文中将讨论它。 1 2 微泵概述 早期的微泵研究开始于上世纪七十年代“。当时出现的徽泵都有一个往复运动的机械 部件，这个部件的作用与活塞是一样的，把机械能转换成流体的运动。所以这种泵也可以称 为往复式微泵。这种泵又可细分为隔膜( m e m b m n e ，d i a p h r a g m ) 和蠕动( p e r i s t a i t i c ) 微泵。但不管 如何细分，为了使往复运动的部件能运动起来，越须要有激励装置( a c t u a t o r ) ；为了使流体能 正常进、出泵的腔体，在大多数情况下泵腔的进、出口各有一个阀。阀相对简单，它们的作 用原理与普通的单向阀相同，即在泵腔容积增大时，进口网开启，出口阀关闭，液体进八泵 腔；在泵腔容积减小时，进口阀关闭，出口阀开启，泵腔中的液体被泵出泵腔。激励装置是 较复杂的。根据激励类型不同，微泵又可分为压电型( p i e z o e l e c t r i c ) ，气动型的( p n e u m a t i c l ， 静电型的( e l e c t r o s t a t i c ) ，温度气动型的( t h e n n o p n e u m a t i c ) 和电磁型的( e l e c t r o m a g n e t i c ) ，当然 也有极少数微泵用形状记忆合套( s h a p em e m o r ya l l o y s ) 或磁性控制( m a g n e t o s l r i c t i v e ) 材料作激 励器( a c t u a t o r ) 的。 压电型的激励器一般是双压电晶片元件( b i m o r p h s ) ，直接胶在运动部件上( 如图1 2 ) ，它 通电后变形从而带动隔膜往复运动。这里需要指出的是无论隔膜微泵还是蠕动微泵，它们的 往复运动部件实际上都是隔膜，只是蠕动微泵工作时象动物在蠕动而己。气动型和温度气动 型激励器一般是在隔膜的外侧，有一个气室，通过改变气室中气体的压力使隔膜产生往复 运动。静电型和电磁型激励器，实际上是以隔膜为电极或磁极，而在其外侧存在异性极，通 1 绪论 过异性极的通断电使隔膜运动起来 图1 1 往复式微泵的示意图 这些往复式微泵出口压力一般不超过两个大气压，且液体流动的方式是脉动的，流量也 不大，隔膜每运动一次大约1 2 2 n l ，而且构造相对而言较复杂，造价也相应地不便宜。 另一类微泵没有机械运动部件，流体的流动方式是连续的。根据它们不同的原理可分为 电流体驱动( e l e c t r o h y d r o d y n a m i c ) 微泵，超声波( u l t r a s o n i c ) 微泵，磁流体驱动 ( m a g n e t o h y d r o d y n a m i c ) 微泵等。 电流体驱动( e h d ) 微泵的原理是：外加电场使非极性液体产生电荷并驱动这些电荷，而 这些带电荷的粒子又通过粘性力来驱动液体的其它部分；或者，外加电场能使液体的传导率 或介电常数产生梯度，也自e 使液体流动起采。但是这种方法十分依赖液体的电特性，即传导 率必须在1 0 。4 和1 0 1 西门子之间。 超声波微泵是利用机械波去驱动液体前行的。渡源来自压电驱动器，频率从超声到 1 0 m h z ，这种泵的流量只有几微升每分钟，出口压力只有0 1 3 p a 。 磁流体驱动( m h d ) 微泵是利用洛伦茨效应去驱动液体前行的。沿着微管轴向分别分布着 图l ，2 蠕动式微泵结构及运动示意图 相互垂直的一个电场和一个磁场，电场是为了向电解液输入电流，这样液体就会沿着管流动 了。这种泵的流量约6 3ul m i n ，出口压力约1 8 m b a r 。 2 东南大学硕士学位论文 由于以上的泵在流量、出口压力等方面并不理想，限制了微泵的作用。在这种背景下电 渗流微泵被提了出来，它流量提升简单，耐背压能力强，分别为3 5u l l m i n 和2 0 a r m 1 “。 1 3 电渗流( e o f ：e l e c t o o s m o t i cf l o w ) 的机理1 1 2 , 6 , 7 , 1 3 】 1 3 一l 双电层( e d l ：e l e c t r i cd o u b l el a y e r ) 从界面化学可知，固体与液体接触时，固体表面分子离解或和表面吸附溶液中离子， 在固、液界面上形成双电层。双电层的理论模型是简单的。通常把由于离子 f e _ ( i o n i z a t i o n ) 、 离子吸i 驸 ( i o na d s o r p t i o n ) 或离子溶解( i o nd i s s o l u t i o n ) 等复杂的化学作用在固体表面形成的电 荷叫作表面电荷( s u r f a c ec h a r g e ) 。对于大多数固体材料而言，在与水溶液相接触时，产生的 表面电荷是负电荷。由于表面电荷的存在，使得在溶液中形成所谓的双电层( e d l ) 。双电层 是溶液中一层极薄的正、负离子的优先聚集区。它形成的最根本原因是表面电荷的静电作用， 即同性相斥，异性相吸的作用。由于表面电荷的静电作用，从而改变了固、液界面上液体一 侧的离子分布。具体地讲，在紧贴固体的表面上分布着双电层的第一层一一吸附层。该层中 与固体表面接触的特性吸附离子是部分脱水的，它可以是异号离子，亦可以是同号离子，其 外面主要是由静电力吸附的水化对离子( c o u n t e ri o n ) 。通过水化对离子中m 连线构成的面称 为s t e r n 面，这是一个假想面。第二层是扩散层( d i f f u s el a y e r ) ，由s t e r n 面外的剩余对离子构 成，其电荷密度随着远离表面而逐渐与溶液相接近。 简单地讲，双电层是溶液靠近固体表面一层极薄的局部不呈电中性的溶液。它的理论模 型从固体表面向液体深处分别为s t e r n 层，s t e m 面。扩散层。见下图 图1 3 双电层示意图 1 3 2z e t a 电势 仅仅用上述的双电层模型无法解释fr 鲁斯在1 8 0 8 年发现的电渗流现象，即在与固 体表面相垂直的方向上加上一静电场后，液体就能运动起来，液体究竟是从何处开始运动 的? 在扩散层中，靠近s t e r n 面的地方存在另一个假想面一剪 t d f ( s h e a rp l a n e ) ，液体的运动 就是从这里开始的。剪切面位于s t e m 面外侧紧贴固相表面粘度迅速变化的区域。从前面的 图中可看到，这里有三个电势：。是固体表面上的电势，y d 是s t e r n 面上的电势t ( 是剪 1 绪论 切面上的电势，即z e t a 电势。不严格的情况下，可认为。就是。由于电势是在液体与 田相表面相接触时才产生的，故一般而言，( 电势的性质( 大小，正负) ，只取决于液体与固 体表面的物理、化学特性但是文献【1 5 】中给出了种改变电势的方法：在固体材料的内 部，沿表面分布一电极这样，这时的电势可视为由原有表面电荷产生的电势和电极产生 的电势在剪切面处的迭加由于表面电荷产生的电势只能逮毫伏( m v ) 级，故电极电势可以 很容易地改变电势的大小，乃至极性，从而改变液体的流速，乃至流向，使得液体流动的 控制变得方便且代价减小。这种电板由于平行于固体表面，不妨称为平行电极 1 3 3 几种动电现象( e l e c t r o k i n e t i cp h e n o m e n o n ) 所谓的动电现象是指靠近带电表面的粘性剪切层中外电场和扩散层的可运动部分相互 作用导致的四种现象它们是： i 、电泳( e l e c t r o p h o r e s i s ) ：在外电场作用下，带电表面及其附着的物质( 即离解的或悬 浮的物质) 相对于静止液体的运动。或者简单地讲在半导电流体中，荷电粒子在外电场作 用下的泳动现象。 l i 、电渗( e l e c t r o o s m o s i s ) ：在外电场作用下，液体相对于静止带电表面( 如毛细管或多 孔柱塞1 的流动。这种现象与电泳是互补的。 i i l ，流动电位( s t r e a m i n g p o t e n t i a l ) ：液体沿静止的带电表面流动而产生的电场这一现 象与电渗相反。 i v 。沉降电位( s e d i m e r t a t i o np o t e n t i a l ) ：带电颗粒即荷电粒子相对于静止液体作运动而 产生的电场这一现象与电泳相反， 简单地讲，荷电粒子在外加电场作用下能产生运动，同时这种运动叉会产生电场；液 体在外加电场作用下，能沿带电表面产生运动，同时这种运动又会产生电场。 1 3 4 电渗流( e o f ：e l e c t r o o s m o t i cf l o w ) 的产生 从1 2 3 中的叙述可知，产生电渗现象，进而产生电渗流有两个基本条件：外加电场， 由于该电场通常与带电表面相垂直，不妨称为外加垂直电场；带电的固、液界面，更本质地 讲是双电层中的剪切面及其( 电势。 电渗流的产生可分为驱动过程和平稳过程从物理意义上来讲，驱动过程是如下一个 过程：由于表面电荷的存在使双电层中的离子呈现某种物理分布一一玻耳兹曼分布，在外加 垂直电场的作用下，离子发生运动，通过碰撞使扩散层中的可运动部份发生定向运动，再通 过扩散作用( 粘性) 使电中性液体发生定向运动，从而整个液体流动起来，形成电渗流， 驱动过程中一个显著的特点是电中性的液体是被粘性力带动起来的，而平穗运动过程 中电中性液体中的粘性力却几乎为零，其原因将在关于“流型”的章节中叙述。 1 3 5 影响e o f 的因素 由于e o f 能形成有两个基本条件一一外加垂直电场和双电层，故在讨论影响e o f 的 因素时，也要钛这两个方面入手， 首先讨论外加垂直电场强度因素。这个因素是相对简单的电场强度的改变除了会固 发热的原因改变液体的粘度外，一般不改变液体和固体的特性。在以后章节中我们将发现， 若忽略发热，外加垂直电场强度与e o f 的流速成正线性关系， 4 东南大学硕士学位论文 其次是双电层因素这个因素是复杂的。双电层存在于固、液界面处，固体和液体的 特性都会对双电层产生影响。具体地讲：固体材料或固体材料表面有涂层，该涂层材料的性 质，溶液的成分与浓度，溶液的p h 值，溶液中的添加剂，溶液的粘度等，都会对双电层产 生影响。所谓对双电层产生影响，本质上讲是对剪切面上的e 的电势产生影响，继而影响 巳o f 最后，由于e 电势的影响是本质的，这一点提示我们可以通过直接改变电势而不改 变回、液体的性质，同样会对e o f 产生影响譬如，沿田体表面分布一个电势达伏( ”级的 平行电场就能改变电势。 5 2 ，电渗流的数学模型 2 嚏峪参流的数学模型 2 1 关于物理一化掌流体动力掌( p h y s i c o c h i m i c a lh y d r o m i c s ) 物理化学流体动力学作为现代流体力学的一个重要分支，其名称首先由前苏联学者列维 奇( b l e v i c h ) 在其同名的经典著作中提出在上世纪八、九十年代美国m i t 机械系教授 勃罗 新坦( r o n a l d e p r o b s t a i n ) 在其经典著作中丰富并发展了它 所谓物理化学流体动力学可以概括地定义为，讨论流体对物理、化学和生化诸过程的影 响以及这些力反过来对流动的影响。 1 2 j 流体动力学与物理学或化学包括生物化学之间的相互作用可以是局部的也可以是整体 的。如果是局部的，了解流动的主要特点可以不考虑物理或化学的现象，流体状态便确定了 物理、化学行为如果是整体的。物理、化学现象则控制整个流动的性质。对于流体动力学 而言，局部的影响属于弱相互作用，整体影响则是强相互作用i l # 1 电渗流由于物理现象决定了流动的性质，故属于强相互作用 2 2 纳维一斯托克斯方程( n a v i e r - s t o k e se q u a t i o n s ) l 4 j 2 2 1 流体的定义及其可压缩性 流体是这样一种变形体，当对它施加剪切外力时，不论外力如何小，它总会发生变形， 并且将不断地继续变形下去。这种不断变形的运动，称为流动 流体力学就是研究流体的机械运动和力的作用规律的科学 当流体受到法向外力的作用，其体积将发生改变，呈现体积弹性，也称之可压缩性 2 2 2 连续介质力学 流体与所有的物质一样是由微观的粒子( 原于、分子，离子等) 组成的，但无法通过直接 分析每个粒子的运动来达到得知流体运动的目的。于是便提出了连续介质假设，这样研究流 体考虑的是宏观运动，即大量粒子的平均行为，而不是单个粒子及其结构。 从数学的角度，写出质量密度的表达式如下 p ( p f ) ：l i m 旦竺 。 自- o 西 其中，西是空间一点p 近旁所取的一个微元体积。从连续介质力学的角度讲微元体积西而 不是数学上的无限小，应理解为物理上的无限小。即，一方面该体积元的线尺度比分子的距 离或其平均自由程大得多，以致j v 仍然含有数日庞大的分子群。另一方面，占v 线尺度要 远小于物理宏观性质发生显著改变的代表性尺度，这样才能使得所定义的质量密度是一个局 部的量，可以反映物体质量宏观分布上的不均匀性 显见，连续介质近似的基础在于宏观流体的特征尺度远大于表示流体结构的分子长度的 尺度。 2 1 某一种连续物质的艿v 可用维象的方法来确定。 东南大学硕士学位论文 2 2 3 笛卡尔( c a r t e s i a n ) 张量 为了讨论流体矢量与标量已经无法胜任了，于是有必要把它们推广，从而得到了张量。 设( 为，x 2 ，x 3 ) 和 x ：，x ：，x i ) 是两个正交笛卡尔坐标系，其变换关系是 x 。= p q x i ，x l = p i 。x i ， i ，j = 1 , 2 ，3 如果某种物理量由定义在三维连续统上的函数v ，( x i ，x 2 , 屯) ，i = 1 , 2 ，3 采表示，并且在坐标 变换中服从下列变换关系 则函数v ( - ，x 2 ，b ) 称为一个矢量场，或一阶张量场 类似地，如果某种物理量以一个函数( 一，x 2 ，而) 描述，并且函数值在坐标变换中保持 不变，即有中( x l ，x ：，z j ) = o ( x 1 ，工2 ，屯) ，到o ( x i ，工2 ，屯) 称为一个标量场，或零阶张量 场 如果定义在三维连续统上的3 2 个函数描述某种物理量它们可依次排列成 l ( _ ，x z ，b ) ，f ，= 1 , 2 ，3 ，并且服从下诉坐标变换关系， 则函数瓦拉。，x 2 ，南) ，称为一个二阶张量场。 系 设两个n 维正交笛卡尔坐标系缸，x ：，_ 和扛：，x ：，x ： 服从下述坐标变换关 x | = p4 x i ，x l = p i 。x j ， i ，j = 1 ，。一，n 如果定义在疗维空间中的珂”个函数依次排列成t l 、。( 一，工。) ，= 1 ，m ，且 满足下列坐标变换关系 ，h ) = b 一, s i n ( x i ，一 ，x 。) = ，( 五，。 ，x 。) 屏 ，x ：) 展。 则函数t i 、。( 为，x ) 称为一# - m 阶张量场 在以上的定义中用到了求和约定，即如下的一种简化表示法 3 a = a ，e 7 a f e j - p 一 一p 慨协 b b” z x 而( ( 0 = l i )、j b也屯h x r ( ( v v ，【 如岛 熊凡 ) ) b b2 2一一 o o o t = ： ) ) b也 k也0 巧毛 ，l 瓴 一 胂 ，fl 2 电渗流的数学模型 对下标中重复出现的指标称为哑标，单独出现的称为自由标，以上的简化表示法可理解为对 哑标取遍所有值后，再取和。 引入的定叉为民= 常；：； 另一个是置换符号，定义为 = e 当两个指标出现相同的取值时 当指标出现互不相同的取值，且取值为1 ，2 ，3 的轮换排列时 当指标出现互不相同的取值，且取值为3 2 ，l 的轮换排列时 2 2 4 应力主轴和主应力 在流体中任意方向 的面元上，应力矢量即 和h 一般是不共线的，r 在n 方向上的 投影称为法应力，r 在面元切平面内的投影称为切应力在流体内任一点存在三个互相正 交的方向，当面元的法向与这些方向重合时，该面元上的切应力为零，应力矢量聊与h 方向一致。这三个互相正交的方向称为该点的应力主轴，与应力主轴正交的平面称为主平面， 且平面上的应力值称为主应力。 事实上，如果存在某一方向n ，作用在与其正交的面无上的应力矢量与其共线，即 t ( n ) = o n ，同时由于应力矢量用张量可表示为i ( n ) = 盯，挖j ，( 是与坐标轴t 相正交 的平面上的应力矢量分量) ，从以上两式可得 o - v l = oj j , j ，i = 1 , 2 ，3 而甩，= 磊胛j ，代入上式得 该方程组有非零解的条件是 ( 一a s f ) n = o ，i = 1 , 2 ，3 1 0 1 。一噶| - 0 这表明盯是矩阵( 仃，) 的特征值。同时由于应力张量是一个实对称阵，这就说明应力主轴是 存在的另从线性代数知识可知： ，= 盯1 l + 盯2 2 + 仃 = 盯l + 盯2 + 盯3 盯i ，仃2 ，吒是特征方程的三个根。用标量 石= 一了1 ( 仃，。+ 盯：+ 盯。) 表示空间所有方向上正应力的平均值( 反号) ，称为流体的动力学压强。 由于静止流体不能承受切应力，任何方向都可作为应力主轴方向，从而有q = o r 2 = = 一p 。故此静止流体的应力张量写为 羔壹垄兰堡主兰些丝查 o q2 一p 6 u 这时流体的动力学压强是一样的所以，流体的热力学压强往往也称为静压。 2 2 5 流体力学基本方程 2 2 5 1 雷诺( r e n o l d ) 输运公式 在流体力学中，既可以用欧拉( e u l e r ) 方法，也可以用担格朗日( l a g r a n g e ) 方法表示 流体的运动。 所谓欧拉方法是着眼于流场空间中的固定点，它将各个时刻流过空间任一固定点的流体 质点的某些物理量，表示为该点位置r 和时间，的函数，即有 q ，= q 。( r ，) ，i = 1 , 2 ，厅 厅为表述流体运动状态的特性函数的个数 所谓拉格朗日法是着眼于流体质点，它把任一质点在运动过程中的物理量规定为标志 该流体质点的矢量变数 和时间t 的函数，即 ， g ，= g 。( 孝，r ) ，= 1 , 2 ，厅 欧拉法表现的是各时刻流场的奎景图，而拉格朗日法表明的是所有流体质点在运动过程 中相应物理量变化的历史。 两种表述方法是完全等效的，只是表达物理过程的方式不同而已。 在运动流体中取定一个封闭的物质体系，它在f 时刻所占据的空问区域记为n ( o ，q ( n 的边界记为s ( o ，设张量场f ( x ，；f ) 是表示流体某种物理特性的一个强度量，沿o ( ，) 取 f ( x ) 的体积积分，得 ( r ) = f ( x ，；t ) d v 茹； 代表物质体系在r 时刻的某种广延量。 由于此时n ( f ) 是在欧拉变量x 下的区域，无法使得体积积分直接对时间，求导。把它转 换到拉格朗日变量鼻下的区域所用变换为 t 2 x i 瞄2 南。，)i = 1 , 2 ，3 这样 ，( f ) = 呵r ( 舶，t j a v o n o 其中，q o 是该物质体系在某一初始时刻t o 所占据的空间域 ，= 嬲哌：鸹嘴 a ( 鼻，磊，磊) 。 一o ”“”3 此时，只是被积函数中的一个参数，只要积分一致收敛，就有 d l c l t = 缈堡d tj + f 警) 叱 j 、础”o 9 2 电渗流的数学模型 式中_ d ：j ( v v ) 1 堡：望+ 罢盟：罢+ v j o f ：萼+ ( v v ) f d to t a x ，a t 氆 o x 。 a t 于是 等= 丢驴州矿2 孵州口叫戚：川 = 卿等冉c 州矿2 赡仉扩础 其中 是边界曲面s ( f ) 的外法向单位矢量( 2 2 1 ) 式就是雷诺输运公式。它表明，一个物质 体系内莱种广延量的增长率等于体系在该时刻所占的那个空间域中同一物理量的增长率，加 t 单位时间内由区域边界流出的该物理量的总通量。 2 2 5 2 建! * 。l 生巧程 设( 2 2 1 ) 式中函数f o 。；f ) 为流体的质量密度p ( x 。，t ) ，则所取流体物质体系的总质量 为 肘( f ) = j j j p ( 2 c it ) d v 对于无源封闭的物质体系，流体总质量应为一常数，即有! 警= 。，利用( 2 2 1 ) 式，有： 掰詈+ 缈如。 也可改写为 肌尝+ v 却v 朋y2 孵鲁+ 少州d 矿 c 2 2 ：2 a ) 在流场中密度和速度连续变化的地方，上式对任意区域成立，故有 害+ v 和v ) = 鲁+ 厕v = 。( 2 2 2 b ) 2 2 5 3 动量方程 把( 2 2 1 ) 式申函数f ( x ；f ) 取成矢量p v ，它可以理解为单位体积流体的动量，即动量密 度于是积分 = j p v d v n ( n 表示所取封闭体系中流体的总动量。从动量定理知，在惯性参考系中物体动量的变化等于作 用在物体上的外力的冲量。于是 文献 3 中( 2 2 1 5 ) 式 1 0 东南大学硕士学位论文 等= 去爨删。驱甜叭翳汛d s 其中，为作用在单位质量流体上的体积力，口0 h ，是和体系接触的外界物体作用在物质体系 边界s 上的应力矢量。利用雷诺输运公式有 研c 芸c 儿凇，挈肌辫删矿+ 鼢俨 鞑挈p ”硎+ 堪专t p v 一抄y2 鞑p 埘y + 翳 出 肌昙c 川肌册删矿 4 j i 肌v ，一) n j d s s ( t ) ( 2 2 3 a ) 为积分形式的动量方程 其中h 。= p v ，一盯 为动量通量密度张量，它的分量兀f 表示单位时间内通过某单位 面积元动量的i 分量，这个面积元的法向与0 轴方向一致。 将( 2 2 ，3 a ) 中的曲面积分改写成体积分： 。，( f f v v j - ) n j d s = 瓣p v j v j - - t l r e n ( r w 矿 5 ( i ) j 则有肌昙c 肌，+ 册苦c 川v 肛册署+ 册尸z 因为上述方程对于流场中任何一个参数连续的无穷小区域都成立，故有 昙( 川+ ( 州户挚+ 尸， 该式就是微分形式的动量方程。 将( 2 2 3 b ) 式中左边展开，并用连续方程( 2 2 2 b ) 化简，得 盟“堕：堕：! 堕十，= 及 i 瓠j d t pd x ? 。 武冲左端第一项为局部加速度，其余三项为对流加速度。 ( 2 2 3 b ) ( 2 2 3 c ) 2 2 5 4 能量方程 这里只考虑流体宏观远动的机械能和流体分子热运动能量一内能之间的转换。将流体的 比内能函数记作，于是封闭体系q 中的流体总能量便是 即，= t 肛a f t ) 州d y 2 电渗流的数擘模型 由热力学第一定律有：! 孥：w + q ，其中，w 表示外界对体系作功的功率，q 是单位时 间通过边界流入体系的热通量。记q ，为热通量密度矢量，在正交笛卡尔系中，它的三个分 量分别代表单位时间内流过法向分别沿x i ，x 2 ，屯三个坐标轴方向的单位面积元的热量，于 是，可有 q = 一9 j g ，”，d s 另外，包括体积力和面积力在内的外力作功的功率为 w = 揪p f , v ? d v + 静州豳 综上述可得积分形式的能量方程： 盟知萼+ 蠊川罢沙 ：加， = 弧p f , v ? d v 十铷 v 凼一钉q , n , d s j 将( 2 24 a ) 右边两个曲面积分改写成体积积分： 辩舭如骚活吣v ，慧”凼2 婪l 丢d v 于是，在流场内参数连续变化的点上便有 昙叫罢，+ 毒咖，c 导删卜p “+ 毒叫一鬻：舶， 将( 2 2 4 b ) 左边展开，并用连续方程( 2 2 2 b ) 化简得 鲁c 导州钒，+ 古如叫一吉詈 z 舢， 将( 2 2 4 c ) 左边展开，并用动量方程( 2 2 3 c ) 化简得 坐：土盯盟一土塑( 2 2 刖) d t p 。o x ，p o x i 该式表明比内能的的变化是由于内应力作功将一部分机械能便成内能，还有传热也会改变流 2 2 5 5 输运特性和本构方程 一个宏观体系的各部分之间，总要发生相互作用。由于非平衡体系是处于不均匀状态， 各部分的状态函数，如温度、压强、密度、速度等一般互不相同，这种相互作用就会带来一 些宏观效果，即某些物理量的榆运效应，其中，最重要的是能量、物质和动量三种输运。 对于由两个不同温度的物体所组成的非平衡体系其能量输运的快慢程度，即单位时间内 通过单位接触面积所传递的热量，依赖于两个物体的温度差。在温度连续分布的非均匀体系 2 东南大学硕士学位论文 中，传热在莱一点上进行的快慢程度以热通量密度矢量口，表征，如果介质中的传热量是各 向同性的，且接近平衡态时，则有 吼：一女婴 ( 225 ) o x i 其中，t 是一个标量，称为导热系数。( 2 2 5 ) 式祢为傅里叶( f o u r i e r ) 传热定律，或传热 本构方程。 不同成分组成的混合流体中，如果某种成分的百分浓度c 分布不均匀，则会出现该种成 分的物质输运过程。扩散进行的速度由质量通量密度矢量m ，来表征，对于接近平衡态时， 扩散规律可写成 优 m = 一d 一 出 ( 2 ，26 ) 其中，标量d 称为扩散系数。( 2 2 6 ) 式称为福克( f o c k ) 扩散定律或扩散本构方程。 上面所讨论的传热和传质，只是由分子热运动所引起的输运现象，并不包括流体宏观运 动所伴随的能量和质量迁移。对于动量输运，这里也取随同所论质点一起运动的参考系，此 时的质点速度v ，为0 ，( 2 2 5 3 ) 小节中的动量通量密度张量为一盯。，这表明分子热运动 所引起的单位时间通过某面元的动量，宏观上表现为该面元所爱面积力的反号。事实上，即 使对于均匀的平衡态体系，分子的动量输运也表现为内应力，只不过此时是各向同性的法向 应力，即 o u = 一p 6h 其中，p 为压强。在运动流体中，由于宏观运动速度v ，分布不均匀，应力一般不是各向同 性张量。流体面元上所承受的除法应力外，还有切应力即内摩擦力。运动流体所具有的这种 力学特性称为粘性。这样应力盯_ 还应该与速度场不均匀度卸函，之间有联系。事实证明 其中 6 q = 一p 6u 七2 e n 6 1 + 2 p e q 2 2 - 、 且哑标符合求和约定。我价把服从本构关系( 2 2 7 ) 式的 流体称为牛顿流体。“和五分别称为第一和第二粘j 生系数，p 称为静压 为了讨论( 2 , 2 7 ) 式的物理意义，将其改写成 = 一j 口毛州+ 詈咖以+ 2 比。一知 对f j 缩并后，得到 一i 1 - o i i ：p 一( a “+ 三) 8 k k 一 = 一【+ = j 8 可见，这里的标量p 和流体动力学压强p 相差为 厶严 盟钙 +